高二上学期数学开学考试试卷

2024-2025学年福建省泉州市部分地区高二上学期开学考试数学试卷（答案在最后）【满分：150】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.复数2023i 12iz =-在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a ,b 满足3a =,5a b ⋅=- ,则()2a b a -⋅= ()A.-1B.2C.15D.193.为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男生30人，女生20人.按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为()A.6.8B.6.9C.7D.7.24.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是()A.若m α⊥，//n α，则m n ⊥B.若m α⊥，//m n ，则n α⊥C.若//m n ，n β⊥，m α⊥，则//αβD.若m α⊥，m n ⊥，则//n α5.为了加深师生对党史的了解,激发广大师生知史爱党,知史爱国的热情,某校举办了“学党史,育文化的党史知识竞赛,并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分,成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图,则下列说法错误的为()A.a 的值为0.005B.估计这组数据的众数为75分C.估计这组数据的第85百分位数为85分D.估计成绩低于60分的有250人6.在ABC △中,2AE EB = ,12AF FC =,M ,N 为线段BC 上（不包含端点）不同的两个动点.若(),AM AN AE AF λμλμ+=+∈R,则2λμ+=()A.3B.4C.6D.77.某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次,记事件A =“出现的点数为奇数”,B =“出现的点数不大于3”,事件C =“出现点数为3的倍数”,则下列说法正确的是()A.A 与B 互为对立事件 B.()()()P A B P A P B =+ C.()23P C =D.()()P A P C =8.在正三棱柱111ABC A B C -中,2AB =,123AA =O 为BC 的中点,M ,N 分别为线段11B C ,AM 上的动点,且MN MOMO MA=,则线段MN 的长度的取值范围为()A.31513,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.)15,4⎡⎣C.115,47⎡⎢⎣⎦D.1513,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得补部分分，有选错的得0分.9.已知圆22:(1)(2)25C x y ++-=,直线()():311420l m x m y m +++--=,直线l 与圆C 交于A ,B 两点,则()A.直线l 恒过定点()1,1B.当15m =时,AB 最长C.当35m =-时,弦AB 最短D.最短弦长AB =10.已知向量(,1)x =a ，(4,2)=b ，则下列结论正确的是()A.若//a b ，则2x =B.若⊥a b ，则12x =C.若3x =，则向量a 与向量b 的夹角的余弦值为10D.若1x =-，则向量b 在向量a 上的投影向量为11.在菱形ABCD 中,1AB =,120ABC ∠=︒,将ABD △沿对角线BD 折起,使点A 至点P （P 在平面ABCD 外）的位置,则()A.在折叠过程中,总有BD PC ⊥B.存在点P ,使得2PC =C.当1PC =时,三棱锥P BCD -的外接球的表面积为3π2D.当三棱锥P BCD -的体积最大时,32PC =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在空间直角坐标系中，已知()5,2,1A ，()4,2,1B -，()0,1,0C -，()1,0,1D ，则直线AB 与CD 所成角的余弦值为______.13.已知互不相等的4个正整数从小到大排序为x ，y ，z ，6.若这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数为________.14.在圆台12O O 中,圆1O 的半径是2,母线2PC =,圆2O 是ABC △的外接圆,60ACB ∠=︒,AB =则三棱锥P ABC -体积最大值为___________．四、解答题：本题共5分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）如图,在ABC △中,25AD AB =,点E 为AC 中点,点F 为BC 上的三等分点,且靠近点C ,设CA a = CB b = .(1)用a ,b 表示EF ,CD ;(2)如果60ACB ∠=︒,2AC =,且CD EF ⊥,求||CD.16.（15分）甲,乙两人进行围棋比赛,采取积分制,规则如下:每胜1局得1分,负1局或平局都不得分,积分先达到2分者获胜;若第四局结束,没有人积分达到2分,则积分多的一方获胜;若第四周结束,没有人积分达到2分,且积分相等,则比赛最终打平.假设在每局比赛中,甲胜的概率为12,负的概率为13,且每局比赛之间的胜负相互独立.（1）求第三局结束时乙获胜的概率;（2）求甲获胜的概率.17.（15分）如图,在三棱台111ABC A B C -中,90BAC ∠=︒,4AB AC ==,1112A A A B ==,侧棱1A A ⊥平面ABC ,点D 是棱1CC 的中点.（1）证明：1BB ⊥平面1AB C ;（2）求平面BCD 与平面ABD 的夹角的余弦值.18.（17分）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.（1）由频率分布直方图，求出图中t 的值，并估计考核得分的第60百分位数：（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在[)70,90内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[)70,80和[)80,90的概率：（3）现已知直方图中考核得分在[)70,80内的平均数为75，方差为6.25，在[)80,90内的平均数为85，方差为0.5，求得分在[)70,90内的平均数和方差.19.（17分）在①b a =,②2sin tan b A a B =,③()sin sin()sin a c A c A B b B -++=这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答.已知ABC △的内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若___________.（1）求角B ;（2）若2,3a c ==,点D 在ABC △外接圆上运动,求BD BC ⋅的最大值.答案以及解析1.答案：D解析：因为20233i i i ==-,所以()()()i 12i i 2i12i 12i 12i 5z -+--===--+,所以,复数z 在复平面内所对应的点为21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以,复数z 在复平面内所对应的点位于第四象限.故选:D.2.答案：D解析：因为3a = ,5a b ⋅=-,所以()()22292519a b a a a b -⋅=-⋅=-⨯-= .故选：D.3.答案：A解析：男生30人，女生20人，则抽取的时候分层比为3:2.则10个人中男女分别抽取了6人和4人.这10人答对题目的平均数为1(610415)1210⨯⨯+⨯=.所以这10人答对题目的方差为22641(1012)0.5(1512) 6.81010⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦.故选：A.4.答案：D解析：对于A ，当//n α时，过n 作平面β，使l βα= ，则//n l ，因为m α⊥，l α⊂，所以m l ⊥，所以m n ⊥，故A 正确；对于B ，由线面垂直的性质知B 正确；对于C ，因为//m n ，n β⊥，所以m β⊥，又m α⊥，所以//αβ，故C 正确；对于D ，当m α⊥，m n⊥时，n 可能在平面α内，故D 错误.故选D.5.答案：C解析：根据频率分布直方图可知:10(23365)1a a a a a a +++++=,即0.005a =,故A 正确;由图易得在区间[70,80)的人最多,故可估计这组数据的众数为75,故B 正确;100.005(23)1000250⨯⨯+⨯=,故成绩低于60（分）的有250人,即D 正确;由图中前四组面积之和为:(2336)0.005100.7+++⨯⨯=,图中前五组面积之和为:(23365)0.005100.95++++⨯⨯=,故这组数据的第85百分位数在第五组数据中,设这组数据的第85百分位数为m ,则有0.750.005(80)0.85m +⨯-=,故86m =,即估计这组数据的第85百分位数为86分,故C 错误.故选:C.6.答案：C解析：因为2AE EB = ,12AF FC =,所以23AE AB = ,13AF AC = ,设()()101AM a AB a AC a =+-<< ,()()101AN bAB b AC b =+-<<,则()()11AM AN a AB a AC bAB b AC +=+-++- 3()(2)()3(2)2a b AB a b AC a b AE a b AF =++--=++--,又(),AM AN AE AF λμλμ+=+∈R ,且AE ,AF不共线,则()()3232a b a b λμ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩,所以26λμ+=.7.答案：C解析：抛掷一枚质地均匀的骰子,出现的点数构成的样本空间为()()()()()(){}1,2,3,4,5,6,则()()(){}()()(){}()(){}1,3,5,1,2,3,6,3A B C ===,对于A,事件A ,B 可同时发生,故不是对立事件,A 错误,对于B,()()()(){}1,2,3,5A B = ,()23P A B = ,()()1P A P B +=,故B 错误,对于C,()()213P C P C =-=,C 正确,对于D,()12P A =,()13P C =,D 错误,故选:C 8.答案：D解析：取11B C 的中点Q ,连接OQ ,如图,以O 为坐标原点,OC ,OA ,OQ的方向分别为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则()0,0,0O ,(0A ,(11,0,B -,(11,0,C .因为M 是棱11B C 上一动点,设(,0,M a ,且[]1,1a ∈-,所以(,0,OM a = ,(MA a =--.因为MN MOMO MA =,所以222MO MN MA ===.令t =4t ⎤∈⎦,则2233t t t t -==-,4t ⎤∈⎦.又函数3y t t =-在4⎤⎦上为增函数,所以线段MN 的长度的取值范围为13,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦.9.答案：AC解析：直线方程可化为()3420x y m x y +-++-=,当340120x y x x y +-=⎧⇒=⎨+-=⎩,1y =,故直线l 恒过定点()1,1P ,A 正确;易知圆心()1,2C -,半径=5r ,显然当直线l 过圆心时,AB 最长,则()()()1311124205m m m m +⨯-++⨯--=⇒=-,故B 错误;当CP l ⊥时,此时弦AB 最短,即()3112311115m m m +--⨯=-⇒=-+--,故C 正确;当35m =-时,则弦长AB ==故D 错误.故选:AC 10.答案：AC解析：若//a b ，则240x -=，解得2x =，故A 正确；若⊥a b ，则420x +=，解得12x =-，故B 错误；若3x =，则(3,1)=a .又(4,2)=b ，所以向量a 与向量b的夹角的余弦值为10⋅==a b a b ，故C 正确；若1x =-，则(1,1)=-a .又(4,2)=b ，所以向量b 在向量a上的投影向量为(1,1)||||⋅⋅=-a b a a a ，故D 错误.故选AC.11.答案：AC解析：如图所示,取PC 的中点E ,连接BE ,DE ,则BE PC ⊥,DE PC ⊥,因为BE DE E = ,BD ,DE ⊂平面BDE ,所以PC ⊥平面BDE ,又BD ⊂平面BDE ,所以BD PC ⊥,A 项正确;在菱形ABCD 中,1AB =,120ABC ∠=︒,所以AC =,当ABD △沿对角线BD 折起时,0PC <<,所以不存在点P ,使得2PC =,B 项错误;当PC =1时,将正四面体补成正方体,根据正方体的性质可知,三棱锥P BCD -的外接球就是该正方体的外接球,因为正方体的各面的对角线长为1.所以正方体的棱长为2,设外接球的半径为R ,则22234122R ⎛=+= ⎝⎭,所以三棱锥P BCD -的外接球的表面积2342S R ππ==球,C 项正确;当三棱锥P BCD -的体积最大时,取BD 的中点O ,连接PO ,OC ,易知PO ⊥平面BCD,则PO OC ⊥,又122PO OC AC ===,所以2PC ==,D 项错误.故选:AC.12.答案：5解析：因为()1,0,2AB =-- ，()1,1,1CD =，所以cos ,5AB CD AB CD AB CD⋅===-，所以直线AB 与CD 所成角的余弦值为155.13.答案：4.5/92解析：易知这4个数据的极差为6x -，中位数为2y z+，即可得622y zx +-=⨯，所以6x y z ++=；又因为正整数x ，y ，z 互不相等且16x y z ≤<<<，可得1x =，2y =，3z =；由475%3⨯=为正数，因此这4个数据的第75百分位数为第三个数和第四个数的平均数，即364.52+=，则这4个数据的第75百分位数为4.5.故答案为：4.514.答案：34解析：如图,设圆1O ,2O 的半径分别为1r ,2r ,则12r =,由正弦定理,232sin 60r =︒,解得21r =,设圆台的高为h ,则12h O O ===,在ABC △中,取AC b =,BC a =,由余弦定理,222cos 603a b ab +-︒=,即得2232a b ab ab +=+≥,即得3ab ≤,当且仅当a b ==.因三棱锥P ABC -的体积为11113sin 6033244ABC V S h ab ab =⋅=⨯=≤△,即a b ==,三棱锥P ABC -的体积的最大值为34.故答案为：3.415.答案：(1)3255CD a b =+ ,1132EF b a=-(2)635解析：(1)因为25AD AB =,所以()223232555555CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB a b =+=+=+-=+=+ ,11113232EF CF CE CB CA b a =-=-=-;(2)因为CD EF ⊥,所以231105532CD EF b a b a ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以222301510b a -= ,由2a = ,可得3b = ,又60ACB ∠=︒,所以12332a b ⋅=⋅⋅= ,所以635CD === .16.答案：（1）427（2）265432解析：（1）设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知,乙每局获胜的概率为13,不获胜的概率为23.若第三局结束乙获胜,则乙第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜).故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=（2）设事件B 为“甲获胜”.若第二局结束甲获胜,则甲两局连胜,此时的概率1111224P =⨯=.若第三局结束甲获胜,则甲第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜).此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=.若第四局结束甲以积分获胜,则甲第四局必定获胜,前三局为1胜2平或1胜1平1负,总共有9种情况:(胜,平,平,胜),(平,胜,平,胜),(平,平,胜,胜),(胜,平,负,胜),(胜,负,平,胜),(平,胜,负,胜),(负,胜,平,胜),(平,负,胜,胜),(负,平,胜,胜).此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜,则乙的积分为0分,总共有4种情况:(胜,平,平,平),(平,胜,平,平),(平,平,胜,平),(平,平,平,胜).此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=17.答案：（1）见解析（2）3015解析：（1）证明：以A 为坐标原点,以AB ,AC ,1AA 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,根据题意可得()0,0,0A ,()4,0,0B ,()0,4,0C ,()12,0,2B ,()10,2,2C ,()0,3,1D ,∴()12,0,2BB =- ,()0,4,0AC = ,()12,0,2,AB =设平面1AB C 的法向量为(),,n d e f =,则140220n AC e n AB d f ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩,令1d =,即1f =-,0e =,则()1,0,1n =- ,12BB n ∴=- ,1//BB n ∴,1BB ∴⊥平面1AB C .（2）由（1）知()4,4,0BC =- ,()0,1,1CD =- ,设平面BCD 的法向量为(),,m x y z =,则4400m BC x y m CD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ,令1y =,即1x =,1z =,即()1,1,1m = ,由（1）知,()4,0,0AB = ,()0,3,1AD = ,设平面ABD 的法向量为(),,e a b c =,则4030e AB a e AD b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,令1b =,即0a =,3c =-.即()0,1,3e =- ,设平面BCD 与平面ABD 的夹角为θ,则1330cos cos ,15310m e m e m e θ⋅-====⨯,∴平面BCD 与平面ABD 的夹角的余弦值为3015.18.答案：（1）0.030t =，85；（2）35；（3）得分在[70,90)内的平均数为81，方差为26.8.解析：（1）由题意得：10(0.010.0150.0200.025)1t ⨯++++=，解得0.03t =，设第60百分位数为x ，则0.01100.015100.02100.03(80)0.6x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得85x =，第60百分位数为85.（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在[70,80)的有85220⨯=人，设为A 、B ，在[80,90)的有125320⨯=人，设为a 、b 、c .则样本空间为{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c Ω=，()10n Ω=.设事件M =“两人分别来自[70,80)和[80,90)，则{(,),(,),(,),(,),(,),(,)}M A a A b A c B a B b B c =，()6n M =，因此()63()()105n M P M n ===Ω，所以两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率为35.（3）由题意知，落在区间[70,80)内的数据有40100.028⨯⨯=个，落在区间[80,90)内的数据有40100.0312⨯⨯=个.记在区间[70,80)的数据分别为1x ，2x ， ，8x ，平均分为x ，方差为2x s ；在区间[80,90)的数据分别为为1y ，2y ， ，12y ，平均分为y ，方差为2y s ；这20个数据的平均数为z ，方差为2s .由题意，75x =，85y =，26.25xs =，20.5ys =，且8118i i x x ==∑，121112j j y y ==∑，则8128751285812020x y z +⨯+⨯===.根据方差的定义，()()()()812812222221111112020i j i j i j i j s x z y z x x x z y y y z ====⎡⎤⎡⎤=-+-=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()()()88812121222221111111()2((2(20i i j j i i i j j j x x x z x z x x y y y z x z y x ======⎡⎤=-+-+--+-+-+--⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑由()()881212111180,120i i j j i i j y x x x x y y y y ====-=-=-=-=∑∑∑∑，可得()()8812122222211111()()20i j i i j j s x x x z y y y z ====⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑2222188(1212(20x y s x z s y z ⎡⎤=+-++-⎣⎦222223(()55x y s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦22236.25(7581)0.5(8581)26.855⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦故得分在[70,90)内的平均数为81，方差为26.8.19.答案：（1）π3（2）213⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭解析：（1）选①,由正弦定理得sin sin B A =sin 0A ≠,cos 1B B -=,即π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0πB << ,ππ5π666B -<-<∴,ππ66B ∴-=,π3B ∴=.选②,2sin tan b A a B = ,sin 2sin cos a Bb A B=,由正弦定理可得sin 2sin sin sin cos B B A A B =⋅,sin 0A ≠,1cos 2B ∴=,(0,π)B ∈ ,π3B ∴=.选③,sin()sin(π)sin A B C C +=-=,由已知结合正弦定理可得22()a c a c b -+=,222a cb ac ∴+-=,2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴===,(0,π)B ∈ ,π3B ∴=.（2）π2,3,3a c B ===,,,根据余弦定理2222cos 4967b a c ac B =+-=+-=,b ∴=ABC∴△外接圆的直径2sin 2bR B===过D 作DG BC ⊥,垂足为G ,而cos BC BD BC BD DBC ⋅=∠,若BC BD ⋅取到最大值,则cos BD DBC ∠ 取最大值,故可设DBC ∠为锐角,故此时BC BD BC BG ⋅=,当BG取最大值时,DG 与圆相切且G 在BC 的延长线上（如图所示）,设此时切点为H ,垂足为F ,取BC 的中点E ,外接圆圆心为O ,连接OE ,OH ,则//OE FH 且OH FH ⊥,故四边形OHFE 为矩形,故3EF OH R ===,故1123BF BC R =+=+,()max21213BC BD⎛⎫∴⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭ .。

