高中数学复习学案函数的单调性

3．1.2　函数的单调性第1课时　单调性的定义与证明课程标准借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一　定义域为A 的函数f (x )的单调性状元随笔　定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1＜x 2；(3)属于同一个单调区间．知识点二　单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间M 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)________，区间M 叫做y ＝f (x )的________．状元随笔　一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，+∞)上单调递减．知识点三　函数的最值一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)(记作f(x)max＝f(x0))，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)(记作f(x)min＝f(x0))，而x0称为f(x)的最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．状元随笔　最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.　基础自测1．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则( )A．m＞12 B．m＜12C．m＞－12D．m＜－122．函数f(x)＝1x在[1，＋∞)上( )A．有最大值无最小值B．有最小值无最大值C．有最大值也有最小值D．无最大值也无最小值3．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)＞f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．4．如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)的单调递减区间是( )A．(－1，0)B．(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，+∞)D．(－1，0)，(1，＋∞)课堂探究·素养提升——强化创新性题型1　利用函数图象求单调区间[经典例题]例1　(1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A.(－3，1)∪(1，4)B．(－5，－3)∪(−1，1)C．(－3，－1)，(1，4)D．(－5，－3)，(－1，1)状元随笔　观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．(2)下列函数在区间(0，1)上是增函数的是( )A．y＝1－2x B．y＝1 xC．y＝√x−1D．y＝－x2＋2x(3)函数y＝|x－1|的单调增区间是________.跟踪训练1　(1)函数f(x)的图象如图所示，则( )A．函数f(x)在[－1，2]上是增函数B．函数f(x)在[－1，2]上是减函数C．函数f(x)在[－1，4]上是减函数D．函数f(x)在[2，4]上是增函数状元随笔　图象上升或下降趋势判断．(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．题型2　函数的单调性判断与证明例2　证明函数f (x )＝x ＋4x在(2，＋∞)上是增函数．在(0，2)上是减函数．状元随笔　先根据单调性的定义任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1＜x 2，再判断f(x 1)－f(x 2)的符号．方法归纳利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2　利用单调性的定义，证明函数y ＝x +2x +1在(－1，＋∞)上是减函数．题型3　利用函数的单调性求最值[经典例题]例3　已知函数f(x)＝2x−1x+1，x∈[3，5].(1)判断函数在区间[3，5]上的单调性，并给出证明；(2)求该函数的最大值和最小值．方法归纳1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．跟踪训练3　已知函数f(x)＝32x−1，求函数f(x)在[1，5]上的最值．状元随笔　(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．题型4　由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例4 (1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．方法归纳“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练4　(1)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围；函数的单调递减区间为(－∞，4]，则a为何值？状元随笔　首先求出f(x)的单调减区间，(1)求出f(x)的对称轴为x＝1－a，利用对称轴应在直线x＝4的右侧或与其重合求解．(2)求出函数的减区间，用端点值相等求出a.(2)若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)<f(3)，则x的取值范围是________．3．1.2　函数的单调性第1课时　单调性的定义与证明新知初探·自主学习[教材要点]知识点一f(x1)<f(x2)　f(x1)>f(x2)　增函数　减函数知识点二单调性　单调区间[基础自测]1．解析：使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<1 2.答案：B2．解析：函数f(x)＝1x是反比例函数，当x∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f(x)为减函数，f(1)为f(x)在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A.答案：A3．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x24．解析：若函数单调递减，则对应图象为下降的，由图象知，函数在(－1，0)，(1，＋∞)上分别下降，则对应的单调递减区间为(－1，0)，(1，＋∞)．答案：D课堂探究·素养提升例1　【解析】　(1)在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4)．(2)由y＝1－2x，y＝1x的图象易知在(0，1)上为减函数，而y＝√x−1的定义域为[1，＋∞)，不合题意．(3)作出函数的图象，如图所示，所以函数的单调递增区间为[1，＋∞)．【答案】　(1)C　(2)D　(3)[1，＋∞)跟踪训练1　解析：(1)函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.(2)y＝－x2＋2|x|＋3＝{−(x−1)2+4，x≥0，−(x+1)2+4，x＜0.函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数，所以函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间是[－1，0]和[1，＋∞)．答案：(1)A　(2)见解析例2　【证明】　∀x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝(x1－x2)＋4(x2−x1)x1x2＝(x1−x2)(x1x2−4)x1x2.因为2＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．证明：∀x1，x2∈(0，2)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝(x1－x2)＋4(x2−x1) x1x2＝(x1−x2)(x1x2−4)x1x2.因为0＜x1＜x2＜2，所以x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以函数f(x)＝x＋4x在(0，2)上是减函数．跟踪训练2　证明：设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1+2x1+1−x2+2x2+1＝x2−x1(x1+1)(x2+1)，∵－1<x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴x2−x1(x1+1)(x2+1)>0.即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2).∴y＝x+2x+1在(－1，＋∞)上是减函数．例3　【解析】　(1)函数f(x)在[3，5]上是单调递增的，证明：设任意x1，x2，满足3≤x1<x2≤5.因为f(x1)－f(x2)＝2x1−1x1+1−2x2−1x2+1＝(2x1−1)(x2+1)−(2x2−1)(x1+1)(x1+1)(x2+1)＝3(x1−x2) (x1+1)(x2+1)，因为3≤x1<x2≤5，所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0.所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以f(x)＝2x−1x+1在[3，5]上是单调递增的．(2)f(x)min＝f(3)＝2×3−13+1＝54，f(x)max＝f(5)＝2×5−15+1＝32.跟踪训练3　解析：先证明函数f(x)＝32x−1的单调性，设x1，x2是区间(12，+∞)上的任意两个实数，且x2>x1>1 2，f(x1)－f(x2)＝32x1−1−32x2−1＝6(x2−x1)(2x1−1)(2x2−1).由于x2>x1>12，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝32x−1在区间(12，+∞)上是单调递减的，所以函数f(x)在[1，5]上是单调递减的，因此，函数f(x)＝32x−1在区间[1，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝1 3.例4　【解析】　(1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1].①由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1，即a≤－4.②由题意得－a－1＝3，a＝－4.(2)因为函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，所以2x－3>5x－6，解得x<1，即实数x的取值范围为(－∞，1)．【答案】　(1)①a≤－4　②－4　(2)(－∞，1)跟踪训练4　解析：(1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的减区间是(－∞，1－a].∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.故a的取值范围为(－∞，－3].由知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]，∴1－a＝4，a＝－3.(2)函数的定义域为R，由条件可知，x－2>3，解得x>5.答案：(1)见解析　(2)(5，＋∞)11。

