湖南省娄底市第一中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题

娄底市2020年第一学期期中考试高二(理科)数学试题时量：120分钟 总分：150分 一、选择题（每小题5分，每小题只有一个正确选项） 1．在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos A aB b=，则 ABC ∆一定是( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 2．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝（2+）bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝12，那么关于x 的方程x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B ．有两个相等实根 C ．有两个不等实根D ．不能确定有无实根4．若a <b <0，c >d >0，则一定有( )A.a c >b dB.a c <b dC.a d >b cD.a d ＜b c5．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则关于x 的不等式bx 2－ax －2>0的解集为( )A ．{x |－2<x <1}B ．{x |x >1或x <－2}C ．{x |x >2或x <－1}D ．{x |x <－1或x >1}6．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的周长为2(2＋1)，且sinB ＋sinC ＝2sin A ，则a ＝ ( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 27．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，2) C ．(－∞，3] D ． (－∞，3) 8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40， S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．189．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( ) A ．2 B ．±2 C ．4 D ．±410．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32 D ．211．若lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，则xy 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．412．已知两定点A (-2,0),B (1,0),若动点P 满足|PA|=2|PB|,则点P 的轨迹所围的面积等于( ) A.9πB.8πC.4πD.π二、填空题（每小题5分）13．命题“若A ∉l ，则B ∈m ”的逆否命题是________.14.在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝，则的值为________．15.“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面210 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是______秒．16．已知直线l :+=1,M 是直线l 上的一个动点,过点M 作x 轴和y 轴的垂线,垂足分别为A,B,点P 是线段AB 的靠近点A 的一个三等分点,点P 的轨迹方程为________________. 三、解答题17．（本题满分10分） 在△ABC 中，A ∠ =60°，c =37a . （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积.18．（本题满分12分）设命题:p 实数x 满足，其中0a >，命题:q 实数x 满足302x x -≤-. （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围. （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.19．（本题满分12分）已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .20．（本题满分12分）设不等式mx2－2x－m＋1＜0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．21．（本题满分12分）某厂有一批长为18m的条形钢板，可以割成1.8m和1.5m长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润.22．（本题满分12分）已知F1，F2分别是椭圆C：错误！未找到引用源。

2020-2021学年湖南省部分重点高中高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．命题“4x ∀>，2log 2x >”的否定是（ ） A ．04x ∃>，20log 2x ≤ B ．4x ∀>，2log 2x ≤ C ．04x ∃≤，20log 2x ≤ D ．4x ∀≤，2log 2x ≤【答案】A【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】命题“4x ∀>，2log 2x >”为全称命题，该命题的否定为“04x ∃>，20log 2x ≤”.故选：A. 2．抛物线2116y x =的准线方程是（ ） A ．4y = B ．8y =C ．4y =-D ．8y =-【答案】C【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可. 【详解】化为标准方程为216x y =， 易知该抛物线的准线方程为4y =-. 故选：C.3．已知,x y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且ˆ0.6y x a=+，则ˆa =（ ）A ．4.2B ．4.6C ．4.7D ．