最新高二下学期开学考试数学试题

2022-2023学年四川省宜宾市校高二下学期开学考试数学（文）试题一、单选题1．命题“存在，”的否定是（ ）0R x ∈020x ≤A ．不存在，B ．存在，0R x ∈020x >0R x ∈020x ≥C ．对任意的，D ．对任意的，x ∈R 20x<x ∈R 20x>【答案】D【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【详解】解：由题意∵特称命题的否定是全称命题，∴命题“存在，”的否定是：0R x ∈020x ≤对任意的，．x ∈R 20x>故选：D ．2．抛物线的焦点坐标为（ ）243x y=A ．B ．C ．D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭30,16⎛⎫ ⎪⎝⎭3,016⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】将抛物线化成标准形式，即可求解.【详解】由得，故焦点为，243x y =234y x =3,016⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：D3．从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：），所得数据用茎叶图cm 表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（ ）A ．甲乙两班同学身高的极差相等B ．甲乙两班同学身高的平均值相等C ．甲乙两班同学身高的中位数相等D ．乙班同学身高在以上的人数较多175cm【答案】D【分析】根据茎叶图和极差、平均数、中位数等概念逐一计算，即可判断选项是否正确.【详解】由茎叶图可知，甲班同学身高的极差为，乙班同学身高的极差为18215725-=，两班身高极差不相等，故A 错误；18315924-=甲班同学身高的平均值为，1(157158163165166170172178181182)169.210+++++++++=乙班同学身高的平均值为1(159162165167171172176178181183)171.410+++++++++=显然，甲乙两班同学身高的平均值不相等，即B 错误；根据茎叶图可知，甲班同学身高的中位数为，乙班同学身高的中位数为1661701682+=，171172171.52+=所以，甲乙两班同学身高的中位数不相等，即C 错误；由茎叶图可知，甲班同学身高在以上的人数为3人，乙班同学身高在以上的人数为4175cm 175cm 人，故D 正确.故选;D 4．若直线与直线平行，则实数a 的值为（ ）1:20l x y -+=2:230l x ay +-=A ．B ．C ．2D ．12-1-【答案】A【分析】解方程即得解.1(1)20a ⨯--⨯=【详解】解：由题得1(1)20, 2.a a ⨯--⨯=∴=-经检验，当时，满足题意.2a =-故选：A5．在区间[－2,2]内随机取一个数x ，使得不等式成立的概率为（ ）220x x +<A ．B ．C ．D ．13122334【答案】B【分析】由可得,再根据几何概型的计算方法求解即可.220x x +<20x -<<【详解】解：由可得，220x x +<20x -<<由几何概型的定义可得使不等式成立的概率为：.220x x +<20(2)2(2214)---==-故选：B.6．已知命题，使得；，使得．以下命题为真命题的为1:R p x ∃∈210x x ++<2:[1,2]p x ∀∈210x -≥A ．B ．C ．D ．12p p ⌝∧⌝12p p ∨⌝12p p ⌝∧12p p ∧【答案】D【详解】的解集为空集，故命题为假命题，22(1)430,10x x ∆=--=-<∴++< 1p 1p ⌝为真命题；，使得恒成立，故为真命210,11,x x x -≥∴≥≤ 或[1,2]x ∴∀∈210x -≥2p 题，为假命题；因为真命题，为真命题，故为真命题，答案为C ．2p ⌝1p ⌝2p 12p p ⌝∧7．圆与圆的位置关系为（ ）()221:11O x y -+=()222:39O x y -+=A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】D【分析】求出两个圆的圆心与半径, 通过圆心距与两圆的半径和与差的关系, 判断两个圆的位置关系.【详解】因为圆的圆心, 半径为,()221:11O x y -+=(1,0)11r =圆的圆心, 半径为，,()222:39O x y -+=(3,0)23r =,而，2=122r r -=则圆 与圆 的位置关系为内切.1O 2O 故选: D.8．“”是“直线与直线垂直”的（ ）1m =-()()24120m x m y -+++=()130m x my +-+=A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据两直线垂直的条件，求解范围即可求解.m 【详解】若直线与直线垂直，则()()24120m x m y -+++=()130m x my +-+=或，()()()()()241104104m m m m m m m -+-+=⇒-+=⇒=1m =-故“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件，1m =-()()24120m x m y -+++=()130m x my +-+=故选：B9．直线与圆交两点.若，则的面积为:l y x =222:(1)(2)(0)C x y a a -+-=>,A B ||=AB a ABC（ ）A B C D 【答案】A【分析】由题知圆心为，半径为，进而根据几何法求弦长得()1,2C r a =，解得，再计算面积即可得答案.AB a ===a =【详解】解：由题知圆心为，半径为，()1,2C r a =所以，圆心到直线的距离为()1,2C :l y x =d ==所以，弦长，即，解得，AB a ===2320a -=a =所以的面积为ABC 1122S AB d ===故选：A10．若，，，则的最小值为（ ）0a >0b >()lg lg lg 3a b a b +=+a b +A ．B ．C ．6D ．4+3+【答案】B【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可.【详解】由，()()()lg lg lg 3lg 3lg 331a b a b a b b ab ab a b a b ⇒=⇒=+⇒=+=+-+因为，，所以，即，0a >0b >10b ->1b >所以33(1)44411b a b b b b b +=+=+-+≥+=+--当且仅当时取等号，即时取等号，311b b =--1b =故选：B11．在三棱锥中，平面，则该三棱锥外接球的-P ABC 2,90,AC AB BAC PC ︒==∠=⊥,1ABC PC =体积为（ ）A ．B ．C ．D ．36π12π8π92π【答案】D【解析】画出图形，将几何体补全为长方体，则将问题转化为求对应长方体外接球体积问题，结合体积公式即可求解【详解】如图所示，三棱锥实际上为长方体上四点组合而成，则外接球半径为，32r ==则该三棱锥外接球的体积为3442793382V r πππ==⨯=故选：D【点睛】本题考查锥体外接球体积算法，对于这类问题，我们都可考虑把锥体还原成对应的长方体或圆柱体，再求对应的外接球半径，这样会简化求解难度，属于中档题12．是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的左、12,F F ()2222:10x y C a b a b -=>>1F l C 右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）,A B 22::12:5:13AB BF AF =A B ．C D 2【答案】D【分析】根据长度关系可得，利用双曲线定义可用表示出，利用勾股定理可2AB BF ⊥a 12,BF BF 构造关于的齐次方程求得离心率.,a c 【详解】设，则，，12AB t=25BF t=213AF t=，；22222AB BF AF += 2AB BF ∴⊥由双曲线定义可知：，，211132AF AF t AF a-=-=1132AF t a ∴=-，，1212172022BF BF AF AB BF AF t t a a ∴-=+-=+=-=15t a ∴=，，11312355BF AF AB a a a ∴=+=+=2BF a=，，则.2221212BF BF F F+= 22294a a c ∴+=e ===故选：D.二、填空题13．若实数，满足约束条件则的最小值为___________.x y 4,2,2,x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩2z x y =-【答案】2-【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析求解.【详解】解析由约束条件作出可行域，如图中阴影部分（含边界）所示.由，得.2z x y =-2y x z =-令直线与直线的交点为，则.2y =2x y +=A ()0,2A 由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，则有最小值为.2y x z =-A y z 2-故答案为：-214．双曲线的焦距为______．2212x y λλ+=-【答案】【分析】由，可得，，从而即可求解.2λλ>-20a λ=>220b λ=->【详解】解：因为，所以，，2λλ>-20a λ=>220b λ=->所以，解得22222c a b λλ=+=+-=c =所以该双曲线的焦距为．2c =故答案为：15．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为A .若为正三角形，()222210x y a b a b +=>>1F 2F 12AF F △则该椭圆的离心率为______.【答案】##120.5【分析】利用题给条件求得，进而求得椭圆的离心率2a c =【详解】为正三角形，则，则椭圆的离心率12AF F △2a c =122c c e a c ===故答案为：1216．已知圆，直线与圆相交于点，且，则弦的长度为____22:4O x y +=l O ,P Q •2OP OQ =-PQ【答案】【详解】由题12cos 2cos 2OP OQ OP OQ POQ POQ ⋅=-⇒⋅∠=-⇒∠=-则由余弦定理2222cos 12PQ OP OQ OP OQ POQ PQ =+-⋅∠=∴=故答案为：三、解答题17．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准吨，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，(x )x 超出的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用x .100水量单位：吨，将数据按照,,分成组，制成了如图所示的频率分布直方()[)[)0,0.5,0.5,1⋯[]4,4.59图．(1)求直方图中的值；a (2)设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由；303(3)若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准吨，估计的值，并说明理由．85％(x )x 【答案】(1)0.3a =(2)万，理由见解析3.6(3)，理由见解析2.9x =【分析】（1）根据各组的累积频率为，构造方程，可得值；1a （2）由图可得月均用水量不低于吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于吨的人数；33（3）由图可得月均用水量低于吨的频率及月均用水量低于吨的频率，进而可得值．2.53x 【详解】（1），()0.50.080.160.40.520.120.080.0421a ⨯+++++++= ；0.3a ∴=（2）由图可得月均用水量不低于吨的频率为：，3()0.50.120.080.040.12⨯++=由，得全市居民中月均用水量不低于吨的人数约为万；300.12 3.6⨯=3 3.6（3）由图可得月均用水量低于吨的频率为：；2.5()0.50.080.160.30.40.520.7385%⨯++++=<月均用水量低于吨的频率为：；3()0.50.080.160.30.40.520.30.8885%⨯+++++=>则吨．0.850.732.50.5 2.90.30.5x -=+⨯=⨯18．已知圆的圆心在直线上，经过点，且与直线相切.C 320x y +=C (2,0)A -4380x y -+=（1）求的标准方程；C （2）直线与相交于两点，求的面积.:230l x y --=C ,M N CMN 【答案】（1）（2）10()()222325x y -++=【解析】（1）不妨设圆心为，半径为，结合待定系数法和点到直线距离公式即可求解；(),C a b r （2）由圆心到直线距离公式求得弦心距，再由几何性质和勾股定理求得弦长，利用d 即可求解12S MN d =⋅【详解】（1）设圆心为，半径为，则圆的标准方程为;,由题可得(),C a b r ()()222x a y b r -+-=，解得，则圆的标准方程为；()22233202485a a b a b rr b ⎧⎪+=⎪-+⎪⎪++=⎨⎪⎪=⎩235a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩C ()()222325x y -++=（2）如图，可求出圆心到直线的距离，:230l x y --=d则半弦长，2l===l =111022CMN S MN d =⨯⋅=⨯=△【点睛】本题考查待定系数法求圆的标准方程，由圆的几何性质求弦长，属于中档题19．某地级市受临近省会城市的影响，近几年高考生人数逐年下降，下面是最近五年该市参加高考人数与年份代号之间的关系统计表.y x 年份代号x12345高考人数（千人）y 3533282925（其中2018年代号为1，2019年代号为2，…2022年代号为5）(1)求关于的线性回归方程；y x (2)根据（1）的结果预测该市2023年参加高考的人数；(3)试分析该市参加高考人数逐年减少的原因.（参考公式：）()()()121,niii nii a y bxx x y y b x x ==--==--∑∑【答案】(1) 2.437.2y x =-+(2)22.8千人(3)答案见解析【分析】（1）根据题中数据计算得即可解决；（2）根据（1）中回归方程计算即可；22.4,37.a b =-=（3）言之有理，客观分析即可.【详解】（1）设回归方程为，由表中数据知，y bx a =+，.3x =30y =所以，25(1)30(2)1(1)2(5)122.441415b -⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-==-=-+++所以，()30 2.4337.2a y bx =-=--⨯=所以关于的回归方程.y x 2.437.2y x =-+（2）由（1）得关于的回归方程.y x 2.437.2y x =-+令，（千人），6x = 2.4637.222.8y =-⨯+=所以预测该市2023年参加高考的人数为22.8千人.（3）①该市经济发展速度慢；②该市人口数量减少；③到省会城市求学人数增多.20．如图，桌面上摆放了两个相同的正四面体和.PABD QABC (1)求证：；PQ AB ⊥(2)若，求四面体的体积.2AB =APQB 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）连接与相交于点，证得为的中点，连接，，利用线面垂直的CD AB O O AB PO QO 判定定理证得平面，即可得到；AB ⊥POQ PQ AB ⊥（2）过点分别作，得到分别为和的中心，分别求得,P Q 11,PP CD QQ CD ⊥⊥11,PQ ABD △ABC 的长度，结合平面，及，即可求解.1,,PP PQ OA AO ⊥POQ 2A PQB A POQ V V --=【详解】（1）证明：因为与共面，所以连接与相交于点，ABD △ABC CD AB O 因为和是相同的正四面体，所以四边形为菱形，则为的中点，PABD QABC ACBD O AB 连接，，因为，，所以，PO QO PA PB =QA QB =,Q PO AB O AB ⊥⊥又因为，所以平面，所以；PO QO O ⋂=AB ⊥POQ PQ AB ⊥（2）解：在四边形中，过点分别作，垂足分别为，DPQC ,P Q 11,PP CD QQ CD ⊥⊥11,P Q 如图所示，可得分别为等边和等边的中心，11,P Q ABD △ABC因为，在等边中，可得2AB =ABD △OD =1DP =1OP =在直角中，可得1DPP 1PP ==同理可得，1OQ =1111PQ PQ OQ OP ==+=由（1）知，平面，可得平面，AB ⊥POQ AO ⊥POQ所以1223A PQB A POQ POQ V V S OA --==⨯⨯⨯=△21．已知平面上动点P 到定点的距离比P 到直线的距离大1.记动点P 的轨迹为曲线C .(2,0)F =1x -（1）求曲线C 的方程；（2）过点的直线交曲线C 于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点是D ，证明：直线恒(2,0)-l BD 过点F .【答案】（1）（2）证明见解析28y x =【解析】(1)先分析出点P 在直线的右侧，然后利用抛物线的定义写出方程即可=1x -(2)设出直线的方程和A 、B 两点坐标，联立方程求出的范围和A 、B 两点纵坐标之和和积，写l m 出直线的方程，然后利用前面得到的关系化简即可.BD 【详解】（1）不难发现，点P 在直线的右侧，=1x -∴P 到的距离等于P 到直线的距离.(2,0)F 2x =-∴P 的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，(2,0)F 2x =-∴曲线C 的方程为.28y x =（2）设直线的方程为，l 2x my =-()()1122,,,A x y B x y 联立，得，，解得或.228x my y x =-⎧⎨=⎩28160y my -+=264640m ∆=->1m >1m <-∴，.128y y m +=1216y y =又点A 关于x 轴的对称点为D ，()11,D x y -则直线的方程为BD ()212221y y y y x x x x +-=--即()()()22122221218228y y y y y x x x my my y y ⎛⎫+-=-=- ⎪----⎝⎭令，得.0y =22211222888y y y y y x y -=-⋅==∴直线恒过定点，而点.BD (2,0)(2,0)F 【点睛】本题考查了抛物线的定义和综合问题，属于较难题，设而不求法是解决直线与抛物线交点问题的常见方法.22．椭圆的左顶点为2222:1(0)x y M a b a b +=>>()2,0A -(1)求椭圆的方程；M (2)已知经过点的直线交椭圆于两点，是直线上一点.若四边形为平⎛ ⎝lM ,B C D 4x =-ABCD 行四边形，求直线的方程.l 【答案】(1)；2214x y +=(2)或y x =+y =【分析】（1）直接由顶点和离心率求出椭圆方程即可；（2）设，由表示出直线的斜率，进而写出直线的方程，联立椭圆求出弦长(4,)D t -AD BC k k =l l ，由求出，即可求得直线的方程.BC BC AD =t l 【详解】（1）由题意知：，故椭圆的方程为；2,c a a ==2221b a c =-=M 2214x y +=（2）设，又，故，又直线经过点，故的方程1122(4,),(,),(,)D t B x y C x y -(2,0)A -2AD BC tk k =-=l ⎛ ⎝l 为2t y x =-联立椭圆方程可得，显然，22214t y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()22110t x +--=0∆>，1212211x x x x t +==-+==，由，可得BC AD ==解得或，t =0=t 故直线的方程为或l y x =+y =。

2022-2023学年四川省内江市高二下学期入学考试数学（理）试题一、单选题1．已知三维数组(2,1,0)a =- ，(1,,7)b k = ，且a b ⊥，则实数k 的值为（）A ．-2B ．2C ．27D ．-9【答案】B【分析】根据两个向量垂直可得其数量积为0，然后解方程即可【详解】根据a b ⊥，可得：0a b ⋅= 则有：20k -=解得：2k =故选：B2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．至少有一个黑球与都是红球B ．至少有一个红球与都是红球C ．至少有一个红球与至少有1个黑球D ．恰有1个红球与恰有2个红球【答案】D【分析】A.至少有一个黑球与都是红球,是对立关系，因此能判断A 不符合要求；B.至少有一个红球包括两球都是红球，二者不互斥，不符合要求；C.至少有一个红球与至少有1个黑球，含有同时发生的情况，不符合要求；D.恰有1个红球与恰有2个红球，二者符合题目要求.【详解】A.至少有一个黑球与都是红球,二者不会同时发生，是互斥关系，任取2个球时，这两个事件又一定会有一个发生，因此二者又是对立事件，不符合题目要求；B.至少有一个红球包括两球都是红球，因此二者会同时发生，不是互斥关系，不符合要求；C.至少有一个红球与至少有1个黑球，二者都含有恰有一个红球和一个黑球的情况，会有同时发生的可能，不是互斥关系，不符合要求；D.恰有1个红球与恰有2个红球，二者不会同时发生，是互斥事件，但二者有可能都不会发生，比如取到的两球都是黑球，故二者不是对立事件，符合题目要求.故选：D3．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，且m α⊂，n β⊂，下列命题正确的是（）A ．如果//m β，那么//αβB ．如果//αβ，那么//m nC ．如果m β⊥，那么αβ⊥D ．如果αβ⊥，那么m β⊥【答案】C【分析】根据已知条件判断线线、线面以及面面位置关系，可判断ABD 选项的正误，利用面面垂直的判定定理可判断C 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为m α⊂，n β⊂，//m β，则α、β平行或相交，A 错；对于B 选项，因为m α⊂，n β⊂，//αβ，则m 、n 平行或异面，B 错；对于C 选项，因为m α⊂，n β⊂，m β⊥，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 对；对于D 选项，因为m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则//m β或m β⊂或m 与β相交，D 错.故选：C.4．设a R ∈，若直线1:280l ax y +-=与直线2:(1)50l x a y +++=平行，则a 的值为（）A ．1B ．2-C ．1或2-D ．23-【答案】C【分析】根据直线的一般式判断平行的条件进行计算.【详解】10a +=时，容易验证两直线不平行，当10a +≠时，根据两直线平行的条件可知：28115a a -=≠+，解得1a =或2a =-.故选：C.5．过点(1,1)P 可以向圆222420x y x y k ++-+-=引两条切线，则k 的范围是（）A ．2k >B ．07k <<C ．7k <D ．27k <<【答案】D【分析】过点(1,1)P 可以向圆222420x y x y k ++-+-=引两条切线，即点(1,1)P 在圆外，即P 到圆心的距离大于圆的半径，则把圆的方程化为标准方程后，找出圆的圆心和半径，利用两点间的距离公式求出点(1,1)P 到圆心的距离，由d r >且70k ->，即可求解.【详解】把圆的方程化为标准方程得()()22127x x k ++-=-，即圆心坐标为()1,2-，半径为7r k =-，点(1,1)P 到圆心的距离为()()221+1+125d =-=，∵P 在圆外时，过点P 可以向圆222420x y x y k ++-+-=引两条切线，∴d r >，即57k >-,且70k ->，解得27k <<，故选：D .6．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，12AA AB ==，D ，E ，F 分别是1BB ，1AA ，11AC 的中点，则直线EF 与CD 所成角的余弦值为（）A ．12B ．22C ．12-D ．0【答案】D【分析】方法一：根据异面直线夹角的定义，延长11,AC AC ，使111,C M AC CN AC ==，连接111,,,,,AC CM DM B M B F MN ，分析图形结合余弦定理可求直线EF 与CD 所成角的余弦值；方法二：将三棱柱补成四棱柱，结合异面直线夹角的定义确定夹角，根据余弦定理与勾股定理可求得直线EF 与CD 所成角的余弦值；方法三：根据三棱柱的几何性质，建立空间直角坐标系，按照空间坐标运算求解直线EF 与CD 所成角的余弦值即可.【详解】解：方法一：延长11,AC AC ，使111,C M A C CN AC ==，连接111,,,,,AC CM DM B M B F MN ，如图所示．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，12AA AB ==，易知1////,5,22EF AC CM CD CM ==，22222222111113313DM B D B M B D B F FM =+=++=++=．设直线EF 与CD 所成角为θ，易知()22222252213cos cos 022522DC CM DMDCM DC CMθ+-+-=∠===⋅⨯⨯，∴直线EF 与CD 所成角的余弦值为0．故选：D ．方法二：如图，将三棱柱补成四棱柱，其中两个三棱柱全等．取PB 中点Q ，连接DQ ，由棱柱性质易知//EF DQ ，∴CDQ ∠为EF 与CD 所成角或其补角．连接CQ ，由题知2,1,1BC BQ BD ===，∴5,2CD DQ ==，又120CBQ ∠=︒，∴在CBQ △中由余弦定理可得2222212cos 1221272CQ BQ BC BQ BC CBQ ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭∴7CQ =在CDQ 中，2227CQ CD DQ =+=，∴90CDQ ∠=︒∴直线EF 与CD 所成角的余弦值为0．故选：D ．方法三：如图，取AC 中点为O ，连接,OB OF ，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，12AA AB ==，易得FO ⊥平面ABC ，则,FO OB FO AC ⊥⊥，又2AB BC ==，O 为AC 中点，所以OB AC ⊥，则以O 为原点，以,,OB OC OF 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．所以()()()()()0,0,0,0,1,0,3,0,1,0,0,2,0,1,1O C DF E -，则()()0,1,1,31,1EF CD ==-，，所以011cos ,025EF CD EF CD EF CD⋅-+===⨯⋅∴直线EF 与CD 所成角的余弦值为0．故选：D ．7．甲､乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是（）A ．从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定B ．从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力C ．从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好D ．从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好【答案】D【分析】由图找出甲乙打靶的成绩，分别计算出甲乙的平均数、方差、中位数，结合折线图逐项分析可得答案.【详解】由图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，甲的平均数为24687789910710甲+++++++++==v ，甲的方差为()()()()()()()222222222747672772872971075.410甲-+-+-+⨯-+⨯-+⨯-+-==s乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙的平均数为9578768677710乙+++++++++==v ，乙的方差为()()()()()2222229757267477287 1.210乙-+-+⨯-+⨯-+⨯-==s ，所以22乙甲<s s ，从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定，故A 正确；从两人射击命中环数折线统计图走势看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，甲更有潜力，故B 正确；甲打靶的成绩为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，中位数为7.5，乙打靶的成绩为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，中位数为7，甲9环及9环以上的次数3次，甲9环及9环以上的次数1次，甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，故从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好，故C 正确；甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，甲的中位数7.5大于乙的中位数7，从平均数和中位数相结合看，甲成绩较好，故D 错误.故选：D.8．图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3．若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（）A ．100πB ．600C ．200πD ．300π【答案】C【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20，由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果.