高中数学教案函数的单调性与最值高中数学教案：函数的单调性与最值一、引言函数是数学中的一个重要概念，它描述了数值之间的关系。

而函数的单调性以及最值则是我们研究函数性质时的关键内容。

本教案将重点介绍函数的单调性以及最值的概念、性质和计算方法，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

二、函数的单调性1. 定义函数的单调性指的是在定义域上的变化趋势。

具体而言，若函数在其定义域上递增，则称为函数的单调递增；若函数在其定义域上递减，则称为函数的单调递减。

2. 判断方法（1）对于函数y=f(x)，当x1 < x2时，比较f(x1)与f(x2)的大小关系： - 若f(x1) < f(x2)，则函数递增；- 若f(x1) > f(x2)，则函数递减；- 若f(x1) = f(x2)，则函数不单调。

（2）对于一阶导数存在的函数，可以通过导函数的正负性判断函数的单调性：- 若导函数f'(x) > 0，则函数递增；- 若导函数f'(x) < 0，则函数递减；- 若导函数f'(x) = 0，可以进一步分析。

3. 经典例题（1）求函数f(x)=x^2的单调性。

解：由f'(x) = 2x，当x > 0时，f'(x) > 0；当x < 0时，f'(x) < 0。

因此，函数f(x)=x^2在x > 0时单调递增，在x < 0时单调递减。

（2）求函数f(x)=3x^4-4x^3的单调性。

解：由f'(x) = 12x^3-12x^2 = 12x^2(x-1)，可知当x < 0时，f'(x) < 0；当0 < x < 1时，f'(x) > 0；当x > 1时，f'(x) > 0。

因此，函数f(x)=3x^4-4x^3在x < 0时单调递减，在0 < x < 1时单调递增，在x > 1时单调递增。

高中数学函数的单调性教学设计一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是围绕高中数学中函数的单调性展开，使学生能够理解并掌握函数单调性的概念、判定方法及其在实际问题中的应用。

具体包括：单调性的定义、单调递增和单调递减的判定、单调区间的确定，以及单调性在函数图像绘制、最值求解和不等式证明等方面的应用。

2、教学对象教学对象为高中二年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了函数的基本概念、图像及其基本性质，具备了一定的数学思维能力和逻辑推理能力。

在此基础上，通过本节课的学习，学生将进一步完善对函数性质的认识，为后续学习导数、极限等概念打下坚实基础。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解函数单调性的定义，能够准确区分单调递增和单调递减的函数。

（2）掌握利用定义法、图像法和符号法判断函数单调性的方法，并能够熟练运用。

（3）学会求解函数的单调区间，并能将其应用于实际问题中。

（4）掌握单调性在求解函数最值、证明不等式等中的应用，提高解题能力。

2、过程与方法（1）通过分析实例，引导学生自主探究函数单调性的概念，培养学生的观察力和思考能力。

（2）运用数形结合的方法，使学生能够将抽象的数学概念与具体的图像相结合，提高直观想象能力。

（3）通过小组合作、讨论交流，培养学生合作解决问题的能力，拓展解题思路。

（4）设计具有梯度的问题，引导学生由浅入深地掌握函数单调性的相关知识，提高学生的逻辑推理能力。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学习的兴趣，培养积极主动探究数学问题的态度。

