数学111正弦定理人教A版必修18页PPT

3．解三角形是指求出三角形中未知的所有______． 4．三角形三个内角和为________． 练习2：在△ABC中，已知A＝30°，B＝45°，则C＝ ______. 答案：3．角的大小和边的长度 4．180°
练习2：解析：因为A＋B＋C＝180°，
所以C＝180°－30°－45°＝105°. 答案：105°
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已知两角及一边解三角形 在△ABC中，已知A＝30°，B＝45°，a＝2，
解三角形．
a b 解析：由正弦定理可知： ＝ ，即 sin A sin B 2 b ＝ ，∴b＝2 2. sin 30° sin 45° 又 C＝180° －30° －45° ＝105° ，由正弦定理有： 2 c ＝ ， sin 30° sin 105° 即 c＝4sin (60° ＋45° )＝ 6＋ 2.
7．解析：由sin B＝，0°＜B＜180°，知B＝30°或150°， 但当B＝150°时A＋B＞180°，矛盾，所以B＝30°.
答案：30° 8．45°或135° 金品质•高追求 我们让你更放心！
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自测自评 1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是( )
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基础梳理 1．三角形分类：按三个角的特点分为________．按 边长特点分为_______________． 2．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦的比相等，即________________________________． ＝

，c＝2，C＝30°，那么此三角形 B.有两解 D.解的个数不确定
C 解析 由正弦定理和已知条件，得s4in 3B＝sin230°， ∴sin B＝ 3>1，
∴此三角形无解.故选C.
高中数学 必修第二册 RJ·A
5.在△ABC中，a＝5，b＝5 3，A＝30°，则B＝____6_0_°或__1_2_0_°_.
二 已知两边及其中一边的对角解三角形
例 2 在△ABC 中，已知 c＝ 6，A＝45°，a＝2，解三角形.
解
∵sina A＝sinc C，∴sin C＝csian A＝

6sin 2
45°＝
23，
∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°，b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3－1，B＝15°，C＝120°.
高中数学 必修第二册 RJ·A
反思感悟
(1)正弦定理实际上是三个等式：
a ＝b ，b ＝ c ，a ＝ c sin A sin B sin B sin C sin A sin C
，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.
知识点 正弦定理
条件
结论
文字叙述
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
a＝b＝c sin A sin B sin C
在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦 的比相等

由c sin C
=
a sin A
得
c 16
=
5 12
，解得c=
4 3
65 13
证明：作外接圆O，过B作直径BC’，
连接AC’
∵ BAC 90, C C '
sin C sin C ' c
c
2R
c 2R
A
sin C
B
a
O
C
b
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
C’
a b c 2R sin A sin B sin C
解析: asinA=bsinB(边角混合式）
方法1：都化为边
把sinA= a , sin B b 代入上式，得
2R
2R
a a =b b 2R 2R
[例 3] 在△ABC 中，acosπ2－A＝bcosπ2－B，判断△ABC 的形状．
解析: asinA=bsinB(边角混合式）
方法2：都化为角 把a=2R sin A，b=2R sin B代入上式，得 2R sin2 A=2R sin2 B
a sin A sin A
sin A
=2 cos A=2 3 = 3 42
例4.三角形ABC中 （3）b=2asinB，则A=______.
2R sin B=2 2RsinAsinB 1=2sinA sin A= 1 A=300 或1500
2
下课了!
Байду номын сангаас
正 弦定 理
第二课时
正弦定理: a b c
sin A sin B sin C 已知两角及一边解三角形
例1.在ABC中，a=8，B=600，C=750，求c边。

有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?

