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第六章 李雅普诺夫稳定性分析在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。
因为它关系到系统是否能正常工作。
经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。
分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。
1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。
§6-1 外部稳定性和内部稳定性系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。
一、外部稳定性1、定义（外部稳定性）：若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。
(外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明：（1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实常数k ，使得对于所有的[]∞∈0t ，恒有∞<≤k t h )(成立。
（2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。
2、系统外部稳定性判据线性定常连续系统∑),,(C B A 的传递函数矩阵为Cxy Bu Ax x=+=BUA sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+=B A sIC s G 1)()(--=当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。
【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121160 ， []x y 10= 试分析系统的外部稳定性。
李雅普诺夫稳定性分析常微分⼤作业--李雅普诺夫稳定性11091059洪⼀洲从19世纪末以来，李雅普诺夫稳定性理论⼀直指导着关于稳定性的研究和应⽤。
不少学者遵循李雅普诺夫所开辟的研究路线对第⼆⽅法作了⼀些新的发展。
⼀⽅⾯，李雅普诺夫第⼆⽅法被推⼴到研究⼀般系统的稳定性。
例如，1957年，В．И．祖博夫将李雅普诺夫⽅法⽤于研究度量空间中不变集合的稳定性。
随后，J.P.拉萨尔等⼜对各种形式抽象系统的李雅普诺夫稳定性进⾏了研究。
在这些研究中，系统的描述不限于微分⽅程或差分⽅程，运动平衡状态已采⽤不变集合表⽰，李雅普诺夫函数是在更⼀般意义下定义的。
1967年，D.布肖对表征在集合与映射⽔平上的系统建⽴了李雅普诺夫第⼆⽅法。
这时，李雅普诺夫函数已不在实数域上取值，⽽是在有序定义的半格上取值。
另⼀⽅⾯，李雅普诺夫第⼆⽅法被⽤于研究⼤系统或多级系统的稳定性。
此时，李雅普诺夫函数被推⼴为向量形式，称为向量李雅普诺夫函数。
⽤这种⽅法可建⽴⼤系统稳定性的充分条件。
1.李雅普诺夫稳定性概念忽略输⼊后，⾮线性时变系统的状态⽅程如下),(t x f x= （1）式中，x 为n 维状态向量；t 为时间变量；),(t x f 为n 维函数，其展开式为 12(,,,,)i i n x f x x x t = n i ,,1 =假定⽅程的解为 ),;(00t x t x ，x 0和t 0 分别为初始状态向量和初始时刻，0000),;(x t x t x =。
平衡状态如果对于所有t ，满⾜0),(==t x f xe e （2）的状态x e 称为平衡状态（⼜称为平衡点）。
平衡状态的各分量不再随时间变化。
若已知状态⽅程，令0=x所求得的解x ，便是平衡状态。
对于线性定常系统Ax x= ，其平衡状态满⾜0=e Ax ，如果A ⾮奇异，系统只有惟⼀的零解，即存在⼀个位于状态空间原点的平衡状态。
⾄于⾮线性系统，0),(=t x f e 的解可能有多个，由系统状态⽅程决定。