（2）通过解决实际问题，使学生认识到数学知识在实际生活中的应用价值，增强学生的社会责任感。

（3）引导学生树立正确的价值观，认识到数学学习不仅仅是追求分数，更重要的是培养思维能力和解决问题的能力。

（4）鼓励学生勇于面对困难和挑战，培养坚持不懈、克服困难的意志品质。

（5）在小组合作过程中，培养学生相互尊重、团结协作的精神，提高人际沟通能力。

三、教学策略1、以退为进在本节课的教学中，采用“以退为进”的策略，即在教学过程中有意识地从已知的简单概念或问题出发，逐步引导学生深入探讨，从而掌握更复杂的概念。

3.1.2 函数的单调性第1课时 单调性的定义与证明学 习 目 标核 心 素 养1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图像理解和研究函数的单调性．(重点)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性,会求一些具体函数的单调区间．(重点、难点)3．理解函数的最大值和最小值的概念,能借助函数的图像和单调性,求一些简单函数的最值．(重点、难点)1.借助单调性判断与证明,培养数学抽象、逻辑推理、直观想象素养．2．利用求单调区间、最值、培养数学运算素养．3．利用函数的最值解决实际问题,培养数学建模素养.1．增函数与减函数的定义条件一般地,设函数y ＝f(x)的定义域为A,且M ⊆A ：如果对任意x 1,x 2∈M ,当x 1＞x 2时都有f(x 1)＞f(x 2)都有f(x 1)＜f(x 2)结论y ＝f(x)在M 上是增函数(也称在M 上单调递增)y ＝f(x)在M 上是减函数(也称在M 上单调递减)图示12提示：定义中的x 1,x 2有以下3个特征(1)任意性,即“任意取x 1,x 2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小,通常规定x 1＞x 2； (3)属于同一个单调区间． 2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f(x)在M 上单调递增或单调递减,那么就说函数y ＝f(x)在M 上具有单调性(当M 为区间时,称M 为函数的单调区间,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)．思考2：函数y ＝1x在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x 在(－∞,0)上递减,在(0,＋∞)上也递减,但不能说y ＝1x 在(－∞,0)∪(0,＋∞)上递减．3．函数的最值 最大值最小值条件 一般地,设函数f(x)的定义域为D ：且x 0∈D ,如果对任意x∈D都有f(x)≤f(x 0) 都有f(x)≥f(x 0)结论 称f(x)的最大值为f(x 0),记作f ma x ＝f(x 0),而x 0称为f(x)的最大值点 称f(x)的最小值为f(x 0),记作f min ＝f(x 0),而x 0称为f(x)的最小值点统称 最大值和最小值统称为最值最大值点和最小值点统称为最值点1．函数y ＝f(x)的图像如图所示,其增区间是( )A ．[－4,4]B ．[－4,－3]∪[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4]C [由题图可知,函数y ＝f(x)的单调递增区间为[－3,1],选C.] 2．下列函数中,在区间(0,＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝1－xD [函数y ＝1－x 在区间(0,＋∞)上是减函数,其余函数在(0,＋∞)上均为增函数,故选D.] 3．函数y ＝f(x)在[－2,2]上的图像如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( ) A ．－1,0 B ．0,2 C ．－1,2D.12,2C [由题图可知,f(x)的最大值为f(1)＝2,f(x)的最小值为f(－2)＝－1.] 4．函数f(x)＝x 2－2x ＋3的单调减区间是________．(－∞,1] [因为f(x)＝x 2－2x ＋3是图像开口向上的二次函数,其对称轴为x ＝1,所以函数f(x)的单调减区间是(－∞,1]．]定义法证明(判断)函数的单调性【例1】 证明：函数f(x)＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．[思路点拨] 设元任取x 1，x 2∈(0，1)且x 1＞x 2―→ 作差：f (x 1)－f (x 2)――→变形判号：f (x 2)>f (x 1)――→结论减函数[证明] 设x 1,x 2是区间(0,1)上的任意两个实数,且x 1＞x 2,则f(x 1)－f(x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2, ∵0<x 2<x 1<1,∴x 1－x 2＞0,0<x 1x 2<1,则－1＋x 1x 2<0, ∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2＜0,即f(x 1)＜f(x 2),∴f(x)＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1,x 2是该区间内的任意两个值,且x 1＞x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键,且变形的结果是几个因式乘积的形式.1．证明：函数y ＝xx ＋1在(－1,＋∞)上是增函数．[证明] 设x 1>x 2>－1,则y 1－y 2＝x 1x 1＋1－x 2x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1).∵x 1>x 2>－1,∴x 1－x 2>0,x 1＋1>0,x 2＋1>0, ∴x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)>0,即y 1－y 2>0,y 1>y 2,∴y＝xx ＋1在(－1,＋∞)上是增函数．求函数的单调区间【例2】(1)f(x)＝－1x ；(2)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x≥1，5－x ，x<1；(3)f(x)＝－x 2＋2|x|＋3.[解] (1)函数f(x)＝－1x 的单调区间为(－∞,0),(0,＋∞),其在(－∞,0),(0,＋∞)上都是增函数．(2)当x≥1时,f(x)是增函数,当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调区间为(－∞,1),[1,＋∞),并且函数f(x)在(－∞,1)上是减函数,在[1,＋∞)上是增函数．(3)因为f(x)＝－x 2＋2|x|＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋3，x≥0，－x 2－2x ＋3，x<0.根据解析式可作出函数的图像如图所示,由图像可知,函数f(x)的单调区间为(－∞,－1],(－1,0),[0,1),[1,＋∞)．f(x)在(－∞,－1],[0,1)上是增函数,在(－1,0),[1,＋∞)上是减函数．(3)因为f(x)＝－x 2＋2|x|＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x≥0，－x 2－2x ＋3，x<0.根据解析式可作出函数的图像如图所示,由图像可知,函数f(x)的单调区间为(－∞,－1],(－1,0),[0,1),[1,＋∞)．f(x)在(－∞,－1],[0,1)上是增函数,在(－1,0),[1,＋∞)上是减函数．求函数单调区间的方法(1)利用已知函数的单调性求函数的单调区间. (2)利用函数图像求函数的单调区间.提醒：(1)若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”隔开. (2)理清“单调区间”和“在区间上单调”的区别与联系.2．根据如图所示,写出函数在每一单调区间上是增函数还是减函数．[解] 函数在[－1,0],[2,4]上是减函数,在[0,2],[4,5]上是增函数． 3．写出y ＝|x 2－2x －3|的单调区间． [解] 先画出f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3，x<－1或x>3，－(x 2－2x －3)，－1≤x≤3的图像,如图．所以y ＝|x 2－2x －3|的单调减区间为(－∞,－1],[1,3]；单调增区间为[－1,1],[3,＋∞)．函数单调性的应用[探究问题]1．若函数f(x)是其定义域上的增函数,且f(a)>f(b),则a,b 满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？提示：若函数f(x)是其定义域上的增函数,那么当f(a)>f(b)时,a>b ；若函数f(x)是其定义域上的减函数,那么当f(a)>f(b)时,a<b.2．决定二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 单调性的因素有哪些？ 提示：开口方向和对称轴的位置,即字母a 的符号及－b2a的大小． 【例3】 (1)若函数f(x)＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞,3]上是增函数,则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f(x)是(－∞,＋∞)上的增函数,且f(2x －3)>f(5x －6),则实数x 的取值范围为________．[思路点拨] (1)分析f (x )的对称轴与区间的关系数形结合,建立关于a 的不等式――→求a 的范围 (2)f (2x －3)>f (5x －6)f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,建立关于x 的不等式――→ 求x 的范围 (1)(－∞,－4] (2)(－∞,1) [(1)∵f(x)＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的图像开口向下,要使f(x)在(－∞,3]上是增函数,只需－(a ＋1)≥3,即a≤－4. ∴实数a 的取值范围为(－∞,－4]．(2)∵f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,且f(2x －3)>f(5x －6), ∴2x－3>5x －6,即x<1.∴实数x 的取值范围为(－∞,1)．]1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1,2)上是单调函数,求a 的取值范围． [解] 由题意可知－(a ＋1)≤1或－(a ＋1)≥2,即a≤－3或a≥－2. 所以a 的取值范围为(－∞,－3]∪[－2,＋∞)．2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0,＋∞)上的减函数,求x 的取值范围． [解] 由题意可知, ⎩⎪⎨⎪⎧2x －3>0，5x －6>0，2x －3<5x －6，解得x>32.∴x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.求函数的最值(值域)【例4】 已知函数f(x)＝2x ＋1x ＋1. (1)判断函数在区间(－1,＋∞)上的单调性,并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解] (1)f(x)在(－1,＋∞)上为增函数,证明如下：任取－1<x 1<x 2, 则f(x 1)－f(x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1),因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0,x 2＋1>0,x 1－x 2<0, 所以f(x 1)－f(x 2)<0⇒f(x 1)<f(x 2), 所以f(x)在(－1,＋∞)上为增函数． (2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增, 所以f(x)的最小值为f(2)＝2×2＋12＋1＝53, 最大值为f(4)＝2×4＋14＋1＝95.1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定注意．4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1＜x≤1，1x，x>1，求(1)f(x)的最大值、最小值；(2)f(x)的最值点．[解] (1)作出函数f(x)的图像(如图)．由图像可知,当x ＝1时,f(x)取最大值为f(1)＝1.当x ＝0时,f(x)取最小值f(0)＝0, 故f(x)的最大值为1,最小值为0.(2)f(x)的最大值点为x 0＝1,最小值点为x 0＝0.1．定义单调性时应强调x 1,x 2在其定义域内的任意性,其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．2．证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、 定号、结论的步骤,特别在变形上,一定要注意因式分解、配方等技巧的运用,直到符号判定水到渠成才可．3．求函数的最值与求函数的值域类似,常用的方法是：(1)图像法,即画出函数的图像,根据图像的最高点或最低点写出最值； (2)单调性法,一般需要先确定函数的单调性,然后根据单调性的意义求出最值； 4．通过函数最值的学习,渗透数形结合思想,树立以形识数的解题意识．1．思考辨析(1)若函数y ＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2),则函数y ＝f(x)是增函数．( )(2)若函数y ＝f(x)在区间[1,3]上是减函数,则函数y ＝f(x)的单调递减区间是[1,3]．( ) (3)任何函数都有最大(小)值．( )(4)函数f(x)在[a,b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．下列函数中,在(0,2)上是增函数的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝2x －1C ．y ＝1－2xD ．y ＝(2x －1)2B [对于A,y ＝1x 在(－∞,0),(0,＋∞)上单调递减；对于B,y ＝2x －1在R 上单调递增；对于C,y ＝1－2x 在R 上单调递减；对于D,y ＝(2x －1)2在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．故选B.]3．函数y ＝x 2－2x,x∈[0,3]的值域为________．[－1,3] [∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1,x∈[0,3],∴当x ＝1时,函数y 取得最小值为－1, 当x ＝3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为[－1,3]．]4．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝2xx －1在(1,＋∞)上是减函数．[证明] f(x)＝2＋2x －1,设x 1>x 2>1,则f(x 1)－f(x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).因为x 1>x 2>1,所以x 2－x 1<0,x 1－1>0,x 2－1>0, 所以f(x 1)<f(x 2),所以f(x)在(1,＋∞)上是减函数．。

