2018-2019数学北师大版选修1-1 第二章1.2 椭圆的简单性质(二) 课件(33张)

即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
Y
因为2a>2c，即a>c，所以
a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中
b>0，代入上式可得： b2x2+a2y2=a2b2
F1
O
(-c,0)
M (x,y) F2 X
(c,0)
两边同时除以a2b2得：
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)
这个方程叫做椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。
YM
F1
O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
Y
F2(0 , c)
M
O
X
F1(0,-c)
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
椭圆的标准方程的再认识：
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。 （4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在
即: (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
所以 (x c)2 y2 2a (x c)2 y2
两边平方得: (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
即: a2 cx a (x c)2 y2
两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
教材例2 ： 已知B、C是两个定点，|BC|=6，
且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。

焦点的 位置
范围
焦点在 x 轴上 |x|≤ a， |y|≤ b
焦点在 y 轴上 |y|≤ a， |x|≤ b
顶点 (_±__a_，__0_)_(_0_，__±__b_) _(_0_，__±__a_)_(_±__b_，__0_)
轴长
长轴长＝ __2_a__，短轴 长＝ __2_b___
焦点
__(_±__c_，__0_)___
得 a2＝148，b2＝37 或 a2＝52，b2＝13.
故所求椭圆的标准方程为
x2 ＋y2 ＝1 或y2 ＋x2 ＝1.
148 37
52 13
【名师点评】 在求椭圆方程时，要注意根 据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确 定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标 轴，则应进行讨论．
变式训练
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y 轴上，a＝2，离心率 e＝1；
变式训练 1.已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的一个顶点 为(－1，0)，求这个椭圆的长轴和短轴的长、 焦点和顶点坐标、离心率．
解： (－ 1， 0)在椭圆上，∴m＝ 1， ∴椭圆为 x2＋4y2＝1 即 x2＋y2＝1，
1
4
∴ a2＝ 1， b2＝1， c2＝ 1－1＝3，
4
44
∴长轴 2a＝2，短轴长 2b＝1，
10 5 焦点在 y 轴上时，椭圆标准方程为y2 ＋x2＝1.
10 5
(3)设椭圆的标准方程为xa22＋yb22＝ 1(a>b>0)或 ya22＋xb22＝ 1(a>b>0)．
由已知 a＝2b.①
又过点 (2，－ 6)，因此有
2a22＋（－b26）

C.
23，1
D.34，1
解析 (1)以线段A1A2为直径的圆是x2＋y2＝a2，又与直线bx－ay＋2ab＝0相切，
所以圆心(0，0)到直线的距离 d＝ a22a＋b b2＝a，整理为 a2＝3b2，即ba＝ 13.
∴e＝ac＝ a2a－b2＝
1－ba2＝
1－
132＝
6 3.
(2)设左焦点为F0，连接F0A，F0B， 则四边形AFBF0为平行四边形. ∵|AF|＋|BF|＝4，
(1)过 A(2，1)的直线 l 与椭圆相交，求 l 被截得的弦的中点轨迹方程； (2)求过点 P12，12且被 P 点平分的弦所在直线的方程.
解 (1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是M(x，y).
x221＋y12＝1，① x222＋y22＝1，② ①－②得yx22－ －yx11＝－2（xy22＋＋xy11）＝－2xy，所以－2xy＝yx－ －12， 化简得 x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆x22＋y2＝1 内部的部分). (2)由(1)可得弦所在直线的斜率为 k＝－2xy＝－12，
满足∠AMB＝120°，则 m 的取值范围是( )
A.(0，1]∪[9，＋∞)
B.(0， 3]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞)
D.(0， 3]∪[4，＋∞)
解析 (1)设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
依题意知，当三角形的高为b时面积最大， 所以12×2cb＝1，bc＝1，而 2a＝2 b2＋c2≥2 2bc＝2 2 (当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.
－a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b)

6
知识点二 椭圆的标准方程
思考1
椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么 关系？ 答案
椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点 间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆， a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角 形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半. a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.
1 2 3 4 405
规律与方法
1.平面内到两定点 F1，F2的距离之和为常数 ，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当 2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2| 时，轨迹不存在. 2.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解， 也可以通过椭圆的定义进行求解. 3.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标 准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0， B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.
答案
固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键.
思考2
在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件 吗？ 答案 笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长.
5
梳理
把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于 常数(大于|F1F2|) 的点的集 合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间 的距离叫作椭圆的焦距.
41
本课结束
42
x2sin α＋y2cos α＝1，可化为
x2 1
＋
y2 1
＝1，
sin α cos α
1 sin
α>co1s