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核PCA的应用PCA是一种基于数学统计方法的数据降维技术，可以将高维数据降低为低维数据，从而更好地理解和处理数据。
在数据处理和分析的领域中，PCA已经被广泛应用。
而核PCA，作为传统PCA 的扩展，更是在一些特定领域有着广泛的应用前景。
一、PCA的基本原理在介绍核PCA之前，首先要了解PCA的基本原理。
PCA的主要目的是将高维数据降低为低维数据，同时最大化数据信息的维度。
其基本原理由以下步骤组成：1.计算均值：对于给定的数据集，首先需要计算每个维度上的均值。
2.计算协方差矩阵：通过计算每个数据点与其它数据点之间的协方差矩阵，可以进一步了解原始数据的结构。
3.计算特征值和特征向量：协方差矩阵的特征值和特征向量可以帮助我们实现数据降维。
4.选中要保留的特征向量：通过选取一定数量的协方差矩阵的特征向量，我们就可以将数据集从高维度降低到低维度。
以上就是PCA的基本原理，通过降低数据维度的同时，尽可能多的保留原有数据的信息。
二、核PCA的基本思想虽然PCA在数据降维方面的效果已经得到了广泛的应用，但在特定的领域中，它也有一些缺陷。
其中的一项典型的缺陷，是它不擅长处理非线性数据。
因此人们在此基础上，发展出了核PCA的新型技术，以帮助我们更好的解决问题。
首先，核PCA的基本思想是：数据集在高维空间中存在一个非线性的映射关系，而PCA所要做的，就是将这个高维空间映射到低维空间。
具体而言，就是将一些复杂、非线性的数据映射到一个更低维度、更简单的空间，这样，我们就可以更好地分析和处理数据。
在理解核PCA的过程中，还需要了解两个基本概念：核矩阵和核函数。
（1）核矩阵核矩阵是用来描述样本点之间的相似性的矩阵。
样本点之间的相似性可以直接用数据间的内积来表示。
因此，核矩阵就是所有样本之间的内积所组成的矩阵。
这里强调一下，核矩阵只与样本点在高维空间中的内积相关，与他们在低维度空间无关。
（2）核函数核函数通常具有以下两种基本属性：1.核函数只与样本之间的内积有关。
主成分分析PCA介绍PCA的基本思想是找到投影向量，使得数据在该投影上的方差最大。
通过选择方差最大的投影向量，我们可以保留尽可能多的原始数据信息。
具体来说，PCA首先计算数据的协方差矩阵，然后对该矩阵进行特征值分解，得到特征向量和特征值。
特征向量就是我们要找的投影向量，而特征值表示数据在特征向量上的方差。
选择前k个特征向量，就可以将原始数据映射到k维空间中。
这样，通过选择适当的k值，既可以降低数据的维度，又可以尽量保留原始数据的信息。
PCA的应用非常广泛。
首先，PCA可以用于数据预处理，包括去除噪声、异常值和缺失值，以及数据标准化和归一化。
其次，PCA可以用于数据降维，减少冗余特征，提高计算效率。
特别是在高维数据集上，PCA可以减少特征的个数，提高模型的训练速度和结果的精确度。
此外，PCA还可以用于数据可视化，将高维数据投影到二维平面上，以便更好地理解数据的分布和结构。
除了基本的PCA方法外，还有一些对其进行改进和扩展的方法。
其中，核主成分分析（Kernel PCA）是一种非线性的PCA方法，通过将数据映射到高维特征空间来处理非线性关系。
自适应主成分分析（Adaptive PCA）可以根据数据的分布自动选择合适的特征数目。
增量主成分分析（Incremental PCA）可以处理大规模数据集，并能够在数据流中进行在线学习和更新。
然而，PCA也有一些限制和缺点。
首先，PCA假设数据服从线性分布，对于非线性关系的数据可能会失效。
其次，PCA只能找到数据集中的线性主成分，无法处理复杂的非线性关系。
最后，PCA对异常值和噪声敏感，可能会导致降维结果的偏差。
总的来说，PCA是一种常用的数据降维方法，可以在保留原始数据信息的同时，减少特征的个数，提高计算效率和模型的准确度。
通过选择适当的投影向量和特征数目，PCA可以应用于各种学科和领域，有助于数据分析和模式识别的进展。
但需要注意其在处理非线性数据和异常值方面的局限性，以及对噪声的敏感性。
