(完整版)高中数学一轮复习《1集合与充要条件》教学案

2019-2020年高考数学复习第06课时第一章集合与简易逻辑-充要条件名师精品教案一．课题：充要条件二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．三．教学重点：充要条件关系的判定．四．教学过程：（一）主要知识：1．充要条件的概念及关系的判定；2．充要条件关系的证明．（二）主要方法：1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；2．判断是否正确的本质是判断命题“若，则”的真假；3．判断充要条件关系的三种方法：①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．4．说明不充分或不必要时，常构造反例．（三）例题分析：例1．指出下列各组命题中，是的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）（1）在中，，（2）对于实数，，或（3）在中，，（4）已知，，解：（1）在中，有正弦定理知道：∴又由所以，即是的的充要条件．（2）因为命题“若且，则”是真命题，故，命题“若，则且”是假命题，故不能推出，所以是的充分不必要条件．（3）取，不能推导出；取，不能推导出所以，是的既不充分也不必要条件．（4）因为，或，，所以，是的充分非必要条件．例2．设，则是的（）、是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：由图形可以知道选择B，D．（图略）例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲，因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙，因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B ．例4．设，求证：成立的充要条件是．证明：充分性：如果，那么，①② ③于是如果即或，当时，，当时，||()()||||x y x y x y x y +=--=-+-=+，总之，当时，．必要性：由及得即222222||x xy y x xy y ++=++得所以故必要性成立，综上，原命题成立．例5．已知数列的通项1113423n a n n n =++++++，为了使不等式22(1)11log (1)log 20n t t a t t ->--对任意恒成立的充要条件． 解：∵11111111()()02425324262526n n a a n n n n n n n +-=+-=-+->+++++++， 则1221n n n a a a a a -->>>>>， 欲使得题设中的不等式对任意恒成立，只须的最小项221(1)11log (1)log 20t t a t t ->--即可， 又因为，即只须且22911log (1)log (1)02020t t t t ----<， 解得，即，解得实数应满足的关系为且．例6．（1）是否存在实数，使得是的充分条件？（2）是否存在实数，使得是的必要条件？解：欲使得是的充分条件，则只要或，则只要即，故存在实数时，使是的充分条件．（2）欲使是的必要条件，则只要或，则这是不可能的，故不存在实数时，使是的必要条件．（四）巩固练习：1．若非空集合，则“或”是“”的条件．2．是的条件．3．直线和平面，的一个充分条件是（）A. B.C. D.2019-2020年高考数学复习第08课时第二章函数-函数的概念名师精品教案一．课题：函数的概念二．教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．三．教学重点：函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂．四．教学过程：（一）主要知识：1．对应、映射、像和原像、一一映射的定义；2．函数的传统定义和近代定义；3．函数的三要素及表示法．（二）主要方法：1．对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；2．对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键；3．理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系．（三）例题分析：例1．（1），，；（2），，；（3），，．上述三个对应（2）是到的映射．例2．已知集合，映射，在作用下点的象是，则集合（）{}(,)|1,0,0=>>x y xy x y+=>>{}(,)|2,0,0x y x y x y{}x y xy x y(,)|2,0,0=>>x y xy x y=<<{}(,)|2,0,0解法要点：因为，所以．例3．设集合，，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是（ ）8个 12个 16个 18个解法要点：∵为奇数，∴当为奇数、时，它们在中的象只能为偶数、或，由分步计数原理和对应方法有种；而当时，它在中的象为奇数或，共有种对应方法．故映射的个数是．例4．矩形的长，宽，动点、分别在、上，且，（1）将的面积表示为的函数，求函数的解析式；（2）求的最大值．解：（1）2111()408(5)5(8)222ABCD CEF ABE ADF S f x S S S S x x x ∆∆∆==---=--⨯⨯--⨯⨯- 22113113169()22228x x x =-+=--+． ∵，∴， ∴函数的解析式：2113169()()(05)228S f x x x ==--+<≤； （2）∵在上单调递增，∴，即的最大值为．例5．函数对一切实数，均有()()(21)f x y f y x y x +-=++成立，且，（1）求的值；（2）对任意的，，都有成立时，求的取值范围．解：（1）由已知等式()()(21)f x y f y x y x +-=++，令，得，又∵，∴．（2）由()()(21)f x y f y x y x +-=++，令得，由（1）知，∴． ∵，∴22111111()2()24f x x x x +=+=+-在上单调递增，∴．要使任意，都有成立，当时，,显然不成立． 当时，，∴0113log 24a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得 ∴的取值范围是．（四）巩固练习：1．给定映射，点的原象是或．2．下列函数中，与函数相同的函数是 （ ）3．设函数3,(10)()((5)),(10)x xf xf f x x-≥⎧=⎨+<⎩，则＝．。

第三节充分条件与必要条件1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．1．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/ A)；与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/ B)两者的不同．『试一试』1．(2013·南通一模)已知命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a不是正数，则它的平方等于0，则p是q的____________(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”或“否定”)．『解析』因为命题q的题设与结论恰好是命题p的题设与结论的否定，故两者之间互否．『答案』否命题2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：___________.『解析』原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，『结论』∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．『答案』“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”1．判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B时，则p是q的充分不必要条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；若B A时，则p是q的必要不充分条件；③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．(3)等价转化法：p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件．2．转化与化归思想由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．『练一练』1．(2014·苏锡常镇调研)“x>3”是“x>5”的______________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．『解析』“x>3”不一定能推出“x>5”，但“x>5”一定能推出“x>3”，故“x>3”是“x>5”的必要不充分条件．『答案』必要不充分2．(2013·苏锡常镇一调)已知命题p：直线a，b相交，命题q：直线a，b异面，则綈p是q 的________条件．『解析』因为綈p：直线a，b不相交，即两条直线平行或异面，所以綈p是q的必要不充分条件．『答案』必要不充分考点一 命题及其相互关系1.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是_________________________________． 『解析』命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 『答案』“若tan α≠1，则α≠π4” 2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”；③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．『解析』对于①，若log 2a >0＝log 21，则a >1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x 、y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④. 『答案』②④『备课札记』 『类题通法』在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.考点二 充分必要条件的判定『典例』 (1)(2014·泰州期末)设a ∈R ，s ：数列{(n －a )2}是递增数列，t ：a ≤1，则s 是t 的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．(2)(2013·北京高考改编)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的________条件．『解析』 (1)由s ：数列{(n －a )2}是递增数列，知(n －a )2<『(n ＋1)－a 』2，则2a <2n ＋1得a <32， 所以s 是t 的必要不充分条件．(2)由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．『答案』(1)必要不充分 (2)充分不必要『备课札记』 『类题通法』充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p ，则q ”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A 是B 的什么条件”中，A 是条件，B 是结论，而“A 的什么条件是B ”中，A 是结论，B 是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．『针对训练』下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ；(2)p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0.『解析』(1)若A ＝B ，则sin A ＝sin B ，即p ⇒q .又若sin A ＝sin B ，则2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b .故A ＝B ，即q ⇒p .所以p 是q 的充要条件．(2)p ：{x ||x |＝x }＝{x |x ≥0}＝A ，q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0，或x ≤－1}＝B ，∵A B ，∴p 是q 的充分不必要条件.考点三 充分必要条件的应用『典例』 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围．『解析』 (1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3. 综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件． 『备课札记』保持本例条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.『解析』由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S ⇒/ P .∴『－2,10』『1－m,1＋m 』．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是『9，＋∞)．『类题通法』利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：(1)若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且q ⇒/ p ；(2)若p 是q 的必要不充分条件，则p ⇒/ q ，且q ⇒p ；(3)若p 是q 的充要条件，则p ⇔q .『针对训练』(2014·无锡期末)已知p ：|x －a |<4，q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．『解析』由题意知p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3，因为“綈p ”是“綈q ”的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件．所以⎩⎪⎨⎪⎧3≤a ＋4，2≥a －4，解得－1≤a ≤6. 『答案』『－1,6』『课堂练通考点』1．(2014·苏州期末)命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是________命题(填“真”或“假”)． 『解析』命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是“若x ≤0，则x 2≤0”，是假命题．也可以由逆命题为“若x 2>0，则x >0”来判断，逆命题为假命题，因此否命题是假命题．『答案』假2．(2013·盐城二模)直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行的充要条件是m ＝________.『解析』由题意，m ≠0，所以－2m ＝3，所以m ＝－23. 『答案』－233．已知向量a ＝(m 2,4)，b ＝(1,1)，则“m ＝－2”是“a ∥b ”的____________条件．『解析』依题意，当m ＝－2时，a ＝(4,4)，b ＝(1,1)，所以a ＝4b ，a ∥b ，即由m ＝－2可以推出a ∥b ；当a ∥b 时，m 2＝4，得m ＝±2，所以不能推得m ＝－2，即“m ＝－2”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．『答案』充分不必要4．设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则A B 是(∁U A )∪B ＝U 的____________条件． 『解析』如图所示，A B ⇒(∁U A )∪B ＝U ；但(∁U A )∪B ＝U ⇒/ A B ，如A ＝B ，因此A B 是(∁U A )∪B ＝U 的充分不必要条件．『答案』充分不必要5．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是________．『答案』若a ≤b ，则a －1≤b －16.创新题已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．『解析』A ＝{x |x <4}，由题意得A B 结合数轴易得a >4.『答案』(4，＋∞)。

