高中数学 必修三复习学案

复习课(三) 概 率古典概型填空题，也有解答题，且常与统计等问题综合考查．[考点精要]1．互斥事件与对立事件的概率(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．(2)当事件A 与B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，当事件A 与B 对立时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1，即P (A )＝1－P (B )．(3)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )求解．2．古典概型的求法对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P (A )＝m n求出事件发生的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某种顺序，以保证不重复、不遗漏．[典例] 柜子里有3双不同的鞋，随机地取出 2只，试求下列事件的概率：(1)取出的鞋不成双； (2)取出的鞋都是左脚的； (3)取出的鞋都是同一只脚的；(4)取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双． [解] 用A 1，A 2；B 1，B 2；C 1，C 2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚，则从6只鞋中取2只所有的取法有：A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1C 1，A 1C 2， A 2B 1，A 2B 2，A 2C 1，A 2C 2， B 1B 2，B 1C 1，B 1C 2， B 2C 1，B 2C 2， C 1C 2，共15种．(1)取出的鞋不成双的所有取法有：A 1B 1，A 1B 2，A 1C 1，A 1C 2， A 2B 1，A 2B 2，A 2C 1，A 2C 2，B 1C 1，B 1C 2，B 2C 1，B 2C 2，共12种．其概率为P 1＝1215＝45.(2)取出的鞋都是左脚的所有取法有：A 1B 1，B 1C 1，A 1C 1，共3种．其概率为P 2＝315＝15.(3)取出的鞋都是同一只脚的所有取法有：A 1B 1，B 1C 1，A 1C 1，A 2B 2，A 2C 2，B 2C 2，共6种．其概率为P 3＝615＝25.(4)取出的鞋一只左脚的，一只右脚的但不成双的所有取法有：A 1B 2，A 1C 2，A 2B 1，A 2C 1，B 1C 2，B 2C 1，共6种．其概率为P 4＝615＝25.[类题通法]在古典概型中，计算概率的关键是准确找到基本事件的数目，这就需要我们能够熟练运用图表和树状图，把基本事件一一列出．而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出基本事件的数目．[题组训练]1．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.120解析：选C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.故选C.2．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1)的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝215.几何概型概率的求法，属于低档题．[考点精要]1．几何概型的基本特征：基本事件的无限性、每个事件发生的等可能性．2．几何概型的概率计算公式：P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果构成的区域长度面积或体积.[典例] (1)在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条弦，则其长超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？(2)在半径为1的圆内，过一条直径上任意一点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率．(3)以半径为1的圆内任一点为中点作弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率．[解] (1)记事件A＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，取圆内接等边△BCD 的顶点B 为弦的一个端点，当另一点在劣弧CD 上时，|BE |＞|BC |，而劣弧CD 的弧长是圆周长的13，所以由几何概率公式得P (A )＝13.(2)记事件A ＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图所示，不妨在过等边△BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点作垂直于直径的弦，显然当弦为CD 时就是边长，弦长大于|CD |长的条件是圆心O 到弦的距离小于|OF |，由几何概率公式得P (A )＝12×22＝12.即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是12.(3)记事件A ＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图所示，作等边三角形的内切圆，当以小圆上任一点为切点作弦时，弦长等于等边三角形的边长，所以弦长超过内接三角形边长时，当且仅当弦的中点在小圆内，小圆半径为12，所以由几何概率公式得P (A )＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×12＝14.即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是14.[类题通法]三个题目都是在圆内任意作弦使得弦长超过圆内接等边三角形的边长，但三个题目中由于“等可能”的含义不同，得到的概率不同．因而在解决几何概率问题时，必须找准观察角度，明确随机选取的含义，判断好基本事件的等可能性．[题组训练]1．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为() A.34 B.23 C.13D.14解析：选A 不等式－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.2.如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上. 若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12解析：选 B 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0，B 点坐标为(1,0)，所以C 点坐标为(1,2)，D 点坐标为(－2,2)，A 点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD 的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32，故P ＝326＝14. 3．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率 ，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 3＜p 1C ．p 3＜p 1＜p 2D ．p 3＜p 2＜p 1解析：选B 满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 及其边界上．事件“x ＋y ≥12”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x －y |≤12”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy ≤12”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p 2＜p 3＜p 1.1．