初中数学竞赛专题选讲对称式
一、内容提要
一.定义
1.在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z任意交换两个后，代数式
的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.
例如：代数式x+y，xy，x3+y3+z3－3xyz, x5+y5+xy, ，
. 都是对称式.
其中x+y和xy叫做含两个变量的基本对称式.
2.在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z循环变换后代数式的值不
变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.
例如：代数式 a2(b－c)+b2(c－a)+c2(a－b), 2x2y+2y2z+2z2x, ，（xy+yz+zx）(，.
都是轮换式.
显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.
二.性质
1.含两个变量x和y的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介
绍.
2.对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，
且系数相等.
例如：在含x, y, z的齐二次对称多项式中，
如果含有x2项，则必同时有y2, z2两项；如含有xy项，则必同时有yz, zx两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：
m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n是常数.
3.轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的
一切同型式，且系数相等.
例如：轮换式a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)中，有因式a－b一项, 必有同型式b－c和c－a两项.
4.两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.
例如：∵x+y, xy都是对称式，
∴x+y＋xy，（x+y）xy，等也都是对称式.
∵xy+yz+zx和都是轮换式，
∴＋xy+yz+z，（）（xy+yz+z）. 也都是轮换式.. 二、例题
例1.计算：（xy+yz+zx）(－xyz(.
分析：∵（xy+yz+zx）(是关于x,y,z的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy分别乘以，，连同它的同型式一齐写下.
解：原式＝（）＋（z+x＋y）+(y+z+x)－()
＝2x+2y+2z.
例2. 已知：a+b+c=0, abc≠0.
求代数式的值
（1989年泉州市初二数学双基赛题）
分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的
同型式.
解：∵＝＝，
∴＝－－－
＝－＝0.
例3. 计算：（a+b+c）3
分析：展开式是含字母a, b, c的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.
例4. 解：设（a+b+c）3＝m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc.
（m, n, p是待定系数）
令a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得m=1；
令a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得2m+2n=8；
令a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.
解方程组得
∴（a+b+c）3＝a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c2a+3c2b+6abc.
例5. 因式分解：
①a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)；
②（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5.
解：①∵当a=b时，a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)＝0.
∴有因式a－b及其同型式b－c, c－a.
∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a－b）(b－c)(c－a)，可得
一次齐次的轮换式a+b+c.
用待定系数法：
得a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)＝m(a+b+c)（a－b）(b－c)(c－a)
比较左右两边a3b的系数，得m=－1.
∴a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)＝－(a+b+c)（a－b）(b－c)(c－a).
②x=0时，（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5＝0
∴有因式x，以及它的同型式y和z.
∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz，其商是二次齐次轮换式.
∴用待定系数法：
可设（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5
＝xyz［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.
令x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数，得 80=m+n；
令x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数，得 480=6m+n.
解方程组
得.
∴（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5＝80xyz(x+y+z).
三、练习
1.已知含字母x,y,z的轮换式的三项x3+x2y－2xy2,试接着写完全代数式＿＿＿＿＿＿＿＿
＿＿＿＿＿＿＿＿.
2.已知有含字母a,b,c,d的八项轮换式的前二项是a3b－(a－b)，试接着写完全代数式
_________________________________.
3.利用对称式性质做乘法，直接写出结果：
①（x2y+y2z+z2x）（xy2+yz2+zx2）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
②（x+y+z）（x2+y2+z2－xy－yz－zx）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
4. 计算：（x+y）
5.
5. 求（x+y）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商.
6.因式分解：
①ab(a－b)+bc(b－c)+ca(c－a)；
②(x+y+z)3－(x3+y3+z3)；
③（ab+bc+ca）(a+b+c)－abc；
④a(b－c)3+b(c－a)3+c(a－b)3.
