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线性系统的稳定性与稳定判据

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33-56 线性定常系统稳定性及劳斯稳定判据

33-56 线性定常系统稳定性及劳斯稳定判据
c t 1 1 1
2
tr
d tp d

1 2
c(tp ) c() Mp c(tp ) 1 e c ( )
ts 1
d
(ln
1 1 ln ) 2 1
ess
e
n t
n
, t 0
0 0
s
1
34.6
s
0
2.3 104
由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中 有两个根在 s 的右半平面，因而系统是不稳定的。
P83
例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0 试用劳斯判据判别该系统的稳定性。 解：列劳斯表 1 7 10
5 7 2 33 5 5
s4 s3
2 K 1 3
系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系
例9: 系统结构图如右， (1)确定使系统稳定的参数(K, )的范围; (2)当 =2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。 解: (1) G( s)
Ka s ( s 2 20 s 100)
Ka 100
K
D( s) s3 20 s 2 100 s 100K 0
s s2 s1 s0
3
1 20
2000 100 K 20
100 100K
0
0 K 20 K 0
100K
(2)当 =2 时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
当=2时，进行平移变换： s s 1
D( s) s 3 20 2 s 2 100s 100K 0
2
2 1 sin d t arctan

线性离散系统的稳定性判据

线性离散系统的稳定性判据

线性离散系统的稳定性判据(1) 修正劳斯—胡尔维茨稳定判据连续系统的劳斯—胡尔维茨稳定判据，是通过系统特征方程的系数及其符号来判断系统的稳定性。

这个方法实际上仍是判断特征方程的根是否都在s平面的左半部。

然而，在离散系统中，判断系统的稳定性，是判断系统特征方程的根是否全在z平面的单位圆内。

因此，离散系统不能直接应用劳斯—胡尔维茨判据来分析稳定性。

从理论上分析，利用关系式z=eTs，可以将z为变量的特征方程转换为以s为变量的特征方程。

但因为s在指数中，代换运算不方便。

为此，必须引入另一种线性变换。

将z平面单位圆内区域映射为另一平面上的左半部。

这样，就可以应用劳斯—胡尔维茨稳定判据来判断离散系统的稳定性。

为此，可采用双线性变换方法开展判断。

双线性变换Ⅰ：（1）式中w是复变量，由上式解得（2）或采用双线性变换Ⅱ：（3）或写成（4）此时（5）双线性变换Ⅱ与双线性变换Ⅰ一样，可以将z平面的单位圆变换成w平面的虚轴。

令w平面的虚轴为，则w平面的左半平面为稳定区域，为w平面的频率，且由上式可知其中为s平面的频率。

此时，s平面、z平面以及w平面的关系为图1 s平面、z平面及w平面映射关系当较小时有（6）即w平面的频率近似于s平面的频率。

这是采用双线性变换Ⅱ的优点之一。

另外，双线性变换Ⅱ也与下一章的双线性变换一致，故建议使用双线性变换Ⅱ。

通过z-w变换，就可以应用劳斯—胡尔维茨判据分析线性离散系统的稳定性。

胡尔维茨判据：由系统特征方程各系数组成的主行列式及其顺序主子式全部为正。

该方法随着系统阶数的增加，计算会变得复杂。

此时可以采用下面劳斯判据。

劳斯判据的要点是：①对于特征方程，若系数的符号不一样，则系统不稳定。

若系数符号一样，建立劳斯行列表。

②建立劳斯列表③若劳斯行列表第一列各元素严格为正，则所有特征根均分布在左半平面，系统稳定。

④若劳斯行列表第一列出现负数，系统不稳定。

且第一列元素符号变化的次数，即右半平面上特征根个数。

第六章 系统的稳定性

第六章 系统的稳定性

6.1 稳定性
1.稳定性的概念 只有稳定的系统才能正常工作。在设计一个系统时，首先要 保证其稳定；在分析一个已有的系统时，也首先要判定其是否 稳定。线性系统是否稳定，是系统本身的一个特性，而与系统 的输入量或扰动无关
6.1 稳定性
2.稳定的条件
6.1 稳定性
2.稳定的条件
6.1 稳定性
2.稳定的条件
a0 {( S P1 )( S P2 ) [( S 1 j1 )( S 1 j1 )][( S 2 j 2 )( S 2 j 2 )] } 0
即a 0 {( S P1 )( S P2 ) [( S 2 2 1 S 1 1 )][( S 2 2 2 S 2 2 )] } 0
例1
已知一调速系统的特征方程式为
S 3 41.5S 2 517 S 2.3 10 4 0
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解：列劳斯表
S3 S2 S1 S
0
1 41.5 38.5