《函数的单调性》教学设计一、教学内容解析1. 教材内容及地位本节课是人教版版《数学》(必修1)第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言(不等式)刻画函数的变化趋势(上升或下降)及简单应用.它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础.如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用.因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地.2. 教学重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性.3. 教学难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证.二、学生学情分析1. 教学有利因素学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“V随X的增大而增大(减小)”描述函数图象的上升(下降)的趋势.亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.2. 教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度.而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱.这些都容易产生思维障碍.三、课堂教学目标1.理解函数单调性的相关概念.掌握证明简单函数单调性的方法.2.通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法.3.通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量.4.引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力.四、教学策略分析在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随x 的增大而增大(减小)”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证.对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度.为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：1. 指导思想.充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示.在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成.2.在“创设情境”阶段.观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念.3.在“引导探索”阶段.首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”,借助多媒体引导学生对“随x 的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越.4. 在“学以致用”阶段.首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识.然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法.接着请学生板演实践.五、教学过程(一)通过问题，引入课题分别作出函数y=x+1,y=-x+1,y=x²的图像，并且观察自变量变化时，函数图像有什么变化趋势?y=-x+10 1X1y=x²1问题一问题二如何描述函数图像的上升或下降?图像上升，y 随着x的增大而增大图像上升，y随着x的增大而减小向题三如何用符号化的数学语言来描述y 随着x 的增大而增大呢?(二)引导探究，生成概念探究在函数y=f(x)的给定区间上任取x₁,x₂,当x₁<x₂时，有f(x)<f(x₂),这时我们就说函数y=f(x)在给定区间上是增函数.单调性的定义一般的，设函数f(x) 的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有_f(x)<f(x₂),那么就说函数f(x) 在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有f(x)>f(x),那么就说函数f(x) 在区间D上是减函数；如果函数y=f(x) 在区间D上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性；区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间(三)学以致用，理解感悟概念理解( 1 ) 已知,因为f(-1)<f(2), 所以函数f(x)是增函数.(2)能不能说y= (x≠0)定义域(-∝,0)∪(0,+∝)上是单调减函数？(3)对于函数f(x),x∈D,若x,x₂∈D,(x₂-x) [f(x₂)-f(x₁)]>0 ,则函数f(x)在D上是增函数.(4)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且x₁<x₂,则f(x)>f(x₂).- 用于比较函数值的大小(5)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且f(x₁)>f(x₂),则x₁<x₂…用于比较自变量值的大小概念升华：(1)x,x₂具有任意性；(2)单调性是相对区间而言的，在一点处不具有单调性，单调区间之间用“,”隔开(不可用“U”符号连接)(3)定义的等价变形；(4)“知二推一”的应用典型例题—根据图像，指出函数的单调区间，并指明函数在这些区间上的增减性。

