三阶非线性特征值问题的无穷多个正解

郑州大学硕士学位论文一个新的广义非线性Schr?dinger方程的达布变换及其精确解姓名：***申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：***201105摘要本文主要研究—个新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的达布变换及其精确解．文中共分四部分：第一部分主要介绍了孤立子理论的发展和现状以及Ｄａｒｂｏｕｘ变换的基本理论．第二部分首先给出一个新的耦合广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的Ｌａｘ对．然后引入Ｌａｘ对之间的规范变换，由此导出这个新的耦合广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的Ｄａｒｂｏｕｘ变换．第三部分主要研究Ｄａｒｂｏｕｘ变换的约化并给出这个新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的达布变换．文中给出一个系统的代数算法求解此新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程．第四部分主要讨论Ｄａｒｂｏｕｘ的应用，以平凡解作为种子解，详细讨论利用Ｄａｒｂｏｕｘ变换得到这个新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的Ⅳ－孤子解的算法．特别地，我们分别得到这个新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的单孤子解和双孤子解．利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件，通过适当选择参数，给出这个新的广义非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程的单孤子解和双孤子解的图形．关键词：新的广义ＮＬＳ方程；Ｄａｒｂｏｕｘ变换；孤子解ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｍａｉｎａｉｍｏｆｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｐａｐｅｒｉｓｔｏｃｏｎｓｔｒｕｃｔａＤａｒｂｏｕｘｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｆｏｒａｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎａｎｄｉｔｓｅｘａｃｔｓｏｌｕ－ｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｒｅａｒｅｆｏｕｒｓｅｃｔｉｏｎｓｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｉｎｓｅｃｔｉｏｎ１，ｗｅｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎｔｈｅｏｒｙａｎｄｃｕｒｒｅｎｔｓｉｔｕａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｔｈｅｏｒｙｏｆｔｈｅＤａｒｂｏｕｘｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｉｎｓｅｃｔｉｏｎ２，ｗｅｆｉｒｓｔｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅＬａｘｐａｉｒｏｆａｃｏｕｐｌｅｄｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｆｏｒｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ．ＴｈｅｎａＤａｒｂｏｕｘｔｈｅｃｏｕｐｌｅｄｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｄｅ－ｒｉｖｅｄｗｉｔｈｔｈｅｈｅｌｐｏｆｔｈｅｇａｕｇｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅＬａｘｐａｉｒ．Ｉｎｓｅｃｔｉｏｎ３，ｔｈｅＤａｒｂｏｕｘｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｆｏｒａｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｒｅｄｕｃｔｉｏｎｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ．ＡｓｙｓｔｅｍａｔｉｃａｌｇｅｂｒａｉｃｐｒｏｃｅｄｕｒｅｉｓｇｉｖｅｎｉｎｄｅｔａｉｌｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｉｎｔｈｅｆｉｎａｌｓｅｃｔｉｏｎ，ｗｅｄｉｓｃｕｓｓａｎａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｏｆｔｈｅＮ－ｓｏｌｉｔｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ．Ａｓａｌｌａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，ｗｅｏｂｔａｉｎｏｎｅ．ｓｏｌｉｔｏｎａｎｄｔｗｏ－ｓｏｌｉｔｏｎｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅＤａｒｂｏｕｘｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｗｉｔｈｔｈｅａｉｄｏｆｔｈｅＭａｔｈｅｍａｔｉｃａ，ｔｈｅｆｉｇｕｒｅｓｏｆｏｎｅ．ｓｏｌｉｔｏｎａｎｄｔｗｏ－ｓｏｌｉｔｏｎｗｅａｒｅｇｉｖｅｎｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｓｕｉｔａｂｌｙｃｈｏｓｅｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＡｎｏｖｅｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＮＬＳｅｑｕａｔｉｏｎ，Ｓｏｌｉｔｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎｓ，ＤａｒｂｏｕｘｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎＩＩ§１引言非线性科学是自２０世纪６０年代以来，在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为２０世纪自然科学的“第三次革命”．而孤立子理论作为非线性科学的一个重要分支，它既反映一类非常稳定的自然现象，又为非线性偏微分方程提供了求显式解的方法，因而受到物理学界和数学界的高度重视．在历史上，孤子和孤波的概念是从一维潜水槽中小振幅波的研究开始的，由于人们对自然现象的细心观察而发现了孤波．１８４４年，英国科学家Ｊ．Ｓ．Ｒｕｓｓｅｌｌ在他的《论波动》报告中，讲述了他１８３４年观察到的一种奇特的水波现象，认为这种孤立波的波动是流体力学方程的一个稳定解，但一直未能在理论上证明孤波的存在．直到１８９５年，荷兰著名数学家Ｋｏｒｔｅｗｅｇ和他的学生ｄｅＶｒｉｅｓ在对孤波进行全面分析后指出这种波可近似为小振幅的长波，并以此建立了浅水波运动方程，用行波法求出了与Ｒｕｓｓｅｌｌ描述一致的孤波解，孤立波的存在才得到普遍承认．起初人们认为虽然单个孤立波在行进中非常稳定，但在孤立波相互碰撞时，就可被撞得四分五裂，稳定波包将不复存在．但是，１９６５年，美国数学家Ｋｒｕｓｋａｌ和Ｚａｂｕｓｋｙ利用计算机通过计算详细研究了ＫｄＶ方程两波相互作用的全过程，惊奇地发现孤波在作用前后形状和速度保持不变而且具有弹性散射的性质，所以Ｋｒｕｓｋａｌ和Ｚａｂｕｓｋｙ又将这种稳定的孤波称为孤子．孤立子的高度稳定性和粒子性引起了人们对孤立子的极大兴趣．随着研究的深入，大批具有孤子解的非线性波动方程在物理的各个领域不断被揭示出，其中包括等离子体中的非线性ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程、振子运动的Ｔｏｄａ链与二维流体流动的ＫＰ方程等，而且这些方程还具有其它许多共同的性质，例如它们都存在Ｌａｘ对与无穷守恒律，都存在等谱流与非等谱流，且相关的等谱方程族构成无穷维Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统等．随着对孤立子研究的深入，人们已发现一系列求孤立子方程精确解的方法，如反散射方法（［９］一［１０］），ＢｉｉｚＭｕｎｄ变换法（［１１］．［１２】，［３０】），Ｄａｒｂｏｕｘ变换法（［１３］－［１７］），Ｈｉｒｏｔａ双线性方法（［１８】．［１９】），Ｐａｉｎｌｅｖｄ分析法（［２０］），Ｌｉｅ对称方法（［２１】－［２２］），以及代数几何方法（［２３］－［２６］），非线性化方法（【２７】），齐次平衡法（【２８］－［２９］）等，其中Ｄａｒｂｏｕｘ变换方法是一１种简便而有效的方法．Ｄａｒｂｏｕｘ变换是１９世纪末法国数学家Ｇ．Ｄａｒｂｏｕｘ在研究线性Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ问题时提出的．１８８２年，Ｇ．Ｄａｒｂｏｕｘ研究了一个二阶线性常微分Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ方程（就是现在所谓的ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程）的特征值问题一≯２２＋让（ｚ）≯＝入砂，（１．１）其中ｕ（ｚ）是给定的函数，入是常数，称为普参数．Ｄａｒｂｏｕｘ发现下面的事实：设札（ｚ）和≯（ｚ，入）是满足（１．１）的两个函数，对任意给定的常数入ｌ，令咖＝多（ｚ，入）是方程（１．１）的一个解，≯１＝≯（ｚ，入１）是（１．１）当入＝入ｌ时的一个解，即≯１满足方程－砂１，ｚｚ＋ｕ（ｚ）≯ｌ＝Ａ１≯１，（１．２）则由覆（。