【详解】莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为π3的圆弧构成，所以该零件底面周长为π32020π3⨯⨯=，故其侧面积为200π．故选：C.9．已知三棱锥S ABC -所有顶点都在球O 的球面上，且SA ⊥平面ABC ，若1SA AB AC BC ====，则球O 的表面积为（）A ．52πB ．5πC ．53πD ．73π【答案】D【分析】设O '为ABC 的外接圆的圆心，取SA 的中点E ，求得ABC 的外接圆的半径33r =，且12O A '=，得到三棱锥S ABC -外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，设O '为ABC 的外接圆的圆心，取SA 的中点E ，分别连接OO '和OE ，则OO '⊥平面ABC ，OE ⊥SA ，因为SA ⊥平面ABC ，若1SA AB AC BC ====，可得ABC 的外接圆的半径33r O A '==，且12O O AE '==，在直角O OA '△中，可得22222317()()3212OA OO O A ''=+=+=，即三棱锥S ABC -外接球的半径为2712R =，所以球O 的表面积为2743S R ππ==.故选：D.10．若直线y kx =与圆22(2)(1)1x y ++-=的两个交点关于直线20x y b -+=对称，则k ，b 的值分别为（）A ．12k =-，5b =B ．12k =，3b =-C ．12k =-，4b =-D ．2k =，5b =【答案】A【分析】由题意分析得知直线20x y b -+=经过圆心求出b ；由直线y kx =与直线20x y b -+=垂直求出k 即可.【详解】因为直线y kx =与圆22(2)(1)1x y ++-=的两个交点关于直线20x y b -+=对称，所以直线20x y b -+=经过圆心()21，-，且直线y kx =与直线20x y b -+=垂直，所以()221021⎧⨯--+=⎨=-⎩b k 解得：512=⎧⎪⎨=-⎪⎩b k ，故选：A.11．已知直线:10l x y -+=，点(),0A a -、()(),00B a a >，若直线l 上存在点P 满足90APB ∠= ，则实数a 的取值范围为（）A ．2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．2,2⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】B【分析】设点(),P x y ，由勾股定理可得出222x y a +=，则直线l 与圆222x y a +=有公共点，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的取值范围.【详解】设点(),P x y ，因为90APB ∠= ，则222PA PB AB +=，即()()222224x a y x a y a +++-+=，整理可得222x y a +=，所以，点P 既在直线l 上，又在圆222x y a +=上，所以，直线l 与圆222x y a +=有公共点，因为0a >，且圆222x y a +=的圆心为原点，半径为a ，所以，()22111a ≤+-，可得22a ≥，故实数a 的取值范围为2,2⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭∞.故选：B.12．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不包含端点），若正方体棱长为1，则下列结论正确的有（）①直线1D P 与AC 所成角的取值范围是ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭②存在P 点，使得平面1APD ∥平面1C BD③三棱锥1D CDP -的体积为16④平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③【答案】D【分析】①建立平面直角坐标系，利用异面直线所称角的向量坐标法，即可求解；②当点P 为中点时，即可判断面面平行；③结合等体积转化11D CDP P CDD V V --=，即可求解；④讨论点P 的位置，作出截面，即可判断.【详解】①如图，连结1,AC D P ，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()11,0,1A ，()0,0,0D ，()10,0,1D ，()0,1,0C ，则有()1,1,0AC =- ，设11A P A B λ= ，()()()11111,0,00,1,11,,D P D A A B λλλλ=+=+-=-，()01λ∈，，所以()212211cos ,42221AC D P λλλλ--+==++，令()()22142f λλλ-=+，()0,1λ∈，则()()()()()22222421184404242f λλλλλλλ+---'==<++，所以()()22142f λλλ-=+在()0,1上单调递减，因为()102f =，()10f =，设直线1D P 与AC 所成角为α，所以120cos cos ,2AC D P α<=< ，又π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故直线1D P 与AC 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故①错误；②当点P 为1A B 的中点时，有1//AP C D ，AP ⊄平面1C BD ，1C D ⊂平面1C BD ，所以//AP 平面1C BD ，同理，1//AD 平面1C BD ，且1AD AP A = ，1,AD AP ⊂平面1APD ，所以平面11//APD C BD ，故②正确；③三棱锥1D CDP -的体积11111111113326D CDP P CDD CDD V V S AD --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ，故③正确；④设1A B 的中点为O ，连结11,,AP AD D P ，当点P 在线段OB （不包括端点）上时，此时平面1APD 截正方体所得的截面为梯形1AEFD ，如图，当点P 在O 点时，此时平面1APD 截正方体所得的截面为正三角形11AB D ,如图，当点P 在线段1OA （不包括端点）时，此时平面1APD 截正方体所得的截面为等腰三角形1AD G ，如图，12AD =，11D G AG =>，所以22211D G AG AD +>，1AGD ∠为锐角，该等腰三角形不可能为直角三角形，综上，可得④错误.故选：D二、填空题13．某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为01，02，…，80的80个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为03，13，…则样本中的最后一个个体编号是_______.【答案】73【分析】以系统抽样抽取样本规则解之即可.【详解】由抽取样本中的个体编号依次为03，13，…，可知抽取的两个相邻号码之差为10.说明样本以10个为一组，被分成了8组.抽出的编号依次为：3，13，23，33，43，53，63，73.则样本中的最后一个个体编号是73.故答案为：7314．若实数x 、y 满足约束条件131x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则31z x y =++的最小值是______．【答案】４【分析】按照简单的线性规划步骤逐步进行即可.对于可行域为封闭三角形，目标函数为截距型时，可用交点代入法求解.【详解】作出可行域，令Z =0，作直线l 0：310x y ++=，易知，将直线l 0平移过点A 时Z 取得最小值，将A 点坐标(1,0)代入目标函数得min 4Z =.故答案为：415．如图所示，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E 在棱1DD 上，12DE ED =，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度为__________．【答案】2【分析】设H 在棱1CC 上，且12CH HC =，I 在棱11C D 上，且112D I IC =，G 在棱CD 上，且2DG GC =，根据面面平行的判定定理，可得平面1//A BGE 平面1B HI ，结合已知中1//B F 平面1A BE ，可得F 落在线段HI 上，则答案可求.【详解】解：设H 在棱1CC 上，且12CH HC =，I 在棱11C D 上，且112D I IC =，G 在棱CD 上，且2DG GC=连接1B I ，1B H ，IH ，1CD ，EG ，BG ，则11////A B CD GE ，所以1A ，B ，E ，G 四点共面，由11//B H A E ，1A E ⊄平面1B HI ，1B H ⊂平面1B HI ，所以1//A E 平面1B HI ，同理1//A B 平面1B HI ，又111A B A E A = ，11,A B A E ⊂平面1A BGE ，所以平面1//A BGE 平面1B HI ，又因为1//B F 平面1A BE ，所以F 落在线段HI 上，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，所以1132233HI CD ===，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2．故答案为：2.16．若,A B 是圆()()()22:240C x y m m -+-=>上两点，且23AB =，若存在R a ∈，使得直线1:0l ax y -=与2:240l x ay a ++-=的交点P 恰为AB 的中点，则实数m 的取值范围为______.【答案】52,5⎡⎤-⎣⎦【分析】由直线与圆相交以及弦长23AB =，可得M 点的轨迹方程，又直线1:0l ax y -=与2:240l x ay a ++-=相交，可得交点P 的轨迹方程，由已知可得圆M 与圆P 有公共点，根据圆与圆的位置关系列出不等式，解出实数m 的取值范围．【详解】圆()()()22:240C x y m m -+-=>的半径2r =，M 为AB 的中点，且22223AB r MC=-=，解得1MC =，M ∴点的轨迹方程为()()()22210x y m m -+-=>，又直线1:0l ax y -=过定点()0,0Q ，2:240l x ay a ++-=即()420x a y -++=过定点()4,2S -，且12l l ⊥，则P 点是两垂线的交点，所以P 点在以QS 为直径的圆上，圆心为()2,1-，半径为11164522QS =+=，P ∴的轨迹方程为()()22215x y -++=，由于1l 的斜率存在，所以点P 的轨迹要去掉点()0,2-，由已知可得：圆M 与圆P 有公共点，5151MP ∴-≤≤+，即51151m -≤+≤+，又0m >，所以51151m -≤+≤+，解得525m -≤≤，故答案为：52,5⎡⎤-⎣⎦三、解答题17．已知直线()():231370l a x a y a +--++=，R a ∈.(1)证明直线l 过定点A ，并求出点A 的坐标；(2)在（1）的条件下，若直线l '过点A ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的12，求直线l '的方程.【答案】(1)定点A 的坐标为()2,1--(2)12y x =或122y x =--【分析】（1）整理方程为()23370x y a x y -++++=，然后解方程组230370x y x y -+=⎧⎨++=⎩可得答案；（2）设出直线方程，求出截距，利用截距之间的关系列方程求解.【详解】（1）直线()():231370l a x a y a +--++=可化为()23370x y a x y -++++=，则230370x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，∴直线l 过定点，且定点A 的坐标为()2,1--；（2） 直线l '过点()2,1--，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的12，则当直线l '过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为12y x =，即20x y -=；当直线l '的横纵截距均不为零时，设直线l '的方程为112x y a a +=，代入点()2,1--，得21112a a --+=，解得4a =-，此时直线l '的方程为142x y +=--，即240x y ++=，综上，直线l '的方程为20x y -=或240x y ++=.18．某小型企业甲产品生产的投入成本x （单位：万元）与产品销售收入y （单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次该产品的相关数据.x （万元）357911y （万元）810131722（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大（毛利率=-收入成本收入100%⨯）？相关公式：()()()1122211ˆ=nniii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---=--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-.【答案】（1）ˆ 1.75 1.75y x =+；（2）12万元的毛利率更大【分析】（1）根据题意代入数值分别算出ˆb与ˆa 即可得解；（2）分别把12x =与15x =代入线性回归方程算出ˆy再算出毛利率即可得解.【详解】（1）由题意7x =，14y =.()()()()()()()()5137814571014771314iii x x yy =--=--+--+--∑()()971714+--()117+-()221470-=，()()()()()()522222213757779711740i i x x=-=-+--+-+-=+∑，()()()51521ˆ 1.75iii ii x x y y bx x ==--==-∑∑，ˆ147 1.75 1.75a=-⨯=故y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.75 1.75yx =+.（2）当12x =时，ˆ22.75y=，对应的毛利率为22.7512100%47.3%22.75-⨯≈，当15x =时，ˆ28y=，对应的毛利率为2815100%46.4%28-⨯≈，故投入成本12万元的毛利率更大.【点睛】本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于基础题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面,ABCD ABCD 是直角梯形，,//AD DC AB DC ⊥，222AB AD CD ===，点E 在线段PB 上且12PE EB =.(1)证明直线//PD 平面AEC ;(2)证明直线BC ⊥平面PAC .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）作辅助线，即连接BD 交AC 于点O ，连接OE ,利用△DOC ∽△BOA 及12PE EB =，证明//PD OE ，利用线面平行的判定定理证明即可；（2）通过计算证明AC BC ⊥，由PC ⊥平面ABCD 得到PC BC ⊥，利用线面垂直的判定定理证明即可.【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接OE ,∵//AB DC ，2AB CD =,∴△DOC ∽△BOA ,即12DO DC OB AB ==，又∵12PE EB = ，∴12DO PE OB EB ==∴//PD OE又∵OE AEC ⊂面、PD AEC ⊄面∴//PD AEC面（2）∵PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PC BC ⊥，又∵2,1,AB AD CD AD DC ===⊥，且ABCD 是直角梯形，∴2AC BC ==，即222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥，又∵PC AC C ⋂=，且,PC AC ⊂平面PAC ，∴BC ⊥平面PAC .20．某中学举行了一次诗词竞赛.组委会在竞赛后，从中抽取了部分选手的成绩（百分制）作为样本进行统计，作出了茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：(1)求样本容量n 、抽取样本成绩的中位数及分数在[)80,90内的人数；(2)若从分数在[50,60)和[80,90)内的学生中任选两人进行调研谈话，求至少有一人分数在[50,60)内的概率．【答案】(1)25n =，中位数为73，4人(2)35【分析】（1）根据频率分布直方图可知组的频率等于该组的频数除以总的样本量，各个组的频率之和为1，根据茎叶图的特点直接可获得中位数所在位置；（2）总的事件总数是从分数在[50,60)和[80,90)内的学生中任选两人，待求的是至少有一人分数在[50,60)内，则分别计算出总的基本事件个数和至少有一人分数在[50,60)内的基本事件个数即可，然后根据概率的定义求出即可.【详解】（1）分数在[)50,60内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在[]90,100内同样有2人.由2100.008n=⨯解得：25n =根据茎叶图可知：抽测成绩的中位数为73分数在[80,90)之间的人数为：()25271024-+++=综上可得：样本容量25n =，中位数为73，分数在[80,90)内的人数为4人（2）设“若从分数在和内的学生中任选两人进行调研谈话，至少有一人分数在[50,60)内”为事件M .将[80,90)内的4人编号为a b c d ,,,；[50,60)内的2人编号为,A B 则在[50,60)和[80,90)内的任取两人的基本事件为：,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB ，共15个其中，至少有一人分数在[50,60)内的基本事件：,,,,,,,,aA aB bA bB cA cB dA dB AB ，共9个.故所求的概率得：93M =155P =()21．如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为22.(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角1A A C B --的大小.【答案】(1)2(2)π3【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC ⊥平面11ABB A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，则111111112211433333A A BC A A ABC A ABC AB BC C C B V S h h V S A A V ---=⋅===⋅== ，解得2h =，所以点A 到平面1A BC 的距离为2；（2）取1A B 的中点E ,连接AE ，如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥,又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，且AE ⊂平面11ABB A ，所以⊥AE 平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得2AE =，所以12AA AB ==，122A B =，所以2BC =，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ，则1A B 的中点()0,1,1E ，所以()0,1,1AE =- ,()10,0,2AA =，()2,2,0AC =- ，设平面1AAC 的法向量为(),,n x y z =，则120220n AA z n AC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，解得0x y z =⎧⎨=⎩，取1x y ==，则平面1AAC 的一个法向量为()1,1,0n =r，由⊥AE 平面1A BC 可知，AE为平面1A BC 的一个法向量，设二面角1A A C B --为θ，则11cos cos ,222n AE n AE n AEθ⋅=<>===⨯⋅，且观察图可知，二面角1A A C B --为锐二面角，所以1cos 2θ=，则π3θ=，所以二面角1A A C B --的大小为π3.22．已知点()0,2P ，设直线l ：y =kx +b （b ，R k ∈）与圆22:4C x y +=相交于异于点P 的A ，B 两点.(1)若PA PB ⊥，求b 的值；(2)若||23AB =，且直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为233，求直线l 的斜率k 的值；(3)当||||4PA PB ⋅=时，是否存在一定圆M ，使得直线l 与圆M 相切?若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)0(2)3k =±或33k =±(3)存在，定圆22:(2)1M x y +-=.【分析】（1）根据PA PB ⊥可知直线l 过圆224x y +=的圆心(0,0)，可得0b =；（2）由||23AB =得原点(0,0)O 到直线l 的距离为1，得221b k =+，再根据面积得243||3b k =，联立消去2b 可得k 的值；（3）联立直线与圆224x y +=，化为关于x 的一元二次方程，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据韦达定理可得12y y +和12y y ，利用12y y +和12y y ，将||||4PA PB ⋅=化为2243k b b =-+，利用2243k b b =-+求出点(0,2)P 到直线y kx b =+的距离为1，由此可得结果.【详解】（1）因为PA PB ⊥，又(0,2)P 在圆224x y +=上，所以直线l 过圆224x y +=的圆心(0,0)，所以0b =.（2）因为||23AB =，圆224x y +=的半径为2，所以圆心(0,0)到直线l 的距离24(3)1d =-=，由点到直线的距离公式可得2||11b d k==+，得221b k =+，当0k =时，直线l 与坐标轴不能围成三角形，故0k ≠，在y kx b =+中，令0x =，得y b =；令0y =，得bx k =-，所以123||||23b b k ⋅-=，得243||3b k =，所以2431||3k k +=，解得||3k =或3||3k =，所以3k =±或33k =±.（3）联立224x y y kx b ⎧+=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(1)240k x kbx b +++-=，222244(1)(4)0k b k b ∆=-+->，即2244b k <+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221kb x x k +=-+，212241b x x k -=+，所以2121222()221k b y y k x x b b k +=++=-++221b k =+，2212121212()()()y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++2222222(4)211k b k b b k k -=-+++22241b k k -=+，所以||||PA PB ⋅22221122(2)(2)4x y x y =+-⋅+-=，所以222211224(2)4(2)16y y y y ⎡⎤⎡⎤-+-⋅-+-=⎣⎦⎣⎦，所以12(84)(84)16y y --=，所以12(2)(2)1y y --=，所以12122()30y y y y -++=，所以2222443011b k b k k --+=++，即2243k b b =-+，所以点(0,2)P 到直线y kx b =+的距离为2|2|1b k -++2|2|431b b b -=-++2|2|1(2)b b -==-，所以直线y kx b =+与以(0,2)P 为圆心，1为半径的圆相切，所以存在一个定圆22:(2)1M x y +-=，使得直线l 与圆22:(2)1M x y +-=相切.。

高二下学期开学考试数学试题一、单选题1．抛物线的准线方程为（ ）22x y =A ．B ． 12x =-=1x -C ．D ．12y =-1y =-【答案】C【分析】直接根据抛物线的方程求出准线方程； 【详解】因为抛物线， 22x y =所以其准线方程为.12y =-故选：C.2．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，下列结论正确的l (,1,3)m a →=α(2,,1)b n →=-是（ ）A ．若，则.B ．若，则. l α∥23m n +=l α⊥23m n -=C ．若，则.D ．若，则.l α∥20mn +=l α⊥20mn +=【答案】D【分析】根据空间向量的运算，由可得，即可判断,由可得l α∥230a b m n ⋅=-++=A,C l α⊥，求得，判断. 1321m n ==-,m n B,D 【详解】直线l 的一个方向向量为 ，平面的一个法向量为， (,1,3)m a →=α(2,,1)b n →=-对于A ，若,则 ∴，故A 错误；l α∥230a b m n ⋅=-++=23m n -=对于B ，若，则 ，即，解得，， l α⊥a b ∥ 1321m n ==-6m =-13n = ，故B 错误； 3723m n ∴-=-对于C ，若，则 ，l α∥230a b m n ⋅=-++=则，，故 C 错误；23n m =-2237722322()488mn m m m ∴+=-+=-+≥对于D,若，则，解得，， l α⊥1321m n ==-6m =-13n =则，故D 正确， 20mn +=故选∶D ．3．从1，2，3，4，5，6中不放回地依次取2个数，事件A ＝“第一次取到的是奇数”，B ＝“第二次取到的是奇数”，则（ ） ()P B A =A ． B ．C ．D ．12253715【答案】B【分析】运用条件概率公式计算即可 【详解】6个数中有3个奇数所以 2326131(),()2155C P A P AB C ====故 1()25()1()52P AB P BA P A ===∣故选：B4．在抗疫期间，某单位安排4名员工到甲､乙､丙三个小区担任志愿者协助体温检测工作，每个小区至少安排1名员工，每名员工都要担任志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．72种【答案】C【分析】利用分步计数方式，首先挑选2人作为一组，剩下的2人各自成组，再将3组人安排到甲乙丙三个小区，即可求出不同的安排方法.【详解】1、选2名员工分到一个小区：种方法， 24C 2、将它们看作3组安排到甲乙丙小区，有种安排方法，33A ∴不同的安排方法共有种.234336C A =故选：C5．四棱锥中，设，，，.则（ ）P ABCD -BA a = BC b=BP c = 13PE PD = BE =A ．B ．112333a b c ++ 211323a b c +-C ．D ．112333a c b +- 212323a b c ++【答案】A【分析】根据空间向量基本定理，先表示出，可得，进而根据PD a b c =+-111333PE a b c =+- ，即可得出结果.BE BP PE =+【详解】， PD PB BA AD BA BC BP a b c =++=+-=+-所以. 11113333PE PD a b c ==+- 所以.111112333333B a c E BP P b c a b c E ++-=+=+=+ 故选：A.6．在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交的弦长为4390x y +-=2220C x x y a -++=：（ ）=a A ． B ． C ． D ．8-2-28【答案】A【分析】将圆的方程化为标准方程，的圆心坐标及半径，由弦长，圆心到直线的距离，半径的关系建立方程，解出a .【详解】圆C ：，即，圆心为，半径，2220x x y a -++=()2211x y a -+=-()1,0r =圆心到直线的距离为，4390x y +-=1d直线与圆相交的弦长为，得. ==8a =-故选：A.7．的展开式中的系数为（ ） ()()3121x x ++2x A ．4 B ．6 C ．9 D ．12【答案】C【分析】将代数式变形为，然后根据展开式的通项公式即()()()()333121121x x x x x ++=+++()31x +得.【详解】， ()()()()333121121x x x x x ++=+++ 又的通项公式为，()31x +13C r rr T x +=所以的展开式中的系数为.()()3121x x ++2x 2133C 2C 3239+=+⨯=故选：.C 8．已知O 为坐标原点，双曲线C ：的右焦点为F ，以OF 为直径的圆与C 的两条()222104x y b b -=>渐近线分别交于与原点不重合的点A ，B的周长为（ ）ABF △A ．6 B ．C ．D ．4+4+【答案】B【分析】结合双曲线图像对称性，可得轴，根据圆的性质和双曲线，，的关系可计算AB x ⊥a b c 出，，的长度，进而求出的周长.||AF |BF |||AB ABF △【详解】设与轴交于点，由双曲线的对称性可知轴，，AB x D AB x ⊥||||OA OB =，又因为，所以，即2AB AD =OA=AD OA =所以，因为点在以为直径的圆上，所以，所在的渐近线方程为60AOF ∠=︒A OF OA AF ⊥OA ， by xa=点到渐进线距离为，所以， (c,0)F by x a=AF b ==2OA a ==所以，的周长为tan 60AF BF OA ==︒=sin 60AD BD OA ==︒=ABF △， AF BF AD BD +++=故选：B二、多选题9．（多选）已知直线与直线垂直，则实数的值是（ ） ()2210a x ay ++-=320ax y -+=a A ．