初中数学竞赛专题选讲《对称式》

第十八讲平移、对称、旋转趣题引路】如图18-1，已知△ABC内有一点M，沿着平行于边BC的直线运动到CA边上时，再沿着平行于AB的直线运动到BC边时，又沿着平行于AC直线运动到AB边时，再重复上述运动，试证：点M最后必能再经过原来的出发点证明设点M运动过程中依次与三角形的边相遇于点A1，B1，B2，C2，C3，A3，A4，B5，….易知△AC2B₂≌△A1CB1≌△A3C3B.按点M平移的路线，△A C2B2可由△A1CB1平移得到；△A3C3B可由△AC2B2平移得到；△A1CB1可由△A3C3B平移得到，此时，A3应平移至A4，所以A4与A1重合.而这时的平移方向恰与点M开始平移时的方向一致，因此从A3平移到A1的过程中必经过点M，这表明在第七步时，点M又回到了原来的出发点.图18-1知识拓展】1.平移、对称和旋转是解决平面几何问题常用的三种图形变换方法，它们零散地分布在初中几何教材之中.例如，平行四边形的对边可以看成是平行移动而形成，这里的平行移动，就是平移变换.2.一般地，把图形F上的所有点都按照一定的方向移动一定距离形成图形F'.则由F到F'的变换叫做平移变换，简称平移.由此可知，线段平移可以保持长短、方向不变，角、三角形等图形平移保持大小不变.将平面图形F变到关于直线l成轴对称的图形F'，这样的几何变换简称为对称，它可使线段、角大小不变.3.将平面图形F绕着平面内的一个定点O旋转一个定角a到图形F'，由F到F'的变换简称为旋转.旋转变换下两点之间的距离不变，两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角.4.运用平移、对称或旋转变换，能够集中图形中的已知条件，沟通各条件间的联系.例1 已知：如图18-2，△ABC中，AD平分∠CAB，交BC于D，过BC中点E作AD的平行线交AB于F，交CA的延长线于C.求证：2ACAB=CG=BF.图18-2解析直接证三角形全等或者用角平分线定理显然不能解决问题.注意到要证式的形式，条件中又有角平分线和中点，如果能切分BF、CG，使分出的两部分一部分是AB的一半，余下的是AC的一半，问题就解决了.由中点，我们不难想到中位线，两条有推论效力的辅助线（EH和EI）就产生了，H、I切分了BF、CG，由平行线性质∠1=∠2=∠3=∠4=∠6，再由中位线定理，等腰三角形的判定定理，切分后的结论不难证明.略证过E作AC、AB的平行线交AB、AC于H、I，由平行线性质及已知条件得，∠1=∠2=∠3=∠4=∠6， ∴EI =GI ，EH =FH .∵E 为BC 中点，EH ∥AC ，EI ∥AB ， ∴EI =2AB =BH ，EH =2AC=CI ， ∴EI =GI =2AB=BH ， FH =EH =2AC=CI . 由于BF =BH +FH ， CG =GI +CI ， ∴2ACAB =BF =CG .例2 如图18-3，E 是正方形ABCD 的BC 边上的一点，F 是∠DAE 的平分线与CD 的交点，求证：AE =FD +BE .图18-3解析 表面上看所要证等式的各边分布在正方形不同的边上，欲证它们之间的关系，似乎不可能.但我们可以将某一条边作适当的延伸，使等量关系转移（比如证某两个三角形全等，中位线的关系等）.此题中可将FD 延长至G ，使得DG =BE ，于是易证△AGD ≌△AEB ，则将AE 与AG ，BE 与GD 联系了起来，转而只需证明AG =GF ，即只要证明△AGF 为等腰三角形即可，由∠1=∠2，∠3=∠4及AB ∥CD 即证得.略证 延长FD 至G 使DG =BE ， ∵△ADG ≌△ABE ，∴AG =AE ，GD =BE ，∠1=∠2. 又∵ ∠3=∠4， ∴∠1+∠4=∠2+∠3. 由于DC ∥AB ，∴∠DFA =∠2+∠3， ∴∠1+∠4=∠DFA ， ∴GF =AG .即GD +DF =BE +FD =AE .例3 已知∠MON =40°，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上的点，则△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.图18-4解析 如图18-4，若在OM 上A 点固定，不难在ON 上找出点B （B 为P 关于ON 的对称点P ''与A 点的连线与ON 的交点），同样若在ON 上B 点已固定，则点P 关于OM 的对称点P'与B 点的连线与OM 交于A ，因此A 、B 应为P'P ''与0M 、ON 的交点，这时可求得∠A .解 作P'为P 关于OM 的对称点，P ''为P 关于ON 的对称点，连接P'P ''分别交OM 、ON 于A 、B 两点，则△PAB 周长为最小，这时△ABP 的周长等于P'P ''的长（连接两点间距离最短）.∵OM P P ⊥',ON P P ⊥''垂足分别为C 、D , ∴∠OCP =∠ODP =90°. ∵∠M O N=40°，∴∠CPD =180°-40°=140°.∴∠PP'P ''=∠P P ''P'=180°-140°=40°.由对称性可知：∠PAB =2∠P'，∠PBA =2∠P ''， ∴∠APB =180°-（∠PAB -∠PBA ）=180°-（2∠P'-2∠P ''）=100°.例4 如图18-5，在ABC 中，BC =h ，AB +AC =l ，由B ,C 向∠BAC 外角平分线作垂线，垂足为D 、E , 求证：BD ·CE =定值.图18-5解析 BC =h 是定值，AB +AC =l 是定值，要证BD ·CE 是定值，设法使BD ·CE 用h ,l 的代数式来表示，充分利用DE 是BAC 的外角平分线，构造对称图形，再利用勾股定理。

初中数学竞赛专题选讲（初三.5）对称式一、内容提要一.定义1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如： 代数式x+y ， xy ， x 3+y 3+z 3－3xyz, x 5+y 5+xy, yx 11+， xyzx z xyz z y xyz y x +++++. 都是对称式. 其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.例如：代数式 a 2(b －c)+b 2(c －a)+c 2(a －b), 2x 2y+2y 2z+2z 2x, abc c b a 1111-++， （xy+yz+zx ）()111z y x ++， 222222222111b a c a c b c b a -++-++-+. 都是轮换式. 显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1.含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.例如：在含x, y, z 的齐二次对称多项式中，如果含有x 2项，则必同时有y 2, z 2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：m(x 2+y 2+z 2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)中，有因式a －b 一项, 必有同型式b －c 和 c －a 两项.4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）. 例如：∵x+y, xy 都是对称式，∴x+y ＋xy ， （x+y ）xy ， xyy x +等也都是对称式. ∵xy+yz+zx 和zy x 111++都是轮换式， ∴z y x 111++＋xy+yz+z ， （zy x 111++）（xy+yz+z ）. 也都是轮换式.. 二、例题例1.计算：（xy+yz+zx ）()111z y x ++－xyz()111222zy x ++. 分析：∵（xy+yz+zx ）()111zy x ++是关于x,y,z 的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy 分别乘以x 1，y 1，z1连同它的同型式一齐写下. 解：原式＝（z xy y zx x yz ＋+）＋（z+x ＋y ）+(y+z+x)－(zxy y zx x yz ＋+) ＝2x+2y+2z.例2. 已知：a+b+c=0, abc ≠0.求代数式 222222222111ba c a cbc b a -++-++-+的值 分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式. 解：∵2221c b a -+＝222)(1b a b a ---+＝ab 21-， ∴222222222111b a c a c b c b a -++-++-+＝－ab 21－bc 21－ca 21 ＝ －abc b a c 2++＝0. 例3. 计算：（a+b+c ）3分析：展开式是含字母 a, b, c 的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.例4. 解：设（a+b+c ）3＝m(a 3+b 3+c 3)+n(a 2b+a 2c+b 2c+b 2a+c 2a+c 2b)+pabc.（m, n, p 是待定系数）令 a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得 m=1；令 a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得 2m+2n=8；令 a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=27638221p n m n m m 得⎪⎩⎪⎨⎧===631p n m∴（a+b+c ）3＝a 3+b 3+c 3+3a 2b+3a 2c+3b 2c+3b 2a+3c 2a+3c 2b+6abc.例5. 因式分解：① a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)；② （x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5.解：①∵当a=b 时，a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝0.∴有因式a －b 及其同型式b －c, c －a.∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a －b ）(b －c)(c －a)，可得 一次齐次的轮换式a+b+c.用待定系数法：得 a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝m(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a)比较左右两边a 3b 的系数，得m=－1.∴a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝－(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a).② x=0时，（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝0∴有因式x ，以及它的同型式y 和z.∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz ，其商是二次齐次轮换式.∴用待定系数法：可设（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝xyz ［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.令 x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数， 得 80=m+n ；令 x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数， 得 480=6m+n.解方程组⎩⎨⎧=+=+480680n m n m得⎩⎨⎧==080n m . ∴（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝80xyz(x+y+z).三、练习1.已知含字母x,y,z 的轮换式的三项x 3+x 2y －2xy 2,试接着写完全代数式＿＿＿＿＿＿ 2. 已知有含字母a,b,c,d 的八项轮换式的前二项是a 3b －(a －b)，试接着写完全代数式_________________________________.3. 利用对称式性质做乘法，直接写出结果：① （x 2y+y 2z+z 2x ）（xy 2+yz 2+zx 2）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ② （x+y+z ）（x 2+y 2+z 2－xy －yz －zx ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4. 计算：（x+y ）5.5. 求（x+y ）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商.6. 因式分解：① ab(a －b)+bc(b －c)+ca(c －a)；② (x+y+z)3－(x 3+y 3+z 3)；③ （ab+bc+ca ）(a+b+c)－abc ；④ a(b －c)3+b(c －a)3+c(a －b)3.7. 已知：abcc b a 1111=++. 求证：a, b, c 三者中，至少有两个是互为相反数.8. 计算：bc ac ab a a +--22＋ca ba bc b b +--22＋abcb ca c c +--22. 9. 已知：S ＝21（a+b+c ）. 求证：16)(416)(416)(4222222222222222b a c a c a c b c b c b a b a -+-+-+-+-+- ＝3S （S －a ）(S －b)(S －c).10. 若x,y 满足等式 x=1+y 1和y=1+x1且xy ≠0，那么y 的值是（ ） （A ）x －1. （B ）1－x. （C ）x. （D ）1+x.参考答案1. y 3+z 3+y 2z+z 2x －2y 2z －2z 2x2. b 3c+c 3d+d 3a －(b －c)－(c －d)－(d －a)3. ②x 3+y 3+z 3－3xyz4. 设(x+y)5=a(x 5+y 5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y 2+x 2y 3), a=1, b=5, c=10.5. 设原式＝（x+y+z ）［a(x 2+y 2+z 2)+b(xy+yz+zx)］, a=0, b=1.6 .③当a=－b 时，原式＝0， 原式＝m(a+b)(b+c)(c+a) m=17. 由已知等式去分母后，使右边为0， 因式分解8. 19. 一个分式化为S （S －a ）(S －b)(S －c)10. 选 C。

