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第11课《牛郎织女(二)》精品配套练习(基础+阅读)-部编版五年级上册
11一、积累与运用1．看拼音，写词语。
dīng zhǔcuīcùfāshì chóu xièhòu huǐchí yánfú zhe bēng tā2．字音字形。
下列各组词语中加点字字音无误的一项是（）A．节俭（jiān）稀罕（hǎn）珊（shān）瑚岛B．兴衰（suāi）玉簪（zān）拗（ào）不过C．牛虻（mánɡ）竹筐（kuānɡ）惩（chěnɡ）罚D．依偎（wēi）眼眶（kuànɡ）裂（liě）开嘴3．下面句子中的省略号表示（ ）“我死以后，你把我的皮留着。
碰见什么紧急事，你就披上我的皮……”老牛没说完就死了。
A．话未说完。
B．说话时断断续续。
C．引文的省略。
D．重复词语的省略。
4．下列句子排序正确的一项是（ ）①牛郎受兄嫂虐待直至被赶走。
②牛郎织女过上男耕女织的幸福生活。
③牛郎得到老牛的指点，与织女结为夫妻。
④牛郎织女被狠心的王母娘娘拆散，每年只能见一面。
A．①②③④B．①③②④C．②①③④D．②①④③5．下列句子中，加点词语使用有误的一项是（）A．北京大兴国际机场内部设计不仅富丽堂皇，而且富有人性化和便利性。
B．用眼习惯不好，如看书的姿势不正确、经常看手机，日久天长就会影响视力。
C．老母鸡把雏儿护在身下，怒气冲冲地张开翅膀，吓住了前来骚扰的野猫。
D．小丽和爸爸妈妈相依为命，生活过得幸福美满。
6．五年级二班要举行“讲中国民间故事”比赛，轩轩同学找到下列故事，不符合本次主题的是（）A．《梁祝十八相送》B．《“丁曼之狮”松迪亚塔》C．《田螺姑娘》7．下列句子中，标点符号使用不正确的一项是（）A．织女心里恨极了，望着两个可爱的儿女，一时说不出话来，只喊了一句：“快去找爸爸”。
B．两个孩子听她这么说，就偎在她怀里，叫一声“妈妈”，回过头来又叫一声“爸爸”。
C．据说现在还能找到那块叫“海力布”的石头呢。
古代女子腰带名称
古代女子腰带名称
1. “哎呀，那丝绸腰带好漂亮呀，就叫它‘流云带’吧！”就像我过生日时，妈妈给我系上的那条粉色丝带一样，那么好看。
2. “哇，这条腰带真精致，叫它‘如意带’好了。
”就好像我去参加舞蹈表演时，老师给我系上的那条有着精美装饰的腰带一样呢。
3. “嘿，这条可以叫做‘翡翠带’呀！”这让我想起了奶奶给我的那个翡翠吊坠，都是那么绿莹莹的。
4. “看这条腰带，叫它‘蔷薇带’多合适！”就如同我家院子里那盛开的蔷薇花的藤蔓呀。
5. “哇塞，这条腰带叫‘凤凰带’吧！”就跟我在电视里看到的凤凰的羽毛一样绚丽呢。
6. “这条腰带肯定得是‘玲珑带’啦！”好比我那小巧玲珑的芭比娃娃身上的装饰带哟。
7. “哎呀呀，这条就叫‘彩霞带’嘛！”这不就跟傍晚天边的彩霞一个样嘛。
8. “嘿，那这条就是‘幽兰带’咯！”像极了我在画里看到的那优雅的兰花的姿态呀。
9. “哇哦，这条叫‘星月带’好啦！”就仿佛夜晚天空中的星星和月亮一样迷人呀。
10. “哈哈，这条腰带就叫‘百花带’吧！”不正像春天花园里那五彩缤纷的百花吗？
我的观点结论是：古代女子的腰带名称真是丰富多彩呀，每一个都那么有韵味，让人充满了想象！。
第11课《牛郎织女(二)》(分层作业)-【上好课】 五年级语文上册同步高效课堂系列 (统编版)
第11课牛郎织女（二）分层作业【参考答案】【积累与运用】1．C【详解】本题考查字音的辨析。
