2008--2009高中数学第一轮复习学案---(11)数系的扩充与复数的引入

高三数学一轮精品复习:数系的扩充与复数的引入【考纲知识梳理】1、复数的有关概念（1）复数的概念形如a+bi(a,b ∈R)的数叫做复数，其中a,b 分别是它的实部和虚部。

若b=0,则a+bi 为实数，若b ≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b ≠0，则a+bi 为纯虚数。

（2）复数相等：a+bi=c+di ⇔a=c 且b=d(a,b,c,d ∈R).（3）共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔a=c ，b=-d(a,b,c,d ∈R).。

（4）复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。

X 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。

（5）复数的模向量OZ 的模r 叫做复数z=a+bi 的模，记叙|z|或|a+bi|，即2、复数的几何意义 （1）复数z=a+bi ←−−−→一一对应复平面内的点Z （a,b ）(a,b ∈R); （2）复数z=a+bi ←−−−→一一对应平面向量OZ （a,b ∈R ）。

3、复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则:设z 1=a+bi,z 2=c+di(a,b,c,d ∈R),则①加法：z 1+ z 2=（a+bi ）+（c+di ）=(a+c)+(b+d)i;②减法：z 1- z 2=（a+bi ）-（c+di ）=(a-c)+(b-d)i;③乘法：z 1· z 2=( a+bi )·(c+di )=(ac-bd)+(ad+bc)i; ④除法：1222()()()()(0)()()z a bi a bi c di ac bd bc ad i c di z c di c di c di c d ++-++-===+≠++-+ (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何1z 、2z 、3z ∈C ，有1z +2z =2z +1z ，（1z +2z ）+3z =1z +（2z +3z ）。

1．1 数的概念的扩展1．2 复数的有关概念(一)学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一复数的概念及复数的表示思考为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答案设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．梳理复数及其表示(1)复数的定义①规定i2＝－1，其中i叫作虚数单位；②若a∈R，b∈R，则形如a＋b i的数叫作复数．(2)复数的表示①复数通常表示为z＝a＋b i(a，b∈R)；②对于复数z＝a＋b i，a与b分别叫作复数z的实部与虚部，并且分别用Re z与Im z表示，即a＝Re z，b＝Im z.知识点二 复数的分类(1)复数a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示知识点三 两个复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .1．若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( × ) 2．复数z ＝b i 是纯虚数．( × )3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( √ )类型一 复数的概念 例1 (1)给出下列命题： ①若z ∈C ，则z 2≥0； ②2i－1虚部是2i ； ③2i 的实部是0；④若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ⑤实数集的补集是虚数集． 其中真命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________． 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 (1)C (2)±2，5解析 (1)令z ＝i∈C ，则i 2＝－1<0，故①不正确； ②中2i －1的虚部应是2，故②不正确；④当a ＝0时，a i ＝0为实数，故④不正确． ∴只有③⑤正确．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b －2＝3，∴a ＝±2，b ＝5.反思与感悟 (1)复数的代数形式：若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实部，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分． (3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答． 跟踪训练1 下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ③实数集是复数集的真子集． 其中正确说法的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 B解析 对于①，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；对于②，若x ＝－2，则x2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0不是纯虚数，故②错误．显然③正确．故选B. 类型二 复数的分类例2 求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是(1)虚数；(2)纯虚数．考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数 解 (1)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0，解得m ≠－3且m ≠－2.∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数．(2)复数z 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3，m ≠－3且m ≠－2，故m ＝3.∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数． 引申探究1．若本例条件不变，求m 为何值时，z 为实数．解 由已知得，复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3，虚部为m 2＋5m ＋6. 复数z 是实数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3，故m ＝－2.∴当m ＝－2时，复数z 是实数．2．已知i 是虚数单位，m ∈R ，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i ，则当m ＝________时，z为纯虚数． 答案 3或－2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2－2m －15≠0，解得m ＝3或－2.反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 当实数m 为何值时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是 (1)纯虚数；(2)实数． 