初中数学竞赛精品标准教程及练习50基本对称式初中数学竞赛是学生在学习数学的过程中，通过参与竞赛提高数学解题能力和思维能力的一种途径。

数学竞赛涉及的内容广泛，其中包括了对称式的研究和应用。

下面是一份关于初中数学竞赛精品标准教程及练习，主要包括了50个基本对称式的内容，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、基本概念在初中数学竞赛中，对称式是经常出现的问题类型之一、对称式指的是多项式在变量的置换下保持不变的表达式。

对称式在解题过程中具有简洁性和易于分析的特点，因此对称式在数学竞赛中有着重要的应用价值。

二、基本性质1.对称式具有对称性，即在变量的置换下保持不变。

2.对称式的系数可以是实数也可以是复数。

3.对称式可以通过系数相乘、相加等运算进行组合，得到新的对称式。

4.对称式的次数等于它所包含变量的最高次数。

三、基本类型1.对称多项式：这是最常见的对称式形式，指的是多项式在变量的置换下保持不变。

例如：* $xy+yz+zx$*$x^2+y^2+z^2$2.对称和与对称积：对称和指的是对称多项式相加得到的新的对称多项式，对称积指的是对称多项式相乘得到的新的对称多项式。

例如：*$a_1+a_2+a_3+...+a_n$*$a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3+...+a_{n-1}a_n$*$(x+y+z)(y+z+w)$3.对称因子与轮换对称因子：对称因子指的是对称多项式中每一项的因子都是对称的，而轮换对称因子指的是对称多项式中每一项的因子经过变量的置换后仍然是对称的。

4.对称和与对称积的运算法则：对称多项式的和与积都具有交换律和结合律。

四、基本性质与定理1.对称多项式可以通过对称元素的传递性进行分解和合并。

2.对称多项式中可以把含有部分变量的项提取出来，形成新的对称多项式。

3.如果一个对称多项式的每一项次数都是k的倍数，那么这个对称多项式可以表示为若干个对称和乘以小项。

五、基本方法与技巧1.利用对称和与对称积的运算法则简化多项式。

竞赛专题-------对称式与轮换对称式1． 基本概念【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。

例如，222x yx y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。

如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。

由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。

根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。

由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =，，，，，，。

例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z bx y x zy xy zz x z y c x y z+++++++++。

【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =-，，，，，，，，，，，，那么就称这个代数式为n 元交代式。