4.9【答案】D【分析】求出,x y ，利用样本点的中心必过线性回归方程，代入求解即可. 【详解】由表可得，12345 5.567783, 6.755x y ++++++++====，代入回归直线0.6ˆˆyx a =+， 得ˆ6.70.63a =⨯+， 解得ˆ 4.9a=. 故选：D.4．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 22sin cos 0b A a A B -=，则ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】B【分析】利用二倍角公式以及0A π<<，可得cos cos 0b A a B -=，再利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可判断. 【详解】由sin 22sin cos 0b A a A B -=， 得2sin cos 2sin cos 0b A A a A B -=， 即()2sin cos cos 0A b A a B ⨯-=. 又0A π<<， 则sin 0A ≠，cos cos 0b A a B -=，由正弦定理得sin cos cos sin 0B A B A -=， 即()sin 0B A -=，因为角,,A B C 在ABC 中， 所以A B =. 故选：B.5．已知{}n a 是等差数列，且12894,6a a a a +=+=，则这个数列的前9项和等于（ ） A ．45 B ．452C ．55D ．552【答案】B【分析】利用等差数列的性质得到195a a +=，再利用等差数列的前n 项和公式求解即可.【详解】数列{}n a 是等差数列，且12894,6a a a a +=+=， 则128910a a a a +++=， 所以195a a +=，所以()19994522a a S +⨯==.故选：B.6．已知正数,m n 满足1250.2m n -=，则12m n+的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．12【答案】B【分析】由指数函数的性质得出22m n +=，然后由“1”的代换配出积为定值，应用基本不等式求得最小值．【详解】由1250.2m n -=，可得2255m n --=，所以22m n +=，1211214424(2)224222n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当,112m n ==时，取得等号. 故选：B ．7．已知平面向量(1,1),(2,2)m n λλ=+=+，则“43λ>-”是“,m n 的夹角为锐角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】根据,m n 的夹角为锐角，可得0m n ⋅>，且,m n 不共线，由此列出不等式组即可求出λ的范围，再根据集合法判断充分条件和必要条件即可. 【详解】若,m n 的夹角为锐角，则0m n ⋅>，且,m n 不共线，则2220m n ⋅=+++>λλ，且2(2)(1)0-++≠λλ，解得43λ>-且0λ≠.所以“43λ>-”是“,m n 的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B【点睛】结论点睛：本题考查了已知向量夹角求参数的范围，可按如下规则转化： (1)若向量11(,)ax y ，22(,)b x y 的夹角为锐角，则12120a b x x y y ⋅=+>且12210x y x y -≠；(2) 若向量11(,)ax y ，22(,)b x y 的夹角为钝角，则12120a b x x y y ⋅=+<且12210x y x y -≠；8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F，过原点O 作斜率为3的直线交C 的右支于点A ，若1223F AF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．31+C ．23102+D ．3210+【答案】D【分析】推导出112FOA F AF ，可计算出12F A c =，利用余弦定理求得21022AF c-=，进而可得出该双曲线的离心率为1212F F e AF AF =-，即可得解. 【详解】题可知123FOA π∠=，121AFO F AF ∠=∠，112FOA F AF ∠=∠，112FOA F AF ∴△△， 所以11112FO F A F AF F =，可得12F A c =.在12F AF 中，由余弦定理可得22212121222cos3F F AF AF AF AF π=+-⋅， 即2222220AF c AF c ⋅-=，解得21022AF =.双曲线的离心率为1212F FeAF AF===-.故选：D.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.二、多选题9．已知抛物线2:4C y x=的焦点为F，点()00,M x y)在抛物线C上，若||4MF=，则（）A．03x=B．y=C．||OM=D．F的坐标为()0,1【答案】AC【分析】先求出焦点F的坐标，再利用抛物线的焦半径公式以及点在抛物线上即可求出00,x y，即可判断.【详解】由题可知：(1,0)F，由014MF x=+=，2004y x=，所以003,x y==±OM===故选：A C.10．已知,,a b c是三条不重合的直线，平面,αβ相交于直线,,c a bαβ⊂⊂，若,a b为异面直线，则下列说法可能成立的是（）A．a与c相交，且b与c也相交B．//aβ，且//bαC．//a c，且b与c相交D．a c⊥，且b c⊥【答案】ACD【分析】根据异面直线的定义与判定判断各选项．【详解】在画异面直线时，用平面衬托直线，一般有如下作法：,a b 是异面直线，且各画在一个平面内，前面一个图形说明A ，D 均可能成立，后面一个图形说明C 可能成立， 既然有⋂=c αβ，则B 就是不可能成立的， 故选：ACD.11．已知点()1,1P -是角α终边上的一点，则（ ）A ．函数()()sin 2f x x α=+的对称轴方程为()382k x k Z ππ=+∈B ．函数()()sin 2f x x α=+的对称轴方程为()82k x k Z ππ=+∈C ．函数5()cos 34g x x πα⎛⎫=++⎪⎝⎭是奇函数 D ．