2024-2025学年华东师大二附中高二数学上学期开学考试卷（考试时间：120分钟卷面满分：150分）2024.08一、填空题（本大题共有12题，第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分，满分54分），考生需在答题纸的相应位置填写结果．1．直线l 上存在两点在平面α上，则l α（填一符号）．2．函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的频率是．3．已知{}n a 是等差数列，若75230a a --=，则9a 的值是．4．两条异面直线所成角的取值范围是5．已知复数i z a =-的实部与虚部相等，则i z -=．6．函数πtan 213y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的对称中心是．7．三个互不重合的平面能把空间分成．8．数列{}n a 满足111n n a a +=-，112a =，则2024a =．9．在ABC V 中，sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则该三角形外接圆与内切圆的面积之比是．10．如图，摩天轮的半径为50m ，圆心O 距地面的高度为60m .已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min 转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱5min 时他距离地面的高度为m .11．已知ABC V 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边,AB AC 于,M N 两点，设,(0,0)==>>AM xAB AN y AC x y ，则4x y +的最小值为.12．对任意0,4πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()sin()f x x ωϕ=+在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数ω的取值范围是.二、选择题（本大理共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分，每题有且仅有一个正确选项），考生需在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑．13．设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，而积为S ，周长为L ，则下列说法不正确的是（）A ．若α，r 确定，则,L S 唯一确定B ．若α，l 确定，则L ，S 唯一确定C ．若,S L 确定，则,r α唯一确定D ．若,S l 确定，则,r α唯一确定14．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条15．数列{}n a ，{}n b 满足1n n a b ⋅=，232n a n n =++，则{}n b 的前10项之和等于（）A ．13B ．512C ．12D ．71216．如图所示，角π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的终边与单位圆O 交于点P ，()1,0A ，PM x ⊥轴，AQ x ⊥轴，M 在x 轴上，Q 在角x 的终边上．由正弦函数、正切函数定义可知，sin ,tan x x 的值分别等于线段,MP AQ 的长，且OAP OAQ OAP S S S << 扇形，则下列结论不正确的是（）A ．函数tan sin y x x x =++在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有1个零点B ．函数tan y x x =-在πππ3π,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点C ．函数sin y x x =-有3个零点D ．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有1个零点三、解答题（本大题共5题，满分78分），考生需在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．已知3sin 5α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(1)求πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，已知角β的终边与角α的终边关于y 轴对称，求()cos αβ+18．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14AA =，P 为线段11B D 上一点．（1）求证：AC BP ⊥；（2）当P 为线段11B D 的中点时，求点A 到平面PBC 的距离．19．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠= ，224AB AD DC ===，点F 是BC 边上的中点.(1)若点E 满足2DE EC =，且EF AB AD λμ=+ ，求λμ+的值；(2)若点P 是线段AF 上的动点（含端点），求AP DP ⋅的取值范围.20．如图，正方体的棱长为1，B C BC O ''= ，求：(1)AO 与A C ''所成角的度数；(2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值：(3)B OA C --的度数．21．若有穷数列{}n a 满足：10ni i a ==∑且11ni i a ==∑，则称其为“n 阶01-数列”.(1)若“6阶01-数列”为等比数列，写出该数列的各项；(2)若某“21k +阶01-数列”为等差数列，求该数列的通项n a （121n k ≤≤+，用,n k 表示）；(3)记“n 阶01-数列”{}n a 的前k 项和为()1,2,3,,k S k n = ，若存在{}1,2,3,,m n ∈ ，使12m S =，试问：数列{}()1,2,3,,i S i n = 能否为“n 阶01-数列”？若能，求出所有这样的数列{}n a ；若不能，请说明理由.【分析】由直线与平一面的位置关系可得结论.【详解】直线l 上存在两点在平面α上，则l ⊂α.故答案为：⊂.2．1π##1π-【分析】利用正弦型函数频率的定义可得结果.【详解】由题意可知，函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的频率212ππf ==.故答案为：1π.3．3【分析】利用等差数列的性质可求9a 的值.【详解】因为597+2a a a =，故5590+3a a a --=，所以9 3.a =故答案为：3.4．(0,2π【分析】由异面直线所成角的定义求解．【详解】解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角，故两条异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦故答案为：0,2π⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，同时还考查了转化思想，属于基础题．5【分析】根据题意，得到1i z =--，结合复数模的运算法则，即可求解.【详解】由复数i z a =-的实部与虚部相等，可得1a =-，即1i z =--，则i 12i z -=--，所以i z -==6．ππ,1,46k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z【分析】根据正切函数tan y x =的对称中心为π,0,2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ，整体代换即可得所求函数的对称中心.【详解】因为正切函数tan y x =的对称中心为π,0,2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ，所以令ππ2,32k x k -=∈Z ，则ππ,46k x k =+∈Z ，所以函数πtan 213y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的对称中心是ππ,1,46k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z .故答案为：ππ,1,46k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z .7．4或6或7或8【分析】将互不重合的三个平面的位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交；三个平面两两相交且三条交线平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点；四种情况分类讨论，即可得到答案.【详解】若三个平面两两平行，则将空间分成4个部分，如图1，若二个平面平行，都和第三个平面相交，或三个平面交于同一条直线时，则将空间分成6个部分，如图2，若三个平面两两相交且交线互相平行，则将空间分成7个部分，如图3，若三个平面两两相交且交点共点，则将空间分成8个部分，如图4，故答案为：4或6或7或8．8．2【分析】由题意求出234,,a a a ，则数列{}n a 是周期为3的数列，即可求解.【详解】由题意知，23412311112,1,1112a a a a a a ====-==---，所以数列{}n a 是周期为3的数列，所以20246743222a a a ⨯+===.故答案为：29．499【分析】利用正弦定理和余弦定理求出外接圆的半径，再利用等面积法求三角形内切圆的半径，即可求解.【详解】设ABC V 外接圆的半径为R ，内切圆的半径为r ，内切圆的圆心为O ，因为sin :sin :sin 5:7:8A B C =，所以由正弦定理可得，::5:7:8a b c =，不妨设5,7,8a b c ===，有余弦定理可得，2228811cos 211214b c a A bc +-===，因为()0,πA ∈，所以sin A =由正弦定理2sin aR A =得，3R =,又因为ABC ABO ACO BCO S S S S =++ ,1sin 2△==ABC S bc A所以()11112222a rb rc r a b c r ⋅+⋅+⋅=++=所以r =所以该三角形外接圆与内切圆的面积之比为222π49π9R R r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为:499.10．85【分析】设在min t 时，距离地面的高度为()6050sin h t ωϕ=++，其中ππϕ-<<，根据题中条件求出ω、ϕ的值，可得出h 关于t 的函数关系式，然后将5t =代入函数解析式，即可得解.【详解】因为摩天轮的半径为50m ，圆心O 距地面的高度为60m ，设在min t 时，距离地面的高度为()()sin 0h A t b A ωϕ=++>，其中ππϕ-<<，则11060A b b +=⎧⎨=⎩，可得5060A b =⎧⎨=⎩，则()6050sin h t ωϕ=++，由摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min 转动一圈，可得2π15ω=，所以2π15ω=，即2π6050sin 15h t ϕ⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭，当0t =时，可得6050sin 10ϕ+=，即sin 1ϕ=-，因为ππϕ-<<，解得2πϕ=-，所以2ππ2π6050sin 6050cos 15215h t t ⎛⎫⎛⎫=+⋅-=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令5t =，可得2π6050cos 560258515h ⎛⎫=-⨯=+= ⎪⎝⎭.所以，游客进舱5min 时他距离地面的高度为85m .故答案为：85.11．94##2.25【分析】由已知和平面向量基本定理可得1114⎛⎫=+ ⎪⎝⎭AE AM AN x y ，又,,M E N 三点共线得111(0,0)44x y x y+=>>，利用基本不等式求解最值．【详解】因为()12AD AB AC =+且E 为AD 的中点，所以()1124==+ AE AD AB AC ，又因为(),0,0==>>AM xAB AN y AC x y ，所以11,AB AM AC AN x y== ，所以1114⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ AE AM AN x y ，又,,M E N 三点共线，所以111(0,0)44x y x y +=>>，于是()114444⎛⎫+=++⎪⎝⎭x y x y xy 1191144444y x x y =+++≥++=，当且仅当44=y x x y 即12x y ==等号成立.故答案为：94.12．130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭【解析】根据题意可得22T π≥，从而可得2ω≤，讨论0ω>，0ω=或0ω<，再求出()sin()f x x ωϕ=+的单调递增区间，只需,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增区间的子集即可求解.【详解】()()sin f x x ωϕ=+，0,4πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的性质，()f x 的每个增区间的长度为2T ，其中函数()f x 的最小正周期为2T ωπ=.函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调地藏，可得22T π≥，即2ω≤.①当0ω>时，此时02ω<≤，x ωϕ+单调递增，当22,22x k k k Z ππωϕππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦，()f x 单调递增，解得112,2,22x k k k Z πππϕπϕωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫∈--+-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，只需11,2,2,222k k k Z πππππϕπϕωω⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⊆--+-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而可得1222,122k k Z k πππϕωπππϕω⎧⎛⎫≥-- ⎪⎪⎪⎝⎭∈⎨⎛⎫⎪≤+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2141,2,2k k k Z ϕϕωππ⎡⎤∈--+∈⎢⎥⎣⎦对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立，则21410214k k πωππ--⨯≤≤+-⨯，即141,2,4k k k Z ω⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，由124141204k k k ⎧+>-⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得1588k -<<，k Z ∈ ，0k ∴=.所以，10,4ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；②当0ω=时，函数()sin f x ϕ=为常函数，不合乎题意；③当0ω<时，20ω-≤<，x ωϕ+单调递减，由322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈，解得13122,22k x k k Z πππϕπϕωω⎛⎫⎛⎫+-≤≤+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立，可得13222,122k k Z k πππϕωπππϕω⎧⎛⎫≥+- ⎪⎪⎪⎝⎭∈⎨⎛⎫⎪≤+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得122,43,2k k k Z ϕϕωππ⎡⎤∈+-+-∈⎢⎥⎣⎦对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立，于是12210434k k πωππ+-⨯≤≤+-⋅，即521,4,2k k k Z ω⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦，由5142225402k k k ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得518k -≤<-，由Z k ∈，1k =-，此时，32ω=-.综上所述，实数ω的取值范围是130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.故答案为：130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的性质，解题的关键是求出函数的单调递增区间，使,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增区间的子集，考查了分类讨论的思想.13．C【分析】利用211,,222l r S r rl L r l αα====+，再结合各个选项，逐一分析判断，即可求出结果.【详解】因为211,,222l r S r rl L r l αα====+，对于选项A ，若α，r 确定，则,L S 唯一确定，所以选项A 正确，对于选项B ，若α，l 确定，由l r α=知，r 确定，则L ，S 唯一确定，所以选项B 正确，对于选项C ，若,S L 确定，由1,22S rl L r l ==+，消l 得到2102r Lr S -+=，又2144L S ∆=-，当0∆>时，r 有两个值，当0∆=时，r 有1个值，当0∆<时，r 无解，所以选项C 错误，对于选项D ，若,S l 确定，由12S rl =知，r 确定，又l r α=，所以α确定，故选项D 正确，故选：C.14．D【详解】如图：由于平面11AA D D ，平面ABCD ，平面11ABB A 上不存在满足条件的直线l ，只需考虑正方体内部和正方体外部满足条件的直线l 的条数.第一类：在正方体内部,由三余弦定理知l 在平面ABCD 内的射影为BAD ∠的角平分线,在平面11AA D D 内的射影为1A AD ∠的角平分线，则l 在正方体内部的情况为体对角线1AC ；第二类：在图形外部与每条棱的外角度数和另2条棱夹角度数相等，有3条.所以共有4条满足条件的直线,故选D.15．B【分析】利用裂项相消法求和.【详解】∵1n n a b ⋅=,∴()()21111321212n b n n n n n n ===-++++++，∴101111111111523341011111221212S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选:B ．16．C【分析】利用当π(0,)2x ∈时，sin tan <<x x x ，可得各个函数在π(0,)2上零点的个数，再根据奇函数的对称性得到函数在π(,0)2-上零点的个数，且各个函数都有零点0x =，由此可判断A CD ；再结合函数tan y x =和y x =的图象，可判断B.【详解】由已知条件，当π(0,)2x ∈时，211111sin ,,tan 22222OAP OAQ OAP S OA MP x S OA x S OA AQ x =⋅⋅==⋅⋅=⋅⋅= 扇形，所以当π(0,)2x ∈时，sin tan <<x x x ，对于A ，当π(0,)2x ∈时，0sin tan x x x <<<，tan sin 0y x x x =++>，又tan sin y x x x =++为奇函数，所以π(,0)2x ∈-时，tan sin 0y x x x =++<，当0x =时，tan sin 0y x x x =++=，所以函数tan sin y x x x =++在ππ(,22x ∈-内有且仅有1个零点0x =，故A 正确；对于B ，当π(0,)2x ∈时，因为tan x x <，即tan 0y x x =->，由tan y x x =-为奇函数，所以π(,0)2x ∈-时，tan 0y x x =-<，当0x =时，tan 0y x x =-=，所以函数tan y x x =-在ππ(,)22x ∈-内有且仅有1个零点0x =，作出函数tan ,y x y x ==的图象，如图所示，由图可知，当π3π(,)22x ∈时，函数tan y x =和y x =的图象只有一个交点，所以函数tan y x x =-在π3π(,)22x ∈内有且仅有1个零点，所以函数tan y x x =-在πππ3π(,)(,)2222- 内有2个零点，故B 正确；对于C ，当π2x ≥时，sin 1x x ≤<，所以sin 0y x x =-<，此时函数没有零点，当π02x <<时，由sin x x <，即sin 0y x x =-<，此时函数没有零点，当0x =时，sin 0y x x =-=，此时函数的零点为0x =，又sin y x x =-为奇函数，其图象关于原点对称，所以0x <时函数无零点，综上所述，函数sin y x x =-有且仅有1个零点，故C 错误；对于D ，当π(0,)2x ∈时，因为tan sin 0x x ->，所以tan sin |tan sin |tan sin tan sin 2sin 0y x x x x x x x x x =+--=+-+=>，又tan sin y x x =-为奇函数，所以π(,0)2x ∈-时，tan sin 0x x -<，所以tan sin |tan sin |tan sin tan sin 2tan 0y x x x x x x x x x =+--=++-=<，当0x =时，tan sin |tan sin |0y x x x x =+--=，所以函数tan sin |tan sin |y x x x x =+--在ππ(,22x ∈-内有1个零点，故D 正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的图像及性质，解题的关键是由OAP OAQ OAP S S S << 扇形得sin tan <<x x x ，并结合三角函数图象求解.17．(2)1-【分析】（1）利用二倍角公式及两角和正弦公式计算即可；（2）根据角β的终边与角α的终边关于y 轴对称求出sin ,cos ββ，然后利用两角和的余弦公式计算即可.【详解】（1）因为3sin 5α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α=，所以4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，27cos212sin 25αα=-=，所以πππ2417sin 2sin 2cos cos 2sin 33325225ααα⎛⎫+=⨯+⨯ ⎪⎝⎭（2）因为角β的终边与角α的终边关于y 轴对称，所以3sin sin 5βα==，4cos cos 5βα=-=-，所以()4433cos cos cos sin sin 15555αβαβαβ⎛⎫+=-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭.18．（1）证明见解析；（2）17．【分析】（1）利用线面垂直推导出线线垂直即可（2）利用等体积法A PBC P ABC V V --=，进而求解即可【详解】（1）证明：连接BD ，因为1111ABCD A B C D -是长方体，且2AB BC ==，所以四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，因为在长方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1AC BB ⊥，因为BD ⊂平面11BB D D ，1BB ⊂平面11BB D D ，且1BD BB B ⋂=，所以AC ⊥平面11BB D D ，因为BP ⊂平面11BB D D ，所以AC BP ⊥．（2）点P 到平面ABC 的距离24AA =，ABC V 的面积122ABC S AB BC =⋅⋅=△，所以111824333P ABC ABC V S AA -=⋅=⨯⨯=△，在1Rt BB P △中，B 1=4，1B P =BP =，同理CP =．又2BC =，所以的面积122PBC S =⨯=△．设三棱锥A PBC -的高为h ，则因为A PBC P ABC V V --=，所以1833PBC S h ⋅=△，83=，解得h =A PBC -．所以点A 到平面A PBC -【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用等体积法A PBC P ABC V V --=，进而得出11133P ABC ABC A PBC PBC V S AA V S h --=⋅=⋅=△△，进而求出三棱锥A PBC -的高h19．(1)112-；(2)1,810⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用向量的加减运算法则，以,AB AD 为基底表示出EF 得出,λμ的取值可得结论；（2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出AP DP ⋅ 的取值范围；法2：利用极化恒等式得出21AP DP PM =⋅- ，即可得出结果.【详解】（1）如下图所示：由2DE EC = 可得13EC DC = ，所以111115132622122EF EC CF DC CB AB AB AD AB AD ⎛⎫=+=+=+-=- ⎪⎝⎭，又EF AB AD λμ=+ ，可得51,122λμ==-所以112λμ+=-；（2）法1：以点A 为坐标原点，分别以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,4,0,2,2A D B C ，则()3,1F ，由点P 是线段AF 上的动点（含端点），可令[],0,1AP t AF t =∈ ，所以()3,AP t AF t t == ，则()3,2DP AP AD t t =-=- ，所以[]2102,0,1AP DP t t t ⋅=-∈ ，由二次函数性质可得当110t =时取得最小值110-；当1t =时取得最大值8；可得1,810AP DP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦ 法2：取AD 中点M ，作MG AF ⊥垂足为G ，如下图所示：则()()()2AP DP PA PD PM MA PM MD PM PM MA MD MA MD ⋅=⋅=+⋅+=+⋅++⋅ 2221PM MA PM =--=显然当点P 位于点F 时，PM 取到最大值3，当点P 位于点G 时，PM ，可得1,810AP DP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦20．(1)30o 90【分析】（1）先由已知条件求出,AC OC 和AO OC ⊥，从而求出30OAC ∠= ，接着由正方体性质求出//AC A C ''，再结合异面直线所成角定义即可得OAC ∠是AO 与A C ''所成角，从而得解；（2）在平面BCC B ''内作OE BC ⊥交BC 于点E ，连接AE ，求证OE ⊥平面ABCD 即可得OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成的角，再依据已知条件求出OE 和AE 即可由tan OE OAE AE ∠=求出AO 与平面ABCD 所成角的正切值.（3）求证OC ⊥平面ABO 即可得证平面ABO ⊥平面AOC ，从而即可得B OA C --的度数.【详解】（1）连接AB '，则由正方体性质得AB AC B C ''====O 为B C '的中点，所以1222OC B C '==且AO OC ⊥，所以1sin 2OC OAC AC ∠==，故30OAC ∠= ，又由正方体性质可知//AA CC ''且AA CC ''=，所以四边形AA C C ''是平行四边形，所以//AC A C ''，所以OAC ∠是AO 与A C ''所成角，故AO 与A C ''所成角的度数为30o .（2）如图，在平面BCC B ''内作OE BC ⊥交BC 于点E ，连接AE，由正方体性质可知平面BCC B ''⊥平面ABCD ，又平面BCC B '' 平面ABCD BC =，所以OE ⊥平面ABCD ，所以E 为BC 中点，AE 为AO 在平面ABCD 上的射影，所以OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成的角，由题意，在Rt OAE 中，12OE BE ==，AE ===所以152tan 552OE OAE AE ∠===，所以AO 与平面ABCD（3）由（1）知AO OC ⊥，又由正方体性质可知AB ⊥平面BB C C ''，而OC ⊂平面BB C C ''，所以AB OC ⊥，又AO AB A = ，AO AB ⊂、平面ABO ，所以OC ⊥平面ABO ，又OC ⊂平面AOC ，所以平面ABO ⊥平面AOC ，所以B OA C --的度数为90 .21．(1)111111,,,,,666666---或111111,,,,666666---(2)答案见解析(3)不是，理由见解析【分析】（1）根“n 阶01-数列”的定义求解即可；（2）结合“n 阶01-数列”的定义，首先得120,k k a a d ++==，然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求解；（3）记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，进一步()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅，结合前面的结论以及“n 阶01-数列”的定义得出矛盾即可求解.【详解】（1）设123456,,,,,a a a a a a 成公比为q 的等比数列，显然1q ≠，则有1234560a a a a a a +++++=，得()61101aq q -=-，解得1q =-，由1234561a a a a a a +++++=，得161a =，解得116a =±，所以数列111111,,,,,666666---或111111,,,,666666---为所求；（2）设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +≥ 的公差为d ，123210k a a a a +++++= ，()()11221210,02k k dk a a kd +∴+++=，即120,k k a a d ++=∴=，当0d =时，矛盾，当0d >时，()23211212k k k k a a a a a a ++++++==-+++ ，()1122k k kd d -∴+=，即()11d k k =+，由10k a +=得()1101a k k k +⋅=+，即111a k =-+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=-+-⋅=-∈≤++++N ，当0d <时，同理可得()1122k k kd -+=-，即()11d k k =-+，由10k a +=得()1101a k k k -⋅=+，即111a k =+，()()()()*1111,21111n na n n n k k k k k k k ∴=--⋅=-+∈≤++++N ，综上所述，当0d >时，()()*1,211n n a n n k k k k ∴=-∈≤++N ，当0d <时，()()*1,211n n a n n k k k k =-+∈≤++N ；（3）记12,,,n a a a 中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，得1111,,2222k A B B S A ==--=≤≤=，即()11,2,3,,2k S k n ≤= ，若存在{}1,2,3,,m n ∈ ，使12m S =，可知：12120,0,,0,0,0,,0m m m n a a a a a a ++≥≥≥≤≤≤ ，且1212m m n a a a +++++=- ，1k m ∴≤≤时，0,0;1k k a S m k n ≥≥+≤≤时，0,0k k n a S S <≥=123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++ ，又1230n S S S S ++++= 与1231n S S S S ++++= 不能同时成立，∴数列{}()1,2,3,,i S i n = 不为“n 阶01-数列”.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到10a ≥，20a ≥，，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，由此即可顺利得解.。