考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数解 (1)若复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2－2m －7)＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.故当m ＝4时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数． (2)若复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m ＝－3.故当m ＝－2或－3时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 为实数． 类型三 复数相等例 3 (1)已知x 0是关于x 的方程x 2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0(m ∈R )的实根，则m 的值是________． 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案112解析 由题意，得x 20－(2i －1)x 0＋3m －i ＝0， 即(x 20＋x 0＋3m )＋(－2x 0－1)i ＝0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋x 0＋3m ＝0，－2x 0－1＝0，解得m ＝112.(2)已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值． 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数解 由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－1.反思与感悟 (1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不成立．(2)利用条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．跟踪训练3 复数z 1＝(2m ＋7)＋(m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i ，m ∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝________. 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数答案 5解析 因为m ∈R ，z 1＝z 2，所以(2m ＋7)＋(m 2－2)i ＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋7＝m 2－8，m 2－2＝4m ＋3，解得m ＝5.1．若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( ) A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案 B解析 由i 2＝－1，得x i －i 2＝1＋x i ，则由题意得1＋x i ＝y ＋2i ，根据复数相等的充要条件得x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i.2．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( ) A ．－1B ．2C ．1D ．－1或2 考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数 答案 D解析 因为复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数， 所以m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2. 3．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－a i(a ∈R )是一个复数； ④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ； ⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数． 其中真命题的个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 考点 复数的概念题点 复数的概念及分类 答案 B解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．4．已知复数z ＝a 2＋(2a ＋3)i(a ∈R )的实部大于虚部，则实数a 的取值范围是_________． 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 由已知可得a 2>2a ＋3，即a 2－2a －3>0， 解得a >3或a <－1，因此，实数a 的取值范围是{a |a >3或a <－1}．5．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________． 考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数 答案 －2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2－3x －2)>1，log 2(x 2＋2x ＋1)＝0，得x ＝－2.1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.一、选择题1．设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 B解析 因为a ，b ∈R ，当a ＝0时，复数a ＋b i 不一定是纯虚数，也可能b ＝0，即a ＋b i ＝0∈R . 而当复数a ＋b i 是纯虚数，则a ＝0一定成立．所以a ，b ∈R ，a ＝0是复数a ＋b i 是纯虚数的必要不充分条件．2．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( ) A ．2－2i B ．－5＋5i C ．2＋iD.5＋5i考点 复数的概念 题点 求复数的实部和虚部 答案 A解析 设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知复数－5＋2i 的虚部为2，复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A. 3．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y的值为( )A.12B ．2C ．0D ．1 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案 D解析 由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0，∴2x ＋y＝20＝1.4．下列命题中：①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集； ③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3. 