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5.4_非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析解析

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第六章李亚普诺夫稳定性分析

第六章李亚普诺夫稳定性分析

如图5-3李雅普诺夫意义下的稳定性示意图
2.古典理论稳定性定义(渐近稳定性)
设 xe 是系统 的一个孤立平衡状态，如果
（1） xe 是李雅普诺夫意义下稳定的；
（2）
则称此平衡状态是渐近稳定的。
2009-08
CAUC--空中交通管理学院
§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
- 初始状态 - 平衡状态
图6-2 二维空间渐近稳定性的几何解释示意图
3.内部稳定性与外部稳定性的关系
1)若系统是内部稳定（渐近稳定）的，则一定是外部稳定（ BIBO稳定）的。
2)若系统是外部稳定（BIBO稳定）的，且又是可控可观测的， 则系统是内部稳定（渐近稳定）的。此时内部稳定和外部稳定 是等价的。
2009-08
CAUC--空中交通管理学院
§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
(外部稳定性也称为BIBO（Bounded Input Bounded Output ）稳定性)
说明：
（1） 所谓有界是指如果一个函数 ，在时间区间[0，∞] 中，它的幅值不
会增至无穷，即存在一个实常数k ，使得对于所有的t∈ [0 ∞] ，恒有
|h(t)| ≤ k ≤ ∞成立。 （2） 所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。
若对所有t，状态x满足
，故有下式成立:
，则称该状态x为平衡状态，记为
（5-2）
由平衡状态在状态空间中所确定的点 ，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
（1）线性定常系统
其平衡状态xe满足Ax=0
A非奇异，则存在唯一的一个平衡状态xe =0 。 （2）非线性系统
方程
的解可能有多个。
2009-08
CAUC--空中交通管理学院

第5章李雅普诺夫稳定性分析

第5章李雅普诺夫稳定性分析
3
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
17
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷

李雅普诺夫稳定性分析

李雅普诺夫稳定性分析

⑥ V(x)函数只表示了平衡状态附近的某领域内的局部 运动稳定状况。不能提供域外的运动信息。 ⑦ V(x)的构造需要较多技巧，可通过计算机来完成， 人力难以估测。因此，此方法常用于难以判定的复 杂问题。例如高阶时变非线性系统。
李雅普诺夫稳定性在线性系统中的应用
线性系统中的应用

线性连续定常系统稳定性分析 线性离散定常系统稳定性分析 线性连续时变系统稳定性分析 线性离散时变系统稳定性分析

V ( x) 0,V ( x) 0,V ( x) 0
李雅普诺夫函数讨论
⑤ V ( x) 0 V ( x) 0 V ( x) 0


能量的趋近速度是负的，所以能量最 终为0，趋向于原点，系统是渐进稳 定的。 能量最终为可能0，趋向于原点，也 有可能停止在ε内的某处。 能量是递增的，因此是不稳定的。

李雅普诺夫稳定性

上述定理的标量函数V(X,t)称为李亚普诺夫函数． 李亚普诺夫稳定性定理是判定系统稳定的充分条件， 但非必要条件。 一般李亚普诺夫函数对某个系统来说不止一个，即不 唯一。
状态 系统 能量函数
寻找的
？
系统 稳定
李雅普诺夫稳定性

示例有一个非线性状态方程，Xe=0为一个平衡状态
是否就一定不稳定呢？是否标量函数不合适呢？需要另外判断。 从李雅普诺夫第一方 法来看，解特征方程
s 1 1 2 sI A 1 s 1 s 2s 2 0


李雅普诺夫函数讨论
李雅普诺夫第二方法关键在于寻找一个满足条件的李 雅普诺夫函数。 ① V(x)是满足稳定性盘踞条件的一个正定标量函数，具 有连续一阶偏导。 ② 对于一个给定系统，如果V(x)能找到，那么通常是非 唯一的，但是不影响结论一致性。 ③ V(x)最简形式是二次型，但未必都是。 ④ 如果V(x)是标准二次型，V(x)可表示为从原点到x的 距离。V (x) 表征了系统相对原点运动的速度。

