初中数学竞赛专题选讲-配方法(含答案)

初中数学竞赛专题讲解配方法把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。

配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。

运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。

熟悉以下基本等式：1.222)(2b a b ab a ±=+±2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++；3.[]222222)()()(21a c c b b a ca bc ab c b a ±+±+±=±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++ 一、基础过关：1.因式分解：44x +=________________________________________2.=_______________________________3.代数式222a a +-的最小值为多少？4.求方程222450x y x y ++-+=的解,x y5.已知20172018a x =+，20172019b x =+，20172020c x =+，则多项式 222a b c ab bc ca ++---的值为多少？6.若12123y z x +--==，则222x y z ++的最小值为多少? 二、例题讲解例1.因式分解：222241a b a ab b -+-+练习1：在ABC ∆中，,,a b c 为ABC ∆的三条边，且满足444222212a b c a c b c ++=+，试判断ABC ∆的形状练习2：因式分解 ①4224x x y y ++ ； ②222669x xy y x y -+-++； ③42221x x ax a +--+例2.化简下列二次根式： ①347+； ②32-； ③223410+-.练习2：（1）化简： （2练习3：如果a =45x <<时，求a 的值练习4：若152a b c +-=-，则a b c ++的值为多少？例3.求下列代数式的最大或最小值：①22101x x ++； ②2112x x -+-练习1：已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为练习2：设,a b 为实数，那么222a ab b a b ++--的最小值是多少？练习3：若,,a b c 满足2229a b c ++=，代数式()()()222a b b c c a -+-+-的最大值是 多少？练习4：正实数,,x y z 满足10xy yz +=，则22254x y z ++的最小值为多少练习5：已知实数,,x y z 满足2623x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩求222x y z ++的最小值例4.解下列方程：①422210x x xy y -+++=； ②222624100x xy x y y +++++=练习1：已知24,40a b ab c -=++=，则a b c ++的值为多少？练习2：已知,,,a b c d 都为正数，且满足44444a b c d abcd +++=，求证：a b c d ===练习3：已知实数,,x y z 满足25,9x y z xy y +==+-，求23x y z ++的值练习4：已知,,a b c 是ABC ∆的三边长，且满足222222222,,111a b c b c a a b c ===+++，试求ABC ∆的面积练习5：已知,x y 为实数，且22422y x xy y ++≤+，求x y +的值练习6：已知0a b >>，且226a b ab +=，则a b a b+-的值为多少？例5：求方程22410160x y x y +-++=的整数解练习1：已知a 是正整数，且a a 20042+是一个正整数的平方，求a 的最大值。