2009年第6期 科技管理研究Science and Technol ogy Manage ment Research 2009No 16收稿日期:2008-09-25,修回日期:2008-11-05基金项目:黑龙江省社会科学基金项目(05B0142);黑龙江省自然科学基金项目(G200606)文章编号:1000-7695(2009)06-0128-03对主成分分析三点不足的改进徐永智1,2,华惠川2(11吉林大学东北亚研究院,吉林长春 130012;21黑龙江科技学院经济管理学院,黑龙江哈尔滨 150027)摘要:首先通过均值化和对数中心化处理改进主成分分析的特征提取,其次通过比较最优与最劣样本的主成分数值大小,判定特征向量方向,用熵值法对主成分的综合值计算进行改进。
最后,文章用改进后的主成分方法对中国东部各省市区域创新能力进行综合评价。
关键词:主成分分析;均值化;对数中心化;熵值法中图分类号:C93111文献标识码:A1 问题的提出主成分分析在多指标综合评价中被广泛应用。
但在实际应用中,几乎每个步骤都有值得探讨或改进之处。
本文在前人文献的基础上,总结了具体存在三个问题,并在第二部分对这些问题一一做了解决,最后给出一个实例进行具体应用。
其中,本文在第一部分总结出主成分分析在特征提取、特征向量方向确定以及主成分综合值计算中需要改进的地方。
问题一是,通过将指标正态标准化会存在信息丢失问题,从而使得特征提取性下降,并且当指标间线性程度不高时,应用线性主成分方法也会造成特征提取能力下降的问题。
首先,从原始数据的协方差矩阵可以知道,协方差矩阵包含两部分信息。
一是对角线上的信息,它就是各个指标的方差,反映的是各指标的变异。
二是对角线之外的信息,即各指标间的协方差,它反映的是指标间的相互影响,由相关矩阵体现,因为当指标i 与指标j 的方差不变时,协方差就与指标间的线性相关程度成正比。
但传统的正态标准化方法使各指标的方差变成1,即协方差矩阵的对角元素均为1,这样消除了各指标在变异程度上的差异,从中提取的主成分,只包含各指标间相互影响这一部分信息,显然不能准确反映原始数据所包含的全部信息,所以必须改进这种方法。
基于非线性预应力结构的特征值屈曲分析石乾宇;唐卉;李琪【摘要】介绍了基于非线性预应力结构的特征值屈曲分析理论及实施过程,基于该方法并采用ANSYS Workbench软件对某带有径向大开孔接管的轴压圆柱壳进行了屈曲分析,得到了不同接管载荷作用下壳体的轴向压缩特征值,为压力容器屈曲设计提供一定参考.%In this article, nonlinear buckling analysis by using eigenvalue method for pre-stress structure was introduced. Using ANSYS software and the tool Workbench, the buckling analysis was carried out for one cylindrical shell subjected to axial compression and with large opening and nozzle. The eigenvalues for axial compression with different nozzle loads were obtained, which may be referenced in buckling design for other vessels.【期刊名称】《化工设备与管道》【年(卷),期】2017(054)004【总页数】4页(P7-9,30)【关键词】非线性;预应力;特征值屈曲;轴压;大开孔;接管载荷【作者】石乾宇;唐卉;李琪【作者单位】哈尔滨锅炉厂有限责任公司,黑龙江哈尔滨 150046;哈尔滨锅炉厂有限责任公司,黑龙江哈尔滨 150046;哈尔滨锅炉厂有限责任公司,黑龙江哈尔滨150046【正文语种】中文【中图分类】TQ050.2;TH123大型化与轻量化一直是压力容器的发展方向。
这些大型薄壁容器在承受压缩载荷或其他减稳载荷时更容易发生屈曲失效。
线性代数在数据分析中的应用随着大数据时代的到来，数据分析变得越来越重要。
而线性代数作为数学的重要分支，在数据分析中也发挥着重要的作用。
本文将介绍线性代数在数据分析中的应用。
1. 矩阵运算矩阵可以看作是一个二维或多维数组，这种数据结构非常适合处理大规模数据。
而矩阵的加减乘除运算也是线性代数的基础知识。