B ．043-C ．D ．12-23【答案】AB【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，即可求得实数的值. a a 【详解】因为直线与直线垂直，()2210a x ay ++-=320ax y -+=则，解得或.()2322340a a a a a +-=+=0a =43a =-故选：AB.10．甲､乙两名志愿者均打算高考期间去三个考点中的一个考点做服务，甲去考点做服,,A B C ,A B 务的概率分别为，乙去考点做服务的概率分别为，则（ ） 0.4,0.3,B C 0.5,0.2A ．甲去考点做服务的概率为C 0.3B ．甲去考点､乙不去考点做服务的概率为 A C 0.32C ．甲､乙同去考点做服务的概率为 C 0.15D ．甲､乙不去同一考点做服务的概率为 0.67【答案】ABD【分析】由概率的性质对选项逐一判断，【详解】对于A ，甲去考点做服务的概率为，故A 正确， C 10.40.30.3--=对于B ，甲去考点､乙不去考点做服务的概率为，故B 正确， A C ()0.410.20.32⨯-=对于C ，甲､乙同去考点做服务的概率为，故C 错误， C 0.30.20.06⨯=对于D ，乙去考点做服务的概率为，A 10.50.20.3--=甲､乙不去同一考点做服务的概率为， ()10.40.30.30.50.30.20.67-⨯+⨯+⨯=故选：ABD11．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）A ．若非零向量，，满足，，则有a b c a b ⊥ b c ⊥ a c ⊥B ．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则a b//a b C ．若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共OA OB OC111623OD OA OB OC =++ A B C D 面D ．若向量，，是空间的一组基底，则，，也是空间的一组基底a b ca b + c b - c a + 【答案】BC【分析】举例说明判断A ；利用反证法推理判断B ；利用空间向量基本定理判断C ；利用共面向量定理判断D 作答.【详解】对于A ，，，是非零向量，当时，若，则成立，显然a b c (0)c ka k =≠ a b ⊥ b c ⊥ a c ⊥不成立，A 不正确；对于B ，假设，不共线，则，可分别作为三棱锥底面边对应的向量a b a bD ABC -ABC A ,AB AC ，,AB AC显然向量与不共面，即存在向量与向量，构成空间的一组基底，与已知矛盾，AD ,AB AC ADa b 假设是错的，因此，B 正确；//a b对于C ，，，是空间的一组基底，且，而，OA OB OC 111623OD OA OB OC =++ 1111623++=由空间向量基本定理得，，，四点共面，C 正确；A B C D 对于D ，向量，，是空间的一组基底，而，即，，共a b c())(a b c a c b +=+-- a b + c b - c a + 面，因此，，不能构成空间的一组基底，D 不正确. a b + c b - c a +故选：BC12．如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的1F 2F 1C 2213y x -=2C A 1C 2C 公共点，设方程为，则下列说法正确的是（ ）2C ()222210,0x y a b a b+=>>A ．224a b +=B ．的内切圆与轴相切于点12AF F △x ()1,0C ．若，则的离心率为 121F F AF =2C 23D ．若，则的方程为 12AF AF ⊥2C 22173x y +=【答案】BCD【分析】利用双曲线的标准方程及椭圆方程可得判断A ，利用切线长性质结合双曲线的224a b -=定义可判断B ，利用双曲线和椭圆的定义得到、的关系式，再利用和离心率1F A 2F A 121F F F A =公式可判断C ，利用勾股定理得到，进而求出椭圆的方程判断D.()()22211416a a c ++-==【详解】对于A ：由可得，所以，故A 错误；2213y x -=2c ==2224a b c -==对于B ：设的内切圆的圆心为I ，且圆与边、、相切于N 、M 、K ， 12AF F △1AF 12F F 2F A 可得，，，又因为， AN AK =11F M F N =22F M F K =122AF AF -=所以，又， 12122F N F K F M F M -=-=124F M F M +=解得，，21F M =13F M =可得M 的横坐标为1，即I 的横坐标为1，故B 正确；对于C ：在椭圆中，，，则， 2C 122F A F A -=122F A F A a +=1222F A a =+由，得 ，解得a ＝3， 12124F F F A c ===2422a ⨯=+则的离心率，故C 正确； 2C 23c e a ==对于D ：因为，， 122F A F A -=122F A F A a +=所以，，11F A a =+21F A a =-若，则， 12AF AF ⊥()()22211416a a c ++-==又c ＝2，，解得，222b a c =-a =b =则椭圆的方程为，故D 正确．22173x y +=故选：BCD.三、填空题13．已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为22(2)(1)10x y -+-=2260x y x +-=_______________. 【答案】2250x y --=【分析】两圆方程相减，即可求出两圆的公共弦所在的直线方程. 【详解】将圆化为，22(2)(1)10x y -+-=224250x y x y +---=联立两圆方程， 2222425060x y x y x y x ⎧+---=⎨+-=⎩两圆方程相减得两圆公共弦所在直线的方程为， 2250x y --=故答案为：.2250x y --=14．某学校高二年级有1500名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布．已知X ()2110,10N ，估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有__________人．(100110)0.34P X <≤=【答案】240【分析】根据正态曲线的对称性求出，再乘以可得结果.(120)P X ≥1500【详解】因为考试的成绩服从正态分布，所以正态曲线关于对称，X ()2110,10N 110X =因为，所以(100110)0.34P X <≤=()()1120100(100110)2P X P X P X ≥=≤=-<≤10.340.162=-=，所以该班数学成绩在120分以上的人数为（人）． 0.161500240⨯=故答案为：24015．现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有 __种．（用数字作答） 【答案】144【分析】根据题意，分2步进行分析：①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，有种情况，2323A A 12=②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，有种情况，24A 12=则有种排法， 1212144⨯=故答案为：144．16．已知抛物线，圆，点，若分别是，上的动218C y x =：222430C x y x +-+=：()3,1M ,A B 1C 2C 点，则的最小值为___________. AM AB +【答案】4【分析】由抛物线得焦点，准线为，，转化为21:8C y x =()20F ，2x =-1AM AB AM AF +=+-求取得最小值，过点M 作准线的垂线与抛物线相交，当点为此交点AM AF +2x =-21:8C y x =A 时，取得最小值，由此可求得答案.AM AF +【详解】解：由抛物线得焦点，准线为， 21:8C y x =()20F ，2x =-由圆，得，222:430C x y x +-+=()2221x y -+=所以圆是以为圆心，以为半径的圆， 2C ()20F ，1r =所以，1AM AB AM AF +≥+-所以当取得最小值时，取得最小值， AM AF +AM AB +又根据抛物线的定义得等于点到准线的距离，AF A 2x =-所以过点作准线的垂线，垂足为，且与抛物线相交，当点为此交点时，M 2x =-N 21:8C y x =A 取得最小值，最小值为，AM AF +()325--=所以此时， 1451AM AB AM AF +≥+-≥-=所以的最小值为. AM AB +4故答案为：.4四、解答题17．已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为512．2nx ⎛⎝(1)求n 的值：(2)求展开式中的常数项． 【答案】(1) 9n =(2)672【分析】（1）根据二项式系数和求得.n （2）结合二项式展开式的通项公式求得展开式中的常数项.【详解】（1）因为的展开式中所有项的二项式系数之和为512，2nx ⎛+ ⎝所以，解得．01C C C 2512n nn n n ++⋅⋅⋅+==9n =（2）由通项公式， ()39992199C 2C 2kk kk k k k T x x ---+=⋅⋅=⋅⋅令，可得， 3902k-=6k =所以展开式中的常数项为．6960336199C 2C 2672T x -+=⋅⋅=⋅=18．据统计，某市一家新能源企业2022年近5个月的产值如下表： 月份 6月 7月 8月 9月 10月 月份代码 x 1 2 3 4 5 产值（亿元y 1620273037)(1)根据上表数据，计算与间的线性相关系数，并说明与的线性相关性的强弱；（结果保y x r y x 留三位小数，若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性0.751r ≤≤y x 0.75r <y x 不强．）(2)求出关于的线性回归方程，并预测该企业什么时候的产值为亿元．y x 67.6参考公式：．1221ˆˆ,nni ii nii nxyx y nxyr ba y bx xnx ==-===--∑∑ 参考数据：．55522111442,55,3654,52.3i i ii i i i x y x y y =======≈∑∑∑【答案】(1)与线性相关性很强； 0.994,r y ≈x (2)年4月. ˆ 5.210.4,2023yx =+【分析】（1）根据相关系数公式得到，即可得到答案.0.994,r y ≈（2）根据最小二乘法得到回归直线方程为，再代入求解即可. ˆ 5.210.4yx =+ˆ67.6y =【详解】（1）．123453,265x y++++===所以，520.99452.3r ==≈≈因为，故与线性相关性很强[]0.75,1r ∈y x （2）由题意可得，， 4425326 5.255ˆ59b-⨯⨯==-⨯所以， ˆˆ26 5.2310.4ay bx =-=-⨯=所以关于的线性回归方程为， y x ˆ 5.210.4yx =+当时，，故2023年4月份该企业的产值约为亿元． ˆ67.6y=ˆ 5.210.467.611y x x =+=⇒=67.619．已知圆心为的圆与两条直线，都相切． (),0(0)C a a <220x y ++=230x y +-=(1)求圆的标准方程；C (2)经过点的直线与圆交于，两点，若线段的中点恰好为点，求的面()2,1P --l C A B AB P ABC A 积．【答案】(1) 2264(5)5x y ++=(2)【分析】由题知，点到两直线的距离相等， ()1(),0(0)C a a <，进而可得圆的半径，即可得出答案．a r 当直线与直线垂直时，线段的中点恰好为，()2l CP AB ()2,1P --又，可得直线的斜率，进而可得直线的方程，13CP k =-l l 计算点到直线的距离，进而可得弦长，再计算的面积． ()5,0C -l d AB ABC A 【详解】（1）由题知，点到两直线的距离相等， (),0(0)C a a <，或舍去，5a =-1(3a =)所以圆的半径为C r =即圆的标准方程为． C 2264(5)5x y ++=（2）当直线与直线垂直时，线段的中点恰好为， l CP AB ()2,1P --又，则，13CP k =-3l k =所以直线的方程为， l 35y x =+点到直线的距离 ()5,0C -l d =AB ==所以的面积为． ABC A 12ABC S AB d =⋅=A 20．如图，且，，且，且，//AD BC 2AD BC =AD CD ⊥//EG AD EG AD =//CD FG 2CD FG =平面，，为的中点，为的中点.请用空间向量的知识解DG ⊥ABCD 2DA DC DG ===M CF N EG 答下列问题：(1)求证：平面；//MN CDE(2)求二面角的正弦值. D CE B --【答案】(1)证明见解析；.【分析】（1）由题可知，，两两垂直，以为原点，，，分别为轴，AD DC DG D DA DC DG x y 轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，运用空间向量法解决线面平行即可；（2）运用空间z 向量法解决二面角即可；【详解】（1）因为，平面， AD CD ⊥DG ⊥ABCD 所以，，两两垂直.AD DC DG 以为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， D DA DC DG x y z 所以可得，，，，，.()0,0,0D ()1,2,0B ()0,2,0C ()2,0,2E ()0,1,2F ()0,0,2G所以，，，()0,2,0DC = ()2,0,2DE =()1,0,0BC =- ()1,2,2.BE =- 因为为的中点，为的中点， M CF N EG 所以，.30,,12M ⎛⎫⎪⎝⎭()1,0,2N 所以.31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 设平面的法向量为，CDE ()111,,m x y z =则，即，不妨令，可得.·0·0m DC m DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 11120220y x z =⎧⎨+=⎩11z =-()1,0,1m =- 所以，1010MN m ⋅=+-=所以. MN m ⊥ 又平面， MN ⊄CDE 所以平面. //MN CDE （2）由（1）得，设平面的法向量为，BCE (),,n x y z =则，即，不妨令，可得.·0·0n BC n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 0220x x y z -=⎧⎨-+=⎩1z =()0,1,1n = 由（1）知，平面的一个法向量为.CDE ()1,0,1m =-所以，于是. 1cos ,2m n m n m n ⋅==-sin ,m n 所以二面角D CE B --21．一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．13(1)设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列、期望、方差； X X (2)设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布； Y Y (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 211243【分析】（1）由的可能取值为，且即可求出分布列，由二项分布的期X 0,1,2,3,4,51~5,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭望、方差公式即可计算期望、方差；（2）的可能取值为，分别求出相应的概率，即可求出的分布列； Y 0,1,2,3,4,5Y （3）利用对立事件概率计算公式即可求出结果.【详解】（1）由题意可知，可取，且服从二项分布，则X 0,1,2,3,4,51~5,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，， ()050512320C 33243P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()141512801C 33243P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，， ()232512802C 33243P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()323512403C 33243P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，． ()414512104C 33243P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()50551215C 33243P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭由此得的分布如下：XP 0 1 2 34 5X 32243802438024340243102431243所以，.()15533E X =⨯=()12105339D X =⨯⨯=（2）由于为这名学生在首次停车前经过的路口数，显然是随机变量， Y Y 其取值为且0,1,2,3,4,5，，， ()02110333P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()12121339P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()221423327P Y ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，，， ()321833381P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()42116433243P Y ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭()523253243P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭由此得的分布如下：YP 01 2 34 5Y 13294278811624332243（3）设这名学生在途中至少遇到一次红灯为事件， A 所求概率. ()()32211101243243P A P X =-==-=22．已知椭圆的左右焦点分别为，连接椭圆的四个顶点所2222:1(0)x y C a b a b +=>>1212,,2F F F F =C成的四边形的周长为. (1)求椭圆的方程和离心率；C (2)已知过点的直线与椭圆交于两点，过点且与直线垂直的直线与椭圆交于两1F 1l ,P Q 2F 1l 2l ,M N 点，求的值.PQ MN PQ MN+⋅【答案】(1)标准方程：，离心率：.22143x y +=12(2) 712【分析】（1）根据椭圆的焦距和椭圆的顶点四边形位置、数量关系结合关系即可求解；a b c ，，（2）设而不求，假设直线方程后与椭圆联立，利用韦达定理和弦长公式整理即可得解. 【详解】（1）根据题意， 22c =所以，1c =椭圆顶点围成的四边形周长为：=所以， 227a b +=又因为， 2217a a +-=所以，，24a =23b =故椭圆方程为：，22143x y +=椭圆离心率为.12c e a ==（2）①当直线PQ 斜率不存在时，|PQ|，|MN|，22b a=2a =此时. 211172212PQ MN a PQ MNPQ MN b a +=+=+=⋅②当直线PQ 斜率为0时，|PQ|，|MN|，2a =22b a=此时. 211172212PQ MN a PQ MNPQ MN a b +=+=+=⋅③当直线PQ 斜率存在且不为0时，设直线PQ :，直线MN ： ()1y k x =+()11y x k=--联立 221,43(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩所以[]2234(1)12,x k x ++=所以，2222(34)84120k x k x k +++-=所以， 221212228412,3434k k x xx x k k -+=-=++PQ ====()22(1)1234k k +=+同理可得，. 2211234k MN k +=+此时. 22222222113434777(1)712(1)12(1)12(1)12(1)12PQ MNk k k k PQ MN PQ MN k k k k +++++=+=+===⋅++++综上所述，的值为. PQ MN PQ MN+⋅712。

安徽省六安第二中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知抛物线的准线是圆2240x y +-=与圆2230x y y ++-=的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（）A ．24y x=B ．24y x =-C ．24x y=D ．24x y=-2．若椭圆2214x y m +=的一个焦点为(0,1)-，则m 的值为（）A ．5B ．3C ．4D ．23．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣4．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 一个交点，则双曲线的离心率取值范围是（）A ．B ．(1,2)C ．)+∞D ．(2,)+∞5．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=6．设12,e e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅= ，则2212212()e e e e +的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．不确定7．直线:4l y x =-+与曲线21169x xy ⋅+=交点的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．18．已知抛物线C ：28y x =的交点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若3PF MF =，则||MN =2132二、多选题9．已知直线1l ：0x ay a +-=和直线2l ：()2310ax a y ---=，下列说法正确的是（）A ．2l 始终过定点21,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．若12l l //，则1a =或-3C ．若12l l ⊥，则0a =或2D ．当0a >时，1l 始终不过第三象限10．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 处变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点处第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e ，2e ，则下列结论正确的是（）A ．()11222a c a c +>+B ．1122a c a c -=-C ．2112e e +=D ．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁11．已知双曲线22:184x y C -=的左､右顶点分别为,A B ，点P 是C 上的任意一点，则下列结论正确的是（）A ．若直线y kx =与双曲线C 无交点，则2k >B ．焦点到渐近线的距离为2C ．点P 到两条渐近线的距离之积为83D ．当P 与,A B 不重合时，直线,PA PB 的斜率之积为212．已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，则下列说法一定正确的是（）A ．AB 的最小值为2B ．线段AB 为直径的圆与直线=1x -相切C ．12x x 为定值D ．若(1,0)M -，则AMF BMF∠=∠三、填空题13．抛物线26y x =-的焦点坐标为__________．14．直线y x b =+与曲线x =则b 的取值范围是__________．15．已知直线1y ax =+与双曲线2231x y -=相交于A ，B 两点，若A ，B 两点在双曲线的左支上，则实数a 的取值范围是__________．16．若点P 在椭圆C 1：22x ＋y 2＝1上，C 1的右焦点为F ，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋10x －8y ＋39＝0上，则PQ PF -的最小值为__________．四、解答题17．已知圆22:410C x y y +-+=，点()11M --，.(1)若过点M 的直线l 与圆交于A ，B 两点，若AB =l 的方程；(2)从圆C 外一点P 向该圆引一条切线，记切点为T ，若满足PT ＝PM ，求使PT 取得最小值时点P 的坐标．18．已知双曲线：C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)与22142-=y x 有相同的渐近线，且经过点M.（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ､B ，且线段AB 的中点在圆2220x y +=上，求实数m 的值.19．已知抛物线C 的方程为28x y =，点)(0,4M ，过点M 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)2211AMBM+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；(2)若点Q 是直线:4l y =-上的动点，且OQ AB ⊥，求ABQ 面积的最小值20．已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F (1，0)，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，直线AO ，BO 分别与直线m ：x ＝－2相交于M ，N 两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)求证：△ABO 与△MNO 的面积之比为定值．21．如图，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D .(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =;(3)是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．C【分析】根据给定条件，求出两个圆的公共弦所在的直线方程，再求出抛物线方程作答.【详解】将两圆2240x y +-=、2230x y y ++-=的方程相减得：1y =-，显然圆2240x y +-=的圆心(0,0)到直线1y =-距离1小于其半径2，圆2230x y y ++-=的圆心1(0,)2-到直线1y =-距离12小于其半径2，因此直线1y =-是圆2240x y +-=与圆2230x y y ++-=的公共弦所在的直线，即抛物线的准线，所以抛物线的标准方程为：24x y =.故选：C 2．B【分析】由题意判断椭圆焦点在y 轴上，则4=+1m ，解方程即可确定m 的值.【详解】有题意知：焦点在y 轴上，则2224,,1a b m c ===，从而4=+1m ，解得：=3m .故选：B.3．A【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB = 点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABP S AB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．4．D【分析】设过右焦点F)y x c =-，联立直线方程与双曲线方程并化简，由条件列不等式可得a b ，的关系，由此求双曲线的离心率取值范围.【详解】设过右焦点F)y x c t =-+，联立方程组22221)x y a b y x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，化简可得22222222(3)630b a x a cx a c a b -+--=，方程22222222(3)630b a x a cx a c a b -+--=的判别式4222222224=364(3)(3)160a c b a a c a b a b ∆+-+=>，设方程的解为12x x ，，∵直线与双曲线的左右支各有一个交点，∴120x x ⋅<，∴222222303a c a b b a --<-，∴2240c a ->，∴双曲线的离心率2e >，即双曲线的离心率取值范围是(2,)+∞.故选：D.5．D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据44PAM PM AB S PA ⋅== 可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d =>，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP ，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．6．C【分析】设它们共同的焦距为2c ，椭圆的长轴长12a ，双曲线的实轴长为22a ，由椭圆和双曲线的定义及勾股定理建立关于12,,a a c 的方程，联立解得可得222122a a c +=,再根据离心率的定义化简整理可得到()2212212e e e e +的值.【详解】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，P 为两曲线的一个公共点，则1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，平方相加得2222121222PF PF a a +=+，又1212,0PF PF PF PF ⋅∴⊥=，22222221212124,2PF PF F F c a a c ∴+==∴+=，2212222a a c c∴+=，即221222*********e e e e e e ++==.