高中数学优秀案例范文一、教学背景。

函数的单调性是高中数学函数这一板块非常重要的概念。

学生们在之前已经学习了函数的概念、函数的表示方法等基础知识，对于函数已经有了初步的认识。

但是，单调性这个相对抽象的概念，对于他们来说理解起来可能会有一定的难度。

就像爬山一样，有些地方是一直向上爬（单调递增），有些地方是一直向下走（单调递减），可这山（函数图像）是抽象的数学图形，不是真的山，所以得带着学生们好好摸索一下。

二、教学目标。

1. 知识与技能目标。

让学生理解函数单调性的概念，包括单调递增和单调递减的定义。

能够运用定义来判断简单函数的单调性。

2. 过程与方法目标。

通过观察函数图像、进行数值分析等活动，培养学生的观察能力、归纳能力和逻辑思维能力。

让学生经历从特殊到一般，再从一般到特殊的思维过程，体会数学中归纳与演绎的思想方法。

3. 情感态度与价值观目标。

激发学生学习数学的兴趣，让学生在探索函数单调性的过程中，感受到数学的严谨性和逻辑性。

培养学生勇于探索、敢于创新的精神，就像探险家在未知的数学大陆上寻找宝藏一样。

1. 教学重点。

函数单调性概念的理解。

这就好比是打地基，这个概念要是没搞明白，后面的高楼大厦（解题等应用）就建不起来了。

根据函数单调性的定义判断函数的单调性。

2. 教学难点。

对函数单调性概念中“任意”这一关键词的理解。

学生们很容易忽略这个词，就像走路忽略了路上的小石子，一不小心就会绊倒。

如何引导学生从函数图像直观认识过渡到用数学符号语言精确地描述函数的单调性。

这就像从看一幅美丽的画（图像）到用文字精准地描述这幅画的美（用符号语言定义单调性），是个技术活。

四、教学方法。

1. 讲授法。

对于函数单调性概念等一些比较抽象的知识，老师还是得先讲清楚基本的定义和原理，就像导游先给游客介绍景点的基本情况一样。

2. 探究式教学法。

让学生通过自己观察函数图像，探究函数的单调性特征，自己发现规律。

这就好比是让学生自己去寻找森林里的宝藏，比直接告诉他们宝藏在哪里有趣多了，而且记得更牢。

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册学案：3.2.1 第1课时函数的单调性含解析3．2函数的基本性质3．2。