一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是( )A.18B.78C.38D.58解析：选B 所有的基本事件为：(红，红，红)，(红，红，蓝)，(红，蓝，红)，(蓝，红，红)，(红，蓝，蓝)，(蓝，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，蓝)，共8个．三次都是蓝球的基本事件只有1个，其概率是18，根据对立事件的概率之间的关系，所求的概率为1－18＝78.选B.2．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2,3]，则直线在y 轴上的截距大于1的概率为( )A.38B.13C.23D.25解析：选D 直线在y 轴上的截距大于1，则b ∈(1,3]，故所求概率P ＝3－13－－2＝25.3．从含有a ，b ，c 的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是( )A.310B.112C.4564D.38解析：选D 所有子集共8个；其中含有2个元素的为{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }．4．有4根木棍长度分别为2,5,7,10，从这4根木棍中任取3根，则所取的3根木棍首尾相接能构成一个三角形的概率为( )A.14B.13C.12D.25解析：选A 从4根木棍中任取3根，基本事件有(2,5,7)，(2,5,10)，(2,7,10)，(5,7,10)，共4个，能构成三角形的只有(5,7,10)这一个基本事件，故所求概率P ＝14.5．已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离都大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4C.π8D ．1－π8解析：选D 分别以A ，B ，C ，D 为圆心，1为半径作圆，圆与菱形ABCD 重合部分的面积为2×π×12×112＋2×π×12×512＝π，而菱形ABCD 的面积为8，所以所求概率为8－π8＝1－π8.6.一只受伤的丹顶鹤向如图所示(直角梯形)的区域上空飞来，其中AD ＝ 2 km ，DC ＝2 km ，BC ＝1 km ，丹顶鹤随机地落在该区域上任意一处，若落在扇形沼泽区域ADE 以外，丹顶鹤能生还，则该丹顶鹤生还的概率是( )A.12－π15 B ．1－π10C ．1－π6D ．1－3π10解析：选B 过点D 作DF ⊥AB 于点F ，在Rt△AFD 中，易知AF ＝1，∠A ＝45°.梯形ABCD 的面积S 1＝12×(2＋2＋1)×1＝52，扇形ADE 的面积S 2＝(2)2×π×18＝π4，故丹顶鹤生还的概率P ＝S 1－S 2S 1＝52－π452＝1－π10. 7．从两名男生和两名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为________．解析：设两名女生为a 1，a 2，两名男生为b 1，b 2，则所有可能的结果如下：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(a2，b2)，(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，b1)，(b2，a1)，(b2，a2)，共12种，其中星期六安排一名男生、星期日安排一名女生包括4种情况，所以所求概率为P＝412＝1 3.答案：138．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与抛物线y＝x2＋1有交点的概率是________．解析：易知过点(0,0)与抛物线y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型的概率计算公式知概率为P＝416＝14.答案：149．任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a，b，则点P(a，b)落在区域|x|＋|y|≤3中的概率为________．解析：基本事件为6×6＝36，P(a，b)落在区域|x|＋|y|≤3中的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，所以P＝36×6＝1 12.答案：11210．某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑，希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各随机选购一种型号的电脑．(1)写出所有选购方案；(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 型号电脑被选中的概率是多少？(直接写出结果即可)解：(1)画出树状图如图：则选购方案为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )．(2)A 型号电脑被选中的情形为(A ，D )，(A ，E )，即基本事件为2种，所以A 型号电脑被选中的概率为P ＝26＝13.11．已知甲袋中有1只白球、2只红球，乙袋中有2只白球、2只红球，现从两袋中各取一球．(1)求两球颜色相同的概率； (2)求至少有一只白球的概率．解：将甲袋中1只白球记为a 1,2只红球记为b 1，b 2；乙袋中2只白球记为a 2，a 3,2只红球记为b 3，b 4，所以“从两袋中各取一球”所包含的基本事件为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(b 1，a 2)，(b 1，a 3)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，a 2)，(b 2，a 3)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，共有12种．(1)设A 表示“从两袋中各取一球，两球颜色相同”，所以事件A 包含基本事件(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，共6种．所以P (A )＝612＝12.(2)设B 表示“从两袋中各取一球，至少有一只白球”，所以事件B 包含基本事件(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(b 1，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 2)，(b 2，a 3)，共8种，所以P (B )＝812＝23.12．有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)从各组中抽取若干评委，其中从B 组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表：(2)在(1)2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽到的人数如下表：(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝418＝29.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．某校有学生4 500人，其中高三学生有1 500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本，则样本中高三学生的人数为( ) A．50人B．100人C．150人D．20人解析：选B 因为该抽样是分层抽样，所以应在高三学生中抽取1 500×3004 500＝100(人)．2．阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为( )A．2 B．7C．8 D．128解析：选C由算法框图知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，9－x ，x <2.