故选：C.7．B【分析】分类讨论，0x ≥和0x <，分别解方程组得解了和个数，也即得交点个数．【详解】解：若0x ，由2241169y x y x =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得225720x x -=，解得0x =或72x 25=，均满足题意，所以直线与半椭圆有两个交点；若0x <，由2241169y x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得225720x x +=，解得7225x =-，满足题意，所以直线与半双曲线有一个交点．综上所述，直线:4l y x =-+与曲线21169x xy ⋅+=交点的个数为3个．故选：B ．8．B【分析】由题意可得直线PF的方程为)2y x =-，再将直线的方程与抛物线28y x =的方程组成方程组，消去y 得到关于x 的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段MN 的长．【详解】抛物线C ：28y x =的焦点为F (2,0)，准线为:2l x =-．如下图．设()()1122,,,,,M x y N x y M N 到准线的距离分别为,M N d d ，由抛物线的定义可知122,2M N MF d x NF d x ==+==+，于是124MN MF NF x x =+=++．作MH ⊥l 于H ，∵3PF MF = ，∴22PM MF MH ==，∴60PMH ∠︒=，根据对称性可得直线AB的斜率为∴直线PF的方程为)2y x =-.由)228y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去y 整理得2320120x x -+=，∴12203x x +=．于是1220324433MN x x =++=+=．故选B ．【点睛】解答本题时注意两点：一是抛物线定义的应用，即利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，根据此结论可将问题的解决带来方便．二是代数方法的应用，将求弦长的问题转化为二次方程根与系数的关系求解，即借助代数方法求解几何问题．9．ACD【分析】将直线化为(2)310a x y y -+-=可判断A ；将1a =或-3代入直线方程可判断B ；根据12120A A B B +=可判断C ；将直线化为11y x a=-+，即可求解.【详解】2l ：(2)310a x y y -+-=过点21,33⎛⎫⎪⎝⎭，A 正确；当1a =时，1l ，2l 重合，故B 错误；由1(32)0a a a ⨯+⨯-=，得0a =或2，故C 正确；1l ：11y x a=-+始终过()0,1，斜率为负，不会过第三象限，故D 正确.故选：ACD【点睛】本题考查了直线过定点、直线垂直求参数，考查了基本运算求解能力，属于基础题.10．ABC【解析】由122a a =，12222c a c c =+>，得出A 正确；由11||a c PF -=，22||a c PF -=，得到B 正确；由122a a =，122c a c =+，得出离心率判断C 正确；求出12e e >，判断D 错误．【详解】解：对于A 、由122a a =，12222c a c c =+>，所以11222()a c a c +>+，所以选项A 正确；对于B 、由11||a c PF -=，22||a c PF -=，得到：1122a c a c -=-，所以选项B 正确；对于C 、由122a a =，122c a c =+，得2122212122c c a c a a a ++==，即2112e e +=，所以选项C 正确；对于D 、根据选项C 知，122212e e e =+>，所以12e e >，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁些，选项D 错误．故选：ABC ．11．BC【分析】由双曲线的渐近线可以判断A ；求出双曲线的渐近线和焦点，进而根据点到直线的距离判断B ；设点(),P x y ，进而求出该点到两条渐近线的距离之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断C ；求出,PA PB 的斜率之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断D.【详解】对A，双曲线的渐近线方程为2y x =±，若直线y kx =与双曲线C无交点，则k ≥.A 错误；对B ，由A渐近线方程为0x ±=，焦点为()±，则焦点到渐近线的距离2d =.B 正确；对C ，设点(),P x y ，则222212884x y x y -=⇒-=，点P 到两条渐近线的距离之积为222833x y -.C正确；对D，易得()(),A B -，由C 点(),P xy 满足(22418x y x ⎛⎫=-≠± ⎪⎝⎭，所以直线,PAPB的斜率之积为22224181882x y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭===---.D 错误.故选：BC.12．BCD【分析】根据抛物线焦点弦的性质即可结合选项逐一判断.【详解】对A ，抛物线2:4C y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为=1x -，过焦点的弦中通径最短，所以AB 最小值24p =，故A不正确；对B ，如图，设线段AB 的中点为D ，过点A ，B ，D 作准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，1D ，由抛物线的定义可知11AA AF BB BF ==，，所以11112()12DD AA BB AB ==+,所以以线段AB 为直径的圆与直线=1x -相切，故B 正确；对C ，设AB 所在的方程为1x ny =+，由21,4x ny y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ny --=，所以124y y =-，()21212116y y x x ==，故C 正确；对D ，由C 得124y y n +=，()()()()()12121212121222880111111AM BM ny y y y y y n n k k x x x x x x ++-++=+===++++++，故D 正确．故选:BCD13．10,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】化成标准形式，结合焦点定义即可求解.【详解】由26y x =-，得216x y =-，故抛物线的焦点坐标为10,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：10,24⎛⎫- ⎪⎝⎭14．11b -<≤或b =.【分析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.【详解】由曲线x =可得221(0)x y x +=≥，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，y x b =+是倾斜角为4π的直线与曲线x =（1）直线与半圆相切，根据d r =，所以1d =，结合图像可得b =（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知11b -<≤.故答案为：11b -<≤或b =【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果x 或y 有限制，需要数形结合进行分析.15a <<【分析】联立直线与双曲线的方程，根据一元二次方程根的分布即可求解.【详解】由221,31,y ax x y =+⎧⎨-=⎩得()223220a x ax ---=，方程在⎛-∞ ⎝⎭有两个不相等的负实根，所以(()()2222122212230Δ48(3)003333660,3333a a a a x x a a x x a ⎧-≠⎪=+->⎪⎪⎛⎪++=> ⎪⎨ ⎪-⎪⎝⎭⎝⎭⎪--⎪+++=<⎪-⎩,a <<.a <16．2【分析】根据椭圆的定义得222PE PF a +==，结合圆的性质以及四点共线即可求解最小值.【详解】记椭圆C 1：22x ＋y 2＝1的左焦点为E (－1,0)，右焦点F (1,0)，由椭圆的定义可得，222PE PF a +==，所以22PQ PF PQ PE -=+-，由22108390x y x y ++-+=，得()()22542x y ++-=，即圆C 2的圆心为()5,4-，半径为2r =，作出图形如图所示，由圆的性质可得，222PQ PC r PC ≥-=-，22PQ PF PQ PE -=+-223322PC PE EC ≥+-≥-＝22(51)4-++32-＝42－32＝2(当且仅当C 2，Q ，P ，E 四点共线时，等号成立)，所以PQ PF -的最小值为2.故答案为：217．(1)=1x -或4310x y -+=.(2)131,2020⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据圆的弦长求解，即可根据直线有无斜率讨论求解，（2）根据两点间距离公式可得点P 轨迹，根据点到直线的距离即可求解最小值，联立方程即可求解交点坐标.【详解】（1）圆C 的标准方程为()223=2x y +-，圆心为()02，，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为=1x -，此时AB =当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1=1y k x ++，即10kx y k -+-=，.∵AB =，∴圆心C 到直线l 的距离d＝1，∴d＝1，解得k ＝43，则直线l 的方程为4310x y -+=，∴所求直线l 的方程为=1x -或4310x y -+=.（2）设()00P ,x y ,PT=∵PT PM =，∴，化简得002610x y ++=，∴点()00,P x y 在直线2610x y ++=.当PT 取得最小值时，即PM 取得最小值，即为点()1,1M --到直线2610x y ++=的距离，此时直线PM 垂直于直线2610x y ++=，∴直线PM 的方程为6240x y -+=，即320x y -+=.由2610,320,x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得13,201,20x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点P 的坐标为(－1320，120).18．（1）2212y x -=；（2）2m =±.【解析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点M 计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于x 的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出AB 的中点坐标，代入圆的方程计算.【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为22(0)42λλ-=≠y x ，又因为双曲线过点M ，221422λ=-=-，所以双曲线的方程为：2212y x -=（2）由2212y x m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22220x mx m ---=设()11,A x y ()22,B x y ，则122x x m +=，2122x x m ⋅=--，所以124y y m+=则AB 中点坐标为(),2m m ，代入圆2220x y +=得2520=m ，所以2m =±.19．(1)是定值，116；【分析】（1）由题意设出AB 所在直线方程，与抛物线方程联立，化为关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得2211||||AM BM +为定值116；（2）当AB 的斜率为0时，求得三角形ABQ的面积为AB 的斜率不为0时，由弦长公式求解||AB ，再由点到直线的距离公式求Q 到AB 的距离，代入三角形面积公式，利用函数单调性可得三角形ABQ的面积大于ABQ 面积的最小值．【详解】（1）由题意知，直线AB 斜率k 存在，不妨设其方程为4y kx =+，联立抛物线C 的方程可得28320x kx --=，设)(11,A x y ，)(22,B x y ，则128x x k +=，1232x x =-，所以1AM =，2BM =，所以)()(22222212111111k x k x AM BM +=+++)()()()()(22121222221264121161321k x x x x k k x x ++-==++，所以2211AM BM +是定值116；（2）当直线AB 的斜率为0时，)(0,4Q -，又)(A，)(B -，此时182ABQ S =⨯=△．当直线AB 的斜率不力0时，12AB x =-==，又因为OQ AB ⊥，且直线AB 的斜率不为0，所以1:OQ y x k=-，即)(4,4Q k -，所以点Q 到直线AB的距离d =，此时111622ABQ S AB OQ ==⋅ 因为)(3228k +>，所以，综上，ABQ 面积的最小值为．20．(1)y 2＝4x(2)证明见解析【分析】（1）由焦点坐标得焦参数p ，从而得抛物线方程；（2）直线垂直于x 轴时直接求出面积比，直线与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为y ＝k (x －1)，设M (－2，yM )，N (－2，yN )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线方程代入抛物线方程后由韦达定理得12x x ，然后计算面积比可得．【详解】（1）由焦点坐标可知，2p ＝1，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .（2）证明：当直线垂直于x 轴时，△ABO 与△MNO 相似，所以ABO MNO S S !!＝(2OF )2＝14.当直线与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为y ＝k (x －1)，设M (－2，yM )，N (－2，yN )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得k 2x 2－(4＋2k 2)x ＋k 2＝0，所以x 1x 2＝1，所以ABO MNO S S !!＝1sin 21sin 2AO BO AOB MO NO MON ⋅⋅∠⋅⋅∠＝AO BO MO NO ⋅⋅＝12x ·22x ＝14，综上，ABO MNO S S !!＝14.21．(1)28x ＋24y ＝1，24x －24y ＝1；(2)证明见解析；(3)存在，8.【分析】（1）由题可得a 、c ，再根据222a b c =+，即可求出椭圆方程，由双曲线的离心率，设双曲线方程为2222:1(0)x y N m m m-=>，由顶点坐标求出m ，即可求出双曲线方程；（2）设()00,P x y ，即可表示1k ，2k ，再根据P 在双曲线上，即可得到22004x y -=，从而得解；（3）设直线1PF 的方程为1(1)y k x =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由弦长公式表示出||AB ，再设直线2PF 的方程为2(1)y k x =-，即可得到CD ，则11||||AB CD λ=+代入计算可得；【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意知：2c a =，由椭圆定义知)2241a c +=，所以2c =，a =222a b c =+，因此24b =，故椭圆的标准方程为228:14x y M +=，由题意知双曲线为等轴双曲线，设其标准方程为2222:1(0)x y N m m m-=>，因为双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以2m c ==，因此双曲线的标准方程为22:144x y N -=；（2）设()00,P x y ，由于1(2,0)F -，2(2,0)F ，则0102y k x =+，0202y k x =-，因为点P 在双曲线22:144x y N -=上，所以22004x y -=，因此20001220001224y y y k k x x x =⋅==+--，即121k k =为定值；（3）由于直线1PF ､2PF 斜率一定存在，设直线1PF 的方程为1(2)y k x =+联立122(2)184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222111128880k x k x k +++-=，由于()213210k ∆=+>恒成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有211221812k x x k -+=+，2112218812k x x k -=+，则由弦长公式||AB ==，化简得)21211||12k AB k +=+即21||AB =直线2PF 的方程为()22y k x =-，同理可得21||CD =由于121k k =，可得)()2212121||81k CD k +=+，所以)())())()2221112221111223311||||8181881k k k AB CD k k k λ+++=+=+==+++，综上，存在常数8λ=，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立.。

高二下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知两个向量，且，则的值为（ ）()()2,1,2,4,,a b m n =-= //a bm n +A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】B【分析】根据向量共线得，解出即可. 4212m n ==-【详解】，，解得， //a b 4212m n∴==-2,4m n =-=则. 2m n +=故选：B.2．直线的一个方向向量是（ ） 210x y ++=A ． B ．C ．D ．()1,2-()1,2()2,1-()2,1【答案】C【分析】先由直线斜率得到直线的一个方向向量，再对选项逐一检验即可. 【详解】因为直线可化为，210x y ++=1122y x =--所以直线的斜率为，则直线的一个方向向量为，210x y ++=12k =-11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对于A ，与不平行，故A 错误；(1,2)-11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对于B ，与不平行，故B 错误；(1,2)11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对于C ，，故与平行，则也是直线的一个方向向,(22,1)211⎛⎫-= ⎝-⎪⎭(2,1)-11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2,1)-210x y ++=量，故C 正确；对于D ，与不平行，故D 错误.(2,1)11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：C.3．椭圆的焦距为4，则的值等于（ ）2219x y m +=m A ．5 B ．13C ．5或13D ．25【答案】C【分析】根据椭圆中的关系求解. ,,a b c 【详解】由题知：，24,2=∴=c c当焦点在轴上时，； x 2913m c =+=当焦点在轴上时，，y 295m c =-=或13.5m ∴=故选:C.4．在正四面体中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则的值为-P ABC PE BC ⋅A ．B ．1C D ．1-73【答案】A【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E 是棱中点，可PA BC ⊥0PA BC ⋅=AB 得，代入，利用数量积运算性质即可得出.()12PE PA PB =+ PE BC ⋅【详解】如图所示由正四面体的性质可得：PA BC ⊥可得：0PA BC ⋅=是棱中点E AB()12PE PA PB \=+()111122cos12012222PE BC PA PB BC PA BC PB BC \×=+×=×+×=´´´=- 故选：A 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.5．在数列中，，且，，则（ ） {}n a 12a =111n na a +=-*n ∈N 2022a =A ．2 B ．-1C ．D ．112【答案】C【分析】根据给定条件推导出数列的周期，再借助周期性计算得解.{}n a【详解】解：在数列中，，，则， {}n a N n *∀∈111n na a +=-2111111111n n n na a a a ++===----，3211111(1)n nn na a a a ++===---于是得数列是周期数列，周期为3， {}n a 又，所以，，所以， 12a =21111112a a ===---()321111112a a ===---202267333312a a a ⨯+===所以. 202212a =故选：C.6．等比数列中，已知，则的值为（ ） {}n a 135716,8a a a a +=+=9111315a a a a +++A ．2 B ．4 C ．6 D ．12【答案】C【分析】利用等比数列的性质求解.【详解】设等比数列的公比为，则，{}n a q 445173,a a q a a q ==. 4571312a a q a a +∴==+.()()2891113151357116862a a a a a a a a q ⎛⎫∴+++=+++⋅=+⨯= ⎪⎝⎭故选:C.7．若两圆和恰有三条公切线，则()229900x y m m +++-=>()221400x y n n +--+=>的最小值为（ ） 114m n+A ． B ．C ．D ．1161414【答案】C【分析】分析出两圆外切，可得出，将与相乘，展开后利用基本不9416m n +=114m n +()19416m n +等式可求得的最小值. 114m n+【详解】圆的标准方程为，圆心为()229900x y m m +++-=>(229x y ++=，半径为，()1C -13r =圆的标准方程为，圆心为，半径为()221400x y n n +--+=>(221x y +-=(20,C ，21r =因为两圆有三条公切线，则两圆外切，则，14C ==即，9416m n +=， 119411149191101416416416m n n m m n m n m n ⎛+⎛⎫⎛⎫∴+=+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当，即时，等号成立， 494n mm n=344m n ==故的最小值为. 114m n+1故选：C.8．如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，是111ABC A B C -AB AC 1AA 1AB AC AA ==M N 线段，上的点，平面与平面 所成（锐）二面角为，当最小时，1BB 1CC AMN ABC 6π1B M （ ）AMB ∠=A ．B ．C ．D ．512π3π4π6π【答案】B【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能A AC x AB y 1AA z 求出的大小．AMB ∠【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， A AC x AB y 1AA z 设，1=1AB AC AA ==设，，则，0，，，1，，，0，，，1，，CN b =BM a =(1N )b (0M )a (0A 0)(0B 0)，1，，，0，，(0AM = )a (1AN =)b 设平面的法向量，，，AMN (n x =y )z，取，得，，， ·0·0AM n y az AN n x bz⎧=+=⎨=+=⎩1z =(n b =-a -1)平面的法向量，0，，ABC (0m =1)平面与平面所成（锐二面角为，AMN ABC )6π||cos 6||||m n m n π∴= A A 解得，22331a b +=当|最小时，，∴1|B M 0b=BM a == tan AB AMB BM ∴∠==．3AMB π∴∠=故选．B【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、多选题9．已知直线，则下列说法正确的是 12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=A ．若，则m =-1或m =3 B ．若，则m =3 12l l //12l l //C ．若，则D ．若，则 12l l ⊥12m =-12l l ⊥12m =【答案】BD【分析】根据两直线平行或垂直求出参数值然后判断．【详解】直线，则，解得或，但时，两直线方程分别为12l l //3(2)0m m --=3m =1m =-1m =-，即，两直线重合，只有时两直线平行，A 错，B 正10x y --=3330x y -++=30x y --=3m =确；，则，，C 错，D 正确． 12l l ⊥230m m -+=12m =故选：BD ．【点睛】本题考查两直线平行与垂直的条件，在由两直线平行求参数时要注意检验，排除两直线重合的情形．如果用斜率求解还需讨论斜率不存在的情形．10．已知向量，则（ ）()()()1,1,0,1,0,1,2,3,1a b c =-=-=-A ．B ．6a b -= ()()27a b b c +⋅+= C ．D ．()5a b c +⊥ ()a b c - ∥【答案】CD【分析】根据空间向量的模长、数量积的坐标运算，以及平行、垂直的坐标表示即可求解.【详解】对于A,， ()()()1,1,0,1,0,1,2,1,1a b a b =-=-∴-=--A 错误；a b ∴-==对于B ，，()()21,1,2,1,3,2a b b c +=--+=-则，故B 错误； ()()()()()21113226a b b c +⋅+=-⨯+-⨯-+⨯= 对于C,，()54,1,5a b +=--则，()()()54213510a b c +⋅=-⨯+-⨯-+⨯=则，故C 正确；()5a b c +⊥ 对于D ，，故D 正确.()()()3,3,0,1,1,0,3,b c a b c a a b c -=-=-∴-=-∴-∥故选:CD.11．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“耗子穿墙”问题：今有垣厚五尺，两老鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.下列说法中正硆的有（ ） A ．大鼠与小鼠在第三天相逢B ．大鼠与小鼠在第四天相逢C ．大鼠一共穿墙尺D ．大鼠和小鼠穿墙的长度比为591759:27【答案】AC【分析】对A 和B 构造等比数列，利用等比数列求和公式即可求出的值，对C ，首先求出前两天n 每天各自的工作量，再列方程求出第三天大小老鼠打通的长度，最后即可判断C 和D.【详解】对A 和B ，今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，由题得大鼠和小鼠每一天的穿墙长度成等比数列， 分别设大鼠和小鼠每日穿墙长度所成的数列为， {}{},n n a b 则大鼠第日穿墙，小鼠第n 日穿墙，n 12n n a -=112n n b -⎛⎫⎪⎝⎭=则，11122511212nnn S ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=--整理得，解得， 11242nn --=121n -=+()21log 12,3n ⎛=+∈ ⎝，，故大鼠与小鼠在第三天相逢，故A 正确，B 错误； N n *∈ 3n =对C ，第一天大老鼠打了1尺，小老鼠1尺，一共2尺，还剩3尺；第二天大老鼠打了2尺，小老鼠打了0.5尺，这一天一共打了2.5尺，两天一共打了4.5尺，还剩0.5尺.第三天按道理应是大老鼠打4尺，小老鼠0.25尺， 可是总长度只剩0.5尺没有打通，所以在第三天肯定可以打通.设第三天大老鼠打了尺，小老鼠则打了尺，则打洞时间相等：，解x ()0.5x -()40.50.25x x ÷=-÷方程得大老鼠在第三天打了尺，8,17x =∴817小老鼠打了，三天总的来说：大老鼠打了尺，故C 正确； 810.51734-=85931717+=对D ，大鼠和小鼠穿墙的长度比为：，故D 错误.5959:559:261717⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：AC.12．已知动点在双曲线上，双曲线的左､右焦点分别为，下列结论正确的是P 22:13y C x -=C 12F F､（ ）A ．双曲线的离心率为2 CB ．双曲线的渐近线方程为C y =C ．动点到两条渐近线的距离之积为定值PD ．当动点在双曲线的左支上时，的最大值为P C 122PF PF 18【答案】ACD【分析】根据双曲线的性质可判断A,B ，利用点到直线距离公式可判断C ，利用双曲线的定义以及基本不等式判断D.【详解】对A 和B ，双曲线，22:1,1,23y C x a b c -====所以双曲线的离心率为，C e 2==ca渐近线方程为，A 选项正确，B 选项错误；y =对C ，设点的坐标为，则，P ()00,x y 22013y x -=双曲线，C 0y -=0y +=则点C 选项正确； P 3,4对D ，当动点在双曲线的左支上时，， P C 12111,22PF c a PF a PF PF ≥-==+=+，()11122221111111484424PF PF PF PF PF PF PFPF PF ===≤=+++++当且仅当时，等号成立，12=PF 所以，的最大值为，D 选项正确.122PF PF 18故选:ACD.