稳定性与李雅谱诺夫方法

稳定性与李雅谱诺夫方法

（3）
成立，则称 为系统的平衡状态。 对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的。
1.2
稳定性的几个定义
，有：
若用 那么
表示状态矢量
与平衡状态
的距离，用点集
表示以
为中心 为半径的超球体，
（4）
在n维状态空间中，有：
（5）
当 很小时，则称 为 的邻域。因此，若有 位于球 ， 则意味着 域 内，便有： 同 理，若方程式(1)的解
为矩阵微分方程式的初始条件。
当选取正定矩阵
时，可由函
计算出
；再根据
是否具有连续、
对称、正定性来判别线性时变系统的稳定性。
证明
设李雅普诺夫函数取为：
式中，
为连续的正定对称矩阵。取V（x,t）对时间的全导数，得：
即 （5） 式中
由稳定性判据可知，当 一个正定对称矩阵，则 定的。
为正定对称矩阵时，若
也是
判别其稳定性的问题。例如高阶的非线性系统或时变系统。
4
4.1
李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
线性定常连续系统渐近稳定判据
设线性定常连续系统为：
则平衡状态 证明书171页
为大范围渐阵A所有特征根均具有负实部等价于存在正定实对称矩阵P，使得ATP+PA<0
定理：线性连续定常系统
其平衡态xe=0大范围渐近稳定的充要条件为：任意给定正定实对称矩阵Q，若存在正定实对称矩阵P， 满足 则可取
Ax x
AT P PA Q
V ( x) xT Px
为系统的李雅谱诺夫函数。
运用时应注意： 1. 先选Q>0，之后代入李雅谱诺夫方程求取P，然后判定P的正定性，进而得出系统稳定与否的结论； 2. 通常选Q=I；

李雅普诺夫稳定性

李雅普诺夫稳定性

x bx5
这时线性化方法不能用来判断它的稳定性。
李雅普诺夫理论基础
例：证明下面单摆的平衡状态 ( , 0) 是不稳定的。
MR2 b MgR sin 0
式中 R 为单摆长度，M 为单摆质量， b 为铰链的摩擦系数，
g 是重力常数。(系统的平衡点是什么？)
在 的邻域内
sin sin cos ( ) h.o.t. ( ) h.o.t. 设 ~ ，那么系统在平衡点附近的线性化结果是
以速度 1 指数收敛于 x 0 。
例2：系统 x x2 , x(0) 1它的解为 x 1/(1 t)，是个慢于任 何指数函数 et ( 0) 的函数。
3、局部与全部稳定性
定义：如果渐近（或指数）稳定对于任何初始状态都能 保持，那么就说平衡点是大范围渐近（或指数）稳定的， 也称为全局渐近（或指数）稳定的。
李雅普诺夫理论基础
§2.2 线性化和局部稳定性
李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。
Lyapunou线性化方法说明：在实际中使用线性控制方法基
本上是合理的。
对于自治非线性系统 x f (x) ，如果 f (x) 是连续可微的,那
么系统的动态特性可以写成( f (0) 0 )：
x
f x
李雅普诺夫理论基础
第二章 Lyapunov理论基础
稳定性是控制系统关心的首要问题。
稳定性的定性描述：如果一个系统在靠近其期望工作点的某 处开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运动， 那么就把该系统描述为稳定的。
例如：单摆，飞行器 李雅普诺夫的著作《动态稳定性的一般问题》，并于1892
年首次发表。 1. 线性化方法：从非线性系统的线性逼近的稳定性质得出非

4 稳定性与李雅普诺夫分析

4 稳定性与李雅普诺夫分析

4.3 李雅普诺夫第二法
一、基本思想
李雅普诺夫第二法又称为直接法。
它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后,其储存的能量将随着 时间推移而衰减。当趋于平衡态时,其能量达到最小值。 反之,若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能量,其储 存的能量将越来越大。 基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的n维 状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函数随时间推移是
例：设系统的状态空间表达式为
1 0 1 x x u 0 1 1 y 1 0 x
4.2 李雅普诺夫第一法
解:由A的特征方程：
det(I A) ( 1)( 1) 0
可得特征值λ1=-1， λ2=+1 故系统的状态不是渐近稳定的.
性的最主要方法,并得到了进一步研究和发展。
– 本章将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅
普诺夫第一法和第二法的理论。
4.1
李雅普诺夫稳定性定义
一、 平衡状态
令u = 0，系统的状态方程为
f ( x, t ), x Rn x
x(t0) = x0
若对所有的t，状态x满足 x为平衡状态，记为xe。 f(xe，t）= 0
4.3 李雅普诺夫第二法
二、预备知识
1、二次型标量函数v(x)
设x1,x2,…xn为n个变量，定义二次型标量函数为：
v( x ) x Px x1
T
x2
p11 p xn 21 pn1
p12

p22 pn 2
p1n x1 x p2 n 2 pnn xn
4.1

李雅普诺夫稳定性分析

第六章 李雅普诺夫稳定性分析在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。

因为它关系到系统是否能正常工作。

经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。

分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。

1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。

§6-1 外部稳定性和内部稳定性系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。

一、外部稳定性1、定义（外部稳定性）：若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。

(外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明：（1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实常数k ，使得对于所有的[]∞∈0t ，恒有∞<≤k t h )(成立。