函数5()cos 34g x x πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数 【答案】AD【分析】α为第四象限角得tan 1α=-，所以 ()24k k Z παπ=-+∈，可求得()f x 的对称轴方程，可对()g x 的奇偶性进行判断.【详解】根据题意知角α为第四象限角，且tan 1α=-，则()24k k Z παπ=-+∈，所以()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()242x k k Z πππ-=+∈，解得()382k x k Z ππ=+∈，所以函数()()sin 2f x x α=+的对称轴方程为()382k x k Z ππ=+∈，()()5cos 3cos 3cos34g x x x x παπ⎛⎫=++=+=- ⎪⎝⎭为偶函数. 故选：AD.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，解题的关键点是由P 点坐标求出角α，可得()f x 和()g x 的解析式，要熟悉三角函数的性质才能对选项作出正确的判断.12．已知ln ln x y >，1x ≠，1y ≠，01m <<，则（ ） A ．m mx y > B ．()()111log 1log y x x m y m +++<+ C ．xym m x y > D ．log log 1x m m y ⋅>【答案】AB【分析】由对数函数单调性知0x y >>；令()mf t t =，根据幂函数单调性知A 正确；令()ln f t t t =，利用导数确定()f t 单调性，确定()()()()1ln 11ln 10x x y y ++>++>，结合ln 0m <和换底公式可确定B 正确；由反例可知CD 错误.【详解】由ln ln x y >得：0x y >>.对于A ，令()mf t t =，又01m <<，()f t ∴在()0,∞+上单调递增，m mx y ∴>，A正确；对于B ，令()ln f t t t =，则()ln 1f t t '=+，∴当10,e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f t '<；当1,t e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f t '>；∴当10,e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f t 单调递减；当1,t e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f t 单调递增；0x y >>，111x y ∴+>+>，()()()()1ln 11ln 10x x y y ∴++>++>， ()()()()1101ln 11ln 1x x y y ∴<<++++，01m <<，ln 0m ∴<，()()()()ln ln 1ln 11ln 1m mx x y y ∴>++++，()()()()1ln 1ln ln 1ln 1y m x m x y ++∴>++，即()()111log 1log y x x m y m +++<+，B 正确； 对于C ，x ymmxy >等价于()()11yx mmxy>，当4x =，3y =时，3464y x ==，4381xy ==，此时0yxx y <<，令()1mf t t =，由01m <<知：()f t 在()0,∞+上单调递增，()()6481f f ∴<， 即()()yxf xf y <，y x mmxy ∴<，C 错误；对于D ，若2x =，12y =，12m =，则21log log 12x m ==-，121log log 12m y ==， 此时log log 10x m m y ⋅=-<，D 错误. 故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数单调性确定不等关系的问题，解题关键是能够根据每个选项不同的特点构造出不同的函数，根据初等函数单调性或利用导数确定函数单调性，进而确定选项所给的不等关系的正误.三、填空题13．在等差数列{}n a 中，已知143,1a a =-=，则7a =_______. 【答案】5【分析】直接利用等差中项求解即可. 【详解】因为147,,a a a 成等差数列， 所以1742a a a +=， 即74125a a a =-=. 故答案为：5.14．已知椭圆2211612x y +=的左、右焦点分别为12,,F F AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF 的周长是___.【答案】16【分析】根据椭圆的定义求解． 【详解】由椭圆的定义知12122,2,BF BF a AF AF a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩所以22||416AB AF BF a ++==.故答案为：16．15．已知函数1,0()ln ,0x x f x x x -⎧=⎨>⎩，若函数()()g x f x a =+恰有一个零点，则a 的取值范围是______. 【答案】(,1)-∞【分析】依题意画出函数图象，函数()()g x f x a =+的零点转化为函数()y f x =与y a =-的交点，数形结合即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为1,0()ln ,0x x f x x x -⎧=⎨>⎩，函数图象如下所示，令()0f x a +=，得()f x a =-，即函数()y f x =与y a =-的交点，结合函数图象可知，1a ->-，解得1a <，即(),1a ∈-∞-故答案为：(),1-∞-【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过函数31x y x =-图象的对称中心，若椭圆C 的离心率13,23e ⎛∈ ⎝⎭，则C 的长轴长的取值范围是_____________.【答案】9⎛ ⎝⎭【分析】用分离常数法求得函数的对称中心，代入椭圆方程得,a b 的关系，变形后得221911a e=+-，然后由e 的范围得出2a 的范围． 【详解】因为31xy x =-可化为111393y x =+⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以曲线31xy x =-的对称中心为11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，把11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程22221x y a b+=，得2211199a b +=，整理得22222221911a c a a c e -==+--.