高中数学必修1复习学案

4.4 对数函数学习目标1.通过对数函数的概念及对数函数图象和性质的学习，培养数学抽象、直观想象素养.2.通过对数函数图象和性质的应用，培养逻辑推理、数学运算素养.第1课时对数函数的概念、图象及性质1.对数函数的概念一般地，函数y=log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，+∞).2.对数函数的图象与性质我们可以借助指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质:对数函数的概念[例1] (1)下列函数是对数函数的是( )A.y=lg 10xB.y=log3x2C.y=ln xD.y=lo g13(x-1)(2)若函数f(x)=log a x+(a2-4a-5)是对数函数，则实数a= . 解析:(1)由对数函数的定义，得y=log a x(a>0，a≠1)是对数函数，由此得到y=ln x是对数函数.故选C.(2)由对数函数的定义可知，{a2-4a-5=0,a>0,a≠1,解得a=5.答案:(1)C (2)5判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如y=log a x(a>0，且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件: (1)系数为1.(2)底数为大于0，且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x.针对训练1:(1)若函数y=log a x+a 2-3a+2为对数函数，则a 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为 .解析:(1)因为函数y=log a x+a 2-3a+2为对数函数，所以{a 2-3a +2=0,a >0,a ≠1,解得a=2.故选B. (2)设函数f(x)=log a x(x>0，a>0，且a ≠1)，因为对数函数的图象过点M(9，2)，所以2=log a 9，所以a 2=9，又a>0， 解得a=3.所以此对数函数的解析式为y=log 3x. 答案:(1)B (2)y=log 3x对数型函数的定义域[例2] 求下列函数的定义域.(1)y=log a (3-x)+log a (3+x)(a>0，且a ≠1); (2)f(x)=1log 12(2x+1).解:(1)由{3-x >0,3+x >0,得-3<x<3，所以函数的定义域是{x|-3<x<3}.(2)由题意有{2x +1>0,2x +1≠1,解得x>-12，且x ≠0，则函数的定义域为(-12，0)∪(0，+∞).(1)求解含对数式的函数定义域，若自变量在底数和真数上，要保证真数大于0，底数大于0，且不等于1. (2)对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞).(3)形如y=log g(x)f(x)的函数，定义域由{f (x )>0,g (x )>0,g (x )≠1来确定.(4)形如y=f(log a x)的复合函数在求定义域时，必须保证每一部分都要有意义.针对训练2:函数f(x)=√lgx +lg(5-3x)的定义域是( ) A.[0，53) B.[0，53]C.[1，53) D.[1，53]解析:函数f(x)=√lgx +lg(5-3x)的定义域是{x|{x >0,lgx ≥0,5-3x >0}，即{x|1≤x<53}.故选C.对数函数的图象类型一 对数型函数图象过定点问题[例3] (1)函数y=log a (x-3)+1(a>0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是()A.(4，1)B.(3，1)C.(4，0)D.(3，0)(2)若函数y=log a (x-1)+8(a>0，且a ≠1)的图象过定点P ，且点P 在幂函数f(x)=x α(α∈R)的图象上，则f(12) = .解析:(1)令x-3=1，求得x=4，y=1， 可得它的图象恒过定点P(4，1).故选A. (2)令x-1=1，解得x=2，此时y=8，此函数图象过定点P(2，8). 由点P 在幂函数f(x)=x α(α∈R)的图象上知， 2α=8，解得α=3，所以f(x)=x 3， 所以f(12)=( 12) 3=18.答案:(1)A (2)18涉及与对数函数有关的函数图象过定点问题的一般规律:若f(x)=klog a g(x)+b(a>0，且a ≠1)，且g(m)=1，则f(x)图象过定点P(m ，b).针对训练3:(1)(多选题)下列四个函数中过相同定点的函数有( ) A.y=ax+2-a B.y=x a-2+1C.y=a x-3+1(a>0，a ≠1)D.y=log a (2-x)+1(a>0，a ≠1)(2)已知函数f(x)=log a(x-m)+n的图象恒过定点(3，5)，则lg m+lg n 的值是.(3)函数y=log a(2x-1)+3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是.解析:(1)由于函数y=ax+2-a=a(x-1)+2，令x=1，可得y=2，故该函数经过定点(1，2)，由于函数y=x a-2+1，令x=1，可得y=2，故该函数经过定点(1，2)，由于y=a x-3+1(a>0，a≠1)，令x-3=0，求得x=3，y=2，故该函数经过定点(3，2)，由于y=log a(2-x)+1(a>0，a≠1)，令2-x=1，求得x=1，y=1，故该函数经过定点(1，1).故选AB.(2)函数f(x)=log a(x-m)+n的图象恒过定点(1+m，n)，又函数f(x)的图象恒过定点(3，5)，故1+m=3，n=5，即m=2，n=5，所以lg m+lg n=lg 2+lg 5=lg 10=1.(3)令2x-1=1，得x=1，y=3，所以函数的图象恒过定点P(1，3). 答案:(1)AB (2)1 (3)(1，3)类型二对数型函数图象的识别[例4] 函数y=-lg |x+1|的大致图象为( )解析:法一函数y=-lg |x+1|的定义域为{x|x≠-1}，可排除A，C;当x=1时，y=-lg 2<0，显然只有D符合题意.故选D.法二y=-lg |x+1|={-lg(x+1),x>-1, -lg(-x-1),x<-1,又x∈(-1，+∞)时，y=-lg(x+1)是减函数.故选D.对数型函数图象的识别一定要注意利用对数式的真数大于0确定函数的定义域，注意利用对数型函数图象所过定点，同时结合单调性进行判断，也可以利用函数图象的变换进行判断.针对训练4:(1)(2021·河南开封期末)函数y=|lg(x+1)|的图象是( )(2)如图，①②③④中不属于函数y=log2x，y=log0.5x，y=-log3x的一个是( )A.①B.②C.③D.④解析:(1)函数的定义域为(-1，+∞)，图象与x轴的交点是(0，0).故选A.(2)根据函数的图象，函数y=log a x(a>0，且a≠1)的底数决定函数的单调性，当底数a>1时，函数单调递增，当0<a<1时，函数单调递减，当底数a>1，x>1时，满足底数越大函数的图象越靠近x轴，故①对应函数y=log2x的图象，根据对称性，④对应函数y=log0.5x的图象，③对应函数y=-log3x的图象，②与函数的图象相矛盾，故②不符合题意.故选B.类型三根据图象求解析式中的参数的范围[例5] 已知函数y=log a(x+c)(a，c为常数.其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a>1，c>1B.a>1，0<c<1C.0<a<1，c>1D.0<a<1，0<c<1解析:因为函数单调递减，所以0<a<1.当x=1时，log a(x+c)=log a(1+c)<0，即1+c>1，所以c>0，当x=0时，log a(x+c)=log a c>0，所以0<c<1.故选D.根据图象求解析式中的参数的范围和图象识别的方法是一致的，也是主要利用函数的单调性和图象上特殊点的坐标的大小建立有关参数的不等式.针对训练5:(1)如图，若C1，C2分别为函数y=log a x和y=log b x的图象，则( )A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1(2)已知定义在R上的函数f(x)=log2(a x-b+1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )A.0<1a <1b<1 B.0<1b<a<1C.0<b<1a <1 D.0<1a<b<1解析:(1)由对数的性质log a a=1(a>0，且a≠1)，画一条直线y=1，如图所示，由图可知0<b<a<1.故选B.(2)由函数单调性可知，a>1，f(0)=log2(1-b+1)，故0<log2(1-b+1)<1，解得0<b<1，由log2(a-1-b+1)<0可得a-1<b，所以0<1a<b<1.故选D.典例探究:如图，直线x=t与函数f(x)=log3x和g(x)=log3x-1的图象分别交于点A，B，若函数y=f(x)的图象上存在一点C，使得△ABC为等边三角形，则t的值为( )A.√3+22B.3√3+32C.3√3+34D.3√3+3解析:由题意A(t ，log 3t)，B(t ，log 3t-1)，|AB|=1， 设C(x ，log 3x)，因为△ABC 是等边三角形，所以点C 到直线AB 的距离为√32，所以t-x=√32，x=t-√32，所以C(t-√32，log 3(t-√32))， 根据中点坐标公式可得log 3(t-√32) =log 3t+log 3t -12=log 3t-12=log 3√3，所以t-√32=√3，解得t=3√3+34.故选C.应用探究:已知正方形ABCD 的面积为36，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数y=3log a x ，y=2log a x 和y=log a x(其中a>1)的图象上，则实数a 的值为( ) A.√3 B.√6 C.√36D.√63解析:设B(x ，2log a x)，因为BC 平行于x 轴，所以C(x ′，2log a x)，即log a x ′=2log a x ，所以x ′=x 2，所以正方形ABCD 的边长|BC|=x 2-x=6，解得x=3.由已知，AB 垂直于x 轴，所以A(x ，3log a x)，正方形ABCD 的边长|AB|=3log a x-2log a x=log a x=6，即log a 3=6，a 6=3，a=√36.故选C.1.函数f(x)=log 2(3+2x-x 2)的定义域为( C ) A.[-1，3] B.(-∞，-1)∪(3，+∞) C.(-1，3) D.(-∞，-1)∪[3，+∞)解析:由3+2x-x 2>0，得-1<x<3，所以f(x)的定义域为(-1，3).故选C.2.已知对数函数f(x)的图象过点(4，12)，则f(x)等于( A )A.log 16xB.log 8xC.log 2xD.lo g 116x解析:由题意设f(x)=log a x(a>0，且a ≠1)，由函数图象过点(4，12)可得f(4)=12，即log a 4=12，所以4=a 12，解得a=16，故f(x)=log 16x.故选A.3.如图所示的曲线是对数函数y=log a x ，y=log b x ，y=log c x ，y=log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系为 .解析:由题图可知函数y=log a x ，y=log b x 的底数a>1，b>1，函数y=log c x ，y=log d x 的底数0<c<1，0<d<1.过点(0，1)作平行于x 轴的直线l(图略)，则直线l 与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c ，d ，a ，b ，显然b>a>1>d>c>0. 答案:b>a>1>d>c4.已知函数y=log a (x+3)+89(a>0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f(x)=3x -b 的图象上，则b= . 解析:对于y=log a (x+3)+89，令x+3=1，得x=-2，则y=89，所以函数y=log a (x+3)+89(a>0，a ≠1)的图象恒过定点A(-2，89)，又点A 也在函数f(x)=3x -b 的图象上， 则89=3-2-b ，求得b=-79.答案:-79[例1] 已知函数y=f(x)的定义域是[0，2]，那么g(x)=f (x 2)1+lg (x+1)的定义域是( )A.(-1，-910)∪(-910，√2]B.(-1，√2]C.(-1，-910)D.(-910，√2)解析:依题意，{0≤x 2≤2,x +1>0,1+lg (x +1)≠0,解得-1<x<-910或-910<x ≤√2.故选A.[例2] 已知函数y=log 3x 的图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且线段AB 的中点在x 轴上，则x 1·x 2= .解析:因为函数y=log 3x 的图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 所以y 1=log 3x 1，y 2=log 3x 2.根据中点坐标公式得y1+y2=0，即log3x1+log3x2=0，所以log3(x1x2)=0，x1·x2=1.答案:1[例3] (1)求函数f(x)=log a(a x-1)(a>0，且a≠1)的定义域;(2)求函数f(x)=log a[(a-1)x-1]的定义域.解:(1)由a x-1>0，即a x>1，当a>1时，f(x)的定义域为(0，+∞)，当0<a<1时，f(x)的定义域为(-∞，0).(2)由题意(a-1)x-1>0，且a>0，a≠1，当a>1时，x>1;a-1.当0<a<1时，x<1a-1所以当a>1时，f(x)的定义域为(1，+∞);a-1当0<a<1时，f(x)的定义域为(-∞，1).a-1[例4] 已知函数f(x)=lg(a x-b x)(a>1>b>0).(1)求y=f(x)的定义域;(2)证明f(x)是增函数;(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，+∞)上恒取正值?(1)解:要使函数有意义，必有a x-b x>0，a>1>b>0，可得(a) x>1，解得x>0，b函数的定义域为(0，+∞).(2)证明:设g(x)=a x-b x，再设x1，x2是(0，+∞)上的任意两个数，且x1<x2，则g(x1)-g(x2)=a x1-b x1-a x2+b x2=(a x1-a x2)+(b x2-b x1)，对于函数y=a x为增函数，y=b x为减函数，所以a x1-a x2<0，b x2-b x1<0，所以g(x1)-g(x2)<0，所以g(x)在(0，+∞)上为增函数，因为y=lg x在(0，+∞)上为增函数，所以f(x)在(0，+∞)上为增函数.(3)解:因为f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以命题f(x)恰在(1，+∞)取正值等价于f(1)≥0，所以a-b≥1.选题明细表基础巩固1.函数f(x)=ln(x+2)+的定义域为( B )√2-xA.(2，+∞)B.(-2，2)C.(-∞，-2)D.(-∞，2)解析:由题意可知{x +2>0,2-x >0,解得-2<x<2.故选B.2.已知f(x)=a -x ，g(x)=log a x ，且f(2)·g(2)>0，则函数f(x)与g(x)的图象是( D )解析:因为f(2)·g(2)>0，所以a>1，所以f(x)=a -x 与g(x)=log a x 在其定义域上分别是减函数与增函数.故选D.3.已知函数f(x)=a x-1+log b x-1(a>0，且a ≠1，b>0，且b ≠1)，则f(x)的图象过定点( C ) A.(0，1) B.(1，1) C.(1，0) D.(0，0)解析:当x=1时，f(1)=a 0+log b 1-1=1+0-1=0，所以f(x)的图象过定点(1，0).故选C.4.(多选题)函数f(x)=log a (x+2)(0<a<1)的图象过( BCD ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析:作出函数f(x)=log a (x+2)(0<a<1)的大致图象如图所示，则函数f(x)的图象过第二、第三、第四象限.故选BCD.5.已知f(x)为对数函数，f(12)=-2，则f(√43)= .解析:设f(x)=log a x(a>0，且a ≠1)， 则log a 12=-2，所以1a2=12，即a=√2，所以f(x)=lo g √2x ，所以f(√43)=lo g √2 √43=log 2(√43)2=log 2243=43.答案:436.(2021·江苏启东期末)已知函数f(x)=log a (x+b)(a>0，a ≠1，b ∈R)的图象如图所示，则a= ，b= .解析:由图象得{log a (0+b )=2,log a (-2+b )=0,解得{a =√3,b =3.答案:√3 3能力提升7.已知函数y=lg(x 2-3x+2)的定义域为A ，y=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为B ，则( D ) A.A ∩B= B.A=BC.A ⫋BD.B ⫋A解析:由x 2-3x+2>0，解得x<1或x>2， 所以A=(-∞，1)∪(2，+∞);由{x -1>0,x -2>0,解得x>2，所以B=(2，+∞).