2019届高考数学一轮复习 课时跟踪检测(八)二次函数与幂函数 理(重点高中)

2019届高考数学一轮复习 课时跟踪检测（八）二次函数与幂函数 理（重点高中）

A级——保分题目巧做快做

1．幂函数y＝f(x)经过点(3，3)，则f(x)是( )

A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数

D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

解析：选D 设幂函数的解析式为y＝xα，将(3，3)代入解析式得3α＝3，解得α＝12，∴y＝x12，其是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．

2．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为( )

A．－3 B．13

C．7 D．5

解析：选B 函数f(x)＝2x2－mx＋3图象的对称轴为x＝m4，由函数f(x)的增减区间可知m4＝－2，

所以m＝－8，

即f(x)＝2x2＋8x＋3，

所以f(1)＝2＋8＋3＝13.

3.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：

①b2＞4ac；

②2a－b＝1；

③a－b＋c＝0；

④5a＜b.

其中正确的是( )

A．②④ B．①④

C．②③ D．①③

解析：选B 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确．

对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1,2a－b＝0，②错误． 结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误．

由对称轴为x＝－1知，b＝2a.

又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，

即5a＜b，④正确．

4.已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f13 12，b＝f(ln π)，c＝f－12，则a，b，c的大小关系为( )

A．c

C．b

解析：选A 根据题意，m－1＝1，

∴m＝2，∴2n＝8，

∴n＝3，∴f(x)＝x3.

∵f(x)＝x3是定义在R上的增函数，

又－12<0<1312<130＝1

∴c

5.(2018·芜湖中学月考)设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：

①当c＝0时，f(x)是奇函数；

②当b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实根；

③f(x)的图象关于点(0，c)对称；

④方程f(x)＝0至多有两个实根．

其中正确的命题是( )

A．①④ B．①③

C．①②③ D．②④

解析：选C 法一：当c＝0时，f(－x)＝－x|－x|＋b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故f(x)是奇函数，①正确；当b＝0，c>0时，f(x)＝x|x|＋c在R上单调递增，故方程f(x)＝0只有一个实根，②正确．由①可知c＝0时，f(x)的图象关于原点对称，f(x)＝x|x|＋bx＋c的图象由y＝x|x|＋bx的图象向上平移c个单位得到的，故关于点(0，c)对称，③正确；当b＝－1，c＝0时，f(x)＝x|x|－x＝x(|x|－1)＝0，则x＝0或x＝±1，④错误，故选C.

法二：当c＝0时，f(－x)＝－x|－x|＋b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故f(x)是奇函数，①正确，排除D；当b＝0，c＞0时，令f(x)＝x|x|＋c＝0，则当x≥0时，x2＋c＝0无解，当x＜0时，f(x)＝－x2＋c＝0，x＝－c只有一个实数根，②正确，排除A、B，选C. 6.当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x12，h(x)＝x－2，则f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是________________．

解析：分别作出f(x)，g(x)，h(x)的图象如图所示，

可知h(x)＞g(x)＞f(x)．

答案：h(x)＞g(x)＞f(x)

7.(2017·山西一模)已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[ －3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)＝________.

解析：由题意得m2－m＝3＋m，即m2－2m－3＝0，

∴m＝3或m＝－1.

当m＝3时，f(x)＝x－1，[－3－m，m2－m]为[－6,6]，

f(x)在x＝0处无意义，故舍去．

当m＝－1时，f(x)＝x3，[－3－m，m2－m]为[－2,2]，满足题意，

∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1.

答案：－1

8.已知二次函数y＝x2＋2kx＋3－2k，则顶点位置最高时函数的解析式为________．

解析：由题意可知y＝x2＋2kx＋3－2k＝(x＋k)2－k2－2k＋3，所以该函数的顶点坐标为(－k，－k2－2k＋3)．

设顶点的纵坐标为y＝－k2－2k＋3＝－(k＋1)2＋4，所以当k＝－1时，顶点位置最高，此时函数的解析式为y＝x2－2x＋5.

答案：y＝x2－2x＋5

9.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．

(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．

解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，

所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；

当x＝－5时，f(x)取得最大值37.

(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，

因为y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，

所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5. 故实数a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．

10．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.

(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；

(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．

解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，

对称轴为x＝－32∈[－2,3]，

∴f(x)min＝f－32＝94－92－3＝－214，

f(x)max＝f(3)＝15，

∴函数f(x)的值域为－214，15.

(2)∵函数f(x)的对称轴为x＝－2a－12.

①当－2a－12≤1，即a≥－12时，

f(x)max＝f(3)＝6a＋3，

∴6a＋3＝1，即a＝－13，满足题意；

②当－2a－12＞1，即a＜－12时，

f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，

∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．

综上可知，a＝－13或－1.

B级——拔高题目稳做准做

1.已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是( )

A．[0,1] B．(0,1)

C．(－∞，1) D．(－∞，1]

解析：选D 当m＝0时，令f(x)＝0，得－3x＋1＝0，则x＝13＞0，符合题意；

当m＞0时，由f(0)＝1，可知要满足题意，

则需 Δ＝m－2－4m≥0，－m－32m＞0，解得0＜m≤1；

当m＜0时，由f(0)＝1可知，函数图象恒与x轴正半轴有一个交点． 综上可知，m的取值范围是(－∞，1]．

2．(2018·合肥质检)函数f(x)＝－x2＋3x＋a，g(x)＝2x－x2，若f(g(x))≥0对x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围是( )

A．[－e，＋∞) B．[－ln 2，＋∞)

C．[－2，＋∞) D.－12，0

解析：选C 如图所示，在同一坐标系中画出y＝x2＋1，y＝2x，y＝x2＋32的图象，由图象可知，在[0,1]上，x2＋1≤2x

3.(2018·河北三市联考)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，如果使f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k＝____________.

解析：设g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，

由题意知g(x)≤0对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，

所以x＝5是方程g(x)＝0的一个根，将x＝5代入g(x)＝0，可以解得k＝365(经检验满足题意)．

答案：365

4．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．

解析：由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象如图所示，

结合图象可知，当x∈[2,3]时，y＝x2－5x＋4∈－94，－2，

故当m∈－94，－2时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象有两个交点．

答案：－94，－2 5.已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)．

(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若该函数f(x)的图象经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．

解：(1)因为m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，而m与m＋1中必有一个为偶数，所以m2＋m为偶数，

所以函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．

(2)因为函数f(x)的图象经过点(2，2)，

所以2＝2(m2＋m)－1，即212＝2(m2＋m)－1，

所以m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.

又因为m∈N*，所以m＝1，f(x)＝x12.

又因为f(2－a)>f(a－1)，

所以 2－a≥0，a－1≥0，2－a>a－1，解得1≤a<32，

故函数f(x)的图象经过点(2，2)时，m＝1.满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为1，32.

6.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．

(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝ fx，x>0，－fx，x<0，求F(2)＋F(－2)的值；

(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．

解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－b2a＝－1，

解得a＝1，b＝2，

∴f(x)＝(x＋1)2，∴F(x)＝ x＋2，x>0，－x＋2，x<0.

∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.

(2)由题可知，f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，

即b≤1x－x且b≥－1x－x在(0,1]上恒成立．