cos B
3 ,所以B 30,因此C 105
2ac
4( 3 1)
2
3. 在△ABC中,已知b 5, c 2, 锐角A满足 sin A 231 ,求C(精确到1) 20
因为sin A 231 , 且A为锐角,所以cos A= 1 sin2 A 13 ,
20
20
由余弦定理, 得a2 b2 c2 2bc cos A 16, 所以a 4;
而勾股定理是余弦定理的特例.
一般地, 三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c b
c
叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他
元素的过程叫做解三角形.
C
a
B
环节五：课堂练习，巩固运用
例5 在△ABC中,已知b 60 cm, c 34 cm, A 41, 解这个三角形 (角度精确到1, 边长精确到1 cm).
余弦定理(law of cosines)三角形中任何一边的平方，等于其他两边
平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
即
a2 b2 c2 2bc cos A
你能用其他方法
b2 a2 c2 2ac cosB
证明余弦定理吗？
c2 a2 b2 2abcosC
问题：利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？
所以cos C a2 b2 c2 37 ,利用计算器可得C 22
2ab
40
所以C 180 ( A B) 180 (41 106) 33
例6 在△ABC中, a 7, b 8, 锐角C满足 sin C 3 3 , 求B(精确到1). 14
分析：由条件可求cosC, 再利用余弦定理及其推论可求出B的值.
因为sin C 3 3 , 且C为锐角,所以cos C 1 sin2 C 1 ( 3 3 )2 13 ,

答：此船可以继续一直沿正北方向航行
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A

a sin
sin180 (
)
a sin sin(
)
应用举例
B
例1：如图（1-1），A，B两点都在河的对岸
A
（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的
方法，并求出A，B间的距离.
δ
D
γ
β
图（1-2）
α
C
于是，在△ABC中，由余弦定理可得A，B两点间的距离
AB
AC2 BC2 2AC BC cos
课堂小结
问题3：回顾本节课所学的知识，思考：将实际问题数学化，进而使问题解 决的步骤是怎样的？
追问2：测量底部不可到达的建筑物高度的思路是怎样？ 答案：（1）在水平基线上选定两个基点，（2）测得基点距离和两个基 点的仰角，（3）利用正弦定理得到其中一个基点到建筑物顶端距离的表达式， （4）利用锐角三角函数求出建筑物的高度，不要忽略了仪器的高度.
追问6：在上述测量的方案下，还有其他计算A， D
C
图（1-2）
B两点间距离的方法吗？
答案：在测得CD的长度以及 ACB，ACD，CDB 和BDA的角度后，在△ADC 和△BDC中利用余弦定理得到AB的大小.
应用举例
B
例1：如图（1-1），A，B两点都在河的对岸
A
（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的
a2 sin2 ( ) sin2 ( )
sin
a2 sin2 2 (
)
2a2
sin(
sin(
)sin cos )sin(
)
应用举例
B
例1：如图（1-1），A，B两点都在河的对岸
A
（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的

栏 目 链 接
基础 梳理
3．在△ABC 中，若 c2＞a2＋b2，则△ABC 必是______ 三角形．
a ＋b － c 解析：∵cos C＝ <0，∴∠C 2ab 为钝角． 答案：钝角
2
2
2
栏 目 链 接
基础 梳理
两 条边相等或____ 两 个内角相等的三角形为等腰 4．有____ 三 条边均相等或______ 三 个内角均相等的三角形 三角形；____ 叫等边三角形． 1 1 1 5．S△ABC＝ absin C＝ acsin B＝ bcsin A. 2 2 2 已知a＝2，b＝3，C＝30° ，则三角形ABC的面积S△ABC
栏 目 链 接
点评：在三角形中，正、余弦定理可以实现边角转化，通过正、 余弦定理就搭建起了边和角关系的桥梁，结合三角知识，既可以求 栏 边也可以求角． 目
链 接
跟踪 训练
4 6 6 2．在△ABC 中，已知 AB＝ ，cos B＝ ，AC 边上的中线 3 6 BD＝ 5，求 sin A.
分析：本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识， 同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力．
栏 目 链 接
3 2 ＝________.
自测 自评
1．在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 ( C ) A．b＝20，A＝45° ，C＝80° B．a＝30，c＝28，B＝60° C．a＝14，b＝16，A＝45° 栏 目 D．a＝12，c＝15，A＝120°
链 接
自测 自评
2．在△ABC 中，已知 a＝4，b＝6，C＝120° ，则 sin A 的值为( A ) 57 21 A. B. 19 7 3 57 C. D．－ 38 19