第二讲讲对称式和轮换对称式趣题引路】若正数召,心“,“书入.同时满足= 空込泊=2, 沁色=3,X] 吃“兀泊空£ = 6, 土込竺=9,则X,+X,+X3+X4+X5+A-6的值是多少？若将六式左右分别相乘得(X1W4X5A6)4 =64 ,因此XMP)兀乓兀=6,将已知式分别代入上式可得X| = "\/6 , = \/^» A"j = 5/2" , X4 = , X5 =1 ------- ，兀6 = • Ml" 以2 3X, +A-2+x3+A-4+x5+x6=l + V2 + V3 + lb^视六数之积为整体，可巧妙地消元求解！对于具备特殊结6构的代数式或方程，我们也要学会运用特殊的解题策略.知识拓展】1.对称多项式观察"+ /? + c , ah + be + ca » 1/ + b' + c' —3ab — 3/>c —3ca » a'h + b z c + c2a + ab~ + be2 + ca z等多项式，如果任意互换两个元的位置，所得的多项式与原式恒等，像这样的多项式叫做对称多项式(简称对称式)• 上述四个式子也可分別称为三元对称多项式，又如A-4+(X+>-)4+/是二元对称多项式.2.轮换对称多项式一个关于儿八z…、w的多元多项式，若依某种顺序把字母进行轮换(如把x换成y, y换成z, w换成X)，多项式不变，这种多项式叫做轮换对称多项式(简称轮换式)•例如x'y + y'z + Fx , (“一b+c)( b—c+")( c—a+b)都是三元轮换对称式.显然，对称多项式都是轮换对称多项式，而轮换对称多项式则不一上是对称多项式，如：+ + 是轮换式，但因互换儿y得到的是bx + Fz + Fy已不是原式，所以原式不是对称式.同样对(b-c)(c-a)(a-b)^是如此，即该式是轮换对称式而不是对称式.但只含有两个字母的轮换对称式都是对称式.3.对称式的性质(1)关于小y的对称式总可以用x+y和小来表示.(2)两个对称式的和、差、积、商也是对称式(3)齐次对称多项式的积、幕仍是齐次对称多项式.4.对称多项式和轮换多项式的因式分解：运用因式分解定理和待立系数法.一、对称式、轮换对称式的求值技巧例1已知卩一尤一)，=4,贝|J(Q —1)2_2疋〉，一2心2+十+〉,2+6卩—2x —2y的值等于____ .解析可引导学生观察已知等式和所求式的特点，易见，它们都是关于x、y的对称式，根据对称式的性质，所求式可用x+y和卩来表示，先化简后再求值.解设x+y=“，AJ=V,由题设得vr=4,贝IJ原式=(Ay-1)2 - 2AJ(X +y) + [(牙 + y)2 - Zyy] + 6xy- 2(x + y)=(v—If—2vz/+if—2v+6v~2w=v2-2 vu+/+2 ” 一2 u +1=(v—w+l)==25 ・点评：对称换元有利于简化解题过程.例2 计算：(x+y-iz)(xy+yz+zx).解析因为x+y+z和xy+w+旷都是轮换对称式，所以它们的积也是轮换对称式.因此，做这种乘法运算时可只把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式各项，然后根据轮换对称性写岀其余各项.解:T x(xy-\-yz+vc)=+y+xyz+vC,原式+yz+yzx+xy^+厶+砂+yf=x:y+y：z+zH+亍+yz"+zx' + 3QZ ■点评：由已知代数式的对称性，可知其展开式亦是对称的，从而可由一项写出对称的英他，这样解题就会既简明又准确.二、对称式的因式分解例3 分解因式：z)+y'(z—x)+z'(x—刃.解析这是一个关于八y. 2的四次齐次轮换对称式，当x=y时，原式的值为零，根据余式泄理知x —y是它的一个因式.由轮换对称的性质知y—z和z—x也是它的因式.因为(x—y)(y—z)(z—x)是三次轮换对称式，所以原式还应有一个一次齐次轮换对称的因式，不妨设为Hr+y+z),从而有x(y—z)+yXz~x)+z(x—y)=k(x+y+z)(x—y)(y~x)(z—x)・取x=2t y=l, z=0,得k= — l.:.x(y—z)+y(z—x)+z z(x—y)= —(x+y+z)(x—y)(y—z)(z—x)・点评：由对称性来探究可能分解出的因式，这是因式分解的一种十分有趣的方法.例4把2+U+)A+y分解因式.解析这是一个二元对称多项式，分解因式时一般将原式用x+y> xy表示出来再进行分解.解：£+(x+y)'+h=(r+)」)+(x+)A=(F+『亍一2汐+(x+)A=[(x+y)'—2xyf一2xy+(A4-y):=2(x+y)1- 4x)<x+y)3+ 2xy=2[(x+yY-xy]2=2(卫+小+护)2・点评：实际上任何一个二元对称式都可以用x+y、小表示出来，对于给泄的对称式，往往是寻求这种具体表示方法.在解决本题时；实际可以直接由(x+)y的展开形式，宜接将屮+讯用x+y、心来表示，即x4+y* = (x+)y — 4・py — 6xV — 4巧3 = (x+y)4-4xy(x+y)2 + 2(Q)2.例5 分解因式：(X->')5+(.V-X)5+(Z-A)5.解析这是一个5次轮换对称多项式，只要找到它的一个因式就能找到与它同类型的期两个因式，若在原多项式中令x=y,则原式= (x-zP+(z-x)5=0.根据因式泄理，则x-y是原式的一个因式，于是y 一z、z-x也是它的因式.解：因为当x=y时，(x—yp+(y—xp+(z—xp=O,所以原多项式有因式(x~y)Cv—z)(z—x).由于原多项式是5次轮换对称式，根据其特点可设(x—y)5+(v—z)5+(z—X)5=(x—y)(y—z)(z—x)[“("+尸+z2)+b(Ay+yx+zx)]①其中“、〃是待立系数.取x=lt y= — L z=0代入①式得2d—b=\5・②取x=2, y=l, z=0代人①式得5a+2b=15・③将②、③两式联立解得“=5, b=-5.所以(x-y)5+(y-z)5 + (z-x)5=5 (x—y)(y—z)(z—x)(x2+y2+z?—xy—yx—zx)・点评：在解本题的过程中，设了一个因式为“(界+尸+刊+风巧+严+旳，若不是这种形式，不妨设为0_y2 + z2,由轮换式，就会有另两个因式严一Q+W及艺一川+尸，这样原式就至少为9次，从而由对称式的特点只能设另一个因式为“(工+护+刃+反巧+皿+旷).也就是说三个字母的轮换对称多项式若次数<3,则也一立为对称多项式.三、综合应用例6 已知“+b>c b+c>a> u+c>b,求证：c)2—b(c—6/)2—c(t/—b)2—4</Z?c<0.解析要证明多项式的值小于0,可先将它分解因式，只要判左各个因式的符号就能对原多项式的符号作出判定.证明：设T= a3+Z?3+c3—1/(/?—c)2—h(c~a)2—c(a~b)2—4cibc・把该多项式看作是关于“的3次多项式，令"=b+c,则T= (b+cP+沪+R—(b+c)(b—c)2—沪一R—4(b+c)bc=2(，+")+32c+3bc2— 2(夕+c3)+Qc+be2—4b2c—4bc2=0.由因式泄理知，"一(b+c)是T的一个因式.又由于丁是一个轮换对称式，于是b —(c+“)，c-(a+b)也是7的因式，因为T是关于"、b、c的3 次式，所以可设T— k(a—b—c)(b—c—a)(c—a~b)・比较两边/的系数可得k=\.故T= (a—b—c)(b—c—a)(c—a—b)・根据题意"+b>c, d +则有c—a—b<0, a—b—c<0, b—a—c<0.所以TVO.即原不等式成立.例7设△ABC的三边长分别为心b、c,且上二L+ —+上二£=0,试判断ZBC的形状.1 + ah \+bc 1 + ca解析已知等式去分母，得(t/—Z?)( 14- bc)( 1 + ca) 4- (/?—c)( 1 +c“)(l +")+(c—")(1 +")(1 +处)=0・上式的左边是关于a、b、c的轮换对称式,把,(a—b)(l+bc)(l+ca)展开、整理，得a-b—b2c-}-ca2+ "2力一於C2•根据轮换对称式的性质，可直接写出其余各项.由此，上式可写为a~b~ b2c+"+a2bc2—al^c2+b—c—c2a+ah2+b2ca2—berer+c—a —a2b+be2+crab1— ca2b2=0 ・整理，得ab2+be2+ca2—a2b—b2c—c2a=0.设M=ab2 -b be2+ca2—a2b—b2c—c2a ・当"=b时，A/=0,由因式泄理知"一b是M的一个因式.而M是关于“、b、c的三次齐次轮换对称式，故M含有因式(a—b)(h—c)(c—u).又(“一b)(b—c)(c—a)也是三次齐次轮换对称式，则M还应有一个常因子，于是可设ab2+be2+ca2—erb — b2c•—(rci=k(a~b)(b—c)(c ~a).取a=2, h=\9 c=0,得k=\.M=(a — b)(b—c*)(c—a)=0 ・:・u=b或b=e或c=a,即"、b、c中至少有两个相等.故△ABC必为等腰三角形.好题妙解】佳题新题品味例分解因式l)(y-z)+Ay+ l)(z-x)+z3(z+ l)(x~y)・解析由于原式是X, y, z的轮换式但不是齐次式，所以当求得©—2)(z-x)仗一刃的因式后，剩下的因式是A(x2+y2+z2)+B(yz+zx+xy)+CC¥+y+z)+£)・解：当时，原式=0..・・y-z是原式的一个因式.设原式=(y~z)(z—x)(x—y)[ A("+y2+z2)+B(yz+乙t+xy)+C(x+y+z)+D]・由于原式最低为四次项，.・.D=0.•••原式=(y—z)(z—x)(x—y)[ A(x2 -+-y24-z2)+B(yz++C(x+y+z)].令x=h y= —L z=0 得2A—B= —1；①令x=-h y=0, z=2 得5A-2B+C=-4；②令x=l； y=-L z=2 得6A-B+2C=-7・③解①，②，③组成的方程组，得A=B=C=-1.故原^=—(y—z)(z—x)(x—y)(x2+y1+z1+yz+zx+xy+x+y+z)・中考真题欣赏例(陕西省中考题)分解因式：6兀一6)，—9W+18•巧一9屮一1.解析关于X, y的对称式可用含x+y, x-y,小的式子表示，考虑分组.解：6x—6y—9W+ 18小一9)卫一1 = — (9X2— 18xy+9)^)+(6x—6y) — 1=—[9(工一Zxy+〉') _ 6(x _ y) + 1 ]=一[9(A—y)2-2X 3(x-y) +1]= -[3(xp)— IF= _(3x_3y_ 1)2.竞赛样题展示例分解因式(a-\-b+c)5—a5—b5—c5・解析这是一个五次对称多项式，只要找到它的一个因式，就能找岀与它同类型的另两个因式.如果在多项式中令a = -b,则原式=c5-c5=O,根据因式上理，则“+b是原式的一个因式，于是(b+c)、(c +")也是它的因式.解：因为当"=—b时，(a+b+cp—cP—“5—芒=0,所以原式有因式(a+b)(b+c)(c+a)・由于原式是5次对称多项式，根据英特点，可设(“ + b + c)5 — "5—/一小=(“+b)(b+c)(c+a)[k(cr+b?+c?)+m(ab+bc+ca)]・①其中£、加是有待确左的系数.令么=1, b=l, c=0,代人①式得30=2("+〃?)，即2k+m=15・又令“=0, b=\, c=2,代人①式得210=6(5£+加)，即5«+加= 35.由此解得k=5t m=5.所以(a+b-^c)s—a5—b5—c5=5(a+b)(h+c)(c+a)(a2-^b2+c2+ab-\-bc-^ca)点评：先找出一个因式，再利用对称式的性质得出同型的另外一些因式，再运用待立系数法确定剩下的其他因式.过关检测】A级1.在下列四个式子中，是轮换多项式的有( )① 3x+2y+z ②+y 彳+z4 + 巧』z?③jty2 + y2^+④卫+y3+z3—x2—y2—z2A. 0个B・1个C・2个D・3个2.x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx24-3xy f z=y+z)(xy'-\-yz+zx),则k 的值是( )A. 1 B・ 1 C・ 3 D・一123•设Of=xi+X2+X3, 0 =X1X2+X2X3+X3AS / =A1X2X3> 用Q、卩、丫表示岀X)3+x23+x33的结果是( )A. a'— 3a卩+3?B・0‘一3矽+3卩C・ a'+3a0—3/ D・ 0'—3a0+3y4 ・分解因式：xy^x2一y2) +yz(y2—z2)+zx(z2—x2)・5.分解因式：Ty+^+Wz+^+FCv+y)—W+h+R-Zryz.6.化简:“(b+c—“)2+b(c+“一Z?)2+d"+/?—c)2+(b+c—")(©+" —b)(“+b—c)・7.已知"+b+c+〃=O, R+b3+c3+〃3=3.(1)求证：(a+b)34-(c+J)3=0:(2)求证：ab(c+J)+cd(a+Z?) = 1 ・1.若——-—— + ——-—— + ——-——=1,则儿八x的取值情况是()(X + z)(y + z) (>■ + x)(z + A) (z + y)(x + y)A.全为零B.只有两个为零C.只有一个为零D.全不为零2.已知⑴b、c均为正数，设p=“+b+c 尸竺+竺+竺,则“与g的大小关系是( )a h cA・P>q B・ p<q C・ pPq D・pWq3.已知x+y=3,戏+尸_小=4,则十+屮+兀3$+与,3的值等于 _____________ ・4.如图2-1,正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个而上二数之和都相等.如果13、9、3的对面的数分别是"、b、c9试求a1+b2+c1—ab—bc—ca的值，5・分解因式:(x+y)(y+z)(z+x)+xyz.6.分解因式:G(a+ l)(b—c)+b'(b+ l)(c—”)+c3(c+ \)(a~b).第二讲对称式和轮换对称式A级1. B2. B3. A4.-(x+/H-z)(x-y)(y-z)5.- (x-y-z)(/-z-a)(z - x - y).提示:令丁= y原式为0;同理7 =x十乙时，原式为0;z” ”时,原式为0・设原式-A(x- -y)-6.4a6c提示：当a=0时，原式=0；故设原式= kabj取a = 6=c=U.得&=4・7・ a，46’+c?+d'=(a+6)'-3a6(a・6) + (c • -3cJ(c+d).又a 十6 = 一(c + d),所以(a *b)‘ + (c+/)‘ =0•故3 =3a6(c + d) +3cd(a +6),即a6(c +d) +cd(c+6) = 1B级L・C提示:化简已知等式得xyz=0.2.D提示:运用作差比较.3・ 36 ^4.76 提示:原式=y[(a-6)2 + (6-c)2 + (c-a)2]5.(x+y+«) (xy+-yz+a)6・一(a - 6)(6*-c)(c-a)(a2+c2十 ab + be +co + a+ 6 +c)提示：原:式为非齐次轮换式，可视作以a为主元的多项式.当a M时，原式=0.所以a・6是原式的一个因式.由对称性知也是原式的因式.剰下的因式应是非齐次对称性•设原式=(a-6)(6-c)(c-a)(A:(a2 + + c2) +2( a6 + 6c 4-ca) +m(a+6 + c) +a]・取恃值求得A = - 1 fI = -l,m = =1』=0.。