非线性系统的概念及稳定性问题的判定方法和发展趋势姓名：查晓锐 学号：0006线性系统理论自20世纪50年代以来不仅已在理论上逐步完善，也已成功的应用于各种国防和工业控制问题。

随着现代工业对控制系统性能的要求不断提高，传统的线性反馈控制已很难满足各种实际需要。

这是因为大多数实际控制系统往往是非线性的，采用近似的线性模型虽然可以使我们更全面和容易的分析系统的各种特性，但是却很难刻画出系统的非线性本质，线性系统的动态特性已不足以解释许多常见的实际非线性现象。

另一方面，计算机及传感器技术的飞速发展，也为我们实现各种复杂非线性控制算法奠定了硬件基础。

因此自20世纪80年代以来，非线性系统的控制问题受到了国内外控制界的普遍关注。

非线性科学是当今世界科学的前沿与热点，涉及自然科学和人文社会科学的众多领域，具有重大的科学价值和深刻的哲学方法论意义。

但迄今为止，对非线性的概念、非线性的性质，并没有清晰的、完整的认识，对其哲学意义也没有充分地开掘。

一、 非线性的概念非线性是相对于线性而言的，对线性的否定，线性是非线性的特例。

所以要弄清非线性的概念，明确什么是非线性，首先必须明确什么是线性；其次对非线性的界定必须从数学表述和物理意义两个方面阐述，才能较完整地理解非线性的概念。

对线性的界定，一般是从相互关联的两个角度来进行的。

其一：叠加原理成立“ 如果1Φ，2Φ 是两个那么21Φ+Φβα也是它的一个解，换言之，两个态的叠加仍然是一个态。

”原理成立意味着所考查系统的子系统间没有非线性相互作用。

其二，物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量，这意味着函数的斜率在其定义域内处处存在且相等，量间的比例关系在变量的整个定义域内是对称的。

在明确了线性的含义后，相应地非线性概念就易于界定。

其一 ：“定义非线性算符()ΦN 为对一些 a ，b 或Φ，ψ不满足)()()(ψ+Φ=ψ+ΦbL aL b a L 的算符 即叠加原理不成立。

DLU三元组矩阵的三类逆二次特征值问题黄贤通【摘要】n×n The expression of quadratic eigen-polynomial is given for DLU matrix. The existence and expression of the solutions for three typesof the quadratic inverse eigen-value problem were obtained by theMoore-Penrose inverse matrix and the element linear algebra theorem for n=5 . The numerical experiment shows the algorithm is effective.%DLU给出了三元组矩阵的二次特征多项式的表达式，就n=5研究了三类逆二次特征值问题，利用广义逆矩阵理论和线性代数基本理论得到了问题有解的条件和解的表达式。