A．有误，衰suāi老——（shuāi）。
B．有误，箩筐kuàng——（kuāng）。
C．正确。
D．有误，惩chěng罚——（chéng）。
2．C【详解】本题考查字形易错字。
A．历害——厉害。
B．哀老——年轻。
选项C没有错别字。
故选C。
3．流传传奇相传传来【详解】本题考查选词填空。
相传：（动）长期以来相互传奇的。
传奇：（名）口头流传下来的故事。
流传：（动）事迹或作品等从历史上传下来并传播开去。
传来：消息或者声音传到耳边。
（1）结合词义，可知，句中形容牛郎与织女的故事在民间，应选：流传。
（2）结合词义，可知，句中形容一段秀丽的什么，应选：传奇。
（3）结合词义，可知，句中形容很久以前，这里是一片海洋，应选：相传。
（4）结合词义，可知，句中形容他接到北京怎么来的消息，应选：传来。
4．C【详解】本题考查对课文内容的理解。
依据阅读课文可知，A、B、D说法正确。
C．有误，结合“日久天长，王母娘娘也拗不过她，就允许她每年农历七月七日跟牛郎会一次面”可知，“织女知道自己和王母娘娘抗争也没有用，只好妥协了。
”说法错误。
5．⑦⑥②①④⑤③【详解】本题考查文章内容理解及分析力量。
首先要把握整片文章的大致内容，思考题目中的大致内容，抓住要点，利用关键信息进行概括。
阅读课文后，依据每一段内容进行解答即可。
题中要求将《牛郎织女》的故事情节串联起来。
《牛郎织女》为中国古代有名的汉族民间爱情故事，也是我国四大民间传奇之一，从牵牛星、织女星的星名衍化而来。
传奇王母娘娘的孙女织女擅长织布，每天给天空织彩霞。
她厌烦这枯燥的生活，就偷偷下到凡间，私自嫁给河西的牛郎，过上男耕女织的生活。
此事惹怒了王母娘娘，把织女捉回天宫，责令他们分别，只允许他们每年的农历七月七日在鹊桥上相见一次。
他们坚贞的爱情感动了喜鹊，很多喜鹊飞来，用身体搭成一道跨越天河的喜鹊桥，让牛郎织女在天河上相见。
七年级人教版语文下册：第二单元8木兰诗习题
8 木兰诗01 积累运用1．下列加着重号的字，读音完全正确的一项是(A)A．可汗．(hán) 机杼．(zhù)燕．山(yān)B．朔．气(shuò) 金柝．(tuò) 胡骑．(qí)C．鞍鞯．(jiān) 云鬓．(bìn) 军帖．(tiē)D．辔．头(pèi) 阿姊．(jiě) 戎．机(róng)(解析：B项“骑”应读为“jì”；C项“帖”应读为“tiě”；D项“姊”应读为“zǐ”。
) 2．解释下列句中加着重号的词语。
(1)唯．闻女叹息唯：只(2)问女何所忆．忆：思念(3)昨夜见军帖．．军帖：军中的文告(4)愿为市．鞍马市：买(5)旦．辞爷娘去旦：早晨(6)朔．气传金柝朔：北方(7)出郭相扶将．．扶将：扶持(8)著．我旧时裳著：穿3．下列句子中，加着重号的词的意义相同的一项是(D)A．①东市．买骏马②愿为市．鞍马B．①昨夜见军帖．②对镜帖．花黄C．①愿．为市鞍马②愿．驰千里足D．①军书十二．．卷．．卷②策勋十二(解析：A.①集市，②买；B.①文吿，②同“贴”；C.①愿意，②希望；D.均表示多数，不是确指。
)4．把下列句子翻译成现代汉语。
(1)万里赴戎机，关山度若飞。
远行万里，投身战事，像飞一样地越过一道道关塞山岭。
(2)朔气传金柝，寒光照铁衣。
北方的寒气传送着打更的声音，寒冷的月光照着冰冷的铠甲。
(3)将军百战死，壮士十年归将军和壮士从军多年，经历了千百次战斗，有的死了，有的胜利归来。
(4)双兔傍地走，安能辨我是雄雌？雄雌两兔贴近地面跑，怎能辨别哪只是雄兔，哪只是雌兔呢？5．对下列各句的修辞手法及其作用分析不正确的一项是(B)A．阿爷无大儿，木兰无长兄。