因为1,23e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2759,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而2,93a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：9⎛ ⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆长轴长的范围．解题关键是建立长半轴长a 与离心率e 的关系式，求出函数对称中心代入椭圆方程，利用222b a c =-进行转化是是解题的基本方法．四、解答题17．在①212AB BD ==，②sin BAD ABD ∠=∠，D 为BC 的中点，③6DAB π∠=，AB =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求AC 的长；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC ，在ABC 中，4ACB π∠=，点D 在线段BC 上，10AD =，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析【分析】选择条件①：由余弦定理可得5cos 9B =，进而可得sin 9B =，再由正弦定理即可得解；选择条件②：由正弦定理可得BD D =，进而可得102CD ，再由余弦定理即可得解；选择条件③：由余弦定理得10BD =，进而可得3ADC π∠=，再由正弦定理即可得解.【详解】选择条件①：212AB BD ==，10AD =，在ABD △中，由余弦定理可得2225cos 29AB BD AD B AB BD +-==⋅，又()0,B π∈，∴sin 9B ==， 在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB ACC B=，∴12sin sin 2AB BAC C⨯===选择条件②：在ABD △中，由sin BAD ABD ∠=∠可得BD ==，又D 为BC 的中点，∴102CD ，在ADC 中，由余弦定理得2222cos AD CD AC CD AC ACB =+-⋅∠， ∴210020020AC AC =+-，∴10AC =； 选择条件③：在ABD △中，由余弦定理可得2222cos 100BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=， 即10BD =，则10AD BD ==，23ADB π∠=，3ADC π∠=， 在ADC 中，由正弦定理得sin sin AD ACC ADC=∠，可得sin sin AD ADC AC C ∠==18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c C 为锐角，且3,ab ABC =的面积为4. （1）求角C ；（2）若ABC外接圆的半径为3，求ABC 的周长. 【答案】（1）60；（2）9.【分析】（1）由三角形面积公式可求得C ；（2）由正弦定理可得c ，然后由余弦定理得出,a b 的关系，结合3ab =可直接求得+a b ，从而得三角形周长．【详解】（1）因为13sin sin 224ABCSab C C ===，所以sin 2C =， 又C 为锐角，所以60C ︒=. （2）设ABC 外接圆的半径为R，则2sin 3c R C ==，所以4c ==. 因为2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-， 所以216()9a b =+-，解得5a b +=， 所以549a b c ++=+=，即ABC 的周长为9.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理与余弦定理解三角形．考查三角形面积公式．已知一边及其对角，可用正弦定理建立边角关系，也可由余弦定理建立另两边的关系，解题时需要根据具体条件具体要求选择． 19．记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，32n a +是6和124n S +的等比中项，且12a ≠. （1）求{}n a 的通项公式； （2）若等比数列{}n b 的公比为12，且123111,,2b b b -成等差数列，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）32n a n =-；（2）3442n nn T +=-. 【分析】（1）先由题设231()6()224n n a S ⇒+=+，又21131()6()224n n a S --+=+，2n ，两式相减整理得：13n n a a --=，2n ，再求得1a ，即可得到：数列{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列，进而求得n a ；（2）先由题设求得n b ，进而求得n n a b ，再利用错位相减法求得其前n 项和即可．【详解】（1）因为32n a +是6和124n S +的等比中项，所以231624n n a S ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭①， 当2n 时，21131624n n a S --⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭②，由①-②得2211336622n n n n a a S S --⎛⎫⎛⎫+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2213322n n a a -⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13322n n a a --=+或者133022n n a a -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭（舍去），故13(2)n n a a n --=，数列{}n a 为等差数列.