故B ⫋A.故选D.8.已知等式log 2m=log 3n ，m ，n ∈(0，+∞)成立，那么下列结论:①m=n;②n<m<1;③m<n<1;④1<n<m;⑤1<m<n.其中可能成立的是( B ) A.①② B.①②⑤ C.③④ D.④⑤解析:当m=n=1时，有log 2m=log 3n ，故①可能成立;当m=14，n=19时，有log 2m=log 3n=-2，故②可能成立;当m=4，n=9时，有log 2m=log 3n=2，此时1<m<n ，故⑤可能成立.可能成立的是①②⑤.故选B. 9.如图，四边形OABC 是面积为8的平行四边形，OC ⊥AC ，AC 与BO 交于点E.某对数函数y=log a x(a>0，且a ≠1)的图象经过点E 和点B ，则a= .解析:设点E(b ，c)，则C(b ，0)，A(b ，2c)，B(2b ，2c)， 则{2bc =8,log a b =c ,log a (2b )=2c ,解得b=c=2，a=√2.答案:√210.已知f(x)=|log 3x|. (1)画出函数f(x)的图象;(2)讨论关于x 的方程|log 3x|=a(a ∈R)的解的个数. 解:(1)f(x)={log 3x ,x ≥1,-log 3x ,0<x <1,函数f(x)的图象如图所示.(2)设函数y=|log 3x|和y=a ，当a<0时，两图象无交点，原方程解的个数为0个. 当a=0时，两图象只有1个交点，即原方程只有1个解. 当a>0时，两图象有2个交点，即原方程有2个解. 11.已知函数f(x)=log 2[ax 2+(a-1)x+14].(1)若定义域为R ，求实数a 的取值范围; (2)若值域为R ，求实数a 的取值范围.解:(1)要使f(x)的定义域为R ，则对任意实数x 都有t=ax 2+(a-1)x+14>0恒成立.当a=0时，不合题意;当a ≠0时，由二次函数图象(图略)可知{a >0,Δ=(a -1)2-a <0,解得3-√52<a<3+√52.故所求实数a 的取值范围为(3-√52，3+√52).(2)要使f(x)的值域为R ，则有t=ax 2+(a-1)x+14的值域必须包含(0，+∞).当a=0时，显然成立;当a ≠0时，由二次函数图象(图略)可知，其图象必须与x 轴相交，且开口向上， 所以{a >0,Δ=(a -1)2-a ≥0, 解得0<a ≤3-√52或a ≥3+√52.故所求a 的取值范围为[0，3-√52]∪[3+√52，+∞).应用创新12.已知函数f(x)=|log 2x|，正实数m ，n 满足m<n ，且f(m)=f(n)，若f(x)在区间[m 2，n]上的最大值为2，则n+m= . 解析:根据题意并结合函数f(x)=|log 2x|的图象知，0<m<1<n ，所以0<m 2<m<1.根据函数图象易知，当x=m 2时函数f(x)取得最大值，所以f(m 2)=|log 2m 2|=2.又0<m<1，解得m=12.再结合f(m)=f(n)求得n=2，所以n+m=52.答案:52。

人教A版高中数学选择性必修第一册全册学案第一章空间向量与立体几何........................................................................................................ - 2 -1.1空间向量及其运算......................................................................................................... - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算...................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算.................................................................................... - 16 -1.2空间向量基本定理....................................................................................................... - 29 -1.3空间向量及其运算的坐标表示................................................................................... - 38 -1.3.1空间直角坐标系................................................................................................ - 38 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................ - 46 -1.4空间向量的应用 .......................................................................................................... - 59 -1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系........................................................ - 59 -第1课时空间向量与平行关系........................................................................ - 59 -第2课时空间向量与垂直关系........................................................................ - 69 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................ - 79 -章末总结 ............................................................................................................................... - 97 - 第二章直线和圆的方程............................................................................................................ - 113 -2.1直线的倾斜角与斜率................................................................................................. - 113 -2.1.1倾斜角与斜率 ................................................................................................. - 113 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定.......................................................................... - 121 -2.2直线的方程 ................................................................................................................ - 131 -2.2.1直线点斜式方程.............................................................................................. - 131 -2.2.2直线的两点式方程.......................................................................................... - 137 -2.2.3直线的一般式方程.......................................................................................... - 145 -2.3直线的交点坐标与距离公式..................................................................................... - 154 -2.3.1两条直线的交点坐标...................................................................................... - 154 -2.3.2两点间的距离公式.......................................................................................... - 154 -2.3.3点到直线的距离公式...................................................................................... - 163 -2.3.4两条平行直线间的距离.................................................................................. - 163 -2.4圆的方程 .................................................................................................................... - 171 -2.4.1圆的标准方程 ................................................................................................. - 171 -2.4.2圆的一般方程 ................................................................................................. - 180 -2.5直线与圆、圆与圆的位置关系................................................................................. - 188 -2.5.1直线与圆的位置关系...................................................................................... - 188 -2.5.2圆与圆的位置关系.......................................................................................... - 199 -章末复习 ............................................................................................................................. - 208 - 第三章圆锥曲线的方程............................................................................................................ - 222 -3.1椭圆 ............................................................................................................................ - 222 -3.1.1椭圆及其标准方程.......................................................................................... - 222 -3.1.2椭圆的简单几何性质...................................................................................... - 234 -第1课时椭圆的简单几何性质...................................................................... - 234 -第2课时椭圆的标准方程及性质的应用...................................................... - 244 -3.2双曲线 ........................................................................................................................ - 256 -3.2.1双曲线及其标准方程...................................................................................... - 256 -3.2.2双曲线的简单几何性质.................................................................................. - 267 -3.3抛物线 ........................................................................................................................ - 281 -3.3.1抛物线及其标准方程...................................................................................... - 281 -3.3.2抛物线的简单几何性质.................................................................................. - 291 -章末复习 ............................................................................................................................. - 303 - 全书复习 ..................................................................................................................................... - 316 -第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算学习目标核心素养1.理解空间向量的概念．(难点)2.掌握空间向量的线性运算．(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点) 1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养.2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养.国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？图1图2如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB →，其模记为|a |或|AB →|.2．几类常见的空间向量名称方向 模 记法 零向量任意 0 0 单位向量任意 1 相反向量相反 相等 a 的相反向量：－a AB →的相反向量：BA → 相等向量 相同 相等 a ＝b3.(1)向量的加法、减法空间向量的运算 加法 OB →＝OA →＋OC →＝a ＋b减法 CA →＝OA →－OC →＝a －b 加法运算律 ①交换律：a ＋b ＝b ＋a②结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )①定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．②运算律a ．结合律：λ(μa )＝μ(λa )＝(λμ)a .b ．分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？