在数据分析中，我们可以将数据表示为矩阵的形式，并通过矩阵运算来实现数据的处理和分析。
例如，在聚类分析中，我们可以将每个数据点表示为一个向量，将所有数据点组成一个矩阵，然后通过计算矩阵之间的距离来实现数据聚类。
在主成分分析中，我们也可以通过矩阵乘法来实现数据降维。
2. 特征值和特征向量分析特征值和特征向量是矩阵运算中重要的概念。
在数据分析中，我们可以通过对数据矩阵进行特征值和特征向量分解来获取数据的主要特征。
这些主要特征可以用于数据降维、数据压缩和数据可视化等应用。
例如，在图像处理中，我们可以将一张图片表示为一个矩阵，通过特征值和特征向量分解，我们可以获取该图片的主要特征，如主色调、主要纹理等信息。
3. 线性回归线性回归是一种广泛应用于数据分析中的算法。
线性回归的基本思想是通过对输入特征和输出标签之间的线性关系进行建模，来预测未知标签的值。
在线性回归中，我们通常使用最小二乘法来求解模型的参数。
最小二乘法可以通过矩阵运算来实现，从而加速计算。
4. SVM支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是一种常用的分类算法。
SVM的基本思想是通过寻找一个超平面（超平面是指将高维数据映射到低维空间后得到的线性平面）来实现分类。
在SVM中，我们需要求解一个二次规划问题，而通过对二次规划问题进行变形，可以将其转化为线性规划问题，从而可以通过矩阵运算来求解。
在实际应用中，SVM通常与核函数一起使用，从而实现非线性分类。
5. 矩阵分解矩阵分解是一种常用的降维技术。
在矩阵分解中，我们将一个大矩阵分解为多个小矩阵，从而实现数据的降维和压缩。
主成分分析报告在当今的数据驱动的世界中，我们经常面临着处理大量复杂数据的挑战。
如何从这些海量的数据中提取有价值的信息，简化数据结构，发现潜在的模式和趋势，成为了数据分析领域的重要课题。
主成分分析（Principal Component Analysis，简称 PCA）作为一种强大的数据分析工具，为我们提供了一种有效的解决方案。
主成分分析是一种多元统计分析方法，其主要目的是通过对原始变量的线性组合，构建一组新的不相关的综合变量，即主成分。
这些主成分能够尽可能多地保留原始数据的信息，同时实现数据的降维。
让我们先来了解一下主成分分析的基本原理。
假设我们有一组观测数据，每个观测包含多个变量。
主成分分析的核心思想是找到一组新的坐标轴，使得数据在这些坐标轴上的投影具有最大的方差。
第一个主成分就是数据在方差最大方向上的投影，第二个主成分则是在与第一个主成分正交的方向上，具有次大方差的投影，以此类推。
为什么要进行主成分分析呢？首先，它能够帮助我们简化数据结构。
当我们面对众多相关的变量时，通过主成分分析可以将其归结为少数几个综合变量，从而减少数据的复杂性，便于后续的分析和处理。
其次，主成分分析可以去除数据中的噪声和冗余信息，突出数据的主要特征，有助于发现数据中的隐藏模式和关系。
此外，它还可以用于数据压缩和可视化，使得我们能够更直观地理解数据。
在实际应用中，主成分分析有着广泛的用途。
在图像处理领域，它可以用于图像压缩和特征提取，减少图像数据的存储空间，同时保留图像的主要特征。
在金融领域，主成分分析可以用于构建投资组合，通过对多个金融资产的分析，找出主要的影响因素，从而优化投资组合。
在生物学研究中，主成分分析可以用于分析基因表达数据，发现不同样本之间的差异和相似性。
接下来，我们来看看如何进行主成分分析。
首先，需要对原始数据进行标准化处理，以消除量纲的影响。
然后，计算数据的协方差矩阵或相关矩阵。
接着，通过求解特征值和特征向量，确定主成分的方向和权重。
主成分分解定理主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)是一种常用的无监督学习方法，被广泛应用于数据预处理、降维和数据可视化等领域。
主成分分析的目标是将原始数据投影到一个低维空间中，尽可能地保留原始数据的信息，同时最大化投影后的方差。
主成分分析的核心是主成分分解定理，它是主成分分析方法的理论基础。
主成分分解定理是主成分分析的核心定理之一。
它的关键思想是通过线性变换，将原始数据投影到一个新的坐标系中。
具体来说，假设我们有一个n维的数据集，其中每个样本有d个特征。