∵输入x 的值为1，比2小，∴执行的程序要实现的功能为9－1＝8，故输出y 的值为8.3．阅读下面的算法框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C S ＝10，i ＝0，i ＝i ＋1＝1，S ＝S －i ＝10－1＝9，不满足S ≤1； i ＝i ＋1＝2，S ＝S －i ＝9－2＝7，不满足S ≤1； i ＝i ＋1＝3，S ＝S －i ＝7－3＝4，不满足S ≤1； i ＝i ＋1＝4，S ＝S －i ＝4－4＝0，满足S ≤1，输出i ＝4.4．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1解析：选B 记3件合格品为a 1，a 2，a 3,2件次品为b 1，b 2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，共10个元素．记“恰有1件次品”为事件A ，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)}，共6个元素．故其概率为P (A )＝610＝0.6.5.如图，正方形ABCD 的边长为2，△EBC 为正三角形．若向正方形ABCD 内随机投掷一个质点，则它落在△EBC 内的概率为( )A.32B.34C.12D.14解析：选B 正方形的面积为4，S △EBC ＝12×2×3＝3，所以，质点落在△EBC 内的概率为34.6．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60解析：选B 成绩在[20,40)和[40,60)的频率分别是0.1,0.2，则低于60分的频率是0.3.设该班学生总人数为m ，则15m＝0.3，m＝50.7．一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，有放回地随机选取两张标签，两张标签上的数字之和为奇数的概率是( )A.25 B.35 C.1225D.925解析：选C 基本事件的总数为25个，其中两张标签上的数字之和为奇数的情况有：(1,2)，(2,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，共12个，所以所求概率为P ＝1225.8.甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别为x 甲，x 乙，则下列叙述正确的是( )A ．x 甲>x 乙；乙比甲成绩稳定B ．x 甲>x 乙；甲比乙成绩稳定C ．x 甲<x 乙；乙比甲成绩稳定D ．x 甲<x 乙；甲比乙成绩稳定 解析：选C 由题意可知，x 甲＝15×(72＋77＋78＋86＋92)＝81，x 乙＝15×(78＋88＋88＋91＋90)＝87.故x 甲<x 乙．又由方差公式可得s 2甲＝15×[(81－72)2＋(81－77)2＋(81－78)2＋(81－86)2＋(81－92)2]＝50.4，s 2乙＝15×[(87－78)2＋(87－88)2＋(87－88)2＋(87－91)2＋(87－90)2]＝21.6，因为s 2乙<s 2甲，故乙的成绩波动较小，乙的成绩比甲稳定． 9．阅读下列程序： 输入x ；If x ＜0 Then y ＝π2x ＋3ElseIf x ＞0 Then y ＝－π2x ＋5Else y ＝0 End If End If 输出y .如果输入x ＝－2，则输出结果y 为( ) A ．3＋π B ．3－π C ．π－5D ．－π－5解析：选B 输入x ＝－2，则x ＝－2＜0成立，则y ＝π2×(－2)＋3＝－π＋3，则输出3－π.10．某农科院在2×2的4块试验田中选出2块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为( )A.23 B.12 C.16D.13解析：选D 如图给4块试验田分别标号为A 1，A 2，B 1，B 2.A 1 A 2B 1B 2基本事件为：(A 1，A 2)11(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(B 1，B 2)共6个基本事件，其中“每行每列都有一块试验田种植水稻”的基本事件有：(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，共2个．∴P (A )＝26＝13.11．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( ) A.14 B.34 C.49D.916解析：选D 设AB ，AC 上分别有点D ，E 满足AD ＝34AB 且AE＝34AC ，则△ADE ∽△ABC ，DE ∥BC 且DE ＝34BC .∵点A 到DE 的距离等于点A 到BC 的距离的34，∴DE 到BC 的距离等于△ABC 高的14.当动点P 在△ADE 内时，P 到BC 的距离大于DE 到BC 的距离，∴当P在△ADE 内部运动时，△PBC 的面积大于S 4，∴所求概率为S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916. 12．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A ．甲地：总体平均值为3，中位数为4B ．乙地：总体平均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体平均值为2，总体方差为3解析：选D 根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7，选项A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C 中也有可能；选项B 中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D 中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13.为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10 000位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000位居民中再用分层抽样抽出100位居民做进一步调查，则在[2.5,3.0)(小时)时间段内应抽出的人数是________．解析：抽出的100位居民中平均每天看电视的时间在[2.5,3.0)(小时)时间内的频率为0.5×0.5＝0.25，所以这10 000位居民中平均每天看电视的时间在[2.5，3.0)(小时)时间内的人数是10 000×0.25＝2 500，抽样比是10010 000＝1100，则在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是2 500×1100＝25.答案：2514．已知变量x，y的回归方程为y＝bx＋a，若b＝0.51，x＝61.75，y＝38.14，则回归方程为________．解析：因为a＝38.14－0.51×61.75＝6.647 5，所以回归方程为y＝0.51x＋6.647 5.答案：y＝0.51x＋6.647 515．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析：从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为56. 答案：5616．设点(p ，q )在|p |≤3，|q |≤3中按均匀分布出现，则方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数的概率为________． 解析：已知点(p ，q )组成了边长为6的正方形，S 正方形＝62＝36.由方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数得Δ＝(2p )2－4(－q 2＋1)≥0，即p 2＋q 2≥1.所以当点(p ，q )落在“正方形内且单位圆外”的阴影区域时，方程的两根都是正数．由图可知，阴影部分面积d ＝S 正方形－S 圆＝36－π.所以原方程两根都是实数的概率为1－π36. 答案：1－π36三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：．．．