初中数学竞赛专题选讲《配方法》

初中数学竞赛专题讲解配方法把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。

配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。

运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。

熟悉以下基本等式：1.222)(2b a b ab a ±=+±2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++；3.[]222222)()()(21a c c b b a ca bc ab c b a ±+±+±=±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++ 一、基础过关：1.因式分解：44x +=________________________________________2.=_______________________________3.代数式222a a +-的最小值为多少？4.求方程222450x y x y ++-+=的解,x y5.已知20172018a x =+，20172019b x =+，20172020c x =+，则多项式 222a b c ab bc ca ++---的值为多少？6.若12123y z x +--==，则222x y z ++的最小值为多少? 二、例题讲解例1.因式分解：222241a b a ab b -+-+练习1：在ABC ∆中，,,a b c 为ABC ∆的三条边，且满足444222212a b c a c b c ++=+，试判断ABC ∆的形状练习2：因式分解 ①4224x x y y ++ ； ②222669x xy y x y -+-++； ③42221x x ax a +--+例2.化简下列二次根式： ①347+； ②32-； ③223410+-.练习2：（1）化简： （2练习3：如果a =45x <<时，求a 的值练习4：若152a b c +-=-，则a b c ++的值为多少？例3.求下列代数式的最大或最小值：①22101x x ++； ②2112x x -+-练习1：已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为练习2：设,a b 为实数，那么222a ab b a b ++--的最小值是多少？练习3：若,,a b c 满足2229a b c ++=，代数式()()()222a b b c c a -+-+-的最大值是 多少？练习4：正实数,,x y z 满足10xy yz +=，则22254x y z ++的最小值为多少练习5：已知实数,,x y z 满足2623x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩求222x y z ++的最小值例4.解下列方程：①422210x x xy y -+++=； ②222624100x xy x y y +++++=练习1：已知24,40a b ab c -=++=，则a b c ++的值为多少？练习2：已知,,,a b c d 都为正数，且满足44444a b c d abcd +++=，求证：a b c d ===练习3：已知实数,,x y z 满足25,9x y z xy y +==+-，求23x y z ++的值练习4：已知,,a b c 是ABC ∆的三边长，且满足222222222,,111a b c b c a a b c ===+++，试求ABC ∆的面积练习5：已知,x y 为实数，且22422y x xy y ++≤+，求x y +的值练习6：已知0a b >>，且226a b ab +=，则a b a b+-的值为多少？例5：求方程22410160x y x y +-++=的整数解练习1：已知a 是正整数，且a a 20042+是一个正整数的平方，求a 的最大值。

第二讲 配方法一、 方法与技巧1、配方法：把代数式通过直接变形或分拆重组、添补重组、组合重组等手段，得到完全平方式，再利用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，从而求解出问题的结果，这重解题方法称之为配方法。

2、配方法的作用：配方法的作用在于改变代数式的原有结构形式，是代数变形的重要方式之一。

配方法的实质在于挖掘题设的隐含条件来创建非负数性质。

3、配方法的用途：①解一元二次方程；②二次函数；③因式分解；④二次根式化简求值；⑤有关最大或最小值。

4、常用的配方法：①直接配方；②分拆、填补、重组配方。

二、题型题型一 用配方法求值1、已知251,251+=-=b a ，则722++b a 的值为（ ）A 、6B 、5C 、4D 、32、已知21,19,20+=+=+=y c y b y a ，则代数式ac bc ab c b a ---++222的值是（ ）A 、4B 、3C 、2D 、13、已知实数a 、b 、c 满足,142,238,176222=+-=+-=+a c c b b a 则c b a ++的值为（ ）A 、-8B 、-7C 、-6D 、-54、已知21,212222-=-+=-c b b a ，则222222444a c c b b a c b a ---++的值为（ ）A 、5B 、6C 、7D 、85、已知实数a 、b 、x 、y 满足5,3=-=+bx ay by ax ，则代数式()()2222y x b a ++的值为（ ）A 、33B 、34C 、35D 、-35 题型二 用配方法解方程1、若062322322323=-+++++-b ab a ba b ab a ，则a= . 2、关于x 的方程()0112=+--x k kx 有有理根，则整数k 的值为 。

题型三 用配方法求最值1、已知1214522+---+=y x xy y x z ，则z 的最小值为 。

配方法把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。

配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。

运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。

熟悉以下基本等式：1.222)(2b a b ab a ±=+±2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++； 3.[]222222)()()(21a c cb b a ca bc ab c b a ±+±+±=±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++ 【例1】已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为（镇江市中考题）思路点拨 把y 用x 的式子表示，通过配方法求出y x +的最大值。