1单调性与最大（小）值第1课时函数的单调性［目标］1.记住函数的单调性及其几何意义，会证明简单函数的单调性；2。

会用函数的单调性解答有关问题；3.记住常见函数的单调性．[重点] 函数的单调性定义及其应用；常见函数的单调性及应用；函数单调性的证明．[难点］函数单调性定义的理解及函数单调性的证明．知识点一增函数与减函数的定义［填一填］一般地，设函数f（x)的定义域为I,区间D⊆I:如果∀x1，x2∈D，当x1〈x2时，都有f(x1）〈f(x2），那么就称函数f(x）在区间D上单调递增．特别地,当函数f（x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1）〉f（x2）,那么就称函数f(x）在区间D上单调递减．特别地，当函数f（x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．[答一答］1．在增函数与减函数的定义中，能否把“∀x1，x2∈D"改为“∃x1,x2∈D”？提示:不能，如图所示：虽然f(－1）〈f（2)，但原函数在[－1，2]上不是增函数．2．设x1、x2是f（x）定义域某一个子区间M上的两个变量,如果f(x)满足以下条件，该函数f（x）是否为增函数?(1）对任意x1〈x2，都有f（x1)<f（x2)；（2）对任意x1，x2，都有［f（x1）－f(x2）]（x1－x2）〉0;（3）对任意x1、x2都有错误!>0.提示：是增函数，它们只不过是增函数的几种等价命题．3．由2推广，能否写出减函数的几个等价命题?提示：减函数（x1,x2∈M)⇔任意x1<x2,都有f(x1）>f（x2）⇔错误! <0⇔［f(x1)－f（x2)]·（x1－x2）〈0.知识点二函数的单调性与单调区间［填一填］如果函数y＝f(x）在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x）在这一区间具有(严格的）单调性，区间D叫做y＝f(x）的单调区间．［答一答]4．函数的单调区间与其定义域是什么关系？提示：函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．5．函数f（x）＝错误!的单调减区间是（－∞，0）∪(0，＋∞）吗？提示:不是．例如:取x1＝1，x2＝－1，则x1>x2，这时f(x1)＝f （1）＝1，f(x2）＝f(－1）＝－1，故有f(x1)〉f（x2)．这样与函数f(x）＝错误!在(－∞，0)∪（0,＋∞）上单调递减矛盾．事实上，f（x)＝错误!的单调减区间应为（－∞，0）和(0,＋∞)．知识点三常见函数的单调性[填一填］1．设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）,当k〉0时,函数y ＝kx＋b在R上是增函数；当k<0时，函数y＝kx＋b在R上是减函数．2．设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．若a>0,则该函数在错误!上是减函数，在错误!上是增函数．若a<0，则该函数在错误!上是增函数，在错误!上是减函数．3．设反比例函数的解析式为y＝错误!（k≠0)．若k〉0，则函数y＝错误!在(－∞，0）上是减函数，在(0，＋∞）上也是减函数;若k 〈0,则函数y＝错误!在（－∞，0）上是增函数，在（0，＋∞）上也是增函数．[答一答]6．函数y＝x2－x＋2的单调区间如何划分？提示:函数在错误!上是减函数，在错误!上是增函数．类型一判断或证明函数的单调性[例1］证明:函数y＝x＋错误!在（0,3]上递减．[证明]设0<x1<x2≤3，则有y1－y2＝错误!－错误!＝(x1－x2）－错误!＝（x1－x2)错误!。