章节一：集合与充要条件1.集合的概念一般地，由某些确定的对象组成的整体叫做集合，简称为集.组成这个集合的对象叫做这个集合的 元素.集合常用大写英文字母A ，B ，C ，…表示.集合的元素常用小写英文字母a ，b ，c ，…表示. 2.3.(1)按集合中元素的个数分类有限集：含有有限个元素的集合. 无限集：含有无限个元素的集合. (2)按集合中元素的属性分类 点集：由点组成的集合. 数集：由数组成的集合. 4.几种常见的集合 (1)空集不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.空集是有限集. 5.集合的常见表示法 (1)列举法把集合的所有元素一一列出，中间用逗号隔开，并用花括号“{ }”把它们括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.例如，方程x 2-1=0的解组成的集合用列举法可表示为{-1,1}. (2)描述法利用元素的特征性质来表示集合的方法叫做描述法.用描述法表示集合时，在花括号“{ }”中画一条竖线，竖线的左侧是集合的代表元素及取值范围，竖线的右侧是元素所具有的特征性质.例如，比3大的实数组成的集合用描述法可表示为{x ∈R ｜x >3}. 6.子集一般地，如果集合A 的每一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.任何一个集合都是它本身的子集，即A A ⊆.规定：空集是任何集合的子集，即对于任何集合A ，都有A ∅⊆. 如果集合A 不是集合B 的子集，记作A ⊈B （或B ⊉A ），读作“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）. 7.真子集一般地，如果集合A 是集合B 的子集，并且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集，记作A ⫋B （或B ⫌A ），读作“A 真包含于B ”（或“B 真包含A ”）.空集是任何非空集合的真子集，即对于任何非空集合A ，都有∅⫋A . 8.集合相等一般地，如果集合A 的元素与集合B 的元素完全相同，则称集合A 与集合B 相等，记作A B ＝.也就是说，当集合A 的每一个元素是集合B 的元素，同时集合B 的每一个元素也是集合A 的元素，即A B ⊆且B A ⊆时，A B ＝. 9.交集的定义一般地，对于给定的集合A 与集合B ，由既属于集合A 又属于集合B 的所有元素组成的集合，叫做集合A 与集合B 的交集，记作B A .读作“A 交B ”.即{}A B x x A x B ∈∈＝且.10.交集的性质对于任意的两个集合A ，B ，有 （1）A ∩B =B ∩A ； （2）A ∩A =A ；关系 内容 表示 读法 属于 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A a ∈A a 属于A不属于 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A a ∉A a 不属于A 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集记法 N N *或N + Z Q R（3）A ∩∅=∅∩A =∅； （4）A ∩B ⊈A ，A ∩B ⊈B . 11.并集的定义一般地，对于给定的集合A 与集合B ，由集合A 与集合B 的所有元素组成的集合叫做集合A 与集合B 的并集，记作A ∪B .读作“A 并B ”.即A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B }. 12.并集的性质对于任意的两个集合A ，B ，有 （1）A ∪B =B ∪A ； （2）A ∪A =A ；（3）A ∪∅=∅∪A =A ； （4）A ⊈A ∪B ，B ⊈A ∪B . 13.补集的定义在研究某些集合时，如果这些集合是一个给定集合的子集，那么这个给定的集合叫做全集，通常用字母U 表示.在研究数集时，通常把实数集R 作为全集.一般地，若集合A 是全集U 的一个子集，则由集合U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合叫做集合A 在全集U 中的补集，记作∁U A .即∁U A ={x |x ∈U 且x ∉A }. 14.补集的性质对于任意集合A ，有 （1）A ∩∁U A =∅； （2）A ∪∁U A =U ； （3）∁U （∁U A ）=A . 15.充要条件已知条件p 和结论q ：（1）若由条件p 成立推出结论q 成立，则称条件p 是结论q 的充分条件，记作p ⇒q . （2）若由结论q 成立推出条件p 成立，则称条件p 是结论q 的必要条件，记作q ⇒p . （3）若p ⇒q ，并且q ⇒p ，则称条件p 是结论q 的充要条件，记作p ⇔q . 例题例1.下列各结论中，正确的是（ ）A .{0}是空集B .{x |x 2+x +2=0}是空集C .{1，2}与{2，1}是不同的集合D .方程x 2-4x +4=0的解集是{2，2}B 【解析】集合{0}中的元素是0，所以{0}不是空集.因为x 2+x +2=212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+74≥74，所以方程x 2+x +2=0无解，则集合{x |x 2+x +2=0}中没有元素，故集合{x |x 2+x +2=0}是空集.因为集合中的元素具有无序性，所以{1，2}与{2，1}是相同的集合.解方程x 2-4x +4=0，得x =2，因为集合中的元素具有互异性，所以方程x 2-4x +4=0的解集是{2}.例2.已知集合A ={x |kx 2+5x +2=0}，若A ≠∅，且k ∈N ，求k 的所有值组成的集合.【解析】当k =0时，方程5x +2=0，解得25x =-，所以集合A =25⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，此时满足A ≠∅.当k ≠0时，由A ≠∅，得方程kx 2+5x +2=0有解，即Δ=52-4×k ×2=25-8k ≥0，解得k ≤258，因为k ∈N ，所以k 的可能取值为1，2，综上可得，k 的所有可能取值为0，1，2，3.故k 的所有值组成的集合为{0,1,2,3}. 例3..设集合M ={x |0≤x ＜1}，则下列关系正确的是（ ）A .0⊆MB .{0}∈MC .{0}⊆MD .M =∅ C 【解析】因为集合M 中的元素x 满足0≤x ＜1，所以0∈M ，则M ≠∅，{0}⊆M . 例4.设集合A ={b ，c ，d }，则集合A 的子集共有（ ）A .5个B .6个C .7个D .8个 D 【解析】因为集合A 中有3个元素，所以集合A 的子集有23=8个.例5.已知集合A ={x |-3≤x ≤4}，B ={x |-m ＜x ＜m }，且A ⊆B ，则m 的取值范围是（ ）A .{m |0＜m ≤3}B .{m |0＜m ≤4}C .{m |m ＞4}D .{m |m ＞3}C 【解析】因为集合A ={x |-3≤x ≤4}，且A ⊆B ，所以B ≠∅.又因为B ={x |-m ＜x ＜m }，所以034m m m ⎧⎪-⎨⎪⎩＞＜-，＞，解得m ＞4，故m 的取值范围是{m |m ＞4}.例6.[2018河北第1题]设集合M ={0，1，2，3，4}，N ={x |0＜x ≤3}，则M ∩N =（ ）A .{1，2}B .{0，1，2}C .{1，2，3}D .{0，1，2，3} C 【解析】集合M 和集合N 的公共元素是1，2，3，所以M ∩N ={1，2，3}. 例7.设集合A ={-2，0，4}，B ={m ，2m -2}，如果A ∩B ={0}，求m 的值及集合B . 【解析】因为A ∩B ={0}，所以0∈B ，则m =0或2m -2=0，解得m =0或m =1.当m =0时，集合B ={0，-2}，所以集合A 和集合B 的公共元素是0，-2，即A ∩B ={0，-2}，不符合题意.当m =1时，集合B ={1，0}，所以集合A 和集合B 的公共元素是0，即A ∩B ={0}，符合题意.综上可得，m =1，集合B ={1，0}. 例8.已知集合A ={x |-1＜x ＜2}，B ={x |x ＜-m 或x ＞4-m }，若A ∩B =∅，求实数m 的取值范围.【解析】因为-m ＜4-m 恒成立，所以B ≠∅.又因为A ∩B =∅，所以集合A 与集合B 没有公共元素，则142m m -⎧⎨-⎩≤-，≥，解得1≤m ≤2，故实数m 的取值范围是{m |1≤m ≤2}. 例9.[2021浙江第1题]集合A ={-2，-1，0，1，2}，集合B ={-2，4}，则A ⊈B = （ ）A .{-2，-1，4}B .{-2}C .{0，1，2，4}D .{-2，-1，0，1，2，4}D 【解析】集合A 和集合B 的所有元素是-2，-1，0，1，2，4，所以A ⊈B ={-2，-1，0，1，2，4}. 例10.已知集合A ={x |x ≤-2或x ≥3},B ={x |x ≥m +1}，且A ⊈B =A ，求m 的取值范围.【解析】因为A ⊈B =A ，所以B ⊆A ，则m +1≥3，解得m ≥2，故m 的取值范围是{m |m ≥2}. 例11.已知集合A ={x |6x 2+mx -1=0}，B ={x |3x 2+5x +n =0}，且A ∩B ={-1}，求A ⊈B ．【解析】因为A ∩B ={-1}，所以-1∈A ，-1∈B ，则6×（-1）2+m ×（-1）-1=0，3×（-1）2+5×（-1）+n =0，解得m =5，n =2，所以集合A ={x |6x 2+5x -1=0}，集合B ={x |3x 2+5x +2=0}.解方程6x 2+5x -1=0，得x =-1或x =16，所以集合A =116⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，.解方程3x 2+5x +2=0，得x =-1或x =23-，所以集合B =213⎧⎫-⎨⎬⎩⎭-，.集合A 和集合B 的所有元素是21136--，，，故A ⊈B =21136⎧⎫-⎨⎬⎩⎭-，，.例12.已知全集U ={x |x ＜5，x ∈N }，集合A ={x |x ＞1，x ∈U }，则集合A 在全集U 中的补集为（ ） A .{1} B .{0} C .{0，1} D .{0，1，2}C 【解析】因为全集U ={x |x ＜5，x ∈N }={0，1，2，3，4}，集合A ={x |x ＞1，x ∈U }={2，3，4}，所以集合U 中不属于集合A 的所有元素是0，1，故集合A 在全集U 中的补集为{0，1}. 例13.设A ，B 为两个集合，则“A ⊆B ”是“A ∩B =A ”的（ ）A .充分条件B .必要条件C .充要条件D 既不充分也不必要条件 C 【解析】当A ⊆B 时，A ∩B =A ，所以“A ⊆B ”能推出“A ∩B =A ”.当A ∩B =A 时，A ⊆B ，所以“A ∩B =A ”能推出“A ⊆B ”.故“A ⊆B ”是“A ∩B =A ”的充要条件. 练习1.下列说法正确的是（ ）A .{0，2，4}和{2，4，0}表示两个不同的集合 B.任何一个集合都可以用列举法表示 C .{（3，5）}和{5，3}表示同一个集合 D.{0}和∅表示两个不同的集合2.设a ，b 为非零实数，集合A =a b x x a b ⎧⎫⎪⎪=+⎨⎬⎪⎪⎩⎭，用列举法写出集合A . 3.集合P ={x |x ≤4}，则（ ）A .π∉PB .π⫋PC .{π}∈PD .{π}⫋P 4.集合{x |0≤x ≤5且为奇数}的真子集个数是（ ）A .9B .8C .7D .65.已知集合A ={x |-1≤x ≤1}，B ={x |a -1＜x ＜2a -1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A .{a |a ≤1}B .{a |a ＜1}C .{a |0≤a ≤1}D .{a |0＜a ＜1} 6.设集合M ={x |x ≤5}，N ={x |x ≥3}，则M ∩N =（ ）A .{x |x ≥3}B .{x |x ≤5}C .{x |3≤x ≤5}D .∅7.已知集合A ={x |-1＜x ＜2}，B ={x |1＜x ≤5}，那么A ⊈B =（ ）A .{x |-1＜x ≤5}B .{x |1＜x ≤2}C .{x |-1＜x ＜5}D .{x |1＜x ＜2} 8.已知全集{}U a b c d =，，，，集合{}M a c =，，则U M =（ ）A.∅B.{}a c ，C.{}b d ，D.{}a b c d ，，， 9.“x =1”是“x 2-3x +2=0”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D 既不充分也不必要条件10.已知集合A ={x |2x 2+x+m =0}，集合B ={x |2x 2+nx+2=0}，且A ∩B =12⎧⎫⎨⎬⎩⎭，求实数m ,n 的值.11.已知集合A ={x |a -1＜x ＜a+1}，B ={x |x ≥4或x ≤1}，若A ∩B =∅，求实数a 的取值范围.12.设集合A ={x |x ≤-3或x ≥4},B ={x |x +m <1}.若A ⊈B =R ，求m 的取值范围.13.设二次方程x 2-px+15=0的解集为A ，方程x 2-5x+6=0的解集为B ，若A ∩B ={3}，求A ⊈B .。

§1.2充要条件、全称量词与存在量词最新考纲 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)概念方法微思考若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q 的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示若A B，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B ，则p 是q 的必要不充分条件； 若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A ⊈B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( √ )(2)若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个等价命题．( √ ) (3)全称命题一定含有全称量词．( × )(4)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，綈p (x )的真假性相反．( √ ) 题组二 教材改编2．命题“正方形都是矩形”的否定是___________________________． 答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形3．“x －3＝0”是“(x －3)(x －4)＝0”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要 题组三 易错自纠4．(2018·某某质检)命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－x －1≤0B．∀x ∈R ，x 2－x －1>0 C ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≤0D．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≥0 答案 A5．已知p ：x >a 是q ：2<x <3的必要不充分条件，则实数a 的取值X 围是________． 答案 (－∞，2]解析 由已知，可得{x |2<x <3}{x |x >a }， ∴a ≤2.6．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.题型一 充分、必要条件的判定例1 (1)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 D解析 取α＝7π3，β＝π3，α>β成立，而sin α＝sin β，sin α>sin β不成立．∴充分性不成立；取α＝π3，β＝13π6，sin α>sin β，但α<β，必要性不成立．故“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件．(2)已知条件p ：x >1或x <－3，条件q ：5x －6>x 2，则q 是p 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由5x －6>x 2，得2<x <3，即q ：2<x <3. 所以q ⇒p ，p ⇏q ，所以q 是p 的充分不必要条件，故选A. 思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母X 围的推断问题．跟踪训练1 (1)(2018·某某省某某一中月考)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( ) A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件 答案 D解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件． (2)(2018·某某模拟)若集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，则A ⊆B 的一个充分不必要条件是( ) A ．b ≥2B．1<b ≤2C ．b ≤1D．b <1 答案 D解析 ∵A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，∴A ⊆B 的充要条件是b ≤1，∴b <1是A ⊆B 的充分不必要条件，故选D.题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假例2 (1)(2018·某某模拟)下列四个命题中真命题是( ) A ．∀n ∈R ，n 2≥nB ．∃n 0∈R ，∀m ∈R ，m ·n 0＝mC ．∀n ∈R ，∃m 0∈R ，m 20<n D ．∀n ∈R ，n 2<n 答案 B解析 对于选项A ，令n ＝12，即可验证其不正确；对于选项C ，D ，可令n ＝－1加以验证，均不正确，故选B.(2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2 答案 B解析 当x ∈N *时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B.命题点2 含一个量词的命题的否定例3 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，0e x－x 0－1≤0”，则綈p 为( ) A ．∃x 0∈R ，0e x－x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，0e x－x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0 答案 C解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C. (2)(2018·某某质检)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0 答案 C解析 已知全称命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)≥0，则綈p ：∃x 1，x 2∈R ， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0，故选C.思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练2 (1)(2018·东北三校联考)下列命题中是假命题的是( ) A ．∃x 0∈R ，log 2x 0＝0B ．∃x 0∈R ，cos x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0D ．∀x ∈R,2x>0 答案 C解析 因为log 21＝0，cos0＝1，所以选项A ，B 均为真命题，02＝0，选项C 为假命题，2x>0，选项D 为真命题，故选C.(2)已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(03x＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0 C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0 答案 B解析 因为3x >0，所以3x ＋1>1，则log 2(3x ＋1)>0，所以p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.故选B.题型三 充分、必要条件的应用例4已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值X 围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件， 即所求m 的取值X 围是[0,3]． 引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3 (1)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值X 围是__________． 答案 [－1,1]解析 依题意，可得(－1,4)(2m 2－3，＋∞)， 所以2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1.(2)设n ∈N *，则一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4， 又n ∈N *，则n ＝1,2,3,4. 当n ＝1,2时，方程没有整数根； 当n ＝3时，方程有整数根1,3，当n ＝4时，方程有整数根2.综上可知，n ＝3或4. 题型四 命题中参数的取值X 围例5已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值X 围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值X 围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 对于含量词的命题中求参数的取值X 围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练4(1)已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值X 围是______________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ 解析 由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞.(2)已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果p 和q 有且只有一个是真命题，则c 的取值X 围为________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)解析 由命题p 为真知，0<c <1， 由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使x ＋1x >1c 恒成立，需1c <2，即c >12，当p 真q 假时，c 的取值X 围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值X 围是c >1.综上可知，c 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)．利用充要条件求参数X 围逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．逻辑推理的主要形式是演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学交流、表达的基本思维品质． 例已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值X 围为__________． 答案 [9，＋∞)解析 ∵q 是p 的必要不充分条件． 即p 是q 的充分不必要条件， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)， 得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． 设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． 又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}． 设N ＝{x |－2≤x ≤10}． 由p 是q 的充分不必要条件知，NM ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9.∴实数m 的取值X 围为[9，＋∞)．素养提升 例题中得到实数m 的X 围的过程就是利用已知条件进行推理论证的过程，数学表达严谨清晰．1．以下四个命题中既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，1x>2答案 B解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．2．命题“∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0≤x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0>x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 2C ．∃x 0∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0>x 20 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 20 答案 D解析 ∀改写为∃，∃改写为∀，n ≤x 2的否定是n >x 2，则该命题的否定形式为“∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 20”．故选D.3．(2018·某某模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由(a －b )a 2<0可知a 2≠0，则一定有a －b <0，即a <b ；但a <b 即a －b <0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2<0不一定成立，故“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件，故选A. 4．(2018·某某模拟)“log 2(2x －3)<1”是“4x>8”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由log 2(2x －3)<1⇒0<2x －3<2⇒32<x <52，4x >8⇒2x >3⇒x >32，所以“log 2(2x －3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.5．(2018·某某河西区模拟)设a ∈R ，则“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－6＝0，a (7－a )－9a ≠0，即a ＝3，即“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行”的充要条件．6．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，0e x≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1 D ．“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件 答案 D解析 因为y ＝e x>0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确； 因为当x ＝－5时，2－5<(－5)2，所以B 不正确；“a b＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确； 当a >1，b >1时，显然ab >1，D 正确．7．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值X 围是( )A ．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．[1，＋∞) D．(－∞，－1] 答案 B解析 由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值X 围是(2，＋∞)，故选B.8．若∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值X 围是( )A ．(－∞，22]B ．(22，3] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，92D ．{3} 答案 A解析 因为∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，2x 2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，2时，f ′(x )>0，所以f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝22，则λ≤2 2.9．已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 充分不必要解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立．故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件．10．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值X 围是________________． 答案 (－4,0]解析 “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值X 围是(－4,0]．11．已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值X 围是________．答案 (－1,3)解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，即－1<a <3. 12．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，m ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值X 围是____________．答案 (2，＋∞)解析 因为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.13．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的______________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 充分不必要解析 因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β<sin α＋sin β，所以若sin α＋sin β<13，则有sin(α＋β)<13，故充分性成立；当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝sinπ＝0<13，而sin α＋sin β＝1＋1＝2，不满足sin α＋sin β<13，故必要性不成立．所以“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的充分不必要条件． 14．(2018·某某某某一中月考)已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值X 围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 解析 解不等式|x －m |<1，得m －1<x <m ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12(m －1，m ＋1)，故⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤13，m ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m ≤43.15．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∀x 2∈[2,3]，f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数a 的取值X 围是______________．答案 (－∞，－3] 解析 由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )max (x ∈[2,3])，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上为减函数，g (x )在[2,3]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝5，g (x )max ＝g (3)＝8＋a ，所以5≥8＋a ，即a ≤－3.16．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝x 2－32x ＋1，0≤x ≤2，B ＝{x |x ＋m 2≥2}，p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，p 是q 的充分条件，则实数m 的取值X 围是________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－54∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ 解析 由y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，0≤x ≤2， 得716≤y ≤2，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2. 又由题意知A ⊆B ，∴2－m 2≤716，∴m 2≥2516. ∴m ≥54或m ≤－54.。