(对偶，突出了木兰的忧虑。
)B．双兔傍地走，安能辨我是雄雌？(设问，突出了识别的困难。
)C．东市买骏马，西市买鞍鞯，南市买辔头，北市买长鞭。
(排比，写出了操办的急切，渲染了紧张气氛，同时又显得井然有序。
十一月优美句子200句
十一月优美句子200句十一月优美句子1.当凋零的树叶随着清凉的秋风，从眼前划过一道道优美的弧线，在空中旋转起舞的时候，秋天的气息已被渲染的越来越浓烈。
2.金秋的阳光温馨恬静，侗乡的秋风和煦轻柔，蓝天白云飘逸悠扬。
3.金秋十一月，碧空如洗，凉爽舒适。
路边的野花随风摇摆，默默祝福着秋的收获。
4.金秋十一月，树上那稀稀拉拉的叶子，干得像旱烟叶一样。
大地妈妈敞开宽阔的胸怀像是在迎接、拥抱归来的孩子，落叶回到大地妈妈的怀里，甜蜜地跟泥土睡在一起。
5.金秋十月，碧空如洗，凉爽舒适。
路边的野花随风摇摆，默默祝福着秋的收获。
6.金秋十月是收获的季节，收获金黄，收获火红，收获翠绿，收获希望……7.金色的蝴蝶呀!你是在为谁而翩翩起舞呢?花儿没有了笑容，青草失去了光泽。
哦，我明白了，你是在为园子里那眨着眼睛的小雏菊。
8.黎明初晓，微露柔光，十一月的清晨，秋风徐徐，爬起来，阳光早已投向房间的边角，空气中弥漫着淡淡的味道，推开窗，天际的浑云渐渐散去，晨曦露出一双明媚的眼，缤纷朝霞缓缓渲染开，慢慢的一圈又一圈，如此清晰的足迹，将我的思绪拉长9.那年的十一月，那段的十一月，已经整整一年了，我清晰的记得那年的寒冷是不能用今年的寒冷来形容，冰冷的风不带一点间隙的从四面八方汹涌而来，天空总是阴沉沉的，每天都在下着细雨，寒冷又叫人绝望。
10.那些葱茏滴翠的日子越走越远，枯叶堆满了季节的`街头，墨染的山水褪色为忧伤。
11.秋风呼呼的，一阵阵地吹着，树叶纷纷沉落，漫天飞舞着，连同飞扬的尘埃，把上苍搅得灰濛濛的一片。
冬天就要来了。
12.十一月的北风，扛着凛冽的战旗把大地一扫而光，草们抓紧底部仅有的希望相互取暖，断枝残荷芦絮飞花正在与浪漫划清界线。
13.十一月的风,是夹带忧愁的风;十一月的雨,是收获感伤的雨;十一月的季节,是黄叶飘洒的季节。
我是忧愁的寒风,你是风中的发丝,我走过,你便流连张望,我追逐,你却越飘越远.绝望之余,我停下脚步14.秋雨潇歇，朔风猎猎，光线苍白着脸打听大地的温度，天，试探性地降下一场寒霜，地，灰白参杂，五彩尽失。
十一月句子寄语200句
十一月句子寄语200句十一月句子寄语1、曾经的那些泪水，只是为了让我们学会辨别。
再见十月2、无论去哪儿，什么天气，记得带上自己的阳光。
再见十月3、十月再见，十一月你好。
所有的美好都会不期而遇。
4、十月重要过去，零点忙着嗨的我只好此刻再发。
十月好长好累又好欣慰，一个月过去，没有回家，没有一个早早安睡过的夜晚，忙碌奔波于我的世界中心，和他们发生不同轨迹的碰撞摩擦。
十月，你好、再见。
十一月，看见你真好。
5、喜欢一个人其实挺简单的，你笑了，我也就笑了。
再见十月6、熟悉你所有的坏习惯，看透了你所有的丑样子，但是还是爱你!再见十月7、面对美好的未来不如面对残酷的现在。
再见十月8、一直牵着彼此的手，你不离，我不弃，直到生命的尽头。
再见十月9、 11月你好!过去十月够忙、够累11月将更辛苦。
努力吧!一切都会好起来的。
10、我有一个很爱我不管我怎么闹都不会离开我的爱人。
再见十月11、怕什么，没有月色有星辰，没有山河你有我。
12、觉得自己做的到和不做的到，其实只在一念之间。