正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 A解析 ①取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故①错；②③错，故选A. 5．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A ．2k π－π4(k ∈Z )B ．2k π＋π4(k ∈Z )C ．2k π±π4(k ∈Z )D.k 2π＋π4(k ∈Z )考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数 答案 B解析 由题意，得⎩⎨⎧sin2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π4，θ≠2k π±3π4，k ∈Z ，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z .6．若复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的值为( )A ．7B ．－17C ．－7D ．－7或－17考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数 答案 C解析 ∵复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35i 是纯虚数，∴cos θ－45＝0，sin θ－35≠0，∴sin θ＝－35，∴tan θ＝－34，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7.7．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( ) A ．3＋i B ．3－i C ．－3－i D ．－3＋i考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案 B解析 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1.∴z ＝3－i ，故选B.二、填空题8．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数 答案 －2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，得m ＝－2.9．已知z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i.则m ＝1是z 1＝z 2的______________条件． 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案 充分不必要解析 当z 1＝z 2时，必有m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，显然m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．10．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________． 考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数 答案 0或1解析 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ， 所以m 2－m ＝0，解得m ＝0或1.11．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 不是纯虚数，则实数a 的取值范围是________________． 考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数 答案 (－∞，－1)∪(－1，＋∞)解析 若复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 是纯虚数，则a 2－2a －3＝0，|a －2|－1≠0，解得a ＝－1，∴当a ≠－1时，复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 不是纯虚数． 12．已知log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，且n ∈N ＋，则m ＋n ＝________.考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数 答案 1或2解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ log 12(m ＋n )≥－1， ①－(m 2－3m )＝0， ②由②，得m ＝0或m ＝3.当m ＝0时，由log 12(m ＋n )≥－1，得0<n ≤2，∴n ＝1或n ＝2.当m ＝3时，由log 12(m ＋n )≥－1，得0<n ＋3≤2，∴－3<n ≤－1，即n 无自然数解．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝2.故m ＋n 的值为1或2.三、解答题13．当实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数解 (1)要使z 是实数，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3. (2)要使z 是虚数，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －3≠0，m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ m (m ＋2)m －1＝0，m 2＋2m －3≠0，m －1≠0，解得m ＝0或m ＝－2.四、探究与拓展14．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，求实数x ，y 的值． 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数解 由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋y i ， 故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2. 15．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}满足(M ∩N )⊆M ，且M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．考点 复数相等题点 由复数相等求参数解 由题意，得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，①或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ，②或(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.③由①，得a ＝－3，b ＝±2，由②，得a ＝±3，b ＝－2，③中，a ，b 无整数解，不符合题意．综上，a ＝－3，b ＝2或a ＝－3，b ＝－2或a ＝3，b ＝－2.。