第一章 集合与简易逻辑第 1课时 集合的概念一．课题：集合的概念二．教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．三．教学重点：集合中元素的 3个性质，集合的 3种表示方法，集合语言、集合思想的运用． 四．教学过程： （一）主要知识：1．集合、子集、空集的概念；2．集合中元素的 3个性质，集合的 3种表示方法；3．若有限集 A 有n 个元素，则 A 的子集有 2个，真子集有 21，非空子集有 2 1个，非空真n n n子集有2n 2个．（二）主要方法：1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简； 3．抓住集合中元素的 3个性质，对互异性要注意检验； 4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化． （三）例题分析： 例 1．已知集合P {y x G {x | x 1}，则(A) P F 21}，Q {y | y x 2 1}， E{x| y x 1}， F{(x,y)| y x 1}， 2 2（ D ） (B) QE(C) EF(D) Q G解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简． 例 2．设集合Px y,x y,xy，Qx解：∵ P Q 且0Q ，∴0P ． 2y 2 ,x 2 y 2,0，若 P Q ，求 x, y 的值及集合 P 、Q ．（1）若 xy 0或 x y 0，则 x2 y 2 0，从而Q x y ,0,0，与集合中元素的互异性2 2 矛盾，∴ x y 0且 x y 0； （2）若xy 0，则 x 0或 y 0． 当 y 0时， P x,x,0，与集合中元素的互异性矛盾，∴ y 0；当 x 0时， P{y, y,0}，Q {y 2 ,y 2,0}，2 2 y y y y y 0 2y y 2由 P Q 得y y ① 或 ②y 0 由①得 y 1，由②得 y 1， x 0 ∴y 1或xy 10，此时 P Q {1,1,0}．例 3．设集合 M {x | x k 1,k Z}， N {x | xk 1,k Z}，则2 4 4 2（ B ）(A) M N(B) M N (C) M N (D) M N解法一：通分；解法二：从 1 开始，在数轴上表示．4例 4．若集合 Ax | x 2ax 10,x R ，集合 B 1,2，且 A B ，求实数a 的取值范围． 40，解得 2 a 2；a 10，解得 a 2，此时 A {1}，适合题意； 2a 10，解得 a 5，此时 A {2, 5}，不合题意；2解：（1）若 A ，则a （2）若1A ，则1 2 2（3）若2A ，则22 2综上所述，实数m 的取值范围为[2,2)． 例 5．设 f (x)xpx q ， A {x | x f (x)}， B {x | f [ f (x)]x}，2（1）求证： A B ； （2）如果 A {1,3}，求 B ． 解答见《高考 A 计划（教师用书）》第 5页． （四）巩固练习：1．已知M {x | 2x2 5x3 0}，N {x |mx 1}，若N M ，则适合条件的实数m 的集合 P 为{0,2,1}； P 的子集有8 个； P 的非空真子集有 6 个． 32．已知： f (x) x2ax b ， A x | f (x) 2x 2，则实数a 、b 的值分别为2,4． 3．调查 100名携带药品出国的旅游者，其中 75人带有感冒药，80人带有胃药，那么既带感冒药又75，最小值为 带胃药的人数的最大值为 55 ．4．设数集 M {x |m x m 3}，N {x |n 1 x n}，且M 、N 都是集合{x |0 x 1}的43子集，如果把 ba 叫做集合x | axb 的“长度”，那么集合MN 的长度的最小值是 1 ．12五．课后作业：《高考 A 计划》考点 1，智能训练 4，5，6，7，8，9，11，12．第 2 课时集合的运算一．课题：集合的运算二．教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法．三．教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用． 四．教学过程： （一）主要知识：1．交集、并集、全集、补集的概念；2． A B A A B ， A B A A B ；3．C U A C U B C U (A B)，C U A C U B C U (A B)．（二）主要方法：1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键． （三）例题分析： 例 1．设全集U x|0x 10,xN，若 AB 3，AC U B 1,5,7，C U A C U B 9，则 A1,3,5,7， B2,3,4,6,8． 解法要点：利用文氏图．例 2．已知集合 Ax | x 3x2x， Bx | x axb，若 A Bxx 2，3 2 2ABx | x 2，求实数a 、b 的值．解：由 x 3x 2x 0得 x(x 1)(x 2) 0，∴ 2 x 1或 x0， ∴ A (2,1)(0,)，又∵ A B x |0 x 2，且 ABx | x2，32∴ B [1,2]，∴1和2是方程 x ax b 0的根， 21 2 a a 1． ，∴b2 由韦达定理得：1 2 b 说明：区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用． 例 3．已知集合 A {(x, y)| x 2y 0}， B {(x, y)| y 1 0}，则 A B ；x 2A B {(x, y)|(x2y)(y1)0}；（参见《高考 A 计划》考点 2“智能训练”第 6题）．解法要点：作图．注意：化简 B {(x, y)| y1,x 2}，(2,1)A ．例 4．（《高考 A 计划》考点 2“智能训练”第 15题）已知集合 A{y| y 22 2(a a 1)ya(a 1)0}，B {y | y1 x x 5,0 x 3}，若 A B，求实数a 的取值范围． 222解答见教师用书第 9页．例 5．（《高考 A 计划》考点 2“智能训练”第 16题）已知集合 A (x, y)| x mx y 20,x R ， 2B (x, y)| x y 10,0 x 2，若 A B ，求实数m 的取值范围． 分析：本题的几何背景是：抛物线 y x2mx 2与线段 yx 1(0 x 2)有公共点，求实数m的取值范围． 解法一：由x 2mx y 2 0得 x 2 (m 1)x 1 0xy1①∵ A B，∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解，首先，由(m 1)24 0，解得：m 3或m1．设方程①的两个根为 x 1、 x 2，（1）当m 3时，由 x 1 x 2 (m 1) 0及 x 1 x 2 1知 x 1、 x 2都是负数，不合题意；（2）当m 1时，由 x 1 x 2 (m 1)0及 x 1 x 2 10知 x 1、 x 2是互为倒数的两个正数，故 x 1、 x 2必有一个在区间[0,1]内，从而知方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解， 综上所述，实数m 的取值范围为(,1]． 解法二：问题等价于方程组yx1mx2在[0,2]上有解，即 x 令 f (x)x ∴抛物线 yf (x)在[0,2]上与 x 轴有交点等价于 f (2) 2 2(m 1)x 10在[0,2]上有解，(m 1)x 1，则由 f (0) 1知抛物线 yf (x)过点(0,1)， 2(m1)10 22①(m 1) 240 或01m 2 ②2 f (2) 2 2 2(m 1) 1 0由①得m 3，由②得 3 m1， 2 2 ∴实数m 的取值范围为(,1]．（四）巩固练习：1．设全集为U ，在下列条件中，是 BA 的充要条件的有 （ D ）① A B A ，②C U A B ，③C U A C U B ，④ A C U B U ， (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 2．集合 A {(x, y)| y a | x |}， B{(x, y)| yxa}，若 AB 为单元素集，实数a 的取值范围为[1,1]．五．课后作业：《高考 A 计划》考点 2，智能训练 3，7， 10，11，12，13．第 3课时 含绝对值的不等式的解法一．课题：含绝对值的不等式的解法二．教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法．三．教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间 的交、并等各种运算．四．教学过程： （一）主要知识：1．绝对值的几何意义：| x |是指数轴上点 x 到原点的距离；| x 1x 2 |是指数轴上 x 1,x 2两点间的距离2．当c 0时，| ax b | c ax b c 或axb c ，| ax b |c c ax bc ；当c 0时，| axb |cxR ，| axb |cx．（二）主要方法： 1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式 （组）进行求解；2．去掉绝对值的主要方法有： （1）公式法：| x | a (a 0) a x a ，| x | a (a 0) x a 或 x a ． （2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．（三）例题分析：例 1．解下列不等式： （1）4 | 2x 3|7；（2）| x 2 || x 1|；（3）| 2x 1| | x2 |4． 解：（1）原不等式可化为 4 2x 37或7 2x3 4，∴原不等式解集为[2,1)(7 ,5]．2 2（2）原不等式可化为(x 2) 2(x 1)，即 x 1 2 ，∴原不等式解集为[1 ,)． 2 2 （3）当 x 1时，原不等式可化为2x 12x 4，∴ x 1，此时 x 1； 2当 1 x 2时，原不等式可化为 2x 12x 4，∴ x 1，此时1x 2； 2当 x 2时，原不等式可化为 2x 1x 2 4，∴ x 5，此时 x 2． 3 综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)．例 2．（1）对任意实数 x ，| x1| | x 2 |a 恒成立，则a 的取值范围是(,3)； （2）对任意实数 x ，| x 1| | x 3|a 恒成立，则a 的取值范围是(4,)．解：（ 1）可由绝对值的几何意义或 y| x 1| | x 2 |的图象或者绝对值不等式的性质 | x 1| | x2 || x1|| 2x || x 12x |3得| x 1| | x 2 |3，∴a3；（2）与（1）同理可得| x 1| | x 3|4，∴a 4．例 3．（《高考 A 计划》考点 3“智能训练第 13题”）设a 0,b 0，解关于 x 的不等式：| ax2 |bx ．2解：原不等式可化为ax 2 bx 或ax 2 bx ，即(a b)x2①或(a b)x 2 x②， a b 2 2 2当a b 0时，由①得 x，∴此时，原不等式解为： x 或 x ；a b a b a b 2当a b 0时，由①得 x ，∴此时，原不等式解为： x ；a b2 2当0 a b 时，由①得 x，∴此时，原不等式解为： x ．a b a b 2 2综上可得，当a b 0时，原不等式解集为(, ][ ,)，a b a b2当0 a b时，原不等式解集为(, ]．a b例4．已知A {x || 2x 3|a}，B {x || x |10}，且A B，求实数a的取值范围．解：当a 0时，A ，此时满足题意；当a 0时，| 2x 3| a 3 a x 3 a ，∵ A B，223 a10 23 a 10∴ a 17，2综上可得，a的取值范围为(,17]．例5．（《高考A计划》考点3“智能训练第15题”）在一条公路上，每隔100km有个仓库（如下图），共有5个仓库．一号仓库存有10t货物，二号仓库存20t，五号仓库存40t，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？一二三四五解：以一号仓库为原点建立坐标轴，则五个点坐标分别为A1 :0, A2 :100, A3 :200, A4 :300, A5 :400，设货物集中于点B: x，则所花的运费y 5| x | 10| x 100| 20| x 200|，当0 x 100时，y 25x 9000，此时，当x 100时，y min 6500；当100 x 400时，y 5x 7000，此时，5000 y 6500；当x 400时，y 35x 9000，此时，当x 400时，y min 5000．综上可得，当x 400时，y min 5000，即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为5000元．（四）巩固练习：xx 的解集是(1,0)；| 2x 3|3x的解集是(, 3)；1．| |1x 1 x 52．不等式| a b|| a | |b| 1成立的充要条件是| a ||b|；3．若关于x的不等式| x 4| | x 3|a的解集不是空集，则a(7,)；4．不等式| 2x log2 x|2x|log2 x|成立，则x(1,)．五．课后作业：《高考A计划》考点3，智能训练4，5，6，8，12，14．第4课时一元二次不等式的解法一．课题：一元二次不等式的解法二．教学目标：掌握一元二次不等式的解法，能应用一元二次不等式、对应方程、函数三者之间的关系解决综合问题，会解简单的分式不等式及高次不等式．三．教学重点：利用二次函数图象研究对应不等式解集的方法．四．教学过程：（一）主要知识：1．一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系；2．分式不等式要注意大于等于或小于等于的情况中，分母要不为零； 3．高次不等式要注重对重因式的处理． （二）主要方法：1．解一元二次不等式通常先将不等式化为axbx c 0或ax bx c 0 (a 0)的形式，然后 2 2求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间；2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）例题分析：例 1．解下列不等式：（1） x 2 x 6 0；（2）x23x 10 0；（3） x(x 1)(x 2) 0．(x 2)(x 1)解：（1） 2x 3；（2） x 5 or x2；x(x 1)(x 2)(x 2)(x 1)0 2 x 1 or 0 x 1 or x2．（3）原不等式可化为(x 2)(x 1) 0例 2．已知 A {x | x 3x 2 0}， B {x | x(a 1)x a0}，2 2 （1）若 A B ，求a 的取值范围； （2）若 B A ，求a 的取值范围．解： A {x |1 x 2}， 当 a1时， B{x |1 x a}；当 a 1时， B {1}；当 a 1时， B {x | a x1}．a 1 （1）若 A B ，则 a 2； a 2（2）若 B A ，当 a 1时，满足题意；当 a 1时， a 2，此时1 a 2；当 a 1时，不合题意． 所以，a 的取值范围为[1,2)．例 3．已知 f (x)x2 2(a 2)x 4，（1）如果对一切 x R ， f (x) 0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）如果对 x [3,1]， f (x) 0恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）4(a 2)216a4； (a 2) 3 3(a2) 1 (a 2) 1 （2）f (3) 0 或0 或f (1) 0，解得a 或1 a 4或 1 a 1，∴a 的取值范围为(1 ,4)．2 2 例 4．已知不等式ax 2 bx c 0的解集为{x | 2 x 4}，则不等式cx 2bx a 0的解集为 ．解法一：∵(x 2)(x 4) 0即x26x 8 0的解集为{x | x 1 or x 1}， 2 4 ∴不妨假设 a 1,b 6,c 8，则cx bx a 0即为8x2 26x 10，解得{x | 1 x1}．4 2a 0c 0解法二：由题意：63b b ，a c 4 c 8 a 1c a 8 b a 3 x 1 0，解得{x | x1 or x1}． ∴cx2bxa 0可化为 x2 x 0即 x 2c c4 824例 5．（《高考 A 计划》考点 4“智能训练第 16题”）已知二次函数 f (x) ax 2bx c 的图象过点(1,0)，问是否存在常数a,b,c ，使不等式 xf (x) 1 (1 x )对一切 xR 都成立？22解：假设存在常数a,b,c 满足题意， ∵ f (x)的图象过点(1,0)，∴ f (1) a b c0 ① 又∵不等式 x f (x) 1 (1x )对一切 x R 都成立， 2 2∴当 x 1时，1 f (1) 1 (1 1 )，即1 a b c 1，∴ a b c 11 x (1 a)， ② 22 由①②可得： a c 1 ,b 1 ，∴ f (x) ax 22 2 22 由 x f (x) 1 (1 x )对一切 x R 都成立得： x ax 1 x (1 a) 1 (1 x )恒成立， 2 22 2 2 2 21 x (1 a) 0 ax 2∴ 22 的解集为 R ， (2a 1)x 2 x 2a 0a0 a 1 2a 1 0 a 0∴ 1 4 4a(1 a) 0且18a(2a 1) 0，即(14a) 且 2 ， 20 (14a) 022∴ a 1，∴ c 1，4 4 ∴存在常数 a 1 ,b 1 ,c 1 使不等式 x f (x) 1 (1x )对一切 x R 都成立． 2 4 2 4 2 （四）巩固练习： 1．若不等式(a2)x 222(a 2)x 4 0对一切 x R 成立，则a 的取值范围是(2,2]．ax a10有一正根和一负根，则a(1,1)．2．若关于 x 的方程 x 23．关于 x 的方程m(x3)3m 2x 的解为不大于 2的实数，则m 的取值范围为(,3](0,1)(1,)．24．不等式 (x 1)2(2 x) 0的解集为(,4)(0,2] or x 1．x(4 x)五．课后作业：《高考 A 计划》考点 4，智能训练 3，4，5，9，13，14，15．第 5课时 简易逻辑一．课题：简易逻辑二．教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用．三．教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系． 四．教学过程： （一）主要知识：1．理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题； 2．由真值表判断复合命题的真假； 3．四种命题间的关系． （二）主要方法：1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比； 2．通常复合命题“ p 或q ”的否定为“p 且q ”、“ p 且q ”的否定为“p 或q ”、“全为” 的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若 p ，则q ”的形式； 4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、 公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾． （三）例题分析：例 1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假： （1）菱形对角线相互垂直平分． （2）“ 2 3”解：(1)这个命题是“ p 且q ”形式， p:菱形的对角线相互垂直；q:菱形的对角线相互平分， ∵ p 为真命题，q 也是真命题∴ p 且q 为真命题．（2）这个命题是“ p 或q ”形式， p: 2 3；q: 2 3， ∵ p 为真命题，q 是假命题∴ p 或q 为真命题．注：判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命题的真假， 再由真值表判断复合命题的真假． 例 2．分别写出命题“若 xy0，则 x, y 全为零”的逆命题、否命题和逆否命题．2解：否命题为：若 x y 0，则 x, y 不全为零逆命题：若 x, y 全为零，则 xy 0逆否命题：若 x, y 不全为零，则 x y2 222 2 22 0注：写四种命题时应先分清题设和结论． 例 3．命题“若m0，则 xx m 0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．2解：方法一：原命题是真命题，∵m 0，∴14m 0， 因而方程 x 2 x m 0有实根，故原命题“若m 0，则 x 2x m 0有实根”是真命题； x m 0有实根”的逆否命题是又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若m0，则 x 2真命题．方法二：原命题“若m0，则 xx m 0有实根”的逆否命题是“若 x x m 0无实根，2 2则m 0”．∵ x x m 0无实根2∴14m 0即m10，故原命题的逆否命题是真命题．4例4．（考点6智能训练14题）已知命题 p ：方程 x 2mx10有两个不相等的实负根，命题q ：4(m 2)x 10无实根；若 p 或q 为真， p 且q 为假，求实数m 的取值范围． 分析：先分别求满足条件 p 和q 的m 的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．方程4x2m2 4 0 解：由命题 p 可以得到：m 0∴m 216 0∴ 2m 6由命题q 可以得到：[4(m 2)] 2∵ p 或q 为真， p 且q 为假 ∴ p,q 有且仅有一个为真 当 p 为真，q 为假时，m 2 m2,orm6 m 6 当 p 为假，q 为真时，m2 2 m 2 2 m6 所以，m 的取值范围为{m| m 6或 2 m 2}．例 5．（《高考 A 计划》考点 5智能训练第 14题）已知函数 f (x)对其定义域内的任意两个数a,b ， 当 a b 时，都有 f (a) f (b)，证明： f (x) 0至多有一个实根． 解：假设 f (x)0至少有两个不同的实数根 x 1,x 2，不妨假设 x 1x 2，由方程的定义可知： f (x 1) 0, f (x 2) 0 即 f (x 1) f (x 2)①由已知 x 1 x 2时，有 f (x 1) f (x 2)这与式①矛盾因此假设不能成立 故原命题成立．注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．例 6．（《高考 A 计划》考点 5智能训练第 5题）用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程： ax2bx c 0(a 0)有有理根，那么a,b,c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ） A.假设a,b,c 都是偶数B.假设a,b,c 都不是偶数C.假设a,b,c 至多有一个是偶数D.假设a,b,c 至多有两个是偶数（四）巩固练习：1．命题“若 p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是 （ （）A ．若q 不正确，则 p 不正确 C.若 p 正确，则q 不正确B.若q 不正确，则 p 正确 D.若 p 正确，则q 正确2．“若b A.若b C.若b 24ac 0，则ax 2bx c 0没有实根”，其否命题是）2 4ac 0，则ax 2 bx c 0没有实根 B.若 b bx c 0有实根 D.若b2 4ac 0，则ax 4ac 0，则ax 22 bxc0有实根 2 4ac 0，则ax 2 2bxc 0没有实根五．课后作业：《高考A计划》考点5，智能训练3，4，8，13，15，16．第6课时充要条件一．课题：充要条件二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．三．教学重点：充要条件关系的判定．四．教学过程：（一）主要知识：1．充要条件的概念及关系的判定；2．充要条件关系的证明．（二）主要方法：1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；2．判断p q是否正确的本质是判断命题“若p，则q”的真假；3．判断充要条件关系的三种方法：①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．4．说明不充分或不必要时，常构造反例．（三）例题分析：例1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）（1）在ABC中，p : A B，q :sin A sin B（2）对于实数x, y，p : x y 8，q : x 2或y 6（3）在ABC中，p :sin A sin B，q:tan A tan B（4）已知x, y R，p:(x 1) (y 2) 0，q :(x 1)(y 2)2 2 a b解：（1）在ABC中，有正弦定理知道：sin A sin B∴sin A sin B a b又由a b A B所以，sin A sin B A B即p是q的的充要条件．（2）因为命题“若x 2且y 6，则x y 8”是真命题，故p q，命题“若x y 8，则x 2且y 6”是假命题，故q不能推出p，所以p是q的充分不必要条件．（3）取A 120,B 30，p不能推导出q；取 A 30,B 120，q不能推导出p所以，p是q的既不充分也不必要条件．（4）因为P {(1,2)}，Q {(x, y)| x 1或y 2}，PQ，所以，p是q的充分非必要条件．例2．设x, y R，则x 2 y 2 2是| x | | y |2的（）、是| x | | y |2的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：由图形可以知道选择B，D．（图略）例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲，D.既不充分也不必要条件因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙， 因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B ． 例 4．设 x, y R ，求证：| x y || x | | y |成立的充要条件是 xy 0．证明：充分性：如果 xy0，那么，① x 0, y 0② x 0, y0③ x 0, y0于是| x y||x|| y| 如果 xy 0即 x 0, y 0或 x 0, y 0， 当 x 0, y 0时，| x y |x y | x | | y |， 当 x 0, y 0时，| x y |x y (x)(y) | x || y |， 总之，当 xy 0时，| x y || x | | y |． 必要性：由| x y || x | | y |及 x, y R 得(x y) 2 (| x | | y |) 2 即 x 2 2xy y 2 x 2 2| xy | y2 得| xy |xy 所以 xy 0故必要性成立，综上，原命题成立． 111 (t 1)11 20例 5．已知数列{a n }的通项a n，为了使不等式a n log t 2log 2(t 1) t n3 n 42n 3 对任意nN*恒成立的充要条件． 解：∵a n 1 a n 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )0，2n 5 2n 62n 4 2n 5 n 3 2n 4 2n 6 则a n a n 1 a n 2 a 2 a 1， 欲使得题设中的不等式对任意n N 恒成立，* 只须{a }的最小项a 1 logt2(t1)11log 2(t 1)t 即可， n 201 1 9，又因为a 14 5 20即只须t11且log t 2(t 1)9 log t 2 (t1) 11 0， 20 20 解得1log t (t 1) t(t1)， 1 即0 t 1t(t2)， t解得实数t 应满足的关系为t 15且t 2．2例 6．（1）是否存在实数m ，使得2xm 0是 x 2x 3 0的充分条件？ 2（2）是否存在实数m ，使得2x m 0是 x解：欲使得2x m 0是 x 2x 3 0的充分条件，则只要{x| x }{x| x1或 x3}， m 2 2x 3 0的必要条件？m 22则只要1即m2，2 故存在实数m 2时，使2x m 0是x 22x 3 0的充分条件．m （2）欲使2x m 0是 x 2x 3 0的必要条件，则只要{x| x } {x| x1或 x3}，22则这是不可能的，故不存在实数m时，使2x m 0是x 2x 3 0的必要条件．2（四）巩固练习：1．若非空集合M N，则“a M或a N”是“a M N”的2．0 x 5是| x 2|3的3．直线a,b 和平面,，a //b的一个充分条件是（条件．条件．）A.a //,b//B.a //,b// ,//C. a ,b ,//D. a ,b ,五．课后作业：《高考A计划》考点6，智能训练2，7，8，15，16．。

