第八章__分形几何

分形几何作者：来源：《初中生世界·九年级》2014年第08期分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学. 相对于传统几何学的研究对象为整数维数，如零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空，分形几何学的研究对象为分数维数，如0.63、1.58、2.72. 因为它的研究对象普遍存在于自然界中，比如云彩、闪电、山脉、树枝、蕨叶以及生物细胞等，因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”.康托尔三分集1883年，德国著名数学家康托尔构造了一个奇异的集合：取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，将剩下的两段各再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段各再三等分，这样一直继续操作下去，直至无穷，便可得到康托尔三分集.皮亚诺曲线取一个正方形并把它分成4个相等的小正方形，然后从左上角的正方形开始至左下角的正方形结束，依次将小正方形的中心连接起来；下一步把每个小正方形再分成4个相等的正方形，然后按上述方式把其中心连接起来……如此继续不断作下去，以至无穷，也便形成了一条皮亚诺曲线.一般来说，一维的直线是不可能填满二维的平面的，但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例.谢尔宾斯基三角形垫片1915～1916年，波兰数学家谢尔宾斯基构造了这样一种图形：将边长为1的等边三角形均分成四个小等边三角形，去掉中间的一个小等边三角形，再对其余3个小等边三角形进行相同操作，这样操作继续下去直至无穷，所得图形称为谢尔宾斯基三角形垫片. 我们可以发现，剩下的三角形面积在不断操作下趋近于零，但它的周长却趋近于无限大.谢尔宾斯基地毯谢尔宾斯基地毯的构造与谢尔宾斯基三角形相似，区别仅在于谢尔宾斯基地毯是以正方形而非等边三角形为基础的. 将一个实心正方形划分为3×3的9个小正方形，去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯.门杰海绵与谢尔宾斯基金字塔奥地利数学家门杰从三维的单位立方体出发，用与构造谢尔宾斯基地毯类似的方法，构造了门杰海绵（1999年以前，大部分分形著作中，均误称之为谢尔宾斯基海绵）；谢尔宾斯基用与构造谢尔宾斯基三角形垫片类似的方法，构造了谢尔宾斯基金字塔. 这是两座宏伟的集合大厦，里面有无数的通道，连接着无数的门窗. 这种“百孔千窗”、“有皮没有肉”的结构的表面积是无穷大，它们是由反复挖去一拨比一拨小的立体所生成，是化学反应中催化剂或阻化剂最理想的结构模型.海岸线有多长1967年，数学家曼德尔布罗在著名的《科学》杂志上发表了一篇奇怪的文章《英国的海岸线有多长》，使人们大吃一惊. 原来海岸线长度不是一个固定不变的数值. 海岸线的长短取决于人们所用的尺. 如果用1千米的尺子测量，小于1千米的弯弯曲曲的海岸线便会被忽略；如果用1米的尺子测量，便会增加许多弯曲的部分，海岸线必然大大增大；如果让蜗牛来测量，海岸线必然大得惊人.曼德尔布罗波兰裔法国数学家曼德尔布罗是分形几何的创始人. 他的科学兴趣极其广泛，具有极强的创造能力和形象思维能力，利用计算机开创了一门崭新的分形几何学.。

