版空间直角坐标系空间两点间的距离公式

4.3 空间直角坐标系 4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式

1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点) 4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(重点)

[基础·初探] 教材整理1 空间直角坐标系 阅读教材P134～P135“例1”以上部分，完成下列问题． 1．空间直角坐标系

定义 以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面

画法 在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz＝90° 图示 说明 本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系 2.空间中一点的坐标 空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)．( ) (2)在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)．( ) (3)在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)．( ) (4)在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．( ) 【解析】 (1)错误．x轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为0. (2)、(3)、(4)正确． 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 教材整理2 空间两点间的距离公式 阅读教材P136“练习”以下至P137部分，完成下列问题． 1．点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离|OP|＝x2＋y2＋z2. 2．任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.

在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝110，则m的值为________． 【解析】 |AB|＝－1－22＋2－12＋3－m2 ＝110， ∴(3－m)2＝100,3－m＝±10. ∴m＝－7或13. 【答案】 －7或13

[小组合作型] 空间中点的坐标的确定 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的

中点，G在棱CD上，且CG＝14CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E、F、G、H的坐标． 【精彩点拨】 要求点的坐标，需求得横、纵、竖坐标的值，即确定出所求点的坐标． 【自主解答】 建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐

标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为0，0，12. 由F作FM⊥AD、FN⊥DC，由平面几何知FM＝12、FN＝12，则F点 坐标为12，12，0. 点G在y轴上，其x、z坐标均为0，又GD＝34，故G点坐标为0，34，0.由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点，故HK＝12、CK＝18.∴DK＝78.故H点坐标为0，78，12. 1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性． 2．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．

[再练一题] 1．在棱长都为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，建立恰当的空间直角坐标系，并写出三棱柱ABC-A1B1C1各顶点的坐标. 【解】 取BC，B1C1的中点分别为O，O1，连接OA，OO1，

根据正三棱柱的几何性质，OA，OB，OO1两两互相垂直，且OA＝32×2＝3， 以OA，OB，OO1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则正三棱柱ABC-A1B1C1各顶点的坐标分别为： A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(3，0,2)，B1(0,1,2)，C1(0，－1,2).

求空间对称点的坐标 在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)． (1)求点P关于x轴对称的点的坐标； (2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标． 【精彩点拨】 对照空间点的对称的规律直接写出各点的坐标． 【自主解答】 (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)． (2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4)． (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3的坐标为(6，－3，－12)．

1求空间对称点的规律方法 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论. 2空间直角坐标系中，任一点Px，y，z的几种特殊对称点的坐标如下： ①关于原点对称的点的坐标是P1－x，－y，－z； ②关于x轴横轴对称的点的坐标是P2x，－y，－z； ③关于y轴纵轴对称的点的坐标是P3－x，y，－z； ④关于z轴竖轴对称的点的坐标是P4－x，－y，z； ⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5x，y，－z； ⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6－x，y，z； ⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7x，－y，z.

[再练一题] 2．已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M关于x轴、y轴对称的点M3，M4. 【解】 由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3)． [探究共研型] 6 / 9

空间两点间的距离 探究1 已知两点P(1,0,1)与Q(4,3，－1)，请求出P、Q之间的距离． 【提示】 |PQ|＝1－42＋0－32＋1＋12＝22. 探究2 上述问题中，若在z轴上存在点M，使得|MP|＝|MQ|，请求出点M的坐标． 【提示】 设M(0,0，z)，由|MP|＝|MQ|， 得(－1)2＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(－1－z)2， ∴z＝－6.∴M(0,0，－6)． 如图4-3-1所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度．

图4-3-1 【精彩点拨】 先建立空间直角坐标系，求出点M、N的坐标，然后利用两点间的距离公式求解． 【自主解答】 如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)， ∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2， ∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)， ∵N为CD1的中点，

∴N32，3，1. M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点， ∴M(1,1,2)．由两点间距离公式，得 |MN|＝32－12＋3－12＋1－22 ＝212.

利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：

[再练一题] 3．如图4-3-2所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．

图4-3-2 【解】 以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2， ∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)， 由中点坐标公式可得， D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)， ∴|DE|＝1－02＋1－12＋0－22 ＝5， |EF|＝0－12＋1－02＋2－02 ＝6.

1．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为 ( ) A．(－1,0,1)，(－1,2,0) B．(－1,0,0)，(－1,2,0) C．(－1,0,0)，(－1,0,0) D．(－1,2,0)，(－1,2,0) 【解析】 点A(－1,2,1)在x轴上的投影点的横坐标是－1，纵坐标、竖坐标都为0，故为(－1,0,0)，点A(－1，2,1)在xOy平面上横、纵坐标不变且竖坐标是0，故为(－1,2,0)． 【答案】 B 2．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是 ( ) A．关于x轴对称 B．关于xOy平面对称 C．关于坐标原点对称 D．以上都不对 【解析】 点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称． 【答案】 A 3．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为________．