(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨．．．的概率． 解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为2630＝1315. (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78. 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78. 18．(本小题满分12分)(广东高考)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？解：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x ＝0.007 5，∴直方图中x 的值为0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230. ∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，则0.45＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，即中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300)的用户分别有15户、10户、5户，故抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15， ∴从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5(户)．19．(本小题满分12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.(1)随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．解：(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．其中，没有1家的融合指数在[7,8]内的基本事件是：{B1，B2}，共1个．所以所求的概率P＝1－110＝9 10.(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4．5×220＋5.5×820＋6.5×720＋7.5×320＝6.05.20．(本小题满分12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.(1)计算甲班的样本方差；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．解：(1)甲班的平均身高为x＝110(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182)＝170，甲班的样本方差为s2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，用(x，y)表示从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学的身高，则所有的基本事件有(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A含有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件，故P (A )＝410＝25. 21．(本小题满分12分)目前全世界面临能源紧张问题，降低油耗成为汽车制造厂家技术革新的目标．下表提供了某品牌汽车在技术革新后连续行驶x (百公里)与相应的油耗y (L)的几组对照数据.(1)(2)若该品牌汽车在技术革新前行驶5百公里的油耗为33 L ．试根据(1)求出的回归方程，预测现在汽车行驶5百公里比技术革新前降低多少升油耗．解：(1)根据表中数据可分别求得：x ＝2.5，y ＝15.6，∑i ＝14x i y i ＝186.4，∑i ＝14x 2i ＝30.所以b ＝186.4－4×2.5×15.630－4×2.52＝6.08. a ＝15.6－6.08×2.5＝0.4.所以回归方程为y ＝6.08x ＋0.4.(2)把x ＝5代入(1)中所求的回归方程，估计该品牌汽车在技术革新后行驶5百公里的油耗为5×6.08＋0.4＝30.8 L ，比技术革新前油耗降低了33－30.8＝2.2 L.22．(本小题满分12分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35.。

必修三 第三章§3-6 古典概型【课前预习】阅读教材P 125—P 134完成下面填空4.基本事件具有的两个特点：①任何两个基本事件是 ；②任何事件（ ）都可以表示成 .2．古典概型具有的两个特点：①试验中所有可能出现的 ；②每个基本事件出现的 ；5．古典概型概率的计算：=)A (P一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成，如果一次试验中个，即此试验由n 个基本事件组成，而且所有结果出现的 ，那么每一个基本事件的概率都是n1.如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率=)A (P . 注意：①②4．古典概型解题步骤:①②③④【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1．从字母a,b,c,d 中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件？2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是______3．同时掷两个骰子,计算：(1)一共有多少种不同的结果?(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种?(3)向上的点数之和是5的概率是多少?4．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有 1、2、3、4、5、6，将这个玩具先后抛掷两次，则“向上的数之和是 5”的概率是（ ）. A.91 B.61 C.121 D.31强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实5．抛掷两颗骰子，计算：（1）事件“两颗骰子点数相同”的概率；（2）事件“点数之和小于 7”的概率；（3）事件“点数之和等于或大于 11”的概率．6．甲、乙两人参加法律知识竞答，共有 10 道不同的题目，其中选择题 6 道，判断题 4 道，甲、乙两人依次各抽一题．1.甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?7．从含有两件正品21a ,a 和一件次品1b 的 3 件产品中每次任取 1 件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．8．10本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，能取出数学书的概率有多大？强调（笔记）：【课末5分钟】 知识整理、理解记忆要点【课后15分钟】 自主落实，未懂则问1．掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率是2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率（ ）A 、9991B 、10001C 、1000999D 、213．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（g ）范围内的概率是（ ）A. 0.62 B. 0.38 C. 0.02D. 0.684．在某地区有2000个家庭，每个家庭有4个孩子，假定男孩出生率是21, (1)求在一个家庭中至少有一个男孩的概率；(2)求在一个家庭中至少有一个男孩且至少有一个女孩的概率；5．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）A ． 310B ．15C ．110D ．1126．甲、乙两名学生参加某次英语知识竞赛，该竞赛共有15道不同的题，其中听力题10个，判断题5个，甲乙两名学生依次各抽一题。