第二讲 讲对称式和轮换对称式趣题引路】若正数123456,,,,,x x x x x x ．同时满足2345611x x x x x x =，3456122x x x x x x =，4561233x x x x xx =，5612344x x x x x x =，6123456x x x x x x =，1234569x x x x xx =，则123456x x x x x x +++++的值是多少？ 若将六式左右分别相乘得44123456()6x x x x x x =，因此1234566x x x x x x =，将已知式分别代入上式可得61=x ，32=x ，23=x ，264=x ，15=x ，366=x ．所以6611321654321+++=+++++x x x x x x 视六数之积为整体，可巧妙地消元求解！对于具备特殊结构的代数式或方程，我们也要学会运用特殊的解题策略.知识拓展】 1.对称多项式观察a b c ++，ab bc ca ++，333333a b c ab bc ca ++---，222222a b b c c a ab bc ca +++++等多项式，如果任意互换两个元的位置，所得的多项式与原式恒等，像这样的多项式叫做对称多项式（简称对称式）.上述四个式子也可分别称为三元对称多项式，又如444()x x y y +++是二元对称多项式． 2.轮换对称多项式一个关于x 、y 、z…、w 的多元多项式，若依某种顺序把字母进行轮换（如把x 换成y ，y 换成z ，w 换成x ），多项式不变，这种多项式叫做轮换对称多项式（简称轮换式）.例如222x y y z z x ++，(a －b ＋c )( b －c ＋a )( c －a ＋b )都是三元轮换对称式.显然，对称多项式都是轮换对称多项式，而轮换对称多项式则不一定是对称多项式，如：222x y y z z x ++是轮换式，但因互换x 、y 得到的是222y x x z z y ++已不是原式，所以原式不是对称式．同样对(b －c )(c －a )(a －b )也是如此，即该式是轮换对称式而不是对称式．但只含有两个字母的轮换对称式都是对称式． 3.对称式的性质（1）关于x 、y 的对称式总可以用x ＋y 和xy 来表示． （2）两个对称式的和、差、积、商也是对称式 （3）齐次对称多项式的积、幂仍是齐次对称多项式．4.对称多项式和轮换多项式的因式分解：运用因式分解定理和待定系数法．一、对称式、轮换对称式的求值技巧例1 已知4xy x y --=，则22222(1)22622xy x y xy x y xy x y ---+++--的值等于 . 解析 可引导学生观察已知等式和所求式的特点，易见，它们都是关于x 、y 的对称式，根据对称式的性质，所求式可用x ＋y 和xy 来表示，先化简后再求值. 解 设x ＋y ＝u ，xy ＝v ，由题设得v －u ＝4，则原式＝22(1)2()()262()xy xy x y x y xy xy x y ⎡⎤--+++-+-+⎣⎦＝(v －1)2－2vu ＋u 2－2v ＋6v －2u ＝v 2－2vu ＋u 2＋2v －2u ＋1 ＝(v －u ＋1)2＝25．点评：对称换元有利于简化解题过程．例2 计算：(x ＋y ＋z )(xy ＋yz ＋zx )．解析 因为x ＋y ＋z 和xy ＋yz ＋zx 都是轮换对称式，所以它们的积也是轮换对称式．因此，做这种乘法运算时可只把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式各项，然后根据轮换对称性写出其余各项．解：∵x (xy ＋yz ＋zx )＝x 2y ＋xyz ＋zx 2，∴原式＝x 2y ＋xyz ＋zx 2＋y 2z ＋yzx ＋xy 2＋z 2x ＋zxy ＋yz 2＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x ＋xy 2＋yz 2＋zx 2＋3xyz ．点评：由已知代数式的对称性，可知其展开式亦是对称的，从而可由一项写出对称的其他，这样解题就会既简明又准确．二、对称式的因式分解例3 分解因式：x 3(y －z )＋y 3(z －x )＋z 3(x －y )．解析 这是一个关于x 、y 、z 的四次齐次轮换对称式，当x ＝y 时，原式的值为零，根据余式定理知x －y 是它的一个因式．由轮换对称的性质知y －z 和z －x 也是它的因式．因为(x －y )(y －z )(z －x )是三次轮换对称式，所以原式还应有一个一次齐次轮换对称的因式，不妨设为k (x ＋y ＋z )，从而有x 3(y －z )＋y 3(z －x )＋z 3(x －y ) ＝k (x ＋y ＋z )(x －y )(y －x )(z －x )． 取x ＝2，y ＝1，z ＝0，得k ＝－1． ∴x 3(y －z )＋y 3(z －x )＋z 3(x －y ) ＝－(x ＋y ＋z )(x －y )(y －z )(z －x ) ．点评：由对称性来探究可能分解出的因式，这是因式分解的一种十分有趣的方法．例4 把x 4＋(x ＋y )4＋y 4分解因式．解析这是一个二元对称多项式，分解因式时一般将原式用x＋y、xy表示出来再进行分解．解：x4＋(x＋y)4＋y4＝(x4＋y4)＋(x＋y)4＝(x2＋y2)2－2x2y2＋(x＋y)4＝[(x＋y)2－2xy]2－2x2y2＋(x＋y)4＝2(x＋y)4－4xy(x＋y)2＋2x2y2＝2[(x＋y)2－xy]2＝2(x2＋xy＋y2)2．点评：实际上任何一个二元对称式都可以用x＋y、xy表示出来，对于给定的对称式，往往是寻求这种具体表示方法．在解决本题时；实际可以直接由(x＋y)4的展开形式，直接将x4＋y4用x＋y、xy来表示，即x4＋y4＝(x＋y)4－4x3y－6x2y2－4xy3＝(x＋y)4－4xy(x＋y)2＋2(xy)2．例5分解因式：(x－y)5＋(y－x)5＋(z－x)5．解析这是一个5次轮换对称多项式，只要找到它的一个因式就能找到与它同类型的另两个因式，若在原多项式中令x＝y，则原式＝(x－z)5＋(z－x)5＝0．根据因式定理，则x－y是原式的一个因式，于是y －z、z－x也是它的因式．解：因为当x＝y时，(x－y)5＋(y－x)5＋(z－x)5＝0，所以原多项式有因式(x－y)(y－z)(z－x)．由于原多项式是5次轮换对称式，根据其特点可设(x－y)5＋(y－z)5＋(z－x)5＝(x－y)(y－z)(z－x)[a(x2＋y2＋z2)＋b(xy＋yx＋zx)] ①其中a、b是待定系数．取x＝1，y＝－1，z＝0代入①式得2a－b＝15．②取x＝2，y＝1，z＝0代人①式得5a＋2b＝15．③将②、③两式联立解得a＝5，b＝－5．所以(x－y)5＋(y－z)5＋(z－x)5＝5(x－y)(y－z)(z－x)(x2＋y2＋z2－xy－yx－zx)．点评：在解本题的过程中，设了一个因式为a(x2＋y2＋z2)＋b(xy＋yx＋zx)，若不是这种形式，不妨设为x²－y2＋z2，由轮换式，就会有另两个因式y²－z2＋x2及z²－x2＋y2，这样原式就至少为9次，从而由对称式的特点只能设另一个因式为a(x2＋y2＋z2)＋b(xy＋yz＋zx)．也就是说三个字母的轮换对称多项式若次数＜3，则也一定为对称多项式．三、综合应用例6已知a＋b＞c，b＋c＞a，a＋c＞b，求证：a3＋b3＋c3－a(b－c)2－b(c－a)2－c(a－b)2－4abc＜0．解析 要证明多项式的值小于0，可先将它分解因式，只要判定各个因式的符号就能对原多项式的符号作出判定．证明：设T ＝a 3＋b 3＋c 3－a (b －c )2－b (c －a )2－c (a －b )2－4abc ． 把该多项式看作是关于a 的3次多项式，令a ＝b ＋c ， 则T ＝(b ＋c )3＋b 3＋c 3－(b ＋c )(b －c )2－b 3－c 3－4(b ＋c )bc ＝2(b 3＋c 3)＋3b 2c ＋3bc 2－2(b 3＋c 3)＋b 2c ＋bc 2－4b 2c －4bc 2 ＝0．由因式定理知，a －(b ＋c )是T 的一个因式．又由于T 是一个轮换对称式，于是b －(c ＋a )，c －(a ＋b )也是T 的因式，因为T 是关于a 、b 、c 的3次式，所以可设T ＝k (a －b －c )(b －c －a )(c －a －b )．比较两边a 3的系数可得k ＝1． 故T ＝(a －b －c )(b －c －a )(c －a －b )． 根据题意 a ＋b ＞c ，b ＋c ＞a ，a ＋c ＞b ． 则有c －a －b ＜0，a －b －c ＜0，b －a －c ＜0． 所以T ＜0．即原不等式成立．例7 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且1a b ab -+＋1b c bc -+＋1c aca-+＝0，试判断△ABC 的形状． 解析 已知等式去分母，得(a －b )(1＋bc )(1＋ca )＋(b －c )(1＋ca )(1＋ab )＋(c －a )(1＋ab )(1＋bc )＝0．上式的左边是关于a 、b 、c 的轮换对称式，把(a －b )(1＋bc )(1＋ca )展开、整理，得a －b －b 2c ＋ca 2＋a 2bc 2－ab 2c 2．根据轮换对称式的性质，可直接写出其余各项．由此，上式可写为a －b －b 2c ＋ca 2＋a 2bc 2－ab 2c 2＋b －c －c 2a ＋ab 2＋b 2ca 2－bc 2a 2＋c －a －a 2b ＋bc 2＋c 2ab 2－ca 2b 2＝0． 整理，得ab 2＋bc 2＋ca 2－a 2b －b 2c －c 2a ＝0． 设M ＝ab 2＋bc 2＋ca 2－a 2b －b 2c －c 2a ．当a ＝b 时，M ＝0，由因式定理知a －b 是M 的一个因式．而M 是关于a 、b 、c 的三次齐次轮换对称式，故M 含有因式(a －b )(b －c )(c －a )．又(a －b )(b －c )(c －a )也是三次齐次轮换对称式，则M 还应有一个常因子，于是可设ab 2＋bc 2＋ca 2－a 2b －b 2c －c 2a ＝k (a －b )(b －c )(c －a )． 取a ＝2，b ＝1，c ＝0，得k ＝1． ∴M ＝(a －b )(b －c )(c －a )＝0．∴a ＝b 或b ＝c 或c ＝a ，即a 、b 、c 中至少有两个相等． 故△ABC 必为等腰三角形． 好题妙解】佳题新题品味例分解因式x3(x＋1)(y－z)＋y3(y＋1)(z－x)＋z3(z＋1)(x－y)．解析由于原式是x，y，z的轮换式但不是齐次式，所以当求得(y－z)(z－x)(x－y)的因式后，剩下的因式是A(x2＋y2＋z2)＋B(yz＋zx＋xy)＋C(x＋y＋z)＋D．解：当y＝z时，原式＝0．∴y－z是原式的一个因式．设原式＝(y－z)(z－x)(x－y)[ A(x2＋y2＋z2)＋B(yz＋zx＋xy)＋C(x＋y＋z)＋D]．由于原式最低为四次项，∴D＝0．∴原式＝(y－z)(z－x)(x－y)[ A(x2＋y2＋z2)＋B(yz＋zx＋xy)＋C(x＋y＋z)]．令x＝l，y＝－1，z＝0得2A－B＝－1；①令x＝－1，y＝0，z＝2得5A－2B＋C＝－4；②令x＝1；y＝－1，z＝2得6A－B＋2C＝－7．③解①，②，③组成的方程组，得A＝B＝C＝－1．故原式＝－(y－z)(z－x)(x－y)(x2＋y2＋z2＋yz＋zx＋xy＋x＋y＋z)．中考真题欣赏例(陕西省中考题)分解因式：6x－6y－9x2＋18xy－9y2－1．解析关于x，y的对称式可用含x＋y，x－y，xy的式子表示，考虑分组．解：6x－6y－9x2＋18xy－9y2－1＝－(9x2－18xy＋9y2)＋(6x－6y)－1＝－[9(x2－2xy＋y2)－6(x－y)＋1]＝－[9(x－y)2－2×3(x－y)＋1]＝－[3(x－y)－1]2＝－(3x－3y－1)2．竞赛样题展示例分解因式(a＋b＋c)5－a5－b5－c5．解析这是一个五次对称多项式，只要找到它的一个因式，就能找出与它同类型的另两个因式．如果在多项式中令a＝－b，则原式＝c5－c5＝0，根据因式定理，则a＋b是原式的一个因式，于是(b＋c)、(c ＋a)也是它的因式．解：因为当a＝－b时，(a＋b＋c)5－a5－b5－c5＝0，所以原式有因式(a＋b)(b＋c)(c＋a)．由于原式是5次对称多项式，根据其特点，可设(a＋b＋c)5－a5－b5－c5＝(a＋b)(b＋c)(c＋a)[k(a2＋b2＋c2)＋m(ab＋bc＋ca)]．①其中k、m是有待确定的系数．令a＝1，b＝1，c＝0，代人①式得30＝2(2k＋m)，即2k＋m＝15．又令a＝0，b＝1，c＝2，代人①式得210＝6(5k＋2m)，即5k＋2m＝35．由此解得k＝5，m＝5．所以(a＋b＋c)5－a5－b5－c5＝5(a＋b)(b＋c)(c＋a)(a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca)点评：先找出一个因式，再利用对称式的性质得出同型的另外一些因式，再运用待定系数法确定剩下的其他因式．过关检测】A级1．在下列四个式子中，是轮换多项式的有( )①3x＋2y＋z②x2＋y3＋z4＋x4y3z2③xy2＋y2z3＋z3x④x3＋y3＋z3－x2－y2－z2A．0个B．1个C．2个D．3个2．若x2y＋xy2＋y2z＋yz2＋z2x＋zx2＋3xyz＝k(x＋y＋z)(xy＋yz＋zx)，则k的值是( )A．12B．1 C．3 D．－13．设α＝x1＋x2＋x3，β＝x1x2＋x2x3＋x3x1，γ＝x1x2x3，用α、β、γ表示出x13＋x23＋x33的结果是( ) A．3α－3αβ＋3γB．3β－3αγ＋3γC．3α＋3αβ－3γD．3β－3αβ＋3γ4．分解因式：xy(x2－y2)＋yz(y2－z2)＋zx(z2－x2)．5．分解因式：x2(y＋z)＋y2(z＋x)＋z2(x＋y)－(x3＋y3＋z3)－2xyz．6．化简：a(b＋c－a)2＋b(c＋a－b)2＋c(a＋b－c)2＋(b＋c－a)(c＋a－b)(a＋b－c)．7．已知a＋b＋c＋d＝0，a3＋b3＋c3＋d3＝3．(1)求证：(a＋b)3＋(c＋d)3＝0；(2)求证：ab(c＋d)＋cd(a＋b)＝1．B 级1．若()()xyx z y z ++＋()()yz y x z x ++＋()()zx z y x y ++＝1，则x 、y 、x 的取值情况是( )A ．全为零B ．只有两个为零C ．只有一个为零D ．全不为零 2．已知a 、b 、c 均为正数，设p ＝a ＋b ＋c ，q ＝bc a ＋ca b ＋abc，则p 与q 的大小关系是( ) A ．p ＞q B ．p ＜q C ．p ≥q D ．p ≤q 3．已知x ＋y ＝3，x 2＋y 2－xy ＝4，则x 4＋y 4＋x 3y ＋xy 3的值等于 ．4．如图2-1，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上二数之和都相等．如果13、9、3的对面的数分别是a 、b 、c ，试求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值，3913图2-15．分解因式：(x ＋y )(y ＋z )(z ＋x )＋xyz ．6．分解因式：a 3(a ＋1)(b －c )＋b 3(b ＋1)(c －a )＋c 3(c ＋1)(a －b )．。