4
517 2.3 10 4

0 0
2.3 10
结论： (1)该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的； (2) 且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半 平面。
6.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
幅角原理的简单说明 设有辅助函数为 其零、极点在S平面上的分布如下图 所示，在 S平 面上作一封闭曲线Γs ， Γs不通过上述零、极点， 在封闭曲线Γs 上任取一点F(s1) , 其对应的辅助函数 的幅角应为
当解析点S1沿封闭曲线Γs按顺时针方向旋转一周后再回到 s1 点，从图中可以发现，所有位于封闭曲线Γs 外面的辅助函数 的零、极点指向s1 的向量转过的角度都为0，而位于封闭曲 线Γs 内的辅助函数的零、极点指向s1 的向量都按顺时针方向 转过2π弧度（一周）。

§6.5系统稳定性及其判定 《信号与系统》课件

§6.5系统稳定性及其判定 《信号与系统》课件

1
ht 0 ht 0 ht 0
这表明 etht ht ,则响应 rt
r
t
h
et
d
r0
h
e
d
h
d
此式表明： 若
必要性得证。
ht
d
t无界，则
r0也无界
由H(s)的极点位置判断系统稳定性
1．稳定系统
若H(s)的全部极点位于s平面的左半平面（不包括虚 轴），则可满足
lim h(t) 0
t
系统是稳定的。
例如
1 , p0 s p
系统稳定；
1 s2 ps q
p 0, q 0 系统稳定；
2．不稳定系统
如果H(s)的极点位于s右半平面，或在虚轴上有 二阶（或以上）极点
lim h(t)
t
系统是不稳定系统。
3．临界稳定系统
如果H(s)极点位于s平面虚轴上，且只有一阶。 t , h为(t)非零数值或等幅振荡。
定义（BIBO）
一个系统，如果对任意的有界输入，其零
状态响应也是有界的，则称该系统有界输入
有界输出（BIBO）稳定的系统，简称稳定系
统。。
对所有的激励信号e(t)
et Me
其响应r(t)满足
rt Mr
则称该系统是稳定的。式中，
M
e
,对可积条件）：
ht d t M
号与系统 信
§6.5 系统稳定性及其判定
1.系统的稳定性
2.系统稳定性判据
引言
某连续时间系统的系统函数
Hs 1 0.001
s1 s2
当输入为u(t)时，系统的零状态响应的象函数为
0.005 1
Rzs

第五章劳斯稳定性判据

第五章劳斯稳定性判据
劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化， 去判别特征方程式根在S平面上的具体分布，过程如下：
如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程 式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的 次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应 的系统为不稳定。
C(s)

bmsm bm1sm1 sn an1sn1


b1s b0 a1s a0

xi
s
n1

aj
n2 i (s ii ) i i
1


2 i
j1 s p j i1
s2 2ii s i2
06-7-20
控制系统的稳定性分析
S4
2
12Biblioteka 16明该方程在S右半平面S3
0
0
0
8
24
上没有特征根。令 F(s)=0，求得两对大 小相等、符号相反的
S2
6
16
根 j 2 , j2
S1
8
0
3
，显然这个系统处于临界稳定状态。
06-7-20 S 0
16
控制系统的稳定性分析
23
劳斯判据特殊情况之三 特征方程在虚轴上有重根
如果特征方程在虚轴上仅有单根，则系统的响应是持续 的正弦振荡，此时系统既不是稳定的，也不是不稳定的，因 而称之为临界稳定；如果虚根是重根，则系统响应是不稳定
1.稳定性是控制系统自身的固有性质，这稳定性取决于系 统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关；
A：对线性系统，系统是大范围稳定的（与输入偏差无 关）；

机械工程控制基础(第5章_系统的稳定性)

机械工程控制基础(第5章_系统的稳定性)