再见十月13、十月，再见告别眼泪迎来笑容。
你好，11月。
希望能幸福，毕竟本月射手月相信会有好运传播给我的。
14、所谓永恒的爱，是从花开一直到花落，从红颜一直爱到白发。
再见十月15、我想我会保持微笑，继续走完我为走完的路。
再见十月16、爱你才会和你一起拼搏，不然何苦拿青春赌明天。
再见十月17、阳光正好，微风不燥，你也在笑，真想就这样伴你到老。
再见十月18、所有我脑海中能想到的美丽的邂逅，全部在这个盛夏上演。
再见十月19、继续做自己热爱的事情，为心中的小梦想努力。
十月再见，十一月你好。
20、十月再见!十一月你好，十一月，请对我们好一点，十一月，请给我们多一点幸运吧!21、最美的不是夕阳，而是夕阳下同你一起走过的时光。
再见十月22、再见十月，你好十一月。
匆匆走过本年度十个月，慢慢走好本年度最后两个月。
23、十一月你好，十月再见。
要过一点属于自己的生活。
形容古代美女
❖ 一件 粉白色的 长袍、腰束 紫色的宽边腰带， 外面套着一件半透明 的丝制长衫 ，显出 欣 长高挑 的身材。袖口和裙摆 都有着莲花绣 饰 。脸上略施粉黛 、气质若兰 。举手投足 间、尽是儒雅 。腰间 垂着 一个 紫色、绣着 莲的 香囊。 手中 握着一把 折扇、轻轻煽动 、 头上，却依是 布满 细密的汗珠。 乌黑的 长 发、垂至腰际 、头上 仅戴了 一支 莲花簪
❖ 着一件浅水蓝的裙，长发垂肩，用一根水蓝 的绸束好，玉簪轻挽，簪尖垂细如水珠的小 链，微一晃动就如雨意缥缈，上好的丝绸料 子随行动微动，宛如淡梅初绽，未见奢华却 见恬静。眉清目秀，清丽胜仙，有一份天然 去雕饰的自然清新，尤其是眉间唇畔的气韵， 雅致温婉，观之亲切，表情温暖中却透着几 分淡淡的漠然
❖ 一袭青色衣裳,一件青色的石榴裙,外批一袭青色纱 衣,肩上有一条用上好的淡淡的黄色丝绸做成的披风， 穿上与裙子绝配，裙上绣着白色的百合,那白里透着 点红,就犹如那白皙红润的脸庞,上层头发盘成圆状，
插着几根镶着绿宝石的簪子下层将三千青丝散落在
肩膀上,耳坠也是镶着绿宝石的,白色的玉颈,带着珍 珠和绿宝石相间的项链,为玉颈添了不少风采,白皙 的脸庞上粉嫩的朱唇显得娇小,可爱,为白皙的脸庞 添加了不少风韵,那玉手小心翼翼的拿着那紫檀琴, 散发这丝丝香气
❖ 乌黑的头发，挽了个嫔妃髻，髻上簪着一支珠花的 簪子，上面垂着流苏，她说话时，流苏就摇摇曳曳 的。她有白白净净的脸庞，柔柔细细的肌肤。双眉 修长如画，双眸闪烁如星。小小的鼻梁下有张小小 的嘴，嘴唇薄薄的，嘴角微向上弯，带着点儿哀愁 的笑意。整个面庞细致清丽，如此脱俗，简直不带 一丝一毫人间烟火味。她穿着件白底绡花的衫子， 白色百褶裙。坐在那儿儿，端庄高贵，文静优雅。 那么纯纯的，嫩嫩的，像一朵含苞的出水芙蓉，纤 尘不染。
关于心爱之物的古诗名句
关于心爱之物的古诗名句
1.愿君多采撷，此物最相思。
—— 王维《相思》
2.玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知。
—— 温庭筠《南歌子》
3.投我以木瓜，报之以琼琚。
——《诗经・卫风・木瓜》
4.投我以木桃，报之以琼瑶。
——《诗经・卫风・木瓜》
5.投我以木李，报之以琼玖。
——《诗经・卫风・木瓜》
6.何以结恩情？美玉缀罗缨。
——《诗经》
7.何以结相于？金薄画搔头。
——《西京杂记》
8.何以致区区？耳中双明珠。
——《三国志》
9.何以慰别离？耳后玳瑁钗。
—— 未知
10.何以道殷勤？约指一双银。
—— 繁钦《定情诗》