（2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。

2、系统外部稳定性判据线性定常连续系统∑),,(C B A 的传递函数矩阵为Cxy Bu Ax x=+=BUA sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+=B A sIC s G 1)()(--=当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。

【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121160 ， []x y 10= 试分析系统的外部稳定性。

李雅普洛夫稳定性分析


或任意正实数 0 ，都可以找到另一个正实数 ( , t0 ) 或球
域 S( ) ，当初始状态 x0 满足 x0 xe ( , t0 ) 时，对由此出发
的X的运动轨迹有
lim
t
x

xe

，
则称平衡状态
xe 在李雅普诺
夫意义下是稳定的。
如果 与初始时刻 t0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。
2 ）对于给定系统，如果存在李氏函数，它不是唯一的。用 第二法判稳时，找到一个李氏函数就可以。
3 ）李氏函数最简单形式是二次型 V ( x) xT Px ，P是正定实对 称方阵。
4.2 标量函数V(x)的符号性质 标量函数V(x)：
1）正定性：当且仅当x=0时，才有 V (x) 0 ；对任意 非零X，恒有 V (x) 0，则 V ( x) 为正定。
2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变 化所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于 线性系统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统， 只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只 和系统本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
2）平衡状态——状态空间中满足 X&e f ( X e ,t) 0 属性的一 个状态。
3）受扰运动——自治系统因初始扰动X0引起的一类状态运动。 用X0u(t)表示。其呈现为状态空间中从X0出发的一条轨线。
2 李亚普洛夫稳定性定义
2.1 系统的平衡状态 2.2 状态向量范数 2.3 李雅普诺夫意义下稳定性定义（4种）
对非线性系统 X f (X ,t)
当f (X,t)为与X 同维的矢量函数，且对X 具有连续偏导数，则可将

李雅普诺夫稳定性的基本定理


矩阵正定性的判别方法(1/5)
(3) 矩阵正定性的判别方法
判别矩阵的正定性(定号性)的方法主要有 ➢ 塞尔维斯特判别法、 ➢ 矩阵特征值判别法和 ➢ 合同变换法。
下面分别介绍。
矩阵正定性的判别方法(2/5)--塞尔维斯特定理
定理5-1(塞尔维斯特定理) (1) 实对称矩阵P为正定的充要条件 是P的各阶顺序主子式均大于零,即
上面定义了时不变函数V(x)的定号性,相应地可以定义标量时 变函数V(x,t)的定号性。
实函数的正定性(6/4)
定义5-7 设xRn,是Rn中包含原点的一个封闭有限区域,实函 数V(x,t)是定义在[t0,)上的一个标量函数且V(0,t)=0,标量 连续函数(||x||)和(||x||)为非减(函数值单调增加)的且满足 (0)=(0)=0,
目录
概述 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理 5.3 线性系统的稳定性分析 5.4 非线性系统的稳定性分析 本章小结
目录(1/1)
李雅普诺夫稳定性的基本定理(1/2)
5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理
本节主要研究李雅普诺夫意义下各种稳定性的判定定理和判 定方法。讨论的主要问题有:
李雅普诺夫第二法(2/3)
李雅普诺夫第二法又称为直接法。 ➢ 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 ✓ 若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后,其储存的能 量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时,其能量 达到最小值。
✓ 反之,若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能 量,其储存的能量将越来越大。
➢ 若对任意n维非零向量x,都有V(x)≥0,且V(0)=0,则称函 数V(x)为区域上的非负定函数。

5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析

本文详细探讨了非线性系统的李雅普诺夫稳定性，强调了与线性系统稳定性的差异。非线性系统可能具有多个局部渐近稳定的平衡态，使得稳定性分析更为复杂。文中重点介绍了克拉索夫斯基法，这是一种有效的非线性系统稳定性分析方法。通过构造特定的李雅普诺夫函数，并结合雅可比矩阵的性质，克拉索夫斯他分析方法。需要注意的是，克拉索夫斯基法仅为渐近稳定的一个充分条件，而非必要条件，其应用时需谨慎考虑系统的具体特性。本文的研究为深入理解离散系统李雅普诺夫稳定性提供了重要的理论基础和分析工具。
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克拉索夫斯基法(3/7)
V ( x ) [ f ( x ) f ( x )] f ( x ) f ( x ) x f ( x ) f ( x ) x x x f ( x) J ( x) f ( x) f ( x) J ( x) f ( x) ˆ ( x) f ( x) f ( x) J
克拉索夫斯基法(6/7)
例4-12 试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性:
3x1 x2 f ( x) x 3 x x x 2 1 2
(t ) f ( x ) x
克拉索夫斯基法(2/7)
定理5-11 非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充 分条件为
ˆ ( x ) J ( x) J ( x) J
为负定的矩阵函数,且
V ( x) x x f ( x) f ( x)
为该系统的一个李雅普诺夫函数。

