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全国高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线(练习题)

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§18直线和圆，圆锥曲线 课后练习 1．已知点A为双曲线122yx的左顶点，点B和点C在双曲线的右支上，ABC是等边三角形，则ABC的面积是

（A）33 （B）233 （C）33 （D）36

2．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435xy的距离中的最小值是 （A）17034 （B）8534 （C）201 （D）301 3．若实数x, y满足(x + 5)2+(y – 12)2=142，则x2+y2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2

4．直线134yx椭圆191622yx相交于A，B两点，该圆上点P，使得⊿PAB面积等于3，这样的点P共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y＋b＝0和曲线bx2＋ay2＝ab的图形是

A B C D 6．过抛物线y2＝8(x＋2)的焦点F作倾斜角为60o的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于

A． 316 B． 38 C．3316 D．38

7．方程13cos2cos3sin2sin22yx表示的曲线是 A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在x轴上的双曲线 C. 焦点在y轴上的椭圆 D. 焦点在y轴上的双曲线

8．在椭圆)0(12222babyax中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B。

若该椭圆的离心率是215，则ABF= 。 9．设F1，F2是椭圆14922yx的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1| : |PF2|＝2 : 1，则三角形PF1F2的面积等于______________．

y y y y

x x x x 10．在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当MPN取最大值时，点P的横坐标为___________________。

11．若正方形ABCD的一条边在直线172xy上，另外两个顶点在抛物线2xy上.则该正方形面积的最小值为 .

12．已知0C：122yx和1C：)0(12222babyax。试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对1C任意一点P，均存在以P为顶点、与0C外切、与1C内接的平行四边形？并证明你的结论。

13． 设曲线C1:1222yax(a为正常数)与C2:y2=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。 （1）实数m的取值范围（用a表示）； （2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0（用a表示）。

14．已知点)2,0(A和抛物线42xy上两点CB,使得BCAB，求点C的纵坐标的取值范围．

15．一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA＝a. 拆叠纸片，使圆周上某一点A/ 刚好与A点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合． 16．（04，14）在平面直角坐标系xoy中，给定三点4(0,),(1,0),(1,0)3ABC，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。 （Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）若直线L经过ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。

17．过抛物线2xy上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足1ECAE;点F在线段BC上，满足2FCBF，且121，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程. 课后练习答案 1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.90º 9.332 10.设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a、2b、2c，则由其方程知a＝3，b＝2，c＝5，故，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又已知[PF1|：|PF2|＝2：1，故可得|PFl|＝4，|PF2|＝2．在△PFlF2

中，三边之长分别为2，4，25，而22＋42＝(25)2，可见△PFlF2是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故△PFlF2的面积＝4． 11. 解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为 S（a，3－a），则圆S的方程为：222()(3)2(1)xayaa 对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当MPN取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a

值必须满足222(1)(3),aa解得 a=1或a=－7。 即对应的切点分别为'(1,0)(7,0)PP和，而过点M，N，'p的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以'MPNMPN，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。

12.解：设正方形的边AB在直线172xy上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为

),(11yxC、),(22yxD，则CD所在直线l的方程,2bxy将直线l的方程与抛物线方程

联立，得.1122,12bxbxx 令正方形边长为,a则).1(20)(5)()(2212212212bxxyyxxa① 在172xy上任取一点（6，,5），它到直线bxy2的距离为5|17|,baa②. ①、②联立解得,80.63,3221abb或.80.12802min2aa 13.利用极坐标解决：以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为22222sincos1ba

------（1）

显知此平行四边形ABCD必为菱形，设A),(1，则B)90,(2 代入（1）式相加：2222211111ba 由于该菱形必与单位圆相切，故原点到AB的距离为1， ∴2221111，从而1112221，∴11122ba 14. 解：(1)由)(212222mxyyax 消去y得：0222222amaxax ① 设222222)(amaxaxxf，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根． 只需讨论以下三种情况： 1°△＝0得：212am，此时xp＝－a2，当且仅当－a＜－a2＜a，即0＜a＜1时适合； 2°f (a)f (－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a； 3°f (－a)＝0得m＝a，此时xp＝a－2a2，当且仅当－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1时适合． f (a)＝0得m＝－a，此时xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，从而m≠－a．