（5.2.3）
武科大城市学院
机电学部
比较式（5.2.2）与式（5.2.3）可看出根与系数有如下的关系：
n an1 si an i 1
n a n2 si s j an i j
i 1, j 2
an3 an
i jk
s s s
i
n
j k
（5.2.4）
i 1, j 2 , k 3
n a0 n 1 si i 1 an
武科大城市学院
机电学部
从式（5.2.4）可知，要使全部特征根 s1 , s2 , , sn 均具有负实部，就必 须满足以下两个条件，即系统稳定的必要条件: (1)特征方程的各项系数 ai (i 0,1, 2,, n 1, n) 都不等于零，因为若有一 系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才 能满足式（5.2.4）中各式。 (2)特征方程的各项系数 ai的符号都相同，这样才能满足式(5.2.4)中各式。 按习惯，一般取 ai 为正值，因此，上述两个条件可归结为系统稳定 的一个必要条件，即
E 来越小，系统最终趋于稳定； ( s )
若反馈的结果，加强了E(s)的作用（即正反馈），则使 Xo(s) 越来越 大，此时，此闭环系统是否稳定，则视 Xo( s ) 是收敛还是发散而定。
武科大城市学院
机电学部
第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。
即讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即
武科大城市学院
机电学部
5.2.2 系统稳定的充要条件
1. Routh表
（1）将系统的特征方程式（5.2.1）的系数按下列形式排成两行：
an
an1ห้องสมุดไป่ตู้

系统的稳定性常见判据

系统的稳定性常见判据
实验？ 如果不稳定，可能导致严重后果
思路：
①特征方程→根的分布（避免求解） ②开环传递函数→闭环系统的稳定性
（开环极点易知，闭环极点难求）
稳定判据
二、Routh （劳斯）稳定判据
——代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）
1. 系统稳定的必要条件
设系统特征方程为： D(s) ansn an1sn1 a1s a0 0
s3
2 n
(
s
K
)
2
n s 2
2 n
s
K
2 n
特征方程：
D(s)
s3
2
ns2
2 n
s
K
2 n
0
即： D(s)=s3+34.6s2+7500s+7500K=0
由系统稳定的充要条件，有
s3
1
7500 0
s2
34.6
7500K 0
s1 34.6 7500 7500K
0
34.6
s0
7500K
0
(1) 7500K>0，亦即K>0。显然，这就是由必要条件所 34.6 7500 7500K 0
① 确定P
② 作G(j)H(j)的Nyquist图 ③ 运用判据
三、Nyquist 稳定判据
例1
三、Nyquist 稳定判据
例2 G(s)H (s)
(T12 s2
K (Ta s 1)(Tb s 1)
2T1s 1)(T2s 1)(T3s
1)
P=1
开环不稳定， 闭环稳定
三、Nyquist 稳定判据
② LF包围原点的圈数 = LGH包围（－1，j0）点的圈数 N=Z-P

线性稳定性

线性稳定性

i1
j 1
j
P3
P1
S平面
P2 P5
O 注意：稳定性与零点无关

Pn
P4
例. 试判断系统
C(S)
1
R(S) S 3 4S 2 5S 2
的稳定性。
解:
3 S

2 4S
5S
2

0
(S 1)(S2 3S 2) (S 1)2 (S 2) 0
• 系统稳定的定义，该系统是不 稳定的。
设系统特征方程为：
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 ((61-1(064－)-/614=))//-228==1 2
s6 1 3 5
劳
s5 2 s4 1
4 2
6 77
斯 s3 0ε --88
表
s2 2ε +8 7ε
s1 -8(2ε +8) -7ε 2
D(s) a 0s 2 a1s1 .a 2 0
二阶系统
a0>0时
1 a1 0
2

a1 a0
0 a 2 a1a 2 0
a0>0时, a1>0, a2>0(全部系数数同号)
三阶系统
D(s) a 0s3 a1s2 .a 2s a 3 0 a0>0时
s2
e1
s1
f1
s0
g1
D(s) a 0s n a1s n1 ... a n1s a n 0
a2 a4 a6 … a3 a5 a7 … b2 b3 b4 …
c2 c3 c4 …

第五章(劳斯和赫尔维茨稳定性判据)