【例2】已知c b a 、、，满足722=+b a ，122-=-c b ， 1762-=-a c ，则c b a ++的值等于（ ）A.2B.3C.4D.5（河北省竞赛题）思路点拨 由条件等式的特点，从整体叠加配方入手【例3】已知a 是正整数，且a a 20042+是一个正整数的平方，求a 的最大值。

（北京市竞赛题）思路点拨 设222004m a a =+（m 为正整数），解题的关键是把等式左边配成完全平方式。

【例4】已知c b a 、、是整数，且01,422=-+=-c ab b a ，求c b a ++的值（浙江省竞赛题）【例5】若y x 、是实数，且y x y xy x m 446422--+-=，确定m 的最小值（北京市竞赛题）分析与解 选择x 为主元，将条件等式重新整理成x 的二次三项式，利用配方求m 的最小值。

练习1.设mn n m n m 4,022=+>>，则mnn m 22-的值等于（ ）A.32B.3C.6D.3（2011年南通市中考题）2.已知m m Q m P 158,15172-=-=（m 为任意实数），则Q P 、的大小关系为（ ） A.Q P > B.Q P = C.Q P < D.不能确定（泰州市中考题）3.若实数z y x 、、，满足0))((4)(2=----z y y x z x ，则下列式子一定成立的是（ ）A.0=++z y xB.02=-+z y xC.D.02=-+y x z（2011年天津市中考题）4.化简2121722321217223---++的结果是（ ） A.2 B.2- C.2 D.2-（2011年江西省竞赛题）5.已知实数c b a 、、满足016,72=++++=+-c b bc ab c b a ，则ab的值等于 （天津市竞赛题）6.当2>x 时，化简代数式1212--+-+x x x x 得（“希望杯”邀请赛试题）7.已知z y x 、、为实数，且满足52,352-=--=-+z y x z y x ，则222z y x ++的最小值为 。

初中数学《配方法》教案维语第一章节：配方法的引入1.1 教学目标让学生理解配方法的概念和意义。

引导学生通过具体例子探索配方法的应用。

培养学生运用配方法解决问题的能力。

1.2 教学内容配方法的定义和意义配方法的基本步骤配方法在实际问题中的应用1.3 教学过程1. 引入：通过一个实际问题，引导学生思考如何将问题转化为完全平方形式。

2. 讲解：介绍配方法的定义和意义，讲解配方法的基本步骤。

3. 练习：让学生通过具体例子练习使用配方法，解决问题。

1.4 教学评价通过课堂练习和作业，评价学生对配方法的理解和应用能力。

第二章节：配方法的基本步骤2.1 教学目标让学生掌握配方法的基本步骤。

培养学生运用配方法解决问题的能力。

2.2 教学内容配方法的第一步：确定完全平方公式配方法的第二步：移项配方法的第三步：补全平方2.3 教学过程1. 复习：回顾上一章节的内容，引导学生回顾配方法的定义和意义。