第二十四讲 配方法的解题功能 把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．运用配方法解题的关键是恰当地“配凑”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．例题求解【例1】已知有理数x ，y ，z 满足)(2121z y x z y x ++=-+-+，那么(x —yz)2的值为 ． (北京市竞赛题) 思路点拨 三元不定方程，尝试从配方法人手．【例2】 若32211-=+=-z y x ，则222z y x ++可取得的最小值为( ) A ．3 B ．1459 C ．29 D ．6 (武汉市选拔赛试题)思路点拨 通过引参，设k z y x =-=+=-32211，把x ，y ，z 用k 的代数式表示，则222z y x ++转化为关于k 的二次三项式，运用配方法求其最小值．【例3】怎样的整数a 、b 、c 满足不等式：c b ab c b a 233222++<+++．(匈牙利数学奥林匹克试题)思路点拨 一个不等式涉及三个未知量，运用配方法试一试．【例4】 求方程m 2－2mn+14n 2=217的自然数解． (上海市竞赛题)思路点拨 本例是个复杂的不定方程，由等式左边的特点，不难想到配方法．【例5】求实数 x 、y 的值，使得(y －1)2+(x+y －3)2+(2x+y －6)2达到最小值．(全国初中数学联赛试题)思路点拨 展开整理成关于x(或y)的二次三项式，从配方的角度探求式子的最小值，并求出最小值存在时的x 、y 的值．【例6】 为了美化校园环境，某中学准备在一块空地(如图，矩形ABCD ，AB=10m ，BC=20m)上进行绿化，中间的一块(图中四边形EFGH)上种花，其他的四块(图中的四个直角三角形)上铺设草坪，并要求AC ＝AH=CF=CG ，那么在满足上述条件的所有设计中，是否存在一种设计，使得四边形EFGH (中间种花的一块)面积最大?若存在，请求出该设计中AE 的长和四边形EFGH 的面积；若不存在，请说明理由．(2温州市中考题)思路点拨 这是一道探索性几何应用题，解题的关键是代数化．设AE=AH=CF=CG=xm ，则BE=DG=(20－x)m ，四边形E FGH 的面积可用x 的代数式表示，利用配方法求该代数式的最大值．注 配方的对象具有多样性，数，字母、等式、不等式都可以配方；同一个式于可以有不同的配方结果，可以配一个平方式，也可以配多个平方式．配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质：(1)若有限个非负数的和为0，则每一个非负数都为零；(2)非负教的最小值为零．学历训练1．若03)(2222=+++-++c b a c b a ，则=-++abc c b a 3333 ．(2江西省中考题)2．设2122+=-b a ，2122-=-c b ，则222222444a c c b b a c b a ---++的值等于 ．( “希望杯”邀请赛试题)3．分解因式：32422+++-b a b a = ．4，已知实数 x 、y 、z 满足5=+y x ，92-+=y xy z ，那么z y x 32++= ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)5．若实数x 、y 满足052422=+--+y x y x ，则xy y x 23-+的值是（ ） A ．1 B ．223+ C ．223+ D ．2326．已知20001999+=x a ，20011999+=x b ，20021999+=x c ，则多项式ac bc ab c b a ---++222的值为( )A ．0B ．1C ． 2D ．3(全国初中数学竞赛题)7．整数x 、y 满足不等式y x y x 22122+≤++，则x+y 的值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 ( “希望杯”邀请赛试题)8．化简312213242--+为( )A ．5－43B ． 43－lC ．5D ． 1 (2003年天津市竞赛题)9．已知正整数 a 、b 、c 满足不等式c b ab c b a 8942222++<+++，求a 、b 、c 的值．(江苏省竞赛题)10．已知x 、y 、z 为实数，且满足⎩⎨⎧=+-=-+3262z y x z y x ，求222z y x ++的最小值． (第12届“希望杯”邀请赛试题)11．实数x 、y 、z 满足⎩⎨⎧=+-+-=0223362z xy y x y x ，则z y x +2的值为 ． 12．若521332412---=----+c c b a b a ，则a+b+c 的值为 ． 13．x 、y 为实数，且y xy y x 24222+≤++，则x 、y 的值为x= ，y= ． 14．已知941012422+++-=y y xy x M ，那么当x= ，y= 时，M 的值最小，M 的最小值为 ．15．已知4=-b a ，042=++c ab ，则a+b ＝( )A ．4B ．0C ．2D ．－2(重庆市竞赛题)16．设0.>>b a ，ab b a 322=+，则ba b a -+的值为( ) A ．2 B ．3 C ．2 D ．5 (江苏省竞赛题)17．若 a 、b 、c 、d 是乘积为l 的4个正数，则代数式cd bd bc ad ac ab d c b a +++++++++2222 的最小值为( )A ．0B ．4C ．8D ．1018．若实数a 、b 、c 满足9222=++c b a ，代数式222)()()(a c c b b a -+-+-的最大值是( )A ．27 D ．18 C ．15 D ．1219．已知x+y+z=1，求证：31222≥++z y x ． (苏奥尔德莱尼基市竞赛题)20．已知a>b ，且243)()(=+-+++ba b ab a b a ，a 、b 为自然数，求a 、b 的值． 21．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足b a a =+2212，c b b =+2212，a c c =+2212，试求 △ABC 的面积． 22．某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果获利润最大的产晶是第k 档次(最低档次为第一档次，档次依次随质量增加)，求k 的值． (山东省竞赛题)。

配方法把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。

配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。

运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。

熟悉以下基本等式：1.222)(2b a b ab a ±=+±2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++； 3.[]222222)()()(21a c cb b a ca bc ab c b a ±+±+±=±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++ 【例1】已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为（镇江市中考题）思路点拨 把y 用x 的式子表示，通过配方法求出y x +的最大值。

【例2】已知c b a 、、，满足722=+b a ，122-=-c b ， 1762-=-a c ，则c b a ++的值等于（ ）A.2B.3C.4D.5（河北省竞赛题）思路点拨 由条件等式的特点，从整体叠加配方入手【例3】已知a 是正整数，且a a 20042+是一个正整数的平方，求a 的最大值。

（北京市竞赛题）思路点拨 设222004m a a =+（m 为正整数），解题的关键是把等式左边配成完全平方式。

【例4】已知c b a 、、是整数，且01,422=-+=-c ab b a ，求c b a ++的值（浙江省竞赛题）【例5】若y x 、是实数，且y x y xy x m 446422--+-=，确定m 的最小值（北京市竞赛题）分析与解 选择x 为主元，将条件等式重新整理成x 的二次三项式，利用配方求m 的最小值。