数值实验说明了算法的有效性。

【期刊名称】《五邑大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(000)004【总页数】6页(P21-26)【关键词】二次特征值;逆二次特征值问题;DLU 三元组矩阵【作者】黄贤通【作者单位】赣南师范学院数学与计算机科学学院，江西赣州 341000【正文语种】中文【中图分类】O302二次特征值问题，是指已知矩阵三元组，求数和向量满足，这里，此时称满足的为二次特征值，满足的被称为对应于的特征向量，称为特征对. 这类问题来源于带阻尼的弹簧质点系统[1-3]（此时，分别对应质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵）和二阶电路系统[2]（此时，分别对应电感矩阵、电阻矩阵和电容矩阵）. 逆二次特征值问题，是指根据矩阵三元组的部分信息，寻找的全部信息，使得具有事先给定的特征值，或具有事先给定的特征对，前者被称为逆二次特征值问题，后者被称为逆二次特征对问题. 文献[4]讨论了由不足个特征对信息构造矩阵的情形，文献[5]讨论了由个特征对信息构造含参数的矩阵的情形，文献[6-7]研究了逆二次特征值问题在二阶电路系统四网孔电路设计中的应用.本文约记，这里为阶对角阵集合，为下次对角线元素非零的矩阵集合，为阶上次对角线元素非零的矩阵集合，例如：本文研究二次特征多项式表达式，且就时，研究以下逆二次特征值问题：问题I 给定数和，已知求，使得问题II 给定数和，已知求，使得问题III 给定数和，已知求，使得本文研究三元组矩阵二次特征多项式的一般表达式，揭示其个特征值中存在大量重根的现象. 就时，揭示其有4个零根且非零特征值的立方满足二次方程，从而给出逆二次特征值问题I/II/III由广义逆矩阵表示的解的表达式，以及由矩阵基本理论表示的解的表达式，数值算例表明本研究所得算法是可行的.引进记号：那么，依最后一行（列）展开直接计算行列式，容易得到的递推关系：引理1 具有以下关系：进一步整理具有以下递推表达式：定理1 记，即为偶数时，为奇数时，那么具有以下表达式：这里和的含义见下述证明.证明用数学归纳法.时，结论成立，此时有，.时，结论成立，因为，，，，，.设时结论成立，即，成立.下证当,时，定理1结论成立. 由引理1知：，这里，，，，.同理，.这里，，，.综上，定理1成立.推论1 ，. 这里，，，.定理1和引理1揭示了三元组矩阵的二次特征多项式中的个特征值中存在大量重根和零根的现象，特别是时非零特征值的立方满足一个二次方程.2 由广义逆矩阵表示问题I/II/III解的表达式本文将运用到以下广义逆矩阵理论：引理2[8] 对于方程组，为阶矩阵，为维列向量，为维列向量，那么：1）当相容时，是通解，是极小范数解.2）当不相容时，是一个最小二乘解，是最小二乘解的通解.这里，为阶单位矩阵，为维列向量，为的Moore-penrose广义逆矩阵.根据推论1知，本文讨论的时的逆二次特征值问题I/II/III等价于求解联立方程组，即，，.考虑到的特殊结构，可整理出与问题I/II/III对应的方程组：，. （1）其中，与问题I对应有:，，，此时，，，，，，，，.同理，与问题II对应有：，，，此时，，，，，，，，.再同理，与问题III对应有：，，，此时，，，，，，，，.由式（1）知，这些方程个数少于变量个数的非线性方程组有无穷多个解. 利用广义逆矩阵理论，由引理2可得问题I/II/III的解:定理2 当记为的Moore-penrose逆矩阵时，方程，的极小范数解（或最小二乘解）为：，.通过或的前4个分量得到问题I/II的解或，；通过的第1、2、3、4、6分量得到问题III的解，.3 问题I/II/III解的显式表达式经观察可以得到问题I/II/III的显式解. 重新考虑式（1），对应于问题I的方程可整理为：.简记上述方程为，容易得到：定理3 问题I有解的条件为：，，解的表达式为：1）任意，任意；2）；3）.证明注意到，可得：.当，时，，知存在，于是有解. 这里，.定理4 问题II有解的条件为：，. 解的表达式为：1）任意，任意；2）；3）.证明对应于问题II的方程可整理为：.简记上述方程为，类似定理3可证得定理4.定理5 当，，时，问题III解的表达式为：1）为任意非零数；2），可以任取；3）.证明对应于问题III的方程可整理为：，其中，，，，，，，.注意到，即方程组中右端相等，故成立.当，整理上式有：.当，，可保证的表达式分母不为零，且.4 数值算例以问题I为例，说明上述解表达式的正确性.例1 已知,和矩阵，求矩阵满足，且结构如下：解：Step1 计算出Step2 根据, 计算出；.Step3 由式（1）知如下方程组成立：.Step4 由定理2得由广义逆矩阵表达的解有无穷多个解，这里，，，任意.由Matlab软件编程，可计算出：，于是由定理1计算知问题I有特解：.从而，.Step5 验证. 取，针对上述，计算得：；.故可视为问题I的解.另法，可依定理5中解的显式表达式来计算：Step4* 问题I有无穷多个解：，，且可求出特解：选，则；或选，则.Step5* 验证. 当取，且或时，可计算出，.综合上述误差情况所知，可视上述为问题I的解.参考文献[责任编辑：熊玉涛]Three Types of the Quadratic Inverse Eigen-value for the DLU Matrix HUANG Xian-tong(College of Mathematics & Computer Science, Gan-nan Normal University, Ganzhou,341000, China)Abstract: The expression of quadratic eigen-polynomial is given for matrix. The existence and expression of the solutions for three types of the quadratic inverse eigen-value problem were obtained by the Moore-Penrose inverse matrix and the element linear algebra theorem for. The numerical experiment shows the algorithm is effective.Key words: quadratic eigen-value problem; quadratic inverse eigen-value problem; triple matrix文章编号：1006-7302（2013）04-0021-06中图分类号：O302文献标志码：A收稿日期：2013-05-23基金项目：江西省教育厅科技项目（GJJ10585）作者简介：黄贤通（1966—），男，江西南康人，教授，博士，主要研究领域为数值代数及其应用.