第五章(劳斯和赫尔维茨稳定性判据)
用s=z-α代入原特征多项式， 再用劳斯判据判断其z多项式的 特征根情况。 s3+4s2+6s+4=0 a1a2＞a0a3 系统是稳定的，全部特征根 在S左半平， 检查是否有α=1的裕量。 s=z-α原s特征式得： z3+1z2+1z+1=0 a1a2=a0a3 系统临界稳
2
劳斯稳定性判据
学习要点： 2.能用劳斯判据判断系统的稳定性。 设系统的特征方程式为： 劳斯表：
劳斯稳定性判据
学习要点： 2.能用劳斯判据判断系统的稳定性。 设系统的特征方程式为：
劳斯判据：系统稳定的充分必要条件是系统闭环特 征方程各项系数均为正(必要条件)，且劳斯表的第一列 各元素均为正(充分条件)。 第一列的系数中如果出现负号，则劳斯阵列 表中第一列的系数符号改变的次数等于特征方程 的实部为正的实根数目，也就是特征根在根平面 右半部分的数目。
系统稳定的充分必要条件是系统闭环特征方程各项系数均为正必要条件且劳斯表的第一列系统稳定的充分必要条件是系统闭环特征方程各项系数均为正必要条件且劳斯表的第一列各元素均为正充分条件学习要点
劳斯稳定性判据
学习要点： 1.理解和运用线性系统稳定的充分必要条件 系统微分方程的特征根的全部根都是负实数或实部 为负的复数，即系统闭环传递函数的极点均位于S平面 10 左半面。 (s) s 5s 10 某系统闭环传递函数为 系统闭环传递函数的分母等于零所得方程式称为系 统的特征方程式。 系统的特征方程式为s2+5s+10=0 特征方程的根（闭环传递函数的极点）为： -2.5000 + 1.9365i -2.5000 - 1.9365i 以上是特征方程的四个特征根， 实部全为负，则系统是稳定的。

自动控制原理 第三章2：线性定常系统的稳定性

自动控制原理 第三章2：线性定常系统的稳定性

由于表中第三行只有一 个元素，且为零。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并 以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。
辅助多项式：F（S）=2S2+2 F’(s)=4S
辅助方程：F（S）=2S2+2=0
系统有两虚根
2019/9/15
第三章 线性系统的时域分析法
21
例如，一个控制系统的特征方程为
k 1
q
r
r
C(t) A0
Ajepjt
B eknkt k
sin nk
1k2t
C eknkt k
cosnk
1k2t
j 1
k 1
k 1
t0
(3 49)
稳态分量
瞬态分量 系统的结构和参数确定
一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用 下仍将继续保持稳定
判别特征方程式根在S平面上的具体分布，过程如下：
如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方 程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。
若劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等 于特征方程式的根在S的右半平面上的个数，系统不稳定。
2019/9/15
第三章 线性系统的时域分析法
15
例3-5 已知一调速系统的特征方程式为
2019/9/15
第三章 线性系统的时域分析法
系统不稳定，且有两 个根位于S平面的右 半平面上
19
2:劳斯表中出现全零行
某行所有的元素为零或某行仅有一个元素且为零
表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实 根或共轭虚根。
这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构 造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数 来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。

线性控制系统的几个稳定性判据

线性控制系统的几个稳定性判据

”
。
}>
n
。 ,a
几泣
劣
.
{ 1b K I }扮 位
l
’
}b }一
K
K
万
~
。 {
I
”
一
了
左之:
久 {夕 } 万
K叹
二
l
”
一
K
久 }
}
(
员;
18
)
由罗 竭 定 理 即知 方 程 ( 6
)在 单
叫内有
n
个根
,
从 而 ( 6 ) 的 根 全 部落 在 单 位
内
,
所 以 系统
稳定
。
推论
时
,
l
:
若 }b
。
,
l
,
)
1
(
15
)
,
2
,
我 们 用 反 证 法 来 证 明 定 理 的 结论
一 二
,
。
。
9 为此 反 设 (
)
式成 立 时
,
系统 不稳定
,
于 是 必 有 某
位于 单 位 圆 外
,
即
l田
另 一方 面
,
,
。
l>
…
,
l
。
由引 理
2
.
、
,
.
、:
,
。
K
二
均 位于 右半 平面 内 故又有
i bK
,
R
e
K 研 >
0
。
另 外 此 钊 据 只 是 稳 定性 的 一 个 充 分 性 判 据