练习1.设mn n m n m 4,022=+>>，则mnn m 22-的值等于（ ）A.32B.3C.6D.3（2011年南通市中考题）2.已知m m Q m P 158,15172-=-=（m 为任意实数），则Q P 、的大小关系为（ ） A.Q P > B.Q P = C.Q P < D.不能确定（泰州市中考题）3.若实数z y x 、、，满足0))((4)(2=----z y y x z x ，则下列式子一定成立的是（ ）A.0=++z y xB.02=-+z y xC.D.02=-+y x z（2011年天津市中考题）4.化简2121722321217223---++的结果是（ ） A.2 B.2- C.2 D.2-（2011年江西省竞赛题）5.已知实数c b a 、、满足016,72=++++=+-c b bc ab c b a ，则ab的值等于 （天津市竞赛题）6.当2>x 时，化简代数式1212--+-+x x x x 得（“希望杯”邀请赛试题）7.已知z y x 、、为实数，且满足52,352-=--=-+z y x z y x ，则222z y x ++的最小值为 。

配方法的题及其答案（精选3篇）以下是网友分享的关于配方法的题及其答案的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

篇一配方法及其应用初一（）班学号：_______ 姓名：____________一、配方法：将一个式子变为完全平方式，称为配方，它是完全平方公式的逆用。

配方法是一种重要的数学方法，它是恒等变形的重要手段，又是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。

配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简，何时配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方，有时也将其称为“凑配法”．配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b ) ＝a ＋2ab ＋b ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：222a 2＋b 2＝(a ＋b ) 2－2ab ＝(a －b ) 2＋2ab ；b 2⎛3⎫2⎛a ＋ab ＋b ＝(a ＋b ) －ab ＝(a －b ) ＋3ab ＝a ＋＋ b ⎪；⎝2⎭⎝2⎭2222a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝[(a ＋b ) 2＋(b ＋c ) 2＋(c ＋a ) 2]．下面举例说明配方法的应用：一、求字母的值【例1】已知a ，b 满足a ＋2b －2ab －2b ＋1＝0，求a ＋2b 的值．分析:可将含x,y 的方程化为两个非负数和为0的形式, 从而求出两个未知数的值. 解：∵a ＋2b －2ab －2b ＋1＝0，∴a ＋b －2ab ＋b －2b ＋1＝0，∴(a －b ) ＋(b －1) ＝0.∵(a －b ) ≥0，(b －1) ≥0，∴a －b ＝0，b －1＝0，∴a ＝1，b ＝1，∴a ＋2b ＝1＋2×1＝3，∴a ＋2b 的值是3.变式练习：1、已知x 2y 2+x 2+4xy +13=6x , 则x,y 的值分别为[1**********]122、已知a ＋b ＋4a －2b ＋5＝0，则3a ＋5b －4的值为___ ___.4. 已知x 2+2xy +y 2-6x -6y +9=0，则x +y 的值为5、若a 、b 为有理数，且2a 2-2ab +b 2+4a +4=0，则a 2b +ab 2的值为___ ___.6、已知a 、b 、c 满足a 2+2b =7，b 2-2c =-1，c 2-6a =-17，则a +b +c 的值为______．7、已知a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -6c +9=0，则abc 的值为___ ___.228. 已知a +b +1=ab +a +b ，则3a -4b 的值为___ ___. 2222二、证明字母相等【例2】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac =0, ，判断这个三角形的形状．分析:等式两边乘以2, 得2a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -2ac =0, 配方，得(a 2-2ab +b 2)+(b 2-2bc +c 2)+(c 2-2ca +a 2)=0,即(a -b )+(b -c )+(c -a )=0. 222由非负数的性质得a-b=0,b-c=0,c-a=0,a=b,b=c,c=a,即a=b=c.故△ABC 是等边三角形.变式练习：1、已知3a 2+b 2+c 2=(a +b +c )，求证：a =b =c 2()44442、已知：a ＋b ＋c ＋d ＝4abcd ，其中a ，b ，c ，d 是正数，求证：a=b=c=d。