[提示] 没有关系．4.共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l 上取非零向量a ，与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a .(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .(4)如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP →＝λa .5．共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点P 与点A ，B ，C 是否共面？[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →得OP →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →)即AP →＝13AB →＋13AC →，因此点P 与点A ，B ，C 共面．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间向量a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ．( ) (2)相等向量一定是共线向量．( ) (3)三个空间向量一定是共面向量．( ) (4)零向量没有方向．( )[提示] (1)× 若b ＝0时，a 与c 不一定平行．(2)√ 相等向量一定共线，但共线不一定相等．(3)× 空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是共面的，也可以是不共面的．(4)× 零向量有方向，它的方向是任意的．2．如图所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1所有的棱中，可作为直线A 1B 1的方向向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [共四条AB ，A 1B 1，CD ，C 1D 1.]3．点C 在线段AB 上，且|AB |＝5，|BC |＝3，AB →＝λBC →，则λ＝________. －53 [因为C 在线段AB 上，所以AB →与BC →方向相反，又因|AB |＝5，|BC |＝3，故λ＝－53.]4．在三棱锥A -BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．0 [延长DE 交边BC 于点F ，连接AF ，则有AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD→＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.]空间向量的有关概念①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |；③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p .其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)(1)②③④ (2)BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→ [(1)对于①，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确；对于③，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故③正确；对于④，根据相等向量的定义知正确．(2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→.与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→.]解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量. [跟进训练]1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( )①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；②平行且模相等的两个向量是相等向量；③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3B [根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确．综上可知只有①正确，故选B.]空间向量的线性运算 1111为向量AC 1→的有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知正四棱锥P -ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值．①OQ →＝PQ →＋yPC →＋zP A →；②P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.[思路探究] (1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面体中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的和．如AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→.(2)根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解．(1)D [对于①，(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；对于②，(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；对于③，(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；对于④，(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.](2)[解] ①如图，∵OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12PC →－12P A →，∴y ＝z ＝－12.②∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点，∴P A →＋PC →＝2PO →，PC →＋PD →＝2PQ →，∴P A →＝2PO →－PC →，PC →＝2PQ →－PD →，∴P A →＝2PO →－2PQ →＋PD →，∴x ＝2，y ＝－2.1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． [跟进训练] 2．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )A ．32DB → B ．3MG →C ．3GM →D ．2MG →B [MG →－AB →＋AD →＝MG →－(AB →－AD →)＝MG →－DB →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.]共线问题【例3】 (1)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB ＝e 1＋k e 2，BC ＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________.(2)如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．[思路探究] (1)根据向量共线的充要条件求解．(2)根据数乘向量及三角形法则，把MN →表示成λCE →的形式，再根据向量共线的充要条件求解．(1)1 [AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋k e 2)＋(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝7e 1＋(k ＋6)e 2. 设AD →＝λAB →，则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋k e 2)，所以⎩⎨⎧ λ＝7λk ＝k ＋6，解得k ＝1.] (2)[解] 法一：因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，以上两式相加得CE →＝2MN →，所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．法二：因为四边形ABEF 为平行四边形，所以连接AE 时，AE 必过点N . ∴CE →＝AE →－AC →＝2AN →－2AM →＝2(AN →－AM →)＝2MN →.所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )．(3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．[跟进训练]3.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →， 所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →， 所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ，所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c .又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ， 所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线.向量共面问题1．什么样的向量算是共面向量？[提示] 能够平移到同一个平面内的向量称为共面向量． 2．能说明P ，A ，B ，C 四点共面的结论有哪些？ [提示] (1)存在有序实数对(x ，y )，使得AP →＝xAB →＋yAC →.(2)空间一点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数组(x ，y ，z )使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(3)四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线，如P A →∥BC →.3．已知向量a ，b ，c 不共面，且p ＝3a ＋2b ＋c ，m ＝a －b ＋c ，n ＝a ＋b －c ，试判断p ，m ，n 是否共面．[提示] 设p ＝x m ＋y n ，即3a ＋2b ＋c ＝x (a －b ＋c )＋ y (a ＋b －c )＝(x ＋y )a ＋(－x ＋y )b ＋(x －y )c .因为a ，b ，c 不共面，所以⎩⎨⎧x ＋y ＝3，－x ＋y ＝2，x －y ＝1，而此方程组无解，所以p 不能用m ，n 表示，即p ，m ，n 不共面．【例4】 已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．[思路探究] (1)根据向量共面的充要条件，即判断是否MA →＝xMB →＋yMC →；(2)根据(1)的结论，也可以利用OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →中x ＋y ＋z 是否等于1.[解] (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， ∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．1．[变条件]若把本例中条件“OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →”改为“OA →＋2OB →＝6OP →－3OC →”，点P 是否与点A 、B 、C 共面．[解] ∵3OP →－3OC →＝OA →＋2OB →－3OP →＝(OA →－OP →)＋(2OB →－2OP →)，∴3CP →＝P A →＋2PB →，即P A →＝－2PB →－3PC →.根据共面向量定理的推论知：点P 与点A ，B ，C 共面．2．[变条件]若把本例条件变成“OP →＋OC →＝4OA →－OB →”，点P 是否与点A 、B 、C 共面．[解] 设OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则 OA →＋xAB →＋yAC →＋OC →＝4OA →－OB →，∴OA →＋x (OB →－OA →)＋y (OC →－OA →)＋OC →＝4OA →－OB →， ∴(1－x －y －4)OA →＋(1＋x )OB →＋(1＋y )OC →＝0，由题意知OA →，OB →，OC →均为非零向量，所以x ，y 满足：⎩⎨⎧1－x －y －4＝0，1＋x ＝0，1＋y ＝0，显然此方程组无解，故点P 与点A ，B ，C 不共面．3．[变解法]上面两个母题探究，还可以用什么方法判断？ [解] (1)由题意知，OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC . ∵16＋13＋12＝1，∴点P 与点A 、B 、C 共面． (2)∵OP →＝4OA →－OB →－OC →，而4－1－1＝2≠1. ∴点P 与点A 、B 、C 不共面．解决向量共面的策略(1)若已知点P 在平面ABC 内，则有AP →＝xAB →＋yAC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.1．一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．2.OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．3．证明(或判断)A ，B ，C 三点共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明A ，B ，C 三点共线．4．空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．5．直线的方向向量是指与直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无穷多个，它们的方向相同或相反．6．向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是在a 与b 不共线的前提下才成立的，若a 与b 共线，则不成立．1．下列条件中使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM →＝2OA →－OB →－OC → B ．OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C ．MA →＋MB →＋MC →＝0 D ．OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0C [由MA →＋MB →＋MC →＝0得MA →＝－MB →－MC →，故M ，A ，B ，C 共面．] 2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB→－nAA 1→，则m ，n 的值分别为( )A ．12，－12 B ．－12，－12 C ．－12，12D ．12，12A [由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1→，所以m ＝12，n ＝－12，故答案为A.]3．化简：12(a ＋2b －3c )＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝________. 56a ＋92b －76c [原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c －3a ＋6b －3c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋103－3a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52＋6b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋103－3c ＝56a ＋92b －76c .] 4．给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a ，b 满足|a |＞|b |且a ，b 同向，则a ＞b ； ③不相等的两个空间向量的模必不相等； ④对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为________．