高二数学考试（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第二册，选择性必修第一册第一章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足1i 1iz=--+，则z =（）A.22i+ B.22i-- C.2i- D.2i2.已知ABC 的三个顶点分别为()()()1,2,3,1,5,A B C m ，且π2ABC ∠=，则m =（）A.2B.3C.4D.53.若{},,a b c是空间的一个基底，则下列向量不共面的为（）A.,,2a b a b +B.,,a a b a c++C.,,a a c c-D.,,2b c a c a b c++++4.已知平面α的一个法向量为()1,2,2n =-，点M 在α外，点N 在α内，且()1,2,1MN =- ，则点M 到平面α的距离d =（）A.1B.2C.3D.25.续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时续航的重要路径之一.某大学科研团队利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重4.21克的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行.为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名参赛学生的成绩依次为65,95,75,70,95,85,92,80，则这组数据的上四分位数（也叫第75百分位数）为（）A.93B.92C.91.5D.93.56.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan B b ==，则2()a c ac+=（）A.6B.4C.3D.27.某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为（）A.15B.25C.35 D.9208.已知圆锥1A O 在正方体1111ABCD A B C D -内，2AB =，且1AC 垂直于圆锥1AO 的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（）C.2D.3二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,m n 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题为真命题的有（）A.若m ∥,n α∥α，则m ∥nB.若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥C.若,m m n α⊥⊥，则n α⊂或n ∥αD.若m ∥,,m n α相交，则n ∥α10.已知事件,,A B C 两两互斥，若()()()135,,4812P A P A B P A C =⋃=⋃=，则（）A.()12P B C ⋂= B.()18P B =C.()724P B C ⋃=D.()16P C =11.已知厚度不计的容器是由半径为2m ，圆心角为π2的扇形以一条最外边的半径为轴旋转π2得到的，下列几何体中，可以放入该容器中的有（）A.棱长为1.1m 的正方体B.底面半径和高均为1.9m 的圆锥C.棱长均为2m 的四面体D.半径为0.75m 的球三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.《九章算术》中将正四棱台称为方亭，现有一方亭111111,33ABCD A B C D AB A B -==，体积为13，则该方亭的高是__________.13.在空间直角坐标系Oxyz 中，()()()4,0,0,0,2,0,0,0,4,A B C D 为AB 的中点，则异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为__________.14.在ABC 中，点D 在BC 边上，2,,BC BAD CAD AB AC AD AB AC AD ∠∠==⋅=⋅+⋅，则ABC 的外接圆的半径为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.已知样本中休育锻炼时间在[50,60)内的学生有10人.（1）求频率分布直方图中a 和b 的值；（2）估计样本数据的中位数和平均数（求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.16.（15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知()sin cos 1cos sin ,1C B a C B b =->.（1）证明：1cos C b=.（2）若2,a ABC = 的面积为1，求c .17.（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是边长为60,BAD PA PB PD ∠====，且PE ⊥平面ABCD ，垂足为E .（1）证明：BC ⊥平面PBE .（2）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值.18.（17分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知1AB =，点,,E F G 分别在棱111,,BB CC DD 上，且,,,A E F G 四点共面，,BAE DAG ∠α∠β==.（1）若AE AG =，记平面AEFG 与底面ABCD 的交线为l ，证明：BD ∥l .（2）若π4αβ+=，记四边形AEFG 的面积为S ，求S 的最小值.19.（17分）给定平面上一个图形D ，以及图形D 上的点12,,,n P P P ，如果对于D 上任意的点P ，21ni i PP =∑为与P 无关的定值，我们就称12,,,n P P P 为关于图形D 的一组稳定向量基点.（1）已知()()()1231230,0,2,0,0,2,P P P PP P 为图形D ，判断点123,,P P P 是不是关于图形D 的一组稳定向量基点；（2）若图形D 是边长为2的正方形，1234,,,P P P P 是它的4个顶点，P 为该正方形上的动点，求1223341PP P P P P PP ++- 的取值范围；（3）若给定单位圆E 及其内接正2024边形122024,PP P P 为该单位圆上的任意一点，证明122024,,,P P P 是关于圆E 的一组稳定向量基点，并求202421i i PP =∑的值.高二数学考试参考答案1.C 因为1i 1iz=--+，所以2(1i)2i z =-+=-.2.D 因为()()2,1,2,1,BA BC m BA BC =-=-⊥ ，所以()410BA BC m ⋅=-+-=，解得5m =.3.B 因为()22a a b b =+- ，所以,,2a b a b + 共面；{},,a b c 是空间的一个基底，假设,,a a b a c ++ 共面，则存在不全为零的实数,s t ，使得()()a s a b t a c =+++ ，即()a s t a sb tc =+++，则1,0s t s t +===，无解，故,,a a b a c ++不共面；因为()a a c c =-+ ，所以,,a a c c - 共面；因为()()2a b c b c a c ++=+++ ，所以,,2b c a c a b c ++++ 共面.4.A 14213MN n d n ⋅--+===.5.D8名学生的成绩从低到高依次为65,70,75,80,85,92,95,95，且875%6⨯=，故上四分位数为929593.52+=.6.B因为tan B =，所以2π3B =，由余弦定理可得222222cos 3b a c ac B a c ac ac =+-=++=，即2()4a c ac +=，故2()4a c ac+=.7.B 设{i A =第i 次拨号拨对号码},1,2i =.拨号不超过两次就拨对号码可表示为112A A A +，所以拨号不超过两次就拨对号码的概率为()()()11211214125545P A A A P A P A A +=+=+⨯=.8.C 如图所示，取111111,,,,,AB AD DD D C C B B B 的中点，分别记为M ，,,,,N E F P G ，连接111,,,,,,,B D BD EF FP PG GM MN NE .根据正方体的性质易知六边形MNEFPG 为正六边形，此时1A C 的中点O 为该正六边形的中心，且1A C ⊥平面MNEFPG ，当圆锥底面内切于正六边形MNEFPG 时，该圆锥的底面积最大.设此时圆锥的底面圆半径为r，因为11B D ==，所以1112FP B D ==，所以22r FP ==，圆锥的底面积23ππ2S r ==，圆锥的高1122AO ==，所以圆锥的体积1113π3322V S A O =⋅=⨯=.9.BC 对于A ，若m ∥,n α∥α，则直线,m n 可能相交或平行或异面，故A 错误.对于B ，若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥，故B 正确.对于C ，若,m m n α⊥⊥，则n ∥α或n α⊂，故C 正确.对于D ，若m ∥,,m n α相交，则n ∥α或n 与α相交，故D 错误.10.BCD因为事件,,A B C 两两互斥，所以()()()0P B C P A B P A C ⋂=⋂=⋂=，故A 错误.由()()()()1348P A B P A P B P B ⋃=+=+=，得()18P B =，故B 正确.由()()()()15412P A C P A P C P C ⋃=+=+=，得()16P C =，故D 正确.因为()()()1178624P B C P B P C ⋃=+=+=，所以C 正确.11.AC 设扇形所在圆的半径为R ，对于A ，设正方体的棱长为a ，如图1，则可容纳的最长对角线max 2OA R ===，解得max 1.15 1.1a =≈>，故A 正确.对于C ，如图2，取三段14圆弧的中点,,B C D ，则四面体OBCD 的棱长均为2m ，所以可以容纳，故C 正确.对于B ，如图2，同选项C 的分析，BCD 的外接圆半径为1.93<，所以不可以容纳，故B 错误.对于D ，如图3，4，设球的半径为r ，其中图4是图3按正中间剖开所得的轴截面，可知圆O '与圆O 内切，2O M OO r r r =+=++''10.7320.75r=-≈<，所以不可以容纳，故D错误.12.3设正四棱台的高为h.因为1133AB A B==，所以方亭1111ABCD A B C D-的体积()()221111331333V h S S h=⋅+=⋅+⨯+=下上，解得3h=.13.15依题意可得()()()2,1,0,2,1,0,0,2,4D OD BC==-，则1cos,5BC ODBC ODBC OD⋅==-，故异面直线BC与OD所成角的余弦值为15.14.233设2BAC∠θ=，因为BAD CAD∠∠=，所以BAD CAD∠∠θ==.由ABC ABD ADCS S S=+，得111sin2sin sin222AB AC AD AB AD ACθθθ⋅=⋅+⋅，即()sin2sinAB AC AD AB AD ACθθ⋅=⋅+⋅，又AB AC AD AB AC AD⋅=⋅+⋅，所以sin2sinθθ=，即2sin cos sinθθθ=，又02πθ<<，所以π2θ<<，所以sin0θ>，则1cos2θ=，所以π3θ=，所以2π23BAC∠θ==，则ABC外接圆的半径232sin3BCRBAC∠===.15.解：（1）由题意可知，学生每天体育锻炼的时间在[50，60）内的频率为100.1100=，则0.10.0110a==，由各组频率之和为1，可知()0.0050.010.02520.005101b+++⨯+⨯=，解得0.03b=.（2）前3组的频率之和为()0.0050.010.03100.450.5,++⨯=<前4组的频率之和为0.450.025100.70.5+⨯=>，所以样本数据的中位数在第4组，设为x，所以()0.45700.0250.5x+-⨯=，解得72x=，估计样本数据的中位数是72分钟.估计平均数是()()45950.05550.1650.375850.2572+⨯+⨯+⨯++⨯=分钟. 16.（1）证明：因为()sin cos 1cos sin C B a C B =-，所以sin cos cos sin cos sin C B C B a C B +=，即()cos sin sin a C B C B =+.根据πB C A +=-，得()sin sin C B A +=，所以cos sin sin a C B A =，由正弦定理得cos ab C a =，所以cos 1b C =，从而1cos C b=.（2）解：由（1）可得1sin C b==.因为ABC 的面积为1，所以1sin 12ab C b b=⋅=，解得22b C ==.又2a =，所以由余弦定理得c ==.17.（1）证明：连接,DE BD ，因为PA PB PD PE ===⊥平面ABCD ，所以EA EB ED ==.又四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠= ，所以ABD 是正三角形，所以30EBD ∠= .由AB BD BC CD ===，得BCD 是正三角形，60DBC ∠= .所以90EBC EBD DBC ∠∠∠=+= ，即BC BE ⊥.由PE ⊥平面ABCD ，可得BC PE ⊥.因为PE BE E ⋂=，所以BC ⊥平面PBE .（2）解：以E 为坐标原点，,EB EP的方向分别为,y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.因为AB =，所以2,3BE AE PE ====则())()(()(()0,2,0,1,0,2,0,0,0,,,0,2,,B AC P BC BP AC --=-=-=-.设(),,m x y z = 是平面PBC 的一个法向量，由0,0,m BC m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,20,y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩取1z =，可得()m =.设直线AC 与平面PBC 所成的角为θ，则sin 6m AC m AC θ⋅=== ，即直线AC 与平面PBC所成角的正弦值为6.18.（1）证明：连接EG ，因为,,90AE AG AB AD ABE ADG ∠∠==== ，所以ABE ADG ≅ ，则BE DG =.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，易知BE ∥DG ，所以四边形BDGE 是平行四边形，从而BD ∥GE .又BD ⊄平面AEFG ，所以BD ∥平面AEFG .又BD ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面AEFG l =，所以BD ∥l .（2）解：易证四边形AEFG 为平行四边形.以A 为坐标原点，AB ，1,AD AA的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.()()1,0,tan ,0,1,tan E G αβ，则()()1,0,tan ,0,1,tan AE AG αβ==，cos AE AG EAG AE AG ∠⋅==，sin S AE AG EAG ∠==S =因为π4αβ+=，所以()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-，整理得tan tan 1tan tan αβαβ+=-.由()tan tan 1tan tan tan ,tan 0,1αβαβαβ+=-∈ ，可得0tan tan 3αβ<- .S =，易知()2f x x =-42x +在(0,3-上单调递减，所以当tan tan 3αβ=-min S =，当且仅当tan tan 1αβ==-时，S .19.解：（1）点()()()1230,0,2,0,0,2P P P 不是关于D 的一组稳定向量基点.理由如下：当P 与()10,0P 重合时，有2221238PP PP PP ++= ，当P 与()22,0P 重合时，有222123128PP PP PP ++=≠ ，故()()()1230,0,2,0,0,2P P P 不是关于D 的一组稳定向量基点.（2）因为12233411414PP P P P P PP PP PP PP ++-=-= ，所以12233414PP P P P P PP PP ++-=，当P 与2P 重合时，4PP取得最大值，当P 与4P 重合时，4PP取得最小值0，所以1223341PP P P P P PP ++-的取值范围为0,⎡⎣.（3）设单位圆E 的圆心为O ，所以()2024202420242222221220241112024||2.i l i i i PP OP OPOP OP OP OP OP OP ====-=++++-⋅∑∑∑因为多边形122024PP P 是正2024边形，所以20242024110,0.i l i i OP OP OP ===⋅=∑∑又1i OP OP == ，所以2024214048i i PP ==∑ ，故122024,,,P P P 是关于圆E 的一组稳定向量基点，且.2024214048l i P ==∑.。

2024-2025学年福建省泉州市部分地区高二上学期开学考试

数学试卷【满分：150】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.

1.复数在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知向量,满足,,则( )A.-1B.2C.15D.193.为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男生30人，女生20人.按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为( )

A.6.8B.6.9C.7D.7.24.已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是( )

A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，则5.为了加深师生对党史的了解,激发广大师生知史爱党,知史爱国的热情,某校举办了“学党史,育

文化的党史知识竞赛,并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分,成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图,则下列说法错误的为( )

2023i

12iz



ab3a5ab



2aba



m//nmnm//mnn//mnnm//mmn//nA.a的值为0.005B.估计这组数据的众数为75分

C.估计这组数据的第85百分位数为85分

D.估计成绩低于60分的有250人

6.在中,,,M,N为线段上（不包含端点）不同的两个动点.若

,则( )A.3B.4C.6D.77.某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次,记事件“出现的点数为奇数”,“出现的点数不大于

3”,事件“出现点数为3的倍数”,则下列说法正确的是( )

A.A与B互为对立事件B.