三、填空题13．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________． 【答案】π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【详解】因为sin α∈[－1，1]， 所以－sin α∈[－1，1]，所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是．π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭答案：π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭14．如图所示，在平行六面体中是的中点，点1111ABCD A B C D -1AB a AD b AA c M ===，，，，1D D N 是上的点，且，用表示向量的结果是______.1AC 113AN AC = a b c，，MN【答案】121336a b c --【分析】由空间向量的线性运算求解．【详解】是的中点，M 1D D 113AN AC =()111111112323MN MD DA AN DD AD AC AA AD AA AD AB ∴=++=--+=--+++． 1121121336336AB AD AA a b c =--=--故答案为：．121336a b c --四、双空题15．十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，记其前项和为，设{}n a 12121,1,(3n n n a a a a a n --===+≥)*N n ∈n n S （为常数），则__________，__________. 2022a m =m 20202022S a -=135********a a a a a +++++= 【答案】1-m 【分析】因为斐波那契数列满足，，通过归纳可以得出，由{}n a 11a =21a =211n n n n a a a S ++=+=+此可求，再结合求的值. 20202022S a -132********a a a a S ++⋯+=+13520192021a a a a a +++++ 【详解】因为斐波那契数列满足 {}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+所以321a a a =+，432211a a a a a =+=++，5433211a a a a a a =+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 21122111n n n n n n n a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ 所以，20202022S 1a -=-，135201920211123420192020a a a a a a a a a a a a +++++=+++++++ ， 135201920211202012022111a a a a a a S a a m m +++++=+=+-=+-= 故答案为：；.1-m五、填空题16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：一动点到两定点的距离之比等于定比，则点P A B ､m n :P 的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系中，点，满足的xOy ()6,0A ||:||2:1MA MO =动点的轨迹为，若在直线上存在点，在曲线上存在两点，使得M C :60l x ay a -+=P C D E ､，则实数的取值范围是__________. PD PE ⊥a 【答案】[]1,7-【分析】根据平面轨迹的求法求得动点的轨迹方程曲线为圆，作出图像，根据题意可知点M C G到直线距离的最大值为，从而利用点线距离公式即可得解.l 【详解】设，由题知，(),M x y ()222222|4|,(6)4MA MO x y x y =-+=+化简整理得，则此圆心为，半径为，22(2)16x y ++=()2,0G -4r =因为是曲线上的两点， ,PD PE D E ⊥､C 当都与圆相切，可使最大， PD PE ､DPE ∠又，，PD PE ⊥DG GE r ==此时四边形为正方形，，PDGE PG =显然，当为锐角，不满足题意，PG >DPE ∠当时，才能取得直角，故，PG ≤DPE ∠PG ≤所以点到直线距离要满足， G :60l x ay a -+=d PG ≤≤，解得，2670a a --≤17a -≤≤所以实数的取值范围为.a []1,7-故答案为：.[]1,7-【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用数形结合，找到圆心到直线距离的G :60l x ay a -+=最大值，从而列出关于的不等式，解之即可.a六、解答题17．已知直线：，直线：.1l 2240kx y k --+=2l 224480k x y k +--=（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；1l 1l （2）若，求直线的方程.12//l l 2l 【答案】（1）或；（2）.0x y -=40x y +-=60x y +-=【解析】（1）分直线过原点和直线不过原点两种情况讨论，分别求解即可.1l 1l (2) 若，则解得或,再验证从而得出答案.12l l //242k k ⨯=-⨯0k =2k =-【详解】（1）①若直线过原点，则在坐标轴的截距都为，显然满足题意，1l 1l 0此时则，解得， 240k -+=2k =②若直线不过原点，则斜率为，解得. 1l 12k =-2k =-因此所求直线的方程为或1l 0x y -=40x y +-=（2）①若，则解得或.12l l //242k k ⨯=-⨯0k =2k =-当时，直线：，直线：，两直线重合，不满足，故舍去； 0k =1l 240y -+=2l 480y -=12l l //当时，直线：，直线：，满足题意；2k =-1l 40x y +-=2l 60x y +-=因此所求直线：2l 60x y +-=【点睛】易错点睛：本题考查直线的截距概念和根据两直线的位置关系求参数，在解决这类问题时，直线在两坐标轴上的截距相等（或互为相反数）时，要注意直线过原点时也满足条件，这是l 在解题中容易漏掉的情况，在由直线平行求参数时，求出参数时要代回检验，对重合的情况要舍去，这个也是容易出错的地方，要注意，属于中档题.18．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线()222210,0x y a b a b-=>>y =的准线上.224y x =（1）求双曲线的焦点坐标；（2）求双曲线的标准方程.【答案】（1）；（2） ()6,0F ±221927x y -=【分析】（1）根据抛物线的准线方程是，求出双曲线的焦点坐标；（2）由条件可知抛物线6x =-的焦点是，且，求出双曲线的标准方程. ()6,0-b a=222c a b =+【详解】因为抛物线的准线方程为，224y x =6x =-则由题意得，点是双曲线的左焦点.()16,0F -（1）双曲线的焦点坐标.()6,0F ±（2）由（1）得，22236a b c +==又双曲线的一条渐近线方程是，y =所以，， b a =29a =227b =所以双曲线的方程为：. 221927x y -=【点睛】本题考查双曲线方程，几何性质，属于基础计算题型.19．已知圆过点相切于点．C (A 0y -=(B (1)求圆的标准方程；C (2)若，点在圆上运动，证明：为定值． ()()2,0,2,0M N -P C PM PN 【答案】(1)22(4)12x y -+=(2)证明过程见详解【分析】（1）设圆心，半径为，根据题意列出方程，求出圆心和半径，进而求出圆的方(),C a b r 程；（2）先将圆的标准方程化为一般方程，设点，再根据题意分别求出，，进而即(),P x y PM PN 可证明结论．【详解】（1）设圆心，半径为，(),C a b r因为点，，所以直线的中垂线方程是，(A (B AB 4x =过点垂直的直线方程是， (B 0y -=40x -=由，解得， 440x x =⎧⎪⎨-=⎪⎩40x y =⎧⎨=⎩圆心，，∴()4,0C r AC ==圆的标准方程是．∴C 22(4)12x y -+=（2）证明：由（1）知圆的标准方程为，22(4)12x y -+=则其一般方程为，即，22840x y x +-+=2284x y x +=-设点，且点在圆上运动，(),P x y P C则，PM ===PN ==于是， PMPN =为定值．PMPN ∴20．已知等比数列{an }中，a 1=1，且2a 2是a 3和4a 1的等差中项.数列{bn }满足b 1=1，b 7=13，且bn +2+bn =2bn +1.(1)求数列{an }的通项公式；(2)求数列{an +bn }的前n 项和Tn .【答案】(1)；(2).12n n a -=221n n T n =+-【分析】(1)根据已知条件求出等比数列的公比，然后利用等比数列通项公式求解即可；(2)根据已知求出数列的通项公式，再结合(1)中结论并利用分组求和法求解即可.{}n b 【详解】(1)设等比数列的公比为q ，{}n a 因为，所以，11a =222131,a a q q a a q q ====因为是和的等差中项，所以，即，解得，22a 3a 14a 23144a a a =+244q q =+2q =所以.1112n n n a a q --==故答案为：.12n n a -=(2)因为，所以为等差数列，212n n n b b b +++={}n b 因为，，所以公差， 11b =713b =131271d -==-故.21n b n =-所以1122n n n T a b a b a b =++++++ ()()1212n n a a a b b b =+++++++ . 2121212112()2n n n n n -+-=+=+--故答案为：.221n n T n =+-21．在①平面平面，②，③平面这三个条件中任选一个，补充PAB ⊥ABCD AP CD ⊥BC ⊥PAB 在下面的问题中并作答.如图，在四棱锥中，底面是梯形，点在上，，，P ABCD -ABCD E BC //AD BC AB AD ⊥AB AP ⊥，，且______.22244BC AB AD AP BE =====（1）求证：平面平面；PDE ⊥PAC （2）求直线与平面所成角的正弦值.PE PAC【答案】选条件①（1）证明见解析；（2②（1）证明见解析；（2③（1）证明见解析；（2【分析】若选①：（1）根据面面垂直的性质定理，可证明平面，建立空间直角坐标系PA ⊥ABCD 结合向量法证明和线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直判定定理，AC DE ⊥DE ⊥PAC 即可证明平面平面；（2）由（1）可得平面的一个法向量为，再利PDE ⊥PAC PAC ()2,1,0DE =- 用向量法结合线面所成角正弦公式即可求解直线与平面所成角的正弦值.PE PAC 若选②：根据线面垂直的判定定理，可证明平面；建立空间直角坐标系结合向量法证PA ⊥ABCD 明和线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直判定定理，即可证明平面AC DE ⊥DE ⊥PAC 平面；（2）由（1）可得平面的一个法向量为，再利用向量法结合PDE ⊥PAC PAC ()2,1,0DE =- 线面所成角正弦公式即可求解直线与平面所成角的正弦值.PE PAC 若选③：根据线面垂直的性质定理，可得，又，根据线面垂直的判定定理，即PA BC ⊥AB AP ⊥可证明平面，建立空间直角坐标系结合向量法证明和线面垂直的判定定理，PA ⊥ABCD AC DE ⊥可证平面，根据面面垂直判定定理，即可证明平面平面；（2）由（1）可DE ⊥PAC PDE ⊥PAC 得平面的一个法向量为，再利用向量法结合线面所成角正弦公式即可求解直线PAC ()2,1,0DE =- 与平面所成角的正弦值.PE PAC 【详解】方案一：选条件①.（1）∵平面平面，平面平面，平面，， PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =AP ⊂PAB AP AB ⊥∴平面.AP ⊥ABCD 又，∴，，两两垂直.AB AD ⊥AB AD AP 以A 为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标AB AD AP x y z 系，则，，，，，()0,0,0A ()2,4,0C ()0,2,0D ()2,1,0E ()0,0,2P ∴，，.()2,4,0AC = ()0,0,2AP = ()2,1,0DE =- ∵，， ()2241000AC DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ()0201200AP DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ∴，.AC DE ⊥AP DE ⊥又，∴平面.AP AC A ⋂=DE ⊥PAC又平面，∴平面平面.DE ⊂PDE PDE ⊥PAC （2）由（1）可得平面的一个法向量为，PAC ()2,1,0DE =- 又， ()2,1,2PE =- 设直线与平面所成角为，PE PAC θ则sin cos ,PE DE PE DE PE DE θ⋅==== 方案二：选条件②.（1）∵底面为梯形，，∴两腰，必相交.ABCD //AD BC AB CD 又，，，平面，AP AB ⊥AP CD ⊥AB CD ⊂ABCD ∴平面.AP ⊥ABCD 又，∴，，两两垂直.AB AD ⊥AB AD AP 以A 为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标AB AD AP x y z 系，则，，，，，()0,0,0A ()2,4,0C ()0,2,0D ()2,1,0E ()0,0,2P ∴，，.()2,4,0AC = ()0,0,2AP = ()2,1,0DE =- ∵，，()2241000AC DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ()0201200AP DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ∴，.AC DE ⊥AP DE ⊥又，∴平面.AP AC A ⋂=DE ⊥PAC 又平面，∴平面平面.DE ⊂PDE PDE ⊥PAC （2）由（1）可得平面的一个法向量为，PAC ()2,1,0DE =- 又，()2,1,2PE =- 设直线与平面所成角为，PE PAC θ则,sin cos ,PE DE PE DE PE DE θ==== 方案三：选条件③.（1）∵平面，平面，∴.BC ⊥PAB AP ⊂PAB BC AP ⊥又，，平面，，AP AB ⊥AB BC ⊂ABCD AB BC B ⋂=∴平面.AP ⊥ABCD 又，∴，，两两垂直.AB AD ⊥AB AD AP 以A 为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标AB AD AP x y z 系，则，，，，，()0,0,0A ()2,4,0C ()0,2,0D ()2,1,0E ()0,0,2P ∴，，.()2,4,0AC = ()0,0,2AP = ()2,1,0DE =- ∵，，()2241000AC DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ()0201200AP DE ⋅=⨯+⨯-+⨯= ∴，.AC DE ⊥AP DE ⊥又，∴平面.AP AC A ⋂=DE ⊥PAC 又平面，∴平面平面DE ⊂PDE PDE ⊥PAC （2）由（1）可得平面的一个法向量为，PAC ()2,1,0DE =- 又，()2,1,2PE =- 设直线与平面所成角为，PE PAC θ则,sin cos ,PE DE PE DE PE DE θ==== 22．已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线x ()0,1A -的距离为4.0x +=(1)求椭圆的方程；(2)是否存在斜率为的直线，使与已知椭圆交于不同的两点，且？若存在，请k l l ,M N AN AM =求出的取值范围，若不存在，请说明理由.k 【答案】(1) 2214xy +=(2)存在，(【分析】(1)根据椭圆的定义结合点到直线距离公式求解； (2)利用韦达定理表示出中点的坐标，再结合可得，利用斜率之积等于MN P AN AM =AP MN ⊥即可求解. 1-【详解】（1）因为椭圆中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，x ()0,1A -由题意，可设椭圆的方程，则其右焦点， 2221(1)xy a a+=>)F 由到直线的距离，F 0x +=4d =4解得，所以椭圆的方程. 2a =2214x y +=（2）假设存在直线符合题意.与椭圆方程联立，:l y kx b =+得：，消去得：2214x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y ()222418440.k x bkx b +++-=, ()()()22222(8)441441641kb k b k b ∆=-⨯+⨯-=+-设，则有，()()1122,,,M x y N x y ()22122Δ16140814k b bk x x k ⎧=+->⎪⎨+=-⎪+⎩， ()12122282221414bk b y y k x x b k b k k ⎛⎫∴+=++=-+= ⎪++⎝⎭的中点的坐标. MN ∴P 224,1414bk b k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭是线段的垂直平分线，于是.,AN AM AP =∴ MN AP MN ⊥根据斜率之积为，即， 1-221141414AP MNb k k k k bk k ++⋅=⋅=--+可得，将其代入， 2413k b +=22140k b ∆=+->并整理得：，解得：.()()224120k k +-<k <故存在满足条件的直线，其斜率的取值范围. l (【点睛】关键点点睛：本题第二小问关键在于利用韦达定理表示的中点的坐标，再根据几何MN P 关系确定，从而建立代数关系式可得，再根据判别式大于零即可求范围. AP MN ⊥2413k b +=。

高二文科数学开学测试一、选择题1. 设，命题“若，则或”的否命题是（ ） ,x y ∈R 222x y +>21x >21y >A. 若，则或 222x y +≤21x ≤21y ≤B. 若，则或 222x y +>21x ≤21y ≤C. 若，则且 222x y +≤21x ≤21y ≤D. 若，则且 222x y +>21x ≤21y ≤【答案】C 【解析】【分析】根据否命题的定义直接可得.【详解】根据否命题的定义可得命题“若，则或”的否命题是若，222x y +>21x >21y >222x y +≤则且， 21x ≤21y ≤故选：C.2. 已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则抛物线的方程是（ ）22y px =0(2,)M y 3A. B. 22y x =24y x =C. D.22y x =-24y x =-【答案】B 【解析】【分析】由抛物线知识得出准线方程，再由点到焦点的距离等于其到准线的距离求出，从而0(2,)M y p 得出方程.【详解】由题意知，则准线为， 0p >2px =-点到焦点的距离等于其到准线的距离， 0(2,)M y 即，∴，则 |2|32p--=2p =24y x =故选：B.3. 《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的体积为（ ）A.B.C.D.43π83π【答案】B 【解析】【分析】作出直观图，找到外接球球心得球半径后可得体积．【详解】由三视图知如图直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，设111ABC A B C -ABC 90ACB ∠=︒分别是的中点，则分别是两个底面的外接圆圆心，的中点是三棱柱的外接球1,D D 11,AB A B 1,D D 1DD O 的球心．由三视图知，，因此， 1,1AD OD ==OA =球体积为． 343V π=⨯=故选：B ．4. △ABC 的两个顶点坐标A （-4，0），B （4，0），它的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A.B. （y ≠0）22+1259x y 22+1259y x ＝C.D.()22+10169x y y ≠()22+10259x y y ≠＝【答案】D 【解析】【分析】根据三角形的周长得出，再由椭圆的定义得顶点C 的轨迹为以A ，B 为+10>AC BC AB =焦点的椭圆，去掉A ，B ，C 共线的情况，可求得顶点C 的轨迹方程. 【详解】因为，所以，++18AB AC BC =+10>AC BC AB =所以顶点C 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，去掉A ，B ，C 共线的情况，即，2210,4,9a c b ==∴=所以顶点C 的轨迹方程是 ，()22+10259x y y ≠＝故选：D.【点睛】本题考查椭圆的定义，由定义求得动点的轨迹方程，求解时，注意去掉不满足的点，属于基础题.5. 已知命题，，若是的一个充分不必要条件，则的取值范围是:20p x m +<2:230q x x -->p q m （ ） A. B.C.D.[2,)+∞(2,)+∞(,2)-∞(,2]-∞【答案】A 【解析】【分析】先化简命题p ，q ，再根据是的一个充分不必要条件，由 q 求解. p q p 【详解】因为命题，或， :2mp x <-:3q x >1x <-又是的一个充分不必要条件， p q 所以， 12m-≤-解得，2m ≥所以的取值范围是， m [2,)+∞故选：A6. 已知双曲线的焦距为平行，则双22221(0,0)x y a b a b -=>>20x y +=曲线的方程为（ ）A.B.2214x y -=2214y x -=C.D.221164x y -=22331520x y -=【答案】B 【解析】【分析】根据焦点在x 轴上的双曲线渐近线斜率为±可求a ，b 关系，再结合a ，b ，c 关系即可求解﹒ ba【详解】∵双曲线1(a ＞0，b ＞0)的焦距为2222x y a b-=且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0平行， ∴，∴b ＝2a ， 2ba-=-∵c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝1，b ＝2，∴双曲线的方程为．2214y x -=故选：B ．7. 如图所示，直三棱柱中，分别是的中点，111ABC A B C -60BCA M N ∠=︒，，111AC CC ，，则与所成角的余弦值为（ ）1BC CA CC ==BN AMA.B.C.D.35452334【答案】A 【解析】【分析】取的中点的中点，由题可得为与所成角，结合条件及余弦定理1BB Q AC ，P 1QC P ∠BN AM 即得.【详解】取的中点的中点， 1BB Q AC ，P 则，11////BN C Q AM C P ，∴为与所成角， 1QC P ∠BN AM 由题可知直三棱柱为正棱柱, 111ABC A B C -设，则，2BC =2AM BN PQ ===在中，可得,1PQC △13cos 5PC Q ∠==∴与所成角的余弦值为． BN AM 35故选：A ．8. 已知圆：与：恰好有4条公切线，则实数的1C ()()22341x y -++=2C ()()2239x a y a -+-+=a 取值范围是（ ）A. B. ()(),04,-∞⋃+∞((),11-∞+∞ C .D.()0,4()(),13,-∞-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】根据两圆有4条公切线，得到两圆外离，然后根据外离列不等式，解不等式即可得的取值范a 围.【详解】因为圆：与：恰好有4条公切线，所以1C ()()22341x y -++=2C ()()2239x a y a -+-+=圆与，解得或，即实数的取值范围是1C 2C 4>3a >1a <-a .()(),13,-∞-⋃+∞故选：D.9. 如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若()220y px p =>F l A B C ，且，则的值为（ ）2BC BF =6AF =pA. B. C. D.2345【答案】B 【解析】【分析】分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，根据抛物线的定义以及直A B E D BF a =角三角形的性质可求得，结合已知条件求得，分析出为的中点，进而可得出30BCD ∠= 2a =F AC ，即可得解. 12p FG AE ==【详解】如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，A B E D设，则由已知得，由抛物线的定义得，故， BF a =2BC a =BD a =30BCD ∠= 在直角三角形中，，， ACE 6AF =63AC a =+因为，则，从而得，2AE AC =6312a +=2a =所以，，则为的中点，从而. 36CF BC BF a AF =+===F AC 132p FG AE ===故选：B.10. 已知椭圆的两焦点分别为，，P 为椭圆上一点，且，则22:1126x y C +=1F 2F 1260F PF ∠=︒12F PF △的面积等于（ ）． A. 6 B. C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆定义和余弦定理解得，结合三解形面积公式即可求解． 128PF PF⋅=【详解】由与是椭圆上一点，∴， P 122PF PF a +==两边平方可得，即，221212248PF PF PF PF ++=221212482PF PF PF PF +=-由于，，1260F PF ∠=122F F c ==22121224122PF PF PF PF +-=综上可解得，∴的面积等于 128PF PF ⋅=12F PF △121sin 602PF PF ︒=故选：B11. 圆关于直线对称，则的最小值是2241210x y x y ++-+=60(0,0)ax by a b -+=>>26a b +（ ） A. B.C.D.203323163【答案】C 【解析】【分析】先求出圆的圆心坐标，根据条件可得直线过圆心，从而可得，然后由33a b +=，展开利用均值不等式可得答案. ()2621333a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭【详解】由圆可得标准方程为， 2241210++-+=x y x y ()()222639x y ++-=因为圆关于直线对称，2241210++-+=x y x y 60(0,0)ax by a b -+=>>该直线经过圆心，即，，∴()2,6-2660ab --+=33(0,0)a b a b ∴+=>>， ()26213233232319103333a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当，即时取等号，33b a a b=34a b ==故选：C.12. 已知，分别为双曲线：的左，右焦点，以 为直径的圆与双曲1F 2F C 22221x y a b-=()0,0a b >>12F F 线的右支在第一象限交于点，直线与双曲线的右支交于点，点恰好为线段的三等分C A 2AF C B 2F AB 点(靠近点)，则双曲线的离心率等于（ ） A CA.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】设，，根据双曲线的定义可得，，在2AF x =22BF x =12AF a x =+122BF a x =+中由勾股定理列方程可得，在中由勾股定理可得关于，的方程，再由离1Rt ABF A 23x a =12Rt AF F A a c 心率公式即可求解.【详解】设，则，2AF x =22BF x =由双曲线的定义可得：，， 1222AF AF a a x =+=+12222BF BF a a x =+=+因为点在以为直径的圆上，所以，A 12F F 190∠=F AB 所以，即，解得：， 22211AF AB BF +=()()()2222322a x x a x ++=+23x a =在中，，，， 12AF F △1823AF a x a =+=223AF a =122FF c =由可得，即，2221212AF AF F F +=()22282233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22179a c =所以双曲线离心率为， e ===故选：C.二、填空题13. 若命题“，使得”为假命题，则实数a 的取值范围是___________ x ∃∈R 2210ax ax +-≥【答案】(-1，0] 【解析】【分析】将题意的命题转化条件为“，”为真命题，结合一元二次不等式恒成x ∀∈R 2210ax ax +-<立即可得解.【详解】因为命题“，使得”是假命题， x ∃∈R 2210ax ax +-≥所以其否定“，”为真命题， x ∀∈R 2210ax ax +-<即在R 上恒成立. 2210ax ax +-<当时，不等式为，符合题意；0a =10-<当时，则需满足，解得； 0a ≠20440a a a <⎧⎨∆=+<⎩10a -<<综上，实数的取值范围为. a (10]-，故答案为：. (10]-，14. 若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.22221x y a b-=【答案】 y =【解析】【分析】根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 2c a =222+=a b c ,a b 【详解】解：由题可知，离心率，即， 2ce a==2c a =又，即，则 22224a b c a +==223b a =ba=故此双曲线的渐近线方程为. y =故答案为：.y =15. 