综上可知，当0＜a＜1时，212am或－a＜m≤a； 当a≥1时，－a＜m＜a．

(2)△OAP的面积payS21 ∵0＜a＜21，故－a＜m≤a时，0＜maaa2122＜a， 由唯一性得 maaaxp2122

显然当m＝a时，xp取值最小．由于xp＞0，从而yp＝221axp取值最大，此时22aayp，∴2aaaS．

当212am时，xp＝－a2，yp＝21a，此时2121aaS． 下面比较2aaa与2121aa的大小： 令22121aaaaa，得31a 故当0＜a≤31时，2aaa≤2121aa，此时2121aaSmax． 当2131a时，22121aaaaa，此时2aaaSmax． 15.解：设B点坐标为),4(121yy，C点坐标为),4(2yy． 显然0421y，故21421211yyykAB 由于BCAB，所以)2(1ykBC 从而4)]4()[2(22111xyyxyyy，消去x，注意到1yy得： 01))(2(11yyy0)12()2(2121yyyy

由0解得：0y或4y． 当0y时，点B的坐标为)1,3(；当4y时，点B的坐标为)3,5(，均满足是题意．故点C的纵坐标的取值范围是0y或4y． 16.解：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则有A(a，0)．设折叠时，⊙O上点A/(sin,cosRR)与点A重合，而折痕为直线MN，则 MN为线段AA/的中垂线．设P(x，y)为MN上任一点，则｜PA/｜＝｜PA｜ 5分 ∴2222)()sin()cos(yaxRyRx 即axaRyxR2)sincos(222 10分

∴22222222sincosyxRaxaRyxyx

可得：)cos,(sin22)sin(22222222yxyyxxyxRaxaR ∴222222yxRaxaR≤1 (此不等式也可直接由柯西不等式得到) 15分 平方后可化为 22222)2()2()2()2(aRyRax≥1， 即所求点的集合为椭圆圆22222)2()2()2()2(aRyRax＝1外(含边界)的部分． 20分 17. 解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为44(1),(1),033yxyxy。点(,)Pxy

到AB、AC、BC的距离依次为12311|434|,|434|,||55dxydxydy。依设，2222123,|16(34)|25dddxyy得，即

22222216(34)250,16(34)250xyyxyy或，化简得点P的轨迹方程为

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数学课件(新教材人教A版强基版)第八章直线和圆圆锥曲线必刷小题15直线与圆