一、知识梳理１．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．２．四种命题及其关系（１）四种命题间的相互关系（２）四种命题的真假关系１两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；２两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．３．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q错误!pp是q的必要不充分条件p错误!q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p错误!q且q错误!pq”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．常用结论１．充要条件的两个结论（１）若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．（２）若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．２．一些常见词语及其否定词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于二、习题改编１．（选修１­１P8A组T２改编）命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是（）Ａ．“若x<y，则x２<y２”Ｂ．“若x>y，则x２>y２”Ｃ．“若x≤y，则x２≤y２”Ｄ．“若x≥y，则x２≥y２”解析：选Ｃ．根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x２≤y２”．故选Ｃ．２．（选修１­１P１0练习T３（２）改编）“（x—１）（x＋２）＝0”是“x＝１”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．若x＝１，则（x—１）（x＋２）＝0显然成立，但反之不成立，即若（x—１）（x＋２）＝0，则x的值也可能为—２.故选Ｂ．一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）“x２＋２x—３<0”是命题．（）（２）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．（）（３）若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．（）（４）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（）（５）q不是p的必要条件时，“p错误!q”成立．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）√二、易错纠偏错误!（１）不明确命题的条件与结论；（２）对充分必要条件判断错误；（３）含有大前提的命题的否命题易出错．１．命题“若△ABC有一内角为错误!，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题（）Ａ．与原命题同为假命题Ｂ．与原命题的否命题同为假命题Ｃ．与原命题的逆否命题同为假命题Ｄ．与原命题同为真命题解析：选Ｄ．原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一内角为错误!”，它是真命题．２．已知p：a<0，q：a２>a，则綈p是綈q的________条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）．解析：綈p：a≥0；綈q：a２≤a，即0≤a≤１，故綈p是綈q的必要不充分条件．答案：必要不充分３．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是____________．答案：存在a，b∈R，若ab≤0，则a≤0．四种命题的相互关系及其真假判断（师生共研）（２0２0·长春质量检测（二））命题“若x２<１，则—１<x<１”的逆否命题是（）Ａ．若x２≥１，则x≥１或x≤—１Ｂ．若—１<x<１，则x２<１Ｃ．若x>１或x<—１，则x２>１Ｄ．若x≥１或x≤—１，则x２≥１【解析】命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x２<１，则—１<x<１”的逆否命题是“若x≥１或x≤—１，则x２≥１”．故选Ｄ．【答案】D错误!（１）判断命题真假的两种方法（２）由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．１．命题“若a２＋b２＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是（）Ａ．若a２＋b２≠0，则a≠0且b≠0Ｂ．若a２＋b２≠0，则a≠0或b≠0Ｃ．若a＝0且b＝0，则a２＋b２≠0Ｄ．若a≠0或b≠0，则a２＋b２≠0解析：选Ｄ．“若a２＋b２＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a２＋b２≠0”，故选Ｄ．２．（２0２0·甘肃酒泉敦煌中学一诊）有下列四个命题，其中真命题是（）１“若xy＝１，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；２“若a·b＝a·c，则a⊥（b—c）”的否命题；３“若b≤0，则方程x２—２bx＋b２＋b＝0有实根”的逆否命题；４“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．Ａ．１２Ｂ．１２３４Ｃ．２３４Ｄ．１３４解析：选Ｂ．１“若xy＝１，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy＝１”，该命题为真命题；２“若a·b＝a·c，则a⊥（b—c）”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直（b—c）”，由a·b≠a·c 可得a（b—c）≠0，据此可知a不垂直（b—c），该命题为真命题；３若b≤0，则方程x２—２bx＋b２＋b＝0的判别式Δ＝（—２b）２—４（b２＋b）＝—４b≥0，方程有实根，为真命题，则其逆否命题为真命题；４“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．综上可得，真命题是１２３４．故选Ｂ．充分条件、必要条件的判断（师生共研）（１）（２0１9·高考天津卷）设x∈R，则“x２—５x<0”是“|x—１|<１”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件（２）（２0１9·高考北京卷）设函数f（x）＝cos x＋b sin x（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件【解析】（１）由x２—５x<0可得0<x<５，由|x—１|<１可得0<x<２．由于区间（0，２）是（0，５）的真子集，故“x２—５x<0”是“|x—１|<１”的必要而不充分条件．（２）b＝0时，f（x）＝cos x，显然f（x）是偶函数，故“b＝0”是“f（x）是偶函数”的充分条件；f（x）是偶函数，则有f（—x）＝f（x），即cos（—x）＋b sin（—x）＝cos x＋b sin x，又cos（—x）＝cos x，sin（—x）＝—sin x，所以cos x—b sin x＝cos x＋b sin x，则２b sin x＝0对任意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f（x）是偶函数”的必要条件．因此“b＝0”是“f（x）是偶函数” 的充分必要条件，故选Ｃ．【答案】（１）B （２）C错误!充分条件、必要条件的三种判断方法（１）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．（２）集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．（３）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．１．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．由A⊆C，B⊆∁U C，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁U C，如图所示，所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．２．设x∈R，则“２—x≥0”是“（x—１）２≤１”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．２—x≥0，则x≤２，（x—１）２≤１，则—１≤x—１≤１，即0≤x≤２，据此可知，“２—x≥0”是“（x—１）２≤１”的必要不充分条件．３．已知p：x＋y≠—２，q：x，y不都是—１，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．因为p：x＋y≠—２，q：x≠—１或y≠—１，所以綈p：x＋y＝—２，綈q：x＝—１且y＝—１，因为綈q⇒綈p但綈p错误!綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．故选Ａ．充分条件、必要条件的应用（典例迁移）已知条件p：集合P＝{x|x２—8x—２0≤0}，条件q：非空集合S＝{x|１—m≤x≤１＋m}．若p 是q的必要条件，求m的取值范围．【解】由x２—8x—２0≤0，得—２≤x≤１0，所以P＝{x|—２≤x≤１0}，由p是q的必要条件，知S⊆P.则错误!所以0≤m≤３．所以当0≤m≤３时，p是q的必要条件，即所求m的取值范围是[0，３]．【迁移探究１】（变结论）若本例条件不变，问是否存在实数m，使p是q的充要条件．解：若p是q的充要条件，则P＝S，所以错误!所以错误!即不存在实数m，使p是q的充要条件．【迁移探究２】（变结论）本例条件不变，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：由例题知P＝{x|—２≤x≤１0}，因为綈p是綈q的必要不充分条件，所以p⇒q且q⇒p.所以[—２，１0][１—m，１＋m]．所以错误!或错误!所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．错误!已知充分、必要条件求参数取值范围的解题策略（１）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式（组）求解．（２）涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系来求解．[注意] （１）注意对区间端点值的处理；（２）注意条件的等价变形．设p：—错误!<x<错误!（m>0）；q：x<错误!或x>１，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______．解析：因为p是q的充分不必要条件，又m>0，所以错误!≤错误!，所以0<m≤２．答案：（0，２]思想方法系列１等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．已知条件p：|x—４|≤6；条件q：（x—１）２—m２≤0（m>0）．若綈p是綈q的充分不必要条件，则m的取值范围为______．【解析】条件p：—２≤x≤１0，条件q：１—m≤x≤１＋m，又綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．故有错误!，所以0<m≤３．【答案】（0，３]错误!本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．１．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的（）Ａ．充要条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．必要不充分条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｃ．法一：设集合A＝{（x，y）|x≠y}，B＝{（x，y）|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{（x，y）|x＝y}，B的补集D＝{（x，y）|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．法二（等价转化法）：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y错误!x＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．２．（２0２0·宁夏银川一中模拟）王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．故选Ｂ．[基础题组练]１．已知命题p：若x≥a２＋b２，则x≥２ab，则下列说法正确的是（）Ａ．命题p的逆命题是“若x＜a２＋b２，则x＜２ab”Ｂ．命题p的逆命题是“若x＜２ab，则x＜a２＋b２”Ｃ．命题p的否命题是“若x＜a２＋b２，则x＜２ab”Ｄ．命题p的否命题是“若x≥a２＋b２，则x＜２ab”解析：选Ｃ．命题p的逆命题是“若x≥２ab，则x≥a２＋b２”，故A，B都错误；命题p的否命题是“若x＜a２＋b２，则x＜２ab”，故C正确，D错误．２．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件C．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．a≠0错误!ab≠0，但ab≠0⇒a≠0，因此p是q的必要不充分条件．３．已知a，b，c是实数，下列结论正确的是（）Ａ．“a２>b２”是“a>b”的充分条件Ｂ．“a２>b２”是“a>b”的必要条件Ｃ．“ac２>bc２”是“a>b”的充分条件Ｄ．“|a|>|b|”是“a>b”的充要条件解析：选Ｃ．对于A，当a＝—５，b＝１时，满足a２>b２，但是a<b，所以充分性不成立；对于B，当a＝１，b＝—２时，满足a>b，但是a２<b２，所以必要性不成立；对于C，由ac２>bc２得c≠0，则有a>b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝—５，b＝１时，|a|>|b|成立，但是a<b，所以充分性不成立，当a＝１，b＝—２时，满足a>b，但是|a|<|b|，所以必要性也不成立，故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件．故选Ｃ．４．已知命题α：如果x<３，那么x<５；命题β：如果x≥３，那么x≥５；命题γ：如果x≥５，那么x≥３．关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是（）１命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；２命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；３命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．Ａ．１３Ｂ．２Ｃ．２３Ｄ．１２３解析：选Ａ．本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故１正确，２错误，３正确．５．“（x＋１）（y—２）＝0”是“x＝—１且y＝２”的________条件．解析：因为（x＋１）（y—２）＝0，所以x＝—１或y＝２，所以（x＋１）（y—２）＝0错误!x＝—１且y＝２，x＝—１且y＝２⇒（x＋１）（y—２）＝0，所以是必要不充分条件．答案：必要不充分6．已知命题p：x≤１，命题q：错误!<１，则綈p是q的______．解析：由题意，得綈p：x>１，q：x<0或x>１，故綈p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要条件7．若命题“ax２—２ax—３>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知ax２—２ax—３≤0恒成立，当a＝0时，—３≤0成立；当a≠0时，得错误!解得—３≤a<0，故—３≤a≤0．答案：[—３，0]8．已知命题p：（x＋３）（x—１）>0；命题q：x>a２—２a—２．若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：已知p：（x＋３）（x—１）>0，可知p：x>１或x<—３，因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，得a２—２a—２≥１，解得a≤—１或a≥３，即a∈（—∞，—１]∪[３，＋∞）．[综合题组练]１．（创新型）（２0２0·抚州七校联考）A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为6５分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p 的逆否命题的是（）Ａ．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格Ｂ．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分Ｃ．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分Ｄ．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选Ｃ．２．（２0２0·辽宁丹东质量测试（一））已知x，y∈R，则“x＋y≤１”是“x≤错误!且y≤错误!”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．当“x＋y≤１”时，如x＝—４，y＝１，满足x＋y≤１，但不满足“x≤错误!且y≤错误!”．当“x≤错误!且y≤错误!”时，根据不等式的性质有“x＋y≤１”．故“x＋y≤１”是“x≤错误!且y≤错误!”的必要不充分条件．故选Ｂ．３．（２0２0·湖南雅礼中学３月月考）若关于x的不等式|x—１|<a成立的充分条件是0<x<４，则实数a的取值范围是（）Ａ．a≤１Ｂ．a<１Ｃ．a>３Ｄ．a≥３解析：选Ｄ．|x—１|<a⇒—a<x—１<a⇒１—a<x<１＋a，因为不等式|x—１|<a成立的充分条件是0<x<４，所以（0，４）⊆（１—a，１＋a），所以错误!⇒错误!⇒a≥３．故D正确．４．下列命题中为真命题的序号是______．１若x≠0，则x＋错误!≥２；３“a＝１”是“直线x—ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；４命题“若x<—１，则x２—２x—３>0”的否命题为“若x≥—１，则x２—２x—３≤0”．解析：当x<0时，x＋错误!≤—２，故１是假命题；根据逆否命题的定义可知，２是真命题；“a＝±１”是“直线x—ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故３是假命题；根据否命题的定义知４是真命题．答案：２４。