模块复习课一、算法初步1．算法、程序框图、程序语言(1)算法的概念：算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题．(2)程序框图：程序框图由程序框组成，按照算法进行的顺序用流程线将程序框连接起来．结构可分为顺序结构、条件分支结构和循环结构．(3)算法语句：基本算法语句有输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句五种，它们对应于算法的三种逻辑结构：顺序结构、条件分支结构、循环结构．用基本语句编写程序时要注意各种语句的格式要求．2．算法案例本章涉及的更相减损术是用来求两个正整数的最大公约数的，秦九韶算法可以计算多项式的值．对这些案例，应该知其然，还要知其所以然，体会其中蕴含的算法思想．二、统计1．抽样方法(1)抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样．(2) 应用三种抽样方法时需要搞清楚它们的使用原则．①当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法．②当总体容量较大，样本容量较小时，可用随机数表法．③当总体由差异明显的几部分组成时，常用分层抽样．④当总体容量较大，样本容量也较大时适宜于系统抽样．2．用样本估计总体(1)用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据进行列表、作图处理，作频率分布表与频率分布直方图时要注意其方法步骤．(2)茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有信息都可以从图中得到；二是便于记录和表示．(3)样本的数字特征样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括众数、中位数和平均数；另一类是反映样本波动大小的，包括方差及标准差．3．变量间的相关关系(1)两个变量之间的相关关系的研究，通常先作变量的散点图，根据散点图判断这两个变量最接近于哪种确定性关系(函数关系)．(2)求回归方程的步骤： ①先把数据制成表，从表中计算出②计算回归系数a ^，b ^.公式为③写出回归方程y ^＝bx ＋a .三、概率1．随机事件的概率(1)事件有必然事件、不可能事件、随机事件三种．(2)概率与频率：对于一个事件而言，概率是一个常数，而频率则随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于事件的概率．2．频率与概率 频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多数次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率．3．求较复杂概率的常用方法(1)将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )求解．4．古典概型(1)判断试验是否具有有限性和等可能性．(2)要分清基本事件总数n 及事件A 包含的基本事件数m ，利用公式P (A )＝m n 求解．(3)常用列举法、列表法、树状图法求基本事件总数．5．几何概型(1)几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．(2)几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题．(3)理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为： P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).[易错易混辨析]1．处理框用表示，算法中处理数据需要的算式、公式等可以分别写在不同的用以处理数据的处理框内，另外，对变量进行赋值时，也用到处理框．(√)2．条件结构不同于顺序结构的特征是输入、输出框．(×)[提示]条件结构不同于顺序结构的特征是判断框．3．对于一个程序框图来说，判断框内的条件是唯一的．(×)[提示]判断框内的条件不是唯一的，例如a＞b也可以写成a≤b但其后步骤需相应调整．4．输入语句的作用是计算．(×)[提示]输入语句可以给变量赋值，并且可以同时给多个变量赋值．5．输出语句的作用是实现算法的输出结果功能．(√)6．赋值语句的作用是把赋值号左边的值赋值给右边．(×)[提示]赋值语句的作用是把右边表达式的值赋给赋值号左边的变量．7．在while循环语句中，表达式为真时终止循环．(×)[提示]表达式为真时执行循环体．8．条件结构的两种形式执行结果可能不同．(×)[提示]条件结构的两种形式执行的结果是相同的．9．求最大公约数的方法除“更相减损之术”之外，没有其他方法．(×)[提示]还有辗转相除法(即欧几里得算法)10．简单随机抽样可以是有放回抽样．(×)[提示]简单随机抽样是从总体中逐个抽取样本，是不放回抽样．11．采用随机数表法抽取样本时，个体编号的位数必须相同．(√)12．简单随机抽样就是抽签法．(×)[提示]简单随机抽样包括抽签法和随机数表法．13．当总体是由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样．(√)14．系统抽样中，当总体容量不能被样本容量整除时，余数是几就剔除前几个数．(×) [提示]剔除多余个体时，应保证每个个体被剔除的可能性相同．15．频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值．(√)16．频率分布直方图中，各小矩形的面积之和大于1.(×)[提示]频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.17．用茎叶图来比较数据时，一般从数据分布的对称性、中位数、稳定性等方面比较．(√) 18．数据的离散程度可以用方差或标准差来描述，一般地方差越大，这组数据围绕平均数波动越小．(×)[提示] 方差越大，数据围绕平均数波动越大．19．一组数据的中位数、众数不易受极端值的影响，但平均数受极端值影响较大．(√)20．一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近．(√)21．函数关系与相关关系都是确定的因果关系．(×)[提示] 函数关系是因果关系，但相关关系不一定．22．判断变量间有无相关关系的简便可行的方法是绘制散点图．(√)23．要判定某事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的．(√)24天气预报“明天降水概率为60%”是指明天约有60%的地区降水．(×)[提示] 指明天该地区降水的可能性为60%.25．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能都发生．(×)[提示] 互斥事件在一次试验中可能都不发生，可能有一个发生，但不可能都发生．26．在一次试验中，对立事件必有一个发生．(√)27．一个试验的基本事件的个数是有限的，则此试验为古典概型．(×)[提示] 一个试验是否为古典概型，除了基本事件个数有限外，还要满足每个基本事件的发生是等可能性的．28．基本事件都是互斥的．(√)29．不可能事件的概率为0.(√)30．概率为0的事件是不可能事件．(×)[提示] 例如事件A 是边长为4的正方形内一点，其面积为0，该点出现的概率P (A )＝0，但A 并不是不可能事件．1．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4B [由程序框图的算法功能知执行框N ＝N ＋1i计算的是连续奇数的倒数和，而执行框T ＝T ＋1i ＋1计算的是连续偶数的倒数和，所以在空白执行框中应填入的命令是i ＝i ＋2，故选B.] 2．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是( )A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半A [设新农村建设前经济收入的总量为x ，则新农村建设后经济收入的总量为2x . 