④ [对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，向量是不能比较大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．]5．设两非零向量e 1，e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，求k 的值． [解] ∵两非零向量e 1，e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴k e 1＋e 2＝t (e 1＋k e 2)，则(k －t )e 1＋(1－tk )e 2＝0.∵非零向量e 1，e 2不共线，∴k －t ＝0,1－kt ＝0，解得k ＝±1.1.1.2 空间向量的数量积运算学习 目 标核心 素 养1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)3.掌握投影向量的概念．(重点)4.能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)1.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养.2.借助投影向量概念的学习，培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养.3.借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.已知两个非零向量a 与b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．如果a 与b 的夹角为90°，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把a ·b ＝|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)类比探究一下：两个空间向量的夹角以及它们的数量积能否像平面向量那样来定义呢？1．空间向量的夹角 (1)夹角的定义已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π；当〈a ，b 〉＝π2时，两向量垂直，记作a ⊥b .2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a ，b 为非零向量) ①a ⊥b ⇔a ·b ＝0.②a ·a ＝|a ||a |cos 〈a ，a 〉＝|a |2. ③cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |. (3)数量积的运算律(2)若a ·b >0，则〈a ，b 〉一定是锐角吗？[提示] (1)若a ·b ＝0，则不一定有a ⊥b ，也可能a ＝0或b ＝0.(2)当〈a ，b 〉＝0时，也有a ·b >0，故当a ·b >0时，〈a ·b 〉不一定是锐角． 3．投影向量 (1)投影向量在空间，向量a 向向量b 投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，c ＝|a |cos 〈a ，b 〉b|b |，则向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量，同理向量b 在向量a 上的投影向量是|b |cos 〈a ，b 〉a|a |.(2)向量a 在平面β上的投影向量向量a 向平面β投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A ′，B ′，得到向量A ′B ′→，则向量A ′B ′→称为向量a 在平面β上的投影向量．这时，向量a，A ′B ′→的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．[提醒] (1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零； (2)向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律 ，即a ·b ＝a ·c ⇒b ＝c ，a ·b ＝k ⇒b ＝k a ，(a ·b )·c ＝a ·(b·c )都不成立．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于非零向量a ，b ，〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉相等． ( ) (2)对于任意向量a ，b ，c ，都有(a ·b )c ＝a (b ·c )． ( ) (3)若a ·b ＝b ·c ，且b ≠0，则a ＝c ． ( ) (4)(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2． ( )[提示] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材P 8练习T 1改编)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，则AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A ．38B ．14C ．34D ．18B [令底面边长为1，则高也为1，AB 1→＝AB →＋BB 1→，BC 1→＝B C →＋CC 1→，∴AB 1→·BC 1→＝(AB →＋BB 1→)·(BC →＋CC 1→)＝AB →·BC →＋BB 1→·CC 1→＝1×1×cos 120°＋12＝12，又|AB 1→|＝|BC 1→|＝ 2.∴cos 〈AB 1，BC 1〉＝122×2＝14.故选B.]3．已知a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，p 和q 是相互垂直的单位向量，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 A [由题意知，p·q ＝0，p 2＝q 2＝1.所以a ·b ＝(3p －2q )·(p ＋q )＝3p 2＋p ·q －2q 2＝3－2＝1.]4．设a ⊥b ，〈a ，c 〉＝π3，〈b ，c 〉＝π6，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则向量a ＋b ＋c 的模是________．17＋63 [因为|a ＋b ＋c |2＝(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋a ·c ＋b ·c )＝1＋4＋9＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋1×3×12＋2×3×32＝17＋63，所以|a ＋b ＋c |＝17＋6 3.]空间向量数量积的运算【例1】 (1)如图，三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC＝60°，则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3(2)在四面体OABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，G 为△ABC 的重心，求OG →·(OA →＋OB →＋OC →)的值．(1)A [∵CD →＝AD →－AC →，∴AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝0－2×2×cos 60°＝－2.](2)[解] OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →) ＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝13OB →＋13OC →＋13OA →.∴OG →·(OA →＋OB →＋OC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OB →＋13OC →＋13OA →·(OA →＋OB →＋OC →)＝13OB →2＋13OC →2＋13OA →2 ＝13×22＋13×32＋13×12＝143.在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. (4)代入公式a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解.[跟进训练]1．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点，求下列向量的数量积：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→.[解] 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝BC →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝b ·12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋AA 1→)＝c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.利用数量积证明空间垂直关系＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC .[思路探究] 首先把向量OG →和BC →均用OA →、OB →、OC →表示出来，通过证明OG →·BC →＝0来证得OG ⊥BC .[证明] 连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |. 又OG →＝12(OM →＋ON →) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OA →＋12(OB →＋OC →) ＝14(a ＋b ＋c )，BC →＝c －b . ∴OG →·BC →＝14(a ＋b ＋c )·(c －b ) ＝14(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c ) ＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG →⊥BC →，即OG ⊥BC .用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题．[跟进训练]2.如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .证明：P A ⊥BD .[证明] 由底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD 知，DA ⊥BD ，则BD →·DA →＝0.由PD ⊥底面ABCD 知，PD ⊥BD ，则BD →·PD →＝0.又P A →＝PD →＋DA →，∴P A →·BD →＝(PD →＋DA →)·BD →＝PD →·BD →＋DA →·BD →＝0，即P A ⊥BD .夹角问题夹角〈a ，b 〉为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对(2)如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值．[思路探究] (1)根据题意，构造△ABC ，使AB →＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，根据△ABC 三边之长，利用余弦定理求出向量a 与b 之间的夹角即可．(2)求异面直线OA 与BC 所成的角，首先来求OA →与BC →的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．(1)D [∵a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4， ∴以这三个向量首尾相连组成△ABC ；令AB →＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，则△ABC 三边之长分别为BC ＝2，CA ＝3，AB ＝4； 由余弦定理，得：cos ∠BCA ＝BC 2＋CA 2－AB 22BC ·CA ＝22＋32－422×2×3＝－14， 又向量BC →和CA →是首尾相连，∴这两个向量的夹角是180°－∠BCA ， ∴cos 〈a ，b 〉＝14，即向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉不是特殊角．](2)[解] ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120° ＝24－16 2.∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225，∴异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值为3－225.利用向量数量积求夹角问题的思路(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a ·b ，再利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |求出cos 〈a ，b 〉的值，最后确定〈a ，b 〉的值．(2)求两条异面直线所成的角，步骤如下：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小．[跟进训练]3.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求BC 1→与AC →夹角的大小．[解] 不妨设正方体的棱长为1，则BC 1→·AC →＝(BC →＋CC 1→)·(AB →＋BC →) ＝(AD →＋AA 1→)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋AD →2＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD → ＝0＋AD 2→＋0＋0＝AD 2→＝1， 又∵|BC 1→|＝2，|AC →|＝2，∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝12×2＝12.∵〈BC 1→，AC →〉∈[0，π]，∴〈BC 1→，AC →〉＝π3. 即BC 1→与AC →夹角的大小为π3.距离问题1．用数量积解决的距离问题一般有哪几种？ [提示] 线段长度即点点距、点线距、点面距． 2．求模的大小常用哪些公式？[提示] 由公式|a |＝a ·a 可以推广为|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.3.如图，已知线段AB ⊥平面α，BC ⊂α，CD ⊥BC ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在平面α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，试求A ，D 两点间的距离．[提示] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →，∴|AD →|2＝(AB →＋BC →＋CD →)2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋2AB →·BC →＋2AB →·CD ＋2BC →·CD →＝12＋2(2·2·cos 90°＋2·2·cos 120°＋2·2·cos 90°)＝8，∴|AD →|＝22，即A ，D 两点间的距离为2 2.【例4】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．[思路探究] BD →＝BA →＋AC →＋CD →―→|BD →|2 注意对〈BA →，CD →〉的讨论，再求出B ，D 间距离．[解] ∵∠ACD ＝90°，∴AC →·CD ＝0，同理可得AC →·BA →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或〈BA →，CD →〉＝120°.又BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝3＋2×1×1×cos 〈BA →，CD →〉．∴当〈BA →，CD →〉＝60°时，|BD →|2＝4，此时B ，D 间的距离为2；当〈BA →，CD →〉＝120°时，|BD →|2＝2，此时B ，D 间的距离为 2.求两点间的距离或线段长的方法(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．(2)因为a ·a ＝|a |2，所以|a |＝a·a ，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.