过抛物线的焦点的直线l 交C 于，两点，若，则线段AB 中点的横坐标为2:6C y x =9AB =_________． 【答案】3 【解析】【分析】分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为，，过AB 的中点M 作准线的垂线于，则32x =-A 'B 'M '，再根据求得.()1922MM AA BB '''=+=32M MM x '=+M x 【详解】如图，抛物线的焦点为，准线为，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足26y x =3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭32x =-为，，A 'B '则有， 9AB AF BF AA BB ''=+=+=过AB 的中点M 作准线的垂线，垂足为， M '则为直角梯形中位线， MM 'ABB A ''则， ()1922MM AA BB '''=+=即，所以M 的横坐标为3． 3922M x +=故答案为：3．16. 在三棱锥中，，平面，三棱锥的顶点都在球-P ABC PA PC AC AB ===AB ⊥PAC -P ABC O的球面上.若三棱锥的表面积为___________. -P ABC O【答案】21π【解析】【分析】依题意设，根据锥体的体积求出，即可求出外接圆的半径，PA PC AC AB a ====a APC △r 设三棱锥外接球的半径，则，即可求出外接球的表面积； -P ABC R ()()22222R r AB =+【详解】解：依题意设，则PA PC AC AB a ====13P ABC APC V S AB -=⋅=A ，解得，设外接圆的半径为，则，设三棱锥21132a a⨯=3a =APC △r 32sin 3r π==外接球的半径，则，所以球的表面积； -P ABC R ()()2222221R r AB =+=O 2421S R ππ==球故答案为：21π三、解答题17. 设命题p ：实数x 满足，其中；命题q ：．22430x mx m -+≤0m >()()230x x +-≤若，且为真，求实数x 的取值范围；()12m =p q ∧若是的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．()2q ￢p ⌝【答案】(1) (2)[]2,3(]0,1【解析】【分析】解二次不等式，其中解得，解()122x 4mx 3m 0-+≤m 0>m x 3m ≤≤()()x 2x 30.+-≤得：，取再求交集即可；2x 3-≤≤m 2=写出命题所对应的集合，命题p ：，命题q ：，由是的充分不必要()2[]A m,3m =[]B 2,3=-q ￢p ￢条件，即p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，列不等式组可求解．【详解】解：(1)由，其中；22x 4mx 3m 0-+≤m 0>解得，m x 3m ≤≤又，即，m 2=2x 6≤≤由得：，()()x 2x 30.+-≤2x 3-≤≤又为真，则， p q ∧2x 32x 6⎧-≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩得：，2x 3≤≤故实数x 的取值范围为；[]2,3由得：命题p ：，命题q ：，()2()1[]A m,3m =[]B 2,3=-由是的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件，q ￢p ￢A 是B 的真子集，所以，即．2330m m m ≥-⎧⎪≤⎨⎪>⎩0m 1<≤故实数m 取值范围为：.(]0,1【点睛】本题考查了二次不等式的解法，复合命题的真假，命题与集合的关系，属于简单题． 18. 已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为C C 3y x =x y x =.（1）求圆的方程；C （2）若点，求过点的圆的切线方程.(2,1)P -P 【答案】（1）()()22139x y -+-=（2）或2x =-51220x y +-=【解析】【分析】（1）结合点到直线的距离公式、弦长公式求得，由此求得圆的方程.,,a b r C （2）根据过的圆的切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得切线方程.P 【小问1详解】由题意，设圆的标准方程为：， C ()()()2220,,0x a y b r a b -+-=>>圆关于直线对称，C 3y x =3b a ∴=圆与轴相切：…①C x 3r b a ∴==点到的距离为：， (),C a b y x=1d =圆被直线截得的弦长为，， C y x=2221r d ∴=+结合①有：，，22927a a =+21a ∴=又，，，0a >1a ∴=33r b a ===圆的标准方程为：.∴C ()()22139x y -+-=【小问2详解】当直线的斜率不存在时，满足题意l 2x =-当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为.l l k 1(2)y k x -=+又圆C 的圆心为，半径， ()1,33r =由，3解得. 512k =-所以直线方程为，即 51(2)12y x -=-+51220x y +-=即 直线的方程为或.l 2x =-51220x y +-=19. 在四棱锥P —ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，PC ＝PD ，PA ＝AB ＝BC ＝1，CD ＝2．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）求点C 到平面PBD 的距离．【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）因为平面平面，证得平面，得到，取的中点PAB ⊥ABCD BC ⊥PAB BC PA ⊥CD M ，证得，进而证得平面，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得AM CD ⊥CD ⊥PAM CD PA ⊥平面；PA ⊥ABCD （2）设点到平面的距离为，根据，求得的值，即可求得点到平面的C PBD h P BCD C PBD V V --=h C PBD 距离．【小问1详解】证明：因为平面平面，为平面与平面的交线，PAB ⊥ABCD AB PAB ABCD 且，所以平面，BC AB ⊥BC ⊥PAB 又因为平面，所以，PA ⊂PAB BC PA ⊥取的中点，连接，，，CD M AM PM BD 因为且，，AB CM ∥AB CM =90BCD ∠=︒所以四边形为矩形，所以，ABCM AM CD ⊥又因为，且为的中点，所以，PC PD =M CD PM CD ⊥又由，平面，所以平面，AM PM ⊂PAM CD ⊥PAM 因为平面，所以，PA ⊂PAM CD PA ⊥又因为平面，平面，且，BC ⊂ABCD CD ⊂ABCD BC CD C ⋂=所以平面.PA ⊥ABCD 【小问2详解】解：设点到平面的距离为，C PBD h 因为，可得， P BCD C PBD V V --=1133BCD PBD S PA S h ⋅=⋅A A 又由，， 11212BCD S =⨯⨯=A 1PA =在中，，，，所以，PBD △PB =PD =BD =222BD PB PD =+所以，所以， 90BPD ∠=︒12PBD S ==△则，解得，即点到平面的． 111133h ⨯⨯=h =C PBD20. 设双曲线的左、右焦点分别为，，且，一条渐近线的倾()2222:10,0x y C a b a b-=>>1F 2F 124F F =斜角为60°．（1）求双曲线C 的标准方程和离心率； （2）求分别以，为左、右顶点，短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程．1F 2F 【答案】（1），2 （2） 2213y x -=22143x y +=【解析】【分析】（1）结合， 2c ==b a =（2）由题意，即得解.2,a c b b ''====【详解】（1）由题意， 12242F F c c ==∴==又tan 60b a==解得：1,a b ==故双曲线C 的标准方程为：，离心率为 2213y x -=2c e a ==（2）由题意椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为 x ()222210x y a b a b ''+=>>''故2,a c b b ''====即椭圆方程为： 22143x y +=21. 在四棱锥中，底面，，，，点在棱P ABCD -PA ⊥ABCD AB AD ⊥//AD BC 3AD BC =E PD 上，且满足. 13PE PD =（1）证明：平面；//CE PAB （2）若，求点，到平面的距离之和.3PA AB AD ===B E PAC 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）根据线线的平行关系做出平面BCE 与平面ABP 的交线，再由线线平行证得线面平行； （2）运用锥体的体积法计算点面距离即可.【详解】（1）证明：在上取一点，使得，连接，. AP F 13PF PA =BF EF因为，所以，所以且， 13PE PD =13PE PF PD PA ==//EF AD 13EF AD =又，，所以， //BC AD 3AD BC =13BC AD =所以，，所以四边形是平行四边形，BC EF =//BC EF BCEF 所以，又平面，平面，所以平面. //CE BF CE ⊄PAB BF ⊂PAB //CE PAB （2）因为，， 3PA AB AD ===13PE PD =所以三棱锥的高为， E ACD -223PA =所以， 1111233233232E ACD V AD AB -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=又， 11133363232P ABCD BC AD V AB PA -++=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=所以.633E PAC B PAC P ABCD E ACD V V V V ----+=-=-=又 11322PAC S PA AC =⋅=⨯=A 设点，到平面的距离之和为，则， B E PAC d 13PAC E PAC B PAC S d V V --⋅=+A即，解得. 133d ⨯⨯=d =故点，到平面. B E PAC 22. 已知椭圆：的一个顶点为，离心率为，直线 与椭圆交C 22221(0)x y a b a b+=>>(2,0)A 12y kx =C 于不同的两点M ，N ． （1）求椭圆的标准方程；C （2）当的面积为时，求的值． AMN A 32k 【答案】（1） 22143x y +=（2） 【解析】【分析】（1）由椭圆的一个顶点为，得到，再由椭圆的离心率为，求得，进而求C (2,0)A 2a =121c =得椭圆的标准方程；C（2）由椭圆的对称性得到，联立方程组求得的面积为21AMN S y y =-A y =AMN A 32，列出方程，即可求解.【小问1详解】解：由题意，椭圆的一个顶点为，可得， 2222:1x y C a b +=(2,0)A 2a =又由椭圆的离心率为，可得，所以，则1212c a =112c a ==b ==所以椭圆的标准方程为. C 22143x y +=【小问2详解】解：设，且 1122(,),(,)M x y N x y 2OA =根据椭圆的对称性得， 122121111222AMN S OA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-A 联立方程组，整理得，解得22143y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩223(4)12yk +=y =因为的面积为，可得，解得.AMN A 322132y y -==k =±。

高二第一次考试数学 学科试卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知双曲线的一个焦点为，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程)0x =为（ ）A ．B ．2212y x -=2212x y -=C ．D ．2212y x -=2212x y -=2．已知数列满足，若，则（ ） {}n a 112n n a a +=453a a +=23a a +=A ．B ．1C ．6D ．12193．已知抛物线，直线l 过定点P （0，1），与C 仅有一个公共点的直线l 有2:4C y x =-（ ）条 A ．1B ．2C ．3D ．44．设等差数列的前项和为，若，，则（ ） {}n a n n S 12345a a a a a ++=+560S =5a =A ． B ． 1620C ．D ．24265．是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，且，则P 2211620x y -=12,F F 19PF =2PF =（ ） A ．1B ．17C ．1或17D ．2或186．设正项等比数列的前项和为，若，则公比为（ ） {}n a n n S 32127S a a =+q A ．2或B ．3C ．2D ．3-3-7．过抛物线C ：（）的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于两点A ，B ，若22y px =0p >，则直线l 的斜率（ ） 35AF FB =k =A ．B ．C ．D ．±8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作垂直于实轴的2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F 2F 弦，若，则的离心率为（ ）PQ 12PF Q π∠=C eABCD112+二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．若方程表示的曲线为，则下列说法正确的有（ ）22142x y t t +=--C A ．若，则曲线为椭圆 B ．若曲线为双曲线，则或24t <<C C 2t <4t >C ．若曲线为椭圆，则椭圆的焦距为C 2tD ．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 C x 23t <<10．数列的通项公式为.若数列单调递增，则实数a 的值可以是（ ） {}n a n aa n n=+{}n a A ．-1B ．0C ．1D ．211．设等比数列{an }的前n 项和为Sn ，且满足a 6=8a 3，则（ ） A ．数列{an }的公比为2 B ．数列{an }的公比为8 C ．=8D ．=963S S 63S S 12．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交22y px =()0p >F F 4πl 于，两点，，过，两点分别作抛物线的切线，交于点.下列说法正确的是A B8AB =A B Q （ ）A ．B ．（为坐标原点）的面积为QA QB ⊥AOB A O C ． D ．若，是抛物线上一动点，则的最小值112AF BF +=()1,1M P PM PF +为 52三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知数列，均为等差数列，且其前n 项和分别为和．若，则{}n a {}n b n S n T 3221n n S n T n -=+______． 33a b =14．设等比数列的前n 项和为，且，则________．{}n a n S ()12N n n a S n *+=+∈n a =15．设F 为抛物线C ：的焦点，直线l ：，点A 为C 上任意一点，过点A 216x y =1y =-作于P ，则_________．AP l ⊥AP AF -=16．已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：1e 1C ()2211221110x y a b a b +=>>2e 2C有公共的焦点，其中为左焦点，P 是与在第一象限的公共()2222222210,0x y a b a b -=>>1F 1C 2C 点.线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为_____________1PF 22124e e +四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的步骤或文字说明或证明过程） 17．（1）设抛物线上第一象限的点与焦点的距离为4，点到轴的22(0)x py p =>M F M y（2）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线标准方程．221916xy -=(3,-18．已知数列满足，．{}n a 11a =11112n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1) 求数列的通项公式； {}n a (2) 求数列的前项和．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S19．设等差数列的首项为1，数列满足：，，且{}n a {}n b 11b =22b =111n n n n n n a b b a b b +++-=-（）．n *∈N (1)求等差数列的通项公式；{}n a (2)求数列的前n 项和．()111n n a b +⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭n S20．已知等比数列的首项为，公比为，且关于的不等式的解集{}n a 1a q x 21120a x qx -->为. ()(),26,-∞-⋃+∞（1）求；n a （2）设，求数列的前项和. 4log n n n b a a =+{}n b n n T21．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长()2222:10,0x y C a b a b-=>>y x =±(1)求的方程；C (2)若直线过的右焦点与交于，两点，，求直线的方程. l C C ()11,A x y ()22,B x y 126x x =l22．已知抛物线过点，过点的直线与抛物线交于 两个不2:2C y px =(1,1)A (3,1)P -C ,M N 同的点（均与点A 不重合）.(1)求抛物线的方程及焦点坐标；C (2)设直线的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值. ,AM AN 1k 2k 12k k参考答案：1．D【分析】先确定焦点位置，再求出即可.22,a b【详解】解：由题意得：双曲线的焦点在轴上，且，x c =b a =222c a b =+解得：，该双曲线的标准方程为，222,1a b ==2212x y -=故选D. 2．D【分析】由可知数列是公比为的等比数列，再由题意结合等比数列的112n n a a +={}n a 12q =通项公式代入可求出答案. 【详解】由可知数列是公比为的等比数列， 112n n a a +={}n a 12q =所以， ()()22245232323134a a a q a q a a q a a +==⋅+⋅=+⋅=+解得：.2312a a +=故选：D 3．C【分析】过抛物线外一定点的直线恰好与该抛物线只有一个交点，则分两种情况分别(0,1)P 讨论，一是直线与抛物线的对称轴平行，二是直线与抛物线相切，根据这两种情况进而求解.【详解】过点的直线与抛物线仅有一个公共点，则该直线可能与抛物(0,1)P l 2:4C y x =-l 线的对称轴平行，也可能与抛物线相切，下面分两种情况讨论：当直线与抛物线的对称轴平行时，则直线的方程为：，满足条件；l l 1y =当直线与抛物线相切时，由于点在轴上方，且在抛物线外，则存在两条直线与抛l (0,1)P x 物线相切，易知：是其中一条，0x =不妨设另一条直线的方程为，联立直线与抛物线方程可得：l 1y kx =+l ，则有，解得：， 22(24)10k x k x +++=22(24)40k k ∆=+-=1k =-所以过点的直线的方程为：或或， (0,1)P l 1y =0x =1y x =-+故选：. C 4．A【分析】利用等差数列通项和求和公式化简已知等式可求得，由可得结果. 1,a d 514a a d =+【详解】设等差数列的公差为，{}n a d ，，解得：，12345a a a a a ++=+ 113327a d a d ∴+=+14a d =，解得：，， 5154530602S a d d ⨯∴=+==2d =18a ∴=.51416a a d ∴=+=故选：A. 5．B【分析】利用双曲线的定义即可求解.【详解】由双曲线方程为可得：，，2211620x y -=4a =6c =因为是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，P 2211620x y -=12,F F 由双曲线的定义可知：，又因为， 2128PF F a P -==19PF =所以或，由题意可知：，所以， 21PF =1722PF c a ≥-=217PF =故选：. B 6．B【分析】根据已知条件列方程求得. q 【详解】依题意， 32127S a a =+即， 1232132127,6a a a a a a a a ++=+=+，依题意，21116a q a q a =+10a >所以，由于，故解得. 260q q --=0q >3q =故选：B 7．A【分析】根据给定条件，设出直线l 的方程，与抛物线方程联立，借助韦达定理及向量关系求解作答.【详解】抛物线C ：的焦点，显然直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程22y px =(,0)2pF 为， 2p x ty =+由消去x 并整理得：，设，则222p x ty y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩2220y pty p --=1122(,),(,)A x y B x y ，212122,y y pt y y p +==-，由得：，而，1122(,),(,)22p p AF x y FB x y =--=- 35AF FB = 1253y y =-122y y pt +=则有，因此，解得125,3y pt y pt ==-2221215y y p t p =-=-t =1k t ==所以直线l 的斜率k =故选：A 8．C【解析】首先根据已知条件建立等量关系，进一步利用通径和焦距间的等量求出双曲线的离心率．【详解】解：双曲线的左右焦点分别为、，过作垂直于实轴的弦，若1F 2F 2F PQ ，12PF Q π∠=则：△为等腰直角三角形．1PF Q 由于通径，22b PQ a =则：，22b c a=解得：， 2220c a ac --=所以：， 2210e e --=解得：1e =由于e ＞1，所以： 1e =故选：C ．【点睛】本题考查通径在求离心率中的应用，等腰直角三角形的性质的应用．属于基础题型． 9．BD【分析】根据的取值，结合圆与圆锥曲线方程的特征逐一判断即可.t 【详解】对于A ，当时，即或，此时曲线为椭圆，故A 错；402042t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩23t <<34t <<C 对于B ，若曲线为双曲线，则，即或， 故B 对；C (4)(2)0t t -⋅-<2t <4t >对于C ，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则椭圆的焦距为， Cx=若曲线为焦点在轴上的椭圆，则椭圆的焦距为C 错； C y =对于D ，曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故D 对. C x 420t t ->->23t <<故选：BD. 10．ABC【分析】根据数列单调递增，即，恒成立求解. {}n a 2a n n <+*n ∈N 【详解】解：因为数列单调递增， {}n a 所以， 1n n a a +>即， 11a a n n n n++>++整理得，即，恒成立.2a n n <+2a n n <+*n ∈N 因为在时的最小值为2，()2f n n n =+*n ∈N 所以. 2a <故选：ABC. 11．AD【分析】由题意，若等比数列{an }的公比为，有求，根据等比数列前n 项和公式q 38q =q 求，即可判断各选项的正误. 63S S 【详解】∵等比数列{an }的前n 项和为Sn ，且满足，638a a =∴，解得q =2， 3638aq a ==∴=1+q 3=9. 366311q S q S --=故选：AD. 12．AB【分析】对于A ：先根据弦长公式求出得出方程，再分别求出斜率相乘即可验证； p 对于B ：代入面积公式转化为韦达定理即可求解； 对于C ：通分代入韦达定理所得的式子即可求解； 对于D ：根据抛物线的定义即可求解. 【详解】∵过点且倾斜角， l F π4∴直线的方程为，与抛物线方程联立，得， l 2px y =+2220y py p --=设，，则，，()11,A x y ()22,B x y 122y y p +=212y y p =-∴，， 123x x p +=()221212244y y p x x p ==∵，1248AB p x x p =++==∴，则，2p =24y x =不妨设，当时，10y >0y >y'=∴过点的切线的斜率为， A 1A x x k y=='=同理可得过点的切线的斜率为 B 2B x x k y =='=∴，∴，故A 项正确；21A B k k p ==-=-QA QB ⊥B 正确； 1212AOB S OF y y =⋅-===△，故错误； 12111122p p AF BF x x +=+++()2121242124p pp p x x x x ===+++C 设点到准线的距离为，若，则，故错误. M d ()1,1M 122pPF d PM +=+=≥D 故选：AB. 13．1311【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的，再由等差数列的求和公531315a a ab b b =++式，转化为，从而得到答案. 55S T 【详解】因为数列、均为等差数列，且， {}n a {}n b 3221n n S n T n -=+所以 3151533322a b a a a b b b =++=()()1551555252a a S b b T +==+1521310111-==+故答案为： 131114．2n 【分析】由题知当时，，进而结合已知得公比为，再求得即可求2n ≥12n n a S -=+212a =解.【详解】解：因为()12N n n a S n *+=+∈所以，当时，，2n ≥12n n a S -=+所以，即，11n n n n n a a S S a +--=-=12n n a a +=所以，等比数列的公比为， {}n a 2所以，当时，， 1n =21122a S a =+=+所以，解得，1122a a =+12a =所以1222n nn a -=⋅=故答案为： 2n 15．3.【分析】设点坐标为，利用抛物线的焦半径公式可得，由点到直线A ()00,x y 0||4AF y =+的距离公式可得，代入即可得解.0||1AP y =+AP AF -【详解】由可得焦点坐标为，准线方程为，设点坐标为，216x y =(0,4)F 4y =-A ()00,x y 由抛物线的定义可得， 00||42=+=+pAF y y 因为过点A 作于P ，可得， AP l ⊥00||(1)1=--=+AP y y 所以． ()00143F y y AP A +-+==-故答案为：. 316．##4.592【分析】设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则2F c 12,PF x PF y ==12PF PF ⊥，所以，从而有，最222124,2,2x y c x y a x y a +=+=-=()()222122224a a c +=⋅2212112e e +=后利用均值不等式即可求解.【详解】解：设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则2F c 12,PF x PF y ==12PF PF ⊥，222124,2,2x y c x y a x y a +=+=-=所以，即， ()()222122224a a c +=⋅2212112e e +=故，当且仅当()22221212222212214114559e e e e e e e e ⎛⎫++=+++= ⎪⎝⎭…21e ==所以， 2212942e e +…故答案为：.9217．①；②． 210x y =221944x y -=【分析】（1）设，根据抛物线上第一象限的点到M 的(),M x y M y 坐标，再利用抛物线的定义求解； （2）设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，再由双曲线过221916x y -=22916x y λ-=点求解.(3,-【详解】（1）设，(),M x y 因为抛物线上第一象限的点到22(0)x pyp =>M y 所以x =则，22py =解得， 32y =又因为点与焦点的距离为4，M F 由抛物线的定义得， 3422p +=解得， 5p =所以抛物线方程是；210x y =（2）设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为， 221916x y -=22916x y λ-=因为双曲线过点，(3,-所以， 91219164λ=-=所以所求双曲线标准方程是． 221944x y -=18．(1) ；(2) ．12n n a n -=⋅21n n S =-【分析】(1) 利用数列递推式中的累乘法求通项.(2) 利用等比数列的公式法求和.