高三数学一轮复习教学案集合第1课时：集合的概念一、集合集合是一个原始概念，描述性定义为：某些指定的对象就成为一个集合，简称“集”。

集合中的每一个对象叫做这个集合的“元素”。

二、元素与集合的关系元素与集合是属于和从属关系，若a是集合A的元素，记作a∈A，若a不是集合B的元素，记作a∉B。

但是要注意元素与集合是相对而言的。

三、集合与集合的关系集合与集合的关系用符号表示：子集：若集合A中的所有元素都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），记作A⊆B。

相等：若集合A中的所有元素都是集合B的元素，同时集合B中的所有元素都是集合A的元素，就说集合A等于集合B，记作A=B。

真子集：若A是B的子集，但A不等于B，则说A是B 的真子集，记作A⊂B。

子集数量：若集合A含有n个元素，则A的子集有2^n 个，真子集有2^n-1个，非空真子集有2^n-1个。

四、集合的表示法集合的表示法常用的有列举法、描述法和韦恩图法三种。

有限集常用列举法，无限集常用描述法，图示法常用于表示集合之间的相互关系。

根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及。

高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现。

空集 $\varnothing$ 是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素。

空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。

在解题时，不能忽视空集的存在。

典型例题：例1.已知集合 $A=\{x\in \mathbb{N}|6-x$ 是 $8$ 的正约数$\}$，试求集合 $A$ 的所有子集。

解：由题意可知 $6-x$ 是 $8$ 的正约数，所以 $6-x$ 可以是$1,2,4,8$，相应的$x$ 为$2,4,5$，即$A=\{2,4,5\}$。

第一节集合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于或不属于，分别记为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，∃x0∈B，x0∉A A B或B A 相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆A⇒A＝B A＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集∀x，x∉∅，∅⊆A ∅表示文字语言符号语言图形语言记法运算属于A且属于B的元{x|x∈A且x∈B} A∩B 交集素组成的集合属于A或属于B的元并集{x|x∈A或x∈B} A∪B 素组成的集合全集U中不属于A的补集{x|x∈U，x∉A} ∁U A 元素组成的集合[常用结论]1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都至少有两个子集．( )(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.( )(3)若{x2，x}＝{－1,1}，则x＝－1. ( )(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C. ( )[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．(3)正确．(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( )A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22知，a∉A.]3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )A ．{1,2,3,4}B ．{1,2,3}C ．{2,3,4}D ．{1,3,4}A [A ∪B ＝{1,2,3,4}．]4．(2018·某某高考)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}，则∁U A ＝( ) A ．∅B ．{1,3} C ．{2,4,5}D ．{1,2,3,4,5} C [∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}， ∴∁U A ＝{2,4,5}． 故选C.]5．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2＜x ＜－1} B ．{x |－2＜x ＜3} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜3} A [∵A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜－1}．]集合的含义与表示1A B M x x a b a A b B M 为( )A ．3B ．4C ．5D ．6B [因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7. 当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素．]2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98C ．0D ．0或98D [若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为()A ．1B ．0C ．－1D ．±1C [由已知得a ≠0，则ba＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]4．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 1 [由A ∩B ＝{3}知a ＋2＝3或a 2＋4＝3. 解得a ＝1.][规律方法] 与集合中的元素有关的问题的求解策略 1确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集. 2看这些元素满足什么限制条件.3根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性.集合间的基本关系【例1】 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．AB D ．B A(2)(2019·某某模拟)集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则集合B的子集个数为( )A ．5B ．8C ．3D ．2(3)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值集合为________．(1)C (2)B (3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0 [(1)A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，则AB ，故选C.(2)由x ＋1x －3≤0得－1≤x ＜3，则A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }＝{1,2,5}，其子集的个数为23＝8个．(3)A ＝{－3,2}，若a ＝0，则B ＝∅，满足B ⊆A ，若a ≠0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由B ⊆A 知，1a ＝－3或1a ＝2，故a ＝－13或a ＝12，因此a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0.] [规律方法] 1.集合间基本关系的两种判定方法 1化简集合，从表达式中寻找两集合的关系. 2用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系.2.根据集合间的关系求参数的方法,已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观进行求解.易错警示：B ⊆A A ≠∅，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.(1)(2018·某某模拟)已知集合A ＝{0}，B ＝{－1,0,1}，若A ⊆C ⊆B ，则符合条件的集合C 的个数为()A ．1B ．2C ．4D ．8(2)已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值X 围是________． (1)C (2)[2，＋∞) [(1)由A ⊆C ⊆B 得C ＝{0}或{0，－1}或{0,1}或{0，－1,1}，故选C.(2)A ＝{x |0≤x ≤2}，要使A ⊆B ，则a ≥2.]集合的基本运算►考法1 【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＞0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x ＜－1}∪{x |x ＞2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}(3)(2019·某某模拟)已知集合M ＝{x |－1＜x ＜3}，N ＝{－1,1}，则下列关系正确的是( )A．M∪N＝{－1,1,3} B．M∪N＝{x|－1≤x＜3}C．M∩N＝{－1} D．M∩N＝{x|－1＜x＜1}(1)C(2)B(3)B[(1)由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．(2)法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.法二：因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁R A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.(3)M∪N＝{x|－1≤x＜3}，M∩N＝{1}，故选B.]►考法2 利用集合的运算求参数【例3】(1)设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值X围是( )A．－1＜a≤2 B．a＞2C．a≥－1 D．a＞－1(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )A．0 B．1 C．2 D．4(3)(2019·某某模拟)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值X围是( )A．a≤1 B．a＜1C．a≥2 D．a＞2(1)D(2)D(3)C[(1)由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示：易知a＞－1，故选D.(2)由题意可知{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4，故选D.(3)B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B⊆A，则a≥2，故选C.][规律方法]解决集合运算问题需注意以下三点：1看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.2看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解.3要借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，并注意端点值的取舍.(1)(2019·东北三省四市联考)设集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x(x－3)＜0}，则A∪B＝( )A．(－1,0) B．(0,1)C．(－1,3) D．(1,3)(2)(2019·某某模拟)设集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则(∁R A)∩B＝( )A．{1} B．{2} C．{1,2} D．∅(3)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B ＝( )A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}(4)(2019·某某模拟)已知集合A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}，则A∩B＝( )A．{1,3} B．{1,3,9}C．{3,9,27} D．{1,3,9,27)(1)C(2)D(3)C(4)A[(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}，故选C.(2)A＝{x|x≤1或x≥2}，则∁R A＝{x|1＜x＜2}．又集合B＝{x|x≤2，x∈Z}，所以(∁R A)∩B＝∅，故选D.(3)∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(4)因为A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{1,3}．]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}A[由题意知A∩B＝{0,2}．]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4A [由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1，0,1}，所以A 中元素的个数为9，故选A.]3．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32 B ．A ∩B ＝∅ C ．A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32 D ．A ∪B ＝RA [因为B ＝{x |3－2x ＞0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ＝{x |x ＜2}，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ∪B ＝{x |x ＜2}．故选A.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2D [分析集合A 中元素的特点，然后找出集合B 中满足集合A 中条件的元素个数即可． 集合A 中元素满足x ＝3n ＋2，n ∈N ，即被3除余2，而集合B 中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.]自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