11.何以致契阔？绕腕双跳脱。
—— 繁钦《定情诗》
12.何以致拳拳？绾臂双金环。
—— 繁钦《定情诗》
13.何以答欢忻？纨素三条裙。
—— 繁钦《定情诗》
14.龙香小柄琵琶弯，切玉玲珑约指环。
—— 朱彝尊《湖上鸳鸯棹
歌》
15.暗淡轻黄体性柔，情疏迹远只香留。
—— 李清照《鹧鸪天・暗
淡轻黄体性柔》。
谈一谈中国服饰文化
4. 宋元时期创造了织金工艺，锦缎中用 金配色，图案富有鲜明的立体感 5. 明清丝织工艺精美绝伦 杭州、嘉兴、湖州等地以丝织品闻名天下 民间刺绣工艺也得到空前发展
古代翻译观与纺织的同构
译之言易也，谓以所有易所无也。譬诸枳桔焉，由 易土而殖，桔化为枳，桔枳之呼虽殊，而辛芳干叶 无异。又如西域尼拘律陀树，即东夏之杨柳，名虽 不同，树本是一……翻也者，如翻锦绮，背面俱花 ，但其花有左右不同耳。 堂· 吉诃德说阅读译本就象从反面来看花毯。
（一）从上衣下裳到深衣
衣，衣也。上曰衣，下曰裳。 ——《说文解字》
华夏族上衣形制多为交领右衽 、袂长而肥大 领：衣领 衽：衣襟 袂：衣袖 缘：衣的饰边， 忌间色用正色 间色：调和的颜色， 如：橘红等 正色：原色，如：大红等
（一）从上衣下裳到深衣
2. 周代上衣款式种类较多
常见的有“襦” 分“长襦（褂）”与“短襦（腰襦）” 又有单、夹之分，有面有里的襦称“复襦” 贴身穿的上衣的名称：亵衣、中衣、私 冬季御寒的服装还有：裘、袍 裘：毛向外的皮衣 袍：形制与复襦相近。 当时战士冬季穿袍，贵族多穿裘， 裘中以狐裘、羔裘最为名贵 贫民百姓穿褐（褐以粗麻布制成，短且狭） 岂曰无衣，与子同袍 —— 《诗经· 秦风· 无衣》 无衣无褐，何以卒岁。 —— 《诗经· 豳风· 七月》
簪——骨簪、玉簪（玉搔头、碧玉簪）、金 银簪等 钗——由簪演变而来，簪单股，钗双股 胜——新嫁娘多以胜为首饰 步摇——簪上垂珠 耳饰——环与坠 项饰——串珠与璎珞
（五）配饰、首饰与面妆
耳坠
步摇 青玉项链
玉搔头
（五）配饰、首饰与面妆
手饰——指环和手镯。
指环又称“约指”、“戒指”把指环作 为定亲信物的风俗南北朝时由关外传入。 手镯又称“钏” 发式——常见的有：高髻式、拧旋式、盘叠 式、结椎式等
十一月份恩施的穿衣建议
十一月份恩施的穿衣建议嘿，宝子们！如果十一月份你打算去恩施玩，那这穿衣可大有讲究呢。
恩施的十一月啊，就像一个变脸比翻书还快的小戏精。
早上起来的时候，那冷飕飕的空气就像小冰刀似的往你身上划，你要是穿得单薄，就感觉自己像没穿衣服在冰窖里裸奔一样。
所以，厚外套那是必须的。
一件厚实的羽绒服就像是你的移动小暖炉，把你紧紧包裹起来，让那些冷空气只能在外面干瞪眼。
中午的时候呢，这个小戏精又开始作妖了。
太阳有时候会跑出来，那热度就像小火苗一样舔着你，要是还穿着早上那一身厚家伙，你就会觉得自己像个被蒸的大包子，热得浑身冒汗。
这时候就可以把羽绒服敞开，或者换一件轻便的风衣，风衣就像是潇洒的侠客披的披风，让你在中午的恩施既能保暖又能耍帅。
到了晚上，我的天呐，那寒冷就像潮水一样又涌了回来。
毛衣就像是你忠诚的小卫士，紧紧贴着你的身体，把温暖都锁在里面。
要是再配上一条长长的围巾，那围巾就像是温柔的小蛇，缠在脖子上，给你最贴心的呵护。
还有啊，裤子可得穿厚点。
那种加绒的裤子就像是毛茸茸的小熊腿，暖和得不得了。
要是你只穿个单裤，那双腿就像两根冰棍儿，冻得哆哆嗦嗦的，走路都不利索，像个刚学步的小企鹅。
帽子也是个好东西呢。
在恩施的十一月，帽子就像是你的小城堡，把你的脑袋保护起来，不让冷空气钻进去捣乱。