时，结论成立，因为设时结论成立，即，成立.下证当,时，定理1结论成立. 由引理1知：这里，，，，.同理，这里，，，.综上，定理1成立.推论1 ，. 这里，，，.定理1和引理1揭示了三元组矩阵的二次特征多项式中的个特征值中存在大量重根和零根的现象，特别是时非零特征值的立方满足一个二次方程.本文将运用到以下广义逆矩阵理论：引理2[8] 对于方程组，为阶矩阵，为维列向量，为维列向量，那么：1）当相容时，是通解，是极小范数解.2）当不相容时，是一个最小二乘解，是最小二乘解的通解.这里，为阶单位矩阵，为维列向量，为的Moore-penrose广义逆矩阵.根据推论1知，本文讨论的时的逆二次特征值问题I/II/III等价于求解联立方程组，即，考虑到的特殊结构，可整理出与问题I/II/III对应的方程组：其中，与问题I对应有:此时，，，，，，，，.同理，与问题II对应有：此时，，，，，，，，.再同理，与问题III对应有：此时，，，，，，，，.由式（1）知，这些方程个数少于变量个数的非线性方程组有无穷多个解. 利用广义逆矩阵理论，由引理2可得问题I/II/III的解:定理2 当记为的Moore-penrose逆矩阵时，方程，的极小范数解（或最小二乘解）为：通过或的前4个分量得到问题I/II的解或，；通过的第1、2、3、4、6分量得到问题III的解，.经观察可以得到问题I/II/III的显式解. 重新考虑式（1），对应于问题I的方程可整理为：简记上述方程为，容易得到：定理3 问题I有解的条件为：，，解的表达式为：1）任意，任意；2）；3）.证明注意到，可得：当，时，，知存在，于是有解. 这里，定理4 问题II有解的条件为：，. 解的表达式为：1）任意，任意；2）；3）.证明对应于问题II的方程可整理为：简记上述方程为，类似定理3可证得定理4.定理5 当，，时，问题III解的表达式为：1）为任意非零数；2），可以任取；3）.证明对应于问题III的方程可整理为：其中，，，，，，，.注意到，即方程组中右端相等，故成立.当，整理上式有：当，，可保证的表达式分母不为零，且.以问题I为例，说明上述解表达式的正确性.例1 已知,和矩阵，求矩阵满足，且结构如下：解：Step1 计算出Step2 根据, 计算出Step3 由式（1）知如下方程组成立：Step4 由定理2得由广义逆矩阵表达的解有无穷多个解，这里由Matlab软件编程，可计算出：于是由定理1计算知问题I有特解：从而，.Step5 验证. 取，针对上述，计算得：故可视为问题I的解.另法，可依定理5中解的显式表达式来计算：Step4* 问题I有无穷多个解：且可求出特解：选，则；或选，则.Step5* 验证. 当取，且或时，可计算出，.综合上述误差情况所知，可视上述为问题I的解.【相关文献】[1] LANCASTER P, PRELLS U. Inverse problems for damped vibrating systems [J]. Journalof Sound and Vibration, 2005, 283: 891-914.[2] DONG Bo, LIN M M, CHU M T. Parameter reconstruction of vibration systems from partial eigen information [J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 327: 391–401.[3] 王正盛. 阻尼弹簧一质点系统中的逆二次特征值问题[J]. 高等学校计算数学学报，2005, 27(3): 217-224.[4] CAI Yunfeng, KUO Yuencheng, LIN Wenwei, et al. Solutions to a quadratic inverse eigen-value problem [J]. Linear Algebra and Its Applications, 2009, 430: 1590-1606. [5] DATTA B N, SOKOLOV V. A solution of the affine quadratic inverse eigen-value problem [J]. Linear Algebra and Its Applications, 2011, 434: 1745-1760.[6] LIU Jiansheng. The application of matrix theory in second order electrical circuits designing[C]//Proceedings of the eighth international conference on matrix theory and its applications in China, advances in matrix theory and its applications:series B. Taiyuan: [s.n.], 2008: 202-205.[7] 袁新娣，黄贤通. 基于状态空间法的复杂正弦稳态电路相量计算[J]. 制造业自动化，2010, 32(6): 91-94.[8] 谢冬秀，雷纪刚，陈桂芝. 矩阵理论及方法[M]. 北京：科学出版社，2011: 260-267.。