由于 V ( x) f ( x) f ( x)为系统的一个李雅普诺夫函数,即
f ( x) f ( x) 正定。
ˆ (x)负定,则 V ( x, t ) f ( x ) J ˆ ( x) f ( x )必为负定。 因此,若 J
所以 , 由定理 5-4 知 , 该非线性系统的平衡态 xe=0 是渐近稳 定的。
0 1 ˆ J ( x) J ( x) J ( x) 1 14
不是负定矩阵 , 故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统 为渐近稳定的。
可见,该定理仅是一个充分条件判别定理。
克拉索夫斯基法(5/7)
若 V(x)=f(x)f(x) 正定 , 为 Lyapunov 函数 , 则说明只有当 x=0 时,才有V(x)=0,即原点是唯一的平衡态。 因此,只有原点是系统的由该定理判别出的渐 近稳定的平衡态一定是大范围渐近稳定的。 由克拉索夫斯基定理可知 ,系统的平衡态xe=0是渐近稳定 的条件是J(x)+J(x)为负定矩阵函数。 由负定矩阵的性质知 , 此时雅可比矩阵 J(x) 的对角线 元素恒取负值 , 因此向量函数 f(x) 的第 i 个分量必须包 含变量xi, 否则 , 就不能应用克拉索夫斯基定理判别该 系统的渐近稳定性。 将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知 :对称 矩阵A+A负定,则系统的原点是大范围渐近稳定的。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4)
本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。
由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在 统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难 的。 对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性 系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建 立李雅普诺夫函数的一般方法。 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(4/4)
由于非线性系统的Lyapunov稳定性具有局部的性质,因此在 寻找Lyapunov函数时,须通过将系统的坐标轴平移,将系统的 所讨论的平衡态移至原点。
在讨论稳定性时,通常还要确定该局部渐近稳定的平衡 态的范围。 下面分别讨论如下3种非线性系统稳定性分析方法。 克拉索夫斯基法 变量梯度法
更进一步 , 当 ||x||→∞ 时, 有||f(x)||→∞, 则该平衡态是大范围 渐近稳定的。 证明 当非线性系统的李雅普诺夫函数为
V ( x) x x f ( x) f ( x)
则其导数为
(t ) f ( x ) x
V ( x) x x f ( x) f ( x)
阿依捷尔曼法
克拉索夫斯基法(1/7)
5.4.1 克拉索夫斯基法
设非线性定常连续系统的状态方程为
(t ) f ( x ) x
对该系统有如下假设: 1) 所讨论的平衡态xe=0; 2) f(x)对状态变量x是连续可微的,即存在雅可比矩阵
J ( x) f ( x) / x
对上述非线性系统,有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯 基定理。
Ch.5 李雅普诺夫稳定性 分析
目录(1/1)
目 录
概述 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理
5.3 线性系统的稳定性分析
5.4 非线性系统的稳定性分析 5.5 Matlab问题
本章小结
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(1/4)
5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
克拉索夫斯基法(4/7)
在应用克拉索夫斯基定理时,还应注意下面几点。 克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件,不是必 要条件。 如对于渐近稳定的线性定常连续系统
x1 0 1 x1 x 2 7 x 2 2
由于
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(3/4)
对非线性系统的稳定性分析问题,目前切实可行的途径为:
针对各类非线性系统的特性,分门别类地构造适宜的 Lyapunov函数。如,
通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索夫斯 基法(也叫雅克比矩阵法)
针对特殊函数的变量梯度构造Lyapunov函数的变量 梯度法(也叫舒尔茨-吉布生法) 针对特殊非线性系统进行线性近似处理的阿依捷尔 曼法(也叫线性近似法)、鲁立叶法等。
在线性系统中,如果平衡态是渐近稳定的,则系统的平衡态是 唯一的,且系统在状态空间中是大范围渐近稳定的。 对非线性系统则不然。 非线性系统可能存在多个局部渐近稳定的平衡态(吸 引子),同时还存在不稳定的平衡态(孤立子),稳定性的 情况远比线性系统来得复杂。 与线性系统稳定性分析相比,由于非线性系统的多样 性和复杂性,所以非线性系统稳定性分析也要复杂得 多。