《配方法》习题精选及参考答案一、填空题1.方程x2=16的根是x1=__________,x2=__________.2.若x2=225，则x1=__________,x2=__________.3.若x2－2x=0，则x1=__________,x2=__________.4.若(x－2)2=0，则x1=__________,x2=__________.5.若9x2－25=0，则x1=__________,x2=__________.6.若－2x2+8=0，则x1=__________,x2=__________.7.若x2+4=0，则此方程解的情况是____________.8.若2x2－7=0，则此方程的解的情况是__________.9.若5x2=0，则方程解为____________.10.由7，8，9三题总结方程ax2+c=0(a≠0)的解的情况是：当ac＞0时__________________；当ac=0时__________________；当ac＜0时__________________.二、选择题1.方程5x2+75=0的根是A.5B.－5C.±5D.无实根2.方程3x2－1=0的解是A.x=±B.x=±3C.x=±D.x=±3.方程4x2－0.3=0的解是A. B.C. D.4.方程=0的解是A.x=B.x=±C.x=±D.x=±5.已知方程ax2+c=0(a≠0)有实数根，则a与c的关系是A.c=0B.c=0或a、c异号C.c=0或a、c同号D.c是a的整数倍6.关于x的方程(x+m)2=n,下列说法正确的是A.有两个解x=±B.当n≥0时，有两个解x=±－mC.当n≥0时，有两个解x=±D.当n≤0时，方程无实根7.方程(x－2)2=(2x+3)2的根是A.x1=－,x2=－5B.x1=－5,x2=－5C.x1=,x2=5D.x1=5,x2=－5三、解方程1.x2=02.3x2=33.2x2=64.x2+2x=05. (2x+1)2=36.(x+1)2－144=0参考答案一、1.4 －42.15 －153.0 24.2 25.6.2 －27.无实数根8.x1=,x2=－9.x1=x2=010.方程无实根方程有两个相等实根为x1=x2=0 方程有两个不等的实根二、1.D 2.C 3.D 4.C 5.B 6.B 7.A三、解：1.x2=0,x=0,∴x1=x2=02.3x2=3x2=1,x=±1,∴x1=1,x2=－13.2x2=6,x2=3,x=±∴x1=,x2=－4.x2+2x=0x(x+2)=0x=0或x+2=0x=0或x=－2∴x1=0,x2=－25.(2x+1)2=3(2x+1)2=62x+1=±∴2x+1=或2x+1=－∴x=(－1)或x=(－－1)∴x1=(－1),x2=(－－1) 6.(x+1)2－144=0(x+1)2=144x+1=±12∴x+1=12或x+1=－12∴x=11或x=－13∴x1=11,x2=－13.。

50道配方法及答案初一1、例题：x²-2x=0变化：x²-2x+1=1变化：（x-1）²=1变化：x-1=±1解为：x=2 或x=02、例题：x²-2x=4变化：x²-2x+1=5变化：（x-1）²=5变化：x-1=±√5解为：x=1+√5 或x=1-√53、例题：2x²-4x=4变化：x²-2x+1=3变化：（x-1）²=3变化：x-1=±√3解为：x=1+√3 或x=1-√34、例题：x²-4x=-4变化：x²-4x+4=0变化：（x-2）²=0变化：x-2=±0解为：x=25、例题：x²-4x=0变化：x²-4x+4=4变化：（x-2）²=4变化：x-2=±2解为：x=4 或x=06. 例题：(3x+1)^2=7(3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3x+1=±√7(注意不要丢解) ∴x= (±√7-1)/3 7. 例题：9x^2-24x+16=119x^2-24x+16=11 ∴(3x-4)^2=11 ∴3x-4=±√11 ∴x= (±√11+4)/3 ∴原为x1=(√11+4)/3 x2=(-√11+4)/38. 例题：(x+3)(x-6)=-8(x+3)(x-6)=-8化简整理得x^2-3x-10=0 (方程左边为二次,右边为零)(x-5)(x+2)=0 (方程左边)∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个)∴x1=5,x2=-29. 例题：2x^2+3x=02x^2+3x=0 x(2x+3)=0 (用将方程左边)∴x=0或2x+3=0 (转化成两个)∴x1=0,x2=-3/210. 例题：6x^2+5x-50=06x2+5x-50=0(2x-5)(3x+10)=0 (时要特别注意符号不要出错)∴2x-5=0或3x+10=0∴x1=5/2,x2=-10/311.例题：.x^2-4x+4=0x^2-4x+4 =0(x-2)(x-2 )=0∴x1=2 ,x2=212. 例题：（x-2）^2=4（2x+3）^2 解.(x-2)^2-4(2x+3)^2=0.[x-2+2(2x+3)][(x-2-2(2x+3)=0. (5x+4)(-5x-8)=0.x1=-4/5,x2=-8/513. 例题：y^2+2√2y-4=0解(y+√2)^2-2-4=0.(y+ √2)^2=6.y+√2=√6.y=-√2±√6.y1=-√2+√6；y2=-√2-√6.14.例题：（x+1）^2-3（x+1)+2=0 解(x+1-1)(x+1-2)=0.x(x-1)=0.x1=0,x2=1.15. 例题：x^2+2ax-3a^2=0（a为常数）解(x+3a)(x-a)=0.x1=-3a,x2=a.16.2x^2＋7x＝4．方程可变形为2x^2＋7x－4＝0．∵a＝2,b＝7,c＝－4,b2－4ac＝72－4×2×(－4)＝81＞0,∴x＝．∴x1＝,x2＝－4．17.x^2－1＝2 x方程可变形为x^2－2 x－1＝0．∵a＝1,b＝－2 ,c＝－1,b2－4ac＝(－2 )2－4×1×(－1)＝16＞0．∴x＝．∴x1＝＋2,x2＝－218. x^2 + 6x+5=0原方程可化为(x+5)(x+1)=0x1=-5 x2=-119. x ^2－4x+ 3=0原方程可化为(x-3)(x-1)=0x1=3 x2=120.7x^2 －4x－3 =0解原方程可化为(7x+3)(x-1)=0x1=-3/7 x2=121.x ^2－6x+9 =0解原方程可化为(x-3)^2=0x1=x2=3(17)x²+8x+16=9(x+4)²=9x+4=3或x+4=-3x1=-1,x2=-722.(x²-5)²=16x²-5=4或x²-5=-4x²=9或x²=1x1=3,x2=-3,x3=1,x4=-123.x(x+2)=x(3-x)+1解x²+2x=3x-x²+12x²-x-1=0(2x+1)(x-1)=0x1=-1/2 x=124. 6x^2+x-2=0解原方程可化为(3x+2)(2x-1)=0 (x+2/3)(x-1/2)=0x1=-2/3 x2=1/2(1)x^2-9x+8=0 答案：x1=8 x2=1(2)x^2+6x-27=0 答案：x1=3 x2=-9(3)x^2-2x-80=0 答案：x1=-8 x2=10(4)x^2+10x-200=0 答案：x1=-20 x2=10(5)x^2-20x+96=0 答案：x1=12 x2=8(6)x^2+23x+76=0 答案：x1=-19 x2=-4(7)x^2-25x+154=0 答案：x1=14 x2=11(8)x^2-12x-108=0 答案：x1=-6 x2=18(9)x^2+4x-252=0 答案：x1=14 x2=-18(10)x^2-11x-102=0 答案：x1=17 x2=-6。