数学课件(新教材人教A版强基版)第八章直线和圆圆锥曲线必刷小题15直线与圆


若点 P 在圆 C 上，则 x20＋y20＝1，圆心到直线 l：x0x＋y0y＝1 的距离 d＝ x201＋y20＝1，此时直线 l 与圆 C 相切； 若直线 l 与圆 C 相切，则 d＝ x201＋y20＝1，即 x20＋y20＝1，此时点 P 在 圆 C 上. 综上知，“点P(x0，y0)在圆C上”是“直线l与圆C相切”的充要条件.
因为圆心到直线
l
的距离为
1＝ 2
22，
所以圆 x2＋y2＝2 上有且仅有 3 个点到直线 l：x－y＋1＝0 的距离等于
22，B 选项错误； C1的圆心为(1,2)，半径为3；C2的圆心为(－1，－1)，半径为2，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
所以圆心距为 4＋9＝ 13≠3＋2，C 选项错误； 圆x2＋y2＋2x＝0的圆心为A(－1,0)，半径为1， x－y 1表示圆上的点 B(x，y)与点 C(1,0)连线的斜率， 当直线BC与圆A相切时，如图所示， AB＝1，AC＝2，所以∠BCA＝π6， 结合对称性可知x－y 1的取值范围是－ 33， 33，D 选项正确.
当过点P(2,2)的直线l1斜率不存在时，l1的方程为x＝2，与圆(x－1)2 ＋y2＝1相切，满足题意；
当过点P(2,2)的直线l1斜率存在时， 设l1的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y－2k＋2＝0， ∴圆(x－1)2＋y2＝1 的圆心到 l1 的距离 d＝|k－0k－2＋2k1＋2|＝1，解得 k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
14. 过 点 P(2,2) 的 直 线 l1 与 圆 (x － 1)2 ＋ y2 ＝ 1 相 切 ， 则 直 线 l1 的 方 程 为 _3_x_－__4_y_＋__2_＝__0_或__x_＝__2__.
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9圆锥曲线综合练习C . 2D . 2728 D. 1610 .在正△ ABC 中，D<^AB , E<^AC ，向量=1BC ，则以B ,C 为焦点，且过D , E 的双曲线离心率为212 .已知A 1, A 分别为椭圆C:xy +每=1（aAbA0）的左右顶点，椭圆 C 上异于A , A 2的点Pa b 441. 一、选择题：2 2已知椭圆―一 +-^—10 -m m -2A . 4B . 5=1的长轴在 y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ 2. 直线x-2y +2 =0经过椭圆C . 7 2 2x昇 孑b 2C.虽 5D. 8 =1（a Ab ：>0）的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ 3. 设双曲线B .-22 2冷=1 (a >0)的渐近线方程为 a 9 B . 33x±2y =0，贝U a 的值为（4. 2若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线X 2+— =1的离心率是（mC.逅或逅2 2B. 752 2 冷—打=1（^0 , b>0），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 a b点.若OM 丄ON ，则双曲线的离心率为（ ） A.心 B .竺 C . 土逅2 2已知双曲线 M , N 两点，O 为坐标原6. 已知点 F i , F 2是椭圆 22rrx +2y =2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1 + PF 2 |的最小值是7. 2 2—=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为（25 9A . 22 或 2B . 7C . 222 2P 为双曲线 一-Z=1的右支上一点，9 16 的最大值为（）A . 6 双曲线 D. 2M , N 分别是圆(x + 5)2 +y 2 =4 和(x-5)2 +y 2=1上的点，则|PM l —IPNI9. 已知点 2P （8, a ）在抛物线y=4px 上，且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为（ 11.两个正数a , b 的等差中项是-，一个等比中项是 2品，且a Ab ，则抛物线y 2=-的焦点坐标是（2 aB . （— , 0） 5 A.(诗，0)1 C . (一 , 0)5D . (― ， 0)C . 5922F 2分别是椭圆 笃+占=1(a >b 乂)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点， 点B 也在椭圆 上,a b16•若P(a, b)是双曲线4X 2—16y 2=m(m H0)上一点，且满足a-2b 》0 , a+2b >0，则该点P 一定位于双曲线(2=1，过P(2 , -1)的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线 I 的条数共有(B . 