例 2．设 x, y R ，则 x2 y2 2 是 | x | | y | 2 的（
）、是 | x | | y | 2 的（
）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解：由图形可以知道选择 B，D．（图略）
例 3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件， 命题丙是命题乙的必要非充分条件， 命题丁是命题丙的充要条
第 06 课时：第一章 集合与简易逻辑——充要条件
一．课题：充要条件 二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系． 三．教学重点：充要条件关系的判定． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．充要条件的概念及关系的判定； 2．充要条件关系的证明． （二）主要方法： 1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；
得 | xy | xy 所以 xy 0 故必要性成立，
综上，原命题成立．
11 例 5．已知数列 { an } 的通项 an n 3 n 4
1
an
log2t (t
1)
11
log
2 (t
1) t
2n 3，为了使不等式
20
对任意
n N * 恒成立的充要条件．
解：
an 1 an
1
1
1 (1
1 )( 1
1)0
即只须 t
1
1
且
log
2 t
(t
1)
9
log
2 t
(
t
20
1)
11 20
0
，
解得 1 log t (t 1) t(t 1) ，
1
0
t 1 t(t 2)
即t
，

集合的概念与运算[考点导读]1. 了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言,图形语言,集合语言描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用．2. 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．3. 理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义,会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系与运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用．4. 集合问题常与函数,方程,不等式有关,其中字母系数的函数,方程,不等式要复杂一些,综合性较强,往往渗透数形思想和分类讨论思想．[基础练习]1.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}．2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈,{2,}B x x k k Z ==∈,则A B ⋂=∅．3.已知集合{0,1,2}M =,{2,}N x x a a M ==∈,则集合M N ⋂=____________． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =,集合{1,5,9}A a =-,{5,7}I C A =,则实数a 的值为____8或2___． 5. 已知集合[1,4)A =,(,)B a =-∞,若A B A ⋂=,则实数a 的取值X 围_[4,)+∞___． 6. 已知集合{|10}M x x =+<,1{|0}1N x x=>-,则图中阴影部分所表示的集合是 ____ . [X 例解析]例1. 设,a b R ∈,集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=,求b a -的值. 分析：利用集合中元素互异性和集合相等性质,得到集合中对应元素的关系.解：由题知,0a ≠,0a b +=,则1b a =-,所以 1baa b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得11a b =-⎧⎨=⎩,所以2b a -=.点评：本题以集合中元素的性质为载体,考察学生对条件的把握分析能力,以寻找解题的突破口. 例2.已知集合{026}A x ax =<+≤,{124}B x x =-<≤.（1） 若A B A ⋂=,##数a 的取值X 围；（2） 集合A ,B 能否相等？若能,求出a 的值；若不能,请说明理由. 分析：〔1〕对a 进行分类讨论,利用数轴求a 的取值X 围. 解：{124}B x x =-<≤1{2}2x x =-<≤,{026}A x ax =<+≤{24}x ax =-<≤.①当0a =时,A R =,所以A B ⊆不可能；第6题{0,2} {11}x x -≤<②当0a >时,24{}A x x a a =-<≤,若A B ⊆,则21,24 2.a a ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得4a ≥.③当0a <时,42{}A x x a a =≤<-,若A B ⊆,则41,22 2.a a⎧>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩解得8a <-.综上所得,a 的取值X 围为(,8)[4,)-∞-⋃+∞.<2>分析一：求出满足B A ⊆时a 的取值X 围,再与〔1〕取交集.解法一：①当0a =时,A R =,所以B A ⊆成立；②当0a >时,24{}A x x a a =-<≤,若B A ⊆,则21,24 2.a a ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得02a <≤.③当0a <时,42{}A x x a a =≤<-,若B A ⊆,则41,22 2.a a⎧≤-⎪⎪⎨⎪->⎪⎩解得10a -<<.综上,B A ⊆时,12a -<≤.A B A B =⇔⊆且B A ⊆,∴若A B =,则(1,2]a ∈-且(,8)[4,)a ∈-∞-⋃+∞,矛盾.所以,集合A 与B 不可能相等.分析二：利用两个相等集合中元素的对应关系,建立等量关系. 解法二：①当0a =时,A R =,所以B A ≠；②当0a >时,24{}A x x a a =-<≤,若B A =,则21,24 2.a a⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩无解.③当0a <时,42{}A xx a a=≤<-,若B A =,显然不成立. 综上,集合A 与B 不可能相等.点评：在解决两个数集关系问题时,应合理运用数轴帮助分析与求解.另外,在解含参数的不等式〔方程〕时,要对参数进行分类讨论,分类时要遵循不重不漏的分类原则,然后对每一类情况都要给出问题的解答. 例3.〔1〕已知R 为实数集,集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ⋃=,{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<,求集合B ；〔2〕已知集合{,0}M a =,2{30,}N x x x x Z =-<∈,且{1}M N ⋂=,记P M N =⋃,写出集合P 的所有子集.分析：〔1〕先化简集合A ,由R B C A R ⋃=可以得出A 与B 的关系；最后,由数形结合,利用数轴直观地解决问题.〔2〕求出N ,由{1}M N ⋂=,可知1M ∈,解得a ,进而求出P . 解：〔1〕{12}A x x =≤≤,{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ⋃=,R A C A R ⋃=,可得A B ⊆.而{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<,∴{01x x <<或23}x <<.B ⊆ 借助数轴可得B A =⋃{01x x <<或23}x <<{03}x x =<<. 〔2〕由230x x -<,得03x <<；又x Z ∈,故{1,2}N =. 由{,0}M a =且{1}M N ⋂=,可得1a =.{1,0}M ∴=, 故P 的子集为：∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.点评：〔1〕研究数集的相互关系时,可通过数轴示意,借助直观性探求,易于理解.〔2〕含有n 个元素的集合,共有2n 个子集,21n-个真子集.另注意空集的情况.例4.已知函数2()f x x px q =++,集合{()}A x f x x ==,集合{[()]}B x f f x x ==. 〔1〕求证：A B ⊆；〔2〕若{1,3}A =-,求集合B .分析：〔1〕要证明A B ⊆,根据定义,只要证A 中任一元素都是B 中的元素即可； 〔2〕由{1,3}A =-,可以求出p ,q 的值,从而求出B . 解：〔1〕设0x 是集合A 中的任一元素,即0x A ∈.{()}A x f x x ==,∴00()x f x =,即有000[()]()f f x f x x ==.∴0x B ∈.故A B ⊆. 〔2〕{1,3}A =-2{}x x px q x =++=,1∴-,3是方程2(1)0x p x q +-+=的两个根,因为集合B 中的元素是方程[()]f f x x =的根,也就是222(3)(3)3x x x x x ------=的根.方程整理得22(23)(3)0x x x ---=,解得x =-,即{B =-.点评：本题考查集合语言与集合思想在解决方程问题时的运用,在解答过程中,应脱去集合符号和抽象函数符号的"外衣〞,显出本质的数量关系,要不断实施各种数学语言间的相互转换.原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互简单的逻辑联结词<一>复习指导：1,命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题. 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题："或〞、"且〞、"非〞这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词"或〞、"且〞、"非〞构成的命题是复合命题.构成复合命题的形式：p 或q<记作"p ∨q 〞 >；p 且q<记作"p ∧q 〞 >；非p<记作"┑q 〞 > .3、"或〞、 "且〞、 "非〞的真值判断〔1〕"非p 〞形式复合命题的真假与F 的真假相反； 〔2〕"p 且q 〞形式复合命题当P 与q 同为真时为真,其他情况时为假；〔3〕"p 或q 〞形式复合命题当p 与q 同为假时为假,其他情况时为真．4、四种命题的形式：原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p.6、如果已知p ⇒q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. 若p ⇒q 且q ⇒p,则称p 是q 的充要条件,记为p ⇔q. <二>解题方法指导：例1．用"p 或q 〞、"p 且q 〞或"非p 〞填空,①命题"矩形的对角线互相垂直平分〞是________形式 ②命题"π ∉Q 是____形式 ③命题"1≥1〞是____形式． 其中真命题的序号为____．分析：逻辑联结词"或〞"且〞"非〞可类比集合的"并〞"交〞"补〞的关系． 解：①p 且q ②非p ③p 或q 真命题的序号为②③．小结：<1>逻辑联结词"或〞"且〞"非〞可类比集合的"并〞"交〞"补〞的关系 A ∪B ={x ｜x ∈A 或x ∈B }；A ∩B ={x ｜x ∈A 且x ∈B } S A ={x ｜x ∈S 且x ∉A } 例2．给出下列命题：①"若k ＞0,则关于x 2+2x －k =0的方程有实根〞的逆命题； ②"若a ＞b ,则2a ＞2b －1〞的否命题； ③"若A ∪B =B ,则A ⊆B 〞的逆否命题；④命题p ："x ,y ∈R ,若x 2+y 2=0,则x ,y 全为0〞的非命题 其中真命题的序号是____． 解：首先写出相应命题：①若关于x 的方程x 2＋2x －k =0有实根,则k ＞0 ②若a ≤b ,则2a ≤2b －1； ③若A ⊆/B ,则A ∪B ≠B ． ④x ,y ∈R ,若x 2＋y 2=0,则x ,y 不全为0 分别判断知①若关于x 的方程x 2＋2x －k =0有实根,则k ＞－1,故命题为假； ②取21,0==b a ,命题不成立；③由互为逆否命题同真同假,故③可直接判断原命题,知命题为真；④由实数性质知,命题不成立．综上知真命题序号为③．小结：<1>互为逆否命题同真同假,故③可直接判断原命题,此种等价性常被认为是反证法理论基础,尽管此说法不完全对．<2>"若p则q〞形式命题它的否定形式不等于否命题．否定形式是对命题结论的否定；否命题是将命题题设、结论分别否定．<3>一些基本逻辑关系式可类比集合运算律：①⌝<p∨q>=<⌝p>∧<⌝q>……U<A∪B>=<U A>∩<U B>②⌝<p∧q>=<⌝p>∨<⌝q>……U <A∩B>＝<U A>∪<U B><其中"p∨q〞表示"p或q〞,"p∧q〞表示"p且q〞>．例3．若命题"p或q〞是真命题,命题"p且q〞是假命题,则< ><A>命题p是假命题<B>命题q是假命题<C>命题p与命题q真值相同<D>命题p与命题"非q〞真值相同解：∵p或q为真,∴p或q中至少有一个为真．又∵"p且q〞为假,∴p、q中一真一假．综上可知,答案为<D>．分析：要分清命题的构成,准确了解逻辑联结词"或〞、"且〞、"非〞的含义．例4．<1>命题p："有些三角形是等腰三角形〞,则⌝p是< ><A>有些三角形不是等腰三角形<B>有些三角形可能是等腰三角形<C>所有三角形不是等腰三角形<D>所有三角形是等腰三角形<2>已知命题p：∀x∈R,sin x≤1,则< ><A>⌝p：∃x∈R,sin x≥1<B>⌝p：∀x∈R,sin x≥1<C>⌝p：∃x∈R,sin x＞1<D>⌝p：∀x∈R,sin x＞1解：<1>命题p："存在x∈A使P<x>成立〞,⌝p为："对任意x∈A,有P<x>不成立〞．故命题p："有些三角形是等腰三角形〞,则⌝p是"所有三角形不是等腰三角形〞；答案选C<2>命题p："任意x∈A使P<x>成立〞,⌝p为："存在x∈A,有P<x>不成立〞．故命题p：∀x∈R,sin x≤1,则⌝p为：∃x∈R,sin x＞1；答案选C小结：标准只要求理解和掌握含有一个量词的命题．不要求理解和掌握含有两个或两个以上量词的命题．对于命题的否定,只要求对含有一个量词的命题进行否定．通过分析,同学可以总结出常见关键词与其否定形式的表：关键词否定词关键词否定词等于不等于大于不大于能不能小于不小于至少有一个一个都没有至多有一个至少有两个都是不都是是不是没有至少有一个属于不属于<一>复习指导：如果一个命题是"若p则q〞的形式,其中p称为命题的前件、q称为命题的后件,<1>若p⇒q,且q≠＞p,则p是q的充分且不必要条件,q是p的必要不充分条件；<2>若q⇒p,p⇒/q,则p是q的必要且不充分条件,q 是p的充分不必要条件；<3>若p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件<q也是p的充要条件>；<4>若p⇒/q,且q⇒/p,则p是q的既不充分也不必要条件．这四种情况反映了前件p与后件q之间的因果关系,在判断时应：<1>确定前件是什么,后件是什么；<2>尝试从前件推导后件,从后件推导前件；<3>确定前件是后件的什么条件．证明p 是q 的充要条件,既要证明命题"p ⇒q 〞为真,又要证明命题"q ⇒p 〞为真,前者证的是充分性,后者证的是必要性．常用逻辑用语的重点内容是有关"充要条件〞、命题真伪的试题．主要是对数学概念有准确的记忆和深层次的理解,试题以选择题、填空题为主,难度不大,要求对基本知识、基本题型,求解准确熟练．<二>解题方法指导：例1．设集合⋅<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=}|1||{,011a x x B x x xA "a =1〞是"A∩B≠〞的< > <A>充分不必要条件<B>必要不充分条件<C>充要条件<D>既不充分又不必要条件分析：解此类题首先确定命题的前件与后件,可利用划出主谓宾的方法,即： "条件M ‖是条件N 的××条件．〞得出M 是条件．即为命题前件M 、N 为后件,再分别判别． 解："a =1〞是条件,"A ∩B ≠〞是结论．由题意得A ={x ｜－1＜x ＜1},B ={x ｜1－a ＜x ＜a ＋1}． <1>验证充分性由a ＝1得A ={x ｜－1＜x ＜1},B ={x ｜0＜x ＜2}． 则A ∩B ={x ｜0＜x ＜1}≠成立,即充分性成立． <2>验证必要性 A ∩B ≠,取,21=a 满足,但是a ≠1,所以必要性不成立． 综合得"a =1〞是：A ∩B ≠的充分非必要条件,例2．<1>条件p ："直线l 在y 轴上的截距是在x 轴的截距的2倍〞；条件q ："直线l 的斜率是－2〞,则p 是q 的< ><A>充分不必要条件<B>必要不充分条件 <C>充分必要条件<D>既不充分也不必要条件<2>",21=m 〞是"直线<m +2>x +3my +1=0与直线<m －2>x +<m +2>y －3=0相互垂直〞的< ><A>充分必要条件<B>充分而不必要条件<C>必要而不充分条件<D>既不充分也不必要条件解：<Ⅰ>条件p 中的截距为零时,斜率可以为任意值,故答案选D ； <Ⅱ>当21=m 时,两直线斜率乘积为－1,从而可得两直线垂直； 当m =－2时,两直线一条斜率为0,一条斜率不存在,但两直线仍然垂直． 因此21=m 是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件． 故答案选B ；小结：解析几何中要注意一些特殊情况的数量关系问题．如截距相等要注意为0的特殊情况,对于两条直线垂直的充要条件分为①k 1,k 2都存在时,k 1·k 2=－1；②k 1,k 2中有一个不存在,另一个为零．类似情况,不要忽略,要注意积累．例3．下列各小题中,p 是q 的充分必要条件的是①p ：m ＜－2,或m ＞6；q ：y =x 2+mx +m +3有两个不同的零点②1)()(:=-x f x f p ；q ：y =f <x >是偶函数 ③p ：cos α=cos β；q ：tan α=tan β④p ：A ∩B =A ；q ：U B ⊆U A(A)①②<B>②③<C>③④<D>①④分析：本题以充要条件知识为载体,考查一元二次不等式知识、偶函数、集合与简单的三角知识． 解：①中：q 成立．则△=m 2－4<m ＋3>＞0,解得m ＜－2,或m ＞6．可知①满足条件；②中：p 变形为f <－x >=f <x >．可知是y =f <x >是偶函数；反之,y =f <x >是偶函数时,f <x >可以为0．如y =x 2<x ∈R >是偶函数,但是)0()0(f f 不存在,即p 为q 的充分不必要条件；③中：p ：cos α=cos β不能推出q 成立．如：．3π,3π=-=βα∴p 成立,而q 不成立；反之q 成立不能推出p 成立．如：⋅+==3ππ,3πβα∴q 成立,而p 不成立； ④中：p 成立,则A ⊆B ,q 成立； 同样,q 成立,则A ⊆B ,即p 成立所以,p 是q 的充要条件． 所以答案选D小结：充要条件的判断,首先要理解条件和结论,其次掌握三种条件的定义与判别方法,同时要注意不同知识点的应用与渗透．例4．已知⌝p 是q 的充分不必要条件,则p 是⌝q 的< > <A>充分不必要条件<B>必要不充分条件 <C>充要条件<D>既不充分也不必要条件 解：依题意⌝p ⇒q ,且q ⇒/⌝p ,由联系四种命题可知"⌝p ⇒q 〞为原命题真, ∴⌝q ⇒p 也为真<逆否命题>． 同理p ⇒/⌝q ． ∴p 是⌝q 的必要不充分条件． 所以答案选B ．小结：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法．。