(3)可用|a ·e |＝|a ||cos θ|(e 为单位向量，θ为a ，e 的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．[跟进训练]4.如图所示，在平面角为120°的二面角α-AB -β中，AC ⊂α，BD ⊂β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A ，B .已知AC ＝AB ＝BD ＝6，求线段CD 的长．[解] ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0.∵二面角α-AB -β的平面角为120°，∴〈CA →，BD →〉＝180°－120°＝60°. ∴CD →2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2BD →·AB →＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD ＝12.1．空间两向量的数量积与平面向量的数量积类似，由于数量积不满足结合律，因此在进行数量积运算时，一次、二次式与实数运算相同，运算公式也相同，三次及以上必须按式中的运算顺序依次进行运算．2．空间向量数量积运算的两种方法(1)利用定义：利用a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．3．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．4．空间向量中求两向量夹角与平面向量中的求法完全相同，都是应用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |，解题的关键就是求a ·b 和|a |、|b |.求模时注意|a |2＝a ·a 的应用．1.如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG →·AB →＝( )A ．34B ．14C ．12D ．32B [由题意可得FG →＝12AC →，∴FG →·AB →＝12×1×1×cos 60°＝14.]2．已知两异面直线的方向向量分别为a ，b ，且|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，则两直线的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°B [设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a ||b |＝－12，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.]3．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________. 0 [原式＝AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·(AD →－AB →) ＝AB →·(CD →－CA →)＋AD →·(BC →＋CA →) ＝AB →·AD →＋AD →·BA →＝0.]4.如图所示，在一个直二面角α-AB -β的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，则CD 的长为________．229 [∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →＝AB →－AC →＋BD →， ∴CD →2＝(AB →－AC →＋BD →)2＝AB →2＋AC →2＋BD →2－2AB →·AC →＋2AB →·BD →－2AC →·BD →＝16＋36＋64＝116， ∴|CD →|＝229.]5.如图，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是边AB ，CD 的中点．(1)求证：MN 为AB 和CD 的公垂线； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与MC 所成角的余弦值． [解] 设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意，可知|p |＝|q|＝|r|＝a ，且p ，q ，r 三向量两两夹角均为60°. (1)证明：MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB → ＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2·cos 60°＋a 2·cos 60°－a 2)＝0 ∴MN ⊥AB ，同理可证MN ⊥CD . ∴MN 为AB 与CD 的公垂线． (2)由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )，∴|MN →|2＝(MN →)2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －q·p －r ·p )]＝14(a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22－a 22]＝14×2a 2＝a 22.∴|MN →|＝22a ， ∴MN 的长度为22a .(3)设向量AN →与MC →的夹角为θ，∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ， ∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q ·p ＋r·q －12r ·p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2·cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2·cos 60° ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a 22. 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →|·|MC →|·cos θ＝32a·32a ·cos θ＝a 22. ∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23. 从而异面直线AN 与MC 所成角的余弦值为23.1.2 空间向量基本定理学 习 目 标核 心 素 养1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解．(难点)3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点)1.通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养.2.借助基底的判断及应用，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.(1)共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .(2)共面向量定理的推论：空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使得MP →＝xMA →＋yMB →，或对于空间任意一定点O ，有OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)．今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的几个公式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理．1．空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .。

第2课时 基本不等式的应用学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点 用基本不等式求最值用基本不等式x ＋y2≥xy 求最值应注意：(1)x ，y 是正数；(2)①如果xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； ②如果x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.(3)讨论等号成立的条件是否满足． 预习小测 自我检验1．已知0<x <12，则y ＝x (1－2x )的最大值为________．『答 案』 18『解 析』 y ＝x (1－2x )＝12·2x ·(1－2x )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝18， 当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时取“＝”．2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________. 『答 案』 20『解 析』 总运费与总存储费用之和 y ＝4x ＋400x ×4＝4x ＋1600x ≥24x ·1600x＝160，当且仅当4x ＝1600x ，即x ＝20时取等号．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司每台机器年平均利润的最大值是________万元． 『答 案』 8『解 析』 年平均利润y x ＝－x ＋18－25x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ＋18≤－225x·x ＋18＝－10＋18＝8，当且仅当x ＝5时取“＝”．4．已知x >2，则x ＋4x －2的最小值为________．『答 案』 6 『解 析』 x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2， ∵x －2>0，∴x －2＋4x －2＋2≥24＋2＝4＋2＝6.当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时取“＝”．一、利用基本不等式变形求最值例1 已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．解 方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10 ≥6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9xy，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y ＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．由1x ＋9y ＝1可知x >1，y >9， ∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2(x －1)(y －9)＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3， 即x ＝4，y ＝12时上式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.延伸探究 若将条件换为：x >0，y >0且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． 解 方法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0， 得8x ＋2y＝1. ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝8y x ＋2xy＋10≥28y x ·2xy＋10＝18. 当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y ＝12时等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.反思感悟 应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件．当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换．跟踪训练1 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋4y 的最小值是________．『答 案』 9『解 析』 ∵x ＋y ＝1， ∴1x ＋4y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y.∵x >0，y >0，∴y x >0，4xy >0，∴y x ＋4xy≥2y x ·4xy＝4， ∴5＋y x ＋4x y≥9.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y x ＝4x y，即x ＝13，y ＝23时等号成立．∴⎝⎛⎭⎫1x ＋4y min ＝9.二、基本不等式在实际问题中的应用例2 “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q 万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x 万元之间的函数关系为Q ＝x ＋12(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2⎝⎛⎭⎫Q ＋1Q 万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为⎝⎛⎭⎫2＋20Q 元/件． 那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费) 解 设该批产品的利润为y ， 由题意知y ＝⎝⎛⎭⎫2＋20Q ·Q －2⎝⎛⎭⎫Q ＋1Q －x ＝2Q ＋20－2Q －2Q －x ＝20－2Q－x＝20－4x ＋1－x ＝21－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x ＋1＋(x ＋1)，0≤x ≤3.∵21－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x ＋1＋(x ＋1)≤21－24＝17，当且仅当x ＝1时，上式取“＝”， ∴当x ＝1时，y max ＝17.答 当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元．反思感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立． 跟踪训练2 2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x 千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x ≤10)，每小时可消耗A 材料kx 2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A 材料10千克．消耗A 材料总重量为y 千克，那么要使生产1000千克该产品消耗A 材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A 材料最少为多少． 解 由题意，得k ＋9＝10，即k ＝1， 生产1000千克该产品需要的时间是1000x ，所以生产1000千克该产品消耗的A 材料为 y ＝1000x (x 2＋9)＝1000⎝⎛⎭⎫x ＋9x ≥1000×29＝6000， 当且仅当x ＝9x，即x ＝3时，等号成立，且1<3<10.故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A 材料最少，最少为6000千克．基本不等式在实际问题中的应用典例 围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解 设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x ，∴y ＝225x ＋3602x －360.∵x >0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10800.∴y ＝225x ＋3602x －360≥10440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．『素养提升』 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值．本例中所涉及的y ＝x ＋ax (a >0)就是一个应用广泛的函数模型．1．设x >0，则3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．－1D ．3－2 3『答 案』 D『解 析』 ∵x >0，∴3x ＋1x≥23x ·1x ＝23，当且仅当x ＝33时取等号，∴－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤－23，则3－3x －1x≤3－23，故选D.2．已知x 2－x ＋1x －1(x >1)在x ＝t 时取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．4『答 案』 B『解 析』 x 2－x ＋1x －1＝x (x －1)＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5mB ．6.8mC ．7mD ．7.2m 『答 案』 C『解 析』 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C.4．已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝2，则2a ＋1b 的最小值为________．『答 案』 4『解 析』 2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×12(a ＋2b ) ＝12⎝⎛⎭⎫4＋a b ＋4b a ≥12(4＋24)＝4. 当且仅当a b ＝4b a ，即a ＝1，b ＝12时等号成立，∴2a ＋1b的最小值为4. 5．设计用32m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2m ，则车厢的最大容积是________m 3. 『答 案』 16『解 析』 设车厢的长为b m ，高为a m. 由已知得2b ＋2ab ＋4a ＝32，即b ＝16－2aa ＋1，∴V ＝a ·16－2a a ＋1·2＝2·16a －2a 2a ＋1.设a ＋1＝t ，则V ＝2⎝⎛⎭⎫20－2t －18t ≤2⎝⎛⎭⎫20－22t ·18t ＝16，当且仅当t＝3，即a＝2，b＝4时等号成立．1．知识清单：(1)已知x，y是正数．①若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．②若x·y＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．即：“和定积最大，积定和最小”．(2)求解应用题的方法与步骤．①审题，②建模(列式)，③解模，④作答．2．方法归纳：注意条件的变换，常用“1”的代换方法求最值．3．常见误区：缺少等号成立的条件．。