专题：函数的单调性 ★★★★吵架时为什么会大声？原因是：当两个人相互愤怒的时候，他们的心和心相距很远，为了填补这段距离，他们必须呼喊，这样彼此才能听到.他们越是愤怒，心和心的距离越是遥远，于是，他们只有越发强力呼喊，他们彼此才能听到.反过来，也是恋爱时为什么喃喃低语的原因.【批注：“心情越愤怒，距离越遥远”这一个现象体现了函数的单调性，由此引入函数的单调性】知识梳理4 min.1. 单调性的定义：对于给定区间上的函数)(x f y =：如果对属于这个区间的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说，函数)(x f y =在这个区间上是 增 函数；如果对属于这个区间的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说，函数)(x f y =在这个区间上是 减 函数；2. 讨论函数单调性必须在其 定义域 上进行，因此，要研究函数的单调性，必须先求函数的定义域； 问题一. 用定义证明函数()y f x =在区间I 上具有单调性的步骤是什么？答：（1）取值：对任意12,x x I ∈且12x x <；（2）作差、变形：12()()f x f x -，并判断差的正负； （3）根据判定的结果作出相应的结论. 问题二.函数212x y x +=-的单调情况是怎样的？ 答：215=222x y x x +=+--，在(,2),(2,)-∞+∞上单调递减. 问题三. 函数ay x x=+的单调情况是怎样的？ 答：,0(),0(,),(,),(,0),(0,),0a a f x x a x a a a a a ⎧↑=⎪=+↑<⎨⎪-∞-+∞↑↓>⎩ 【问题二和问题三中，通过提问两个相对具体的反比例函数和nike 类函数的单调性来检查学生对基础知识的掌握情况，为后面的例题讲解的做准备．】典例精讲33 min.例1. (★★★)已知偶函数)(x f 和奇函数)(x g 的定义域都是)4,4(-，它们在]0,4(-上的图像分别是图1和图2，则关于x 的不等式0)()(<x g x f 的解集是 .解：由函数的奇偶性及定义域，作图如下，易得，要()()0f x g x <，则 (2,0)(2,4)x ∈-U【小结：奇函数的在对称区间的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反.】巩固练习：(★★★) 若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f x x 在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图像是 ( )解：由()f x 在R 上是奇函数，故(0)0,2,()x xf k f x a a -===-，()f x 在R 上单调递减，故01a <<.则 ()log (1),01a g x x a =+<<，故选A.例2. (★★★★)下列命题中正确的命题是 （ ）A.若存在[]12,,x x a b ∈，当12x x <时，有()12()f x f x <，则说函数)(x f y =在区间[]b a ,上是增函数；xy 图1 f(x)O-4-24xy图2g(x) O-4-24x y 图1 f(x) O -4 -2 4 xy图2g(x)O -4 -24B.若存在],[b a x i ∈（),2,1*N n i n n i ∈≥≤≤、，当123n x x x x <<<<L 时，有()()()123()n f x f x f x f x <<<<L ，则说函数)(x f y =在区间[]b a ,上是增函数；C.函数)(x f y =的定义域为),0[+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数)(x f y =在),0[+∞ 上一定是减函数；D.若对任意[]12,,x x a b ∈，当21x x ≠时，有0)()(2121>--x x x f x f ，则说函数)(x f y =在区间[]b a ,上是增函数.解：A 、B 中的变量应该是任取两个变量，而不是存在；C 中只是一个变量是任意的，不符合单调性的定义；D 是单调增函数的等价形式，12121212121200()()0,()()0()()0x x x x f x f x f x f x f x f x x x -<->⎧⎧->⇔⎨⎨-<->-⎩⎩或.故选 D.【单调增函数的等价形式如下：同理，可得单调减函数的等价形式】 巩固练习：1. (★★★★)有下列几个命题：① 函数xx y 1-=是增函数； ② 函数11+=x y 在其定义域),1()1,(+∞--∞Y 上是减函数； ③ 函数245x x y -+=的单调区间是),2[+∞-；④ 已知)(x f 在R 上增函数，若0>+b a ，则有)()()()(b f a f b f a f -+->+.其中正确命题的序号是_____________________________ 解：① 错；② 错，虽然(,1),(1,)-∞-+∞都是11y x =+的单调递减区间，但求并集后就不再符合减函数定义；③ 错，要研究函数254y x x =+-的单调区间，首先被开方数2540x x +-≥，解得15x -≤≤，而 [2,)-+∞不是上述区间的子区间.④ 对，()f x 在R 上增函数，且a b >-，所以b a >-，()()f a f b >-，()()f b f a >-，所以，()()()()f a f b f a f b +>-+-. 故选 ④.2. (★★★★)已知函数)(x f 为定义在R 上的函数，则“对于任意R x ∈，恒有)1()(+<x f x f ”是“)(x f 在R 上是增函数”的__________________条件 解：必要非充分.必要性：()f x 在R 上是增函数，又对任意x R ∈，1x x <+，故恒有()(1)f x f x <+；是必要条件.充分性：令1,(,0)(,)2()=10,[0,]2x x f x x ⎧∈-∞+∞⎪⎪⎨⎪∈⎪⎩U ，对任意x R ∈，恒有()(1)f x f x <+，但是()f x 在R 上不单调，故是不充分的.例3. (★★★★)设)(x f 是定义在R 上的函数，对m ,R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f .（1）求证：1)0(=f ；（2）证明：R x ∈时恒有0)(>x f ； （3）求证：)(x f 在R 上是减函数； （4）若()(2)1f x f x ⋅+>，求x 的范围. 解：(1) 取10,2m n ==，则11(0)()(0)22f f f +=⋅，因为1()02f > 所以(0)1f =(2) 设0x <则0x ->， 由条件可知()0f x ->又因为1(0)()()()0f f x x f x f x ==-=⋅->，所以()0f x >， ∴x R ∈时，恒有()0f x > （3）设12x x <，则121211()()()()f x f x f x f x x x -=--+ =1211()()()f x f x x f x -- =121()[1()]f x f x x --因为12x x <，所以210x x ->，所以21()1f x x -<，即211()0f x x --> 又因为1()0f x >，所以121()[1()]0f x f x x -->所以12()()0f x f x ->，即该函数在R 上是减函数.(4) 因为()(2)1f x f x ⋅+>，所以()(2)(22)(0)f x f x f x f ⋅+=+> 所以220x +<，所以1x x <-的范围为(解抽象函数不等式，往往利用函数的单调性和奇偶性消去f ，同时不要忘记“定义域优先”.) 例4. (★★★★)已知函数()),0(2R a x xax x f ∈≠+=，若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围.解：设212x x >≥，()()22121212a a f x f x x x x x -=+--()12121212x x x x x x a x x -=+-⎡⎤⎣⎦， 由212x x >≥得()121216x x x x +>，12120,0x x x x -<> 要使()f x 在区间[)2,+∞是增函数只需()()120f x f x -<， 即()12120x x x x a +->恒成立，则16a ≤. 巩固练习：(★★★★)已知函数()22x x f x a -=+（常数)a R ∈．若4a ≤，求证函数()f x 在[1,)+∞上是增函数.解：设12,[1,),x x ∈+∞ 且12x x >，则112212()()(22)(22)x x x x f x f x a a ---=+-+21121222(22)2x x x x x x a +-=-+12121222(2)2x x x x x x a ++-=-由12x x >，可得1222x x >，即12220x x ->由12,[1,),x x ∈+∞12x x >，可得122x x +>，故12240x x +>>，又4a ≤，故122x x a +>，即1220x x a +->，所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >， 故函数()f x 在[1,)+∞上是增函数．备选题：1. （选）(★★★★)已知)(x f y =是定义在R上的单调函数，实数21x x ≠，121,,1x x λλααβλ+≠-=+，λλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则 （ ）A ．0<λB ．0=λC ．10<<λD ．1≥λ解: (方法一)利用定比分点假设P 在数轴上的坐标为x ，1P 点在数轴上的坐标为1x ，2P 点在数轴上的坐标为2x ，121x x P λλ+=+.分点的位置 内分点外分点 分点与一端点重合P 点在12PP 上P 在12PP 延长线上P 在12PP 延长线上P 与1P 重合P 与2P 重合图示12PP PP λ=0λ> 1λ<- 10λ-<< λ=0 λ不存在若0λ≥，αβ，均在12,x x 中间或两端，显然不符合题意；故选A.(方法二) 特殊函数法 令()f x x c =-+，1212121|()()||()()|||||||||1f x f x f f x x x x λαβαβλ--<-⇔-<-=⋅-+ 解得 0λ<，选A. (方法三)排除法取特殊值，选令11,0,,12λ=-，逐一排除，即可确定选A. 【定比分点在外省考察的比较多上海的高考很少考察，因此，建议给五星的学生做，慎用】2. （选）(★★★★)如果函数||12|lg |)(-=x x f 在定义域的某个子区间)1,1(+-k k 上不存在反函数，则k 的取值范围是（ ）)2,21.[-A ]23,1.(B )2,1.[-C )2,23[]21,1.(⋃--D解：D【利用单调函数一定有反函数的性质，只要函数()|lg |21||f x x =-在(1,1)k k -+上单调即可】 3. （选）(★★★★)已知函数ay x x=+有如下性质：如果常数0a >，那么该函数在(0,a ⎤⎦上是减函数，在),a ⎡+∞⎣上是增函数.(1) 如果函数2by x x=+()0x >的值域为[)6,+∞，求实数b 的值；(2) 研究函数22cy x x =+（常数0c >）在定义域内的单调性，并说明理由； (3) 对函数a y x x =+和22a y x x=+（常数0a >）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数()2211n nF x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（n 是正整数）在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）.【本题为2006年上海高考题的第22题，难度对四星和五星的学生均适合.】 解: (1) 2log 9b =，(2) 函数在)4,c ⎡+∞⎣和)4,0c ⎡-⎣上单调递增，在(40,c ⎤⎦和(4,c ⎤-∞-⎦上单调递减，(3) 可以把函数推广为nn ay x x=+（常数0a >），其中n 是正整数， 当n 是奇数时，函数在(20,n a ⎤⎦和)2,0n a ⎡-⎣上单调递减，在)2,n a ⎡+∞⎣和(2,n a ⎤-∞-⎦上单调递增，当n 为偶数时，函数在(20,na ⎤⎦和(2,n a ⎤-∞-⎦上单调递减，在)2,n a ⎡+∞⎣和)2,0na ⎡-⎣上单调递增，当12x =或2x =时，函数()F x 取得最大值9924n n⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1x =时，()F x 取得最小值12n +；回顾总结：3 min.1. 要研究函数的单调性，必须先求函数的 定义域2. 函数单调性的等价形式有哪些？3. 奇函数在对称区间上有_相同__的单调性，偶函数在对称区间上_单调性__相反；4. 复合函数的单调性利用_同增异减__口诀进行判断.5. 单调性问题有时可以转化为_恒成立 问题.我爱 放电影。