C.D.8.在正三棱柱中,,,O为BC的中点,M,N分别为线段,AM上

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年浙江省杭州学军中学高二上学期开学考试数学试题的。

1.已知集合，，则( )A.B.C.D.2.已知i 为虚数单位，复数的共轭复数为( )A. B.C.D.3.已知直线与平面，则能使的充分条件是( )A. ， B. ，，C.，D.，4.已知圆台下底面半径是上底面半径的2倍，若从该圆台中挖掉一个圆锥，圆锥的底面是圆台的上底面，圆锥的顶点是圆台下底面的圆心，则圆锥的侧面积是圆台侧面积的( )A. B.C. D.5.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为( )A. B. C. D.6.已知在某滨海城市A 附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A 的东偏南方向，距城市A 300 km 的海面点P 处，并以的速度向西偏北方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为则城市A 受台风影响的时间为( )A. 5 h B. C.D. 4 h7.由，，，可得与最接近的数是( )A.B.C.D. 8.已知球的直径，A 、B 是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积为( )A.B.C.D. 1二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.若，则下列不等式恒成立的有( )A. B. C. D.10.已知且，函数与函数在同一个坐标系中的图象可能是( )A. B.C. D.11.函数满足，且在上单调，若在上存在最大值和最小值，则实数t可以是( )A. B. C. D.12.如图，已知边长为1的正方形是线段AD上的动点包括端点，分别是上动点，且分别是中点，下列说法正确的是( )A.B. 若，则的最小值为C. 若，则的最小值为D. 若，则的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.棣莫佛是出生于法国的数学家．由于在数学上成就卓著，他被选为柏林科学院和巴黎科学院的外籍院士．棣莫佛定理为：，这里，N若，则__________.14.一水平放置的平面图形按“斜二测画法”得到直观图为斜边等于的等腰直角三角形，则原平面图形的面积为__________.15.如图，是等边三角形，是等腰三角形，交AC于，则__________.16.已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有，则关于x的不等式在区间上的解集为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。

高二开学考试（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,5,7A =，{}1,3,6,7B =，则()UA B =（ ）A ．{}4B ．∅C ．{}1,2,4,5,6D ．{}1,2,3,5,62.（5分）2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．()y x x R =-∈B ．3()y x x x R =--∈C ．1()()2x y x R =∈D ．1y x=-(x R ∈，且0)x ≠ 3.（5分）3．已知函数21,1()1,1x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，则((2))f f -=（ ） A ．5-B ．2-C ．4D ．54.（5分）4．下列函数是同一个函数的是（ ）A ．0y x =与1y =B ．y 与y x =C ．12x y -=与112xy -=D ．2lg y x =与2lg y x =5.（5分）5．函数21()21x x f x +=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6.（5分）6．设角θ的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，那么2sin cos θθ+等于（ ）A ．25B ．25-C ．1D ．1-7.（5分）7．已知复数z 满足(1i)2i z -=，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8.（5分）8．为了得到函数sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数sin3y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位C ．向左平移9π个单位 D ．向右平移9π个单位 9.（5分）9．如果向量a 和b 满足||1,||2a b ==，且()a a b ⊥-，那么a 和b 的夹角大小为（ ） A ．60︒B ．45︒C ．75︒D ．135︒10.（5分）10．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（ ）A B C D11.（5分）11．英国数学家泰勒发现了如下公式：357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+⋅⋅⋅，其中!1234n n =⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯．根据该公式可知，与11113!5!7!-+-+-⋅⋅⋅的值最接近的是（ ）A ．cos57.3︒B ．cos147.3︒C ．sin57.3︒D ．()sin 32.7-︒12.（5分）12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，122AA AB BC ==，则直线1A C 与11B C 所成角的余弦值为（ ）A ．12 BC D 二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．已知平面向量a ，b 满足1a =，4b =，且a 与b 的夹角为3π，则2a b -=_______________________.14.（5分）14．已知样本数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为2，则样本数据132x -，232x -，332x -，432x -，532x -的方差为______．15.（5分）15．已知函数3()3af x x bx x=++-，且()2f m =，那么()f m -的值为_________.16.（5分）16．若1cos 64x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．已知函数()23f x x ax =++．（1）若()f x 有一个零点为3x =，求a ；（2）若当x ∈R 时，()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围．18.（12分）18．已知函数()24313ax x f x -+⎛⎫⎪⎝⎭=（1）若1a =-，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 的值域是()0,∞+，求a 的值.19.（12分）19．已知函数()()2cos sin f x x x x =．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若角,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，625f α⎛⎫= ⎪⎝⎭2sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 20.（12分）20．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[)40,50，[)50,60，…，[)80,90，[]90,100．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）从评分在[)40,60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[)40,50的概率．21.（12分）21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧面PAD 是正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 是PD 的中点．（1）求证：AM ⊥平面PDC ； （2）求二面角P BC A --的余弦值．22.（12分）22．如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA 垂直底面，90ACB ∠=︒，12AA AC BC ===，D 为1C B 的中点，点P 为AB 的中点．（1）求证：//PD 平面11AAC C ； （2）求证：BC PD ⊥； （3）求点B 到面PCD 的距离．答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）1．C【详解】因为{}2,3,5,7A =，{}1,3,6,7B =，所以{}3,7A B ⋂=， 又全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，所以()UAB ={}1,2,4,5,6.故选：C2.（5分）2．B【详解】解：对于A 选项，()()f x x x f x -=--=-=，为偶函数，故错误；对于B 选项，()()()()33f x x x x x f x -=----=+=-，为奇函数，且函数3,y x y x =-=-均为减函数，故3()y x x x R =--∈为减函数，故正确； 对于C 选项，指数函数没有奇偶性，故错误；对于D 选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误. 故选：B3.（5分）3．C【详解】解：函数21,1()1,1x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，则()()22215f -=-+=，则((2))f f -=()5514f =-=， 故选：C.4.（5分）4．C【详解】对于A 选项，0y x =的定义域为{}0x x ≠，1y =定义域为R ，故不满足；对于B 选项，y x =与y x =对应关系不同，故不满足； 对于C 选项，12x y -=与112x y -=定义域均为R ，且()1111222x x xy ----===，故是同一函数，满足；对于D 选项，2lg y x =的定义域为{}0x x >，2lg y x =的定义域为{}0x x ≠，故不满足. 故选：C5.（5分）5．D【详解】函数21()21x x f x +=-定义域为()(),00,-∞⋃+∞，关于原点对称，()211221()211221x x x x x x f x f x --+++-===-=----，所以函数为奇函数，排除A 、C ；212()12121+==+--x x xf x 当x →+∞时，()1f x →，排除B. 故选：D6.（5分）6．D【详解】解：因为角θ的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以43sin ,cos 55θθ=-=，所以432sin cos 2155θθ⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭，故选：D7.（5分）7．B【详解】由题意，复数z 满足(1i)2i z -=，可得()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z ⋅+===-+--+， 所以复数z 在复平面内对应的点(1,1)Z -位于第二象限. 故选：B.8.（5分）8．C【详解】解为了得到函数sin(3)3y x π=+的图象，可将函数sin3y x =的图象向左平移9π个单位得到，即sin3()sin(3)93y x x ππ=+=+．故选：C ．9.（5分）9．A【详解】解：由题意()a a b ⊥-故()0a a b ⋅-=，即20a a b -⋅=， 所以1a b ⋅=故11cos ,122a b ==⨯ 故两向量夹角的大小是60︒. 故选：A ．10.（5分）10．B【详解】解：设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，圆锥的高为h ，则2l =， 所以1222l r ππ⋅=，解得1r =，所以圆锥的高h =所以体积213V r h π=⋅⋅． 故选：B ．11.（5分）11．B【详解】原式()()()sin 1sin 57.3sin 90147.3cos147.3=-≈-︒=︒-︒=︒ 故选:B12.（5分）12．C【详解】解：如图所示：连接1A B ，由题意得：11,,BC AB BC BB AB BB B ⊥⊥⋂=， 故BC ⊥平面11ABB A ， 又1A B ⊂平面11ABB A ，故1BC A B ⊥，设1AB =，则AC =12AA = ，故1AC11//B C BC ，∴直线1A C 与11B C 所成角即直线1A C 与BC 所成角，11cos BC ACB AC ∠=， 故直线1A C 与11B C故选：C.二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13【详解】解：因为1a =，4b =，且a 与b 的夹角为3π， 所以()2222244a b a ba ab b -=-=-⋅+=14.（5分）14．18【详解】样本数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为22S =，所以样本数据132x -，232x -，332x -，432x -，532x -的方差为：23218⨯=. 故答案为：1815.（5分）15．-8【详解】由3()3a f x x bx x =++-，构造函数3()()3a g x f x x bx x=+=++.因为()()33()()=0a a g x g x x bx x b x xx ⎛⎫⎡⎤+-=+++-++- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦， 所以()()g x g x -=-，即3()()3ag x f x x bx x=+=++为奇函数. 所以()()0g m g m +-=， 所以()3()30f m f m ++-+=. 因为()2f m =，所以()=8f m --. 故答案为：-8.16.（5分）16．78-【详解】由2sin 2cos(2)cos(2)cos(2)2cos ()1626336x x x x x ππππππ⎛⎫+=--=-=-=-- ⎪⎝⎭，因为1cos 64x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2217sin 22cos ()12()16648x x ππ⎛⎫+=--=⨯-=- ⎪⎝⎭，故答案为：78-三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分） 17.（10分）17．（1）4a =-；（2）[]6,2-．【详解】解：（1）因为()f x 有一零点3x =， 所以23330a +⨯+=， 所以4a =-．（2）因为当x ∈R 时，230x ax a ++-≥恒成立，需()2430a a ∆=--≤，即24120a a +-≤，解得62a -≤≤，所以a 的取值范围是[]6,2-．18.（12分）18．（1）递增区间是()2,-+∞，递减区间是(),2-∞-；（2）0.【详解】（1）当1a =-时，2431()3x x f x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭令()243t g x x x ==--+，由()g x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,-+∞上单调递减， 又由13ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，根据复合函数的单调性的判定方法，可得()f x 在(),2-∞-上递减，在()2,-+∞上递增， 即函数()f x 的单调递增区间是()2,-+∞，单调递减区间是(),2-∞-.（2）令()243g x ax x =-+，由指数函数的性质知，要使()()13g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为()0,∞+，应使()243g x ax x =-+的值域为R ，当0a =时，()43g x x =-+，此时()g x R ∈，符合题意；当0a ≠时，函数()243g x ax x =-+为二次函数其值域不可能为R ，不符合题意，综上可得，实数a 的值为0.19.（12分）19．（1）π；()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2 【详解】())22sin cos sin 21cos2f x x x x x x =+=+2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）22T ππ==． ∵sin y x =在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上递增，∵当222232k x k πππππ-≤+≤+时,()f x 递增，即()51212k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 即()f x 的单调递增区间是()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）62sin 235f απα⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα∵75,3126πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∵4cos 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∵2sin sin 333πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭314sin cos cos sin 3333525ππππαα⎛⎫⎛⎫=+++=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20.（12分）20．（1）0.006a =；（2）110. 【详解】（1）由题意，(0.0040.0220.0280.0220.018)101a +++++⨯=，解得0.006a =. （2）由（1）知：50名职工中[)40,50、[)50,60分别有2人、3人， 若[)40,50为职工A 、B ，[)50,60为职工1、2、3，∵随机抽取2人的可能组合{,}A B 、{,1}A 、{,2}A 、{,3}A 、{,1}B 、{,2}B 、{,3}B 、{1,2}、{1,3}、{2,3}共10种，其中2人的评分都在[)40,50有{,}A B ，即1种，∵2人的评分都在[)40,50的概率为11021.（12分）21．（1）证明详见解析；（2. 【详解】 （1）因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且交线为AD ，又CD ⊂面ABCD ，CD AD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥. 侧面PAD 是正三角形，M 是PD 的中点，所以PD AM ⊥. 又PD CD D ⋂=，所以AM ⊥平面PDC . （2）取AD 的中点E ，BC 的中点F ，连接PE ，EF ，PF .依题意知AD PE ⊥，AD FE ⊥，且PE FE E =，所以AD ⊥平面PEF ，又//BC AD ，所以BC ⊥平面PEF ，因此BC FE ⊥，BC FP ⊥，所以PFE ∠就是二面角P BC A --的平面角. 由（1）知CD ⊥平面PAD ，因为//EF CD ，所以EF ⊥平面PAD ，从而EF PE ⊥.在直角三角形PEF 中，设2EF a =，则PE =，所以PF =，cosEF PFE PF ∠===所以，二面角P BC A --.22.（12分）22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3 【详解】（1）证明：如图所示：连接1AC ， D ，P 分别是1BC ，AB 的中点，1//DP AC ∴，又1AC ⊂平面11AAC C ，PD ⊄平面11AAC C ，//PD ∴平面11AAC C ；（2）1AA ⊥平面ABC ，且90ACB ∠=︒，1AA BC ∴⊥，BC AC ⊥，又1AA AC A =，1AA 、AC ⊂平面11ACC A ，则BC ⊥平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ， 1BC AC ∴⊥， 1//AC DP ，BC PD ∴⊥；（3）如上图所示：连接1C P ， D 为1C B 的中点，则112D BCP C BCP V V --=， 由D 为1C B 的中点， 则111221222BCP ABC S S ==⨯⨯⨯=△△， 则11112233D BCP V -=⨯⨯⨯=，易知11AB BC AC ===则CP CD PD ===，1sin 23PCD S π==△ 设点B 到平面PCD 的距离为d ，由B PCD D BCP V V --=，得：11 33d =，解得：d =，故点B 到平面PCD。