5.1.2 弧度制学习目标1.借助圆建立弧度制的概念，培养数学抽象、直观想象的核心素养.2.应用弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，培养逻辑推理和数学运算的核心素养.1.角的单位制及换算关系(1)角的单位制①角度制为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角规定周角的1360度制.②弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度.③角的弧度数的求法在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|=l.r一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度与弧度的换算(3)一些特殊角与弧度数的对应关系2.弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式角度与弧度的换算[例1] 将下列角度与弧度进行互化.(1)20°;(2)-800°;(3)7π12;(4)-11π5.解:(1)20°=20×π180 rad=π9rad.(2)-800°=-800×π180 rad=-40π9rad.(3)7π12 rad=712×180°=105°.(4)-11π5 rad=-115×180°=-396°.在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad=180°是关键，由它可以得到:度数×π180=弧度数，弧度数×(180π)°=度数.提醒:用弧度表示角，涉及π时，直接保留π，不要将π写成小数.针对训练1:将下列角度与弧度进行互化.(1)511π6;(2)-5π12;(3)10°;(4)-855°.解:(1)511π6 rad=5116×180°=15 330°.(2)-5π12 rad=-512×180°=-75°.(3)10°=10×π180=π18rad.(4)-855°=-855×π180=-19π4rad.弧度制的综合应用[例2] 在平面直角坐标系中，α=-2π3，β的终边与α的终边分别有如下关系时，求β.(1)若α，β的终边关于x 轴对称; (2)若α，β的终边关于y 轴对称; (3)若α，β的终边关于原点对称. 解:如图，在平面直角坐标系中，α=-2π3.(1)若α，β的终边关于x 轴对称，则{β|β=2π3+2k π，k ∈Z}.(2)若α，β的终边关于y 轴对称，则{β|β=-π3+2k π，k ∈Z}.(3)若α，β的终边关于原点对称，则{β|β=π3+2k π，k ∈Z}.(1)用弧度制表示终边相同的角2k π+α(k ∈Z)时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍.(2)在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α=2k π+30°，k ∈Z 是不正确的写法.针对训练2:若角β的终边落在直线y=-√33x 上，写出角β的集合;当β∈(-2π，2π)时，求角β.解:终边落在直线y=-√33x 上的角β组成的集合A={β|β=k π+5π6，k∈Z}.因为β∈(-2π，2π)，则当k=-2，-1，0，1时，符合题意，所以β=-7π6，-π6，5π6，11π6.扇形的弧长公式和面积公式的应用[例3] 扇形AOB 的面积是4 cm 2，它的周长是10 cm ，求扇形的圆心角α的弧度数及弦AB 的长.解:设扇形弧长为l cm ，半径为r cm ， 则由题意知{l +2r =10,12l ·r =4,解得{r =1,l =8或{r =4,l =2.当r=1，l=8时， α=lr =8>2π(舍去)，所以r=4，l=2， 此时α=l r =12(rad).如图可知AB=2·r ·sin α2=2×4×sin 14=8sin 14(cm).扇形弧长公式及面积公式的应用类问题的解决方法首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制.一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π);其次，利用α，l ，R ，S 四个量“知二求二”代入公式.在求解的过程中要注意 (1)看清角的度量制，选用相应的公式;(2)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题.针对训练3:已知扇形AOB 的周长为10 cm ，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长.解:设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，面积为S ，由l+2r=10，得l=10-2r>0，所以0<r<5. S=12lr=12(10-2r)·r=5r-r 2=-(r-52)2+254，因为0<r<5，所以当r=52时，S 取得最大值254，这时l=10-2×52=5，所以θ=l r=552=2.故该扇形的面积的最大值为254cm 2，取得最大值时圆心角为2 rad ，弧长为5 cm.1.已知α=-2 rad ，则角α的终边在( C ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:因为1 rad=(180π)°，所以α=-2 rad=-(360π)°≈-114.6°，故角α的终边在第三象限.故选C. 2.将300°化为弧度是( D )A.-π3B.7π6C.11π6D.5π3解析:300°=300×π180=5π3rad.故选D.3.设终边在y 轴的负半轴上的角的集合为M ，则( D ) A.M={α|α=3π2+k π，k ∈Z}B.M={α|α=3π2-kπ2，k ∈Z}C.M={α|α=-π2+k π，k ∈Z}D.M={α|α=-π2+2k π，k ∈Z}解析:在-π～π内，终边在y 轴的负半轴上的角为-π2，所以终边在y轴的负半轴上的角可以表示为{α|α=-π2+2k π，k ∈Z}.故选D.4.已知一个扇形的圆心角为30°，所对的弧长为π3，则该扇形的面积为( D ) A.π2540B.13C .π6D .π3解析:因为|α|=lr，所以r=l|α|=π3π6=2，所以该扇形的面积S=12lr=12×π3×2=π3.故选D.[例1] (多选题)下列说法正确的是( )A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC.1 rad 的角比1°的角要大D.用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关解析:对于A ，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，故选项A 正确;对于B ，周角为360°，所以1°的角就是周角的1360，周角为2π弧度，所以1 rad 的角是周角的12π，故选项B 正确; 对于C ，根据弧度制与角度制的互化，可得1 rad=(180π)°>1°，故选项C 正确;对于D ，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径是无关的，故选项D 错误. 故选ABC.[例2] (多选题)(2021·浙江绍兴期末)设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，周长为L ，则( ) A.若α，r 确定，则L ，S 唯一确定 B.若α，l 确定，则L ，S 唯一确定 C.若S ，L 确定，则α，r 唯一确定 D.若S ，l 确定，则α，r 唯一确定解析:由弧长公式得l=αr ，S=12lr=12αr 2，周长L=l+2r ，若α，r 确定，则l 确定，则L ，S 唯一确定，故A 正确; 若α，l 确定，则r 确定，则L ，S 唯一确定，故B 正确;若S ，L 确定，则{L =l +2r =αr +2r ,S =12αr 2,则α，r 不一定唯一确定，故C 错误;若S ，l 确定，则r 确定，则α唯一确定，故D 正确. 故选ABD.[例3] 如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.解:(1)将阴影部分看成是由OA 逆时针转到OB 所形成， 故满足条件的角的集合为{α|3π4+2k π<α<4π3+2k π，k ∈Z}.(2)若将终边为OA 的一个角改写为-π6，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB 所形成，故满足条件的角的集合为{α|-π6+2k π<α<5π12+2k π，k ∈Z}.(3)将图中x 轴下方的阴影部分看成是由x 轴上方的阴影部分旋转π rad 而得到，故满足条件的角的集合为{α|k π≤α≤π2+k π，k ∈Z}.(4)将第二象限阴影部分旋转π rad 后可得到第四象限的阴影部分， 故满足条件的角的集合为{α|2π3+k π<α<5π6+k π，k ∈Z}.[例4] 已知α，β分别是第二象限角、第四象限角，试问:12(α+β)是第几象限角?12(β-α)呢?解:若α，β分别是第二象限角、第四象限角， 则2k π+π2<α<2k π+π，k ∈Z ，2t π-π2<β<2t π，t ∈Z ，则2(k+t)π<α+β<2(k+t)π+π，k ∈Z ，t ∈Z ，则(k+t)π<12(α+β)<(k+t)π+π2，k ∈Z ，t ∈Z ，则12(α+β)为第一或第三象限角.-2k π-π<-α<-2k π-π2，k ∈Z ，2(t-k)π-3π2<β-α<2(t-k)π-π2，k ∈Z ，t ∈Z ，则(t-k)π-3π4<12(β-α)<(t-k)π-π4，k ∈Z ，t ∈Z ，则12(β-α)位于第三象限或第四象限或y 轴的非正半轴，或者第一象限或第二象限或y 轴的非负半轴.选题明细表基础巩固1.(多选题)下列说法中，正确的是( ABC ) A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小等于2π radC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析:根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A ，B ，C 均正确，D 中应为“长度等于半径长的圆弧，而不是弦”.故D 错误.故选ABC. 2.下列转化结果正确的是( D )A.60°化成弧度是π6radB.π12rad化成角度是30°C.1°化成弧度是180πradD.1 rad化成角度是(180π)°解析:对于A，60°化成弧度是π3rad，所以A错误;对于B，π12rad化成角度是15°，所以B错误;对于C，1°化成弧度是π180rad，所以C错误;对于D，1 rad化成角度是(180π)°，所以D正确.故选D.3.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，那么该弧所对的圆心角是原来的( D )A.12B.2倍 C.13D.3倍解析:设圆的半径为r，弧长为l，则该弧所对圆心角的弧度数为lr，若将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则该弧所对圆心角的弧度数变为3 2 l1 2r=3·lr，即该弧所对的圆心角变为原来的3倍.故选D.4.3弧度的角终边在( B )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:因为π2<3<π，所以3弧度的角终边在第二象限.故选B.5.若α是第三象限角，则3π2-α是第象限角.解析:因为α是第三象限角，则π+2kπ<α<3π2+2kπ，k∈Z，所以-3π2-2k π<-α<-π-2k π，k ∈Z ，则-2k π<3π2-α<π2-2k π，k ∈Z ，故在第一象限.答案:一6.一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是 弧度，扇形面积是 . 解析:由题意知r=2，l+2r=πr ， 所以l=(π-2)r ， 所以圆心角α=l r =(π-2)rr =(π-2)rad ，扇形面积S=12lr=12×(π-2)·r ·r=2(π-2)=2π-4. 答案:(π-2) 2π-4能力提升7.集合{α|k π+π4≤α≤k π+π2，k ∈Z}中角所表示的范围(阴影部分)是( C )解析:k 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y=x 左上部分(包含边界);k 为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y=x 的右下部分(包含边界).故选C.8.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为( A )A.704 cm 2B.352 cm 2C.1 408 cm 2D.320 cm 2解析:如图，设∠AOB=θ，OA=OB=r cm ，由弧长公式可得{24=rθ,64=(r +16)θ,解得r=485，所以S扇面=S扇形OCD-S扇形OAB=12×64×(485+16)-12×24×485=704(cm 2).故选A.9.(2021·安徽合肥高一期末)已知半径为r 的扇形OAB 的面积为1，周长为4，则r= .解析:由题意得S 扇=12lr=1，C 扇=2r+l=4，联立解得r=1.答案:110.已知角α=1 200°.(1)将α改写成β+2k π(k ∈Z ，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角;(2)在区间[-4π，π]内找出所有与角α终边相同的角. 解:(1)因为α=1 200°=1 200×π180=20π3=3×2π+2π3，所以角α与角2π3的终边相同，又因为π2<2π3<π，所以角α是第二象限角.(2)因为与角α终边相同的角(含角α)可表示为2π3+2k π(k ∈Z)，且-4π≤2π3+2k π≤π(k ∈Z)，所以-73≤k ≤16(k ∈Z)，所以k=-2或k=-1或k=0，所以在区间[-4π，π]内与角α终边相同的角有-10π3，-4π3，2π3.11.已知扇形面积为4，当扇形圆心角为多少弧度时，扇形周长最小?并求出最小值.解:设圆心角是α，扇形半径是r ， 则S=12αr ·r=12r 2α=4，所以r 2α=8.设扇形的周长为L ，则L=2r+r α≥2√2r ·rα=2×4=8， 当且仅当2r=r α，即α=2时，取“=”， 所以α=2时，该扇形的周长最小，最小值为8.应用创新12.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出的计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=12×(弦×矢+矢2)，弧田(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是( A )A.2+4√3B.√3+12 C.2+8√3 D.4+8√3解析:如图，由题意可得∠AOB=2π3，在Rt△AOD中，∠AOD=π3，∠DAO=π6，所以OC=OA=2OD.结合题意可知矢=OC-OD=CD=2，则OD=2，半径OC=4，弦AB=2AD=2√16-4=4√3，所以弧田面积=12(弦×矢+矢2)=12(4√3×2+22)= 4√3+2.故选A.。