高中数学一轮复习数系的扩充与复数的引入数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入检测表扬田婧王继松郝金慢王晶陈进潘策陈亮国帅丁宇航赵雪晴寇松王东越李秋渝周一凡魏家骏李震谷兴鹤于雪健张佳丽石梦然吴错侯梦丹检测：若复数z＝(＋i)z＝－i则复数z＝的共轭复数所对应的点位于复平面的第()象限．设复数z＝eqf(－i,＋i)＋(＋i)则(＋z)展开式的第五项是（）．已知m∈R复数z＝eqf(m m＋,m－)＋(m＋m－)i()若z是实数则m为（）()若z是虚数则m为（）()z是纯虚数则m为（）数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入．若复数z＝(＋i)z＝－i则复数z ＝的共轭复数所对应的点位于复平面的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入答案：C解析：z＝eqf(z,z)＝eqf(i,－i)＝eqf(－＋i,)＝－＋i共轭复数为eqxto(z)＝－－i则复数eqxto(z)＝－－i所对应的点是(－－)在第三象限故选C数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入．设复数z＝eqf(－i,＋i)＋(＋i)则(＋z)展开式的第五项是()A．－B．C．－iD．－i数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入答案：B解析：由z＝eqf(－i,＋i)＋(＋i)得z＝i则T＝T＋＝Ceqoal(,)z＝×i＝故选B数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入解：()要使z是实数m须满足：m＋m－＝且eqf(m m＋,m－)有意义解得m＝－∴当m＝－时复数z为实数．()要使z是虚数m须满足：m＋m－≠且eqf(m m＋,m－)有意义解得m≠且m≠－∴当m∈R且m≠－时z为虚数．数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入()要使z是纯虚数m须满足：eqf(m m＋,m－)＝且m＋m－≠解得m＝或m＝－∴当m＝或m＝－时z为纯虚数．数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入考纲要求理解复数的基本概念．．理解复数相等的充要条件．．了解复数的代数表示法及其几何意义．．会进行复数代数形式的四则运算．．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入热点提示从近几年的高考试题看复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点通常分两种题型即选择题和填空题．一是考查复数的概念如纯虚数两个复数相等二是复数代数形式的加、减、乘、除四则运算等基础知识．．预测年高考命题仍会以考查复数的概念包括以实部与虚部、虚数与纯虚数以及复数的代数形式的运算为重点进行命题数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入．复数的有关概念()复数的概念形如a ＋bi(ab∈R)的数叫做复数其中ab分别是它的．若则a＋bi为实数若则a＋bi为虚数若则a＋bi为纯虚数．实部和虚部b＝b≠a＝且b≠数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入()复数相等：a＋bi＝c＋di⇔(abcd∈R)．()共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔(abcd∈R)．()复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．叫做实轴叫做虚轴．实轴上的点都表示除原点外虚轴上的点都表示各象限内的点都表示．a＝c且b＝da＝cb＝－dx轴y轴实数纯虚数非纯虚数数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入．复数的运算()复数的加、减、乘、除运算法则设z＝a＋biz＝c＋di(abcd∈R)则①加法：z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝②减法：z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝③乘法：z·z＝(a＋bi)·(c ＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入()复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律即对任何z、z、z∈C有z＋z＝(z＋z)＋z＝．z＋zz＋(z＋z)数学高考总复习人教A 版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入．复数(＋eqf(,i))＋(－eqf(,i))等于()A．B．C．D．－数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入任意两复数能比较大小吗？提示：不一定只有这两个复数全是实数时才能比较大小数学高考总复习人教A 版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入答案：D解析：(＋eqf(,i))＋(－eqf(,i))＝(－i)＋(＋i)＝－i(－i)＋i(＋i)＝i·i＝－数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入．若复数z＝(＋i)z＝－i则复数z＝的共轭复数所对应的点位于复平面的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入答案：C解析：z＝eqf(z,z)＝eqf(i,－i)＝eqf(－＋i,)＝－＋i共轭复数为eqxto(z)＝－－i则复数eqxto(z)＝－－i所对应的点是(－－)在第三象限故选C数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入．设复数z＝eqf(－i,＋i)＋(＋i)则(＋z)展开式的第五项是()A．－B．C．－iD．－i数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入答案：B解析：由z＝eqf(－i,＋i)＋(＋i)得z＝i则T＝T＋＝Ceqoal(,)z＝×i＝故选B数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入．若复数eqf(＋bi,＋i)(b∈R)在复平面上对应的点恰好在直线x＋y＝上则b的值为．数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入解析：利用复数的运算性质eqf(＋bi,＋i)＝eqf(＋bi－i,＋i－i)＝eqf(－b－＋b i,)该复数对应的点为(eqf(－b,)－eqf(＋b,))所以eqf(－b,)－eqf(＋b,)＝可得b＝－eqf(,)数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入．设i为虚数单位那么＋i＋i＋…＋i＝解析：＋i＋i ＋…＋i＝＋i＋(－)＋(－i)＋＋i＋(－)＋(－i)＋(＋i－)＝＋＋i＝i答案：i数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入【例】已知m∈R复数z＝eqf(m m＋,m－)＋(m＋m－)i当m为何值时()z是实数？()z是虚数？()z是纯虚数？数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入解：()要使z是实数m须满足：m＋m－＝且eqf(m m＋,m －)有意义解得m＝－∴当m＝－时复数z为实数．