那么主成分分解定理的目标是找到一个d维的线性子空间，使得投影后的样本方差最大。
这些d个线性子空间上的基向量称为主成分。
我们假设原始数据集为X，其中每一行表示一个样本，每一列表示一个特征。
为了方便讨论，我们先将原始数据集进行均值中心化操作，即对每个特征减去其均值。
记X'为中心化后的数据集。
根据主成分分解定理的定义，我们可以将上述问题转化为求解一个投影矩阵W，使得投影后的数据集X'W的方差最大。
具体来说，我们需要使得投影后的数据集的协方差矩阵的特征值最大。
这样，我们就可以获得投影矩阵W的最优解。
为了求解投影矩阵W，我们需要先计算协方差矩阵C=X'X'/n，其中n表示样本的个数。
然后，我们可以对协方差矩阵C进行特征值分解，得到特征值λ1，λ2，...，λd，并对应的特征向量u1，u2，...，ud。
这些特征向量对应着投影矩阵W的列向量。
按照特征值从大到小的顺序，我们可以选择前k个特征值和对应的特征向量，构成投影矩阵W。
这样，我们就将原始的d 维数据集投影到一个k维的子空间中。
在投影后的子空间中，每个样本的特征由原始样本在各个特征上的投影表示。
这些投影在子空间中是线性无关的，且能够最大化样本方差。
通过对主成分分解定理的理解，我们可以得出以下结论：1. 主成分分解定理可以将原始数据投影到一个低维子空间中，尽可能地保留数据的信息。
数据分析知识：数据挖掘中的监督学习和无监督学习在数据分析领域，数据挖掘技术被广泛运用于从数据中挖掘出有意义的信息和规律，以帮助企业和个人做出更明智的决策。
而数据挖掘主要分为监督学习和无监督学习两种方式。
本文将详细介绍这两种学习方式的概念、算法、应用场景和优缺点。
一、监督学习监督学习是指基于已知结果的数据样本，通过建立一个映射函数，将输入数据映射到输出结果，从而实现对未知数据进行预测或分类的过程。
在监督学习中，我们通常将输入数据称为自变量，输出结果称为因变量。
监督学习的核心是建立一个有效的模型，这个模型需要能够对未知数据进行良好的预测或分类。
目前常用的监督学习算法包括决策树、神经网络、支持向量机、朴素贝叶斯分类和随机森林等。
1.决策树算法决策树算法是一种基于树型结构的分类算法，它通过对数据样本的分类特征进行判断和划分，最终生成一棵树形结构，用于对未知数据进行分类或预测。
决策树算法具有易于理解、易于实现和可解释性强等优点，适合于处理中小规模的数据集。
2.神经网络算法神经网络算法是一种基于人工神经网络的分类算法，它通过多层神经元之间的相互连接和权重调整，学习输入数据和输出结果之间的复杂非线性关系，从而实现对未知数据的分类或预测。
神经网络算法具有适应性强、泛化能力好等优点，但也存在学习速度慢、容易陷入局部最优等缺点。
3.支持向量机算法支持向量机算法是一种基于核函数的分类算法，它通过定义一个最优超平面，将不同类别的数据样本分隔开来，从而实现对未知数据的分类或预测。
支持向量机算法具有泛化性能强、对于样本噪声和非线性问题具有较好的处理能力等优点，但也存在计算量大、核函数选择过程较为困难等缺点。
4.朴素贝叶斯分类算法朴素贝叶斯分类算法是一种基于概率统计的分类算法，它通过统计样本数据中各个特征值出现的概率，并根据贝叶斯公式计算出对于给定数据属于每个类别的概率，从而实现对未知数据的分类或预测。
朴素贝叶斯分类算法具有计算速度快、对于高维数据具有处理优势等优点，但也存在对于样本分布不平衡和假设独立性等问题的限制。
主成分分析公式特征值分解因子负荷主成分得分主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的多元统计分析方法，用于减少数据集的维度，以便更好地理解和解释数据的结构。
在主成分分析中，我们通过对原始数据进行线性变换，找到一组新的变量，称为主成分，它们能够最大程度地保留原始数据的变异性。
本文将介绍主成分分析的公式、特征值分解、因子负荷和主成分得分等相关内容。
一、主成分分析公式主成分分析的目标是找到一组线性变换，将原始数据集映射到新的变量空间。
设原始数据集为n×p的矩阵X，其中n是样本数量，p是原始变量数量。
通过对X进行标准化处理，得到均值为0、方差为1的数据矩阵Z。
假设我们要得到k个主成分，即将数据从p维空间映射到k维空间。
主成分分析通过求解协方差矩阵的特征值和特征向量来实现这一目标。