自动控制原理 第五章稳定性

自动控制原理 第五章稳定性

2 n s( s 2n )
Y(s)
1 2 TTs 2Ts 1
时间常数
阻尼系数
自然振荡频率
2 2 n n G(s) 2 2 s 2 n s n ( s 1 )( s 2 )
1 (Ts ) 2 2Ts 1
1. 0 1 欠阻尼
Routh稳定判据分析举例
Routh 判据的应用 1，估计稳定裕量 例4 S3
S2 S1 S0
jω’
jω
s3 7 s 2 17 s 11 0
1 7 108 7 11 17 11 0 0 o’ σ0 设 s=s ´－σ0 ，若σ0 =1,用 s=s ´－ 1代入
( s' 1 )3 7( s' 1 )2 17( s' 1 ) 11 0
1 2 r( t ) t 2
1 R( s ) 3 s
和 r ( t ) sin t 时系统的稳态误差。
k G0 ( s ) s
1 2 求输入 r ( t ) t 2
(1)
sR( s ) 1 e ss lim lim 2 lim s 0 1 G ( s ) s 0 s G ( s ) s 0 1 0 0
动态响应：一个稳定系统，在一定输入信号作用下从初始状 态到稳态的过渡过程。
y(t)
1
σ%
2%
y(t)
理想动态响应
t
1
tr t p
动态品质指标： 1,上升时间tr 2,调整时间ts
ts
t
研究动态响应的方法 (1)数值解
快速性 平稳性
3,超调量σ%
(2)高价近似一二阶
5.3.1 阶跃响应指标

简述劳斯稳定判据内容

简述劳斯稳定判据内容

简述劳斯稳定判据内容
劳斯稳定判据是控制系统理论中常用的一种稳定性判据，用于判断线性时不变（LTI）系统的稳定性。

其判据是通过系统的
传递函数的分子和分母的系数来确定。

劳斯稳定判据的内容如下：
1. 将系统的传递函数表示为一个分式形式，其中分母是一个多项式。

2. 将分母多项式的系数按降序排列，如果存在某个系数为零，则将其设置为理想情况下小于零的一个极小值，例如-ε。

3. 按照以下步骤来构造劳斯表（一个方阵），其中每一行表示分母多项式的一个系数：
a. 第一行为分母多项式的系数。

b. 第二行为倒数第二行的系数乘以第一行的第一个元素除以
第一行的第一个元素的相反数，以此类推。

c. 每一行的系数先用倒数第二行的系数乘以第一行的第一个
元素除以第一行的第一个元素的相反数，然后再减去倒数第二行的第一个元素乘以第一行除以第一行的第一个元素的相反数，以此类推。

4. 判断系统的稳定性：
a. 如果劳斯表的首行（分母多项式系数）全为正，则系统稳定。

b. 如果劳斯表的首行有一个负元素，但是上一行（倒数第二行）全为正，则系统稳定。

c. 如果劳斯表的首行中有一个零元素，但是上一行全为正，
则系统边界稳定（不稳定的情况也可能发生）。

d. 如果劳斯表的首行有一个负元素，并且上一行中也有一个
负元素，则系统不稳定。

劳斯稳定判据是一种必要条件但不是充分条件，即如果劳斯判据判断出系统稳定，则系统一定是稳定的；但如果判断出系统不稳定，则系统可能是不稳定的，也可能是边界稳定的。

因此，在劳斯判据显示不确定的情况下，还需要进行其他稳定性判据的分析。

现代控制理论8_稳定性[1]

现代控制理论8_稳定性[1]

⎡ 10
解： V
( x)
=
[x1
x2
x3 ]⎢⎢ 1
1 2
− 2⎤⎡ x1 ⎤
−
1⎥⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
⎢⎣− 2 −1 1 ⎥⎦⎢⎣x3 ⎥⎦
∆1 = 10 > 0
10 ∆2 = 1
1 = 19 > 0 2
10 1 − 2 ∆3 = 1 2 −1 = 5 > 0
− 2 −1 1
P的各阶顺序主子式>0 ⇒ V (x) 正定
判别下列函数的符号性质：
例1
⎡ x1 ⎤
x
=
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
⎢⎣ x3 ⎥⎦
标量函数为： V (x) = (x1 + x2 )2 + x32
例2
⎡ x1 ⎤
x
=
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
⎢⎣ x3 ⎥⎦
标量函数为： V (x) = x12 + x22
¾ 二次型标量函数
二次型函数在李亚普诺夫第二法分析系统的稳 定性中起着非常重要的作用。
不求解系统方程，通过李雅普诺夫函数来直接判定 系统的稳定性。
不仅适合于单变量、线性、定常系统，还适合多变量、 非线性、时变系统。
二、李雅普诺夫关于稳定性的定义
1 平衡状态
系统的齐次方程：
x& = f (x,t)
定义是其平衡状态是 x& = 0 对应的那一类状态 xe ，即
x&e = f (xe ,t) = 0
局限性： 只适合于单输入单输出线性定常系统，不 适合于非线性，时变系统。
1892年，Lyapunov 提出判定系统稳定性的两种方法： 李雅普诺夫第一法、李雅普诺夫第二法。