因为21131624a S ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，解得11a =或12a =（舍去），所以数列{}n a 是首项为1、公差为3的等差数列，所以32n a n =-.（2）由123111,,2b b b -成等差数列，可得1321122b b b +-=， 可得23122q b q +-=，又12q =，所以112b =， 所以12n n b =.由（1）得322n n nn a b -=，所以234147103222222n nn T -=+++++，2345111471035322222222n n n n n T +--=++++++， 两式相减得23411111113232222222n nn n T +-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭， 所以123111111111323213222131313112222222212n n n n n n nn n n T ---⎛⎫- ⎪---⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-=+⨯-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-3442nn +=-. 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．20．2020年“国庆、中秋”国内游持续升温，某大型游乐公司在做好疫情防控的同时，积极进行游乐设备的升级改造，并决定开设一个大型综合游乐项目，预计整套设备每天需要10000元的维护费，每位游客游玩的票价为400元.如果每天有x 人游玩该项目，需要另投入成本2120,0500,2()3600000410100000,500,x x x x f x x x x x ⎧+<<∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩N N（单位：元）.同时为了满足防疫要求，规定该游乐项目每天游玩人数不能超过800.（1）求该游乐项目每天的利润y （元）关于每天游玩该项目的人数x 的函数关系式； （2）当每天游玩该项目的人数x 为多少时，该游乐公司获利最大？【答案】（1）2138010000,0500,23600001090000,500800,x x x x y x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N ；（2）600.【分析】（1）由票价收入减去投入成本和维护费可得利润函数；（2）分段求出最大值，一个由二次函数性质得最大值，一个由基本不等式得最大值，然后比较可得．【详解】（1）当0500x <<时，2211400201000038010000(0500,)22y x x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-<<∈ ⎪⎝⎭N ；当500800x 时，3600000360000400410100000100001090000(500800,)y x x x x x x x ⎛⎫=--+-=-++∈ ⎪⎝⎭N .所以2138010000,0500, 23600001090000,500800,x x x xyx x xx⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++∈⎪⎪⎝⎭⎩NN；（2）由（1）可得，当0500x<<时，221138010000(380)6220022y x x x=-+-=--+，当380x=时，max62200y=. 当500800x时，36000036000010900002090000120009000078000 y x xx x⎛⎫=-++-⋅+=-+= ⎪⎝⎭，当且仅当600x=时，max78000y=.综上，当每天游玩该项目的人数x为600时，该游乐公司获利最大，为78000元.【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数模型的应用．利用票价收入减去投入成本和维护费即得利润可得出函数解析式，然后分段求得最大值后比较．解题时注意对不同的表达式选取不同的方法求最值，目的是求解简捷．21．如图，四棱锥P ABCD-的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，点E是AB的中点，过点E作平行于平面PAD的截面，与直线,,CD PC PB分别交于点,,F G H.（1）证明：//GH EF.（2）若四棱锥P ABCD-的体积为83，求四边形EFGH的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）32.【分析】(1)根据线面平行的判断定理可得//BC平面PAD，再由平面//PAD平面EFGH，可得//BC平面EFGH，再由线面平行的性质定理可得//BC GH和//BC EF，即可证出//GH EF；(2)根据四棱锥P ABCD-的体积为83，可求出2PD=，再根据面面平行的性质定理可得//EH PA ，//FG PD ,从而可得四边形 EFGH 为直角梯形，根据梯形面积公式即可求出四边形 EFGH 的面积.【详解】（1）证明：因为//,BC AD BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//BC 平面PAD ，又平面//PAD 平面 EFGH ，BC ⊄平面 EFGH ，所以//BC 平面 EFGH ， 又BC ⊂平面PBC ，平面PBC平面EFGH GH =，.所以//BC GH ,同理，//BC EF ， 所以//GH EF . （2）由18433P ABCD V PD -=⋅⋅=，得2PD =. 因为平面//PAD 平面 EFGH ，且平面PAB ⋂平面EFGH EH =，平面PAB ⋂平面PAD PA =，所以//EH PA ，同理//FG PD ,又点E 是AB 的中点，可知,,G H F 分别为,,PC PB CD 的中点， 所以2EF =，1GH =，1GF =,又PD ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，所以PD EF ⊥,所以FG EF ⊥， 所以四边形EFGH 为直角梯形，所以四边形EFGH 的面积为(12)1322+⨯=. 【点睛】关键点点睛：本题求四边形EFGH 的面积的关键是根据面面平行的性质定理，证出//EH PA ，//FG PD ,进而证出四边形EFGH 为直角梯形.22．