第一章集合与常用逻辑用语充分条件与必要条件本课是高中数学第一章第4节，充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系,目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。

从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难．“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.<1.教学重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断及其证明方法；2.教学难点：命题条件充要性的判断及其证明。

多媒体一、情景引入，温故知新情景1：如图所示电路中(整个电路及灯泡一切正常),记p:闭合开关A, q:灯泡亮。

请把这个电路图改写为“若p，则q”形式的命题并判断真假。

）【答案】真命题情景2：记p:x >2, q:x >0 。

判断命题“若x >2 ，则 x >0”的真假。

【答案】真命题二、探索新知探究一充分条件与必要条件的含义1.思考:下列“若P，则q”形式的命题中，哪些是真命题哪些是假命题（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；22 1;2;(3),41,1;(5),;(6)p q q p x x ac bc a b xy x y ====例：下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？（）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角 分别相等（）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例若四边形的对角线互相垂直则这个四边形为菱形；（）若则若则若为无理数，则、为无理数。

P q ⇒P q ⇒p q ≠〉P q ≠〉(1)010,11,,p q -⨯=⨯-≠≠〉但12=2⨯由于2p q ≠〉考：下列“若P ，则q ”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，则0ac <。

第2课时 充要条件p q ⇒则p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的 条件．2．必要条件：如果q p ⇒则p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的 条件．3．充要条件：如果p q ⇒且q p ⇒则p 叫做q 的 条件．A 是B 的什么条件，并说明理由． 1． A ：Rp p ∈≥,2，B ：方程+++p px x 203=有实根；2． A ：)(,2Z k k ∈=+πβα，B ：)sin(βα+βαsin sin +=； 3．A ：132>-x ；B ：612>-+x x ；4．A ：圆222r y x =+与直线++by ax 0=c 相切，B ：.)(2222r b a c +=分析：要判断A 是B 的什么条件，只要判断由A 能否推出B 和由B 能否推出A 即可． 解：(1) 当2≥p ，取4=p ，则方程0742=++x x 无实根；若方程+2x 03=++p px 有实根，则由0>∆推出20)3(42-≤⇒≥+-p p p 或≥p 6，由此可推出2≥p ．所以A 是B 的必要非充分条件． (2)若πβαk 2=+则βαsin sin +αααπαsin sin )2sin(sin -=-+=k 02sin )sin(,0==+=πβαk 又所以βαβαsin sin )sin(+=+成立 若βαβαsin sin )sin(+=+成立 取απβ==,0，知πβαk 2=+不一定成立，故A 是B 的充分不必要条件． (3) 由21132><⇒>-x x x 或，由612>-+x x 解得23>-<x x 或，所以A 推不出B ，但B 可以推出A ，故A 是B 的必要非充分条件．(4) 直线0=++c by ax 与圆22y x +2r =相切⇔圆(0，0)到直线的距离r d =，即22b a c +＝2c r ⇔＝222)(r b a +.所以A 是B 的充要条件.变式训练1：指出下列命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.（1）在△ABC 中，p ：∠A=∠B ，q ：sinA=sinB ； （2）对于实数x 、y ，p ：x+y ≠8,q:x ≠2或y ≠6; （3）非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B ；（4）已知x 、y ∈R ，p ：（x-1）2+（y-2）2=0，q ：（x-1）（y-2）=0.解： （1）在△ABC 中，∠A=∠B ⇒sinA=sinB ，反之，若sinA=sinB ，因为A 与B 不可能互补（因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p 是q 的充要条件.(2)易知: ⌝p:x+y=8, ⌝q:x=2且y=6,显然⌝q ⇒⌝p.但⌝p ⌝q,即⌝q 是⌝p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是q 的充分不必要条件.(3)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B,但x ∈B 一定有x ∈A ∪B,所以p 是q 的必要不充分条件.(4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,所以p ⇒q 但q p,故p 是q 的充分不必要条件.例2. 已知p ：－2＜m ＜0，0＜n ＜1；q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n＝0有两个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.解：若方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1、x 2． 则0＜x 1＜1、0＜x 2＜1，∵x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ∴0＜－m ＜2，0＜n ＜1 ∴－2＜m ＜0，0＜n ＜1 ∴p 是q 的必要条件．又若－2＜m ＜0，0＜n ＜1，不妨设m ＝－1，n ＝21．则方程为x 2－x ＋21＝0，∵△＝(－1)2－4×21＝－1＜0． ∴方程无实根 ∴p 是q 的非充分条件．综上所述，p 是q 的必要非充分条件．变式训练2：证明一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.证明：充分性：若ac<0,则b 2-4ac>0,且a c <0,∴方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根.必要性：若一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根，则∆=b 2-4ac>0,x 1x 2=a c <0,∴ac<0.综上所述，一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.例3. 已知p ： |1－31-x |≤2，q ：:x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.解： 由题意知：命题：若┒p 是┑q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件.p : |1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10q : x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0*∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)解集的子集.又∵m >0，∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1＋m∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9310121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞)变式训练3：已知集合{||1||3|8}M x x x =++->和集合2{|(8)80}P x xa x a =+--≤，求a 的一个取值范围，使它成为}85|{≤<=x x P M 的一个必要不充分条件.解： }53|{>-<=x x x M 或，}0)8)((|{≤-+=x a x x P 由,}85|{时≤<=x x P M ,3,35≤≤≤-a a 此时有所以}85|{3≤<=≤x x P M a 是是必要但不充分条件. 说明：此题答案不唯一.例4. “函数y ＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象全在x 轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是什么？解：函数的图象全在x 轴上方，若)(x f 是一次函数，则10)1(40542=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+a a a a若函数是二次函数，则：[]⎪⎩⎪⎨⎧<-+--->-+0)54(12)1(4054222a a a a a 191<<⇒a 反之若19|<≤a ，由以上推导，函数的图象在x 轴上方，综上，充要条件是19|<≤a ．变式训练4：已知P ＝{x | |x －1| | >2}，S ＝{x | x2＋}(1)0a x a ++>，P x ∈且的充要条件是S x ∈，求实数a 的取值范围．分析：P x ∈的充要条件是S x ∈，即任取S x P x ∈⇒∈S P ⊆∴，反过来，任取P x S x ∈⇒∈P S P S =∴⊆∴据此可求得a的值．解： P x ∈的充要条件是S x ∈.S P =∴∵P ＝{x || x －1|＞2}}＝),3()1,(+∞--∞S ＝{x | x2＋(a ＋1)x ＋a ＞0)}＝{x | (x ＋a)(x ＋1)＞0}能进行推理和判断．不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念．2．确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明．3．等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系．4．对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形（换）而得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具有充分性．5．对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个．。