配方法的步骤例题及答案引言在科学研究和工程实践中，我们常常需要进行各种配方法的步骤。

配方法是一种根据一定的条件和限制来确定各种材料或物质之间的适配性和组合性的方法。

在本文中，我们将介绍一个配方法的步骤例题并给出详细的答案。

例题假设我们需要研究一种新材料A和另一种材料B的配方法。

根据已有的条件和限制，我们需要确定两种材料的最佳配方法。

以下是该例题的详细步骤。

步骤一：材料的特性分析在确定配方法之前，首先需要对材料A和材料B的特性进行详细分析。

这包括物理特性、化学特性、机械性能等方面的考虑。

我们可以通过实验和文献研究收集到关于两种材料的特性数据。

步骤二：目标设定根据研究或应用的要求，我们需要设定配方法的具体目标。

在本例中，我们假设目标是寻找材料A和材料B的最佳配比，以获得最优的性能。

步骤三：配方法候选集的确定在这一步骤中，我们将根据材料特性和目标要求，确定可能合适的配方法候选集。

这些候选集可以是基于经验或理论依据得出的，也可以是根据前人的研究或成功案例得出的。

我们需要将这些候选集列举出来，作为进一步筛选和优化的基础。

步骤四：专家意见的获取在确定配方法候选集后，我们可以寻求相关领域的专家意见。

专家可以根据自身的经验和知识，对每个候选集做出评估和建议。

他们的意见将有助于我们排除不合适的配方法，提供优化和改进的方向。

步骤五：数据分析和筛选在前面的步骤中，我们已经收集到了大量的材料特性和专家意见数据。

接下来，我们需要进行数据分析和筛选，以找出最佳的配方法。

通过统计分析、模型评估等方法，我们可以对每个配方法候选集进行量化和比较，从而得出最佳配方法。

步骤六：实验验证和结果评估为了验证最佳配方法的有效性，我们需要进行实验验证。

实验可以通过合成材料、加工制备样品等方式进行。

实验结果将有助于对最佳配方法进行评估和优化。

答案根据上述步骤，我们得出以下答案：1.步骤一：通过实验和文献研究，我们了解到材料A的物理特性包括密度、热导率等，化学特性包括成分、反应性等；材料B的物理特性包括硬度、膨胀系数等，化学特性包括稳定性、溶解性等。