已知椭圆22:221(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别是12,F F，点M 为椭圆下上动点，12F MF △面积的最大值为1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M 是椭圆C 的上顶点，直线1MF 交椭圆C 于点N ，过点1F 的直线l (直线l 的斜率不为1)与椭圆C 交于P Q 、两点，点P 在点Q 的上方．若11:3:2F MPF NQS S=，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）770x +=．【分析】（1）由12F MF △面积的最大值为1可得1bc =，再结合离心率即可求出,a b ，得出椭圆方程；（2）联立直线1MF 与椭圆可得41,33N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，进而得出1113NF MF =，再结合11:3:2F MPF NQSS=可得112QF PF =，再设出直线l 方程，利用韦达定理可求出.【详解】（1）12F MF △面积的最max 12112122S F F b c b bc =⋅=⋅⋅==又2c a =，所以b c =，解得11b c =⎧⎨=⎩．即1a b ==，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）由题可得直线1MF 的方程为1y x =+，联立22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得41,33N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则1113NF MF =， 因为11:3:2F MP F NQSS=，则111111121sin sin 232NF QF QF N MF PF PF M ∠∠⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 得112QF PF =，当直线l 的斜率为0时，不符合题意，故设直线l 的方程为()()11221,,,,x my P x y Q x y =-，由点P 在点Q 的上方，则212y y =-联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222210m y my +--=，则1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩得12121212y y y y y y +=-⎧⎨=-⎩，则22221222m m m -⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，得22,77m m ==± 又1212202m y y y m +==-<+，则m =m = 故直线l的方程为770x ++=．【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.。

的取值范围是（
）
A．
63 25
,
9
B．3, 21
C．
63 25
,
21
D．3, 27
二、多选题
9．已知空间中三点 A2,1, 1 ， B1,0,2 ， C 0,3, 1 ，则（ ）
uuur A． AB 11
B． AB AC
C． cos ABC 11 19
D．A，B，C 三点共线
10．已知直线 l : kx y 2k 0 和圆 O : x2 y2 16 ，则（ ）
．
D．若 F 是线段 A1C 上一动点，则 AF 与 A1B 所成角的最大值为 90 ．
12．公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把
5 1 2
5 1 2
0.618
称为黄金数．离
心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若黄金双曲线 E : x2 y2 1(a 0) 的 a2
左､ 右顶点分别为 A1, A2 ，虚轴的上端点为 B，左焦点为 F，离心率为 e，则（ ）
量
uuur AD
与向量
uuur BC
的夹角为120
，则线段
MN
长为（
）
A． 3
B． 7
C． 3 或 7
D．3 或 3 3
4．若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x 3y 0 和 x 轴都相切，则该圆的 标准方程是（ ）
A． (x 3)2 ( y 1)2 1
B． (x 2)2 ( y 1)2 1
A．0
B．1
C．2
D．3
2．已知空间向量
r a
3,
4,
0
，
r b
3,1,

6．（2020·绥滨县第一中学高二期中）哲学史上存在着“两
个对子”。下列选项中能正确体现“两个对子”的是（ ）
①世界的发展是“绝对精神”的自我运动——存在就是被感知
②气者，理之依也——未有此气，已有此理
③人病则忧惧，忧惧则鬼出——天地合而万物生
④世异则事异，事异则备变——天不变，道亦不变
A．①④
B．①③ C．②③ D．②④
10．（2021·赣州市赣县第三中学高二开学考试）德
国古典哲学创始人康德认为，人是万物的尺度。下列名
句中与该观点基本一致的是（ ）
①美是理念的感性显现——黑格尔
②“元气”才是唯一的存在——柳宗元
③万物皆备于我——孟子
④天地合而万物生，阴阳接而变化起——荀子
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
【答案】B
C．②→④→③
D．①→②→③
【答案】C
【详解】哲学的发展史上，唯物主义经历了三种基本形态，即古 代朴素唯物主义、近代形而上学唯物主义、辩证唯物主义和历史 唯物主义。②：该选项认为“水”是万物的本原，属于古代朴素 唯物主义，②排第一位。④：该选项认为“原子”是万物的本原， 属于近代形而上学唯物主义，④排第二位。③：该选项正确揭示 了世界的本质，属于辩证唯物主义，③排第三位。①：该选项认 为“理”是万物的主宰，属于唯心主义，①排除。故演进顺序为 ②→④→③。故本题选C。
14．（2020·陕西高二学业考试）漫画《奶奶，他们 才是我们的保护神！》中奶奶的观念属于（ ）
A．唯心主义 C．形而上学
B．唯物主义 D．辩证法
【答案】A 【详解】A：漫画中，老奶奶面对新冠肺炎，烧香祈祷，属于客 观唯心主义，A符合题意。BCD：漫画中老奶奶的做法相信所谓 的神，既不是唯物主义，也不是形而上学，更不是辩证法，BCD 排除。故本题选A。