5.3 线性系统的稳定性分析

dF ( s ) 8s 3 96 s 0 ds
1 24 23 2 48 46 s3行中为零的项，为简化计 1 12 算，各项除以8，并计算以 下各行的系数，得劳斯阵为 24 46 121 1 s 新劳斯阵的第一列系数全为正，即系统特征方程中没有位于复平面右侧的根。 12 s 0 46
用导数方程的系数取代
s 3 3s 2 0
试应用判据判别实部为 正的特征根的个数。
s3 s2 s s
0
1 0
- 3 - 2
-3 2 0
改变一次

2
改变一次
有两实部为正的根。
b.劳斯表某行全为零
说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。
例：设系统特征方程为 ，s 46 0 s 5 2s 4 24 s 3 48 s 2 23
解: 列写劳 斯阵 :列 s s s s
4 3 2 1 0
1 2
23- 4 2
3 4 1 6 5 0
5 0
符号改变一次
14- 25 1
符号改变一次

s 5 Routh 阵列第一列符 号改 次 变 ,二
故有 两个实部 为正的根 。
a.某行第一个元素为零，其余均不为零。
例：设系统特征方程为 系统的稳定性。 ，试判别 s 4 2s 3 s 2 2 s 1 0
s5 s4 s3 s2
F (s) 2s 4 48s 2 46 0
解： （1）特征方程各项系数大于0
（2）列劳斯阵
1 1 1 2 2 0(用代替） 1 2 1 s 2 当ε→0时， ，该项符号为负，因此，劳斯阵中第一列系数符号改 0 s 1
s4 s3 s2

( xk ) (0)
2.渐近稳定性
渐近稳定性就是前面对线性系统定义的稳定性，
它要求由初态引起的响应最终衰减到零，一般所讲
的线性系统的稳定性，也就是渐近稳定性，当然，
也是Л я п у н о в 意义下的稳定性；但对非线系 统而言，这两种稳定性是不同的。 比较渐近稳定性与Л я п у н о в 意义下的稳定性 可知，前者比后者对系统的稳定性的要求高，系统
3.阐述Nyquist稳定判据，即如何通过系统的开环频 率特性的Nyquist图来判断相应的闭环系统的稳定 性。
4.介绍Bode判据，进而讨论系统相对稳定性的问题。
5.1
5.1.1
系统稳定性的初步概念
系统不稳定现象的发生 如图5.1.1所示的液压位置随动系统，从油源 来的压力为Ps的压力油，经伺服阀和两条软管以 流量。 q1 , q2 xi 进入或流出油缸，阀芯相对于阀体获得输入 x0 位移 后，活塞输出位移 ，此输出再经活塞与 阀体的刚性联系，即经反馈联系B反馈到阀体上， 从而改变了阀芯与阀体的相对位移量，这样就组 成一个闭环系统，它保证活塞跟随阀芯的运动而 运动。
(an p n a n1 p n 1 a1 p a0 ) x (t )
d p 式中， dt ,
(bm p m b1 p b0 ) xi (t ), n m,
（5.1.1）
若记
D( p) an p n an 1 p n 1 a1 p a0 ;
M ( p) bm p bm1 p
m
m 1
b1 p b0 ,
并对式（5.1.1）作Laplace变换，得
M ( s) N (s) X ( s) X i (s) , D( s ) D( s )

二、非线性系统的稳定性
1、非线性系统线性化 设系统的状态方程为：x f ( x, t )
xe 为平衡状态；f ( x, t ) 为与 x 同维的矢量函数，并且对 x
具有连续的偏导数。
将非线性矢量函数 f ( x, t ) 在 xe 邻域内展开成泰勒级数：
f x ( x xe ) R x x
塞尔维斯特（Sylvester）定理： V x xT Px
为正定的充要条件是P的所有顺序主子行列式都
是正的。如果P的所有主子行列式为非负的（其 中有的为零），那么V(x)为半正定的。 如果V(x)是正定的（半正定的），则-V(x)将是负定 的 (半负定的)。
例5.2.3
证明下列二次型函数是正定的。
图5.1（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
5.2 李雅普诺夫稳定性理论
5.2.1 李雅普诺夫第一方法
（间接法，通过系统状态方程的解来判定系统的稳定性。）
一、线性系统的稳定性
内部稳定 （平衡状态xe=0渐进稳定） BIBO稳定 系统矩阵A的所有特征值 均具有负实部 传递函数的所有极点均位 于s的左半平面
一个因果系统，如果对于任意一个有界输入
u (t ) 1 , t (t0 , )
对应的输出均有界
y (t ) 2 , t (t0 , )
则称该系统为外部稳定。 线性定常连续系统，BIBO稳定的充分必要条件为 其传递函数矩阵G(s)的所有极点都具有负实部。
5.1 几个稳定性概念
p11 p 21 P p n1
于是有：
P 为权矩阵（常取对称矩阵）。 式中，x T 为 x 的转置，

s5 s4 s s
3
1
24
48
0
96
25
50 0
F (s) 2s 4 48s 2 50 0
取F(s)对s的导数得新方程：
2
0
8
24
0
F (s) 8s3 96s 0
用上式中的系数8和96代替0元 行，继续进行运算。
2
50
0
0
s1 s0
112 .7
50
改变符号一次
武汉理工大学材料学院 当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)将按顺时针方 向旋转N 周，即F(s)以原点为中心顺时针旋转N 周，这就等于曲线LF 顺时针包围原点N 次。若令Z 为包围于Ls内的F(s)的零点数，P 为包 围于Ls 内的F(s)的极点数，则有 N ＝Z－P
j
Im
(5.3.2)
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（2）令s＝z－1，代入特征方程得：
( z 1)3 14( z 1)s 2 40( z 1) 40K 0
即
z 3 11z 2 15z 40K 27 0
由Routh表和Routh判据得：
列Routh表如下：
s3
1
11
15
s2
40 K 27
4 2
解此辅助多项式可得：
s 1; s j5
这两对复根是原特征方程的根的一部分。
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四、相对稳定性的检验
对于稳定的系统，应用Routh判据还可以检验系统 的相对稳定性。方法如下： （1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s＝z－ σ (σ 为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特 征方程。