几何里的艺术家——分形几何几何不仅仅是数学中的一个概念，它也是艺术中的一种灵感源泉。

而分形几何则将几何之美发挥到了极致，成为了一种兼具科学和艺术特质的美学形式。

在分形几何的世界里，数学的精密和艺术的想象交织在一起，勾勒出了独特的美丽景观。

本文将带领读者一起探索几何里的艺术家——分形几何。

1. 分形几何的起源分形几何一词最早由法国数学家贝诺瓦·曼德博特在1975年提出。

分形一词源于拉丁文“fractus”，意为碎片、断裂。

在数学上，分形是指一种具有自相似性的几何形态，即整体的部分在不同尺度上都与整体类似。

这种自相似性使得分形几何成为了一种富有美感和艺术感的数学形式。

分形几何得到了诸多科学和艺术领域的关注，成为了一种跨学科的研究领域。

2. 分形几何和艺术在艺术领域，分形几何为艺术家们带来了无限的灵感。

通过计算机技术和数学算法，艺术家们可以创造出种种奇妙的分形图像，这些图像既具有科学的精密性，又富有艺术的想象力。

分形艺术作品常常展现出几何的美感和图案的丰富多样性，在细节的赏析上更是令人叹为观止。

分形艺术作品已经成为了一种独特的艺术风格，吸引了众多艺术家和观众的关注。

3. 分形几何的应用除了在艺术领域中发挥重要作用之外，分形几何在科学领域中也有着广泛的应用。

在物理、生物、地质等领域，分形几何被用来研究复杂系统的形态和特性。

分形几何的自相似性和分形维度等特性，为科学家们提供了一种独特的研究方法，帮助他们理解和解释自然界中的复杂现象。

分形几何的应用范围正在不断拓展，有望成为解决复杂问题的重要工具。

4. 分形几何与人类文化分形几何不仅仅是一种数学形式，它还深刻地影响着人类文化的发展。

在建筑、绘画、音乐等领域，分形几何都留下了深远的痕迹。

建筑设计师们常常运用分形几何的原理来设计出富有美感和结构稳定性的建筑物；绘画艺术家们则通过分形几何的图案来展现出作品的纷繁多样；音乐创作家们也借助分形几何的节奏和和谐结构来创作富有艺术感的音乐作品。

数学的分形几何分形几何是一门独特而迷人的数学领域，它研究的是自相似的结构和形态。

分形几何的概念由波蒂亚·曼德博（Benoit Mandelbrot）在1975年首次提出，之后得到了广泛应用和发展。

本文将介绍分形几何的基本概念和应用领域，旨在帮助读者更好地了解这一令人着迷的学科。

一、分形几何的基本概念分形（fractal）是一种非几何形状，具有自相似的特点。

简单来说，分形就是在各个尺度上都具有相似性的图形。

与传统的几何图形相比，分形图形更加复杂、细致，其形状常常无法用传统的几何方法进行描述。

分形几何的基本概念包括分形维度、分形特征和分形生成等。

1. 分形维度分形维度是分形几何中的重要概念之一。

传统的几何图形维度一般为整数，如直线的维度为1，平面的维度为2，而分形图形的维度可以是非整数。

分形维度能够描述分形的复杂程度和空间占据情况，是衡量分形图形特性的重要指标。

2. 分形特征分形几何的分形特征是指分形图形所具有的一些独特性质。

其中最著名的就是自相似性，即分形图形在不同尺度上具有相似的形态和结构。

此外，分形图形还具有无限的细节，无论放大多少倍都能够找到相似的结构。

3. 分形生成分形图形的生成是分形几何中的关键问题之一。

分形图形可以通过递归、迭代等方式进行生成，比如著名的分形集合——曼德博集合就是通过迭代运算得到的。

分形生成的过程常常需要计算机的辅助，对于不同的分形形状，生成算法也有所不同。

二、分形几何的应用领域分形几何的独特性质使其在许多领域中得到广泛应用。

以下列举了几个典型的应用领域。

1. 自然科学分形几何在自然科学中有着广泛的应用。

例如，分形理论可以用来研究自然界中的地形、云雾形态等。

通过分形几何的方法，我们能够更好地理解和描述自然界的复杂性，揭示出隐藏在表面之下的规律。

2. 经济金融分形几何在经济金融领域也有着重要的应用。

金融市场的价格走势往往具有分形特征，通过分形几何的方法可以更好地预测未来的市场走势和波动。

数学分形几何
数学分形几何是一门非常有趣的数学分支，它研究的是自相似的图形和形态。

分形几何的研究源于20世纪70年代，由于它的特殊性质和广泛应用，在数学、自然科学、计算机科学、艺术等领域都有很多的应用。

在分形几何中，我们可以看到许多具有吸引力的形状，例如谢尔宾斯基三角形、科赫曲线、曼德勃罗集等等。

这些形状都具有自相似的性质，即它们的局部结构和整体结构非常相似。

除了美丽的图形之外，分形几何还有很多应用。

例如，在天气预报中，我们可以使用分形图形来预测天气的变化；在医学图像处理中，我们可以使用分形几何来处理医学图像中的噪声；在金融领域中，我们也可以使用分形几何来研究股票价格的变化等等。

总之，数学分形几何是一门有趣且实用的学科，它不仅能让我们欣赏美丽的图形，还能为我们解决实际问题提供帮助。

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“极客”一词，来自于美国俚语“geek”的音译，一般理解为性格古怪的人。