3条21.已知以F 1(-2 , 0) , F 2(2 , 0)为焦点的椭圆与直线 x + 73y +4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(C. 2^72 2 2 222 .双曲线 令-占=1与椭圆Z2+^=1(a>0, m>b>0)的离心率互为倒数，那么以 a , b, m 为边长的三角形是 a b m b恒满足k pA k pq =—，则椭圆C 的离心率为（A. 913.已知R 、且满足O3 +OB =0(O 为坐标原点)，鴉"FW —0 ，若椭圆的离心率等于 当，则直线AB 的方程是(D . y =——X2C ，迟 214.已知点 P 是抛物线 y 2=2x 上的一个动点, 则点 P 到点M (0 , 2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为C. 75215 .若椭圆— =1与双曲线m n 2 2X y “ —=1(m ,n ,p qP , q 均为正数)有共同的焦点F i , F 2, P 是两曲线的一个公共点, 则|PF i |厅F 2I 等于C . m -pD .m 2 - p 2A .右支上B .上支上 C.右支上或上支上 D.不能确定17.如图，在^ABC 中，N CAB =N CBA =30：' , AC , BC 边上的高分别为 BD , AE ，则以A, B 为焦点，且过D ,的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为( A. 43B . 1C . 2/3218 .方程 一P —— +—丄——尸 sin V 2 -sin “3 cos "2 —cosA .焦点在X 轴上的椭圆B .焦点在X 轴上的双曲线 C.焦点在y 轴上的椭圆D.焦点在y 轴上的双曲线2 2X y 3!19 .已知F 1, F 2是椭圆 尹+詁=1(a 》b 〉0)的左、右焦点，点 P 在椭圆上，且 NR P F 2 =-记线段PR 与y 轴的交点=1表示的曲线是(为Q , O 为坐标原点，若 △ FOQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1:2，则该椭圆的离心率等于B . ^/^-3C . 4-273D . 43-120.已知双曲线方程为 C. 2条( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等边三角形23.已知点 A(—1 , 0), B(1, 0)及抛物线y 2=2x ，若抛物线上点 P 满足I PA = m | PB ，则m 的最大值为(D .返 24 .设 F i , 三角形, 1 A .- 2 F 2是椭圆E a E 的离心率为(B . ? 3 25.等轴双曲线 实轴长为( A .迈 2=1(^ >0)的左、右焦点， 3 C.- 4C 的中心在原点，焦点在 3P 为直线上一点，△ F 2PF 1是底角为30的等腰2x 轴上，C 与抛物线y =16x 的准线交于A , B 两点,|AB|=4j3 ,则 C 的C. 4 C 的对称轴垂直， 26 .已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与 则^ ABP 的面积为( ) A . 18 B . 2427 .中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 C .逅2B .丽 C. 36 28 .椭圆ax +by 2=1与直线 y =1 _x 交于 A , B 两点 I 与C 交于A, B 两点，I AB|=12 , D . 48 (4 , - 2)，则它的离心率为( D .並 2 过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 P 为C 准线上一点,D.巫 27 29.若椭圆 2—十工=1(m >0, m n n >0)与曲线x 2+y 2=|m — n|无焦点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( A.(Y ，1) B. (0, C .(¥ ,1)D . (0，Y) 2 2 30 .已知F 1,F 2分别是椭圆亍匕二1的左、右焦点， A 是椭圆上一动点，圆 C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以 及线段AF 2相切，若M (t , 0)为一个切点，则( A . t =2 B . t 》2 C . tc2 D . t 与2的大小关系不确定 31.如图，过抛物线 y 2=2 px( p>0)的焦点 F 的直线l 交抛物线于点 A, B ，交其准线于点 C ，若|BC |=2| BF |，且 | AF |=3，则此抛物线方程为( =9x =6x =3x =73x2x 2 32 .已知椭圆 一+y =1的焦点为F 1、4F 2 , 在长轴 A I A 2上任取一点 M,过M 作垂直于AA 2的直线交椭圆于 P,使得PF 1 PF 2 c O 的M 点的概率为246 C. D. 33 .以 O 为中心, F i ,F 2为两个焦点的椭圆上存在一点 M ，满足IMF 1 |=2|MO |=2|MF 2|，则该椭圆的离心率为 34.