1.1《集合（复习）》导学案【学习目标】1.承植橐合6勺交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号；2.能使用数轴分析、仏/加图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.【知识链接】（复习教材/广凡，找出疑惑之处）复习1：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？AHB = _________________________ :A UB = _________________________ :q A二 _______________________ •复习2：交、并、补有如下性质.AC\A= ________ ；AH 0 = _________ ；AUA= __________ ；AU 0=. ；人门（（7异）= __ ; AU（C u A）= _________5 （Q, A） = ______ .你还能写出一些吗？【学习过程】探典型例题例1 设庐R, A = {x\-5<x<5}, ^ = {x|0<x<7}.求AC B、AU B、C(j A、久B、(%) Q Q、(CuA)U(Cu®、5 (AU 3、GUM.小结：（1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进行分析，注意端点；（2）由以上结果，你能得岀什么结论吗？例 2 已知全集1/ = {1,2,3,4,5},若AU3二"，ARBH0, A （1（0 = {1,2},求集合力、B.小结：列举法表示的数集问题用仏/加图示法、观察法.例 3 -4x+3 = 0j,Z?=|x|x2 -ar+ty-l = oj, C = |x x2 -nu4-1 = oj .fi.A\J B = A,AC}C = C ,求实数臼、刃的值或取值范围.变式：设y4 = {x|r-8x+15 = 0}, B = {x\ax-\ = 0},若BJ,求实数日组成的集合、.探动手试试练 1.设A = {x\x2-ax + 6 = 0}, B = {x\^-x+c = 0}f且〃门〃={2},求AU B.练2.已知用{刘攻-2或兀＞3},伊{刘仆+/水0},当A^B时，求实数刃的取值范围。

新人教版高中数学必修1教案学案目录集合的概念教案 (1)集合的含义与表示教案 (3)集合间的基本关系教案 (8)集合的基本运算学案 (10)函数的概念教案 (27)函数的概念练习题 (30)函数的表示法教案 (32)函数单调性学案 (36)函数基本性质学案 (39)课题函数的最值学案 (42)奇偶性1学案 (45)奇偶性2学案 (47)双周清试题 (50)小题 (52)一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）练习 (54)因式分解练习 (57)有理数指数幂的运算学案 (60)指数函数1学案 (61)指数函数2学案 (64)指数函数3学案 (66)指数与指数幂的运算学案 (68)对数函数及其性质学案 (69)集合的概念教案教学目标：（1） 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征；（2） 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系；（3） 掌握常用数集及其记法；教学重点：掌握集合的基本概念；教学难点：元素与集合的关系；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合.二、阅读课本P 2-P 3内容，解答下列问题：1. 一般地，我们把研究对象统称为______（element ），一些元素组成的总体叫_____（set ），也简称______。

2. 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1） 大于3小于11的偶数；（2） 我国的小河流；（3） 非负奇数；（4） 方程210x +=的解；（5） 某校2007级新生；（6） 血压很高的人；（7） 著名的数学家；（8） 平面直角坐标系内所有第三象限的点（9） 全班成绩好的学生。

对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题：关于集合的元素的特征（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

第2课时集合的表示1．掌握用列举法表示有限集．2．理解描述法格式及其适用情形．3．学会在集合不同的表示法中作出选择和转换．1．列举法把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．温馨提示：(1)元素与元素之间必须用“,”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：一般地,设A表示一个集合,把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．温馨提示：(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等．(2)说明该集合中元素的共同特征,如方程、不等式、函数式或几何图形等．(3)不能出现未被说明的字母．1．观察下列集合：①方程x2－4＝0的根；②20的所有正因数组成的集合．(1)上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？(2)如何表示上述两个集合？[答案] (1)能．①中的元素为－2,2；②中的元素为1,2,4,5,10,20(2)用列举法表示2．观察下列集合：①不等式x －2≥3的解集；②函数y ＝x 2－1的图象上的所有点． (1)这两个集合能用列举法表示吗？(2)你觉得用什么方法表示这两个集合比较合适？ [答案] (1)不能 (2)利用描述法3．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( ) (2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )(3)集合A ＝{x|x －1＝0}与集合B ＝{1}表示同一个集合．( ) (4)集合{x|4<x<5}可用列举法表示．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×题型一 用列举法表示集合【典例1】 用列举法表示下列集合：(1)方程x(x －1)2＝0的所有实数根组成的集合； (2)不大于10的非负偶数集；(3)一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合．[思路导引] 用列举法表示集合的关键是弄清集合中的元素是什么,还要弄清集合中的元素个数． [解] (1)方程x(x －1)2＝0的实数根为0,1, 故其实数根组成的集合为{0,1}．(2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数,故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝2x －1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合为{(1,1)}．用列举法表示集合的3个步骤[针对训练]1．用列举法表示下列集合： (1)我国现有的所有直辖市； (2)绝对值小于3的整数集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象交点组成的集合．[解] (1)我国现有的直辖市有北京市、天津市、上海市和重庆市,故我国现有的所有直辖市组成的集合为{北京市,天津市,上海市,重庆市}．(2)绝对值小于3的整数有－2,－1,0,1,2,故绝对值小于3的整数集合为{－2,－1,0,1,2}．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝－23x ＋43，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝75，y ＝25.故一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象交点组成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫75，25.题型二 用描述法表示集合【典例2】 用描述法表示下列集合： (1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合； (4)不等式3x －2<4的解集．[思路导引] 用描述法表示集合的关键是确定代表元素的属性和表示元素的共同特征．[解] (1)偶数可用式子x ＝2n,n ∈Z 表示,但此题要求为正偶数,故限定n ∈N *,所以正偶数集可表示为{x|x ＝2n,n ∈N *}．(2)设被3除余2的数为x,则x ＝3n ＋2,n ∈Z,但元素为正整数,故x ＝3n ＋2,n ∈N,所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x ＝3n ＋2,n ∈N}．(3)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy ＝0,故坐标轴上的点的集合可表示为{(x,y)|xy ＝0}．(4)不等式3x －2<4可化简为x<2, 所以不等式3x －2<4的解集为{x|x<2}．用描述法表示集合应注意的3点(1)用描述法表示集合,首先应弄清楚集合的属性,是数集、点集还是其他的类型．一般地,数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序数对来表示．(2)用描述法表示集合时,若描述部分出现元素记号以外的字母,要对新字母说明其含义或取值范围． (3)多层描述时,应当准确使用“且”和“或”,所有描述的内容都要写在集合内．[针对训练]2．用描述法表示下列集合： (1)所有被5整除的数；(2)方程6x 2－5x ＋1＝0的实数解集； (3)直线y ＝x 上去掉原点的点的集合．[解] (1)被5整除的数可用式子x ＝5n,n ∈Z 表示,所以所有被5整除的数的集合可表示为{x|x ＝5n,n ∈Z}．(2)由6x 2－5x ＋1＝0解得x ＝12或x ＝13,所以方程6x 2－5x ＋1＝0的实数解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝12或x ＝13. (3)直线y ＝x 上除去原点,即x ≠0,所以直线y ＝x 上去掉原点的点的集合为{(x,y)|y ＝x,且x ≠0}. 题型三 集合表示方法的应用【典例3】 (1)若集合A ＝{x|ax 2－8x ＋16＝0,a ∈R}中只有一个元素,则a 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．0D ．0或1(2)已知A ＝{x|kx ＋2>0,k ∈R},若－2∈A,则k 的取值范围是________． [思路导引] 借助描述法求值或范围的关键是弄清集合中元素的特征． [解析] (1)①当a ＝0时,原方程为16－8x ＝0. ∴x ＝2,此时A ＝{2}；②当a ≠0时,由集合A 中只有一个元素, ∴方程ax 2－8x ＋16＝0有两个相等实根, 则Δ＝64－64a ＝0,即a ＝1. 从而x 1＝x 2＝4,∴集合A ＝{4}． 综上所述,实数a 的值为0或1.故选D ． (2)∵－2∈A,∴－2k ＋2>0,得k<1.[答案] (1)D (2)k<1[变式] (1)本例(1)中条件“有一个元素”改为有“两个元素”,其他条件不变,求a 的取值范围． (2)本例(2)中条件“－2∈A ”改为“－2∉A ”,其他条件不变,求k 的取值范围． [解] (1)由题意可知方程ax 2－8x ＋16＝0有两个不等实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝64－64a>0，解得a<1,且a ≠0.(2)∵－2∉A,∴－2k ＋2≤0,得k ≥1.集合表示方法的应用的注意点(1)若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键． (2)与方程ax 2－8x ＋16＝0的根有关问题易忽视a ＝0的情况．[针对训练]3．已知集合A ＝{x|x 2－ax ＋b ＝0},若A ＝{2,3},求a,b 的值．[解] 由A ＝{2,3}知,方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3,由根与系数的关系得,⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝b ，因此a ＝5,b ＝6.4．设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N. (1)试判断元素1,2与集合B 的关系； (2)用列举法表示集合B.[解] (1)当x ＝1时,62＋1＝2∈N.当x ＝2时,62＋2＝32∉N.所以1∈B,2∉B. (2)∵62＋x ∈N,x ∈N,∴2＋x 只能取2,3,6.∴x 只能取0,1,4.∴B ＝{0,1,4}．课堂归纳小结1．表示集合的要求(1)根据要表示的集合元素的特点,选择适当方法表示集合,一般要符合最简原则．(2)一般情况下,元素个数无限的集合不宜用列举法表示,描述法既可以表示元素个数无限的集合,也可以表示元素个数有限的集合.2.在用描述法表示集合时应注意的问题(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么),是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式？ (2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑.1．用列举法表示集合{x|x 2－2x ＋1＝0}为( ) A ．{1,1} B ．{1}C ．{x ＝1}D ．{x 2－2x ＋1＝0}[解析] ∵x 2－2x ＋1＝0,即(x －1)2＝0,∴x ＝1,选B. [答案] B2．已知集合A ＝{x ∈N *|－5≤x ≤5},则必有( ) A ．－1∈A B ．0∈A C.3∈AD ．1∈A[解析] ∵x ∈N *,－5≤x ≤5,∴x ＝1,2,即A ＝{1,2},∴1∈A,选D. [答案] D3．一次函数y ＝x －3与y ＝－2x 的图象的交点组成的集合是( ) A ．{1,－2} B ．{x ＝1,y ＝－2} C ．{(－2,1)}D ．{(1,－2)}[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，y ＝－2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，∴交点为(1,－2),故选D.[答案] D4．若A ＝{－2,2,3,4},B ＝{x|x ＝t 2,t ∈A},用列举法表示集合B 为________． [解析] 当t ＝－2时,x ＝4； 当t ＝2时,x ＝4； 当t ＝3时,x ＝9； 当t ＝4时,x ＝16； ∴B ＝{4,9,16}． [答案] {4,9,16}5．选择适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于2的整数组成的集合；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合；(3)一次函数y＝x＋6图象上所有点组成的集合．[解] (1)绝对值不大于2的整数是－2,－1,0,1,2,共有5个元素,则用列举法表示为{－2,－1,0,1,2}．(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解仅有两个,分别是53,－2,用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，－2.(3)一次函数y＝x＋6图象上有无数个点,用描述法表示为{(x,y)|y＝x＋6}．课内拓展课外探究集合的表示方法1．有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元素的个数有限时,称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时,则称之为无限集．当集合为有限集,且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和无限集,一般采用描述法表示集合．