电力系统机电振荡的非线性现象分析马列;张瑛;于瑶;龚娜;孙立谦【摘要】电力系统机电振荡现象是伴随系统网络规模的扩大而产生的,研究机电振荡现象对于分析区域电网的安全稳定具有重要意义.以往的分析手段多采用线性化的分析方法,而电力系统本身是一个非线性系统,系统的非线性特性必然对机电振荡的响应产生影响.为此,采用非线性模型获得系统在机电振荡情况下的响应轨迹,分析系统非线性程度不同时对响应曲线在幅值和周期上发生的变化.这些分析对于电力系统机电振荡现象的理解和认识具有一定的参考意义.【期刊名称】《东北电力技术》【年(卷),期】2015(036)010【总页数】4页(P12-15)【关键词】机电振荡;非线性;时域仿真;强迫功率振荡【作者】马列;张瑛;于瑶;龚娜;孙立谦【作者单位】沈阳工程学院,辽宁沈阳 110136;沈阳工程学院,辽宁沈阳 110136;沈阳工程学院,辽宁沈阳 110136;沈阳工程学院,辽宁沈阳 110136;南京南瑞继保电气有限公司,江苏南京211111【正文语种】中文【中图分类】TM712电力系统是一个非线性系统，随着我国华北、华东、华中电网的互联互通，由于系统规模扩大所导致的电力系统机电振荡问题已经直接威胁到电力系统的安全稳定运行［1］。