已知点F i , F 2是椭圆 +2 y 2 =2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点， 那么I PF 1 + PF 2I 的最小值是（ 35•在抛物线 2y =x + ax —5（a H0）上取横坐标为x^ , x^2的两点，过这两点引一条割线, 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x 2+5y 2=36相切，则抛物线的顶点坐标为（ A . (-2 , -9)36 .若点O 和点F 分别为椭圆 4 B . 3 C . 6 B . (0, -5) 2 2 —+=1的中心和左焦点, 3 D . 8 C. (2 , -9) D. (1,-6) 点P 为椭圆上的任意一点, 则0P FP 的最大值为（37 .直线3x -4y +4 =0与抛物线 =4y 禾廿圆 2 2x + (y —1) =1从左到右的交点依次为 C，D，则器的值为B .丄 16 38 .如图，双曲线的中心在坐标原点 线的左焦点， 7 577 777 145方 14A. 1639 .设双曲线 直线 AB 与FC 相交于点 1 4 C 分别是双曲线虚轴的上、下端点,2 2 C :笃一占=1（a A0, b >0）的左、右焦点分别为a b F i , B 是双曲线的左顶点, ） F 是双曲F 2，若在双曲线的右支上存在一点 P ，使得| PF i |=3| PF 2 |，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为（ A. (1, 2] B .(血,2] C .(近,2) (1, 2) 40 .已知A （x 1 , yj 是抛物线y 2=4x 上的一个动点, 2 2B （x 2，y 2）是椭圆Vt^1上的一个动点，呵0）是一个定点，若AB // x 轴，且X 1 <X 2，则△NAB 的周长l 的取值范围为2C. 22 244 .已知以椭圆 务+ ■y〒=1（a>b>0）的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该 a b 椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. （0，曽 B .（呼,1）P,则|PF 2|的值等于（ B . 83的中点在双曲线上, 则双曲线的离心率是D .应2 248 .直线I 是双曲线 务—£ =1（a >0,b >0）的右准线，以原点a b10 A. (-3- '5)2 x41.设双曲线-2 a C. (10 V11 D. q '5)—占=1（a 沁，b >0）的离心率e = 2 ,右焦点F （c ,0），方程ax 2+bx-c = 0的两个根分别为 为，x ?,则点P （x 1 , x 2）在（ 「 2 A .圆x=10内 2 2 B .圆 x +y =10 上 + y 2 =10外 D .以上三种情况都有可能2y 、 —孑=1（a ;>0, b >0）的右焦点 线段FP 的中点，则双曲线的离心率是（ 42.过双曲线 2 x—2 a2 2 F 作圆X + y =a 的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P,若M 为x243 .若双曲线 -7 -子y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为（y=1 （a ：>0,b>0）上不存在点P 使得右焦点 F 关于直线 OP （0为双曲线的中心）的对称点在B. [72,均C. (1J 5] (1,问X 246 .已知F 1、F 2是双曲线 一2 a=1 (a> 0, b> 0) 的两焦点，以线段 F 1F 2为边作正三角形 MF 1F 2，若边 MF 1A . 4+2V3B. V 3+1D.247 .已知双曲线务. a则该双曲线离心率2=1（a >0, b :>0）的左顶点、右焦点分别为 b 2' e 的值为（A 、F,点 B(0, b)，若 BA+ BF = BA-BF ,B • ^/3C .(牛1,1)D .(0,仔)2 245 .椭圆G : — +— =1的左准线43I ，左.右焦点分别为F i . F 2,抛物线C 2的准线为I ，焦点是F 2, C i 与C 2的一个交点为 A .430为圆心且过双曲线焦点的圆被直线I 分成弧长为2:1的两段，则双曲线的离心率为 ()42MO|-|M T 卜 b-aMO|-|MT | = b-a2Z P F 1F 2PF 2F 1，其中F I ,F 2为双曲线C i 的两个焦点，则双曲线51 .设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F i , F 2 , 若曲线r 上存在点P 满足PF j : F 1F 2I J PF 2I =4:3:2心，右 Sx IPF 1 =$△ IPF 2 足 IF 1F 2 成立,二、填空题:|AB |=1x 轴上，且长轴长为 4,离心率为丄的椭圆的方程为2255. 9.已知双曲线X 2—(=1的一条渐近线与直线 X —2y+3=0垂直，则aa2256 .已知P 为椭圆一+仏=1上的点，F 1 , F 2是椭圆的两个焦点，9 42 22257.已知双曲线 笃-与=(a >0, b A0)和椭圆一+—=1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,a b 16 9则双曲线的方程为 ___________________ .2 249.