建设前种植收入为0.6x ，建设后种植收入为0.74x ，故A 不正确；建设前其他收入为0.04x ，建设后其他收入为0.1x ，故B 正确；建设前养殖收入为0.3x ，建设后养殖收入为0.6x ，故C 正确；建设后养殖收入与第三产业收入的总和占建设后经济收入总量的58%，故D 正确．]3．(2018·全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3D [将2名男同学分别记为x ，y,3名女同学分别记为a ，b ，c .设“选中的2人都是女同学”为事件A ，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x ，y )，(x ，a )，(x ，b )，(x ，c )，(y ，a )，(y ，b )，(y ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共10种，其中事件A 包含的可能情况有(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共3种，故P (A )＝310＝0.3.故选D.] 4．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7B [设“只用现金支付”为事件A ，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B ，“不用现金支付”为事件C ，则P (C )＝1－P (A )－P (B )＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B.]5．(2018·全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则()A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3A [法一：设直角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12bc ，区域Ⅱ的面积S 2＝12π×⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋12π×⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22－⎣⎢⎡⎦⎥⎤π×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222－12bc ＝18π(c 2＋b 2－a 2)＋12bc ＝12bc ，所以S 1＝S 2，由几何概型的知识知p 1＝p 2，故选A. 法二：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12×2×2＝2，区域Ⅲ的面积S 3＝π×(2)22－2＝π－2，区域Ⅱ的面积S 2＝π×12－(π－2)＝2.根据几何概型的概率计算公式，得p 1＝p 2＝2π＋2，p 3＝π－2π＋2，所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3，故选A.] 6．(2018·全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．分层抽样 [因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价．]7．(2018·全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m 3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．)[解](1)(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为x －1＝150×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x －2＝150×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35. 估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m 3)．8．(2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y ^＝－30.4＋13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y ^＝99＋17.5t .(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．[解] (1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．(2)利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y ＝－30.4＋13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．(以上给出了2种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可)。

教学设计本章复习整体设计教学分析前面学习了算法与程序框图、基本算法语句、算法案例，本节课作为本章的小结，旨在和学生一起站在全章的高度，以算法思想为灵魂，以问题解决为主线，以典型例题为操作平台，以巩固知识、发展能力、提高素养为目的对本章作全面的复习总结，帮助学生进一步提高对算法的理解和认识，优化知识结构.三维目标1.理解掌握算法与程序框图、基本算法语句、算法案例.2.熟练应用算法与程序框图、基本算法语句、算法案例等方法解决问题.3.通过本章学习逐步提高学生的逻辑思维能力，学会用数学方法认识世界、改造世界.重点难点应用算法与程序框图、基本算法语句、算法案例等方法解决问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1（情境导入）大家都熟悉围棋高手“石佛”李昌镐吧，他曾经打遍天下无敌手，你知道他最令人可怕的地方吗？他的技术很全面，但他最厉害的技术是“官子”，他的“官子”层次分明，可以说滴水不漏，堪称世界第一.我们的小结就像围棋中的“官子”，也要做到层次分明、滴水不漏.思路2（直接导入）前面我们学习了算法与程序框图、基本算法语句、算法案例等内容，今天我们对本章知识、方法、数学思想进行全面系统的总结.推进新课新知探究提出问题（1）请同学们自己梳理本章知识结构.（2）回顾算法的定义及特征.（3）回忆三种逻辑结构.（4）回忆学过的逻辑语句.（5）回顾学过的算法案例.讨论结果（1）本章知识结构.（2）算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.算法的特征：1°确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、“不重不漏”.“不重”是指不是可有可无的、甚至无用的步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.2°逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣、分工明确，“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续.3°有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行.（3）顺序结构、条件结构、循环结构分别可以用程序框图表示为如下图：顺序结构条件结构循环结构（4）输入、赋值、输出语句与相应的程序框图的对应关系如下图.INPUT a，b,c p=(a+b+c)/2 PRINT“S=”；S程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系如下图：下图为循环结构与相应的语句的一一对应关系.直到型循环语句与直到型循环结构:当型循环语句与当型循环结构：（5）我们学过算法案例：辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法、进位制.