2. 讲解：讲解配方法的基本步骤，通过具体例子进行解释。

3. 练习：让学生通过具体例子练习使用配方法的基本步骤。

2.4 教学评价通过课堂练习和作业，评价学生对配方法的基本步骤的理解和应用能力。

第三章节：配方法在实际问题中的应用3.1 教学目标让学生理解配方法在解决实际问题中的应用。

培养学生运用配方法解决实际问题的能力。

3.2 教学内容配方法在解决线性方程中的应用配方法在解决二次方程中的应用3.3 教学过程1. 引入：通过一个实际问题，引导学生思考如何使用配方法解决问题。

2. 讲解：讲解配方法在解决线性方程和二次方程中的应用。

3. 练习：让学生通过具体例子练习使用配方法解决实际问题。

3.4 教学评价通过课堂练习和作业，评价学生对配方法在实际问题中的应用能力的理解。

第四章节：配方法的扩展与深化4.1 教学目标让学生理解配方法在更复杂问题中的应用。

培养学生运用配方法解决更复杂问题的能力。

4.2 教学内容配方法在解决多项式问题中的应用。

七年级下册配方法竞赛题配方法是把一个代数式经过变化成一个完全平方式或含有完全平方式的代数式形式。

这种变化的手段在解决初中数学问题时有着广泛的应用。

1. 用配方法分解因式例1. 分解因式分析：观察题目发现中间项系数如果为2时，即符合公式。

由此可考虑使用配方法解决。

解：原式2. 用配方法化简求值例2. 已知。

求的值。

分析：本题若把x，y直接代入较为复杂。

但用配方法将代数式适当变形，则可简化运算。

解：原式3. 用配方法确定代数式的最值例3. 当x变化时，分式的最小值是_________。

分析：因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真分式的形式表示，通过配方确定最小值。

解：原式故当时，原式有最小值4。

4. 用配方法证明等式例4. 已知。

求证。

分析：初看本试题较为复杂，若将已知方程左边拆开重组，进行配方变形，然后由非负数性质，便可找出其中奥妙。

证明：由非负数的性质，得且，5. 用配方法解方程有关问题例5. 已知，在斜边为10的直角三角形中，两直角边a、b是方程的两个根。

求m的值。

分析：本题可由一元二次方程根与系数的关系及勾股定理得出相应的关系式，进行配方变形后整体代入即可。

解：依题意，得由（3），得，将（1）、（2）代入（4），则解得（不合题意，舍去），6. 用配方法解决二次函数有关问题例6. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多销售2件，问：每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？分析：实际生活中的问题，往往可以通过建立适当的函数关系式，求函数的最值来解决。

而求函数最值是通过配方法来完成的。

本试题中“平均每日盈利”是“每件衬衫售价”的函数，故考虑用函数来解决。

解：设每件衬衫降价x元时，商场平均每天盈利y元。

则当5时，答：略。

思考与练习：1. 在实数范围内解方程。

初中数学竞赛专题［配方法］一、内容提要1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2土2ab+b2写成完全平方式(a土b) 2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：①由a +b配上2ab, ②由 2 ab 配上a +b ,③由a2土2ab配上b2.2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：①用完全平方式来因式分解例如：把x4+4因式分解.2 2 2 2 2母乱=x +4 + 4x — 4x =(x +2) — 4x = ...........这是由a2+b2配上2ab.②二次根式化简常用公式：福|a ,这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简、一5一2 6.我们把5-2*写成2 - 2逐+ 3=(克V - ^ 2^3 + (V3)2=(V2 —V3 ).这是由2 ab配上a2+b2.③求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即a >0, .,•当a=0时, a2的值为0是最小值.例如：求代数式a2+2a — 2的最值... a2+2a— 2= a2+2a+1 - 3=(a+1) 2- 3当a=— 1时,a +2a— 2有最小值—3.这是由a2土2ab配上b2④有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如：：求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x, y.解：方程x2+y2+2x-4y+1 + 4= 0.配方的可化为(x+1) 2+(y - 2) 2=0.要使等式成立，必须且只需x 1 0y 2 0x 1 y2解得此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.二、例题2 2 2 2例 1.因式分解：a b —a +4ab— b +1.解：a b — a +4ab — b +1 = a b +2ab+1+( — a +2ab — b ) (折项，分组)=(ab+1 ) 2 - (a - b)：(配方)= (ab+1+a-b ) (ab+1-a+b) (用平方差公式分解)本题的关键是用折项，分组，树立配方的思想^例2.化简下列二次根式：①J7 5 ；②*2焰；③了10时3 2豆. 解：化简的关键是把被开方数配方①(7 4>/3 = J4 2 2/3 3 = J(2 V3)2=2 < 3 = 2 + 43.②户=居=疗=\吁<2（73 1）=无V2 2 . 2③\；10 4^3 2龙=寸10 4》（。