从双曲线=1@ A0,b 》0)的左焦点a 2b 2F 引圆 xF 2=a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO | —|MT |与b - a 的大小关系为C.MO |-|MT |c b -aD .不确定.50 .点P 为双曲线C i :22—2—= [(a ;>0,b>0)和 圆 C?: a b2 丄 22. .2”x+y=a+b 的个交点，且A .巧B .1+72C.率等于1十3 A .-或-2 252 •已知点P 为双曲线 2 B . 2或 232 2笃=1(a >0, b >0)右支上一点，F 1 , F 2分别为双曲线的左、右交点, a bC.丄或22I 为△PF 2F 2的内2a B.a J a 2m 2C.C i 的离心率为(，则曲线r 的离心则A 的值为53 .已知F i , F 2为椭圆2 2釘計1的两个焦点,过F i 的直线交椭圆于A, B 两点.若|F 2A| + |F 2B|=12 ,则54.中心在原点，焦点在 且 N F1P F 2 =6O ",贝u △ F 1PF 2 的面积2 2 2 258 .若双曲线 冷—占=1(^0 , b>0)的一条渐近线与椭圆 —+乞=1的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点，则 a b 4 3双曲线的离心率为 ________________ . 2 259.已知双曲线Zr=1(a ；>0, b>0)的左、右焦点分别为F 1 , F 2 ,过点F ?做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点a bP ，且N PF 1F 2 =30，则双曲线的渐近线方程为60•已知F 1、F 2分别为椭圆 一+L=1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，Q 是y 轴上的一个动点，若|函|-|左25 9贝y PQ (PR -PF2)=. 61 •已知圆C : X2 3 4 5+y 2+6X +8y +21 =0，抛物线y 2=8x 的准线为I ，设抛物线上任意一点 P 到直线I 的距离为则m 十| PC |的最小值为 ______________ .2 262.设双曲线=1的右顶点为A ，右焦点为F •过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点9 16则^ AFB 的面积为.265.已知抛物线 C:y =2p x( p A0)过点 A(1, - 2). (I)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；(n)是否存在平行于 OA ( O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线 OA 与L 的距离等 于 逅？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 5 66.已知抛物线X 2=2 py(p >0). P 点为抛物线上的动点，点 P 在x 轴上的射影是点 M ，点A 的坐标是(4 , -2)，且|PA| + | PM I 的最小4.求抛物线的方程；设抛物线的准线与 y 轴的交点为点E ，过点E 作抛物线的切线，求此切线方程；1=4 ,263 .已知直线l 1：4x-3y + 6=0和直线b ： x = 0 ,抛物线y三、解答题:64.已知椭圆 (I)求椭圆 (n)若直线2 2 C :笃+爲=1(a Ab >0)的两个焦点为h , F 2,a bC 的方程；l 过点M (-2 ,1)，交椭圆C 于A, B 两点，且点M 恰是线段AB 的中点，求直线l 的方程.4 14呼七十F2蔦.(I)已知值是(ii)(n)设过抛物线焦点F 的动直线l 交抛物线于A , B 两点，连接AO , BO 并延长分别交抛物线的准线于 C , D 两点, 求证：以CD 为直径的圆过焦点 F .2的距离之和的最小值2 267.如图所示，已知椭圆 0:4 +詁=1但汕：＞0) , A i , A2分别为椭圆C的左、右顶点.(I)设F i , F2分别为椭圆C的左、右焦点，证明：当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时，|PF i|取得最小值与最大值；(n)若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为C相交于A , B两点(A, B不是左、右顶点)，且满足AA2丄BA2 , 证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标.2 2X y68.已知椭圆C:弋=1(a Ab A0)的离心率a b是该椭圆的一个顶点.(I)求椭圆C的方程；2(n)已知圆0:x2+y y上的切线I与椭圆相交于3定点的坐标；如果不是，请说明理由.e =——2，左、右交点分别为 F i , F2，抛物线—4j2x的交点F恰好B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果时，求出3,最小值为1,求椭圆C的标准方程;(川)若直线l:y=kx +m与(n)中所述椭圆。