由正弦定理，得 a2＋c2－ 2ac＝b2.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
故 cos B＝
2 又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
，
2
跟踪训练3
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
解
sin A＝sin (30°＋45°)
2＋ 6
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝ 4 .
正 弦 定 理 (二)
学习目标
1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.
2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.
3.掌握正弦、余弦定理的简单应用.
知 识 梳 理
1.余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
a2＝b2＋c2－2bccos A，
c2＝a2＋b2－2abcos C，
a
b
c
2.正弦定理sin A＝sin B＝sin C＝2R
3.常见误区：利用正弦定理进行边
形的形状.
和角的正弦相互转化时易出现不等
(3)正弦、余弦定理的综合应用.
价变形.
B＝sin
2B·
tan
A，
注意边化角
sin B
sin A
即 sin 2A·
＝sin 2B·
.
cos B
cos A
在△ABC中，因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B≠0，
所以sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，
注意正切化
两弦
例2
a2 tan A


2
A
A
A
A
3

第六章 | 平面向量及其应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理 (完整课件78页)
高一数学人教A版必修2精品课件
第六章 | 平面向量及其应用
6.4.3.1余弦定理
高一数学人教A版必修2精品课件
第一课时 余弦定理
知识点 余弦定理 (一)教材梳理填空 1．余弦定理： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三
角形．
(√ )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
(√ )
(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．
(× )
2．在△ABC 中，已知 B＝120°，a＝3，c＝5，则 b 等于
【学透用活】 1．已知边 a，b 和角 C.
2．已知边 a，b 和角 A.
[典例 1] 在△ABC 中，
(1)若 a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，求 b 及 A.
(2)若 A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求 b，c.
[解] (1)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－
()
A．4
B． 15
C．3
D. 17
解析：cos C＝－cos(A＋B)＝－13. 又由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C
＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以 c＝ 17.故选 D.
答案：D
2．若 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求角 A，C 和边 a. 解：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2×3 3a×cos 30°， 即 a2－9a＋18＝0，所以 a＝6 或 a＝3. 当 a＝6 时，由 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×33×332－362＝0，可得 A＝90°，C ＝60°.当 a＝3 时，同理得 A＝30°，C＝120°.

释 疑 难
sin A＝2aR，a＝2Rsin A；sin B＝2bR，b＝2Rsin B；sin C＝2cR，c＝2Rsin
作 业
C．由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化． 返 首 页
·
24
·
情
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课
境
堂
导
小
学
结
·
探 新
【例 3】
在△ABC 中，若 sin A＝2sin Bcos C，且 sin2A＝sin2B
第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时 正弦定理
2
·
情
学习目标
核心素养
课
境 导
1.通过对任意三角形边长和角度 1.通过对正弦定理的推导及应用
堂 小
学
结
·
探 关系的探索，掌握正弦定理的内容 正弦定理判断三角形的形状，培养 提
新
素
知 及其证明．(难点)
逻辑推理的核心素养．
时 分
层
释
疑 思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
作 业
难
返 首 页
·
16
·
情 境
[跟进训练]
课 堂
导
小
学
探 新
1．如图，锐角△ABC 的外接圆 O 半径为 R，证明sina A＝2R.
·
结
提 素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
17
·
[证明] 连接 BO 并延长，交外接圆于点 A′，连接 A′C，

,
2

与的夹角为
2



=
=

− .仿照上述方法,同样可得
探究新知
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即



=
=

思考1：利用正弦定理解三角形,至少已知几个元素？
思考2：正弦定理可以解决哪类解三角问题？
1.已知三角形的任意两个角与一边;
典例讲授
例5、在△ABC中,角, , 所对的边分别为, , .
2
2
2
2
求证：(1) cos2A − cos2B = − ; (2)
2 −2
2
=
sin(A−B)
sinC
.
证明
（1）左边= 2 1 − 2sin2 A − 2 1 − 2sin2 B = 2 − 2 − 2(b2 sin2 A −2 sin2 B).