x x
z y
y z
c xyz 1c x y z
所以
a b c x y z 1 1 a 1b 1c x y z
本题具有轮换对称式的特征，所以只需对其中一个式 子化简，就可以得出相同规律.
1
例４设 a
11 bc

1 abc
，证明
(1)a、b、c三数中必有两个数之和为零；
=(b+c) (a2+bc+ca+ab) =(a+b)(b+c)(c+a)
∴(a+b)(b+c)(c+a)=0，这就是说，在a+b、b+c、c+a 中至 少有一个为零，即a、b、c三数中必有两个数之和为零。
例４
111 1 a b c abc
，证明(2)对任何奇数n，有
111
1

an bn cn an bn cn
xz yz z 2 z ③
yz zx xy
由①+②+③ 得
x2 y 2 z 2 ( xy xz ) ( xy yz ) ( xz yz ) yz zx xy yz yz zx zx xy xy
x y z
所以
x2 y2 z2 x y z x y z yz zx xy

c)(c c)(c

a) a)

1
例７.
已知x、y、z满足关系式
y
x
z

y z
x

z z zx xy
证明：将已知等式分别乘以x、y、z得
x2 xy xz x ①

＝ 一
即ａ 一ｂ ：ｔ ．
。＋ 。＋ 。＋ 。＋ ．＋ ．． ．＋ ．． ；
啦
②
＋
。＋
。＋
。＋
。＋
。＋
。＋
。＋
数学大 世界 。 ． 。 ． ＋ 。 ． 。 ＋ 。 ＋ 。 ＋。 ．。 ．。 ＋ 。 ． ① ＋② 得２ ａ （ １ 一ｂ ）＋ ２ ｂ （ １ 一ａ ）＝１ ＋ｔ ． ④
tab0综上所述可知运用构造对称式解题其关键在于解1因为抛物线与轴只有一个交点所以一根据已知条件从中设一对称式然后通过相加乘或变元二次方程
｜
园 地。 窍解 竞寮 题 费赛
ｊ Ｉ
…
．
垫 蒸 查 … ． 士 量 鎏 … ． 曼燕
并 ＝ ＝
ａ ２—１＋１ ６ ～１＋１
：
（ ＋Ｙ ） 一 ３ ｙ ２ （ ＋ ｙ ２ ）
解
・ ． ・ ≠ｏ ， ． ・ ．、
＞
．
＝２ ２ 一３ ｘ １ ×２２
＝
原 式 的分 子 大 于零 ， 故 当 ＞ ０时 ， 原 式 才 能 取 最 大
值．
设 原 式 为 “． 并构猪其有王 单化 因 式
一 ￣ ／
３ 的值．
ａ １
一
）
（
一 Ｊ ｂ １ ）
一
分析
本题易想到韦达定理 ， 但 所求式 子无法使用
４Ｉ ＞ ８． ． ‘ ． Ａ≥ ≥８ ．
韦达定 理 ， 为此构造对称式 ， 然后运用韦达定理求解．
例 ３ 已知 Ⅱ 『 ＝ ＋ ｂ
ａ — ２ ：１ ， 则ａ ＋ ｂ ＝
， ｘ ｙ：１ ， ＋ｙ ＝２ ２ ．
例５ 若 ≠ ０ ， 求