数学“极客”大多是指，并不一定是数学专业但又对数学等技术有狂热的兴趣并投入大量时间钻研的人。

所谓的“分形”本意是指“破碎、不规则”，在“分形几何”中指的是不规则复杂现象中的秩序和结构。

因此，“分形几何”就是研究无限复杂但具有一定意义的自相似图形和结构的几何学。

所谓“分形艺术”图就是利用数学方法通过计算机程序进行无数次运算最终形成的分形艺术图案。

曼德尔球极客们把图中的球状物称为“曼德尔球”(Mandelbulb)，该名称来源于分形几何的创始人曼德尔布罗特(Mandelbrot)。

这个三维图就是由一个原始球体经过一种迭代算法而产生。

极客们将原始球体上各点的三维数据运用同一方程进行无数次的重复运算就得到了这个“曼德尔球”结构。

这一过程与二维“曼德尔布罗特”集合的形成过程相似。

曼德尔布罗特三维结构丹尼尔-怀特是一位分形艺术爱好者，也是这组作品的创作者之一。

他认为，这组作品并不仅仅是三维“曼德尔布罗特”集合，它们比普通的三维“曼德尔布罗特”集合看起来更美丽、更迷人。

怀特指出，他们所有的原始方程中，只有一部分可以产生如此迷人的三维图，有些原始方程只有在进行至少2次方运算之后才可以产生一些迷人的效果。

普通人从本图中根本找不出它的规律所在。

8次方运算结果如果将原始方程进行8次方运算，就可能会得到更细致、更美丽的图案，甚至连怀特等人都无法解释为什么会形成如本图所示的美妙图案。

曼德尔布罗特蛋糕怀特等人在这些作品上花费了大量的精力。

他们将这些作品无限放大，致力于寻找更为有趣的结构。

图中这个造型很像是一种法国奶油蛋糕，因此怀特把它称之为“曼德尔布罗特蛋糕”。

地质结构即使是单方程，只要经过数千次的迭代运算，同样也可以产生一个完整的结构。

比如本图所示的结构，看起来就像是人类已发现的某行星表面的地质结构。

巴洛克风格许多时候，甚至连怀特等人都会惊讶于曼德尔球内部结构的复杂性。

什么是分形几何？ 1973年，曼德勃罗〔B.B.Mandelbrot〕在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。

分形〔Fractal〕一词，是曼德勃罗创造出来的，其愿意具有不规那么、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规那么几何形态为研究对象的几何学。

由于不规那么现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。

分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。

分形几何与传统几何相比有什么特点⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规那么的。

例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规那么的。

⑵在不同尺度上，图形的规那么性又是相同的。

上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。

当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。

其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。

什么是分维？在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。

也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。

分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。

为了定量地描述客观事物的〝非规那么〞程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。

将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为假设干个相似的图形。

其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。

一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：a^D=b, D=logb/loga的关系成立，那么指数D 称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。