由
=
, 得 bsinA = sinB , ∴ 2 sin2 A − 2 sin2 B = 0
sinA sinB
∴ 左边 = 2 − 2 = 右边
∴ 2 cos2A − 2 cos2B = 2 − 2
典例讲授
例5、在△ABC中,角, , 所对的边分别为, , .

典例讲授

例4、在△ABC中,: : = 2: 3: 10,则cosC =________.

解析
设角, , 的对边分别为, , ,
∵ : : = 2: 3: 10,
∴ : : = 2: 3: 10.
设 = 2, = 3, = 10, > 0,

同理,过C点作 j垂直于CB，可得 c b ,在锐角三角形中
sinC sinB 也有 a b c sin A sin B sin C
在钝角三角形中
B
设A 900
过点A作与AC垂直
的
单位向量
A 90
j,
则 j与AB的夹角为
j与CB的夹角为 90 C
j
具体证明过程
A
C
立刻完成!
正弦定理:
sin C 1
abc sin A sin B sin C
在其他三角形中是否也存在这样的等量关系吗？
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
abc sin A sin B sin C
探
究 若三角形是锐角三角形, 如图1,
C
一 过点C作CD⊥AB于D,
a
b
此时有
sin
B
CD a
, sin
A
CD b
B
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
例4在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且
sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断
△ABC的形状． 【解】 在△ABC 中， 根据正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(2aR)2＝(2bR)2＋(2cR)2，
A B
B
B
B
变式训练
三种情况：
(1)在ABC中，已知a 2 2,b 2 3，A 450,
则B 60。或120。 有两解

c=
sin 2sin15 ° 6- 2
=
=
.
sin
sin45 °
2
综上可知:A=60°,C=75°,c=
A=120°,C=15°,c=
6- 2
.
2
6+ 2
或
2
探索点三 判断三角形的形状
【例 3】 在△ABC 中,若 sin A=2sin Bcos C,且
sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC 的形状.
sin
=

解析:由正弦定理,可知 sin B=
因为 b<a,所以 B<A,所以
π π π
3 6 2
π
B= .
6
3 π
3sin 3 1
3
π
6
2
所以 C=π-A-B=π- - = .
3.同类练在△ABCπ中,A,B,C
所对的边分别为 a,b,c.已知
2π
π
A= ,a=1,b= 3,则 B= 3 或 3 .
解:由正弦定理及已知条件,有
3
2
故 sin A= .
因为 a>b,所以 A>B.所以 A=60°或 120°.
当 A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,
c=
sin 2sin75 ° 6+ 2
=
=
.
sin
sin45 °
2
当 A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,
sin sin
由正弦定理
2+ 6
sin 8×sin75 ° 8× 4
c=
=
=
2

）
√
）
练习巩固
题型一：已知两角和一边解三角形
例7：在∆ABC中，已知B = 45°，A = 15°，c = 3 + 3，解这个三角形.
解：由三角形内角和定理，得：
= 180° − ( + ) = 180° − (15° + 30°) = 120°.
由正弦定理，得： =
=


转化
转化
定量计算的公式：余弦定理及其推论
定量计算的公式
新知探究
问题1：通过对直角三角形的研究，观察它的角和三边之间的关系，猜想
它们之间的联系.
A
根据锐角三角函数，在∆中，有:


= ， = ，


c
b
则：


=
= .

又因为 = 90° = 1，所以
=


= 2（为∆外接圆半径）.
同时，有
∆
1
1
1
= = =
2
2
2
a
b
c
新知探究
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：


=


=


= 2（为∆外接圆半径）.
同时，有
∆
1
1
1
= = =
2
2
2
辨析1：判断正误.
(1)正弦定理只适用于锐角三角形.（
(2)正弦定理不适用于直角三角形.（
×
×
）
）
(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是定值.（