新安中学2008届高三数学第一轮总复习函数的单调性教案课题：函数的单调性教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题． 教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用． 教学过程： （一）主要知识：1．函数单调性的定义：如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数。

2．设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在是增函数； ()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在是减函数。

3．复合函数单调性的判断． （二）主要方法：1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数； （4）单调函数的性质法；（5）图象法；（6）复合函数的单调性结论等 （三）例题分析：例1．（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；（2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性．例2．设0a >，()x xe af x a e =+是R 上的偶函数． （1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数．例3．若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为 ．例4．（2004福建）定义在R 上的偶函数f x 满足2f x f x ，当3,4x 时，2f x x ，则（ ）11sinsincos223333sin1cos1sincos22A f f cosB f fC f fD f f例5．已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，（1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<．（五）高考回顾：考题1（2005山东）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（D ） （A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2x xf x a a -=+（D ）2()ln 2x f x x-=+ 考题2（2005上海） 若函数f(x)=121+X , 则该函数在(-∞,+∞)上是( A )(A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值考题3（2005天津）若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（B ）A ．)1,41[B ． )1,43[C ．),49(+∞D ．)49,1(考题4 (2005重庆)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 (D )(A) (∞,2)； (B) (2,∞)； (C) (∞,2)⋃(2,∞)；(D) (2,2)。

高中数学函数单调性的教案一、教学目标1. 理解函数的单调性的概念，了解函数单调递增和单调递减的定义及特点。

2. 能够通过函数的导数或图像来判断函数的单调性。

3. 能够应用函数的单调性解决实际问题。

二、教学重点1. 函数的单调性的概念和特点。

2. 通过导数或图像判断函数的单调性。

三、教学难点1. 如何通过导数或图像来判断函数的单调性。

2. 应用函数的单调性解决实际问题。

四、教学内容1. 函数的单调性的定义和特点。

2. 利用导数判断函数的单调性。

3. 利用图像判断函数的单调性。

4. 单调性在实际问题中的应用。

五、教学过程1. 导入教学：通过一个生活实例引入函数的单调性的概念。

2. 讲解函数的单调性的定义和特点，引导学生理解。

3. 通过对几个函数的图像进行观察，讨论函数的单调递增和单调递减的特点。

4. 讲解如何通过导数或导数图像判断函数的单调性。

5. 练习：让学生通过计算导数或观察导数图像判断给定函数的单调性。

6. 应用：给学生一个实际问题，让他们利用函数的单调性来解决问题。

7. 总结：回顾本节课所学内容，强调函数的单调性在解决问题中的重要性。

六、教学资源1. 课件2. 教科书3. 练习题七、教学评估1. 课堂练习题2. 作业布置并检查八、拓展延伸1. 思考函数的极值点与单调性的关系。

2. 探究其他函数性质与单调性的联系。

以上是本节课的教学内容和组织安排，希望能够帮助学生更好地理解和掌握函数的单调性。

祝学习顺利！。