专题 25 配方法阅读与思考把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧.配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有：1、2222()a ab b a b ±+=±2、2a b ±=3、2222222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2222221[()()()]2a b c ab bc ac a b b c a c ++---=-+-+- 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：(1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如2a = 能联想起配方法.(2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.例题与求解【例1】 已知实数x ，y ，z 满足25,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x ， y 的值.【例2】 若实数a ，b ， c 满足2229a b c ++= ，则代数式222()()()a b b c c a -+-+- 的最大值是 ( )A 、27B 、18C 、15D 、12(全国初中数学联赛试题)解题思路：运用乘法公式 ，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质； (1) 非负数的最小值为零；(2) 有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.【例3】 已知152a b c +--， 求a + b + c 的值. 解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确定未知量的值呢？不妨用配方法试一试.复合根式的化简，含多元的根式等式问题，常常用到配方法.【例4】 证明数列49，4489， 444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.解题思路：2222497,448967,444889667,444488896667==== ，由此可猜想2144448889(66661)n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+ ，只需完成从左边到右边的推导过程即可.几个有趣的结论： (1) 21444488889(66661)n nn+=+(2) 21111155556(33331)n nn+=+这表明：只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个.【例5】 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．(全国初中数学联赛试题)解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.【例6】 已知自然数n 使得21991n n -+ 为完全平方数，求n 的值.(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：原式中n 的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.能力训练1=_________.(“希望杯”邀请赛试题)2、已知2222()30a b c a b c ++-+++= ，则3333_________a b c abc ++-=.3、x ，y 为实数，且22422y x xy y ++≤+ ，则x + y 的值为__________.4、当x ＞2，得___________.5、已知224121049m x xy y y =-+++ ，当x =________，y =______时，m 的值最小.(全国通讯赛试题)6、若22221076,51M a b a N a b a =+-+=+++ ，则M －N 的值 ( )A 、负数B 、正数C 、非负数D 、可正可负7的值为 ( )A 、1BC 、D 、(全国初中数学联赛试题)8、设a ，b , c 为实数，2222,2,2362x a b y b c z c a πππ=-+=-+=-+，则x ，y ，z 中至少有一个值 ( )A 、大于零B 、等于零C 、不大于零D 、小于零(全国初中数学竞赛试题)9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n 为自然数)的是( )A 、2333n n -+B 、2444n n ++C 、2555n n -+ D 、2777n n -+ E 、2111111n n -+10、已知实数a ，b ， c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=- ，则a + b + c 的值等于 ( )A 、2B 、3C 、4D 、5(河北省竞赛试题)解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：设x 1，x 2，x 3,… x n 为实数. (1) 若120n x x x ⋅⋅⋅= 则x 1，x 2，x 3,… x n 中至少有(或存在)一个为零； (2) 若120n x x x +++>，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个大于零； (3) 若120n x x x +++<，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个小于零.11、解方程组222222212121z x z x y x y z y⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩ (苏州市竞赛试题)12、能使2256n+ 是完全平方数的正整数n 的值为多少？(全国初中数学联赛试题)13、已知b a >，且()()243aa b a ab b b+++-+= ，a ，b 为自然数，求a ，b 的值. (天津市竞赛试题)13、设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ ，求a ，b 的值.(全国初中数学联赛试题)14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y 与房间单价x 之间存在如图所示的一次函数关系.(1) 根据图象求y 与x 之间的函数关系式(0＜x ＜160)；(2) 从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？。

配方法（一）北师大版数学九年级上册第二章 一元二次方程一、教学目标知识与技能目标:1、 会用直接开平方法解形如：（x+m ）2= n(n ≥0)的一元二次方程；2、理解配方法的思想，掌握用配方法解形如02=++q px x 的一元二次方程;3、 能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。

过程与方法目标:通过利用配方法将一元二次方程变形的过程，体会“等价转化”的数学思想方法。

情感与态度目标：培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。

二、教学重、难点教学重点：运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

教学难点：发现与理解配方的方法。

三、教学方法：启发—探究式的教学方法。

四、教学准备：多媒体、投影仪教学设计说明配方法是数学教学的重要内容和数学学习的主要思想方法。

在传统的教学课型中，基本上是以教师讲解为主，学生练习为辅的教学方式进行，学生的思维发展受到了一定的限制。

在我的教学设计中，打破了这一传统教学方式，在教材的处理上，既要注意到新教材、新理念的实施，又要考虑到传统教学优势的传承，使自主探究、合作交流的学习方式与数学知识的牢固掌握、灵活应用有机结合。

新教材从“我们一起走进数学，让数学走进生活”的新视角来领略数学的风采和魅力，突出数学的实际运用。

所以，在教学设计中，力求将解方程的技能训练与实际问题的解决融为一体，在解决实际问题的过程中提高学生的解题能力。

为此，在知识引入阶段，创设了一个实际问题的情境，通过解决这一实际问题，既让学生感受到生活处处有数学，又能使学生利用已有的平方根的知识解决问题，体会到成功的喜悦。

通过引导学生观察方程的特点，归纳出形如：（x+m）2= n (n≥0)的形式的方程，可以利用直接开平方来解。

为了突破本节的教学难点：发现和理解配方的方法，在教学中主要以启发学生进行探究的形式展开，目的是想通过学生对方程解法的探索，能够体会和联想到完全平方公式，从而对配方法的完全理解。

所以在知识的探索阶段，设计了几个既有联系又逐步递进的方程：x2+4x+4=25， x2+12x-15=0 ，x2+px+q=0，本课的重点放在探究这几个方程的解法上，让学生从特殊方程的配方法进而转化到一般化的一元二次方程的配方，归纳出配方法的基本方法，这也体现了数学教学中从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程。