初中数学竞赛专题选讲根本对称式一、内容提要 1. 上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质. 形如x+y 和xy 是两个变量x, y 的根本对称式.2. 含两个变量的所有对称式，都可以用一样变量的根本对称式来表示.例如x 2+y 2, x 3+y 3, (2x －5)(2y －5), －yx 3232-， y x x y +……都是含两个变量的对称式，它们都可以用一样变量x,y 的根本对称式来表示：x 2+y 2＝〔x+y 〕2－2xy ， x 3+y 3＝〔x+y 〕3－3xy(x+y)， (2x －5)(2y －5)＝4xy －10(x+y)+25, －yx 3232-=－xy y x 3)2+（, yx x y +=xy x y 22+=xy xy y x 2)(2-+. 3. 设x+y=m, xy=n.那么x 2+y 2＝〔x+y 〕2－2xy ＝m 2－2n ；x 3+y 3＝〔x+y 〕3－3xy(x+y)=m 3－3mn ；x 4+y 4＝〔x 2+y 2〕2－2x 2y 2＝m 4－4m 2n+2n 2；x 5+y 5＝〔x 2+y 2〕(x 3+y 3)－x 2y 2(x+y)=m 5－5m 3n+5mn 2；………一般地，x n +y n (n 为正整数)用根本对称式表示可建立递推公式：x k+1+y k+1=( x k +y k )(x+y)－xy(x k －1+y k －1) (k 为正整数).4. 含x, y 的对称式，x+y, xy 这三个代数式之间，任意知道两式，可求第三式.二、例题例1. x=21(3+1), y=）－（1321 求以下代数式的值： ①x 3+x 2y+xy 2+y 3 ； ②x 2 (2y+3)+y 2(2x+3).解：∵含两个变量的对称式都可以用一样变量的根本对称式来表示.∴先求出 x+y=3, xy=21. ① x 3+x 2y+xy 2+y 3 ＝〔x+y 〕3－2xy(x+y) =(3)3－2×321 =23；② x 2 (2y+3)+y 2(2x+3)＝2x 2y+3x 2+2xy 2+3y 2=3(x 2+y 2)+2xy(x+y)=3［〔x+y 〕2－2xy ］+2xy(x+y)=3［〔21232⨯－）〕2×213 ＝3－6. 例2. 解方程组⎩⎨⎧=+=+②①53533y x y x分析：可由 x 3+y 3, x+y 求出xy ，再由根本对称式，求两个变量x 和y. 解：∵x 3+y 3,＝〔x+y 〕3－3xy(x+y) ③把①和②代入③，得35＝53－15xy.∴xy=6. 解方程组⎩⎨⎧==+65xy y x得⎩⎨⎧==32y x 或者⎩⎨⎧==23y x .例3. 化简 321420+＋321420-. 解：设321420+＝x,321420-=y. 那么 x 3+y 3=40, xy=32196400⨯－=2.∵x 3+y 3＝〔x+y 〕3－3xy(x+y)，∴ 40＝〔x+y 〕3－6〔x ＋y 〕.设x+y=u,得 u 3－6u －40=0 . (u －4)(u 2+4u+10)=0.∵u 2+4u+10=0 没有实数根，∴u －4＝0, u ＝4 .∴x+y=4.即 321420+＋321420-＝4.例4. a 取什么值时，方程x 2－ax+a －2=0 的两根差的绝对值最小？其最小值是什么？解：设方程两根为x 1, x 2 . 根据韦达定理，得 ⎩⎨⎧-==+22121a x x a x x ∵22121)(x x x x -=-＝212214)x x x x -+（＝842+-a a ＝4)2(2+-a ，∴当a=2时，21x x - 有最小值是2.三、练习1. x －y=a, xy=b. 那么x 2+y 2=______ ； x 3－y 3=______.2. 假设x+y=1, x 2+y 2=2. 那么 x 3+y 3=_______； x 5+y 5=______.3. 假如 x+y=－2k, xy=4, 3=+xy y x . 那么 k=_____. 4. x+x 1=4, 那么x －x 1=____ ， 221xx +=＿＿＿. 5. 假设x x 1+.＝a, 那么x+x 1=______, 221xx +=＿＿＿. 6. ：a=321－, b=321+. 求： ①7a 2+11ab+7b 2 ； ②a 3+b 3－a 2－b 2－3ab+1. 7. x x 1+＝8，那么x x 12+＝＿＿＿＿.〔1990年全国初中数学联赛题〕 8. a 2+a －1=0 那么a 3－31a=＿＿＿＿＿.(1987年初二数学双基赛) 9. 一元二次方程的两个根的平方和等于5，两根积是2，那么这个方程可写成为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 〔1990年初二数学双基赛〕10. 化简： ①335252－＋＋； ②33725725－－＋.练习题参考答案1. a 2+2b, a 3+3ab, 4.753. ±54. 23或者－23， 14， 525. a 2－2, a 4－4a 2+26. 109,367. 628. –49. x2±3x＋2＝010. ①1，②2。

初中数学竞赛辅导资料（35）两种对称甲内容提要1. 轴对称和中心对称定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称．这条直线叫做对称轴把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这点对称，这点叫做对称中心2. 轴对称图形和中心对称图形的定义 如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形中叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴一个图形绕着某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．3. 性质：①成轴对称或中心对称的两个图形是全等形②对称轴是对称点连线的中垂线；对称中心是对称点连线的中点③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上4. 常见的轴对称图形有：线段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正多边形，圆等；中心对称图形有：线段，平行四边形，边数为偶数的正多边形，圆等乙例题例1 求证：若等腰梯形的两条对角线互相垂直，则它的中位线与高相等证明：∵等腰梯形是轴对称图形，底边的中垂线MN 是它的对称轴，对应线段AC 和BD的交点O ，在对称轴MN 上∵AC ⊥BD D N C∴△AOB 和△COD 都是等腰直角三角形，OM 和ON 是它们的斜边中线 O∴OM ＝21AB ，ON ＝21CD ∴MN ＝21（AB ＋CD ） A M B ∴梯形中位线与高相等．例2 已知矩形ABCD 的边AB ＝6，BC ＝8，将矩形折叠，使点C 和点A 重合，求折痕EF 的长．解：∵折痕EF 是对称点连线AC 的中垂线连结AE ，AE ＝CE ，设AE ＝x ，则BE ＝8－x 在R △ABE 中，x 2=(8－x )2+62解得x =425，即AE ＝425 在Rt △AOE 中，OE ＝225)425(＝415 A B C D O F EEF ＝2OE ＝7.5例3 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线MN ∥BC ，点P 是MN 上的任意点 求证：PB ＋PC ≥2AB证明： 当点P 在MN 上与点A 重合时， PB ＋PC ＝AB ＋AC ，即PB ＋PC ＝2AB当P 不与A 重合时作点C 关于直线MN 的对称点C ′则PC ′＝PC ，AC ′＝AC ＝AB ∠P AC ′＝∠P AC ＝∠ACB ∴∠P AC ′＋∠P AC ＋∠BAC ＝180∴B ，A ，C ′三点在同一直线上∵PB ＋PC ′＞BC ′，即PB ＋PC ＞2AB∴PB ＋PC ≥2AB例4 已知：平行四边形ABCD 外一点P 0，点P 0关于点A 的对称点P 1，P 1关于点B 的对称点P 2，P 2关于点C 的对称点P 3，P 3关于点D 的对称点P 4求证：P 4与P 0重合证明：（用同一法）顺次连结P 0，P 1，P 2，P 3，P 4，根据中心对称图形性质，点A ，B ，C ，D 分别为P 0P 1，P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4的中点AB ∥P 0P 2∥CD连结P 0P 3，取P 0P 3的中点D ′， 连结D ′C ，则D ′C ∥P 0P 2 ∴CD ′和CD 重合，∴P 4和P 0重合．例5 正方形ABCD 的边长为a ， 求内接正三角形AEF 的边长．解：∵正方形ABCD 和等边三角形AEF 都是轴对称图形，直线AC 是它的公共对称轴， 可知△ABE ≌△ADF ．∴BE ＝DF ，CE ＝CF ．设等边三角形AEF 边长为x ，根据勾股定理得CE 2＋CF 2＝x 2，CE =x 22，BE=a －x 22 在Rt △ABE 中，x 2=( a －x 22)2+a 2 x 2+22ax －4a 2=0由根公式舍去负根，得x =(62-) a 答：等边△AEF 的边长是(62-)a丙练习1. 下列图形属轴对称而不是中心对称图形的有＿＿＿＿＿＿＿＿属中心对称而不是轴对D ,P 4P 3P 2P 1P 0A B CD a-2x 2x a A B C DE F C ,A B C N M P称图形的有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿既是轴对称又是中心对称的图形有＿＿＿＿①线段 ②角 ③等腰三角形 ④等腰梯形 ⑤矩形 ⑥菱形⑦平行四边形 ⑧正三角形 ⑨正方形 ⑩圆2. 坐标平面内，点A 的坐标是（x ＋a ，y －b ）那么①点A 关于横轴的对称点B 的坐标是（ ）②点A 关于纵轴的对称点C 的坐标是（ ）③点A 关于原点的对称点D 的坐标是（ ）3. 坐标平面内，点M （a ，－b ）与点N （－a ，b ）是关于＿＿＿的对称点点P （m －3，n ）与点Q （3－m ，n ）是关于＿＿＿的对称点4. 已知：直线m 的同一侧有两个点A 和B ，求作：在m 上一点P ，使P A ＋PB 为最小．5． 已知：等边△ABC求作：点P ，使△P AB ，△PBC ，△P AC 都是等腰三角形（本题有10个解，至少作出4个点P ）6．求证：等腰梯形两腰的延长线的交点，对角线的交点，两底中点，这四点在同一直线上 （用轴对称性质）7．已知：△ABC 中，BC ＞AC ，从点A 作∠C 平分线的垂线段AD ，点E 是AB 的中点 求证：DE ＝21（BC －AC ） 8．已知：△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是角平分线，BC ＝AB ＋AD ．求：∠C 的度数．9．已知：正方形ABCD 中，AB ＝12，P 在BC 上，且BP ＝5，把正方形折叠使点A 和点P 重合，求：折痕EF 的长10．平行四边形ABCD 的周长是18cm ，∠A 和∠B 的平分线相交于M ，点O 是对称中心，OM ＝1cm ，求各边长．11．△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD 是角平分线，E 是BC 的中点，EF ⊥AD 和AB 的延长线交于点F ，求证BD ＝2BF ．（创建轴对称图形，过点C 作C G ∥BC 交AB 延长线于G ）12．正方形ABCD 的边长为a ，形内一点P ，P 到AB 两端及边BC 的距离都相等，求这个距离．13．求证一组对角相等且这组对角顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 ．提示：用反证法，作△ABD 关于点O （对角线交点）的对称三角形14．矩形ABCD 中，边AB ＝3，对角线AC =2，在矩形内⊙O 1和BC 、AC 分别切于点E ，F ，⊙O 2与AD ，AC 分别切于M ，N① 求：∠ACB 与∠O 2AN 的度数② 如果折叠 矩形后(折痕为AC )，点O 2落在AB 边上的点K 处：⑪在图上画出点K 确切位置，并说明理由；m AB A B C⑫设⊙O1，⊙O2的半径都等于R，试求折叠矩形后，两圆外离时的圆心距与R的取值范围．15．已知：AD是△ABC的外角平分线，点这P在射线AD上．求证：PB+PC≥AB+AC．16．已知：坐标平面内，点A关于横轴的对称点为B，点A关于原点的对称点为C，求证：点B和点C是关于纵轴的对称点．17．已知：AD是等腰直角三角形ABC斜边上的高，BM，BN三等分∠ABC并和AD顺次交于M，N，连结并延长CN交AB于E．求证：EM∥BN．。