【详解】(1) 由可得， 11112n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12(1)n na n a n ++=所以，，，…，， 21221a a =⨯32322a a =⨯43423a a =⨯12(2)1n n a n n a n -=⨯-…以上各式左右两边分别相乘可得， 1324123123421231n n n a a a a n a a a a n --⎛⎫⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪-⎝⎭即，所以， 112n n a n a -=⋅12(2)n n a n n -=⋅…公式对也适合，所以.1n =12n n a n -=⋅(2) 因为，所以数列为等比数列， 12n n a n -=n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭且公比为2，首项为1，通项12n n a n -=由公式法可得数列的前项和． n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ()1122112n n n S ⨯-==--19．(1)21n a n =-(2) ()21n n S n =+【分析】(1)根据题意将代入递推公式中，求出，进而得出等差数列的公差，利用定1n =2a 义法求出等差数列的通项公式；(2)由(1)可知的通项公式，代入递推公式，变形可得，即为常数列，求出n a 11n n b b n n +=+n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，利用裂项相消求和法即可求出.n b n S (1)因为()*111n n n n n n a b b a b b n N +++-=-∈所以当时，，则1n =12121223a b b a b b a -=-⇒=212a a -=所以等差数列的公差为2，{}n a 由等差数列的通项公式可得：21n a n =-(2)由（1）可知，代入中可得：121n a n +=+111n n n n n n a b b a b b +++-=-，故数列为常数列， ()()11121211n n n n n n b b n b b n b b n n +++--=+-⇒=+n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭又，故， 111b =1n n b b n n =⇒=则： ()()11111112121n n a b n n n n +⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭所以 ()1111111112122232121n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20．（1）；（2）. 14n n a -=24132n n n --+【分析】（1）首先把不等式转换为方程，进一步求出首项和公比，再利用等比数列的定义求出数列的通项公式.（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和.【详解】（1）等比数列的首项为，公比为，且关于的不等式的{}n a 1a q x 21120a x qx -->解集为.()(),26,-∞-⋃+∞则-2和6为的两根，21120a x qx --=所以，， ()126q a -+=()11226a -⨯=-解得，.11a =4q =所以.1114n n n a a q --==（2）由（1）得，14log 41n n n n b a a n -=+=+-所以，()1144121n n T n -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-， ()141412n n n --=+-. 24132n n n --=+【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式，考查了分组求和，属于中档题.21．(1) 22:122x y C -=(2)或.240x y +-=240x y --=【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程求出a ，b 即可求解.（2）根据直线和双曲线的联立以及即可求解.126x x =【详解】（1）根据题意，，， 2a =1b a=所以a b ==所以. 22:122x y C -=（2）双曲线C 的半焦距，显然直线l 不垂直于y 轴，2c ==设直线方程为，l 2x my =+联立直线方程和椭圆方程：， 221222x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩所以，22(1)420m y my -++=所以， 12122242,11m y y y y m m +=-⋅=--所以，126x x =所以，()()12226my my ++=所以，212122()20m y y m y y ++-=所以， 2222422011m m m m m -⎛⎫+-= ⎪--⎝⎭解得. 12m =±所以直线的方程为：l . 122x y =±+即或.240x y +-=240x y --=22．(1)，焦点坐标为. 2y x =1(,0)4(2)证明见解析；定值为. 12-【分析】（1）由题意可确定，即可得抛物线方程和焦点坐标； 12p =（2）设出直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系，表示出，并化简，即12k k 可得结论.【详解】（1）由题意抛物线过点，所以,即， 2:2C y px =(1,1)A 12p =12p =所以抛物线的方程为，焦点坐标为. 2y x =1(,0)4（2）证明：设过点的直线l 的方程为 ，即， (3,1)P -3(1)x m y -=+3x my m =++代入得 ， ,2y x =230y my m ---=22412(2)80m m m ∆=++=++>设 ，则 ， 1122(,),,)M x y Nx y （1212,3y y m y y m +==--直线的斜率分别为，，,AM AN 1k 2k 所以 12121212121211111(2)(2)()y y y y y y k k x x my m my m ---⋅=⋅=--++++++1212221212()1(2)()(2)y y y y m y y m m y y m -++=+++++ 2231(3)(2)(2)m m m m m m m m ---+=--++++ , 2(1)14(1)2m m -+==-+即为定值，该定值为. 12k k 12-。

一、单选题1．在正四面体中，F 是的中点，E 是的中点，若，则ABCD AC DF ,,DA a DB b DC c === BE =（ ）A ．B ．C ．D ．1144a b c -+ 1122a b c -+1144a b c ++1122a b c -+【答案】A【分析】利用空间向量加减法的运算法则即可得解. 【详解】依题意，结合图形可得，．111()222BE BD DE DB DF DB DA DC =+=-+=-+⨯+ 11114444DA DB DC a b c =-+=-+故选：A.2．直线的倾斜角为 10x -=A ． B ． C ． D ．30︒60︒120︒150︒【答案】D【分析】求出斜率，根据斜率与倾斜角关系，即可求解.【详解】化为， 10x -=y =直线的斜率为. 0150故选:D.【点睛】本题考查直线方程一般式化为斜截式，求直线的斜率、倾斜角，属于基础题. 3．已知数列3，，9，，…，则该数列的第10项为（ ） 6-12-A ． B ． C ．21 D ．3021-30-【答案】B【分析】根据数列的特征进行求解即可.【详解】因为，313,623,933,1243=⨯-=-⨯=⨯-=-⨯所以该数列的通项公式为，1(1)3(N )n n a n n +*=-⋅∈因此，1110(1)31030a =-⋅⋅=-故选：B4．圆与圆的位置关系是（ ）221:4210C x y x y +-++=222:4440C x y x y ++-+=A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离【答案】D【分析】将两圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标和半径的长，然后利用圆与圆的位置关系判定.【详解】将两圆的一般方程化为标准方程得;, ()()221:214C x y -++=()()222:224C x y ++-=可知圆心,,半径,()12,1C -()22,2C -122,2r r ==，12125C C r r ==>+故两圆外离， 故选：D.5．已知等比数列的前n 项和为，若，则（ ）{}n a n S 3616S S =93SS =A ．12 B ．36C ．31D ．33【答案】C【分析】由等比数列的分段和性质列方程即可解得. 【详解】因为等比数列的前n 项和为，且，所以不妨设则. {}n a n S 3616S S =()3,0S m m =≠66S m =由分段后性质可知：构成等比数列.36396,,S S S S S --由，即，解得：. ()()263396S S S S S -=⨯-()()2955m m S m =⨯-931S m =所以. 9331S S =故选：C6．已知双曲线上的点到的距离为15，则点到点的距离为（ ）221169x y -=P (5,0)P (5,0)-A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23【答案】D【分析】根据双曲线的定义知，，即可求解.12||||||28PF PF a -==【详解】由题意，双曲线，可得焦点坐标，221169x y -=12(5,0),(5,0)F F -根据双曲线的定义知，，12||||||28PF PF a -==而，所以或． 215PF =17PF =123PF =故选：D ．【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，其中解答中熟记双曲线的定义，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 7．已知函数，数列满足，且（为正整数）．则()sin3x f x π={}n a 11a =1111n n a a n n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭n （ ） ()2022f a =A ． B ．1C ．D 1-【答案】C【分析】将进行整理，可以求出其通项公式，再代入可得答案.1111n n a a n n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()sin 3x f x π=【详解】由， ()111111,11n n n na a a a n n n n n n ++⎛⎫=++∴=+ ⎪++⎝⎭， 11111111, (2111111)n n n n a a a a a n n n n n n n n ++∴=+-∴+=+==+=++++ ()202220224043π21,4043,sin 3n a n a f a =-∴=∴==故选：C8．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离1F 2F P 1223F PF π∠=心率为，双曲线的离心率为，则（ ） 1e 2e 221231e e +=A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】依据椭圆和双曲线定义和题给条件列方程组，得到关于椭圆的离心率和双曲线的离心率1e 的关系式，即可求得的值. 2e 221231e e +【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，令， 2m 2n 122FF c =不妨设12PF PF >则，解之得 121222n PF PF m PF PF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩12PF m n PF m n ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩代入， ()22212122π22cos3c PF PF PF PF =+-⋅可得()()()()()2222c m n m n m n m n =++-++-整理得，即，也就是22243c m n =+2243m n c c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212314e e +=故选：C二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．直线的倾斜角越大，其斜率就越大B ．斜率相等的两直线的倾斜角一定相等C ．直线的斜率为，则其倾斜角为tan ααD ．经过任意两个不同的点的直线方程可以表示为：111222(,),(,)P x y P x y 121121()()()()y y x xx x y y --=--【答案】BD【分析】举反例判断A ；根据直线的斜率和倾斜角的关系判断；结合直线的两点式方程判断D.B,C 【详解】对于A ，直线的倾斜角分别为，π2π,33此时不满足直线的倾斜角越大，其斜率就越大，A 错误； 对于B, 由于直线的倾斜角范围是， [0,π)所以斜率相等的两直线的倾斜角一定相等,正确；对于C, 直线的斜率为，的取值范围不确定，不一定是直线的倾斜角， tan ααα比如直线的斜率为，此时直线的倾斜角为，C 错误；5πtan4π4对于D ，当时，经过的直线方程为，此时适合12x x =111222(,),(,)P x y P x y 1x x =；121121()()()()y y x x x x y y --=--当时，经过的直线方程为，此时适合12y y =111222(,),(,)P x y P x y 1y y =；121121()()()()y y x x x x y y --=--当，时，经过的直线方程为， 12x x ≠12y y ≠111222(,),(,)P x y P x y 112121x x y y x x y y --=--也即，121121()()()()y y x x x x y y --=--故经过任意两个不同的点的直线方程可以表示为：111222(,),(,)P x y P x y ，D 正确，121121()()()()y y x x x x y y --=--故选：BD 10．已知为等差数列，，则（ ） {}n a 135246105,99a a a a a a ++=-++=-A ．的公差为2 B ．的公差为3{}n a {}n a C ．的前50项和为900 D ．的前50项和为1300{}n a {}n a 【答案】AD【分析】根据求出，求出通向公式.135246105,99a a a a a a ++=-++=-3,a d .12202150a a a a a ++++++= ()()12350123202a a a a a a a a ++++-++++ 【详解】， ()()135246246135105,9936a a a a a a a a a a a a d ++=-++=-∴++-++== ，所以A 对，B 错.2d ∴=，135********a a a a a ++==-∴=- ，()()333523241n a a n d n n ∴=+-=-+-=-当时，；当时，，20n ≤0,n n n a a a <=-21n ≥0,n n n a a a >==1220215012202150a a a a a a a a a a ++++++=----+++ ()()()()1235012320503959203912222a a a a a a a a ⨯-+⨯--++++-++++=-⨯，所以D 对，C 错.()252020405008001300=⨯-⨯-=+=故选：AD11．已知数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项{}n a n n S 312n n S a =-{}n b 1nn n n a b SS +=⋅{}n b n 和为，则下列命题正确的是（ ） n T A ．数列的通项公式为{}n a 13n n a -=B ．为等差数列{}lg n a C ．的取值范围是n T 11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．数列的通项公式 {}n b ()()11233131n n nn b -+⨯=--【答案】BCD【分析】根据题目求出的通项公式，即可判断A 、B 选项的正误；求出数列的通项公{}n a {}n b式，利用裂项相消法结合数列的单调性可判断C 、D 选项的正误. 【详解】当时，，则， =1n 11312S a =-12a =当时，，两式相减得：，则， 2n ≥11312n n S a --=-()132n n n a a a -=-13n n a a -=所以是以首项为，公比为3的等比数列.{}n a 2，所以A 错；11123n n n a a q --∴==⋅又因为，()()11lg lg 23lg 2lg 31lg 3lg 2n n n a n --=⋅=+=-+，()+1lg lg lg 3lg 21lg 3lg 2lg 3n n a a n n ∴-=+---=所以是以为首相，为公差的等差数列，所以B 对. {}lg n a 1lg =lg 2a lg 3，,11123n n n a a q--==⋅ ()2133113n n n S -∴==--，D 对； ()()()()()()11111313123111133313131313131n nn n n n n n n n b +-+++---⨯⎛⎫==⨯=- ⎪------⎝⎭22334111111111133131313131313131n n n T +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()111166331n +=-<-，所以，数列为单调递增数列，则，故，C 对.0n b > {}n T 118n T T ≥=1186n T ≤<故选：BCD.12．设，直线与直线相交于点，线段是圆m R ∈310mx y m --+=310x my m +--=(,)P x y AB 的一条动弦，为弦的中点， ） 22:(2)(1)9C x y +++=Q AB ||AB =A ．点在定圆上 P 22(2)(2)8x y -+-=B ．点在圆外P C C ．线段长的最大值为PQ 6D ．的最小值为PA PB ⋅15-【答案】BC【分析】两直线互相垂直，分别过定点，定点，可得的轨迹方程为(3,1)M (1,3)N P 即可判断选项A ；判断两圆的位置关系可判断选项B ；由垂径定理可得22(2)(2)2x y -+-=，则有的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，从而可得线段长的最大值为两圆||1CQ =Q (2,1)C --PQ 心的距离加上两圆的半径即可判断选项C ；由数量积的运算结合选项C 即可判断选项D ． 【详解】解：因为直线与，满足，所以两直线互310mx y m --+=310x my m +--=1(1)0m m ⋅+⋅-=相垂直，又两直线分别过定点，定点，所以是以为直径的圆，圆的方程为(3,1)M (1,3)N P MN ，故选项A 错误；22(2)(2)2x y -+-=圆与圆， 22(2)(2)2x y -+-=22:(2)(1)9C x y +++=53=>所以两圆相离，则点在圆外，故选项B 正确；P C因为为弦的中点，所以到弦的距离为||AB =Q AB ||QA =(2,1)C --AB，||1CQ =所以弦中点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，AB Q (2,1)C --所以线段PQ 16+选项C 正确；， 2()()()PA PB PQ QA PQ QB PQ PQ QA QB QA QB⋅=+⋅+=+⋅++⋅ 22222||8PQ QA PQ QA PQ =-=-=-因为 ||14min PQ ==所以，故选项D 错误． 2()(4810min PA PB ⋅=-=-故选：BC.三、填空题13．抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小2:12C y x =-F P C (5,2)A -PA PF +值为___________. 【答案】8【分析】根据抛物线的定义，将转化为到准线的距离，再结合图形可求出结果. ||PF P 【详解】由，得，准线方程为：，212y x =-(3,0)F -3x =过作准线的垂线，垂足为，P 3x =M 则， PA PF +||||PA PM =+||3(5)8AM ≥=--=当且仅当三点共线时，等号成立. ,,A P M 故答案为：814．已知等差数列的前项和为，若，且公差，则的最小值为____. {}n a n n S 523S S -=33d a =+n S 【答案】9-【分析】利用与，求出，，表示出，根据二次函数523S S -=33d a =+15a =-2d =2(3)9n S n =--的性质即可得到最小值.【详解】依题意及等差数列的性质知， 52345433S S a a a a =-=++=得；又因， 41a =33d a =+则有， 431(3)a a d d d ==+=-+解得；2d =再由，得. 4113a a d ==+15a =-于是； 2(1)52(3)92n n n S n n -=-+⨯=--当时，. 3n =()min 9n S =-故答案为：9-（另解：由即得；下略.）()52113154523,2323S S a d a d d a a d ⨯⎧-=+-+=⎪⎨⎪=+=++⎩1131,3a d a d +=⎧⎨+=-⎩152a d =-⎧⎨=⎩15．已知数列与均为等差数列，且前n 项和分别为与，若，则{}n a {}n b n S n T 321n n S n T n +=+55a b =______．【答案】2910【分析】根据等差数列的求和公式以及性质即可求解.【详解】由等差数列的求和公式得，所以， 11321n n n n S a a n T b b n ++==++9195919529291010S a a a T b b b +==⇒=+故答案为：2910四、双空题16．已知直线与平行，则实数 ________，两平行线之间的距离13480l x y +-=：2320l x ay -+=：=a 为_______________. 【答案】 24-【分析】根据，求得，得到的方程，结合两平行线间的距离公式，即可12//l l 4a =-2l 3420x y ++=求解.【详解】因为直线与平行， 13480l x y +-=：2320l x ay -+=：所以，解得，()()3343238a ⎧⨯-=⨯⎪⎨⨯≠⨯-⎪⎩4a =-可得的方程，2l 3420x y ++=所以两条平行线之间的距离．2d 故答案为：；24-五、解答题17．已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M 为中P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PD 点，．1PA AD ==(1)求证：平面平面； MAC ⊥PCD (2)求直线与平面所成角大小； PB PCD 【答案】(1)证明见解析 (2) π6【分析】（1）先证明平面，则有，在证明平面，再根据面面垂直CD ⊥PAD AM CD ⊥AM ⊥PCD 的判定定理即可得证；（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. A 【详解】（1）因为平面，平面， PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD 所以，PA CD ⊥又平面， ,,,AD CD AD AP A AD AP ⊥⋂=⊂PAD 所以平面，CD ⊥PAD 又平面，所以， AM ⊂PAD AM CD ⊥因为点M 为中点，， PD 1PA AD ==所以，AM PD ⊥又平面， ,,PD CD D PD CD ⋂=⊂PCD 所以平面， AM ⊥PCD 因为平面， AM ⊂MAC 所以平面平面；MAC ⊥PCD （2）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， A 由已知可得，()()()0,0,0,1,0,01,0,0,121,02A P M B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，因为平面，AM ⊥PCD 所以即为平面PCD 的一条法向量，110,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,0,1PB =-设直线与平面所成角为，PB PCD θ则， 1sin cos ,2AM PB AM PB AM PB θ⋅===又，所以，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π6θ=即直线与平面所成角的大小为. PB PCD π618．已知数列的前n 项和为，，．{}n a n S 12S =122n n S S +=+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，数列的前n 项和为．2log n n b a ={}n b n T 【答案】(1)2n n a =(2) 22n n n T +=【分析】（1）根据题意构造函数可得，可得为首项是，公比为122(2)n n S S ++=+{}2n S +124S +=2的等比数列，所以，再利用和之间的关系求即可；122n n S +=-n a n S n a （2）由，利用等差数列求和即可得解.22log log 2n n n b a n ===【详解】（1）由可得，而，122n n S S +=+122(2)n n S S ++=+1240,20n S S +=≠∴+≠所以，所以为首项是，公比为的等比数列， 1222n n S S ++=+{}2n S +42所以，112422n n n S -++=⋅=所以，122n n S +=-当时，，2n ≥11222n n n n n n a S S +-=-=-=当时，也满足上式，1n =112a S ==所以；2n n a =（2），22log log 2n n n b a n ===已知为首项为1公差为1的等差数列， {}n b 所以. 2(1)22n n n n n T ++==19．已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在()():12530R l k x y k k --+-=∈P C ()4,0A P 直线上.210x y -+=(1)求定点的坐标与圆的方程；P C (2)过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程.()10,0M 1l 1l 【答案】(1)，()3,122(7)(4)25x y -+-=(2)或10x =724700x y +-=【分析】（1）直线变形为，列出方程组，求出定点():12530l k x y k --+-=()3250k x x y ---+=的坐标，设出圆心坐标，根据半径相等列出方程，求出，从而确定圆心和半P ()21,C m m -4m =径，写出圆的方程；（2）分直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合垂径定理，求出直线方程.1l 【详解】（1）变形为，():12530l k x y k --+-=()3250k x x y ---+=令，解得：， 30250x x y -=⎧⎨--+=⎩31x y =⎧⎨=⎩故定点的坐标为，P ()3,1由圆心在直线上可设圆心坐标为，则，210x y -+=()21,C m m -AC CP =，解得：， =4m =故圆心坐标为，()7,4C 5=故圆的方程为；C 22(7)(4)25x y -+-=（2）当直线斜率不存在时，直线为，1l 1l 10x =此时圆心到的距离为，10x =1073-=由垂径定理得：弦长为，满足要求，28=当直线斜率存在时，设直线为，1l 1l ()110y k x =-圆心到直线即距离为()7,4C ()110y k x =-11100k x y k --=d，解得：， 22852⎛⎫+= ⎪⎝⎭1724k =-故直线方程为：即 1l ()07241y x -=-724700x y +-=综上：直线方程为或1l 10x =724700x y +-=20．等差数列的前项和为，已知为整数，且. {}n a n n S 1211,a a =4nS S ≤(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前项和. 11n n n b a a +=⋅{}n b n n T 【答案】(1)；143n a n =-(2). ()11113n n T n =-【分析】（1）根据题意得公差为整数，且分析求出即得；d 450,0,a a ≥≤d （2）利用裂项相消法即得.【详解】（1）由为整数知，等差数列的公差为整数，又， 1211,a a ={}n a d 4nS S ≤故于是，450,0,a a ≥≤1130,1140d d +≥+≤解得，因此， 111134d -≤≤-3d =-故数列的通项公式为；{}n a 143n a n =-（2）由题可知， ()()11111431133113143n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭于是． ()12111111111138115811314331131111113n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 21．已知椭圆C ：的长轴长为4，离心率e 是方程的一根． 22221x y a b+=()0a b >>22520x x -+=（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 是坐标原点，斜率为k的直线l 经过点，已知直线l 与椭圆C 相交于点A ，()0,1M B ，求面积的最大值．OAB A 【答案】（1）；（2. 22143x y +=【分析】（1）待定系数法求椭圆的方程；C（2）设直线的方程为，，，用“设而不求法”表示出三角形OAB 的面l 1y kx =+()11,A x y ()22,B x y 积.令转化为关于t 的函数，利用函数求最值. 1||2OAB S AB d =⋅=A t =【详解】（1）依题意得：，∴. 24a =2a =方程的根为或. 22520x x -+=12x =2x =∵椭圆的离心率，∴，∴ (0,1),e ∈12c ea ==1c =∴b ===∴椭圆的方程为. C 22143x y +=（2）设直线的方程为，，l 1y kx =+()11,A x y ()22,B x y 由，得， 221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2243880k x kx ++-=则， 122843k x x k +=-+122843x x k=-+点到直线的距离为， Ol d=||AB ==. 11||22OAB S AB d =⋅===A 令，则.1t =≥2221k t =-==∵在单调递增， 12y t t=+[1,)t ∈+∞∴时.有最小值3.. 1t =12y t t =+∴OAB A 22．已知抛物线上的点到焦点的距离为4．2:2(0)C y px p =>()2,b F (1)求抛物线的标准方程；C (2)若直线与抛物线交于，两点，且以线段为直径的圆过:(0)l x ty m m =+>C ()11,A x y ()22,B x y AB原点，求证直线恒过定点，并求出此定点的坐标．O l 【答案】(1)28y x =(2)证明见解析，定点．()8,0【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解；（2）根据直线与抛物线联立后结合，即可进121k k =-一步求解.【详解】（1）由题设知，抛物线的准线方程为， C 2p x =-由点到焦点的距离为4，得，解得， ()2,b F 242p +=4p =∴抛物线的标准方程为． C 28y x =（2）由消去得． 28,,y x x ty m ⎧=⎨=+⎩x 2880y ty m --=∴，．128y y t +=128y y m =-设直线和直线的斜率分别为，，OA OB 1k 2k 以线段为直径的圆过原点，∴，∴．AB O OA OB ⊥121k k =-∵，，2118y x =2228y x =∴，． 11118y k x y ==228k y =∴，即． 121288646418y y y y m⨯===--8m =∴直线．:8l x ty =+∴直线恒过定点． l ()8,0。