福建省厦门2023—2024学年度第一学期入学考高二年数学试卷（答案在最后）2023.09.01考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．I 卷（预习检测）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线10x ++=的倾斜角是（）A.π6B.π3 C.2π3D.5π62.已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为（2，0），则椭圆C 的离心率为（）A.13 B.12C.2D.13.已知双曲线2221(0)4x y b b-=>0y ±=，则b =A. B.C.2D.124.若直线10x y -+=与圆22210x y x a +-+-=相切，则a 等于（）A.2B.1C.D.45.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则4a =（）A.16B.8C.4D.26.已知抛物线22(0)y px p =>上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A.4B.9C.10D.187.椭圆2212516x y +=的焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，若1260F PF ∠=︒，则12F PF ∆的面积是.A.3B.3C. D.8.已知A ．B ．C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC⊥且3||||AF CF =，则该双曲线的离心率是（）A.102B.53C.173D.94二、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．9.圆心在直线:230l x y --=上，且经过点3(2,)A -，(2,5)B --的圆的方程为________．10.已知点(2,2)A ，(1,1)B -，若直线:0l kx y k --=与线段AB （含端点）相交，则k 的取值范围为________．三、解答题：共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，60a =，376a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若0nS <，求n 的最小值.12.圆C 的圆心为()2,0C ，且过点3,22A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（1）求圆C 的标准方程；（2）直线:10l kx y ++=与圆C 交,M N 两点，且MN =k .13.已知ABC 顶点()3,0A 、()1,3B --、()1,1C ．（1）求直线BC 的方程及其在y 轴上的截距；（2）求边BC 的垂直平分线l 的方程（3）求ABC 的面积．14.如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与.CD 当直线AB 斜率为0时，弦AB 长4．()1求椭圆的方程；()2若48.7AB CD+=求直线AB 的方程．Ⅱ卷（巩固检测）四、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．15.已知(2,1)a =，(,1)b x = ，且a b + 与2a b - 平行，则x 等于（）A.10B.10- C.2D.2-16.已知向量(cos120,sin120)a =︒︒ ，(1,0)b = ，则a 在b上的投影向量为（）A.2bB.12b- C.12b D.217.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠= .以D 1为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为（）A.π2B.π2C.πD.218.已知O 为ABC 的外心，4AB =，6AC =，1469AO AB AC =+，则ABC 的面积为（）A.12B.C.6D.五、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．19.用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的体积为28，上、下底面边长分别为2，4，则该棱台的对角面面积为_______．20.在三棱锥P AOB -中，24PB OA ==，PA ⊥平面AOB ，OA OB ⊥，45POA ∠= ，则OA 与BP 所成的角为__________.六、解答题：共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，E 是AB 的中点，F 是BC 边上的三等分点（靠近点B ），AF 与DE 交于点M .（1）设AB a =，AD b =，请用a ，b 表示AF 和DE ；（2）求ME与MF u u u u r夹角的余弦值.22.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12A B =，O 为1A B 的中点，E 、F 在1AC 上，1233EF AE FC ==.（1）试在直线1A B 上确定点P ，使得对于1FC 上任一点D ，恒有//PD 平面AOE ；（用文字描述点P 位置的确定过程，并在图形上体现，但不要求写出证明过程）（2）已知Q 在直线1A A 上，满足对于1FC 上任一点D ，恒有//QD 平面AOE ，P 为（1）中确定的点，试求当1A PQ △的面积最大时，二面角1P A C Q --的余弦值.福建省厦门2023—2024学年度第一学期入学考高二年数学试卷2023.09.01考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．I 卷（预习检测）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线10x ++=的倾斜角是（）A.π6B.π3 C.2π3D.5π6【答案】D 【解析】【分析】通过直线方程求出斜率，进而求出直线的倾斜角.【详解】由题意，直线的斜率为33k =-，设直线的倾斜角为()0παα≤<，即35πtan 36αα=-⇒=.故选：D.2.已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为（2，0），则椭圆C 的离心率为（）A.13 B.12C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆方程可知b 值，根据焦点坐标得到c 值，即可求出a 代入离心率公式求解.【详解】由已知可得24b =，2c =，则2228a b c =+=，所以a =则离心率22c e a ==．故选：C .3.已知双曲线2221(0)4x y b b-=>0y ±=，则b =A. B.C.2D.12【答案】A 【解析】【分析】由双曲线2221(0)4x y b b-=>的渐近线方程为2b y x =±，结合渐近线方程为y =，从而可得结果.【详解】因为双曲线2221(0)4x y b b-=>的渐近线方程为2b y x =±，又渐近线方程为y =，所以2bb ==，故选A ．【点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质，以及双曲线的渐近线，属于基础题.若双曲线方程为22221x y a b -=，则渐近线方程为b y x a =±.4.若直线10x y -+=与圆22210x y x a +-+-=相切，则a 等于（）A.2B.1C.D.4【答案】A 【解析】【分析】直线与圆相切，由圆心到直线距离等于半径，求a 的值.【详解】圆22210x y x a +-+-=化成标准方程为()221x y a -+=，则0a >且圆心坐标为()1,0，半径直线10x y -+=与圆22210x y x a +-+-=相切，则圆心到直线距离等于半径，即：d ===，解得2a =.故选：A5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则4a =（）A.16B.8C.4D.2【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的性质，设出基本量1a 和q ，列出方程，可求解.【详解】设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩（负值舍去），3418a a q ∴==.故选：B.6.已知抛物线22(0)y px p =>上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A.4B.9C.10D.18【答案】C 【解析】【分析】根据题意结合抛物线的定义可得10p =，即可得结果.【详解】由题意可得：22(0)y px p =>的焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2px =-，设抛物线22(0)y px p =>上横坐标为4的点为()04,A y ，则492pAF =+=，解得10p =，故该抛物线的焦点到准线的距离为10p =.故选：C.7.椭圆2212516x y +=的焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，若1260F PF ∠=︒，则12F PF ∆的面积是.A.3B.3C. D.【答案】A 【解析】【分析】椭圆焦点三角形的面积公式为2tan2S b θ=，直接代入公式可求得面积.【详解】由于椭圆焦点三角形的面积公式为2tan2S b θ=，故所求面积为16tan 303=，故选A.【点睛】本小题主要考查椭圆焦点三角形的面积，椭圆焦点三角形的面积公式为2tan 2S b θ=，将题目所给数据代入公式，可求得面积.属于基础题.8.已知A ．B ．C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC⊥且3||||AF CF =，则该双曲线的离心率是（）A.2B.53C.3D.94【答案】A 【解析】【分析】根据题意，连接','AF CF ，构造矩形'FAF B ；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得a c 、的关系，进而求出离心率．【详解】设左焦点为F'，AF m =，连接','AF CF ，则3FC m =，'2AF a m =+，'23CF a m =+，'2FF c =，因为BF AC ⊥，且AB 经过原点O ，所以四边形'FAF B 为矩形，在Rt △'AF C 中，222'+'AF AC F C =，将边长代入得()()()2222+4=23a m m a m ++，化简得m a =，所以在Rt △'AF F 中，222'+'AF AF F F =，代入边长得()()()22222a a a c ++=化简得2252c a =，即102e =，故选：A.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，根据题意画出草图，分析出'FAF B 为矩形是解题关键，然后根据垂直和已知边长关系及双曲线定义写出每条线段长度，最后借助勾股定理形成等式求解离心率即可.二、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．9.圆心在直线:230l x y --=上，且经过点3(2,)A -，(2,5)B --的圆的方程为________．【答案】()()221210x y +++=【解析】【分析】直线l 和线段AB 的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A 点的距离为半径，可得圆的方程.【详解】圆经过点3(2,)A -和(2,5)B --，12AB k =，AB 中点为()0,4-，所以线段AB 的垂直平分线的方程是y x =--24．联立方程组23024x y y x --=⎧⎨=--⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩．所以，圆心坐标为()1,2C --，半径r CA ===所以，此圆的标准方程是()()221210x y +++=．故答案为：()()221210x y +++=10.已知点(2,2)A ，(1,1)B -，若直线:0l kx y k --=与线段AB （含端点）相交，则k 的取值范围为________．【答案】[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，数形结合求得实数k 的取值范围．【详解】由kx y k 0--=可得()1y k x =-，可知直线l 为过定点()1,0P ，斜率为k 的直线，可得201012,21112PA PB k k --====----，若直线:0l kx y k --=与线段AB （含端点）相交，则2k ≥或12k ≤-，所以k 的取值范围为[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.故答案为：[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.三、解答题：共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，60a =，376a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若0nS <，求n 的最小值.【答案】（1）318n a n =-+（2）12【解析】【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量列出方程，求出公差，进而求出通项公式；（2）在第一问的基础上，求出n S ，得到不等式，求出11n >，结合*n ∈N ，得到n 的最小值.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，因为60a =，所以()()3766326a a a d a d d +=-++=-=.解得3d =-.所以()66318n a a n d n =+-=-+.【小问2详解】131815a =-+=，所以()215318333222n n n S n n +-+⋅⎡⎤⎣⎦==-+.令0nS <，得2333022n n -+<，解得：11n >（0n <舍去）.因为*n ∈N ，所以n 的最小值是12.12.圆C 的圆心为()2,0C ，且过点3,22A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（1）求圆C 的标准方程；（2）直线:10l kx y ++=与圆C 交,M N 两点，且MN =k .【答案】（1）()2221x y -+=（2）1k =-或17-【解析】【分析】（1）利用两点间距离公式求出圆的半径，写出圆的标准方程；（2）求出圆心()2,0C 到直线:10l kx y ++=的距离，利用垂径定领列出方程，求出k .【小问1详解】设圆的半径为r，则1r ==，故圆的标准方程为：()2221x y -+=；【小问2详解】设圆心()2,0C 到直线:10l kx y ++=的距离为d ，则d =，由垂径定理得：2222MN d r ⎛⎫+ ⎪=⎝⎭，即2212⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：1k =-或17-.13.已知ABC 顶点()3,0A 、()1,3B --、()1,1C ．（1）求直线BC 的方程及其在y 轴上的截距；（2）求边BC 的垂直平分线l 的方程（3）求ABC 的面积．【答案】（1）210x y --=；1-；（2）220x y ++=；（3）5.【解析】【分析】（1）由题可得直线BC 的斜率，然后根据点斜式即得；（2）由题可知BC 的中点坐标及中垂线的斜率，进而即得；（3）根据两点间距离，点到直线的距离公式及三角形面积公式即得.【小问1详解】因为()1,3B --、()1,1C ，所以直线BC 的斜率为13211k +==+，所以直线BC 的方程为()121y x -=-，即210x y --=，令0x =，得1y =-，即直线BC 的方程在y 轴上的截距为1-；【小问2详解】由题可知BC 的中点为()0,1-，直线BC 的斜率为2k =，线段BC 的垂直平分线l 的斜率为12-，所以线段BC 的垂直平分线l 的方程为112y x +=-，即220x y ++=；【小问3详解】因为直线BC 的方程为210x y --=，又()3,0A ，所以A 到BC 的距离为d ==又BC ==所以ABC的面积为11522BC d =⨯=.14.如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与.CD当直线AB 斜率为0时，弦AB 长4．()1求椭圆的方程；()2若48.7AB CD+=求直线AB 的方程．【答案】（1）221.43x y +=（2）10x y --=或10.x y +-=【解析】【分析】()c 11e a 2==，2a 4=，又222a b c =+，解得：a 2,b ==()2分类讨论，将直线AB，CD 方程代入椭圆方程中，求出AB ，CD ，利用48AB CD 7+=，求出k，即可求直线AB 的方程．【详解】() 1由题意知c 1e a 2==，2a 4=，又222a b c =+，解得：a 2,b ==22x y 1.43+=()2①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知AB CD 7+=，不满足条件；②当两弦斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为()y k x 1=-，则直线CD 的方程为()1y x 1k=--．将直线AB 方程代入椭圆方程中并整理得()222234kx8k x 4k 120+-+-=，则221212228k 4k 12x x ,x x 34k 34k -+=⋅=++，所以()212212k 1AB x 34k+=-=+．同理，()2222112112k 1k CD 43k 43k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++．所以()()()()2222222212k 112k184(k 1)48AB CD 34k 3k 4734k 3k4++++=+==++++解得k 1=±，所以直线AB 方程为x y 10--=或x y 10.+-=【点睛】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，熟练计算弦长公式是关键，属于中档题．Ⅱ卷（巩固检测）四、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．15.已知(2,1)a =，(,1)b x = ，且a b + 与2a b - 平行，则x 等于（）A.10B.10- C.2D.2-【答案】C 【解析】【分析】先求出向量a b + 与2a b -的坐标，然后利用向量共线坐标公式计算即可.【详解】因为(2,1)a =，(,1)b x = ，所以()2,2a b x +=+ ，()24,1a b x -=- ，若a b + 与2a b -平行，则()212(4)x x +⨯=⨯-，得x ＝2.故选：C.16.已知向量(cos120,sin120)a =︒︒ ，(1,0)b = ，则a 在b上的投影向量为（）A.32bB.12b- C.12b D.32【答案】B 【解析】【分析】解法1：根据向量坐标表示与运算求解；解法2：结合图形处理问题.【详解】解法1：因为()1cos120,sin120,,122a a b ⎛⎫=︒︒=-== ⎪ ⎪⎝⎭r r r，,120a b =︒ ，则a 在b 上的投影向量为()1cos1202a b b ︒=-r r r.解法2：因为1a b ==，由图可得，a 在x 轴上的投影数量为12-，则a 在b 上的投影向量12b - .故选：B.17.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠= .以D 1为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为（）A.π2B.π2C.πD.2【答案】B 【解析】【分析】先找出平面11BCC B 截球面的截面圆的圆心是11B C 的中点O ，再找到截面圆的半径和交线.【详解】如图所示：由已知，连接11,BD B D ，则112,BD B D ==因为直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，60BAD ∠= ，所以111B C D △为等边三角形.且1BB ⊥平面111B C D ，取11B C 的中点O ，连接1D O ,则111DO BC ⊥,又1D O ⊂平面111B C D ，所以1BB ⊥1D O ，又11B C ⋂11BB B =，所以1D O ⊥平面11BCC B ，故平面11BCC B 截球面的截面圆的圆心是点O ，取1BB 和1CC 的中点E F 、，连接11,,EF D E D F ,则11D E D F ==故E F 、在球面上，OE OF ==,2EF =，所以OEF 为直角三角形，EOF ∠90= ,球面与侧面11BCC B 的交线是侧面上以O 为圆心，为半径的圆弧 1π42EF=⨯=.故选：B.18.已知O 为ABC 的外心，4AB =，6AC =，1469AO AB AC =+，则ABC 的面积为（）A.12B.C.6D.【答案】D 【解析】【分析】根据外心求出AO AC ⋅ ，利用条件得出sin 2BAC ∠=，结合面积公式可得答案.【详解】设AC 的中点为D ，由O 为ABC 的外心可得，OD AC ⊥，()3618AO AC AD AC AD AC DO ⋅+==⋅=⋅⨯=，又14()69AO AC AB AC AC ⋅=+⋅ 214116696AB AC AC AB AC =⋅+=⋅+，所以12AB AC ⋅=，又cos 46cos 12AB AC AB AC BAC BAC ⋅=⋅⋅∠=⨯⨯∠= ，可得1cos 2BAC ∠=，故3sin 2BAC ∠=，则ABC 的面积为113sin 46222AB AC BAC ⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=，故选：D.五、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．19.用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的体积为28，上、下底面边长分别为2，4，则该棱台的对角面面积为_______．【答案】【解析】【分析】根据正四棱台的体积公式，梯形的面积公式，即可求解【详解】设该正四棱台的的高为h ,则根据题意可得：()2212424283h ⨯++⨯⨯=，∴3h =，又易知对角面为上下底分别为3h =的等腰梯形，∴该棱台的对角面面积为(132⨯⨯=．故答案为：.20.在三棱锥P AOB -中，24PB OA ==，PA ⊥平面AOB ，OA OB ⊥，45POA ∠= ，则OA 与BP 所成的角为__________.【答案】60 ##π3【解析】【分析】如图，以OA ，OB 为邻边将AOB 补成矩形OACB ，连接CP ，则PBC ∠（或其补角）为OA 与BP 所成的角，由线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAC ，则BC PC ⊥，所以cos BCPBC PB∠=，代入求解即可得出答案.【详解】如图，以OA ，OB 为邻边将AOB 补成矩形OACB ，连接CP ，则PBC ∠（或其补角）为OA 与BP 所成的角.由PA ⊥平面AOB ，BC ⊂平面AOB ，得PA BC ⊥，又ACBC ⊥，PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .因为PC ⊂平面PAC ，所以BC PC ⊥.又21cos 42BC PBC PB ∠===，所以60PBC ∠= .故OA 与BP 所成的角为60 .故答案为：60 .六、解答题：共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，E 是AB 的中点，F 是BC 边上的三等分点（靠近点B ），AF 与DE 交于点M .（1）设AB a =，AD b =，请用a ，b 表示AF 和DE ；（2）求ME与MF u u u u r夹角的余弦值.【答案】（1）13AF a b =+ ，12DE a b=-（2）210-【解析】【分析】（1）利用平面向量的线性运算即可得解；（2）法一：利用平角向量的数量积运算求得DE ，AF ，AF DE ⋅，从而得解；法二：建立直角坐标系，得到各点坐标，从而求得DE ，AF ，AF DE ⋅，由此得解.【小问1详解】依题意，作出图形如下，因为E 是AB 的中点，F 是BC 边上的三等分点（靠近点B ），所以111333AF AB BF AB BC AB AD a b =+=+=+=+ ，1122DE DA AE AD AB a b =+=-+=- .【小问2详解】法一：依题意得，3,2,AD AB AD AB ==⊥，1,1AE BF ==，则0a b ⋅=，2,3a b == ，所以DE ==AF ==2211151132263AF DE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，由于ME 与MF u u u u r 的夹角等于DE 与AF的夹角，所以DE 与AF夹角的余弦值为210DE AF DE AF⋅==- ，即ME与MF u u u u r夹角的余弦值为10-.法二：建立直角坐标系，如图，则(0,0)A ，(2,0)B ，(2,3)C ，(0,3)D ，(1,0)E ，(2,1)F，故(2,1)AF =，AF = ，(1,3)DE =-，DE = 则231AF DE ⋅=-=-，由于ME 与MF u u u u r 的夹角等于DE 与AF的夹角所以DE 与AF夹角的余弦值为210DE AF DE AF⋅==- ，即ME与MF u u u u r夹角的余弦值为10-.22.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12A B =，O 为1A B 的中点，E 、F 在1AC 上，1233EF AE FC ==.（1）试在直线1A B 上确定点P ，使得对于1FC 上任一点D ，恒有//PD 平面AOE ；（用文字描述点P 位置的确定过程，并在图形上体现，但不要求写出证明过程）（2）已知Q 在直线1A A 上，满足对于1FC 上任一点D ，恒有//QD 平面AOE ，P 为（1）中确定的点，试求当1A PQ △的面积最大时，二面角1P A C Q --的余弦值.【答案】（1）答案见解析（2）7【解析】【分析】（1）延长OB 至点P ，使12BP OB =，点P 即所求的点，然后证明出平面1//PC F 平面AOE ，利用面面平行的性质可得出结论；（2）分别延长1C F 、1A A ，所得交点即点Q ，连接PQ ，则二面角1P A C Q --即二面角1B A C A --，推导出11258A PQ A BA S S =△△，可知，当1A BA S △最大时，1A PQ S △最大，利用基本不等式求出1A BA S △的最大值，及其等号成立的条件，分析可知1AA C △为等腰直角三角形，取AC 的中点M ，则BM AC ⊥，在平面11AA C A 内过点M 作1MN AC ⊥，垂足为N ，连接BN ，分析可知BNM ∠为二面角1B AC A --的平面角，计算出BNM 三边边长，即可求得BNM ∠的余弦值，即为所求.【小问1详解】解：延长OB 至点P ，使12BP OB =，点P 即所求的点，图形如下：证明如下：连接PF 、1PC ，在正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，所以，11AA E C CF ∠=∠，又因为1AE CF =，所以，11AA E C CF △≌△，所以，11AEA C FC ∠=∠，则11AEC C FA ∠=∠，故1//C F AE ，因为1C F Ë平面AOE ，AE ⊂平面AOE ，所以，1//C F 平面AOE ，因为1233EF A E FC ==，则123A E EF =，因为O 为1A B 的中点，12BP OB =，则13322OP OB OA ==，故123OA OP =，所以，1123A E OA EF OP ==，所以，//PF OE ，因为PF ⊄平面AOE ，OE ⊂平面AOE ，所以，//PF 平面AOE ，又因为1C F PF F = ，1C F 、PF ⊂平面1PC F ，所以，平面1//PC F 平面AOE ，当点D 在线段1FC 上运动时，PD ⊂平面1PC F ，故//PD 平面AOE .【小问2详解】解：分别延长1C F 、1A A ，所得交点即点Q ，连接PQ ，则二面角1P A C Q --即二面角1B A C A --.因为Q 、D ∈直线1C F ，且1//C F AE ，则//QD AE ，因为QD ⊄平面AOE ，AE ⊂平面AOE ，所以，//QD 平面AOE，合乎题意，因为1111125A A C C CF A Q A Q A F ===，且1125AO A P =，所以1111A A AO AQ A P =，所以11A PQ A OA △∽△.所以111252548A PQ A OA A BA S S S ==△△△，所以当1A BA S △最大时，1A PQ S △最大.由基本不等式可得1222111111122222A BAAB AA A B S AB AA +=⋅≤⋅==△，当且仅当1AB AA ==.此时AC =，且1A AC △为等腰直角三角形.取AC 的中点M ，则BM AC ⊥，在平面11AA C A 内过点M 作1MN AC ⊥，垂足为N ，连接BN .因为1A A ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，所以1BM A A ⊥，又1AC A A A ⋂=，AC ⊂平面11A ACC ，1A A ⊂平面11A ACC ，所以BM ⊥平面11A ACC .因为1AC ⊂平面11A ACC ，所以1BM A C ⊥，又MN BM M ⋂=，MN ⊂平面BMN ，BM ⊂平面BMN ，所以1A C ⊥平面BMN .因为BN ⊂平面BMN ，所以1AC BN ⊥.所以BNM ∠为二面角1B A C A --的平面角.因为1222CM AC ==，所以36sin 6022BM BC === ，1sin 45222MN CM === ，因为BM ⊥平面11A ACC ，MN ⊂平面11A ACC ，则BM MN ⊥，所以2BN =，所以1cos 2MN BNM BN ∠==⨯即二面角1P A C Q --的余弦值为7.【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.。

上海市七宝中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷一、填空题1．直线l 过点()1,2，法向量为()1,2n =r，则l 的一般式方程为. 2．已知集合{}31,|03,2A xB x x x N x ⎧⎫=<-=<<∈⎨⎬-⎩⎭，则A B =I . 3．已知i 为虚数单位，3i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚根，则p q +=. 4．若2510a b ==，则11a b+=5．已知直线:30l x y +-=，点(3,)M m 到直线l m =6．若将直线y ＝3x －3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为． 7．如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为α，大正方形的面积为1，小正方形的面积是13，则sin cos αα+=．8．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是．9．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 10．如图，1==u u u r u u u r OA OB ，2π,3OA OB =u u u r u u u r ，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，则CA CBu u u r u u u r g 的取值范围是.11．已知函数()2221,0log ,0x x x f x x x ⎧--+<⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，41223416x x x x x ⋅++⋅的取值范围是.. 12．设定义域为[]12,x x 的函数()y f x =的图象为C ，图象的两个端点分别为A 、B ，点O 为坐标原点，点()(),M x f x 是C 上任意一点，向量()()1122,,,OA O x y x y B ==u u u r u u u r，且满足()()12101x x x λλλ=+-<<，又设向量()1ON OA OB λλ=+-u u u r u u u r u u u r，现定义函数()y f x =在[]12,x x 上“可在标准k 下线性近似”是指MN k ≤u u u u r恒成立，其中0k >为常数.给出下列结论：①A 、B 、N 三点共线；②直线MN 的法向量可以为()1,0a =r；③函数25y x =在[]0,1上“可在标准1下线性近似”；④函数1y x x =-在[]1,2上“可在标准k 下线性近似”，则32k ≥其中所有正确结论的序号为.二、单选题13．已知非零平面向量a r ，b r ，那么“a b μ=r r”是“a b a b +=-r r r r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知i 为虚数单位，复数z 满足1i z z +=-，则i z +的最小值为（ ）AB ．12C ．13D ．015．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，k 为常数且,2k k ∈≥N ，有以下两个命题：①若{}n a 是公差不为零的等差数列，则120k a a a ⋅=L L 是12210k S S S -⋅=L L 的充分非必要条件，②若{}n a 是等比数列，则10k k a a ++=是120k S S S ⋅=L L 的充要条件，那么（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①、②都是真命题C ．①是假命题，②是真命题D ．①、②都是假命题16．若存在常数a ，b ，使得函数()y f x =对定义域内的任意x 值均有()()22f x f a x b +-=，则()y f x =关于点(),a b 对称，函数()y f x =称为“准奇函数”.现有“准奇函数”()y g x =，对于任意x ∈R ，都有()()4g x g x +-=，则函数()()sin 21h x x x g x =++-在区间[]2024,2024-上的最大值与最小值的和为（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列. (1)求{}n a 的通项公式：(2)若272n a n b -=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求lim n n S →+∞. 18．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，BC 边上的高AD 所在直线的方程为220x y -+=，A ∠的平分线所在直线的方程为0y =，点B 的坐标为()1,3.(1)求直线BC 的方程；(2)求直线AC 的方程及点C 的坐标.19．如图，某城市为升级沿河直线绿道AB 的沿途风景，计划在以AB 为直径的半圆形空地内部修建一块矩形枫叶林CDEF （C ，D 在AB 上，E ，F 在半圆上，O 为圆心），已知AB 全长160m .(1)求枫叶林CDEF 面积的最大值；(2)为方便游客休憩打卡，计划在AB 的另一侧修建观景木质栈道A G B --，已知AG 段每米的造价为a 元，BG 段每米的造价是AG 段的两倍，π3AGB ∠=，求修建观景木质栈道A G B --所需的费用最多为多少元（结果用a 表示）.20．已知函数21()2x x f x a+=+为奇函数．(1)求实数a 的值；(2)求关于x 的不等式()3f x >的解集；(3)设函数22()log log 24x xg x m =⋅+，若对任意的1[2,8]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得()()12g x f x =成立，求实数m 的取值范围．21．已知直线:0l ax by c ++=和点00(,)P x y ，点P 到直线l 的有向距离(,)d P l 用如下方法规定：若0b ≠，(,)d P l =，若0b =，0(,)ax cd P l a+=． (1)已知直线1:34120l x y -+=，直线2:230l x +=，求原点O 到直线12,l l 的有向距离12(,),(,)d O l d O l ；(2)已知点(2,1)A 和点(3,1)B -，是否存在通过点A 的直线3l ，使得3(,)2d B l =？如果存在，求出所有这样的直线3l ，如果不存在，说明理由；(3)设直线4:cos 2sin 20l x y αα+-=，问是否存在实数0t >，使得对任意的参数α都有：点12(,0),(,0)F t F t -到4l 的有向距离()()1424,,,d F l d F l 满足()()1424,,1d F l d F l ⋅=？如果满足，求出所有满足条件的实数t ；如果不存在，请说明理由．。