特别是那种有耳罩的帽子，就像给耳朵装上了小盾牌，让耳朵不会被冻得红彤彤像两个小灯笼。
鞋子也要讲究。
厚底的靴子就像是踩在云朵上的神器，不仅能隔绝地面的寒气，还能让你在恩施的小道上走得稳稳当当。
要是穿个薄鞋子，就像踩在冰面上，那感觉，酸爽得就像吃了一大把超级酸的柠檬。
总之呢，在十一月份的恩施，穿衣就像一场和天气斗智斗勇的游戏。
你得准备好各种装备，随时应对这个像调皮孩子一样变化无常的天气。
这样，你才能在恩施玩得开心，而不是被冻得或者热得像个热锅上的蚂蚁或者冰窖里的青蛙。
宝子们，可一定要穿对衣服哦！。
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PA+ATP=-Q
的正定矩阵P。
证明过程为： 对任意给定的正定矩阵 Q, 构造矩阵 P 如下
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a)
由矩阵指数函数 eAt 的定义和性质知, 上述被积矩阵函数
的各元素一定是具有 t k e t 形式的诸项之和, 其中 是 A 的特征值。
所以，对任意的t，下式均成立:
At e (P P )e 常数 1 2 ATt
令 t=0 和 t=T(0), 则有
P 1 -P 2 e
ATT
AT (P P )e 常数 1 2
由定理11-7可知，当 P1 和 P2 为满足 Lyapunov 方 程的正定矩阵时，则系统为渐近稳定的。
即为状态空间原点;
2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的，则 一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统，其Lyapunov函数一定可以选取为二 次型函数的形式。
上述第 3) 点可由如下定理中得到说明。 定理11-7 线性定常连续系统
x’=Ax
的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为: 对任意给定的一个正定矩阵Q，都存在一个正定矩阵P 为下述Lyapunov方程(Lyapunov equation) 的解 PA+ATP = -Q
方程的唯一解的推论。
推论11-1 如果线性定常系统 x’=Ax 在平衡态 xe=0是渐近稳 定的, 那么Lyapunov代数方程
PA+ATP=-Q 对给定的任意正定矩阵Q，存在唯一的正定矩阵解P。 证明 用反证法证明。
即需证明: Lyapunov代数方程有两个正定矩阵解, 但该 系统是渐近稳定的。
本小节将讨论对线性系统,包括 线性定常连续系统 线性定常离散系统 线性时变连续系统 如何利用Lyapunov第二法及如何选取Lyapunov函数来 分析该线性系统的稳定性。
11.4.1 线性定常连续系统的稳定性分析
设线性定常连续系统的状态方程为 x’=Ax 这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时, 系统有且仅有一个平衡态xe=0,
根据渐近稳定性定理(定理11-4), 即证明了系统的平衡态 xe=0是渐近稳定的, 于是充分性得证。
(2) 再证必要性。 Necessity. 即证明: 若系统在xe=0处是渐近稳定的, 则对任意给定的 正定矩阵Q, 必存在正定矩阵P满足矩阵方程 PA+ATP=-Q 证明思路： 由正定矩阵Q构造满足矩阵方程
因此，必要性得证。