武汉科技大学《机械工程控制基础》第五章系统的稳定性

武汉科技大学《机械工程控制基础》第五章系统的稳定性

X o (s) b0sm b1sm1 ... bm1s bm B(s)
X i (s) a0sn a1sn1 ... an1s an A(s)
k
B(s)
r
a0 (s pi ) (s ( j j j ))(s ( j j j ))
i 1
j 1
k
r
x0 (t) cie pit e jt Aj sin(djt j )
Xi(s) ＋ －
K (s 1)
Xo(s)
s3 as2 2s 1
系统产生持续振荡，说明系 统为临界稳定系统，则劳斯 行列式的第一列会出现0元素。
2 K K 1 0 K 1 a(K 2) a
GB (s)
(s
K (s a)( s 2
1) K
2)
s2 K 2 0 s j K 2 j2
稳定
不稳定
线性系统的稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身 的结构和参数，与输入无关。
以上定义只适用于线性定常系统。
5.1.1 稳定性的定义
稳定性的其他说法 ——
大范围渐近稳定：不论扰动引起的初始偏差有多大， 当扰动取消 后，系统都能够恢复到原有的平衡状态，否则就称为小范围(小偏 差)稳定。注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。
K 2, a 0.75
5.2 Routh (劳斯)稳定判据
课后作业
教材185~186 页： 5.3，5.4 5.7 (选做题)
5. 系统的稳定性
5.3 Nyquist稳定判据
Nyquist稳定性判据是利用系统开环频率特性G(j)H(j)来判断系统特征
方程1+G(s)H(s)=0 的根是否全部具有负实部，是一种几何判据，并且还 能够判断系统的相对稳定性。奈氏判据的依据是幅角原理。

第7章线性系统的稳定性分析

第7章线性系统的稳定性分析

(b)外加扰动
(c)系统稳定
(d)系统不稳定
临界稳定：扰动消失后，如果系统的输出与原始 平衡状态之间存在恒定偏差，或输出维持等幅振 荡，则系统处于临界稳定状态。
稳定
临界稳定
不稳定
说明： （1）在经典控制论中，将临界稳定视为不稳定。 原因： ①在进行系统分析时，所依赖的模型通常是简化或 线性化； ②实际系统参数的时变特性； ③系统必须具备一定的稳定裕量。
t o
则系统（渐近）稳定。
b1s m 1 bm 1s bm
(s p ) [s (
i i 1 j k 1
k
n
1
j
j j )][s ( j j j )]
令xi(t)=0，此时在扰动输入n(t)作用下系统的闭 环传递函数为：
X ( s) G2 ( s ) N ( s) o 2 N ( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )

b0 s m b1s m 1 bm 1s bm a0 s n a1s n 1 an 1s an
a0
b0 s m b1s m1 bm1s bm
(s p ) [s (
i i 1 j k 1
k
n
j
j j )][s ( j j j )]
假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号 δ(t)的作用，此时系统的输出为单位脉冲响应。这相当 于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题。 显然，当t→∞时，如果 lim x t 0
在控制工程中，一般取a0为正值。如果a0为负值， 则可在特征方程的两边同乘以-1使a0变成正值。则上述结 论可以归纳为：要使全部特征根s1、s2、…、sn都具有负 实部，则特征方程的各项系数a0、a1、a2、…、an均必须 为正值，即