应用示例思路1例1 已知函数y=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+-≤-,2,,21),1(log,1,1243xxxxxx试设计一个算法，输入x的值，求对应的函数值．分析：对输入x的值与－1和2比较大小，即分类讨论．解：算法如下： 第一步，输入x 的值.第二步，当x≤－1时，计算y=2x －1，否则执行下一步. 第三步，当x≥2时，计算y=x 4，否则执行下一步. 第四步，计算y=log 3(x+1). 第五步，输出y ．点评：分段函数是高考考查的重点，在考虑算法步骤时，用到分类讨论思想，为复习程序框图和算法语句打好基础. 变式训练 给出下列算法： 第一步，输入x 的值.第二步，当x≤－2时，计算y=2--x ，否则执行下一步. 第三步，当x≥0时，计算y=x+1，否则执行下一步. 第四步，当-2<x<0时,计算y=3. 第五步，输出y ．该算法的功能是_____________．答案：已知函数y=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<--≤--,0,1,02,3,2,2x x x x x 输入x 的值，求对应的函数值.例2 （2007广东揭阳一模）如下图是表示求解方程x 2－(a+1)x+a=0（a ∈R ,a 是常数）过程的程序框图．请在标有序号（1）（2）（3）（4）处填上你认为合适的内容将框图补充完整． (1)_____________； (2)_____________； (3)_____________； (4)_____________.分析：观察程序框图可知，所解方程是一元二次方程，先计算判别式Δ=(a+1)2－4a=(a－1)2，所以（1）处填(a－1)2；计算判别式Δ的大小后，再判断其符号，由于Δ=(a－1)2，则只需判断a是否等于1即可．则（2）有两种填法a=1或a≠1．当（2）处填a=1时，（3）处填x1=x2=1 ，（4）处填x1=a,x2=1；当（2）处填a≠1时，（3）处填x1=a,x2=1，（4）处填x1=x2=1．故有两种填法（1）(a－1)2，（2）a=1，（3）x1=x2=1，（4）x1=a,x2=1．或（1）(a－1)2，（2）a≠1，（3）x1=a,x2=1，（4）x1=x2=1．答案：（1）(a－1)2，（2）a=1，（3）x1=x2=1，（4）x1=a,x2=1．或（1）(a－1)2，（2）a≠1，（3）x1=a,x2=1，（4）x1=x2=1．（这两种填任意一种都对，本题答案不只是这两种，还有其他答案，只要符合要求就行）点评：用合适的内容补充完整框图是高考考查的重点，尤其是条件结构和循环结构不仅是考查的重点，也是这类问题的难点，应重点训练．变式训练（2007山东临沂一模，文8）阅读程序框图如下图，若输入的a,b,c分别为21，32，75，则输出的a,b,c分别是（）A．75，21，32 B．21，32，75C．32，21，75 D．75，32，21解析：本题主要考查对程序框图的读图和识图能力．本程序框图的功能是输入a,b,c的值，输出a,b，c的值．程序框图的运行过程是：a=21,b=32,c=75，x=21；a=75；c=32；b=21；则输出75，21，32．答案：A思路2例1 （2007山东泰安一模，文15）下列程序执行后输出的结果是____________．i=11s=1DOs=s* ii = i－1LOOP UNTIL i <9PRINT sEND分析：本题主要考查对循环语句的理解能力．该程序的功能是计算s=11×10×…×9的值．该程序的运行过程是：i=11s=1s=1*11=11i=11-1=10i=10<9不成立s=11*10=110i=10-1=9i=9<9不成立s=110*9=990i=9-1=8i=8＜9成立输出s＝990．答案：990点评：根据循环语句讨论其执行结果时，通常根据循环语句所表达的意义，具体执行程序，明确程序的功能，就可以得到其程序结果．变式训练（2007广东惠州二模，文5）当x=2时，下列程序输出的结果是（）i=1s=0WHILE i<=4s=s*2+1i=i+1WENDPRINT sENDA．3 B．7 C．15 D．19答案：C例2 编写程序计算12+32+52+…+9992的值．分析：本题主要考查循环语句及其应用，以及分析和解决问题的能力．由于重复作多次加法，因此用循环语句来解决．观察分析所加的数值，指数相同，底数相邻两数相差2，设计数器i初始值为1，用i=i+2实现底数部分．首先进行算法分析，再画出程序框图，最后转化为算法语句．如果非常熟练，那么可以直接编写程序．思路1用当型循环结构来解决，程序框图如下图所示．用直到型循环结构来解决，程序框图略．解：程序如下：程序1：s=0i=1WHILE i<=999s=s+i^2i=i+2WENDPRINT sEND程序2：s=0i=1DOs=s+i^2i=i+2LOOP UNTIL i >999PRINT sEND点评：使用WHILE循环语句设计程序的一般思路：①把反复要做的工作，作为循环体放在WHILE与WEND之间；②在WHILE之前，要设置好初始条件，如本例中的i=1；再确定循环条件；③考虑在循环体内怎样改变条件以退出循环，如本例中的i=i+2．知能训练数学的美是令人惊异的！如三位数153，它满足153=13+53+33，即这个整数等于它各位上的数字的立方的和，我们称这样的数为“水仙花数”.请您设计一个算法，找出大于100，小于1 000的所有“水仙花数”.（1）用自然语言写出算法；（2）画出流程图．分析：由于需要判断大于100，小于1 000的整数是否满足等于它各位上的数字的立方的和，所以需要用循环结构。

第二章：统计复习课学习目标1.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的问题；2.能通过对数据的分析，为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差.二.知识梳理回顾本章知识共分为三个单元：1.随机抽样：三种方法------简单随机抽样、系统抽样、分层抽样2.用样本估计总体：两种方法------用样本的频率a:分布估计总体分布、用样本的数字特征估计总体的数字特征.①用样本的频率分布估计总体分布：频率分布直方图的特征.画茎叶图的步骤.②用样本的数字特征估计总体的数字特征：利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数.b:标准差,方差.3.变量间的相关关系：变量之间的相关关系：确定性的函数关系.带有随机性的变量间的相关关系.两个变量的线性相关：a、散点图的概念.b、正相关与负相关的概念.c、线性相关关系.d、线性回归方程. ※ 典型例题1.在一次有奖明信片的100 000个有机会中奖的号码(编号00000—99999)中，邮政部门按照随机抽取的方式确定后两位是23的作为中奖号码，这是运用了________抽样方法.2.某单位有500名职工，其中不到35岁的有125人，35岁～49岁的有280人，50岁以上的有95人.为了了解该单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，应该用_______抽样法.3.某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记做①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3个调查学习负担情况，记做②.那么完成上述2项调查应采用的抽样方法是( )A.①用简单随机抽样法，②用系统抽样法B.①用分层抽样法，②用简单随机抽样法C.①用系统抽样法，②用分层抽样法D.①用分层抽样法，②用系统抽样法4.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆舒畅行检验，这三种型号的轿车依次应抽取______________辆.5.有一个样本容量为50的样本数据分布如下，[)5.15,5.12 3；[)5.18,5.15 8；[)5.21,5.18 9；[)5.24,5.21 11；[)5.27,5.2410；[)5.30,5.27 6；[)5.33,5.30 3.估计小于30的数据大约占有( ) A.9400 B.600 C.8800 D.1200※ 动手试试1．从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验，其测验成绩的方差分别为S12= 13.2，S22=26．