高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1. 已知集合{}24A x x =<，{}41B x x =−<≤，则A B = （ ） A. {}2x x < B. {}21x x −<≤ C. {}41x x −<≤ D. {}42x x −<< 【答案】B【解析】 【分析】先借助不等式求出集合A ，再运用交集的运算求A B ∩. 【详解】由{}{}2422A x x x x =<=−<<， 则{}{}{}224121A B x x x x x x ∩=−<<∩−<≤=−<≤， 故选：B .2. 记复数z 的共轭复数为z ，若()2i 24i z +=−，则z =（ ）A. 1B.C. 2D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算求得z ，再由z z =可得. 【详解】由()2i 24i z +=−得()()()()22224i 2i 24i i 2i 4i 41i i 2i 2i 802225i 1z −−−−−−+=++−====−+， 所以2zz ==，故选：C. 3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ）A. 两人都中靶的概率为0.12B. 两人都不中靶的概率为0.42C. 恰有一人中靶的概率为0.46D. 至少一人中靶的概率为0.74【答案】C【解析】【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可.【详解】设甲中靶为事件A ， 乙中靶为事件B ，()0.6,()0.7,P A P B ==则两人都中靶的概率为()()0.70.60.42P A P B ×=×=，两人都不中靶的概率为()()1()1()0.30.40.12P A P B −×−×，恰有一人中靶的概率为()()1()()()1()0.30.60.70.40.46P A P B P A P B −×+−=×+×=，至少一人中靶的概率为10.30.40.88−×=.故选：C4.已知向量1,2a b = ，若()()a b a b λµ++ ∥，则（）A. 1λµ=B. 1λµ=−C. 1λµ+=−D. 1λµ+=【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示，结合向量加减、数乘的坐标运算求解可得.【详解】1122a b λλ+=+=+，1122a b µµµ+=+++由()()a b a b λµ++ ∥，则1122µµ+，化简得1λµ=.故选：A.5. 已知,αβ是两个互相垂直的平面，,m n 是两条直线，m αβ= ，则“//n m ”是“//n α”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】 【分析】借助长方体模型，判断线线与线面位置即可.【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D −中，平面ABCD ⊥平面11D C CD ，令平面ABCD 为α，平面11D C CD 为β，则平面ABCD 平面11,D C CDDC m DC αβ=== ， ①令AB n =，//AB CD ，即//n m ，但AB ⊂平面ABCD ，n ⊂α，故AB 不与平面ABCD 平行，即//n α不成立故//n m ⇒//n α，所以“//n m ”是“//n α”的不充分条件；②令11n B C =，11//B C 平面ABCD ，即//n α，但11B C DC ⊥，11B C 不与DC 平行，即//n m 不成立.故//n α⇒//n m ，所以“//n m ”是“//n α”的不必要条件；综上所述“//n m ”是“//n α”的既不充分也不必要条件.故选：D.6. 设函数()f x x x =，则不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是（ ）A. 1,2727B. 10,27C. ()0,27D. ()27,+∞【答案】B【解析】【分析】先分段作出函数的图象，结合图象得函数为RR 上的增函数，再判断函数的奇偶性，再利用单调性与奇偶性性质将不等式转化为332log log 3x x <−，化简求解可得..【详解】()f x x x =，xx ∈RR ，则22,0(),0x x f x x x ≥= −<， 作出函数()f x 的图象，可知()f x 是RR 上的增函数.又()()f x x x x x f x −=−−=−=−，()f x ∴是奇函数. 不等式()()332log 3log 0f x f x +−<可化为()()332log 3log f x f x <−−，所以()()332log log 3f x f x <−，则332log log 3x x <−，即3log 3x <−，解得1027x <<， 不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是10,27. 故选：B.7. 已知函数()π4f x x =+ 的定义域为[],a b ，值域为 ，则b a −的取值范围是（ ） A. π24π,3B. π5π,23C. 5π5π,63D. 2433ππ, 【答案】D【解析】【分析】根据π4x ≤+≤5π11π2π2π1212k x k −≤≤+()k ∈Z ，由此可得b a −的最大、最小值.【详解】由函数()π4f x x =+ 的值域为 ，得π4x ≤+≤，得1πsin 124x −≤+≤ ， 6π24π7ππ2π6k k x −≤≤++()k ∈Z ，得5π11π2π2π1212k x k −≤≤+()k ∈Z ，由()f x 定义域为[],a b ， 所以max 11π5π4π()2π2π12123b a k k −=+−−= ()k ∈Z ， min 11π5π2π2π2π1212()23k k b a +−− −==()k ∈Z ， 所以b a −的取值范围是2π4π,33. 故选：D.8. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1//A F 平面1AD E ，则下列说法正确的个数有（ ）①二面角1F AD E −−的大小为常数②二面角1F D E A −−的大小为常数③二面角1F AE D −−的大小为常数A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【分析】设正方体的棱长为a ，以D 为坐标原点，,,DA DC DB 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出构成二面角的两个半平面的法向量，看两个半平面的法向量夹角的余弦值是否含参数，从而确定二面角是否为常数.【详解】设正方体棱长为a ，以D 为坐标原点，,,DA DC DB 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则(),0,0A a ，()1,0,A a a ，()10,0,D a ，,,02a E a， 又F 是侧面11BCC B 上的动点，设()00,,F x a z ，[][]000,,0,x a z a ∈∈，则()100,,A F x a a z a =−− ，设平面1AD E 的法向量为nn 1����⃗=(xx 1,yy 1,zz 1)，又()1,0,AD a a =− ，,,02a AE a =−， 则11100AD n AE n ⋅= ⋅= ，即1111002ax az a x ay −+= −+= ，令11x =，则112y =，11z =， 即111,,12n =， 又1//A F 平面1AD E ，则11A F n ⊥ ，即110A n F ⋅=， 则0002a x a z a −++−=，解得0032a x z =−， 因此可得003,,2a F z a z − ，100,,2a A F z a z a =−− ， 设平面1FAD 的法向量为()2222,,n x y z = ，又()1,0,AD a a =− ，00,,2a AF z a z =−， 则21200AF n AD n ⋅= ⋅= ，即022*******a z x ay z z ax az −++= −+=，令21x =，则212y =−，21z =， 即211,,12n =−， 的又1212127cos ,9n n n n n n ⋅==⋅ 因此可得二面角1F AD E −−的大小为常数，故①正确；设平面1FD E 的法向量为()3333,,n x y z = ，又1,,2a D E a a =− ，()00,0,EF a z z =− ，则31300EF n D E n ⋅= ⋅= ，即()0303333002a z x z z a x ay az −+= +−= ，令31x =，则3012a y z =−，301a z z =−， 即30011,,12a a n z z =−− ， 因为3n 中含参数0z ，故13cos ,n n 的值不定，因此二面角1F D E A −−的大小不是常数，故②不正确；设平面FAE 的法向量为()4444,,n x y z = ，又,,02a AE a =− ，00,,2a AF z a z =−， 则4400AE n AF n ⋅= ⋅= ，即44044040202a x ay a z x ay z z −+= −++= ，令42x =，则41y =，3022a z z =−， 即4022,1,2a n z =−， 因为4n 中含参数0z ，故14cos ,n n 的值不定，因此二面角1F AE D −−的大小不是常数，故③不正确；故选：B.【点睛】方法点睛：1.与平行有关的轨迹问题的解题策略（1）线面平行转化为面面平行得轨迹；（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹．2.与垂直有关的轨迹问题的解题策略（1）可利用线线、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；（2）利用空间坐标运算求轨迹；（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为1210,,,x x x ，计算得平均数7x =，方差22S =，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（ ）A. 极差变大B. 中位数不变C. 平均数变小D. 方差变大【答案】BC【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差、极差定义理解及求法判断各项的正误.【详解】由于10个数据已经确定， 故不妨设129103x x x x x ≤≤≤≤≤ ，由题意不妨取1105,10x x ==， A 项， 原极差为1011055x x −=−=，去掉最高与最低分后，极差为921015x x x x −≤−=， 所以去掉最高和最低分，极差有可能减小，极差变大是不可能的，故A 项错误；B 项，中位数的定义知：数据从小到大排列，中间两个数的平均值是中位数，去掉最高和最低不影响中间两个数，B 项正确；C 项，由题意原平均数99110221571010i i i i x x x x x ==+++==∑∑， 则9255i i x==∑，则去掉最高与最低分后， 平均数变为9255788ii x==<∑，平均数变小，故C 正确； D 项， 去掉最高和最低分后，数据移除这两个极端值后，数据的波动性减小，故方差会变小，故D 项错误.故选：BC.10. 已知,,a b c 分别是ABC 三个内角,,A B C 的对边，则下列命题中正确的是（ ）A. 若A B >，则cos cos A B <B.若π,1,6B b c ===，则π4C = C. 若O 是ABC 所在平面内的一点，且2−=+− OB OC OB OC OA ，则ABC 是直角三角形D. 若π,16B b ==，则AB AC ⋅ 的最大值是32【答案】AC【解析】【分析】由正弦定理边角关系判断A ；利用正弦定理解三角形求角C 判断B ；由已知可得CB AB AC =+ ，由其几何意义可知CB 边上的中线长等于CB 的一半，即可判断C ；由余弦定理和基本不等式求出2≤+ac ，再由数量积的定义将AB AC ⋅ 的最大值转化为求ac 的最大值，由求解可判断D .【详解】对于A ，因为cos y x =在()0,π上单调递减，所以A B >，则cos cos A B <，故A 正确对于B ，由121sin sin 2c b C B ===，则sin C =， 而5π06C <<，故π4C =或3π4，因为b c <，所以B C <， 所以π4C =或3π4，故B 错误； 对于C ，由OB OC CB −= 、OB OA AB −=，OC OA AC −= ， 故CBAB AC =+ ，所以在ABC 中CB 边上的中线长等于CB 的一半， 即ABC 是A 为直角的直角三角形，故C 正确.对于D，由余弦定理可得：222222cos 2b a c ac B a c ac =+−=+−≥−所以2ac ≤+，当且仅当a c =时取等， 由已知cos cos AB AC AB AC A bc A ⋅=⋅⋅= ， 由正弦定理可得：121sin sin 2a b A B ===，所以sin 2a A =， 所以要求AB AC ⋅ 的最大值，则π0,2A∈，此时cos 0A >，所以cos A ，所以3cos 22bc A =≤+.故则AB AC ⋅ 32+，故D 错误. 故选：AC.11. 四面体ABCD 中，3,5,4AC BC AB BD CD =====，记四面体ABCD 外接球的表面积为S ，当AD 变化时，则（ ）A. 当3AD =时，324π11S =B. 当四面体ABCD 体积最大时，28πS =C. S 可以是16πD. S 可以是100π【答案】ACD【解析】【分析】A 选项，A 点在平面BCD 内的投影是BCD △的外心1O ，构造直角三角形求外接球的半径；B 选项，平面ABC ⊥平面BCD 时，构造直角三角形求外接球的半径；C 选项，由外接球半径的范围进行判断；D 选项，验证外接球的半径5R =是否成立.【详解】设四面体ABCD O ，半径为R ， 当3AD =时，AC AD AB ==，则A 点在平面BCD 内的投影是BCD △的外心1O ，由222BD BC CD =+，BCD △为直角三角形，外心1O 是BD 边的中点，1AO ⊥平面BCD ，1OO ⊥平面BCD ，1,,A O O 三点共线，1Rt ADO 中，1AO ，1Rt ODO △中，由22211OD O O O D =+，得22252R R + ，解得R =此时23244ππ11SR =，A 选项正确； 当四面体ABCD 体积最大时，有平面ABC ⊥平面BCD ，设平面ABC 的外心为2O ，E 为BC 中点，连接21,,OO AE O E ，则2OO ⊥平面ABC ，由3AC BC AB ===，则=AE ，2AO =2EO =， 平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，AE ⊂平面ABC ，AE BC ⊥，则AE ⊥平面BCD ，又1OO ⊥平面BCD ，则有1//OO AE ，Rt BCD △中，CD BC ⊥，又1//CD O E ，则1O E BC ⊥， 同理可得1O E ⊥平面ABC ，12//O E OO ，所以四边形12O EO O 为矩形，12OO EO ==1Rt ODO △中，由22211OD O O O D =+，得R =，此时24π28πSR =，B 选项正确；若16πS =，则外接球的半径为2R =，而BCD △的外接圆半径12.52r BD R ==>， 所以这种情况不成立，C 选项错误；当5OB OC OD ===时，2222211575524OO OD O D =−=−=，2222117591244OE OO O E =+=+=，则22222222222291254OA OO AO OE EO AO =+=−+=−+=，即5OA =，四面体ABCD 外接球的半径5R =成立，此时100πS =，D 选项正确. 故选：ACD.【点睛】方法点睛：求一个特殊四面体的外接球半径 , 通常有以下几种思路 : 一是构造法 ,比如求等腰四面体与直角四面体的外接球半径 ,可通过构造一个球内接长方体得到 ; 二是截面法 ,比如求正三棱锥的外接球径 , 可通过分析球心与一条侧棱所在截面的有关三角形计算得到 ; 三是观察法 , 比如将一个矩形沿对角线折成一个四面体 , 它的外接球球心就是原来矩形外接圆的圆心 .关于一般四面体的外接球半径问题 , 可以用解析法求出 . 方法如下 : 先建立适当的空间直角坐标系 , 并写出这个四面体四个顶点的坐标.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知幂函数()()257m f x mm x =−+的图象关于y 轴对称，则实数m 的值是______．【答案】2 【解析】【分析】根据函数()f x 为幂函数求出m 的值，再通过()f x 的图象关于y 轴对称来确定m 的值. 【详解】由()f x 为幂函数，则2571m m −+=，解得2m =，或3m =， 当2m =时，()2f x x =，其图象关于y 轴对称，当3m =时，()3f x x =，其图象关于()0,0对称，因此2m =， 故答案为：2.13. 已知1x >，1y >且3log 4log 3y x =，则xy 的最小值为______． 【答案】81 【解析】【分析】根据对数的运算性质可得33log log 4x y ⋅=，再结合基本不等式进行求解即可. 【详解】由1x >，1y >，则3log 0x >，log 30y >，3log 0y >，又3log 4log 3y x =，则3log 4log 3y x=，即33log log 4x y ⋅=，又33331log =log log 4lo 8g xy x y +==≥， 当且仅当332log log x y ==，即9xy ==时，等号成立， 所以可得81xy ≥， 因此xy 的最小值为81. 故答案为：81.14. 在正四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，23AG AD =，截面EFG 将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是______． 【答案】135【解析】【分析】根据线线平行可得截面，即可利用等体积法，结合比例即可求解.详解】取23CH CD =,由23AG AD =可得//,//GH AC EF AC ,故//HG EF ，故得截面为四边形EFHG ，14A EFHG A EFG A FHG G AEF F AGH G ABC F AGH V V V V V V V −−−−−−−=+=+=+12124333D ABC F ACD V V −−=×+×， 11215633218D ABC B ACD D ABC V V V −−−+××=, 121233A FHC A BCD D ABC V V V −−−=×=, 故1118A FHC A EFHG D ABC V V V −−−+=， 故体积较大部分与体积较小部分的体积之比1111187718=，故答案为：117【四、解答题：（共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 已知a ∈R ，()(){}20A x a x a x =++>，102x B xx−=≤ −． （1）当0a <时求集合A ； （2）若B A ⊆，求a 的取值范围． 【答案】（1）{}2x x a −<<− （2）{2a a ≤−或}0a > 【解析】【分析】（1）当0a <时，解不等式()()20a x a x ++>，从而求出集合A ；（2）对a 进行分类讨论，求a 取不同值时的集合A ，再根据B A ⊆，即可求实数a 的取值范围. 【小问1详解】 当0a <时，则0a −>，由不等式()()20a x a x ++>，解得2x a −<<−，即{}2Ax x a =−<<−；【小问2详解】 由不等式102x x −≤−，则12x ≤<，即{}12B x x =≤<，当0a <时，由（1）知，{}2Ax x a =−<<−，又B A ⊆，则2−≥a ，即2a ≤−符合题意；当0a =时，A 为空集，又B A ⊆，显然不成立；当02a <<时，{2=<−A x x 或}x a >−，又B A ⊆，则<1a −，即1>−a ，故02a <<符合题意；当2a =时，{2=<−A x x 或}2x >−，显然B A ⊆，故2a =符合题意；当2a >时，{A x x a =<−或}2x >−，显然B A ⊆，故2a >符合题意；综上知，{2a a ≤−或}0a >.16. 为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．（1）估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；（2）估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）； （3）估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）． 【答案】（1）0.68 （2）20； 20.32 （3）23.86 【解析】分析】（1）用频率估计概率可得；（2）根据频率分布直方图求出a 的值，然后根据众数、中位数、平均数的概念计算； （3）先根据各区间频率，确定75百分位数所在区间，再由比例关系计算即可.小问1详解】由志愿者服务时间低于18小时的频率为(0.020.06)40.32+×=， 10.320.68−=，所以估计志愿者服务时间不低于18小时的概率为0.68. 【小问2详解】由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故估计众数是20；由(0.020.060.0750.025)41a ++++×=，解得0.07a =， 估计平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32×+×+×+×+××=；【【【小问3详解】(0.020.060.075)40.62++×= ，(0.020.060.0750.07)40.9+++×=， 由0.620.750.9<<，∴第75百分位数位于22~26之间，设上四分位数为y ，则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数为23.86. 17. 已知函数()πππsin cos sin 632f x x x x=+−+++． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，若()65g α=−，且π5π,612α∈−，求cos2α的值．【答案】（1）π4π2π+,2π+,33k k k∈Z（2【解析】【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数()f x 的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间；（2）由伸缩变换与平移变换得()g x 解析式，得π3sin 265α−=−，根据整体角范围求余弦值，再由ππ2266αα−+角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得.【小问1详解】()πππsin cos sin 632f x x x x=+−+++ππππsin coscos sin cos cos sin sin cos 6633x x x x x=+−−+11cos cos cos 22x x x x x =+−+ πcos 2sin 6x x x=+=+.由ππ3π2π2π,262k x k k +≤+≤+∈Z ， 解得π4π2π2π,33k x k k +≤≤+∈Z 即π4π2π+,2π+,33x k k k∈∈Z 时，函数单调递减， 所以函数()f x 的单调递减区间为π4π2π+,2π+,33k k k∈Z ； 【小问2详解】将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）， 则得到函数π(2)2sin 26f x x=+的图象，再向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象， 所以πππ()2sin 22sin 2666gx x x=−+=−. 若()65g α=−，则π6()2sin 265g αα =−=− ， π3sin 265α −=−. 由π5π,612α ∈−，得ππ2π2,623α −∈− ，又πsin 206α−< ，所以ππ2,062α −∈− ，则π4cos 265α −=， 故ππππππcos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666αααα=−+=−−−431552 =−−×=.故cos2α 18. 如图，已知四棱锥P ABCD −中，4PB PD ==，6PA =，60APB APD °∠=∠=，且PB PD ⊥，（1）求证：BD PA ⊥；（2）求直线PA 与平面ABCD 所成角的正弦值；（3）若平面PAC 与平面ABCD 垂直，3PC =，求四棱锥P ABCD −的体积． 【答案】（1）证明见解析（2（3） 【解析】【分析】（1）取BD 中点O ，连接,AO PO ，证PO BD ⊥，AO BD ⊥，利用线面垂直的判定定理得BD ⊥平面APO ，再利用线面垂直的性质即可证得BD PA ⊥；（2）由（1）知BD ⊥平面APO ，利用面面垂直的判断定理可得平面APO ⊥平面ABCD ，则PAO ∠即为直线PA 与平面ABCD 所成角，再利用题中条件求,AO PO 的长度，最后利用余弦定理进行求解即可；（3）由（2）知平面APO ⊥平面ABCD ，又平面PAC ⊥平面ABCD ，则平面APO 与平面PAC 重合，即,,,A O M C 四点共线，再利用题中条件求出四边形ABCD 的面积和四棱锥P ABCD −的高PM ，最后用锥体的体积公式即可求解. 【小问1详解】取BD 中点O ，连接,AO PO ，由60PB PD APB APD PA PA °=∠=∠= =，则APB APD ≅△△， 因此可得AB AD =，又O 为BD 中点，则在等腰ABD △和等腰BPD △中，可得PO BD ⊥，AO BD ⊥， 又AO PO O = ，,AO PO ⊂平面APO ，BD ∴⊥平面APO ，又PA ⊂平面APO ，BD PA ∴⊥.【小问2详解】过P 作PM 垂直AO 的延长线于一点M ， 由（1）知BD ⊥平面APO ，BD ⊂平面ABCD , 则平面APO ⊥平面ABCD ，又平面APO 平面ABCD AO =，PM ⊂平面APO ，PM AO ⊥,PM ∴⊥平面ABCD ，故PAO ∠即为直线PA 与平面ABCD 所成角，又在等腰直角BPD △中，4PB PD ==，则BD =，12BODO PO BD ==== 又在APB △中，2222212cos 64264282AB PA PB PA PB APB +−⋅∠+−×××，则AB AD ==在Rt AOB 中，AO ，则在APO △中，222cos 2PA AO PO PAO PA AO +−∠==⋅，因此可得sin PAO ∠即直线PA 与平面ABCD【小问3详解】由（2）知平面APO ⊥平面ABCD ，又平面PAC ⊥平面ABCD ， 则平面APO 与平面PAC 重合，即,,,A O M C 四点共线，在Rt PAM 中，sin 6PM AP PAO =⋅∠=cos 6AM AP PAO =⋅∠，在Rt PMC △中，CM又AC AM CM =+=+=, 又四边形ABCD 的面积()111222ABD CBD S S S BD AO BD CO BD AO CO =+=⋅+⋅=+ 1122BD AC =⋅=×, 又（2）知PM ⊥平面ABCD ，故PM 为四棱锥P ABCD −的高，所以四棱锥P ABCD −的体积1133V S PM =⋅=× 【点睛】关键点点睛：本题的关键是证明BD ⊥平面APO ，再利用面面垂直的判定定理证平面APO ⊥平面ABCD ，最后根据平面PAC 与平面ABCD 垂直，确定,,,A O M C 四点共线，考查了线面垂直， 面面垂直的判定与性质，及线面角的定义，是一道综合性较强的题.19. 已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数(0)k k >，使得对D 内的任意x ，都有()k f x f x =，则称()f x 是“反比例对称函数”．设()()281616log log ,f x x g x ax m x ax==+−． （1）判断函数()2816log log f x x x=⋅是否为“反比例对称函数”，并说明理由；（2）当1a =时，若函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，求m 的值；（3）当1a >时，设()()()h x f x g x =−，已知()h x 在()0,∞+上有两个零点12,x x ，证明：1216<x x ．【答案】（1）()f x 是“反比例对称函数”，理由见解析；（2）443m = （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用“反比例对称函数”的概念计算判断即可；（2）构造新的“反比例对称函数”，然后利用其性质求解即可.（3）将两个函数看做两个“反比例对称函数”，然后找到同一个k 时的图像，判断交点横坐标关系，然后判断其中一个图像发生伸缩变换之后的交点横坐标关系即可.【小问1详解】()2816log ?log f x x x=是“反比例对称函数”，理由如下： 由题可知()282216116log ?log log ?log 3f x x x x x ==， 可知2216116log ?log 3f x x x =所以()16f x f x =， 故()f x 是“反比例对称函数”.【小问2详解】由题可知，0x >，此时()16g x x m x=+−， 因为函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()()0f x g x −=有一个解， 得22221161616116log log 0log log 33x x m m x x x x x x−−+=⇒=+− ， 令()2216116log ?log 3H x x x x x =+−，得()m H x =仅有一个解， 显然()221616116log ?log 3H x x H x x xx +− ，因为()m H x =，则有16m H x =， 要使()m H x =仅有一个解， 只需164xx x⇒，或4x =−（舍） 所以()4443m H ==. 【小问3详解】不妨先设1a =，由题可知()2211616log ?log 3h x x x m x x =−−+， 显然()221616116log ?log 3h x x m h x x xx +−+ ， 已知ℎ(xx )有两个零点，12,x x ，则两个零点满足1216x x =， 此时1216x x =， 即，函数()2816log ?log f x x x =与函数()16g x x m x=+−，的两个交点横坐标满足1216x x =； 可知()()228221641log ?log log log 33f x x x x x ==−利用复合函数单调性可知， 当()0,4x ∈时，()f x 单调递增；()4,x ∞∈+时，()f x 单调递减；由对勾函数性质可知()16g x x m x=+− ， 在()0,4x ∈时，此时()g x 单调递减；在()4,x ∞∈+时，此时()x 单调递増；得两函数示意图当1a >，此时()16g x ax m ax =+−， 相当于函数()()1616g x x m g ax ax m x ax=+−⇒=+−， 故所有的横坐标缩小为原来的1a 倍；故两函数新的交点横坐标会相对于开始变小，故1216<x x .层层递进的，所以还是需要寻找前后问题的联系.。