协方差矩阵C的公式为：C = (1/n-1)Z^T Z其中，Z^T是Z的转置矩阵。
我们可以对协方差矩阵C进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
特征值代表了每个主成分所解释的方差比例，特征向量则表示主成分的方向。
二、特征值分解特征值分解是一种常见的矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为特征值和特征向量的乘积形式。
对于协方差矩阵C，特征值分解的公式为：C = Q∑Q^T其中，Q是特征向量的矩阵，∑是特征值的对角矩阵。
特征向量矩阵Q的列向量对应着主成分的方向，而特征值矩阵∑的对角线元素则代表了各个主成分所解释的方差比例。
三、因子负荷因子负荷可以用来衡量原始变量与主成分之间的关系，它代表了每个原始变量在主成分中的权重或重要程度。
设主成分的特征向量矩阵Q为[q1, q2, ..., qk]，原始变量的标准化矩阵Z对应的因子负荷矩阵为A，则A的第j列可以计算为：aj = qj × √λj其中，qj是特征向量矩阵Q的第j列，λj是特征值矩阵∑的第j个对角线元素。
因子负荷矩阵A的元素越大，说明对应的原始变量在主成分中的重要程度越高。
《工程结构非线性分析》作业姓名刘兆锋学号S160100045班级硕士四班指导老师方志教授目录作业1：偏压柱的几何非线性分析 (4)1 解析解与失稳荷载 (4)1.1 解析解 (4)1.2 失稳荷载 (5)2 几何非线性数值解 (5)2.1 模型的建立 (6)2.2 有限元模型 (6)2.3 计算结果 (6)2.4 ANSYS命令流 (8)3 几何非线性与稳定性关系 (9)4 几何刚度矩阵推导 (10)4.1 位移函数 (11)4.2 几何方程 (12)4.3 应变矩阵 (12)4.4 刚度矩阵 (13)作业2：钢筋混凝土偏压柱的非线性全过程分析 (16)1 截面非线性分析 (16)1.1 理论背景 (16)1.2 算例参数 (21)1.3 截面非线性MATLAB程序 (22)1.4 程序适用性验证 (25)1.5 参数分析 (25)2 构件非线性分析 (29)2.1 理论背景 (29)2.2 算例参数 (32)2.3 构件非线性MATLAB程序 (33)2.4 程序适用性验证 (37)2.5 参数分析 (39)3 两类稳定问题的讨论 (44)参考文献 (46)作业1：偏压柱的几何非线性分析 要求：1. 求出荷载-柱中心侧移的解析解及失稳荷载；2. 以具体算例给出其几何非线性效应的数值解（可用程序计算），并与解析解结果对比；3. 对结构几何非线性和稳定的关系进行讨论；4. 推导杆元的几何刚度矩阵（U.L 列式法）。
图1.1：结构示意图1 解析解与失稳荷载1.1 解析解失稳荷载即为使压杆维持微弯平衡的最小压力值N cr 。
对于压杆上任一截面上的弯矩有()()cr M x N w e =⋅+，由挠曲线微分方程''()EIw M x =-，则''()cr EIw N w e =-⋅+。
令2crN k EI=，则有''22w k w k e +=-⋅ （1.1） 对式（1.1）的微分方程，其221,20,r k r ki +==±特征方程为则特征解，故通解为12cos sin p w C kx C kx =+ （1.2）而特征值系数=0λ不是特征方程的根，则可令特解*3w C =，并将其代入式（1.1）中，可得3-C e =，则特解*-w e = （1.3）则常微分方程式（1.1）的解为*12cos sin p w w w C kx C kx e =+=+- （1.4）将边界条件0,0,0 1.4x w x h w ====和分别代入式（）中，解得： 12(1cos ),sin e kh C e C kh -==，再将C 1、C 2回代入式（1.4）得：(1cos )cos sin [cos tan sin 1]sin 2e kh khw e kx kx e e kx kx kh -=+-=+-当2h x =时，/2(cos tan sin 1)(sec 1)2222h kh kh kh khw e e =+-=- 1.2 失稳荷载若要使/2h w 有解，则(21)cos0,0,1,2 (222)kh kh n n π+≠≠，即取 则22min2cr cr N EI k k N h EI hππ===，将其代入得，失稳荷载。