线性系统的稳定性

线性系统的稳定性

设控制系统的特征方程式为
D( s ) = a0 s n + a1s n −1 + L + an −1s + an = 0
必要条件是 （1） 劳斯稳定判据给出控制系统稳定的必要条件是： ） 劳斯稳定判据给出控制系统稳定的必要条件 控制系统特征方程的所有系数 ai (i=0, 1, 2, …, n)均为 均为 正值，且特征方程式不缺项。 正值，且特征方程式不缺项。 （2）列劳斯表。 ）列劳斯表。
s ( s 2 + s + 1)( s + 2)
解： 系统的闭环传递函数为
C (s) K = 2 R( s ) s ( s + s + 1)( s + 2) + K
所以系统的特征方程为
D( s) = s + 3s + 3s + 2s + K = 0
4 3 2
列劳斯表如下: 列劳斯表如下
D( s ) = s + 3s + 3s + 2s + K = 0
s4 s3 s2 s1 s0 1 2 1 −6 5 3 4 5 5 0
由于该表第一列系数的符号变化了两 由于该表第一列系数的符号变化了两次, 因此该方 不稳定的 程中有两个根s右半平面, 故系统是不稳定 程中有两个根 右半平面 故系统是不稳定的。
例 2：系统如图所示，确定使系统稳定的 的取 ：系统如图所示，确定使系统稳定的K的取 值范围。 值范围。 K
ε
→ −∞ < 0
2.在劳斯表的某一行中， 出现所有元均为零的 在劳斯表的某一行中， 在劳斯表的某一行中 情况。 情况。 (1)先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程 先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程 先用全零行的上一行 (2)再将上述辅助方程对 求导 再将上述辅助方程对s求导 再将上述辅助方程对 (3)用求导后的方程系数代替全零行的元素，继 用求导后的方程系数代替全零行的元素， 用求导后的方程系数代替全零行的元素 续完成劳斯表。 续完成劳斯表。

线性系统理论(第五章)

线性系统理论(第五章)

x0 − xe
≤ δ ( ε , t 0 ) 的任一初态 x 0 出发的受扰
S (ε )
S (δ )
运动都同时满足不等式： 运动都同时满足不等式：
φ (t ; x0 , t0 ) − xe ≤ µ
∀ t ≥ t0 + T ( µ ,δ , t0 )
运动的有界性。 运动的有界性。
x0 xe
φ (t ; x0 , t0 )
001
系统运动的稳定性
讨论内部稳定性。 讨论内部稳定性。 李亚普诺夫方法（А.М.Ляпунов) Ляпунов) 李亚普诺夫方法（ 线性系统 定常系统 非线性系统 ； 时变系统 ； 离散时间系统。 离散时间系统。
连续时间系统
002
系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性 外部稳定性 考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入 u ( t ) ， 考虑一个线性因果系统， 即满足条件： 即满足条件：
G ( t ) 为其脉冲响应矩阵， ˆ ( s ) 为其传递函数矩阵，则系统 G 为其脉冲响应矩阵， 为其传递函数矩阵，
为 B I B O 稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数 k ， 稳定的充分必要条件是，
j = 1, 2 , L , p ) 均满足关系式： 均满足关系式：
G (t )
的每一个元
大范围渐近稳定为全局渐近稳定。 大范围渐近稳定为全局渐近稳定。 小范围渐近稳定为局部渐近稳定。 小范围渐近稳定为局部渐近稳定。 大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外， 大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外，不存在其它孤立平 衡点。 衡点。 线性系统渐近稳定==大范围渐近稳定 线性系统渐近稳定==大范围渐近稳定。 大范围渐近稳定。
006
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dF ( s ) 8s 3 96 s 0 ds
1 24 23 2 48 46 s3行中为零的项，为简化计 1 12 算，各项除以8，并计算以 下各行的系数，得劳斯阵为 24 46 121 1 s 新劳斯阵的第一列系数全为正，即系统特征方程中没有位于复平面右侧的根。 12 s 0 46
用导数方程的系数取代
s 3 3s 2 0
试应用判据判别实部为 正的特征根的个数。
s3 s2 s s
0
1 0
- 3 - 2
-3 2 0
改变一次