()要使z是虚数m 须满足：m＋m－≠且eqf(m m＋,m－)有意义解得m≠且m≠－∴当m∈R且m≠－时z为虚数．数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入()要使z是纯虚数m须满足：eqf(m m＋,m－)＝且m＋m－≠解得m＝或m＝－∴当m＝或m＝－时z为纯虚数．数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入此题是基础题用到了复数的分类．在对复数进行分类时要注意使得虚部和实部均有意义如当z为实数时应有虚部b＝还要保证实部a有意义当z为虚数时应有虚部b≠还要保证实部a有意义当z为纯虚数时应有实部a＝还要保证虚部b ≠否则容易发生错误在做题时要特别小心数学高考总复习人教A 版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入变式迁移当实数m为何值时z＝eqf(m－m＋,m＋)＋(m＋m＋)i()为实数()为虚数()为纯虚数？数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入解：()若z为实数则eqblc{rc(avsalco(m＋m＋＝,m ＋≠))解得m＝－()若z为虚数则m＋m＋≠且m＋≠解得m≠－且m ≠－()若z为纯虚数则eqblc{rc(avsalco(m＋m＋≠,f(m－m－,m＋)＝))解得m＝数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入【例】已知xy为共轭复数且(x＋y)－xyi＝－i 求xy思路分析：设x＝a＋biy＝a－bi(ab∈R)根据复数相等的条件求解．数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入解：设x＝a＋bi(ab∈R)则y＝a－bix＋y＝axy＝a＋b代入原式得(a)－(a＋b)i＝－i根据复数相等得eqblc{rc(avsalco(a＝,－a＋b＝－))解得eqblc{rc(avsalco(a＝,b＝))或eqblc{rc(avsalco(a ＝,b＝－))或eqblc{rc(avsalco(a＝－,b＝))或eqblc{rc(avsalco(a＝－,b ＝－))数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入故所求复数为eqblc{rc(avsalco(x＝＋i,y＝－i))或eqblc{rc(avsalco(x＝－i,y＝＋i))或eqblc{rc(avsalco(x＝－＋i,y＝－－i))或eqblc{rc(avsalco(x＝－－i,y＝－＋i))数学高考总复习人教A 版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入解这类题的关键是将复数设成z＝a＋bi(ab∈R)的代数形式然后根据复数相等实现复数问题向实数问题的转化使问题得以解决数学高考总复习人教A 版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入变式迁移已知eqf(m,＋i)＝－ni其中m、n是实数i是虚数单位则m＋ni＝( )A．＋iB．－iC．＋iD．－i数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入答案：C解析：直接推算或对四个选项中的mn值逐一代入条件检验．由eqf(m,＋i)＝－ni得eqf(m,)－eqf(m,)i＝－ni则eqf(m,)＝且－eqf(m,)＝－n故m＝n＝∴选C数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入思路分析：主要是应用复数的加、减、乘、除的运算法则及其运算技巧．【例】计算：()eqf(＋i,－r()i)()eqf(－r()＋i,＋r()i)＋(eqf(r(),－i))()(eqf(＋i,－i))＋eqf(r()＋r()i,r()－r()i)数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入解：()原式＝eqf(＋i,－r()i－r()i)＝eqf(i,－－r()i －r()i)＝eqf(－,＋r()i－r()i)＝eqf(－,＋r()i×)＝eqf(－,＋r()i)＝－＋eqr()i数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入()原式＝eqf(i＋r()i,＋r()i)＋eqblcrc(avsalco(f(r(),－i)))＝i＋(eqf(,－i))＝i＋i＝i＋i×＋＝i＋i ＝i()解法一：原式＝eqblcrc(avsalco(f(＋i,)))＋eqf(r()＋r()i r()＋r()i,r()＋r())＝i＋eqf(r()＋i＋i－r(),)＝－＋i数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入解法二：(技巧解法)原式＝eqblcrc(avsalco(f(＋i,)))＋eqf(r()＋r()i i,r()－r()i i)＝i＋eqf(r()＋r()i i,r()＋r()i)＝－＋i数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入变式迁移计算：()eqf(－＋i＋i,i)()eqf(－i,＋i)＋eqf(＋i,－i)()(eqf(＋i,r()))＋(eqf(－i,r()))数学高考总复习人教A 版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入解：()eqf(－＋i＋i,i)＝eqf(－＋i,－i)＝－－i()eqf(－i,＋i)＋eqf(＋i,－i)＝eqf(－i,i)＋eqf(＋i,－i)＝eqf(＋i,－)＋eqf(－＋i,)＝－数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入()(eqf(＋i,r()))＋(eqf(－i,r()))＝eqf(,r())(＋i)·(＋i)＋(－i)·(－i)＝eqf(,r())(i)·(＋i)＋(－i)·(－i)＝eqf(,r())(－i)·(＋i)＋i·(－i)＝eqr()数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入【例】如右图平行四边形OABC顶点O、A、C 分别表示,＋i－＋i试求：()eqo(AO,sup(→))表示的复数eqo(BC,sup(→))表示的复数()对角线eqo(CA,sup(→))所表示的复数．数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入思路分析：求某个向量对应的复数只要求出向量的起点和终点对应的复数即可．数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入解：()eqo(AO,sup(→))＝－eqo(OA,sup(→))∴eqo(AO,sup(→))表示的复数为－－i∵eqo(BC,sup(→))＝eqo(AO,sup(→))∴eqo(BC,sup(→))所表示的复数为－－i()eqo(CA,sup(→))＝eqo(OA,sup(→))－eqo(OC,sup(→))∴eqo(CA,sup(→))所表示的复数为(＋i)－(－＋i)＝－i数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入解决这类题是利用复数a＋bi(ab∈R)与复平面内以原点为起点的向量之间一一对应的关系相等的向量表示同一复数然后借助于向量运算的平行四边形法则和三角形法则进行求解数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入变式迁移若复数z＝x＋yi(xy∈R)则称|z|＝eqr(x＋y)为复数z的模．