对于元素个数较多的集合或无限集,其元素呈现一定的规律,在不产生误解的情况下,也可以列举出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示．【典例1】用列举法表示下列集合：(1)正整数集；(2)被3整除的数组成的集合．[解] (1)此集合为无限集,且有一定规律,用列举法表示为{1,2,3,4,…}．(2)此集合为无限集,且有一定规律,用列举法表示为{…,－6,－3,0,3,6,…}．[点评] (1){1,2,3,4,…}一般不写成{2,1,4,3,…}；(2)此题中的省略号不能漏掉．2．集合含义的正确识别集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的．对于已知集合必须弄清集合元素的形式,特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么,代表元素有何属性(如表示数集、点集等)．【典例2】已知下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x,y)|y＝x2＋1}．问：它们是否为同一个集合？它们各自的含义是什么？[解] ∵三个集合的代表元素互不相同,∴它们是互不相同的集合．集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x,即满足条件y＝x2＋1中的所有x,∴{x|y＝x2＋1}＝R.集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y,满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1,∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③{(x,y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x,y),可认为是满足条件y＝x2＋1的实数对(x,y)的集合,也可认为是坐标平面内的点(x,y),且这些点的坐标满足y ＝x 2＋1.∴{(x,y)|y ＝x 2＋1}＝{P|P 是抛物线y ＝x 2＋1上的点}．[点评] 使用特征性质描述来表示集合时,首先要明确集合中的元素是什么,如本题中元素的属性都与y ＝x 2＋1有关,但由于代表元素不同,因而表示的集合也不一样．课后作业(二)复习巩固一、选择题1．已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长,则此三角形一定不是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形[解析] 集合M 的三个元素是互不相同的,所以作为某一个三角形的边长,三边是互不相等的,故选D. [答案] D2．下列集合中,不同于另外三个集合的是( ) A ．{x|x ＝1} B ．{x|x 2＝1} C ．{1}D ．{y|(y －1)2＝0}[解析] {x|x 2＝1}＝{－1,1},另外三个集合都是{1},选B. [答案] B3．已知M ＝{x|x －1<2},那么( ) A ．2∈M,－2∈M B ．2∈M,－2∉M C ．2∉M,－2∉MD ．2∉M,－2∈M[解析] 若x ＝2,则x －1＝1<2,所以2∈M ；若x ＝－2,则x －1＝－3<2,所以－2∈M.故选A. [答案] A4．下列集合的表示方法正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy ≤0,x ∈R,y ∈R}B ．不等式x －1<4的解集为{x<5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R[解析] 选项A 中应是xy<0；选项B 的本意是想用描述法表示,但不符合描述法的规范格式,缺少了竖线和竖线前面的代表元素x ；选项C 的“{ }”与“全体”意思重复．[答案] D5．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5,－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5,－4)}[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5,－4)},选D.[答案] D 二、填空题6．设集合A ＝{1,－2,a 2－1},B ＝{1,a 2－3a,0},若A,B 相等,则实数a ＝________.[解析] 由集合相等的概念得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a ＝1.[答案] 17．设－5∈{x|x 2－ax －5＝0},则集合{x|x 2＋ax ＋3＝0}＝________. [解析] 由题意知,－5是方程x 2－ax －5＝0的一个根, 所以(－5)2＋5a －5＝0,得a ＝－4, 则方程x 2＋ax ＋3＝0,即x 2－4x ＋3＝0, 解得x ＝1或x ＝3,所以{x|x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}． [答案] {1,3}8．若A ＝{－2,0,2,3},B ＝{(x,y)|y ＝x 2,x ∈A},用列举法表示集合B 为________． [解析]由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝9，得集合B ＝{(－2,4),(0,0),(2,4),(3,9)}．[答案] {(－2,4),(0,0),(2,4),(3,9)} 三、解答题9．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体；(2)由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合． [解] (1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}．(2)用描述法表示该集合为M ＝{(x,y)|y ＝－x ＋4,x ∈N,y ∈N},或用列举法表示该集合为{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}．10．含有三个实数的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2，b a ，a ,若0∈A 且1∈A,求a 2019＋b 2019的值． [解] 由0∈A,“0不能做分母”可知a ≠0,故a 2≠0,所以b a ＝0,即b ＝0.又1∈A,可知a 2＝1或a ＝1.当a ＝1时,得a 2＝1,由集合元素的互异性,知a ＝1不合题意．当a2＝1时,得a＝－1或a＝1(舍)．故a＝－1,b＝0,所以a2019＋b2019的值为－1.综合运用11．集合A＝{y|y＝x2＋1},集合B＝{(x,y)|y＝x2＋1}(A,B中x∈R,y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是( )A．2∈A,且2∈BB．(1,2)∈A,且(1,2)∈BC．2∈A,且(3,10)∈BD．(3,10)∈A,且2∈B[解析] 集合A中元素y是实数,不是点,故选项B,D不对．集合B的元素(x,y)是点而不是实数,2∈B 不正确,所以A错．[答案] C12．定义P*Q＝{ab|a∈P,b∈Q},若P＝{0,1,2},Q＝{1,2,3},则P*Q中元素的个数是( )A．6个B．7个 C．8个D．9个[解析] 若a＝0,则ab＝0；若a＝1,则ab＝1,2,3；若a＝2,则ab＝2,4,6.故P*Q＝{0,1,2,3,4,6},共6个元素．[答案] A13．已知集合A＝{－1,0,1},集合B＝{y|y＝|x|,x∈A},则B＝________.[解析] ∵x∈A,∴当x＝－1时,y＝|x|＝1；当x＝0时,y＝|x|＝0；当x＝1时,y＝|x|＝1.[答案] {0,1}14.用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．[解析] 依题设知：该集合为一点集,且其横坐标满足0≤x≤2,纵坐标满足0≤y≤1,所以该集合为{(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}．[答案] {(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}15．设集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0}．(1)当a＝2时,试求出集合A；(2)a为何值时,集合A中只有一个元素；(3)a为何值时,集合A中有两个元素．[解] 集合A是方程x2＋ax＋1＝0的解构成的集合．(1)当a＝2时,x2＋2x＋1＝0,即(x＋1)2＝0,x＝－1,所以A＝{－1}．(2)A中只有一个元素,即方程x2＋ax＋1＝0有两个相等实根,由Δ＝a2－4＝0,得a＝±2.所以a＝±2时,集合A中只有一个元素．(3)A中有两个元素,即方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的实根,由Δ＝a2－4>0,得a<－2或a>2. 所以a<－2或a>2时,集合A中有两个元素．。

高中数学 1.3 交集、并集(2)学案
苏教版必修1
一、复习引入
1、复习交、并、补的概念及性质
2、问题
（1）能否在数轴上表示集合，集合吗？
（2）能否在数轴上表示和？
3、建构
（1）利用数轴来求集合的交集、并集
（2）介绍区间概念
二、例题分析
例1、集合，，用列举法表示集合.
例2、设集合，集合或，分别就下列条件，求实数a的范围.①= ②≠③= 例3、已知，，=，求由实数构成的集合.
例4、已知全集，，，
求、.
三、随堂练习
1、：
2、
3、8
2、已知，则= ____________，=_______________.
3、设全集，，，求实数和的值.
四、回顾小结
运用交、并、补的性质解题.
五、巩固练习
1、设全集为，集合，，求.
2、已知集合，，若，求实数的取值范围.
3、已知集合，，
且=求实数的值.。

4.5.2 用二分法求方程的近似解学习目标 1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．知识点一二分法对于在区间『a，b』上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．思考已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，采用什么方法能进一步有效缩小零点所在的区间？『答案』可采用“取中点”的方法逐步缩小零点所在的区间．知识点二用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤1．确定零点x0的初始区间『a，b』，验证f(a)·f(b)<0.2．求区间(a，b)的中点c.3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．1．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．(√)2．要用二分法，必须先确定零点所在区间．(√)3．用二分法最后一定能求出函数零点．(×)4．达到精确度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值．(√)一、二分法概念的理解例1以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是()考点二分法的概念题点判断是否能用二分法求解零点『答案』 C『解析』使用二分法必先找到零点所在区间『a，b』，且f(a)·f(b)<0，但C中找不到这样的区间．反思感悟运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．跟踪训练1已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4D．4,3『答案』 D『解析』图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D.二、用二分法求方程的近似解例2(1)在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是(－2,4)，则第三次所取的区间可能是()A．(1,4) B．(－2,1)C．(－2,2.5) D．(－0.5,1)『答案』 D『解析』因为第一次所取的区间是(－2,4)，所以第二次所取的区间可能是(－2,1)，(1,4)，第三次所取的区间可能为(－2，－0.5)，(－0.5,1)，(1,2.5)，(2.5,4)，故选D.(2)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1)解令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．反思感悟利用二分法求方程的近似解的步骤(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．跟踪训练2(1)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间『1,3』内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．『答案』(1,2)『解 析』 设f (x )＝2x ＋3x －7，f (1)＝2＋3－7＝－2<0，f (3)＝10>0，f (2)＝3>0，f (x )零点所在的区间为(1,2)，所以方程2x ＋3x －7＝0下一个有根的区间是(1,2)． (2)用二分法求函数f (x )＝x 3－3的正零点．(精确度0.02) 考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法求方程的近似解 解 由于f (0)＝－3<0， f (1)＝－2<0，f (2)＝5>0，故可取区间(1,2)作为计算的初始区间． 用二分法逐次计算，列表如下：区间 中点的值 中点函数值(或近似值)(1,2) 1.5 0.375 (1,1.5) 1.25 －1.047 (1.25,1.5) 1.375 －0.400 (1.375,1.5) 1.4375 －0.030 (1.4375,1.5) 1.46875 0.168 (1.4375,1.46875) 1.4531250.068 (1.4375,1.453125)因为|1.453125－1.4375|＝0.015625<0.02，所以函数f (x )＝x 3－3的零点的近似值可取为1.4375.1．下列函数中，必须用二分法求其零点的是( ) A ．y ＝x ＋7 B ．y ＝5x －1 C ．y ＝log 3x D ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x－x『答 案』 D『解 析』 A ，B ，C 项均可用解方程求其根，D 项不能用解方程求其根，只能用二分法求零点．2．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )考点 二分法的概念题点 判断是否能用二分法求解零点 『答 案』 A3．用二分法求函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是( ) A ．『－2，－1』 B ．『－1,0』 C ．『0,1』 D ．『1,2』『答 案』 A4．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( ) A ．0.6B ．0.75C ．0.7D ．0.8 『答 案』 C『解 析』 已知f (0.64)<0，f (0.72)>0， 则函数f (x )的零点的初始区间为『0.64,0.72』． 又0.68＝0.64＋0.722，且f (0.68)<0，所以零点在区间(0.68,0.72)上， 因为|0.68－0.72|＝0.04<0.1，因此所求函数的一个正实数零点的近似值可为0.7， 故选C.5．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f (2)·f (4)<0，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0所在的区间是________．考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法判断函数零点所在的区间 『答 案』 (2,3)1．知识清单： (1)二分法的定义．(2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解．2．方法归纳：(1)化归思想：把求方程f(x)＝0的近似解转化为求函数y＝f(x)的近似零点．(2)逼近思想：二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近”的数学思想的应用．3．常见误区：利用二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点．。