2
改变一次
有两实部为正的根。
b.劳斯表某行全为零
说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。
例：设系统特征方程为 ，s 46 0 s 5 2s 4 24 s 3 48 s 2 23
解: 列写劳 斯阵 :列 s s s s
4 3 2 1 0
1 2
23- 4 2
3 4 1 6 5 0
5 0
符号改变一次
14- 25 1
符号改变一次

s 5 Routh 阵列第一列符 号改 次 变 ,二
故有 两个实部 为正的根 。
a.某行第一个元素为零，其余均不为零。
例：设系统特征方程为 系统的稳定性。 ，试判别 s 4 2s 3 s 2 2 s 1 0
s5 s4 s3 s2
F (s) 2s 4 48s 2 46 0
解： （1）特征方程各项系数大于0
（2）列劳斯阵
1 1 1 2 2 0(用代替） 1 2 1 s 2 当ε→0时， ，该项符号为负，因此，劳斯阵中第一列系数符号改 0 s 1
s4 s3 s2
2
2

0
例 设系统的特征方程为 解
4、劳斯阵中出现全零行，表明系统存在一些大小相等，符号相反的实根或一些共 轭虚根。为继续计算劳斯阵，将不为零的最后一行的各项组成一个辅助方程，由该 方程对s求导数，用求导得到的各项系数来代替为零行的各项，然后继续按劳斯阵 的计算方法写出以下各行。
例1. 设有下列特征方程
s 4 2s3 3s2 4s 5 0 试用Routh判据判 别该 特征方程正 实 的 部根 个数 。
(S 1)(S
2
3S 2) (S 1) (S -1, S 3 -2 由 于 三 个 特 征 根 都 具负 有实 部 , 故系统稳定。
三．稳定判据
1.Routh稳定判据
系统的特征方程为
D(s) a n s a n -1s
必要条件:
n
n -1
... a 1s a 0 0
（1）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)都不为零；
（2）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)具有相同 的符号。 充分条件： 劳斯阵列第一列所有元素为正。
劳斯阵列 s n a n a n -2 a n -4 a n -6 ...... n -1 s a n -1 a n -3 a n -5 a n -7 ...... n -2 s b1 b 2 b 3 ....... n -3 s c1 c 2 ...... ...... ...... a n1a n2 a n a n3 a n1a n4 a n a n5 b1 b2 a n1 a n1 a n1a n6 a n a n7 b3 a n1 b1a n3 a n1b2 b1a n5 a n1b3 c1 c2 b1 b1
t t
M 0 (S ) D( S )
lim c(t )
线性系统稳定的充要条件： 闭环系统特征方程度所有根均具有负实部， 或其特征根全部位于s平面的左半部。
C(S) 1 例. 试判断系统 3 的稳定性。 2 R(S) S 4S 5S 2 解 : S 3 4S2 5S 2 0
2. Routh判据的特殊情况（几点说明）
１、为简化计算，用一个正整数同时乘以或除以某一行的各项，不改变稳定性的结论。
2、对于不稳定的系统，说明有特征根位于复平面的右侧，在复平面右侧特征根的
3、劳斯阵中出现某一行的第一列项为零，而其余各项不全为零，这时可以用一个有 限小的正数ε来代替为零的那一项，然后按照通常方法计算劳斯阵中的其余各项。列 出劳斯阵以后，观察第一列数值，当ε→0时，含ε项的符号与上、下行符号进行比较， 若系数符号相反，就说明有符号改变。
C(S) Si
M 0 (S) D(S)


i 1
n
Ai S Si
(i 1,2,3,...n )为 D(S) 0的根 ,
Si t A e i i 1 n
则C (t )
Ai ( S S i ) S Si 若ReSi 0 则 lim c(t ) 0 若ReSi 0 则
§3-5 线性系统的稳定性与稳定判据
一．稳定的概念与定义
定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过 程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定， 简称稳定；反之若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随 时间推移而发散，则称其不稳定。
二．线性系统稳定的充要条件
稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。
设 系 统 的 运动 方程 为 D(P)C (t) M(P)R(t) M f ( P ) f ( t ) 取拉式 变换 后有 C (S )
M(S) D(S)
R( S )
M f (S) D( S )
F (S)
M0 ( S ) D( S )
令 R(S ) 0, F(S ) 0,则
解：（1）特征方程各项系数大于0 （2）列劳斯阵
劳斯阵中 辅助方程为
将辅助方程对 s 求导数，得导数方程
s 5 1 24 23 s3 行的各项全部为零，为此用不为零的最后一行 ( s4 行)的各项组成 s 4 2 48 46 s3 0 0 0
F (s) 2s 4 48s 2 46 0