重庆市南开两江中学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．倾斜角为120°的直线经过点(和()3,a ，则a =（ ）A．0 B ．C D 2．向量()2,1,2a =-r ，()4,2,b x =-r ，a b ⊥r r ，则2a b +=r r （ ）A ．9B ．3C ．1D ．3．已知椭圆C ：2211x y m m +=+的离心率为12，则m =（ ） A ．13B ．1C ．3D ．44．已知0a >，0b >，直线(1)10a x y -+-=和210x by ++=垂直，则21a b+的最小值为（ ）A ．16B ．8C ．4D ．25．若F 为椭圆22:197x y C +=的左焦点，P 为椭圆C 上一动点，()M ，则MFP V 周长的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．7D ．106．若椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的离心率为12，左顶点为A ，点P ，Q 为C 上任意两点且关于y 轴对称，则直线AP 和直线AQ 的斜率之积为（ ） A ．14B ．12C ．34D ．457．过直线l ：3410x y +-=上一点P 作圆M ：22(4)1x y +-=的两条切线，切点分别是A ，B ，则四边形MAPB 的面积最小值是（ ）A ．1B C ．2D ．8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F P 在椭圆C 上，直线1PF 与直线y 交于点Q ，且12QF QF ⊥，则12tan F PF ∠=（ ）AB C D二、多选题9．已知圆()2222212:1,:(3)(3)0C x y C x y r r +=-+-=>，则下列说法正确的是（ ）A ．当1r =时，圆1C 与圆2C 有2条公切线B ．当2r =时，1y =是圆1C 与圆2C 的一条公切线 C ．当3r =时，圆1C 与圆2C 相交D ．当4r =时，圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程为12y x =-+10．已知P 是椭圆2212516x y +=上一点，椭圆的左、右焦点分别为12,F F ，121cos 2F PF ∠=，则下列结论正确的是（ ）A ．△F 1PF 2的周长为16B ．12F PF S =VC ．点P 到xD ．1283PF PF ⋅=u u u r u u u u r11．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，且1AA =P 是线段1BD 上一点（包含端点），Q 在四边形11ADD A 内运动（包含边界），则下列说法正确的是（ ）A ．该四棱柱能装下球的最大半径是1B ．点P 到直线11A BC ．若P 为1BD 中点，且AQ CP ⊥，则Q D ．PC PQ +的最小值是3三、填空题12．若2()1,M -为圆22:(1)16C x y +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为．13．在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，AC =BC =14AA =，则该直三棱柱的外接球的表面积为 .14．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且12π3F PF ∠=，若12F PF V 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当3R r =时，椭圆的离心率为．四、解答题15．锐角ABC V 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c sin cos2A a a B =- (1)求角B ；(2)已知ABC V 的面积为ABC V 的周长．16．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，14AA =，E ，F 分别为AB ，1AC 的中点.(1)证明://EF 平面11AA D D ； (2)求点1C 到平面1ACE 的距离. 17．已知圆22:6490C x y x y ++-+=，A 是圆C 上一动点，点(3,0)B ，M 为线段AB 的中点．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)记M 的轨迹为曲线E ，过点(1,3)N 的点线l 与曲线E 有且只有一个交点，求直线l 的方程． 18．如图1，四边形ABCD 是梯形，//AB CD ，142AD DC CB AB ====，点M 在AB 上，AM MB =，将ADM △沿DM 折起至A DM 'V ，如图2，点N 在线段A C '上．(1)若2A C NC '=，求证：平面DNM ⊥平面A BC '；(2)若AC '=DNM 与平面CDM A N A C ''值．19．定义:若点（x 0，y 0），（x 0’，y 0’）在椭圆M :22221x y a b +=（a >b > 0）上，并满足''0000221x x y y a b +=，则称这两点是关于M 的一对共轭点，或称点（x 0，y 0）关于M 的一个共轭点为（x 0’，y 0’）.已知点A （2，1）在椭圆M :22163x y +=上，O 是坐标原点.(1)求点A 关于M 的所有共轭点的坐标:(2)设点P ，Q 在M 上，且PQ →∥OA →，求点A 关于M 的所有共轭点和点P ，Q 所围成封闭图形面积的最大值.。

2024年高二9月起点考试高二数学试卷（答案在最后）命题学校：考试时间：2024年9月5日下午14：30-16：30试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.孝感市某高中有学生1200人，其中高一年级有学生400人，高二年级有学生600人，现采用分层随机抽样的方法抽取120人进行问卷调查，则被抽到的高二年级学生人数比高一年级学生人数多（）A .20B.30C.40D.502.已知复数z 满足：()i 12i 34z +=-，则复数z 的虚部为（）A.2iB.-2C.2D.2i-3.已知()()2,0,2,2a b == ，则a在b 上的投影向量为（）A.)B.()1,1 C.()2,1 D.()2,24.已知圆锥的侧面积为2π，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为π3的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（）A.3B.3C.D.35.掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现小于4的点”，B =“第二枚出现大于3的点”，则A 与B 的关系为（）A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等6.在三棱锥S ABC -中，三个侧面与底面ABC 所成的角均相等，顶点S 在ABC V 内的射影为O ，则O 是ABC V 的（）A.垂心B.重心C.内心D.外心7.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是正方形，13,3CC CD ==，且1160C CB C CD ∠=∠=，则向量1AC的模长为（）A.B.34C.52D.8.已知单位向量,a b满足0a b b -+⋅= ，则()2ta b t +∈R 的最小值为（）A.3B.C.3D.2二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于非零向量,a b，下列命题中正确的是（）A .若a b = ，则a b = . B.若a b =- ，则a ∥b .C.若a b > ，则a b > .D.若,a b b c ==，则a c = .10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在线段11C D 上运动，则下列选项中正确的是（）A.AP .B.平面1BB P ⊥平面1111D C B A .C.若P 是11C D 的中点，则二面角11P B B C --的余弦值为5.D.若114D P =，则直线1B P 与1BD 所成角的余弦值为5.11.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l ，0，1的概率为2(1)(1)αβ--B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D.当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知a ∈R ，若复数()()2344i Z a a a =----为纯虚数，则复数1i Z a a =-+在复平面内对应的点位于第______象限.13.三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面,,ABC AB BC DA AB BC ⊥===，则该三棱锥的外接球体积等于______.14.在ABC V 中，π,432A BC BA CA CB =⋅=⋅，则ABC V 中最小角的余弦值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，15,6,,AB AC BB BC D E ====分别是1AA 和1B C 的中点.（1）求证：DE ⊥平面11BCC B ；（2）求三棱锥E BCD -的体积.16.已知2,4,a b a b ==+=（1）若()()22a kb ka b -⊥+，求实数k 的值；（2）求a 与36a b + 的夹角的余弦值.17.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()12cos c a B =+.（1）若π3B =，求角C 的大小；（2）若ABC V 为锐角三角形，求ba的取值范围.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,ABCD E 为PD 的中点，AD ∥,91,2,0BC BAD PA AB BC AD ∠===== .（1）求证：CE ∥平面PAB ；（2）求证：平面PAC ⊥平面PDC ；（3）求直线EC 与平面PAC 所成角的正弦值.19.A 校和B 校是孝感市两所著名的高中，为了相互学习和交流，现随机抽取2000名A 校学生和2000名B 校学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间[)40,100中，现分别对两校学生的成绩作统计分析：对A 校学生的成绩经分析后发现，可将其分成组距为10，组数为6，作频率分布直方图，且频率分布直方图中的Y Y ⎛⎫= ⎪⎝⎭频率组距满足函数关系()10.12,130.18,46n k n Y k n n -⎧⨯≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩（n 为组数序号，n ∈Z ）；关于B 校学生成绩的频率分布直方图如下图所示（纵轴为频率组距），假定每组组内数据都是均匀分布的.（1）求k 的值；（2）若B 校准备给前100名的学生奖励，应该奖励多少分以上的学生？（3）现在设置一个标准t 来判定某一学生是属于A 校还是B 校，将成绩小于t 的学生判为B 校，大于t 的学生判为A 校，将A 校学生误判为B 校学生的概率称为误判率A ，将B 校学生误判为A 校学生的概率称为误判率B ，误判率A 与误判率B 之和称作总误判率，记为()f t .若[)50,70t ∈，求总误判率()f t 的最小值，以及此时t 的值.2024年高二9月起点考试高二数学试卷命题学校：考试时间：2024年9月5日下午14：30-16：30试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BD 【10题答案】【答案】ABC 【11题答案】【答案】ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】四【13题答案】【答案】3【14题答案】【答案】277四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）证明见解析（2）12【16题答案】【答案】（1）3k =（2）13-.【17题答案】【答案】（1）π2C =（2）.【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5【19题答案】【答案】（1）116 k=；（2）72分以上（3）最小为516，60t=.。