上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简 便方法，该方法
不需寻找Lyapunov函数,
不需求解系统矩阵 A 的特征值, 只需解一个矩阵代数方程即可，计算简便。 该矩阵方程又称为Lyapunov矩阵代数方程。 由上述定理, 可得如下关于正定矩阵 P 是Lyapunov矩阵
设Lyapunov代数方程有两个正定矩阵解 P1 和 P2, 则将 P1 和 P2 代入该方程后有 P1A+ATP1=-Q
P2A+ATP2=-Q
两式相减，可得 (P1-P2)A+AT(P1-P2)=0 因此，有
AT t At 0 e [( P e (P 1 -P 2 ) A A (P 1 -P 2 )]e 1 -P 2 )e AT t T At
因为系统是渐近稳定的, 则矩阵 A 的所有特征值
的实部一定小于零, 因此上述积分一定存在, 即P 为 有限对称矩阵。
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a )
又由于
Q 正定,
矩阵指数函数 eAt 可逆, 则由方程 (4-a)可知，P为有限的正定矩阵。 因此，P 为正定矩阵。
故系统矩阵 A 为渐近稳定的矩阵，矩阵指数函
数 eAT 将随着 T→ 而趋于零矩阵，即
由上节知, Lyapunov第二法是分析动态系统的稳定性的有效 方法, 但具体运用时将涉及到如何选取适宜的Lyapunov函数
来分析系统的稳定性。
由于各类系统的复杂性，在应用Lyapunov第二法时， 难于建立统一的定义Lyapunov函数的方法。
目前的处理方法是，针对系统的不同分类和特性，分别 寻找建立Lyapunov函数的方法。
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a )
将矩阵 P 的表达式 (4-a) 代入矩阵方程 PA+ATP = -Q 可得:
PA A P e Qe dtA A
T AT t At 0 T
0
e Qe At Tt At AT t e Qe dt e Qe At 0 dt Q
并且正定函数V(x)=xTPx 即为系统的一个Lyapunov函数。
证明 (1) 先证充分性。Sufficiency. 即证明，若对任意的正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足 方程 PA+ATP=-Q, 则平衡态xe=0是渐近稳定的。 证明思路： 由于P正定, 选择正定函数 V(x)=xTPx为 Lyapunov函数 计算 Lyapunov函 数V(x)对时间t 的全导数V’(x) 通过判定V’(x) 的定号性来判 定平衡态xe的 稳定性
11.4 线性定常系统的 Lyapunov稳定性分析
本节主要研究Lyapunov方法在线性系统中的应用。 讨论的主要问题有:
基本方法: 线性定常连续系统的Lyapunov稳定性分析
矩阵Lyapunov方程的求解 线性时变连续系统的Lyapunov稳定性分析 线性定常离散系统的Lyapunov稳定性定理 及稳定性分析
证明过程为： 已知满足矩阵方程 PA+ATP=-Q 的正定矩阵P存在，故令
V(x)=xTPx.
由于V(x)为正定函数，且V(x)沿轨线对时间t的全导数为 V’(x)=(xTPx)’ =(xT)’Px+xTPx’ =(Ax)TPx+xTPax =xT(ATP+PA)x =-xTQx 而Q为正定矩阵，因此V’(x)为负定函数。