spss主成分分析报告目录spss主成分分析报告 (1)引言 (2)研究背景 (2)研究目的 (2)研究意义 (3)主成分分析的基本概念 (4)主成分分析的定义 (4)主成分分析的原理 (5)主成分分析的应用领域 (6)数据收集与准备 (7)数据收集方法 (7)数据预处理 (8)数据清洗 (9)主成分分析的步骤 (9)因子提取 (9)因子旋转 (10)因子解释 (11)SPSS软件在主成分分析中的应用 (12)SPSS软件的介绍 (12)数据导入与处理 (13)主成分分析的操作步骤 (14)主成分分析结果的解读 (15)因子载荷矩阵的解读 (15)方差解释率的解读 (16)因子得分的解读 (17)主成分分析的结果验证与评价 (18)因子可靠性分析 (18)因子有效性分析 (19)结果的稳定性分析 (19)主成分分析的局限性与改进 (20)主成分分析的局限性 (20)主成分分析的改进方法 (21)结论 (22)研究总结 (22)研究展望 (23)引言研究背景主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的多元统计分析方法，广泛应用于各个领域的研究中。
它通过将原始数据转换为一组新的无关变量，即主成分，来揭示数据中的潜在结构和模式。
主成分分析不仅可以帮助我们降低数据的维度，减少冗余信息，还可以提取出数据中的主要特征，帮助我们更好地理解和解释数据。
在当今信息爆炸的时代，数据的获取和处理变得越来越重要。
各个领域的研究者和决策者需要从大量的数据中提取有用的信息，以支持决策和研究。
然而，原始数据往往包含大量的冗余信息和噪声，使得数据分析变得困难和复杂。
主成分分析作为一种有效的数据降维方法，可以帮助我们从复杂的数据中提取出关键信息，简化数据分析的过程。
主成分分析最早由卡尔·皮尔逊（Karl Pearson）于1901年提出，并在之后的几十年中得到了广泛的研究和应用。
应用统计学判别分析目录1. 内容概览 (2)1.1 统计学概述 (2)1.2 判别分析简介 (3)2. 判别分析的基本原理 (5)2.1 判别分析的数学基础 (6)2.2 判别分析的分类方法 (7)2.3 判别分析的适用条件 (8)3. 判别分析的方法论 (9)3.1 线性判别分析 (11)3.1.1 线性判别函数 (12)3.1.2 线性判别分析的应用实例 (13)3.2 非线性判别分析 (14)3.2.1 非线性判别函数 (15)3.2.2 非线性判别分析的应用实例 (16)4. 判别分析的模型评估 (18)4.1 分类准确率 (18)4.2 交叉验证 (20)4.3 模型比较 (21)5. 判别分析的应用实例 (22)5.1 生物信息学 (24)5.2 金融数据分析 (25)5.3 社会科学 (26)6. 判别分析的未来发展趋势 (28)6.1 深度学习与判别分析 (29)6.2 大数据与判别分析 (31)6.3 个性化判别分析 (32)1. 内容概览本文档旨在深入探讨应用统计学中的判别分析，首先，我们将简要介绍判别分析的基本概念和背景，阐述其在数据分析和预测建模中的重要性。
随后，我们将详细讲解判别分析的原理和方法，包括线性判别分析和非线性判别分析的不同类型。
文档将逐步引导读者理解如何选择合适的判别函数，如何进行特征选择和变量标准化，以及如何评估判别模型的性能。
此外，我们将通过实际案例展示判别分析在实际问题中的应用，如市场细分、信用评估、生物分类等。
案例研究将帮助读者掌握判别分析在解决实际问题时的具体操作步骤和技巧。
文档将总结判别分析的关键点和局限性，并展望其在未来统计学发展和数据分析领域中的潜在应用前景。
通过本内容的深入学习，读者将能够熟练掌握判别分析的理论知识和实际应用技巧，为解决复杂的数据分析问题提供有力工具。
1.1 统计学概述统计学是一门研究数据的收集、整理、分析和解释的学科，它是应用数学的一个分支，广泛应用于各个领域，如自然科学、社会科学、经济学、医学、工程学等。