分析电力系统机电振荡问题的传统方法多采用线性化分析，即将全系统的动态微分方程在系统平衡点处线性化，形成状态方程。

根据线性系统的理论，系统的小干扰稳定性与状态方程的特征值和特征向量密切相关，通过特征值的分布和性质，可确定系统的振荡模式。

通过分析，可判断系统机电振荡回路中区间振荡模式和局部振荡模式的关系，系统阻尼变化等一系列信息。

该方法是分析电力系统机电振荡最有效的方法之一。

然而当电力系统表现为较强的非线性特性时，如系统网络规模庞大或输电线路承载较大负荷等，系统在发生机电振荡时表现出复杂的动态特性，用线性化方法难以分析。

因而，有必要在系统机电振荡分析中考虑非线性因素对系统稳定的影响。

求解函数多项式型⾮多项式型⼀维⾼维符号数值算法solve ⽀持，得到全部符号解若可符号解则得到根⽀持⽀持⽀持当⽆符号解时 符号解⽅法：利⽤等式性质得到标准可解函数的⽅法基本即模拟⼈⼯运算vpasolve ⽀持，得到全部数值解（随机初值）得到⼀个实根⽀持⽀持\times ⽀持未知fsolve 由初值得到⼀个实根由初值得到⼀个实根⽀持⽀持\times ⽀持优化⽅法，即⽤优化⽅法求解函数距离零点最近，具体⽅法为信赖域⽅法。

包含预处理共轭梯度(PCG)、狗腿(dogleg)算法和Levenberg-Marquardt 算法等fzero 由初值得到⼀个实根由初值得到⼀个实根⽀持\times \times ⽀持⼀维解⾮线性⽅程⽅法，⼆分法、⼆次反插和割线法的混合运⽤具体原理见数值求解⾮线性⽅程的和roots ⽀持，得到全部数值解\times ⽀持\times \times ⽀持特征值⽅法，即将多项式转化友矩阵(companion matrix)然后使⽤求矩阵特征值的算法求得所有解（那是另外⼀个问题了）⾮线性⽅程（组）：MATLAB 内置函数solve,vpasolve,fsolve,fzer 。

MATLAB 函数 solve, vpasolve, fsolve, fzero, roots 功能和信息概览 也就是说，之前写了⼏篇关于⾮线性求解的，如⼆分法、⽜顿法（参见）、⼆次反插法（参见），只有⼀个库函数⽤了类似的⽅法。

各函数⽤法详解1. (符号/数值)解⽅程(组)函数 solve 官⽅参考页： solve 是基本的⽤于符号解⽅程的内置函数，返回类型为符号变量矩阵(m\times n sym)。

当⽆法符号求解时，抛出警告并输出⼀个数值解。

基本形式为：solve(eqn, var, Name, Val); % eqn 为符号表达式/符号变量/符号表达式的函数句柄, var 为未知量; Name 为附加要求，Val 为其值 可以⽤solve 解⼀维⽅程。