佛山市2023~2024学年第一学期开学考试高二数学试题（答案在最后）第I 卷（选择题，共60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1.若1i 1i z=-+，则复数z 的共轭复数为（）A.0B.1C.2D.－22.圆锥的表面积为12π，母线长为4，则该圆锥的底面半径为（）A.2B.3C.1D.3.已知6a =，向量e 为单位向量，π,3a e <>=，则向量a 在向量e方向上的投影向量为（）A.3B.3eC.3e -D.4.某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（）A.10B.15C.20D.305.已知m ，n 为两条不同的直线，α和β是两个不同的平面，下列为真命题的是（）A.,//m n m n αα⊥⇒⊥B.//,n n ββαα⊥⇒⊥C.//,m n m n ββ⊥⇒⊥ D.//,//m n m nαα⊂⇒6.如图，在下列四个正方体中，A ，B ，C ，D 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A ，B ，C ，D 四点共面的是（）．A. B.C. D.7.直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB 、AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于K ，若2AB AE =，3AD AF = ，AC AK λ=uuu r uuu r（R λ∈），则λ=（）A.2B.52C.3D.58.如图，在平面四边形ABCD 中，△BCD 是边长为7的等边三角形，3120AD BAD ∠== ，，则△ABC 的面积为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若向量()0,1a = ，()2,1b =-r ，()1,1c =，则（）A.()//a b c- B.()a b c-⊥ C.()a b c -⋅> D.2a b c-= 10.将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列结论中正确的是（）A.()g x 的最小正周期为πB.直线6x π=是()g x 图象的一条对称轴C.()g x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.()g x 图像关于原点对称11.小赵于2021年10月1日投资了一款理财产品，2021年10月1日至14日每日收益（单位：元）如折线图所示，则下列说法正确的是（）A.10月6日与10月9日的收益相等B.10月2日至10月5日的每日收益递增C.10月1日至10月14日每日收益的中位数为103.5元D.与前一日相比，10月5日的收益增加最多12.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 是边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE （点A 1不落在底面BCDE 内），连接A 1B 、A 1C ．若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 的翻折过程中，以下结论正确的是（）A.BM ∥平面A 1DE 恒成立B.1A A DE V -：1A BCDE V -=1：3C.存在某个位置，使DE ⊥A 1CD.线段BM 的长为定值第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a 与b的夹角为120°，且4a b == ，那么()3b a b ⋅+ 的值为______.14.正三棱台上下底面棱长分别为3和6，侧棱长为2，则正三棱台的体积为______.15.一半径为4m 的水车，水车圆心O 距离水面2m ，已知水车每分钟转动（按逆时针方向）3圈，当水车上P 点从水中浮现时开始计时，即从图中0P 点开始计算时间，当10t =秒时，点P 离水面的高度是______m.16.在ABC 中，60,2,6BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知C 是平面ABD 上一点，AB AD ⊥，1CB CD ==．（1）若3AB AC = ，求AB CD ⋅的值；（2）若AP AB AD =+，求AP 的最大值．18.已知ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()()()sin sin sin sin .a c A C b A B +-=-（1）求角C ；（2）若ABC 为锐角三角形，且4b =，求ABC 面积的取值范围.19.设向量)3sin ,sin a x x =，()cos ,sin b x x = ，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）若a b =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大值．20.如图，在三棱锥S —ABC 中，SA ＝SB ，AC ＝BC ，O 为AB 的中点，SO ⊥平面ABC ，AB ＝4，OC ＝2，N 是SA 的中点，CN 与SO 所成的角为α，且tanα＝2.(1)证明：OC ⊥ON ；(2)求三棱锥S —ABC 的体积．21.2021年3月24日，某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议.对此，中国外交部发言人25日表示，中国光明磊落，中国人民友善开放，但中国民意不可欺､不可违.某记者随机采访了100名群众，调查群众对此事件的看法，根据统计，抽取的100名群众的年龄统计如下表：年龄[)25,35[)35,45[)45,55[)55,65[)65,75[)75,85人数510a35b 15频率0.050.100.150.35c0.15（1）求,,a b c 的值，并作出调查群众年龄的频率分布直方图；（2）求这100名受访群众年龄的平均数x 和中位数(同一组数据用该区间的中点值代替)；（3）该记者为了感谢参与调查的群众，根据不同年龄阶段的人群发放不同的礼品，其中对年龄大于m 岁的人奖励紫砂杯，为了使30%的群众得到该奖励，试求m 的值.22.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC ==，AC =E ，F 为线段1BB ，1AC 的中点．（1）证明：EF ⊥平面11A ACC ；（2）若直线EA 与平面ABC 所成的角大小为6π，求点C 到平面1AEC 的距离．佛山市2023~2024学年第一学期开学考试高二数学试题第I 卷（选择题，共60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1.若1i 1i z=-+，则复数z 的共轭复数为（）A.0B.1C.2D.－2【答案】C 【解析】【分析】利用复数的乘法运算求出复数z ，再求出其共轭复数作答.【详解】依题意，(1i)(1i)=2z =-+，所以复数z 的共轭复数为2.故选：C2.圆锥的表面积为12π，母线长为4，则该圆锥的底面半径为（）A.2B.3C.1D.【答案】A 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，根据圆锥的表面积为12π，母线长为4，由212S r rl πππ=+=求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，因为圆锥的表面积为12π，母线长为4，所以212S r rl πππ=+=，即24120r r +-=，解得2r =或6r =-（舍去）故选：A3.已知6a =，向量e 为单位向量，π,3a e <>=，则向量a 在向量e方向上的投影向量为（）A.3B.3eC.3e -D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】因为6a = ，向量e为单位向量，π,3a e <>= ，则π1cos 61332a e a e ⋅=⋅=⨯⨯= ，则向量a 在向量e方向上的投影向量为3a e e e e⋅⋅=.故选：B4.某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（）A.10 B.15C.20D.30【答案】C 【解析】【分析】先求得中学中的女生人数，然后根据样本容量，按照比例求解.【详解】因为共有学生2500人，其中男生1500人，所以女生有1000人，所以样本中女生的人数为100050202500⨯=人故选：C【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题.5.已知m ，n 为两条不同的直线，α和β是两个不同的平面，下列为真命题的是（）A.,//m n m n αα⊥⇒⊥B.//,n n ββαα⊥⇒⊥C.//,m n m n ββ⊥⇒⊥D.//,//m n m nαα⊂⇒【答案】C 【解析】【分析】ABD 项均可举出反例，C 项可用线面垂直的判定定理说明【详解】A.,//m n m α⊥，则n 也可在平面α内，故选项A 不正确.B.//,n ββα⊥，则n 也可在平面α内,故选项B 不正确.C.//,m n m n ββ⊥⇒⊥成立两平行线,m n ，m ⊥平面β，m 必垂直于β内的两条相交直线，则n 必定垂直于β内那两条相交直线，故n β⊥,故C 正确.D.//,m n αα⊂，则,m n 也可是异面直线的关系.故选项D 不正确.故选：C6.如图，在下列四个正方体中，A ，B ，C ，D 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A ，B ，C ，D 四点共面的是（）．A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据正方体的性质判断点是否共面，并应用平面的性质画出截面即可判断.【详解】由正方体性质，选项A ，B ，C 中，A ，B ，C ，D 四点显然不共面．对于D 选项，如下图取E ，F 为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF ，易知ADCEBF 为平面正六边形，所以A ，B ，C ，D 四点共面．故选：D7.直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB 、AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于K ，若2AB AE =，3AD AF = ，AC AK λ=uuu r uuu r（R λ∈），则λ=（）A.2 B.52C.3D.5【答案】D 【解析】【分析】根据题意将AK用,AE AF表示出来，然后结合三点共线定理，即可求得结果.【详解】∵2AB AE = ，3AD AF =，AC AK λ=uuu r uuu r ∴11123()(23)AK AC AB AD AE AF AE AF λλλλλ==+=+=+uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r ，由E ，F ，K 三点共线可得231λλ+=,∴5λ=.故选:D8.如图，在平面四边形ABCD 中，△BCD 是边长为7的等边三角形，3120AD BAD ∠== ，，则△ABC 的面积为（）A.B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】先利用余弦定理求得AB 的长度，再去求sin ABC ∠的值，进而可求得△ABC 的面积.【详解】由2222cos120BD AD AB AD AB =+-⋅ ，可得222733AB AB =++，解之得5AB =或8AB =-（舍）则22257313cos 25714ABD +-∠==⨯⨯，又()0,πABD ∠∈，则sin ABD ∠=则π113sin sin 31421427ABC ABD ⎛⎫∠=∠+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭则△ABC 的面积为157sin 2ABC ⨯⨯∠=故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若向量()0,1a = ，()2,1b =-r ，()1,1c =，则（）A.()//a b c- B.()a b c-⊥ C.()a b c -⋅> D.2a b c-= 【答案】BD 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示，数量积和向量的模的坐标，逐项判定，即可求解.【详解】由题向量()()()2,0,1,1,1,1a b c -===，可得()2,2a b -=-，可得21210-⨯+⨯=，所以()a b c -⊥ ，所以AC 错误，B 正确；又由a b -= ，2c = 2a b c -=，所以D 正确.故选：BD.10.将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列结论中正确的是（）A.()g x 的最小正周期为πB.直线6x π=是()g x 图象的一条对称轴C.()g x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.()g x 图像关于原点对称【答案】ACD 【解析】【分析】利用三角函数图象变换规律得出()sin 2g x x =，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项；计算6g π⎛⎫⎪⎝⎭的值可判断B 选项；由()sin 2g x x =，在352,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的单调性可判断C 选项；利用奇函数的定义可判断D 选项.【详解】将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，可得到函数()sin 2sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象.对于A 选项，函数()sin 2g x x =的最小正周期为22T ππ==，A 选项正确；对于B 选项，3sin 1632g ππ⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭，B 选项错误；对于C 选项，35,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则352,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()sin 2g x x =，在352,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 选项正确；对于D 选项，函数()sin 2g x x =的定义域为R ，()()()sin 2sin 2g x x x g x -=-=-=-，所以，函数()sin 2g x x =为奇函数，D 选项正确.故选：ACD.11.小赵于2021年10月1日投资了一款理财产品，2021年10月1日至14日每日收益（单位：元）如折线图所示，则下列说法正确的是（）A.10月6日与10月9日的收益相等B.10月2日至10月5日的每日收益递增C.10月1日至10月14日每日收益的中位数为103.5元D.与前一日相比，10月5日的收益增加最多【答案】ABC【解析】【分析】根据折线图上的数据可直接得到AB 是正确的，10月1日至10月14日每日收益的中位数为86121103.52+=故C 也正确，10月8日和前一日比较收益增加最多，故D 错误.【详解】由题中折线图可知，10月6日与10月9日的收益均为160元，故A 正确；由题中折线图可以看出，10月2日至10月5日的每日收益递增，故B 正确；10月1日至10月14日每日收益的中位数为86121103.52+=（元），故C 正确；10月8日比前一日收益增加21740177-=（元），而10月5日比前一日收益增加22014377-=（元），10月8日和前一日比较收益增加177元，故D 错误．故选：ABC ．12.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 是边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE （点A 1不落在底面BCDE 内），连接A 1B 、A 1C ．若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 的翻折过程中，以下结论正确的是（）A.BM ∥平面A 1DE 恒成立B.1A A DE V -：1A BCDE V -=1：3C.存在某个位置，使DE ⊥A 1CD.线段BM 的长为定值【答案】ABD【解析】【分析】对A ，取CD 中点F ，连接MF ，BF ，即可证明；对B ，分别计算1A A DE V -，1A BCDE V -证明即可；对C ，由A 1C 在平面ABCD 中的射影在AC 上，再判断即可；对D ，在MFB 中利用余弦定理证明即可【详解】解：取CD 中点F ，连接MF ，BF ，如图所示，则MF ∥A 1D ，FB ∥DE ，则可得平面MBF ∥平面A 1DE ，∵BM ⊂平面MBF ，BM ⊄平面A 1DE ，∴BM ∥A 1DE ，故A 选项正确，设A 1到平面EBCD 的距离为h ，D 到AB 的距离为h '，则1111××33A A DE A BCDE ADE EBCD V V S h S h --⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭四边形：：1'2ADE EBCD S S AE h ==⨯⨯ 四边形：：()1×+×'132CD BE h ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦：，故B 选项正确，A 1C 在平面ABCD 中的射影在AC 上，∵AC 与DE 不垂直，∴DE 与A 1C 不垂直，故C 选项错误，∵∠MFB ＝∠A 1DE ＝45°，又∵由余弦定理，可得MB 2＝MF 2+FB 2﹣2MF •FB •cos ∠MFB ，且MF ，FB 为定值，∴MB 为定值．故选：ABD ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a 与b 的夹角为120°，且4a b == ，那么()3b a b ⋅+ 的值为______.【答案】－8【解析】【分析】先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得解.【详解】解：()2233344cos12048b a b a b b ⋅+=⋅+=⨯⨯⨯︒+=- .故答案为：-8.【点睛】本题考查数量积的计算，此类问题一般利用数量积的运算律和定义来处理，本题属于基础题.14.正三棱台上下底面棱长分别为3和6，侧棱长为2，则正三棱台的体积为______.【答案】2134【解析】【分析】将正三棱台补全为三棱锥，有正三棱台的体积P A B C P ABC V V V '''--=-，即可求体积.【详解】如下图，正三棱台ABC A B C '''-，将其补全为三棱锥P A B C '''-，PO 为其高，∴正三棱台的体积P A B C P ABC V V V '''--=-，由题设易知4,33,7PC A D PD ''===，∴设PO x =2271633x x -+-=，即三棱锥P A B C '''-的高2PO =，故-P ABC 的高为1，∴1111213266sin 60133sin 6032324V =⨯⨯⨯⨯⨯︒-⨯⨯⨯⨯⨯︒=.故答案为：213415.一半径为4m 的水车，水车圆心O 距离水面2m ，已知水车每分钟转动（按逆时针方向）3圈，当水车上P 点从水中浮现时开始计时，即从图中0P 点开始计算时间，当10t =秒时，点P 离水面的高度是______m.【答案】4【解析】【分析】根据匀速圆周运动的数学模型进行求解.【详解】因为0OP =4，圆心O 到水面的距离为2，所以0P 到x 轴的距离为2，所以x 轴与0OP 所成角为6π，由题知水车转动的角速度为6= /6010rad s ππ因为水车的半径为4，设P 点到水面的距离为y ，根据匀速圆周运动的数学模型有：4sin()2106y t ππ=-+当t =10秒时，y =4，所以点P 离水面的高度是4m .故答案为：4.16.在ABC中，60,2,BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________．【答案】2【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出AD ；方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出,B C ，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =+由ABC ABD ACD S S S =+ 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ，解得：1212AD b +==+．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b=+由正弦定理可得，2sin 60sin sin b B C==，解得：sin 4B =，sin 2C=，因为1+>>45C = ，180604575B =--= ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠= ，即2AD AB ==．故答案为：2．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知C 是平面ABD 上一点，AB AD ⊥，1CB CD ==．（1）若3AB AC = ，求AB CD ⋅ 的值；（2）若AP AB AD =+ ，求AP 的最大值．【答案】（1）34-（2）2【解析】【分析】（1）根据向量的几何意义做出图形，然后根据向量的线性运算及数量积运算法则进行计算即可；（2）令N 为BD 的中点，则2,AP AB AD AN =+= 结合当,,B C D 三点共线时，DB 最大，即可求解.【小问1详解】如图①，因为3AB AC = ，所以12AC CB = ，且1CB =，则1122AC CB == ，332AB AC == ，又AB AD ⊥，则0AB AD ⋅=uu u r uuu r ，又因为()AB CD AB AD AC ⋅=⋅- =AB AD AB AC⋅-⋅ 0|cos 0AB AC =-⋅ 313;224=-⨯=-【小问2详解】如图②，令N 为BD 的中点，则2,AP AB AD AN =+=所以,,A N P 三点共线，若,,B C D 形成三角形，则有CD CB BD +>,故2,DB <所以当,,B C D 三点共线时，DB 最大，为2，此时1AN =,故AP 的最大值为2 2.AN = 18.已知ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()()()sin sin sin sin .a c A C b A B +-=-（1）求角C ；（2）若ABC 为锐角三角形，且4b =，求ABC 面积的取值范围.【答案】（1）3π；（2）(.【解析】【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得222a b c ab +-=，利用余弦定理，求得1cos 2C =，即可求解；（2）由（1）得3C π=，根据ABC 为锐角三角形，求得62B ππ<<，利用正弦定理和面积公式，以及三角恒等变换的公式化简得到6tan S B =+，进而求得面积的取值范围.【详解】（1）因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，由正弦定理，可得()()()a c a c b a b +-=-，整理得222a b c ab +-=，所以2221cos 222a b c C ab a ab b +-===，又因为(0,)C π∈，所以3C π=.（2）由（1）知：3C π=，所以23A B π+=，因为ABC 为锐角三角形，所以022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<，又由正弦定理知sin sin b c B C =，可得23sin c B =，所以ABC的面积为112sin 4sin()22sin 3S bc A B B π==⨯⨯⨯-2sin()3sin B Bπ-=1cos sin 6cos 6222sin sin tan B B B B B B B++===+因为62B ππ<<，所以tan 3B >，可得60tan B <<，所以6tan B <+<，即S <<，所以ABC的面积的取值范围是(.【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.19.设向量),sin a x x = ，()cos ,sin b x x = ，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）若a b = ，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅ ，求()f x 的最大值．【答案】（1）π6（2）32【解析】【分析】（1）由向量模长的坐标表示，结合同角平方关系即可求解.（2）由数量积的坐标表示，及三角恒等变换即可求解.【小问1详解】∵a b =，),sin a x x = ，()cos ,sin b x x = ，∴22a b = ，即22223sin sin cos sin x x x x +=+，得21sin 4x =，又∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则sin 0x >，∴1sin 2x =，解得π6x =.【小问2详解】()2cos sin f x a b x x x=⋅=+31sin 2(1cos 2)22x x =+-11sin 2cos 2222x x =-+π1sin 262x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2,666x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()max 32f x =20.如图，在三棱锥S —ABC 中，SA ＝SB ，AC ＝BC ，O 为AB 的中点，SO ⊥平面ABC ，AB ＝4，OC ＝2，N 是SA 的中点，CN 与SO 所成的角为α，且tanα＝2.(1)证明：OC ⊥ON ；(2)求三棱锥S —ABC 的体积．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得OC ⊥AB ，再根据线面垂直性质得OC ⊥SO ，最后根据线面垂直判定定理得OC ⊥平面SAB ，即得结果，（2）先确定线面角，解得高SO ，再根据锥体体积公式求结果.【详解】(1)证明∵AC ＝BC ，O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，又SO ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴OC ⊥SO ，又AB ∩SO ＝O ，AB ，SO ⊂平面SAB ，∴OC ⊥平面SAB ，又∵ON ⊂平面SAB ，∴OC ⊥ON .(2)解设OA 的中点为M ，连接MN ，MC ，则MN ∥SO ，故∠CNM 即为CN 与SO 所成的角α，又MC ⊥MN 且tanα＝2，∴MC ＝2MN ＝SO ，又MC ＝即SO ∴三棱锥S —ABC 的体积V ＝13Sh ＝13⨯12⨯2⨯4⨯＝453.【点睛】本题考查线面垂直判定与性质以及锥体体积公式，考查基本分析论证求解能力，属中档题.21.2021年3月24日，某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议.对此，中国外交部发言人25日表示，中国光明磊落，中国人民友善开放，但中国民意不可欺､不可违.某记者随机采访了100名群众，调查群众对此事件的看法，根据统计，抽取的100名群众的年龄统计如下表：年龄[)25,35[)35,45[)45,55[)55,65[)65,75[)75,85人数510a 35b 15频率0.050.100.150.35c 0.15（1）求,,a b c 的值，并作出调查群众年龄的频率分布直方图；（2）求这100名受访群众年龄的平均数x 和中位数(同一组数据用该区间的中点值代替)；（3）该记者为了感谢参与调查的群众，根据不同年龄阶段的人群发放不同的礼品，其中对年龄大于m 岁的人奖励紫砂杯，为了使30%的群众得到该奖励，试求m 的值.【答案】（1）15,20,0.2a b c ===，图见解析；（2）平均数为60，中位数为60.714；（3）67.5m =.【解析】【分析】（1）根据频率分布表中的数据求得a ，b ，c ，再作出频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图，利用平均数和中位数公式求解；（3）根据年龄在[65,85]的频率为0.350.3>，由(75)0.020.150.3m -⨯+=求解.【详解】（1）由题可知，0.15100a =，所以15a =，10051015351520b =-----=，从而200.2100c ==.作出频率直方图如下：（2）平均数300.05400.1500.15600.35700.20800.1560x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，中位数=0.50.050.10.155560.7140.035---+≈.（3）由题意知，年龄在[65,85]的频率为0.350.3>，所以(75)0.020.150.3m -⨯+=，解得67.5m =.22.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC ==，AC =E ，F 为线段1BB ，1AC 的中点．（1）证明：EF ⊥平面11A ACC ；（2）若直线EA 与平面ABC 所成的角大小为6π，求点C 到平面1AEC 的距离．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取BC 的中点M ，连结,FM BM ，可得EF BM ∥，通过证明BM ⊥平面11A ACC 可得；（2）利用等体积关系11E ACC C AEC V V --=可得.【小问1详解】证明：取BC 的中点M ，连结,FM BM ，∵在1ACC △中，F 、M 分别为1AC 、AC 的中点，∴112FM CC =且1FM CC ∥，又在直三棱柱111ABC A B C -中，E 是1BB 的中心，∴112BE CC =且1BE CC ∥，∴BE FM =且BE FM ∥，∴四边形BEFM 为平行四边形，∴EF BM ∥，∵在ABC 中，M 为AC 的中点，且1,AB BC AC ===，∴BM AC ⊥，且2BM =，∵1CC ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴1CC BM ⊥，又1CC AC C =I ，∴BM ⊥平面11A ACC ，∴EF ⊥平面11A ACC ；【小问2详解】由（1）知，2EF BM ==，1EF AC ⊥，因为直线EA 与平面ABC 所成的角大小为π6，π6EAB ∠=∴，因为R t EAB 中，1AB =，tan 3BE AB EAB =⋅∠=∴，113CC BB ==∴，13AC ==∴，111111,2623EAC ACC S EF AC S AC CC =⋅==⋅= ∴，设点C 到平面1AEC 的距离为d ，11E ACC C AEC V V --= ，111133ACC AEC S EF S d ⋅=⋅ ∴，即11=33236d ⋅⋅⋅⋅，解得5d =.。