分形几何论文

分类号学号D*********学校代码10487密级

博士学位论文

两类具有分形结构的无标度网络

及相关问题

学位申请人：陈金

学科专业：基础数学

指导教师：文志雄教授

答辩日期：2015年5月16日AThesisSubmittedinPartialFulfillmentoftheRequirementsfor

theDegreeofDoctorofPureMathematics

Twoclassesofscale-freenetworkswithfractalstructure

Ph.D.Candidate:ChenJin

Major:PureMathematics

Supervisor:Prof.WenZhixiong

HuazhongUniversityofScience&Technology

Wuhan430074,P.R.China

May,2015独创性声明

本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师的指导下进行的研究工作及取得

的研究成果。尽我所知，除文中已标明引用的内容外，本论文不包含任何其他人

或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均

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日期：年月日

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不保密□。

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日期：年月日指导教师签名：

日期：年月日华中科技大学博士学位论文

摘要

本文主要讨论了两类具有分形结构的无标度网络，称一个复杂网络具有分形

结构，是说它能以某种方式嵌入到平面中的分形集。我们定义了两种不同的嵌入

混沌分形研究课程论文

《非线性物理》课程

混沌分形研究

摘 要：本文介绍分形理论的产生与发展现状，让初学者了解这一非线性科学中的又一角色在我们认识复杂世界的思维过程中的重要性，让我们再一次看到自然界的混沌性。希望更多的有志青年投入到贯穿各个领域的非线性科学的研究中。

非线性 分形理论概述 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形 (fractal)。1975年,他创立了分形几何学(fractal geometry)。在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论 (fractal theory)。

分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科。作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的：一是分形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识部分来认识整体，从有限中认识无限；二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序；三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。

分行理论：

自相似原则：线性分形又称为自相似分型。自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花路线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。 这里再进一步介绍分形的分类，根据自相似性的程度，分形可以分为有规分形和无规分形，有规分形是指具体有严格的自相似性，即可以通过简单的数学模型来描述其相似性的分形，比如三分康托集、Koch曲线等；无规分形是指具有统计学意义上的自相似性的分形，比如曲折连绵的海岸线，漂浮的云朵等。 分维作用：分维，作为分形的定量表征和基本参数，是分形理论的又一重要原则。分维，又称分形维或分数维，通常用分数或带小数点的数表示。长期以来人们习惯于将点定义为零维，直线为一维，平面为二维，空间为三维，爱因斯坦在相对论中入时间维，就形成四维时空。对某一问题给予多方面的考虑，可建立高维空间，但都是整数维。在数学上，把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲，维数也不变，这就是拓扑维数。然而，这种传统的维数观受到了挑战。曼德布罗特曾描述过一个绳球的维数：从很远的距离观察这个绳球，可看作一点(零维)；从较近的距离观察，它充满了一个球形空间(三维)；再近一些，就看到了绳子(一维)；再向微观深入，绳子又变成了三维的柱，三维的柱又可分解成一维的纤维。那么，介于这些观察点之间的中间状态又如何呢？

路面材料中分形理论的应用

近年来，分形几何理论对于研究者探索自然界中不稳定、不规则的未知现象逐渐成为重要的突破途径，其应用的范围也由复杂的理论研究渗透到各个不同学科领域，如物理、化学、生物与医学、地质与地理学、计算机科学、材料科学甚至经济学、人文社科学。而作为路面材料工程科学研究者们已经开始关注分形几何理论在揭示材料常见的粗糙、凹凸、破碎等无序系统的本质的优越性。传统的欧式几何无法准确的阐述固体材料复杂无序事物的本质，而目前分形几何理论已经对沥青混合料中的微观结构分析、集料颗粒表面均匀性分析、集料级配曲线分析以及体积特性分析等方面发挥了很大作用。

1分形理论

1.1定义

分形作为非线性科学的一个分支，没有严格的定义，但它具有非线性领域的主要特征，即随机性和复杂性。客观的某种规律支撑起复杂的现象，分形理论作为一种科学而前沿的技术手段，使我们从另一个角度探究出隐藏在复杂现象背后的某种规律，概念新颖，深入透彻的揭示局部与整体之间内在的关系。

1.2分形理论的两大重要原则

（1）自相似原则

通常指不同时间或空间中某些结构或者过程都是相似的，也可以表征某些系统或者过程的局部与整体性质的相似，甚至完全相

同。[1]自相似分形通常分为有规分形和无规分形，其中有规分形要求局部与整体之间相似性非常严格，类似无穷迭代而成的结构形式，是一种标准的自相似；而无规分形是满足近似相似或统计意义上的自相似，自然界中无规分形是普遍存在的。因此，相对于有规分形，无规分形只是一种近似相似或者在统计范畴内相似。

（2）无标度原则

无标度原则又称伸缩对称性，指对象的形状不随着观察尺度的变化而变化，也就是说无论图形分形到何种程度，表现出来的都是相同的复杂程度，使得从任何尺度都可以观察出图形的细节。同时，无标度区是分形尺度关系成立的范围，所以超出这个无标度区就不再是分形结构。

2014年11月20日是著名数学家、“分形几何

之父”波努瓦·芒德勃罗（BenoitB.Mandelbrot，1924.11.20－2010.10.16）诞辰90周年纪念日。他所

提出的“分形几何”理论和出版的《大自然的分形几

何》一书，不仅将世人带入一个神奇绝妙的美丽世

界，而且分形几何在数学、物理学、生物学、地理学、

经济学和医学等许多科学领域均获得广泛应用，甚

至对文化艺术领域也产生了重要影响。难怪著名物

理学家约翰·惠勒指出，“在过去，一个人如果不懂

得‘熵’是怎么回事，就不能说是科学上有教养的

人；同样，在将来，一个人如果不能熟悉分形，他就

不能被认为是科学上的文化人。”〔1〕为了学习和弘扬

芒德勃罗的创新理念和跨学科研究的思想方法，笔

者试图通过美丽的分形图案和他对复杂性研究做

出的突出贡献来纪念这位天才的数学家。

一、芒德勃罗分形几何的创立

20世纪60年代以来，随着电子计算机的广泛

应用和由此而诞生的“计算物理”和“实验数学”两

个新兴领域的出现，以孤子、混沌和分形为主体的

非线性科学似乎总是把人们从对“正常”事物和现

象的认识转向了对“反常”事物和现象的探索。孤子排除了牛顿关于波和粒子绝对对立的幻觉，找到了

一种同时集波粒二重性①于一体的客观实在；混沌

打破了拉普拉斯决定论的可预见性的狂想，发现了

一种确定性方程所描述的对初始条件极为敏感的

无规则运动。到了20世纪70年代中期，美籍法国

数学家芒德勃罗把弯弯曲曲的海岸线、坑坑洼洼的

火山口以及变幻莫测的云烟等一系列所谓“病态”

的形状纳入了几何学的范畴，于是刻画混沌运动的

直观的几何语言———无限嵌套的自相似几何结

构———分形理论诞生了。然而，这些貌似不正常、无

规则的现象却使我们的认识更接近于自己的研究

对象———自然界本身。1．分形和分形维数概念的提出

在科学史上，数学家们很早就注意到了分形体

的存在，诸如现在人们熟悉的康托尔三分集、维尔

斯特拉斯不可微曲线、皮亚诺填充曲线、科赫雪花

曲线、谢尔宾斯基地毯和海绵等等，当时都被正统