-- -- 非线性成分分析作为一个核的特征值问题 摘要 我们用于一种新方法描述如何执行主成分分析非线性形式。通过对积分算子核函数的使用。通过一些相关的非线性映射输入空间，我们可以有效计算在高维特征空间的主成分组成部分；比如在16 *16的图像空间中所有可能的5个像素的乘积。这篇论文中我们给出了该方法的推导，连同由非线性与内核的方法形成的讨论，并且展现目前对模式识别的非线性特征提取的第一批实验结果。 1 引入 主成分分析是尽可能提取高维数据集的一种强大的配套技术.它很容易通过求解一个特征值问题或者用迭代算法来估计主成分；现有的文献（看Jolliffe(1986) and Diamataras & Kung (1996)）。PCA是将我们所描述的数据的坐标系进行正交变换。用新的坐标值所表示的数据我们称为主成分。通常情况下,少数的主成分组足以说明数据的主要结构。这些少数的数据我们有时候叫做数据的因素及潜在变量。 目前的主成分分析的推广工作，我们相对投射空间的主要成分而言，对输入空间中的变量或特征更感兴趣，因为它与输入变量时非线性相关的。其中包括对输入变量之间采取高层次的相关性得到的实例变量。在图像分析的情况下，这就相当于是对输入数据所张成的空间就行寻找主要成分。 为了这个目的，我们在输入空间中依据核函数来表达特征空间中的点积。对于给出的任何一个算法我们都可以通过点积单独的被表示-- -- 出来，也就是说，即使变量本身没有明确的算法，我们也可以通过这个核函数组建不同的非线性函数。（Aizerman,Braverman,和 Rozonoer,1964；Boser,Guyon&Vapnik,1992）。尽管这个方法已被广泛的认知（Burges,1996）,它的对机器学习的用途不是很大，除了在支持向量机方面。（Vapnik,1995） 在这篇论文中，我们给出了通过这种方法构造非线性函数的几个例子。第一个例子是主成分分析的非线性形式，我们将会给出方法的细节及实验结果（第2到4节），我们也将主要描绘出具体的算法（第7节）。 在下一节中，我们首先回顾一下标准PCA的算法。为了能把它推广到非线性情况下，我们将用对应的唯一的点积的方法将PCA算法公式化。在第3节中，我们将在特征空间中通过计算点积来讨论核方法。这两节主要是第4节的基础，第4节将提出对于非线性的PCA得核的基本算法。第5节中将讨论基本核PCA算法与其他推广的PCA算法的不同。在第6节中，我们将给出在模式识别的特征值提取中的核基本算法的一些第一次实验结果。然后在第7节将探讨关于核方法在其他领域的应用，将在第8节中对于探讨给出总结。最后，一些技术性的材料，对于论据不构成主要的线索我们将放入附录中。 2 特种空间的PCA 给出一组以M为中心的观测值1,1,...,,,0MNkkkkxkMxRx PCA算法对角化后的协方差矩阵为
11MTjjjCxxM （1） -- -- 为了做这个，首先解决特征值问题 vCv （2）
对于0特征值和NvR0且11()MjjjCvxvxM，对于V的值必须依赖于1...Mxx的跨度，因此，（2）就等价于 ()()kkxvxCv 1,...,kM
(3)
本节的其余部分是专门用来直接转换到非线性情况，为了在本论文中提出的方法做基础准备。我们应该现在就描述在空间F上的另一种点集的计算方法，它通过一个可能的非线性映射将输入空间映射到F空间 :,NRF xX （4） F所代表的就是特征空间，维数可能非常的大，很可能是无限的。 这里和下面的大写字母代表空间F中的元素而小写字母表示NR中的元素。 接下来，我们做一个假设，我们将数据中心化，也就是说
1()0Mkkx
然后我们将返回数据点。用空间F的协方差矩阵
11()(),MTjjjCxxM （5）
_______ 1更精确地说，这个协方差矩阵也被定义为TXX的期望；为了方便，我们应该
通过一个有限的例子用同样的公式计算协方差矩阵来估计下(1)的极大似然率 -- -- （如果F是无限维的空间，我们认为通过映射XF到()(())jjxxX 将()(()Tjjxx作为线性算子，我们必须找到0个特征值以及 VF0个特征向量 满足 VCV (6)
和上面的讨论同理，V的解法也依赖于1,...,()()Mxx的跨度。对于我
们，我们得到了两个有用过的结论：第一个我们得到下面的等价不等式 (())(())kkxVxCV1,...,kM （7）
第二，存在系数(1,...,)iiM有
1()MiiiVx （8）
结合（7）式和（8）式，我们得
1111(()())(()(())(()())MMMikiikjjiiijxxxxxxM
