第14章 超静定结构

+
FS l 2
)
⋅(
l 2)dx2 ]
=
0
∫ ∫ Δ1/1' =
2 l/2 M [(
EI 0 2
+ Fs x1 )(x1) ⋅dx1 +
lM 0 (s 2
+
FS l 2
)
⋅(
l 2
)dx2
]
=
0
FS
=
− 15M 14l
求C截面转角
M/2
M/2
x2
xF1 S F
M (x1) =
M 2
+ Fs x1
=
q
1
2
3
A
B
αα
A
F
二、静不定结构分类
q
q
q
FAx A
FAy
B FBx
A
FBy
B
FAx A
FAy
FBx
B
FBy
外力静不定结构
内力静不定结构
混合型静不定结构
仅在结构外部存在多 仅在结构内部存在多 在结构外部和内部均
余约束
余约束
存在多余约束
¾ 外力静不定
F
q
F
q
外1度
外3度（平面）
外6度（空间）
约束力分量个数：
例1（教材例14-2）图示刚架，承受载荷F，
求刚架的最大弯矩。EI为常数。
B
C
解:沿CC’将刚架切开，由载
F
F
荷的对称性，截面C和C’上
A
A’
的剪力等于零，只有轴力FN 和弯矩M
利用平衡条件求出FN=F/2， 只有 M 为多余约束力

(Statically Indeterminate Structure) 二、对称载荷和反对称载荷
P M F P M F F M P P M F
对称载荷：作用位置对称、数值相等、指向对称; 反对称载荷：作用位置对称、数值相等、但是指向相反; 对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的作用点和 作用方向将重合，而且每对力数值相等。 反对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的数值 相等，作用点重合而作用方向相反。
l B l/2 C l/2 C B
F
l/2
F
l/2
FB
D A
D A
相当系统
解:取B处的反力为多余约束。 变形协调条件是:B点的铅锤位移等于零.
B 0
(Statically Indeterminate Structure) l
B x l/2 C D A l/2 A x x B l/2 x C D x

4 M ( ) FB asin F a sin( )( ) 4 4 2
单位力系统各段的弯矩方程：
)
(b)
B
M asin
应用莫尔积分,
1
M()
A
M ( ) M ( )ds ΔB 0 s EI

(c)
(Statically Indeterminate Structure) MMds 1 π 4 FB a sin a sin ad ΔB 0 s EI EI 0
例题2 （教材14-3） 图示刚架，C截面承受弯矩M作用，计算 M C截面转角。EI为常数。
B C D
解：图示刚架为三次静不定，但 由于结构具有对称性，载荷反对称， 故对称轴横截面上轴力、弯矩为零， 只有一个多余未知力（剪力FS ）。 变形协调条件是: 切口两侧截面的相对竖直位移等于零。

过点A的任一直线AB的倾角
，确定刚片Ⅱ的位置只需要一
个独立坐标即可，一共4个参
数，与原来无铰连接时相比减 少了2个自由度。可见一个单铰 可减少2个自由度。
14.2 体系的自由度
3．复铰及其作用：在进行几何组成 分析时，还会遇到同一个铰同时 连接多个刚片的情形，如图14-5所 示。我们把同时连接两个刚片以 上的铰称为复铰。复铰可以这样 形成：在刚片I上设一个铰A，不 会改变其自由度，在铰以外依次 连接刚片Ⅱ、刚片Ⅲ、……，每 增加一个刚片，这个刚片的自由 度比起与铰A连接前的情形减少2 个自由度，若增至第n个刚片，它 们的总自由度比没有与铰A存在的 情形减少了2（n-l）个。因此一个 连接n个刚片的复铰相当于（n-1 ）个单铰，减少2(n-l)个自由度。
14.2 体系的自由度
三、关于多余约束
通过上面的介绍，我们了解了，约束 是减少体系自由度的装置。但是， 约束使体系的自由度减少是有条件 的，在许多情况下，体系中有的约 束并不能起到减少自由度的作用， 这种约束称为多余约束或无效约束 。
14.2 体系的自由度
如图14-8a，平面内一个点A有两个自由度，如果用两根 不共线的链杆将点A与基础相连接，则点A减少两个自 由度，即被固定；在图14-8b中，如果再增加一根不 共线的链杆将点A与基础相连接，实际上仍只减少两 个自由度。因此，这三根链杆中有一根是多余约束。
14.2 体系的自由度
在折算成单铰时，应正确识别该复铰所联结的刚片数。 如图14-10所示几种情形，铰分别连接4个刚片、3个 刚片、2个刚片，所以其相应的折算单铰数应分别为3 、2、1。
r是支座链杆总数目，对不同的支座，应把它们折算成相 应的支座链杆，代入公式计算。
14.2 体系的自由度

一类是通过反复运算,逐渐趋于精确解的渐近法。
本章介绍的力矩分配法是渐近法中的一种。 力矩分配法以位移法为理论基础,但不是用典型方程求解结点位移的精确解,
而是按某种程序直接渐近地求解杆端弯矩。
用力矩分配法求解连续梁和无侧移刚架十分方便,且可编制程序, 由计算机完成计算。
4
§ 14 - 1 力矩分配法的基本概念
c.传递弯矩是放松状态下结点远端的杆端弯矩,传递弯矩由分配弯矩乘 以传递系数求得。
8
小结
4.结点放松后就处于平衡状态。但是,当结构有多个结点时,一个结点放松、 平衡的同时,相邻结点获得不平衡力矩———传递弯矩,这就破坏了相邻 结点的平衡。所以,力矩分配法的计算要逐个结点反复地进行,直到每个 结点的不平衡力矩都足够的小,精度满足工程的要求时为止。 力矩分配法的优点之一就是有较快的收敛速度，通常经三、四个循环所得
矩。二者的和即为结构受荷状态下的杆端弯矩。
3.力矩分配法的关键是如何确定放松状态下的杆端弯矩,为此必须明确 以下三点:
a.约束状态相当于在受载结构上施加了不平衡力矩M。M 可由约束状态 下的结点平衡条件求得,放松状态是将不平衡力矩M 反向加在结构结点 上,是原结构受荷载(- M)作用的状态。
b.分配弯矩是放松状态下结点近端的杆端弯矩,分配弯矩由(- M)乘以分 配系数求得,分配系数与杆端转动刚度成正比,所以,转动刚度越大所 获得的分配弯矩也越大。
M1

M
F 12

M
F 13

M
F 14
规定约束反力矩以绕结点顺时针转向为正,反之为负。
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§ 14 - 1 力矩分配法的基本概念 设在放松状态下受不平衡力矩M1 的作用,
结点1 的转角为1。