八年级实验班竞赛专题-------对称式与轮换对称式1． 基本概念【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x g g g ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =g g g g g g g g g g g g g g g g g g ，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。

例如，222x yx y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。

如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。

由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。

根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。

由定义2知，n 元多项式12()n f x x x g g g ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =g g g g g g ，，，，，，。

例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。

初中数学竞赛精品标准教程及练习49对称式对称式是指具有对称性质的数学表达式或等式。

在初中数学竞赛中，对称式经常出现在各类题型中，如代数运算、方程求解、函数图像等。

理解并掌握对称式的特点和性质，能够帮助我们更好地解题，提高数学竞赛的成绩。

一、对称式的定义和概念对称式是指在变量交换下保持不变的表达式或等式。

具体来说，一个对称式应满足以下两个条件：1.变量交换：对称式中的变量可以互相交换位置，而表达式整体不受影响。

2.不变性：对称式中的每一项与其在原位置的对应项相等。

例如，对于一个二次方程ax^2+bx+c=0，如果它满足b^2-4ac=0，则可以称为对称式。

因为在这个等式中，交换b和c的位置，将不影响等式的成立，且交换a和c的位置也不影响等式的成立。

二、对称式的特点和性质1.对称式的交换律：对称式中的各项可以互相交换位置，而保持整体不变。

这可以帮助我们在计算过程中简化运算，找到更好的解题思路。

2. 对称式的简化法：对称式中可能存在的同类项可以进行合并简化。

例如，x^3+3x^2y+3xy^2+y^3可以合并简化为(x+y)^33.对称式的分解和因式分解：对称式可以利用分解法或因式分解法将其分解成更简单的形式。

例如，x^2+y^2可以分解为(x+y)(x-y)。

4.对称式的对称性：对称式具有对称性质，即每一项与其在原位置的对应项相等。

这一特点可以帮助我们找到方程的解，或在绘制函数图像时更好地理解其特性。

三、对称式的应用举例1. 计算运算结果：对称式的交换律可以帮助我们简化计算过程，找到更好的解题方法。

例如，计算a^3+b^3+c^3-3abc时，可以利用对称式交换法将其变形为(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)。

2.解方程：对称式的对称性质可以帮助我们在解方程时找到方程的根。

例如，当方程x^3-3x^2+3x-1=0时，可以利用对称式的对称性质，将其变形为(x-1)^3=0，从而得到解x=13.绘制函数图像：对称式的对称性质可以帮助我们更好地理解函数图像的形态。

初二奥数精讲——第3讲对称式的因式分解（一）一、知识点解析因式分解是一种重要的恒等变形，虽然它是初中阶段学习的内容，在高中阶段也有着非常广泛的应用，比如，比较大小，判断函数的单调性，证明不等式，解高次方程、超越方程等，因此，因式分解历来是“高考”和数学竞赛着重考察的热点问题。

1. 基本知识对称多项式：设A是一个多项式，如果将A中两个字母互换，得到的多项式与A恒等，则称A关于这两个字母对称。

如果多项式A关于它所含的任意两个字母都是对称的，则称A是全对称多项式，简称对称多项式。

比如，都是关于x、y对称的多项式，而只有后者才是全对称多项式。

对称多项式的一般形式为（以三次对称多项式为例）：基本对称多项式：考察含有三个字母x、y、z的多项式，则x+y+z、xy+yz+zx、xyz称为基本对称多项式。

对于含有n个字母的多项式，其n个字母的和、n个字母中每取r（r=2,3,…,n）作积的和，称为n元基本对称多项式。

齐次多项式：如果多项式所有项的次数都相等，则称为齐次多项式。

比如，基本对称多项式都是齐次对称多项式。

字母的个数和次数都不超过三的齐次对称多项式具有如下形式：轮换对称多项式：设A是一个关于n个字母的多项式，如果将A 中n个字母任意排列为x1，x2，…，xn，同时将x i+1(i=1,2,…,n; x n+1=x1)，得到的多项式与A恒等，则称A是轮换对称多项式。

显然，对称多项式一定是轮换对称多项式，但反之则不然。

比如，是轮换对称多项式，但不是对称多项式。

轮换对称多项式：设A是一个多项式，如果将A中两个字母互换，得到的多项式与-A恒等，则称A是关于这两个字母的交代多项式。

如果多项式A关于它所含的任意两个字母都是交代对称的，则称A是交代对称多项式，简称交代多项式。

比如，都是交代多项式。

上述一些特殊多项式具有如下一些性质：（1）任何一个对称多项式均可表示成若干基本对称多项式的和。

（2）任何两个对称多项式的和、差、积仍是对称多项式，任何两个轮换对称多项式的和、差、积仍是轮换对称多项式，任何两个齐次多项式的和、差、积仍是齐次多项式。

f=
- ( b - c) a4 - ( c ( a - b) ( b 2 = k ( a + b2 + c2 ) +
4 4 a) b - ( a - b) c c) ( c - a)
故
a b c + + + b+ c+ d c+ d+ a d+ a+ b d a+ b+ c
2
2
2
2
p ( ab + bc + ca) .
c3 d3 + = 49 B - 68 . d+ a+ b a+ b+ c
2. 5 解对称方程组
解对称方程组时 , 可以通过对称替换把原 方程组化简 . 例 8 求方程组 数解 .
故
1
xy + 2 z
+
1
yz + 2 x
+
1
zx + 2 y

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4
中 等 数 学
=
1
( x - 2) ( y - 2) ( y - 2) ( z - 2) ( z - 2) ( x - 2) z- 2+ x- 2+ y- 2 = ( x - 2) ( y - 2) ( z - 2 ) x+y+z- 6 = xyz - 2 ( xy + yz + zx ) + 4 ( x + y + z) - 8