人教版 初二数学 竞赛专题：配方法（含答案）【例1】 已知实数x ，y ，z 满足25,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____ 【例2】 若实数a ，b ， c 满足2229a b c ++= ，则代数式222()()()a b b c c a -+-+- 的最大值是 ( )A 、27B 、18C 、15D 、12【例3】 已知152a b c +-=-， 求a + b + c 的值.【例4】 证明数列49，4489， 444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.【例5】 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．【例6】 已知自然数n 使得21991n n -+ 为完全平方数，求n 的值.能力训练1=_________.2、已知2222()30a b c a b c ++-+++= ，则3333_________a b c abc ++-=.3、x ，y 为实数，且22422y x xy y ++≤+ ，则x + y 的值为__________.4、当x ＞2，得___________.5、已知224121049m x xy y y =-+++ ，当x =________，y =______时，m 的值最小. 6、若22221076,51M a b a N a b a =+-+=+++ ，则M －N 的值 ( )A 、负数B 、正数C 、非负数D 、可正可负7的值为 ( )A 、1 BC、 D、8、设a ，b , c 为实数，2222,2,2362x a b y b c z c a πππ=-+=-+=-+，则x ，y ，z 中至少有一个值 ( )A 、大于零B 、等于零C 、不大于零D 、小于零9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n 为自然数)的是( )A 、2333n n -+B 、2444n n ++C 、2555n n -+ D 、2777n n -+ E 、2111111n n -+10、已知实数a ，b ， c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=- ，则a + b + c 的值等于 ( )A 、2B 、3C 、4D 、5 解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：设x 1，x 2，x 3,… x n 为实数.(1) 若120n x x x ⋅⋅⋅=L 则x 1，x 2，x 3,… x n 中至少有(或存在)一个为零； (2) 若120n x x x +++>L ，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个大于零； (3) 若120n x x x +++<L ，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个小于零.11、解方程组222222212121z x z x y x y z y⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩12、能使2256n+ 是完全平方数的正整数n 的值为多少？13、已知b a >，且()()243aa b a ab b b+++-+= ，a ，b 为自然数，求a ，b 的值.13、设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ ，求a ，b 的值.14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y 与房间单价x 之间存在如图所示的一次函数关系.(1) 根据图象求y 与x 之间的函数关系式(0＜x ＜160)；(2) 从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？间数（个）yx0 50 100540990 单价（元）答案例 1 10 提示：x =5-y 代入z 2=xy +y −9，然后配方.例2 A 提示：原式=3(a 2+b 2+c 2)−(a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ).例 3 a+b+c =20 提示：将等式整理，得(a −1−2√a −1+1)+(b −2−4√b −2+4)+12(c −3−6√c −3+9)=0即(√a −1−1)2+(√b −2−2)2+12(√c −3−3)2=0例 4 原式=44⋯44 ⏟ n+188⋯88⏟ n+1+1=44⋯44 ⏟ n+100⋯00⏟ n+1+88⋯88⏟ n+1+1=4×11⋯11 ⏟ ×n+110n+1 +8×11⋯11 ⏟n+1+1=4()2211111111119111118111113611111211111611111n n n n n n ++++++⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯++⨯+=⨯+⨯+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L L L L L 12312312312312314243 例5 已知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数，事实上，设住S 层的人乘电梯，而住t 层的人直接上楼，S ＜t ，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少.设电梯停在第x 层，在第一层有y 人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为： ()()()31233312122S x y x y =+++-++++++++--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L L L=()()()()()333343121222x x y y x y x y ⨯--+----++=()222102231684x y x y y -++++ =()221021215180306848y x y y +⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭=()2210212631631648y x y +⎛⎫-+-+≥ ⎪⎝⎭又当x=27，y=6时，=316S 最小值.故当电梯停在第27层时，总分最小，最小值为316分.例6 若2n 19n 91-+为完全平方数，则()24n 19n 91-+也是完全平方数.设()224n 19n 91=m -+（m 为自然数）配方得()222n 193=m -+，0 50 100单价（元）∴（m+2n-19）（m-2n+19）=3于是219=3219=1219=1219=3m n m n m n m n +-+--+-+⎧⎧⎨⎨⎩⎩或 解得：=2=2=10=10m m n n ⎧⎧⎨⎨⎩⎩或故当n=9或10时2n 19n 91-+是完全平方数. 能力训练1.4+ 2. 0 3. 6 4.5. -3，-2, 56. B7. C8. A 提示：()()()222x y z=a 1b 1c 13π++-+-+-+-大于0 . 9. B 提示：取n=2和3可否定A 、C 、D 、E ，而()224n 4n 4=4n n 1++++，()222n n n 11n <++<+，故2n n 1++不是完全平方数. 10. B11. （x ，y ，z ）=（0,0,0）或（1,1,1） 提示：取倒数. 12. 提示：当n<8时，(22222=01+ab a b =m--，若它是完全平方数，则n 必为偶数.若n=2，则22256265n +=⨯；若n=4，则42256217n +=⨯；若n=6，则6225625n +=⨯；若n=8，则8225622n +=⨯.所以当n ≤8时，2256n +都不是完全平方数.当n>8时，8n 822562(21)n -+=+，若它是完全平方数，则n 821-+为一奇数的平方，设()2n 82121k -+=+（k 为自然数），则()n 10211k k -+=+，由于k 和k+1一奇一偶，∴k=1，于是n 1022-=，故n=11.13. 提示：设a=kb （k 为正整数），则()222124327339k b +==⨯=⨯，解得542428a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 14. 由()222292a b =5093k +⨯，得到2a+b=509k ，b=509k-2a ，代入原式得()224a 511509k 2a =5093k +-⨯，()k 5119k a=2-，因为a 为质数，故有以下情况：⑴当k=1时，5119a==2512-，为质数，b=509k-2a=7. ⑵当k=2时，a=511-18=493=17×29，不为质数，舍去. ⑶当k>2且k 为奇数时，5119k a=k 2-•为质数且k>2，则5119k=12-，此方程无整数解，舍去.⑷当k>2且k 为偶数时，()k a=5119k 2-为质数，且k12>，则511-9k=1，此方程无整数解，舍去.综上所述，a=251，b=7.15. 提示：⑴ y=-9x+1440 （0<x<160）.⑵每周的住宿收入是S 元，则()()22914409144098057600S x x x x x =-+=-+=--+ 当x=80时，57600S =最大元.。