江苏省丹阳高级中学高三数学期末复习讲义04直线和圆、圆锥曲线1 Word版含答案

江苏省丹阳高级中学高三数学期末复习讲义04直线和圆、圆锥曲线1 Word版含答案

期末复习讲义四（直线和圆、圆锥曲线）班级_________________姓名_________________学号_______________成绩______________一、填空题：1．已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l ax y -+=．则“3-=a ”是“1l ∥2l ”的_________条件．2．一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________________________．3．若双曲线221y x k -=的焦点到渐近线的距离为则实数k 的值是 ． 4．已知正方形ABCD 的坐标分别是(1,0)-,(0,1),(1,0)，(0,1)-，动点M 满足：12MB MD k k =-g 则MA MC += ． 5．已知圆22:(1)(2)2C x y -+-=，若等边三角形PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则PC 的最大值为__________________．6．椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，A 为椭圆上一点，120AF AF ⋅=u u u r u u u u r ，2AF 与y 轴交与点M ，若254F M MA =u u u u u r u u u r ，则椭圆离心率的值为 ． 7．下列四个命题，其中真命题的序号是__________（写出所有真命题的序号）． ①渐近线方程为)0,0(>>±=b a x ab y 的双曲线的标准方程一定是12222=-b y a x . ②抛物线2ax y =的准线方程为4a y -=. ③已知142:222=-+-m y m x C （R m ∈），当2-<m 时C 表示椭圆. ④F 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，且=++，则p FC FB FA 3||||||=++.8．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点12,F F ，梯形的顶点,A B 在双曲线上且 12F A AB F B ==，12//F F AB ，则双曲线的离心率的取值范围是 ．9．已知实数0p >，直线3420x y p -+=与抛物线22x py =和圆222()24p p x y +-=从左到右的交点依次为,A B C D 、、、则AB CD的值为 ．10．若在给定直线t x y +=上任取一点,P 从点P 向圆8)2(22=-+y x 引一条切线，切点为.Q 若存在定点,M 恒有,PQ PM =则t 的范围是_____________________．二、解答题： 11．已知,,A B C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点， （1）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（2）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,4)A -，(9,0)B ，若C ,D 分别为线段OA ,OB 上的动点，且满足AC BD =．（1）若4AC =，求直线CD 的方程；（2）证明：△OCD 的外接圆恒过定点（异于原点O ）．13．已知圆O ：224x y +=，点A ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为ϒ．（1）求曲线ϒ的方程；（2）直线AB交圆O于C，D两点，当B为CD中点时，求直线AB的方程．14．椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 离心率22=e ，准线方程为22=x ，左、右焦点分别为21,F F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点()1,2P点M 在线段2PF 上，且321=+MF MF ，M F 1延长线交椭圆于点Q ，求21MQF MPF S S ∆∆； 点A 、B 的椭圆C 上动点，PA 、PB 斜率分别为21,k k ，当2121-=k k 时，求PB PA ⋅的取值范围．期末复习讲义四（直线和圆、圆锥曲线）课后作业 班级_________________姓名_________________学号_______________成绩______________一、填空题：1、椭圆171622=+y x 上横坐标为2的点到右焦点的距离为 ．2. 已知双曲线2221(0)y x m m -=>的一条渐近线方程为0x +=，则m = ． 3．直线01=++y ax 被圆0222=+-+a ax y x 截得的弦长为2，则实数a 的值是__________．4_________．5．已知直线l 过点)2,1(P 且与圆2:22=+y x C 相交于B A ,两点，ABC ∆的面积为1，则直线l 的方程为_____________________________.6．()()22:3:31 2 l y x P C x y =-++=过直线 上一点作圆的两条切线，若两切线关于 l 直线 对称， P C 则点 到圆心 的距离为 ．7．设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F ∆的周长 ．8．设斜率为2的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于不同的两点P 、Q ，若点P 、Q 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为 ．9． 已知圆O ：),0,1(,422M y x =+直线b y x l =+:，P 在圆O 上，Q 在直线l 上，满足==⋅0，则b 的最大值为 ．10．已知圆22:1C x y +=与x 轴的两个交点分别为,A B （由左到右），P 为C 上的动点，l 过点P 且与C 相切，过点A 作l 的垂线且与直线BP 交于点M ，则点M 到直线290x y +-=的距离的最大值是 ．11． 已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，且过点(22P ．右焦点为F ，点N （2,0）．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动弦AB 与x 轴垂直，求证：直线AF 与直线BN 的交点M 仍在椭圆E 上．12．如图，已知P 是以1(1,0)F -为圆心，以4为半径的圆上的动点，P 与2(1,0)F 所连线段的垂直平分线与线段1PF 交于点M ．（1） 求点M 的轨迹C 的方程；（2） 已知点E 的坐标为（4,0），直线l 经过点2(1,0)F 并且与曲线C 相交于A ，B 两点，求ABE ∆面积的最大值．13．平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，右焦点F （1,0），点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ：222b y x =+相切于点M .（1）求椭圆C 的方程；（2）求|PM |·|PF |的取值范围；（3）若OP ⊥OQ ，求点Q 的纵坐标t 的值.14．已知椭圆:C ()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ， 点()0,2M 是椭圆的一个顶点，△21MF F 是等腰直角三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上一动点，求线段PM 的中点Q 的轨迹方程；（3）过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为1k ， 2k ， 且128k k +=，探究：直线AB 是否过定点，并说明理由.。

圆锥曲线综合练习题(有答案)

圆锥曲线综合练习题(有答案)