几何里的艺术家——分形几何分形几何是一门结合数学和艺术的学科，它研究自相似性和无限重复的图形。

分形是一种可以通过递归运算生成的图形，其每个部分都与整体具有相似的形状和属性。

分形几何广泛应用于自然界、科学、艺术和计算机图形学等领域。

分形几何的概念最早由波兰数学家曼德博勒特·曼德博勒特于20世纪70年代提出。

他通过迭代运算生成了一种被称为“曼德博集合”的分形图形，该图形具有无限复杂的细节和自相似性。

曼德博勒特的研究成果开创了分形几何的研究领域，吸引了许多科学家和艺术家的关注。

分形几何的魅力在于它展现了自然界中许多复杂的形态和规律。

分形几何可以用来描述云朵、山脉、树木、海岸线等自然景观的形状和纹理。

这些自然景观往往具有层次分明、规则重复的结构，正是分形几何的特点所能很好地解释和模拟这种现象。

在艺术领域，分形几何为艺术家们提供了一种新的创作方式和表现手法。

艺术家可以使用分形生成软件来创作出具有分形特征的艺术作品。

这些作品通常具有随机性、复杂性和自相似性，给观者带来一种与众不同的观感和感官体验。

分形艺术常常被赋予一种神秘、浪漫和超现实的风格，使人沉浸其中。

分形几何的应用还扩展到计算机图形学和图像处理领域。

分形图形可以被用来生成真实感模拟、虚拟现实和特效动画。

通过分形算法，计算机可以生成具有高度精细化和无限细节的图像，使得图像更加逼真、生动，并且可以实现无尽的变化。

除了在科学、艺术和计算机图形学中的应用，分形几何还对理解自然界的一些现象和规律具有重要意义。

分形几何揭示了许多自然界中的分形结构，如闪电、河流、植物的分枝、肺部的支气管等。

了解并研究这些自然现象的分形特征，对于深入理解它们的内在规律和运行机制具有重要意义。

分形几何是一门有着深厚学术背景和广泛应用前景的学科。

它不仅仅是一门数学理论，更是一门艺术表现和探索自然界的工具。

通过分形几何的研究和应用，人们可以更好地理解自然现象、创造艺术作品、设计复杂图形和模拟现实世界。

分形几何学的原理及应用分形几何学是一种不断重复自己的几何形状，被广泛应用于自然科学、工程、计算机科学等领域。

它不仅仅是数学学科，更是对事物的抽象和描述，可以解释自然界中那些看似无序的形状和现象。

本文将主要介绍分形几何学的原理和应用。

一、分形几何学的原理分形几何学最重要的原理是不断重复。

我们知道，自然界里的一些事物，比如云彩、海岸线、树枝等都呈现出相似模式不断重复的形状，这样的形状可以用分形几何学来描述。

在数学上，分形被定义为那些能通过改变尺度来自我复制的形状。

这种形状的特殊之处在于，无论怎样放大或缩小，它们都会保持相似性，这就是所谓的“自相似性”。

此外，分形几何学还有一个重要的原理是分形维数。

一般来说，维数是我们用来描述空间的一个概念，例如，在传统几何学中，一个点的维度为0，一条线段的维度为1，一个平面的维度为2。

但是在分形几何学中，物体的维度既可以是非整数，也可以是分数，这种维度被称为分形维数。

分形维数的计算方法不同于传统的几何形状，需要更加灵活和创新的思想方式。

二、分形几何学的应用1. 自然科学分形几何学在自然科学中的应用是非常广泛的。

例如，地理学界的海岸线研究常常使用分形维数来描述。

因为海岸线具有自我相似性，以前使用传统的测量方法可以得出各种不同的结果。

但是使用分形维数能够得到更加准确和稳定的结果。

另外，在生物学中，分形几何学也得到了很好的应用。

例如，人体内部的支气管和血管系统都具有分形结构。

分形几何学可以帮助研究这种结构的特点，这在很多医学问题中都是非常重要的。

2. 工程学分形几何学在工程学中的应用也非常广泛。

例如，结构工程中的分野纹理研究就需要使用分形维数，来帮助设计出更加可靠和安全的结构。

再比如，在城市规划方面，使用分形几何学来研究交通网络的结构和城市的空间分布规律。

这样可以优化城市的规划和设计，更好地满足人们的需求。

3. 计算机科学分形几何学在计算机科学领域也有着广泛的应用。

比如，计算机图形学中，分形几何学可以被用来生成虚拟现实世界中的山川湖海等自然景观，让人们可以更真实地感受到虚拟世界的美妙。

分形几何学分形几何学——这门被许多学者引用的一门新兴学科，它是自然界奥妙的美丽记号。

分形几何学发源于人们对Burgess复形的惊叹，这个奇特的复形是正态分布之后的第四种分布，称为负五十度分布。

最初人们将它理解为正态分布的一个特例，但后来又逐渐把它与正态分布、负四十五度分布和三十七度分布等联系起来。

它是自然界奥妙的美丽记号。

这些分形图谱经过随机的计算得到它们自身的分形维数，它的高分辨率能让你细致地观察出它们的细微差别，而在计算时我们仅考虑到两维的情况。

这里有许多不同尺寸的分形图，这些图谱上的分形点都位于不同大小的区域中，有的围成整圆，有的堆积成山峰，有的又聚集成了复杂的图案。

从正态分布中脱颖而出的负五十度分布看似很小，却拥有巨大的魅力。

当然，每个人都能制作出各种复杂的分形图，可我觉得，它们无一例外都有一些相似之处，比如在这些图中，不同分形图上的图案虽然不同，但图案总是很像，很神奇。

比如说，在这张图中，两个由不同形状的点构成的图形似乎看上去很像，一个更像是一张笑脸，另一个则像是在尖叫，就好像“狗头金”那样，只不过是其他图案变换了而已。

在进行天体演化学研究时，我也喜欢使用分形几何学。

以前在很多课本上我都见到过关于天体演化的例子，在太阳系诞生后，最初，太阳内部的氢会变成氦，氦再合成碳，最后还会合成氧……由此，太阳大约在100亿年左右膨胀成为现在的太阳，大约在50~70亿年的时间内又重新收缩成现在的状态。

我国古代曾预言，它要膨胀为现在的模样，并且只需25亿年的时间就够了，而现在的结果却是70亿年。

我认为这很可能是由于某种未知因素造成的。

有人说，这或许是“火山爆发”，可地球上并没有这种剧烈的活动，并且连火山喷发的周期也刚好符合计算结果。

所以，我认为这有可能是天体内部原因造成的。

19世纪中叶，英国剑桥大学教授提出，我们周围的空间可能是三维的，他将这种理论命名为“分形几何”。

尽管如此，那时人们还没有清楚地认识到它的存在。