初中数学竞赛专题选讲(初三.20)最大 最小值一、内容提要1. 求二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+ab 2)2+a b ac 442-.∵在实数范围内(x+ab 2)2≥0， ∴若a>0时，当x=－a b2 时， y 最小值=a b ac 442-；若a<0时，当x=－ab2 时， y 最大值=a b ac 442-.②判别式法：原函数可化为关于x 的二次方程ax 2+bx+c －y=0. ∵x 在全体实数取值时， ∴ △≥0即b 2－4a(c －y)≥0， 4ay ≥4ac －b 2.若a>0，y ≥a b ac 442-，这时取等号，则y 为最小值a b ac 442-；若a<0，y ≤a b ac 442-，这时取等号，则y 为最大值ab ac 442-.有时自变量x 定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.2. 用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大. 最大值是定值平方的四分之一.例如：两正数x 和y ， 如果x+y=10, 那么xy 的积有最大值，最大值是25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍.例如：两正数x 和y ，如果xy=16, 那么 x+y 有最小值，最小值是8. 证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法.设a>0, b>0, a+b=k . (k 为定值).那么ab=a(k －a)=－a 2+ka=－(a －21k)2+42k .当a=2k时，ab 有最大值42k .证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法. 设a>0, b>0, ab=k (k 为定值)，再设 y=a+b. 那么y=a+ak, a 2－ya+k=0.（这是关于a 的二次议程方程） ∵ a 为正实数，∴△≥0. 即(－y)2－4k ≥0， y 2－4k ≥0. ∴y ≤－2k (不合题意舍去)； y ≥2k . ∴ y 最小值=2k .解方程组⎩⎨⎧==+.2k ab k b a ， 得a=b=k .∴当a=b=k 时，a+b 有最小值 2 k .3. 在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值. 当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值. 当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例1. 已知：3x 2+2y 2=6x, x 和y 都是实数，求：x 2+y 2 的最大、最小值.解：由已知y 2=2362xx -, ∵y 是实数， ∴y 2≥0.即2362x x -≥0， 6x －3x 2 ≥0， x 2－2x ≤0.解得 0≤x ≤2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x 2+y 2=x 2+2362x x -=－21( x －3)2+29在区间0≤x ≤2中，当x=2 时，x 2+y 2有最大值 4. ∴当x=0时，x 2+y 2=0是最小值 .例2. 已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等. 求：这个矩形周长、面积的最小值. 解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为 a, b 其周长、面积的数值为k. 那么2(a+b)=ab=k.即 ⎪⎩⎪⎨⎧==+.21k ab k b a ，∴a 和b 是方程 x 2－21kx+k=0 的两个实数根. ∵a, b 都是正实数，∴△≥0. 即(－2k )2－4k ≥0. 解得k ≥16；或k ≤0 . k ≤0不合题意舍去. ∴当k ≥16取等号时，a+b, ab 的值最小，最小值是16. 即这个矩形周长、面积的最小值是16.例3. 如图△ABC 的边BC=a, 高AD=h, 要剪下一个 矩形EFGH ，问EH 取多少长时，矩形的面积最大？ 最大面积是多少？解：用构造函数法设EH=x, S 矩形=y, 则GH=xy . ∵△AHG ∽△ABC ，∴hxh a x y-= . ∴ y=4)2()(2ahh x h a h x h ax +--=-. aCE∴当x=2h时，y 最大值 =4ah .即当EH=2h时，矩形面积的最大值是4ah .例4. 如图已知：直线m ∥n ，A ，B ，C 都是定点，AB=a, AC=b, 点P 在AC 上，BP 的延长线交直线m 于D.问：点P 在什么位置时，S △PAB +S △PCD 最小？ 解：设∠BAC=α，PA=x, 则PC=b －x.∵m ∥n ，∴PA PCAB CD ＝. ∴CD=x x b a )(-S △PAB +S △PCD =21axSin α+21x x b a )(-(b －x) Sin α=21aSin α()222x x bx b x +-+=21aSin α(2x+)22b x b -. ∵2x ×x b 2=2b 2(定值)， 根据定理二，2x +x b 2有最小值.∴ 当2x =x b 2， x=b 221时，S △PAB +S △PCD 的最小值是 (2－1)abSin α. 例5.已知：Rt △ABC 中, 内切圆O 的半径 r=1. 求：S △ABC 的最小值.解：∵S △ABC =21ab ∴ab ＝2S △.