..专题 26 相对相称—对称分析法阅读与思考当代美国数学家赫尔曼·韦尔指出：对称尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今都是人们用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想. 许多数学问题所涉及的对象具有对称性（不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在某些方面如图形、关系、地位等彼此相对又相称）对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析方法，初中阶段主要研究下面两种类型的对称：1.代数中的对称式如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，任何一个复杂的二元对称式，都可以用最简单对称多项式a +b ， ab 表示，一些对称式的代数问题，常用最简对称式表示将问题解决2.几何图形的对称几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，如果我们作出图形的对称轴，或者作出已知点关于某线（某点）的对称点，构造出轴对称图形、中心对称图形，那么就能将分散的条件集中起来，容易找到解题途径.例题与求解【例 l 】如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，点 M 、N分别是边 AB ，BC 的中点，则 PM +PN 的最小值是. (荆门市中考试题)解题思路：作 M 关于 AC 的对称点 M ' ，连 MN 交 AC 于点 P ，则 PM +PN 的值最小.DAPCMNB【例 2】已知 a ， b 均为正数，且 a + b = 2 ，求 W = a 2 + 4 + b 2 + 1 的最小值.（北京市竞赛试题）解题思路：用代数的方法求 W 的最小值较繁， a 2 + b 2 的几何意义是以 a ，b 为边的直角三角形的斜边长，构造图形，运用对称分析法求出W的最小值.【例3】已知a1-b2+b1-a2=1，求证：a2+b2=1（四川省竞赛试题）解题思路：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是：乘方、配方、换元和引入有理化因式，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简证．【例4】如图，凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞O D，求证：BC＋AD＞AB＋CD.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，以AC为对称轴，将部分图形翻折．ABD OC【例5】如图，矩形ABCD中，AB＝20厘米，BC＝10厘米，若在AC、AB上各取一点M，N，使BM ＋MN的值最小，求这个最小值.（北京市竞赛试题）解题思路：要使BM＋MN的值最小，应该设法将折线BM＋MN拉直，不妨从作出B点关于AC的对称点入手.D CMA N BE P .能力训练1.如图，六边形 ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴. 若∠AFC ＋∠BCF ＝150 0，则∠AFE ＋∠BCD 的大小是. (武汉市中考试题)FAEA DBPBDCB ECOA(第 1 题图)（第 2 题图）（第 3 题图）2.如图，矩形纸片 ABCD 中，AB ＝2，点 E 在 BC 上，且 AE ＝EC ，若将纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好落在AC 上，则 AC 的长是.(济南市中考试题)3. 如图，∠AOB ＝ 45 0 ，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q ，P 分别是 OA 、OB 上的动点，则△PQR 周长最小值是.4. 比 ( 6 + 5)6 大的最小整数是.（西安交通大学少年班入学试题）5.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3， 在 BC 上，且 BE ＝2， 在 BD 上，则 PE ＋PC 的最小值为（ ）A ． 2 3B ． 13C ． 14D ． 156. 观察下列平面图形，其中是轴对称图形的有() .A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个(南京市中考试题)7.如图，一个牧童在小河南 4 英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西 8 英里北 7 英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事情所走的最短距离是（）.A ． (4 + 185 ) 英里B ．16 英里C ．17 英里D ．18 英里A（美国中学生竞赛试题）D APBME C B P C (第5题图)（第7题图）（第8题图）8.如图，等边△ABC的边长为2，M为AB中点，P为BC上的点，设P A＋PM的最大值和最小值分别为S和L，则S2-L2等于（）A．42B．43C．32D．339.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知c=600，求d+e 与x的值.（江苏省竞赛试题）110°d a bec c f xf10.求代数式x2+4+(12-x)2+9的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）现11.在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm(a>1)．计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d，1且d=PB+BA(km)（其中BP⊥l于点P）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d，且12d=P A+P B(km)（其中点A'与点A关于l对称，A'B与l交于点P）．2A AB B AK BP lC PlC Pl图1A'A'图2图3观察计算（1）在方案一中，d=km（用含a的式子表示）；1（2）在方案二中，组长小宇为了计算d的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计2算，d=km（用含a的式子表示）．2探索归纳（1）①当a=4时，比较大小：d_______d（填“＞”、“＝”或“＜”）；12②当a=6时，比较大小：d_______d（填“＞”、“＝”或“＜”）；12（2）对a（当a>1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？(河北省中考试题)12．如图，已知平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）（1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当△P AB的周长最短时，求x的值；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．yO xBA13△.在ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；（2）若BD＝1，CD＝2，试求四边形AEMF的面积．AB D C(宁夏中考试题)14.阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45︒的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45︒的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P 点碰到BC边，沿着BC边夹角为45︒的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45︒的方向作直线运动…如图1所示，问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路线的总长是多少？P小贝的思考是这样开始的：如图 2，将矩形 ABCD 沿直线 CD 折叠，得到矩形 A 1B 1CD ，由轴对称的 知识，发现 P 2P 3＝P 2E ，P 1A ＝P 1E ．请你参考小贝的思路解决下列问题：(1) P 点第一次与 D 点重合前与边相碰 次， 点从 A 点出发到第一次与 D 点重合时所经过的路径的总长是cm ．(2) 进一步探究：改变矩形 ABCD 中 AD 、AB 的长，且满足 AD ＞AB ，动点 P 从 A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD 相邻的两边上．若 P 点第一次与 B 点重合前与边相碰 7 次，则 AB ：AD 的值为 ．。

第二十八讲奇妙的对称对称是一种客观存在，一朵红花、一片绿叶、一只色彩魔斓的蝴蝶等，最令人惊奇的就是它们外形的几何对称性，自然界的对称性可以在从亚原子粒子的结构到整个宇宙的结构的每一个尺度上找到．对称是一种美的标准，人类心智中的某种东西受对称的吸引，对称对我们的视觉有感染力，影响我们对美的感受，建筑、绘画广泛地应用对称．对称是一个数学概念，我们熟悉的有代数中的对称式、几何中的轴对称、中心对称等，更一般情况是，许多数学问题所涉及的对象具有对称性，不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在有些方面如图形、关系、地位等同彼此相对又相称．对称是一种解题方法，即解题时充分利用问题自身条件的某些对称性分析问题，在探求几何最值、代数式的化简求值等方面有广泛的应用．例题求解【例1】如图，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O为△AB C中一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段AO的长是．( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨△OAB是一般三角形，作∠ACB的平分线，与BO延长线交于D，连AD，OC，通过全等寻找与AO相等的线段，促使问题的解决．注物理学家皮埃尔·居里曾说，“结果与其原因一样对称．”大干世界，许多事物都具有某种对称性．许多化学分子是对称的，细胞结构是对称的，病毒往往也是对称的，……对称给人们以和谐均衡的羌感，完全的对称是重复性的可预言的，人类在漫长的岁月里，体验着对称，享受着对称．求几何量的最值问题常用方法有：(1)应用几何中的不等式性质，定理；(2)对称分析；(3)代数法．即着眼于揭示问题中变动元素的代数关系．【例2】如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC 的最小值为( )A．23 B．13 C．14 D．15 (“新蕾杯”数学竞赛题)思路点拨 C、E两点位置固定，从对称性考虑，确定P点位置．【例3】现有一块形如母子正方形的板材，木工师傅想先把它割成几块，然后适当拼接，制成某种特殊形状的板面(要求板材不能有剩余，拼接时不重叠、无空隙)，请你按下列要求帮助木工师傅分别设计一种方案：(1)板面形状为非正方形的中心对称图形；(2)板面形状为等腰梯形；(3)板面形状为正方形．思路点拨 问题(1)，由“中心对称的四边形是平行四边形”想象出中心对称的多边形的大致形状；问题(2)，先计算等腰梯形面积为5，猜想等腰梯形的高，可能为2，因此，上、下底的和应为5；问题(3)，由正方形的面积为5，计算出它的边长应为5． 【例4】 已知11122=-+-a b b a ，试确定a 、b 的关系．(江苏省竞赛题)思路点拨 有理化是解根式问题的基本思路，乘方、配方、换元、引入有理化因式等是有理化的常用方法．本例是一道脍炙人口的名题，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简解．注 数学中的对称，不仅指几何图形中的对称，代数表示式中，若各个宇母互相替代，表示式不变，也称这个表示式关于这些字母是对称的，一个复杂的二元对称式．都可以用最简单对称式b a +，ab 表示．许多数学问题有着和谐的对称美．对原题匹配一个与之相对的数学式，然后一起参与运算，这就是常说的“对称性地处理具有对称性的问题”，是数学解题中的一个一般性原则． 用对称法解几何题的常见的方式有：(1)作出常见轴对称图形的对称轴，或利用题设条件中的垂线、角平分线翻折造全等；(2)利用中点构造中心对称图形．【例5】 如图，凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且AC ⊥BD ，已知OA ＞OC ，OB ＞~OD ，比较BC+AD 与AB+CD 的大小． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨 以AC 为对称轴，将部分图形翻折，把相关线段集中到同一个三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，这是解本例的关键．【例6】如图，在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，并且∠MDN=90°，如果BM 2+CN 2＝DM 2+DN 2，求证：AD 2=)(4122AC AB +．(北京市竞赛题)思路点拨 易想到勾股定理，需要把分散的条件加以集中，利用中点，构造中心对称全等三角形．学力训练1．下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同?请指出这个图形，并简述你的理由．答：图形 ；理由是： ． (吉林省中考题)2．如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD＝4，P在直线MN上运动，则PBPA 的最大值等于．( “希望杯”邀请赛试题)3．如图，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，BC=2㎝，如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B′处，那么B′点与B点的原来位置相距 cm．4．如图，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于O点)，则△PQR的周长的最小值为． (黄冈市中考题)5．设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是( ) (2003平龙岩市中考题)6．如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为500m 和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走( )A．10029m B．1200m C ．1300m D．1700m7．如图，在菱形ABCD中，AB=4a，E在BC上，BE=2 a ，∠BAD=120°，P点在BD上，则PE+PC的最小值为( )A．6 a0 B．5 a C．4 a D． 23 a8．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄．(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路AB上分别画出点P、Q的位置(保留画图痕迹)．(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必证明)(3)在公路AB 上是否存在这样一点H ，使汽车行驶到该点时，与村庄M 、N 的距离相等?如果存在，请在图中的AB 上画出这一点(保留画图痕迹，不必证明)：如果不存在，请简要说明理由． (2001年浙江省嘉兴市中考题)9．(1)用四块如图I 所示的黑白两色正方形瓷砖拼成一个新的正方形，使之形成轴对称图案，请至少给出三种不同的拼法(在①②③中操作)；(2)请你任意改变图I 瓷砖中黑色部分的图案，然后再用四块改变图案后的正方形瓷砖拼出一个中心对称图案(在④中操作)． (仙桃、潜江、天门、江汉油田中考题)10．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FD 2=FB ×FC ．11．如图，设L l 和L 2，是镜面平行且镜面相对的两面镜子，把一个小球放在之间，小球放在镜L l 中的像为A ′，A ′在镜L 2中的像为A ″，若L l 、L 2的距离为7，则AA ″ ．(江苏省竞赛题)12．如图，设M 是△ABC 的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，则△ABC 的面积为 ． 13．如图，ABCD —A'B'C'D'为长方体，AA'=50cm ，AB=40cm ，AD=30cm ，把上、下底面都等分成3× 4个小正方形，其边长均为l0cm ，得到点E 、F 、G 、H 和E'，、F'，、G'，、H'，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面E 点沿表面爬行至上底面G'，点至少要花时间 秒．14．无理数4)21(+的整数部分是 ． ( “希望杯”邀请赛试题)15．当x 等于19931，19921，…，21，1，2，…，1992，1993时，计算代数式221x x +的值，再将所得的结果全部加起来，总和等于 ．16．一束光线经3块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知c=60°，求d+e 与x 的值． 17．如图，在△ABC 中，AD ∥BC ，已知∠ABC>∠ACB ，P 是AD 上的任一点，求证：AC+BP ＜AB+PC ．18．如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=l0cm，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值．19．如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC的中点，AD、BE相交于P，若∠BPD=∠C，求证：以△ABC三条中线为边构成的三角形与△ABC相似． (2004年武汉市选拔赛试题)。