26，则( )．A ．甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐B ．乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐C ．甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐D ．不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度2．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输人为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( )． A ．3.5 B ．-3 C ．3 D ．-0.53．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的( )．A ．平均数不变，方差不变 B ．平均数改变，方差改变 C ．平均数不变，方差改变D ．平均数改变，方差不变三、总结提升本章主要介绍最基本的获取样本数据的方法，以及集中从样本数据中提取信息的统计方法，其中包括用样本估计总体分布、数字特征和线性回归等内容。

1a x a ++需要 乘法进位制是人们为了计数和运算方便而约（2）用茎叶图表示数据有突出的优点，一是统计图上 ； 二是茎叶图可以随时记录，方便纪录与表示。

（3）平均数x 代表了一组数据的 ．在频率分布直方图中，平均数是直方图的 ．①众数是 ； ②中位数是 ； （4）数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述。

极差是一组数据的 和 的差，他反映了一组数据的 . （5）一般地，设样本的元素为,x ,,x ,x n 21 样本的平均数 . 则样本方差=2s样本标准差=s强调（笔记）：【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1．(1)某社区有 400 户家庭，其中高收人家庭有 25 户，中等收入家庭有 280 户，低收入家庭有 95户，为了了解社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为 100 的样本.(2)从 10 名职工中抽取 3 名参加座谈会．I 简单随机抽样法；Ⅱ系统抽样法；Ⅲ分层抽样法． 以上问题与抽样方法匹配正确的是（ ）. A.Ⅲ，I B .I ，Ⅱ C.Ⅱ，Ⅲ D.Ⅲ，Ⅱ 2．下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,据下图可知（ ） A.甲运动员的成绩好于乙运动员 B.乙运动员的成绩好于甲运动员C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异D.甲运动员的最低得分为0分3．某学校有高中学生900 人，其中高一有400 人，高二有300 人，高三有200 人，采用分层抽样抽取容量为45 的样本，则高一、高二、高三抽出的学生人数分别为（ ）.A ．25，15，5B ．20，15，10C ．30，10，5D ．15，15，15疑问：【课中35分钟】边听边练边落实4、10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A 、a>b>cB 、b>c>aC 、c>a>bD 、c>b>a5、甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？6、若 样本数据1x ,,1x ,1x n 21+++ 的平均数是 10，方差是2，那么对于样本数据2x ,,2x ,2x n 21+++ 的平均数和方差分别为A.l0，2B.11,3C.11，2D.14，47、如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下： （1）79.589.5这一组的频数、频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）强调（笔记）：【课末5分钟】 知识整理、理解记忆要点（1）求回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？互助小组长签名：6．甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10 道不同的题目，其中选择题6 道，判断题4 道，甲、乙两人依次各抽一题．4.甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少? (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?8．我国已经正式加入WTO，包括汽车在内的进口商品最多在五年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中有21%的进口商品恰好5 年关税达到要求，18%的进口商品恰好4 年达到要求，其余的进口商品将在3 年或3 年内达到要求，问进口汽车在不超过4 年的时间内关税达到要求的概率为 .必修三过关检测（1）一、选择题：每题4分，共72分。

浙江省江山实验中学高中数学模块复习1.3学案新人教A版必修3 学习目标：1．熟练掌握函数的单调性、奇偶性的定义，灵活判断或证明函数的单调性、奇偶性；掌握抽象函数性质的研究，提高分析解决问题的能力；2．小组合作，探究归纳，学会使用图象辅助分析问题的方法。

3．通过单调性、奇偶性、最值的研究，体验数形结合与分类讨论的思想，学会归纳总结的方法；用极度的热情投入学习，缜密思维，享受学习成功的快乐。

重点：函数单调性和奇偶性及最值的研究。

难点：抽象函数问题的研究。

《梳理案》Generalizing Case一知识导图二知识梳理1.增函数和减函数是如何定义的？2.如何用增函数、减函数定义证明或判断一个函数的单调性？3.函数的最大值（或最小值）是怎样定义的？4.函数奇偶性是怎样定义的？5.根据定义判断或证明一个函数的奇偶性的步骤是怎样的？6.奇函数和偶函数的图象有什么特点？7.两个函数都是奇函数，那么它们的和构成的函数具有怎样的奇偶性？乘积构成的函数呢8.根据奇偶性和函数在(0,)+∞上的解析式，你能否求出函数在(,0)-∞上的解析式？三预习自测1．下列各组中的两个函数是同一函数的为（）（1）12(3)(5),5;3x xy y xx+-==-+（2）12y y（3）(),()f x xg x==（4）()()f x F x==（5）212(),()25f x f x x==-A.(1)、(2)B.(2)、(3)C.(4) D(3)、(5)2.设函数1()1xf xx-=+，则()f x的解析式为（）A 11x x +-B 11x x +-C 11x x -+D 21xx +3.不能作为函数()y f x =的图象是图1中的（） A B C D我的疑惑？请你将复习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。

《探究案》Exploring Case一 学始于疑---我思考、我收获1.函数单调性的判断按照怎样的步骤进行？2.我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，抽象函数的单调性和奇偶性如何研究？二 质疑探究---质疑解疑、合作探究（一）知识综合应用探究探究点一 函数性质的综合应用（重点）【例1】已知函数2()1ax b f x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且12()25f = （1）求函数()f x 的解析式；（2）求证：函数()f x 在(1,1)-上是增函数； （3）解不等式(1)()0f t f t -+<思考1：条件中的奇函数怎样应用？思考2：怎样证明一个函数在给定区间上的单调性？思考3：第（3）小题中如何将函数值的不等式转化为参数t 的不等式？规律方法总结：探究点二 有关抽象函数的问题（难点）【例2】、函数()f x 的定义域{}0D x x =≠，且满足对于任意12,x x D ∈，1212()()()f x x f x f x ⋅=+。