第1章集合与充要条件教案（1）第一章集合与充要条件1.1 集合的概念第一节集合与元素教学目标：1．理解集合的概念；理解集合中元素的性质．2．理解“属于”关系的意义；知道常用数集的概念及其记法．3．引导学生发现问题和提出问题，培养独立思考和创造性地解决问题的意识．教学重点：集合的基本概念，元素与集合的关系．教学难点：正确理解基本概念教学过程：[新授]：1．集合的概念（1）一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，我们就说，这个整体是由这些对象的全体构成的集合（简称为集）．（2）构成集合的每个对象都叫做集合的元素．（3）集合与元素的表示方法：一个集合，通常用大写英文字母A,B,C,…表示，它的元素通常用小写英文字母a,b,c,…表示．2．元素与集合的关系（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”．（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a?A．读作“a不属于A”．3．集合中元素的特性（1）确定性（2）互异性（3）无序性：4．集合的分类（1）有限集（2）无限集5．常用数集自然数集N；正整数集N＋或N*；整数集Z；有理数集Q；实数集R．6．空集?（不能写成{?}）[巩固]：例1：判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由．（1）小于10的自然数的全体；（2）某校高一（2）班所有性格开朗的男生；（3）英文的26个大写字母；（4）非常接近1的实数．[点评]：组成集合的对象是确定的，对于一个对象是否是集合中元素，只有两种结果：是或不是，出现形容词修饰的对象不能组成集合．练习1：判断下列语句是否正确：（1）由2，2，3，3构成一个集合，此集合共有4个元素；（2）所有三角形构成的集合是无限集；（3）周长为20cm的三角形构成的集合是有限集；（4）如果a∈Q，b∈Q，则a+b∈Q．例2：用符号“∈”或“?”填空：（1）1_____N0_____N－4_____N0.3_____N；（2）1_____Z0_____Z－4_____Z0.3_____Z；（3）1_____Q0_____Q－4_____Q0.3_____Q；（4）1_____R0_____R－4_____R0.3_____R．练习2：用符号“∈”或“?”填空：（1）－3_____N；（2）3.14_____Q；（3）13_____Z；（4）－12_____R；（5）2_____R；（6）0_____Z[小结]：1．集合的有关概念：集合、元素．2．元素与集合的关系：属于、不属于．3．集合中元素的特性．4．集合的分类：有限集、无限集．5．常用数集的定义及记法．[教后札记]：第二节集合的表示法教学目标：1．掌握集合的表示方法；能够按照指定的方法表示一些集合．2．发展学生运用数学语言的能力；培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力．3．让学生感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界；通过合作学习培养学生的合作精神．教学重难点：重点：集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合.难点：集合特征性质的概念，以及运用描述法表示集合.[引课]（1）集合、元素、有限集和无限集的概念是什么？（2）用符号“∈”与“?”填空：①0______N；②-2______Q；③-2______R．[新授]1．列举法．用列举法表示集合的方法：将集合的元素一一列出，用逗号分隔，再用花括号括为一个整体．例如，由1,2,3,4,5,6这6个数组成的集合，可表示为：{1,2,3,4,5,6}．又如，中国古代四大发明构成的集合，可以表示为：{指南针，造纸术，活字印刷术，火药}．注：用列举法表示集合时，不必考虑元素的排列顺序，同时，元素不能重复；当集合中元素较多时，可以用省略号表示，但需让人明白省略号表示了哪些元素，据此，列举法可以表示无限集．如：小于100的自然数的全体构成的集合，可表示为：{0,1,2,3,…,99}．[例1]：用列举法表示下列集合：（1）所有大于3且小于10的奇数构成的集合；（2）方程x2-5x+6=0的解集；（3）所有偶数组成的集合．[练习1]：用列举法表示下列集合：（1）大于3小于9的自然数全体；（2）绝对值等于1的实数全体；（3）一年中不满31天的月份全体；（4）大于3.5且小于12.8的整数的全体．2．描述法．用描述法表示集合的方法：在花括号中画一条竖线，竖线的左侧写出集合的代表元素，并标出元素的取值范围，竖线右侧写出元素所具有的特征性质．如：使用特征性质描述法时要注意：（1）特征性质明确；（2）若元素范围为R，“x∈R”可以省略不写．[例2]：用描述法表示下列集合：（1）大于3的实数的全体构成的集合；（2）不等式2x+1≤0 的解集；（3）所有奇数组成的集合；（4）平面直角坐标系中，由x轴上的所有点组成的集合．[练习2]：用描述法表示下列集合：（1）不等式4x-5<3的解构成的集合；（2）绝对值等于3的实数的全体构成的集合；（3）平面直角坐标系中，由第一象限内的所有点组成的集合；（4）所有的正方形构成的集合．[练习3]：把下列集合用另一种方法表示出来：（1）{1,3} （2）{1,3,5,7,9}（2）{x|x2+2x-3=0} （4）{x∈N|-2<x<5}< bdsfid="155"p=""></x<5}<>[小结]：本节课学习了以下内容：1．列举法．2．性质描述法．3．比较两种表示集合的方法，分析它们所适用的不同情况．[教后札记]：1.2 集合之间的关系教学目标：1．理解子集、真子集与集合相等等概念；掌握子集、真子集的符号及表示方法及元素与集合、集合与集合之间关系的区别，会用它们表示集合间的关系；能判断两集合间的包含、相等关系．2．了解空集的意义；会求已知集合的子集、真子集并会用符号及Ve nn图表示．3．培养学生使用符号的能力；建立数形结合的数学思想；渗透分类思想，提高学生思维能力．教学重难点：重点：掌握集、真子集的概念；理解集合间的包含、真包含、相等关系及传递关系．难点：弄清元素与集合、集合与集合之间关系的区别[引课]已知：M={-1,1}，N={-1,1,3}，P={x|x2-1=0}．问（1）哪些集合表示方法是列举法？（2）哪些集合表示方法是描述法？（3）集合M中元素与集合N有何关系？集合M中元素与集合P 有何关系？[新授]1．子集如果集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合B叫做集合A的子集．记作：B?A或A?B；读作：“B包含于A”，或“A包含B”．性质：（1）任何一个集合都是它自身的子集；（2）空集是任何集合的子集．（3）对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，则A?C．[例1]：用符号“?”、“?”、“∈”、“?”填空：（1）{a,b,c,d}______{c,d} (2) ?______{1,2,3}（3）N______Q(4)0______R（5）d______{a,b,c} (6){x|3<x<5}______{x|0≤x<6}< bdsfid="183" p=""></x<5}______{x|0≤x<6}<>[练习1]：（1）用符号“?”、“?”、“∈”、“?”填空：①{c,d}______{c,d} ②{0}______?③N+______Q④0______?⑤a______{a,b,c} ⑥{x|1<x<2}______{x|-1≤x<3}< bdsfid="189" p=""></x<2}______{x|-1≤x<3}<>（2）判断下列各题中集合A是否为集合B的子集．①A={1,3,5}，B={1,2,3,4,5,6} ②A={1,3,5}，B={1,3,6,9}③A={0}，B={x|x2＋2=0} ④A={a,b,c,d}，B={d,b,c,a}2．真子集如果集B合是集合A的子集，并且集合A中至少有一个元素不属于B，那么集合B是集合A的真子集．Array记作：B?≠A（或A?≠B）；读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）．性质：空集是任何非空集合的真子集．[例2]：设集合M={0,1,2}，试写出M的所有子集，并指出其中的真子集．[练习2]：写出集合A={1,2}的所有子集及真子集．[例3]：设集合A={x|x>0}，B={x|1≤x≤5}，指出集合A与集合B 之间的关系．[练习3]：设集合A={x|x<6}，B={x|x≤0}，指出集合A与集合B 之间的关系．3．集合的相等若两个集合的元素完全相同，则称这两个集合相等．集合A等于集合B，记作A=B．如果A?B，且B?A，那么A=B；反之，如果A=B，那么A?B，且B?A．[例4]：判断集合A={x||x|=2}与集合B={x|x2-4=0}的关系．[练习4]：判断下列两个集合之间的关系：（1）A={2,4,5,7}，B={2,5}；（2）P={x|x2=1}，Q={-1,1}；（3）C={x|x是正奇数}，D={x|x是正整数}；（4）M={x|x是等腰直角三角形}，N={x|x是有一个角是45?的直角三角形}．[小结]：1．子集，真子集，集合相等．2．元素与集合、集合与集合的关系．[教后札记]：UST F《集合之间的关系》练习课教学目标：1．巩固学生对子集、真子集与集合相等等概念的理解；对子集、真子集的掌握及两集合间的包含、相等关系的判断．2．让学生掌握本节的常见基本题型及其解法．教学重难点：重点：巩固学生对子集、真子集与集合相等等概念的理解；对子集、真子集的掌握及两集合间的包含、相等关系的判断．难点：让学生掌握本节的常见基本题型及其解法．[例题]：（1）已知A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B?A，求所有可能a值构成的集合；（2）已知A={x|x2+p x+2=0}，B={x|x2+3x+2=0}，且A?B，求P的取值范围；（3）已知A={x|x=a2+1}，B={y|y=b2-6b+10}，试判断A与B 的关系；（4）已知A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，试求能使A?B 成立的a的取值范围．（5）指出下列各集合之间的关系，并用Venn 图表示：A={x|x是平行四边形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是矩形}，D={x|x 是正方形}．[练习]：（1）已知A={x|1≤x≤2}，B={x|x-a>0}，且A?B，求a的取值范围；（2）已知A={x|1≤x≤3}，B={x|a-1≤x≤a}，且B?A，求a的取值范围；（3）已知A={x|ax2+2x+1=0}只有一个元素，求a的取值；（4）已知A={x,xy,x+y}，B={0,|x|,y}，且A=B，求x、y的值．（5）已知A={-3,4}，B={x|x2-2px+q=0}，且B≠?，B?A，求实数p、q的值．（点评：注意失解）（6）集合U，S，T，F如图所示，下列关系中哪些是对的？哪些是错的？①S?≠U；②F?≠T；③S?≠T；④S?≠F；⑤S?≠F；⑥F?≠U．[教后札记]：。

第二节充分条件与必要条件[考纲传真] 1.通过对典型数学命题的梳理、理解充分条件，必要条件的意义、理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系.2.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p[常用结论]1．充分条件、必要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．2．充分条件、必要条件与集合的关系p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件A＝B1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．( )(3)q不是p的必要条件时，“p q”成立．( )[答案](1)√(2)√(3)√2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]4．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件B[x＜3－1＜x＜3，但－1＜x＜3⇒x＜3，因此p是q的必要不充分条件，故选B.] 5．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件，“x∈B”是“x∈A”的________条件．[答案]充分必要充分条件、必要条件的判断【例1】a，b，c，d 成等比数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“m∉M”是“m∉N”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)B (2)A [(1)a ，b ，c ，d 是非零实数，若ad ＝bc ，则b a ＝d c，此时a ，b ，c ，d 不一定成等比数列；反之，若a ，b ，c ，d 成等比数列，则a b ＝c d，所以ad ＝bc ，所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.(2)条件与结论都是否定形式，可转化为判断“m ∈N ”是“m ∈M ”的什么条件．由NM知，“m ∈N ”是“m ∈M ”的充分不必要条件，从而“m ∉M ”是“m ∉N ”的充分不必要条件，故选A.][规律方法] 充分条件和必要条件的两种判断方法 1定义法：可按照以下三个步骤进行 ①确定条件p 是什么，结论q 是什么； ②尝试由条件p 推结论q ，由结论q 推条件p ； ③确定条件p 和结论q 的关系.2集合法：根据p ，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.易错警示：判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”应是“q 推出p ，而p 不能推出q ”.(1)(2018·某某高考)设x ∈R ，则“x 3＞8”是“|x |＞2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)D [(1)由x 3＞8可得x ＞2，从而|x |＞2成立， 由|x |＞2可得x ＞2或x ＜－2，从而x 3＞8不一定成立． 因此“x 3＞8”是“|x |＞2”的充分不必要条件，故选A.(2)∵当a ≠0时，a 2＝8a ＝－8－a ⇒直线l 1与直线l 2重合，∴无论a 取何值，直线l 1与直线l 2均不可能平行，当a ＝4时，l 1与l 2重合．故选D.]充分条件、必要条件的探求及证明【例2】 (1)对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是( ) A ．m ⊥n ，n ∥α B ．m ∥β，β⊥α C ．m ⊥β，n ⊥β，n ⊥αD ．m ⊥n ，n ⊥β，β⊥αC [对于选项C ，因为m ⊥β，n ⊥β，所以m ∥n ，又n ⊥α，所以m ⊥α，故选C.] (2)已知x ，y 都是非零实数，且x ＞y ，求证：1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.[证明] 法一：充分性：由xy ＞0及x ＞y ，得x xy ＞y xy，即1x ＜1y.必要性：由1x ＜1y ，得1x －1y ＜0，即y －xxy＜0.因为x ＞y ，所以y －x ＜0，所以xy ＞0. 所以1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.法二：1x ＜1y ⇔1x －1y ＜0⇔y －x xy＜0.由条件x ＞y ⇔y －x ＜0，故由y －xxy＜0⇔xy ＞0. 所以1x ＜1y⇔xy ＞0，即1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.[规律方法] 充要条件的证明1证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性.2证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q 的充要条件”与“p的充要条件是q ”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论.(1)不等式x (x －2)＜0成立的一个必要不充分条件是( )A ．x ∈(0,2)B ．x ∈[－1，＋∞)C ．x ∈(0,1)D ．x ∈(1,3)B [由x (x －2)＜0得0＜x ＜2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x ∈[－1，＋∞)”是“不等式x (x －2)＜0成立”的一个必要不充分条件．](2)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.[证明] 必要性：∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0. 充分性：由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . ∵ax 2＋bx ＋c ＝0， ∴ax 2＋bx －a －b ＝0， 即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0. 故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.充分条件、必要条件的应用【例3】 (1)设命题p ：(4x －3)2≤1，命题q ：x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( )A ．－1≤k ＜3B ．－1≤k ≤3C ．0＜k ＜3D ．k ＜－1或k ＞3(1)A (2)C [(1)由(4x －3)2≤1得12≤x ≤1，即p ：12≤x ≤1，由x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)≤0得m ≤x ≤m ＋1，即q ：m ≤x ≤m ＋1. 由p 是q 的充分不必要条件，从而⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1{x |m ≤x ≤m ＋1}．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12m ＋1≥1，解得0≤m ≤12，故选A.(2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的充要条件是|1－k |2＜2，即－1＜k ＜3.故所求应是集合{k |－1＜k ＜3}的一个子集，故选C.] [规律方法] 利用充要条件求参数的关注点1巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式或不等式组求解.2端点取值慎取舍：在求参数X 围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍.(1)若“x ＞2m 2－3”是“－1＜x ＜4”的必要不充分条件，则实数m 的取值X围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[－1,2](2)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. (1)A (2)3或4 [(1)由题意知(－1,4)(2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选A.(2)当Δ＝16－4n ≥0，即n ≤4时，方程x 2－4x ＋n ＝0的两根为x ＝4±16－4n2＝2±4－n .又n ∈N *，且n ≤4，则当n ＝3,4时，方程有整数根．]。

第19课时充要条件（二）§1.8.2 充要条件教学目标1.理解充要条件的意义．2.掌握判断命题的条件的充要性的方法．3.进一步培养学生简单逻辑推理的思维能力．教学重点理解充要条件意义及命题条件的充要性判断.教学难点命题条件的充要性的判断.教学方法讲、练结合教学教具准备多媒体教案教学过程一、复习回顾由上节内容可知，一个命题条件的充分性和必要性可分为四类，即有哪四类？答：充分不必要条件；必要不充分条件；既充分又必要条件；既不充分也不必要条件．本节课将继续研究命题中既充分又必要的条件．二、新课：§1.8.2 充要条件问题：请判定下列命题的条件是结论成立的什么条件？（1）若a是无理数，则a+5是无理数；（2）若a>b,则a+c>b+c;(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根，则判别式Δ>0．答：命题（1）中因：a是无理数a+5是无理数，所以“a是无理数”是“a+5是无理数”的充分条件；又因：a+5是无理数a是无理数，所以“a是无理数”又是“a+5是无理数”的必要条件。

因此“a是无理数”是“a+5是无理数“既充分又必要的条件．由上述命题（1）的条件判定可知：一般地，如果既有p q，又有q p，就记作：p⇔q.“⇔”叫做等价符号。

p⇔q表示p q且q p．这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件．续问：请回答命题（2）、（3）．答：命题（2）中因：a>b a+c>b+c.又a+c>b+c a>b,则“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件．命题（3）中因：一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根Δ>0，又由Δ>0一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等根，故“一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根”是“判别式Δ>0”的充要条件．指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？（1）p:(x-2)(x-3)=0;q:x-2=0．(2)p:同位角相等；q：两直线平行．（3）p:x=3;q:x 2=9．(4)p:四边形的对角线相等；q:四边形是平形四边形． （5） ；q ：2x+3=x 2 ．生：（1）因x-2=0 (x-2)(x-3)=0,而: (x-2)(x-3)=0⇏x-2=0.所以p 是q 的必要而不充分条件．（2）因同位角相等⇔两直线平行，所以p 是q 的充要条件．（3）因x=3x 2=9,而x 2=9⇏x=3，所以p 是q 的充要分而不必要条件． （4）因四边形的对角线相等⇏四边形是平行四边形，又四边形是平四边形⇏四边形的对角线相等，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．（5）因 ,解得x=0或x=3.q:2x+3=x 2得x=-1或x=3。