1,...,kM （9）
定义一个MM矩阵K ()()ijjjKxx （10）
这就写成 2MKK （11）
其中记为用通过1,...,M作为向量的列。因为K是对称矩阵，它有一组可以长成整个空间的特征向量组成，即 MK （12） -- -- 给出方程式（11）的所有的解法。我们记K为半正定的，它就相当于
1,...,1,...,(()())(()())TMMxxxx （13） 它是只对于所有的XF都有 21,...,()(()())0MXFXxxX （14）
因此，K的特征值还都是正的，并且恰恰给出了方程式（11）的M的解法。我们因此只需对角化矩阵K。令12,...,M记为特征值，并且
1,...,M是对应的特征向量的一组集，从而p是第一个非零的特征值2。我们根据需要将,...,pM标准化那么对应的F中的向量也向被标准化，也就说 ()1kkVV ,....,kpM
（15）
依赖于（8）式和（12）式，把,...,pM转化成标准的形式：
,11(()())Mkkijjjijxx ,1MkkijijijK kkK
kk
k
（16）
为了提取主要成分，我们需要计算投影到F中的特征向量kV，（k=p,…,M） 令X为测试点，任意一个F上的图像()x，有 -- -- 1(())(()())MkkiiiVxxx （17）
我们就称它为相应于的非线性主成分。 总之，下面的步骤就需要计算主要成分：第一，计算用式子（10）定义的矩阵K的点积；3第二步，计算它的特征向量以及在空间F中把它标准化；第三步，通过式子（17）计算讲测试点到特征向量上的投影。 为了简单起见，上文中提出的假设指观察的结果都是集中的。这个在输入空间很容易得到，但是在空间F上却很难得到，因为我们不能明确的计算出空间F的观察值的均值。然而，这有一种方法可以做到这一点，它会导致核基本PCA算法模式方程的轻微改变。（见附录A） 在我们进行下一节之前，我们更需要严密的研究映射的角色，下面的观察是必要的。在矩阵计算中使用的映射可以是任意的非线性映射到可能的高维空间F。例如，在一个输入向量空间中的项目的所有n阶单项式。在那样的情况下，我们需要计算通过映射的输入向量的点积，而且是一个尽可能大的计算消耗。对于这个问题的解决，将在下一节给出描述，事实上这个方法我们只需要唯一计算（10）和（17）式中的映射模式的点积，我们根本不需要明确映射的模式。_______ 2 如果我们需要的映射不能将所有的观测值都映射成0，那么这样的一个p
是永远存在的。 3 根据我们已经知道的结果（也就说Kirby&Sirovich,1990）PCA可以空过计算-- -- 点积矩阵,()ijijxx而不是方程式（1），然而，为了清楚和可拓展性的目地，（在目录A中我们可以考虑到在空间F中的数据都是被中心化了）我们给出更加细节的说明
3 在特征值空间计算点积
为了计算这个得点积形式(()())xy，我们用一个核函数来表示它 (,)(()())kxyxy （18）
这样就使我们可以通过计算空间F中的点积的值而不需要找到映射。这个方法用于Boser,Guyou,&Vapnik(1992)在拓展Vapnik&Chervonenkis(1974)“可推广的肖像”的超平面分离器到非线性支持向量机方面的应用。为了这个目的，他们将点积中所有情况都代替成一个预先选择的核函数。通过这种方式,Vapnik&Chervonenkis(1974)将这个有利的结果推广到了肖像识别的非线性情况。Aizerman，Braverman&Rozonoer(1964)叫F空间为“线性化空间”，并且用它依据隐函数分离的办法来根据输入空间的元素表达F中的元素之间的点积。如果空间F是高维的，我们想要为K找到一个封闭的形式来表达，为了更有效的计算。Aizerman et al.(1964)认为K是先天就选择的，不需要直接考虑对应的到F的映射。一个K的特殊选择就对应一个点积，这个点积也对应一个适合的映射。一个特别有用的例子，它是由Poggio（1975.引理2.1）在多项式近似值的背景下对结果进行直接的推广： ()(()()),dddxyCxCy （19）
其中dC向X映射到向量()dCx，将X中的有序对对应所有可能的第n个结果。例如（Vapnik,1995），如果12(,)xxx，那么222121221()(,,,)Cxxxxxxx