已知非零复数z、z分别对应向量eqo(OA,sup(→))、eqo(OB,sup(→))若|z＋z|＝|z－z|则向量eqo(OA,sup(→))与eqo(OB,sup(→))的关系是()Aeqo(OA,sup(→))＝eqo(OB,sup(→))B．|eqo(OA,sup(→))|＝|eqo(OB,sup(→))|Ceqo(OA,sup(→))⊥eqo(OB,sup(→))D．OA与eqo(OB,sup(→))共线数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入答案：C解析：如右图eqo(OA,sup(→))与eqo(OB,sup(→))对应复数z、z∴eqo(OC,sup(→))、eqo(BA,sup(→))分别对应复数z＋z和z－z∵|z＋z|＝|z－z|∴|eqo(OC,sup(→))|＝|eqo(BA,sup(→))|∴平行四边形OACB为矩形∴OA⊥OB即eqo(OA,sup(→))⊥eqo(OB,sup(→))数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入．复数的代数运算()复数代数运算的实质是转化为实数运算在转化时常用的知识有复数相等复数的加、减、乘、除运算法则模的性质共轭复数的性质．数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入()一些常用的结论①(±i)＝±i②eqf(＋i,－i)＝ieqf(－i,＋i)＝－i③in ＝in＋＝iin＋＝－in＋＝－iin＋in＋＋in＋＋in＋＝其中n为整数．数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入．复数的几何意义()数学高考总复习人教A版·(理)第四模块平面向量、数系的扩充与复数的引入()|z|表示复数z对应的点与原点的距离．()|z－z|表示两点间的距离即表示复数z与z对应点间的距离．结合复数的几何意义、运用数形结合的思想可把复数、解析几何有机地结合在一起达到了学科间的融合而且方法更灵活．。

高三一轮复习第四章平面向量与复数4.5 数系的扩充与复数的引入【教学目标】1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．2.了解复数的代数表示法及其几何意义．能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示．3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减运算的几何意义. 【重点难点】1.教学重点理解复数的基本概念，会进行复数代数形式的四则运算；2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b i c －d ic ＋d i c －d i＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.1．必会结论；(1)(1±i)2＝±2i；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i.(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)． (3)i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N *)．(4)i 4n＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0(n ∈N *)．2．必清误区；(1)判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． (2)两个虚数不能比较大小．(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z 1，z 2∈C ，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2<0在复数范围内有可能成立．考点分项突破 考点一复数的有关概念1．若a ＋b i ＝51＋2i(i 为虚单位，a ，b ∈R)，则复数z ＝(a ＋1)＋(b ＋1)i 的模为( )A ．5 B. 5 C.10 D ．10【解析】 由a ＋b i ＝51＋2i ＝1－2i 得a ＝1，b ＝－2， 所以复数z ＝2－i ，∴|z |＝22＋12＝ 5. 【答案】 B2．已知复数z 满足z ＝2i 1＋3i(i 为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是( )A.32 B ．－32 C.12 D ．－12 【解析】 z ＝2i 1＋3i＝2i 1－3i1＋3i1－3i＝32＋12i ， 所以z －＝32－12i ，所以z 的共轭复数的虚部是－12.【答案】 D3．(2015·天津高考)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 【解析】 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2. 【答案】 －2归纳求解与复数相关问题的技巧1．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)组即可．2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z ，然后利用复数模的定义求解． 考点二 复数的四则运算●命题角度1 复数的加减乘法运算1．(2015·广东高考)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i【解析】 ∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ， ∴z ＝2－3i.【答案】 A2．(2015·北京高考)复数i(1＋i)的实部为________．【解析】 因为i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，所以实部为－1.【答案】 －1●命题角度2 复数的除法运算3．(2015·全国卷Ⅰ)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 【解析】 由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i1＋i ＝－1＋i1－i2＝2i2＝i ，所以|z |＝|i|＝1，故选A. 【答案】 A4．(2015·湖南高考)已知1－i2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 【解析】 由1－i2z＝1＋i ，得z ＝1－i 21＋i＝－2i 1＋i ＝－2i 1－i1＋i 1－i＝－1－i ，故选D.【答案】 D●命题角度3 复数与其它知识交汇5．(2015·陕西高考)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R)，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A.34＋12πB.12＋1πC.12－1πD.14－12π【解析】 |z |＝x －12＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z |≤1时，y ≥x 表示的是图中阴影部分，其面积为S ＝14π×12生形成完整的认知结构。