一、单选题1．已知数列为等差数列，且，，则该数列的前项之和（ ） {}n a 34a =58a =1010S =A ．80 B ．90C ．100D ．110【答案】B【分析】设出等差数列的公差，根据条件列出两个方程，即可求出首项和公差，再根据等差数{}n a 列的前项和公式即可求出．n 【详解】设等差数列的公差为，，，，， {}n a d 34a = 58a =124a d ∴+=148a a +=解得，，，则该数列的前10项之和． 10a =2d =1010902902S ⨯=+⨯=故选：．B 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式中基本量的计算，以及等差数列的的前项和公式的应n 用，属于基础题．2．函数的图象如图所示，则的图象可能是()y f x =()y f x '=A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】依据原函数图象可看出①当x<0时，函数y=f(x)递增，所以此时f ′(x)>0，y=f ′(x)的图象在x 轴上方；②当x>0时，函数y=f(x)递减，所以f ′(x)<0，y=f ′(x)的图象在x 轴下方 故选D点睛：本题属于基础题，在给定区间，导数值非负，函数是增函数，导数值为非正，函数为减函数，自左向右看，函数图象上升，函数为增，函数图象下降，函数为减，结合图象即可得到答案3．已知等差数列的前n 项和为，若，则公差 等于 {}n a n S 888S a ==d A ．B ．C ．1D ．21412【答案】D【分析】由，可求出，进而可知，结合，可求出公差. 88S a =4707S a ==40a =88a =【详解】解：，，，. 888S a == 1288a a a a ∴+++= ()17747207a a a S ∴+===40a ∴=又由，得. 844a a d =+8480244a a d --===故选:D.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的求和公式，考查了等差中项.对于等差、等比数列问题，一般都可用基本量法，列方程组求解，但是计算量略大.有时结合数列的性质，可简化运算，减少运算量.4．函数的图像在点处的切线方程为（ ） 43()2f x x x =-(1(1))f ，A ． B ． 21y x =--21y x =-+C ． D ．23y x =-21y x =+【答案】B【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方()y f x =()f x '()1f ()1f '程，化简即可.【详解】，，，，()432f x x x =- ()3246f x x x '∴=-()11f ∴=-()12f '=-因此，所求切线的方程为，即. ()121y x +=--21y x =-+故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题5．函数的单调减区间是（ ）()22f x x lnx =-A ．（0，1） B ．（1，+∞） C ．（﹣∞，1） D ．（﹣1，1）【答案】A【分析】求得函数的定义域与导数，结合导数的符号，即可求得函数的递减区间，得到答案.【详解】由题意，函数的定义域为，且， ()22f x x lnx =-(0,)+∞()22(1)(1)2x x f x x x x-+'=-=因为，可得，令，即，解得， 0x >10x +>()0f x '<10x -<01x <<所以函数的递减区间为. ()f x ()0,1故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数与函数的单调性的关系式解答的关键，着重考查推理与运算能力.6．数列是等比数列，是其前项和，，，，则 {}n a n S n 0n a >234+=a a 3432a a +=3S =A ．B ．12C ．D ．13283383【答案】D【解析】设数列的公比为，由列方程组，解得，或(舍)，，{}n a q 2334432a a a a +=⎧⎨+=⎩13q =12q =-23a =计算，，求和可得.1a 3a 3S 【详解】设数列的公比为，由，{}n a q 2334432a a a a +=⎧⎨+=⎩得，解得，或(舍)， ()222(1)432a q a q q +=⎧⎪⎨+=⎪⎩13q =12q =-，，，. 23a ∴=19a ∴=31a =313S ∴=故选：D .【点睛】本题考查求解等比数列通项中的量及求和，根据等比数列通项公式列出方程组解得公比及首项，考查计算能力，属于基础题.7．若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具()e xf x L ()f x ()f x 有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A ．B ．C ．D ．()2xf x -=()2f x x =()-3xf x =()cos f x x =【答案】A【详解】对于A,令,,则在R 上单调()e 2x x g x -=⋅11()e (22ln e 2(1ln )022x x x x xg x ---'=+=+>()g x 递增,故具有M 性质,故选A.()f x 【名师点睛】(1)确定函数单调区间的步骤：① 确定函数f (x )的定义域；②求f ′(x )；③解不等式f ′(x )>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f ′(x )<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．(2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即转化为“若函数单调递增,则f ′(x )≥0；若函数单调递减,则f ′(x )≤0”来求解．8．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足，，.若将数{}n a 11a =21a =()*123,n n n a a a n n --=+≥∈N 列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则其中不正确结论的是（ ）n S n cA ．B ． 2111n n n n S a a a +++=+⋅12321n n a a a a a +++++=- C ． D ．1352121n n a a a a a -++++=- ()121)4(3n n n n c c a n a π--+-≥=⋅【答案】C【分析】A 选项由前项所占格子组成长为，宽为的矩形即可判断；B 选项由()1n +1n n a a ++1n a +结合累加法即可判断；()*123,n n n a a a n n --=+≥∈N C 选项通过特殊值检验即可；D 选项表示出，作差即可判断.221111,44n n n n c a c a ππ--==【详解】由题意知：前项所占格子组成长为，宽为的矩形，其面积为()1n +1n n a a ++1n a +，A 正确；()211111n n n n n n n S a a a a a a +++++=+=+，以上各式相加得，32143221,,,n n n a a a a a a a a a ++=+=+=+ ，化简得，即()34223112()n n n a a a a a a a a a +++++=+++++++ 2212n n a a a a a +-=+++ ，B 正确；1221n n a a a a ++++=- ，C 错误；12345613561,2,3,5,8,817a a a a a a a a a a ======∴++=≠-=易知，，221111,44n n n n c a c a ππ--==()()()221111214()(3)n n n n n n n n n n c c a a a a a a a a n πππ-----+∴-=-=-+=≥D 正确. 故选：C.二、多选题9．下列命题中正确的是（ ）A ．等比数列的单调性完全由公比q 来决定，与无关 {}n a 1aB ．若数列为等差数列，则，…也是等差数列{}n a 484128,,S S S S S --C ．若数列的前n 项和，则该数列是等差数列{}n a 222n S n n =++D ．若数列是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是1211,,,n n a a a a a --- {}n a 312n n a -=【答案】BD【分析】举例并结合等比数列通项公式判断A ；利用等差数列前n 项和公式计算并结合等差数列定义判断B ；求出数列的通项判断C ；利用累加法求出通项判断D 作答.{}n a 【详解】对于A ，等比数列具有单调性，必有且，不妨令，，{}n a 0q >1q ≠1q >11n n a a q -=由，当时，，有，数列单调递增， 11n na q a +=>10a >0n a >1n n a a +>{}n a 当时，，有，数列单调递减，因此等比数列的单调性与有关，A 错10a <0n a <1n n a a +<{}n a {}n a 1a 误；对于B ，等差数列的公差为，前n 项和，则， {}n a d 1(1)2n n n S na d -=+4146S a d =+，444111(44)(43)4(41)(44)[4]4(166)22n n n n n n S S n a d na d a n d +++--=++-+=++，， 841844422,()16S S a d S S S d -=+--=4844444()()16n n n n S S S S d +++---=因此数列，…是等差数列，B 正确；484128,,S S S S S --对于C ，当时，，而， 2n ≥2212(1)2(1)21n n n a S S n n n n n --=+----=+=115a S ==不满足上式，数列不是等差数列，C 错误；{}n a 对于D ，依题意，，， 2n ≥()()()1213211331132n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-++-==- 显然满足上式，数列的通项公式是，D 正确.11a ={}n a 312n n a -=故选：BD10．下列命题中正确的是（ ）A ．若函数在区间上单调递增，那么一定有.()f x (),a b ()0f x ¢>B ．若函数在区间上恒有，则在上不是单调的. ()f x (),a b ()0f x '=()f x (),a b C ．若函数在区间上恒有，则在上是单调递增的. ()f x (),a b ()0f x ¢>()f x (),a b D ．函数在R 上是增函数. ()sin x x x f -=【答案】BCD【分析】利用导数与函数单调性的关系逐项分析即可.【详解】对A ，函数在区间上单调递增，那么在区间上可以是也可以是()f x (,)a b (,)a b ()0f x '>,如，因此A 不正确；()0f x '≥3()f x x =对B ，根据导数与其单调性的关系可知当函数在某个区间内恒有， ()0f x '=此时函数是常值函数，因此无单调性，因此B 正确；对C ，根据导数与单调性关系可知若函数在区间上恒有，则在上是()f x (),a b ()0f x ¢>()f x (),a b 单调递增的，故C 正确；对D ，，，，则单调递增，故D 正确. ()1cos f x x '=-[]cos 1,1x ∈-Q 1cos 0x ∴-≥()f x 故选：BCD.11．设数列是以d 为公差的等差数列，是其前n 项和，，且，则下列结论正确{}n a n S 10a >69S S =的是（ ） A ．d <0 B ．80a =C ． D ．或为的最小值56S S >7S 8S n S 【答案】AB【分析】根据，且，可得，然后逐一判断各个选项即可得出答案.10a >69S S =1107d a =-<【详解】解：由，69S S =得，所以，故A 正确；11615936a d a d +=+1107d a =-<，故B 正确； 811170a a d a a =+=-=，所以，故C 错误； 656112507S S a a d a -==+=>56S S <由，，，可得或为的最大值，故D 错误.80a =0d <10a >7S 8S n S12．已知是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（ ）e A ． B ．2ln 2e >3ln 3e <C ．D ．πln πe>ln 33ln ππ<【答案】ACD【分析】通过构造函数法，结合导数来判断出正确答案. 【详解】构造函数， ()()ln 0exf x x x =->， ()'11e e e x f x x x-=-=所以在区间递增；在区间递减，()f x ()()()'0,e ,0,f x f x >()()()'e,,0,f x f x +∞<所以，故，当且仅当时等号成立. ()()max e ln e 10f x f ==-=()0f x ≤e x =即，当且仅当时等号成立. ln 0,ln e ex xx x -≤≤e x =所以，AC 选项错误，，B 选项正确.2πln 2,ln πe e <<3ln 3e <构造函数， ()()ln 0xg x x x=>， ()'21ln xg x x -=所以在区间递增；在区间递减，()g x ()()()'0,e ,0,g x g x >()()()'e,,0,g x g x +∞<所以，，D 选项错误. ()()3πg g >ln 3ln πln 333πln ππ>⇒>故选：ACD三、填空题13．已知等比数列的前n 项和为，若，则公比_______． {}n a n S 367,63S S ==q =【答案】2【分析】根据给定条件，由结合列式计算作答. 63456S S a a a -=++3123S a a a =++【详解】等比数列的前n 项和为，，{}n a n S 367,63S S ==则，解得，3363456123()756S S a a a q a a a q -=++=++==2q =所以.2q =14．如图所示，直线是曲线在处的切线，则__________．2y kx =+()y f x =3x =()()33f f '+=【答案】23【分析】根据给定的图形，利用导数的几何意义求解作答.【详解】观察图象知，曲线在处的切线过点，而切点为， ()y f x =3x =2y kx =+(0,2)(3,1)因此，显然， 211(3)033f k -'===--(3)1f =所以.()()1233133f f '+=-=故答案为：2315．已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为___ {}n a n n S 8425S S -=9101112a a a a +++【答案】20【解析】由题得，利用等比数列的性质得，再利用基本不等8445S S S -=+()()8441822S S S S S =⋅--式求出，即得解.81220S S -≥【详解】因为是等比数列，， {}n a 8425S S -=所以，8445S S S -=+因为是等比数列， 484128,,S S S S S --所以 ()()8441822S S S S S =⋅--整理得（当且仅当时取等号）. ()48421244525101020S S S S S S +-==++≥=45S =因为， 1289101112S S a a a a -=+++所以的最小值为.9101112a a a a +++20【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．设是定义在R 上的奇函数，当时，有恒成立，则不等式()f x ()20f =0x >()()0xf x f x '-<的解集是______． ()0f x >【答案】(,2)(0,2)-∞- 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性，利用函数性质求解不等式()()f x g x x=作答.【详解】依题意，令函数，则，因为时，()(),0f x g x x x=>2()()()xf x f x g x x '-'=0x >，()()0xf x f x '-<于是当时，，函数在上单调递减，0x >()0g x '<()g x (0,)+∞又，则，因此当时，，当时，， (2)0f =(2)0=g 02x <<()0g x >2x >()0g x <即当时，，当时，，而是定义在R 上的奇函数， 02x <<()0f x >2x >()0f x <()f x 从而当时，，当时，， <2x -()0f x >20x -<<()0f x <所以不等式的解集是. ()0f x >(,2)(0,2)-∞- 故答案为：(,2)(0,2)-∞-四、解答题 17．已知函数，且曲线在处的切线斜率为． ()()211ln 2f x ax a x x =-++()y f x =2x =32(1)求a 的值；(2)求函数的单调区间； ()f x 【答案】(1)2a =(2)单调增区间和，单调减区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞1,12⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）求导，然后通过列方程求a 的值； ()322f '=（2）令和可得函数的单调区间. ()0f x ¢>()0f x '<【详解】（1）由已知， ()()11f x ax a x '=-++又曲线在处的切线斜率为， ()y f x =2x =32， ()()1322122f a a '∴=-++=解得：；2a =（2）由（1）得，()123,0f x x x x '=-+>令，得或，令，得， ()0f x ¢>102x <<1x >()0f x '<112x <<函数的单调增区间为和，单调减区间为.∴()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞1,12⎛⎫⎪⎝⎭18．已知数列的前n 项和为．{}n a 2n S n =(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若数列满足，求数列的前n 项和．{}n b 22n an n b a =+{}n b n T 【答案】(1) 21n a n =-(2) ()()221413nn n ++-【分析】（1）利用可得答案；1n n n a S S -=-（2）先通过分组，然后利用等差数列及等比数列的求和公式来求解.【详解】（1）①，2n S n = 当时，②，∴2n ≥()211n S n -=-①-②得， ()221121n n n a S S n n n -=-=--=-又时，，符合，1n =111a S ==21n a n =-数列的通项公式为；∴{}n a 21n a n =-（2）由（1）得，2122412n a n n n b a n -=+=-+ ()()()()35211233272112412n n n T b b b b n -∴=++++=+++++++-+ ()()35213711412222n n -=++++-+++++ . ()()()()214341221412143n nn nn n -+-=+=++--19．已知数列的前n 项和为，且满足． {}n a n S 21n n S a =+(1)求的通项公式；{}n a (2)数列满足，求数列的前n 项和．{}n b n n b na =-{}n b n T【答案】(1)；12n n a -=-(2).(1)21n n T n =-⋅+【分析】（1）根据给定条件，结合“”求出的通项作答.12,n n n n a S S -≥=-{}n a （2）利用（1）的结论，利用错位相减法求和作答.【详解】（1），，当时，，两式相减得，即N n *∀∈21n n S a =+2n ≥1121n n S a --=+122n n n a a a -=-，12n n a a -=而，解得，因此数列是首项为，公比为2的等比数列，11121a S a ==+11a =-{}n a 1-，11122n n n a --=-⨯=-所以的通项公式是.{}n a 12n n a -=-（2）由（1）知，12n n b n -=⋅，01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯ 则有，12312122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 两式相减得：， 2112122222(1)2112n n n n n n T n n n ---=++++-⨯=-⨯=-⨯-- 所以.(1)21n n T n =-⋅+20．已知函数 ()()212ln 22f x x a x a x =-+-(1)当，且时，证明：；1a =-()1,4x ∈()3f x >-(2)是否存在实数a ，使函数在上单调递增?若存在，求出a 的取值范围；不()()g x f x ax =-()0,∞+存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 1(,]2a ∈-∞-【分析】（1）将代入，利用导数求出函数在上的最小值，再借助对数函数的单调1a =-()f x (1,4)性推理作答.（2）求出函数的导数，利用导函数在上不小于0恒成立求解作答.()g x ()0,∞+【详解】（1）当时，，，求导得1a =-21()2ln 32f x x x x =+-()1,4x ∈， 2(1)(2)()3x x f x x x x --'=+-=当时，，当时，，在上单调递减，在上单调12x <<()0f x '<24x <<()0f x '>()f x (1,2)()f x (2,4)递增，所以.()(2)22ln 262(ln 22)2)3f x f ≥=+-=->=-（2）若存在实数，使在上是增函数，a ()()g x f x ax =-(0,)+∞则，恒成立， (0,)∀∈+∞x ()()()222220a x x a g x f x a x a a x x--=-=-+-='-≥'即在上恒成立， 2211220(1)22x x a a x --≥⇔≤--(0,)+∞而函数，在时取得最小值，因此， 211(1)22y x =--,()0x ∈+∞1x =12-12a ≤-又当时，，当且仅当时，，即函数在单调递增， 12a =-2(1)()0x g x x-'=≥1x =()0g x '=()g x (0,)+∞所以当时，在上单调递增. 1(,]2a ∈-∞-()()g x f x ax =-(0,)+∞21．已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.【答案】(1) f (x )在上单调递减，在区间上单调递增. ,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a （2） 3420e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【分析】(1)求f (x )的导函数为f ′(x )＝(2e x ＋a )(e x －a )，通过讨论a ，求函数的单调区间即可. (2)因为f (x )≥0，所以即求f (x )的最小值大于等于0，由第(1)的结果求的f (x )的最小值，解关于a 的不等式即可求出a 的范围.【详解】(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0.f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln . 2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当x ∈时，f ′(x )<0； ,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 当x ∈时，f ′(x )>0. ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a故f (x )在上单调递减，在区间上单调递增. ,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a (2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln 时，f (x )取得最小值，最小值为f ＝a 22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3ln 42a ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故当且仅当a 2≥0， 3ln 42a ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即0>a ≥时，f (x )≥0.342e -综上a 的取值范围是[，0].342e -【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查函数的恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想和学生的计算能力，属于中档题.22．已知数列，，满足，，，.{}n a {}n b {}n c 1111a b c ===1n n n c a a +=-12n n n n bc c b ++=N*n ∈（1）若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式； {}n b 0q >12362b b b +=q {}n a （2）若为等差数列，且，证明，.{}n b 265b b +=1233n c c c c +++⋯+<N*n ∈【答案】（1）；；（2）证明见解析. 2q =2743nn a --=【解析】（1）先由题设求得，从而求得及，然后求得，再利用叠加法求得即q n b 114n n c c +=n c n a 可；（2）先由题设求得等差数列的公差，然后求得及，再利用累乘法求得，最{}n b d n b 113n n c n c n ++=+n c 后利用裂项相消法求得，即可证明结论.123n c c c c +++⋯+【详解】（1）解：由题设知：，解得：或（舍，， 262q q +=2q =32q =-)12n n b -∴=，，，即， 12n n n n b c c b ++= N*n ∈1112124n n n n n c c c -++∴==114n n c c +=，， 11c = 11()4n n c -∴=，，1n n n c a a +=- 11a =，211a a ∴-=， 3214a a -=， 2431()4a a -=⋯，， 211()4n n n a a ---=2n …将以上式子相加可得：，， 122111()11141411()([1()]14443414n n n n a -----=+++⋯+==--2n …，，又当时，也适合， 2743nn a --∴=2n …1n =11a =； 2743nn a --∴=（2）证明：，， 26452b b b +== 452b ∴=，公差， 11b = ∴411412b b d -==-， 111(1)22n n b n +∴=+-=， 1213n n n n n b n c c c b n +++==+ ， ∴113n n c n c n ++=+， ∴2124c c =， 3235c c =， 4346c c =⋯， 1211n n c n c n ---=+，， 12n n c n c n -=+2n …将以上式子相乘可得：，， 123(1)(2)n c c n n ⨯=++2n …，，， 11c = 116()12n c n n ∴=-++2n …又当时，也适合上式，1n =11c =， 116()12n c n n ∴=-++. 1231111111116()6()63233412222n c c c c n n n ∴+++⋯+=-+-+⋯+-=-<⨯=+++【点睛】方法点睛：该题主要考查数列的问题，方法如下：（1）利用叠加法求通项公式；（2）累乘法求通项公式；（3）裂项相消法求和.。