圆锥曲线综合练习一、 选择题：1．已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上,若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．82．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）A B ．12 C D ．233．设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．若m 是2和8的等比中项,则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ )A B C D 5．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 6．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．7．双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为（ ）A ．22或2B ．7C ．22D ．28．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点，则||||PM PN -的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上,且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．1610．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ）A B 1 C 1 D 111．两个正数a b ，的等差中项是92,一个等比中项是a b >，则抛物线2by x a=-的焦点坐标是（ ）A ．5(0)16-， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1(0)5， 12．已知12A A ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点,椭圆C 上异于12A A ，的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．49 B ．23 C ．59D 513．已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0OA OB +=(O 为坐标原点)，2120AF F F ⋅=2， 则直线AB 的方程是( ) A ． 22y =B ．22y x =C ．3y =D ．3y = 14．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A ．3B 17C 5D ．9215．若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数）有共同的焦点F 1,F 2，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于 ( ）A ．m p +B ．p m -C ．m p -D ．22m p -16．若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点，且满足20a b ->，20a b +>，则该点P 一定位于双曲线（ ) A ．右支上 B ．上支上 C ．右支上或上支上 D ．不能确定17．如图，在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=，AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ， 为焦点，且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ) A ．3 B ．1 C ．32D ．218221sin 2sin 3cos 2cos 3=--表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线19．已知12F F ，是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,点P 在椭圆上,且122F PF π∠=记线段1PF 与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若1FOQ △与四边形2OF PQ 的面积之比为1:2,则该椭圆的离心率等于 （ ） A ．23 B ．33 C ．43- D 3120．已知双曲线方程为2214y x -=，过(21)P -，的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的条数共有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 21．已知以1(20)F -，,2(20)F ，为焦点的椭圆与直线340x y +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） A ．2 B ．6 C ．7 D ．222．双曲线22221x y a b-=与椭圆22221x y m b +=(00)a m b >>>，的离心率互为倒数，那么以a b m ，，为边长的三角形是（ )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形23．已知点(10)(10)A B -，，，及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（ ） A ．3 B ．2 CD24．设12F F ，是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32x a =上一点,21F PF △是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为( ）A ．12B ．23C ．34D ．4525．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A B ，两点，||AB =则C 的实轴长为（ ）AB． C ．4 D ．826．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A B ，两点,||12AB =，P 为C 准线上一点，则ABP △的面积为（ )A ．18B ．24C ．36D ．48 27．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(42)-，，则它的离心率为（ ） ABCD28．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A B ，两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则ab的值为（ ） AB. C.29．若椭圆221(00)x y m n m n +=>>，与曲线22||x y m n +=-无焦点,则椭圆的离心率e 的取值范围是（ )A．1) B．(0 C．1) D．(0 30．已知12F F ，分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(0)M t ，为一个切点,则（ ）A ．2t =B ．2t >C ．2t <D ．t 与2的大小关系不确定31．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B ，,交其准线于点C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x = D．2y32．已知椭圆2214x y +=的焦点为12F F 、，在长轴12A A 上任取一点M,过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为( D ） ABC ．12D33．以O 为中心,12F F ，为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足12||2||2||MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为( ） AB ．23CD34．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ） A． B ．2 C ．1 D ．035．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为1242x x =-=，的两点,过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标为（ ) A ．(29)--， B ．(05)-， C ．(29)-， D ．(16)-，36．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．837．直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆22(1)1x y +-=从左到右的交点依次为A B C D ，，，，则||||AB CD 的值为（ )A ．16B ．116 C ．4 D ．1438．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A C ，分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点,F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点DBDF 的余弦是（ ）ABC D39．设双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( ）A ．(12]，B ．2]C ．2)D ．(12)，40．已知11()A x y ，是抛物线24y x =上的一个动点，22()B x y ，是椭圆22143x y +=上的一个动点,(10)N ，是一个定点，若AB ∥x 轴,且12x x <，则NAB △的周长l 的取值范围为（ )A ．10(5)3，B ．8(4)，C ．10(4)3，D ．11(5)3，41．2=e ，右焦点(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个根分别为1x ，2x ，则点12()P x x ，在（ ）A ．圆1022=+y x 内 B ．圆1022=+y x 上 C ．圆1022=+y x 外 D ．以上三种情况都有可能42．过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ,若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是( )A B C ．2 D43．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP(O 为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（ )A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．44．已知以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D 45的左准线l ，左．右焦点分别为F 1．F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点是F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则｜PF 2 ）A B C ．4 D ．846．已知F 1、F 2是双曲线 12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ） A ．4+32 Ｂ．3+1 Ｃ．3—1 Ｄ．213+47．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左顶点、右焦点分别为A 、F,点B （0，b ）,-=+,则该双曲线离心率e 的值为（ ）A ．213+ B C ．215- D ．248．直线l 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右准线,以原点O 为圆心且过双曲线焦点的圆被直线l 分成弧长为2：1的两段，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．2D ．49．从双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MT MO -与a b -的大小关系为 A ．a b MT MO ->- B ．a b MT MO -=- C ．a b MT MO -<-D ．不确定．50．点P 为双曲线1C :()0,012222>>=-b a by a x 和圆2C :2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点,则双曲线1C 的离心率为( ） A ．3B ．21+C ．13+D ．251．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为12F F ，，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4：3：2，则曲线r 的离心率等于 A ．1322或B ．23或2C ．12或2 D ．2332或 52．已知点P 为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右交点，I 为22PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为( )AB C ．b a D ．ab二、填空题:53．已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A B ，两点．若22||||12F A F B +=，则||AB = ． 54．中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为4，离心率为12的椭圆的方程为 ． 55．9．已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直,则a = .56．已知P 为椭圆22194x y +=上的点,12F F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △ 的面积是 ． 57．已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，和椭圆221169x y +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．58．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线与椭圆22143x y +=的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 ． 59．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过点2F 做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点P ，且1230PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为 ．60．已知12F F 、分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点,Q 是y 轴上的一个动点，若12||||4PF PF -=，则12()PQ PF PF ⋅-= 。