∵2r=a+b －c, ∴c=a+b －2r. ∴a+b －2r=22b a + .两边平方，得 a 2+b 2+4r 2+2ab －4(a+b)r= a 2+b 2. 4r 2+2ab －4(a+b)r=0. 用r=1, ab=2S △ 代入， 得 4+4S △－4(a+b) =0. a+b=S △+1. ∵ab=2S △ 且a+b=S △+1.∴a, b 是方程x 2－(S △+1)x+2S △=0 的两个根.nmDa∵a,b 是正实数， ∴△≥0，即 [－(S △+1)]2－4×2S △ ≥0， S △2－6S △+1≥0 .解得 S △≥3+22或S △≤3－22. S △≤3－22不合题意舍去. ∴S △ABC 的最小值是3+22.例6.已知：.如图△ABC 中，AB=26+，∠C=30 . 求：a+b 的最大值.解：设 a+b=y , 则b=y －a. 根据余弦定理，得 (26+)2=a 2+(y －a)2－2a(y －a)Cos30写成关于a 的二次方程： (2+3)a 2－(2+3)ya+y 2－(8+43)=0. ∵a 是实数， ∴△≥0.即(2+3)2y 2－4(2+3)[y 2－(8+43)]≥0， y 2－(8+43)2 ≤0 .∴ －(8+43)≤y ≤(8+43). ∴a+b 的最大值是8+43.又解：根据定理三 ∵AB 和∠C 都有定值. ∴当a=b 时，a+b 的值最大.由余弦定理，(26+)2=a 2＋b 2－2abCos30可求出 a=b=4+23. ……… 三、练习1. x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 满足. x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=. x 1x 2x 3x 4x 5，那么. x 5的最大值是＿＿＿＿＿＿.2. 若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为____，____时，其面积最大，最大面积是______.3. 面积为100cm 2的矩形周长的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿.4. a, b 均为正数且a+b=ab,那么 a+b 的最小值 是________.5. 若x>0, 则x+x9的最小值是________. 6.如图直线上有A 、B 、C 、D 四个点.那么到A ，B ，C ，D 距离之和为最小值的点，位于＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小值等于定线段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿..7. 如右图△ABC 中，AB=2，AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是 以AB ，BC ，CA 为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 8. 下列四个数中最大的是 ( )（A ） tan48 +cot48 ..(B)sin48 +cos48 . (C) tan48 +cos48 . (D)cot48 +sin48 . 9.已知抛物线y=－x 2+2x+8与横轴交于B ，C 两点，点D 平分BC ，若在横轴上侧的点A 为抛物线上的动点，且∠BAC 为锐角，则AD 的取值范围是__________10. 如图△ABC 中，∠C=Rt ∠，CA=CB=1，点P 在ABPQ ⊥BC 于Q.问当P 在AB 上什么位置时，S △APQ 最大？ 11. △ABC 中，AB=AC=a ，以BC 为边向外作等边 三角形BDC ，问当∠BAC 取什么度数时AD 最长？12. 已知x 2+2y 2=1, x,y 都是实数，求2x+5y 2的最大值、最小值.13. △ABC 中∠B=60，AC=1，求BA+BC 的最大值及这时三角形的形状. 14. 直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.15. D ，E ，F 分别在△ABC 的边BC 、AC 、AB 上，若BD ∶DC=CE ∶EA=AF ∶FA =k ∶(1－k) (0<k<1). 问k 取何值时，S △DEF 的值最小？16.△ABC 中，BC=2，高AD=1，点P ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB 上，且四边形PEAF 是平行四边形.问点P 在BC 的什么位置时，S PEAF 的值最大？C DA B AB参考答案1. 5.2. 5，5 25.3. 40cm4. 45. 66.BC 上，BC+AD.7. 最大值是9，∵S △=21×3×2×SinBAC, ∠BAC=90度时值最大. 8. (A). 9. 3<AD ≤910. P 在AB 中点时，S △最大值=81， S △=222x x -⋅x 与2－x 的和有定值， 当x=2－x 时，S △值最大.11. 当∠BAC=120度时，AD 最大，在△ABD 中，设∠BAD=α由正弦定理a Sin ain 230)30180(S AD ==--α，当150 －α=90 时， AD 最大. 12. 当x=52时，有最大值1029；当x=－1时，有最小值－2 (仿例3).13. 当a=c 时，a+c 有最大值2，这时是等边三角形. 14. 内切圆半径的最大值r=(2－1)△S (仿例6).15. 当 k=21时，S △DEF =41S △ABC ，16.当PB=1时，S 有最大值21. 16. 当点P 是BC 中点时，面积最大值是12.。