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785-第六章 超静定结构内力计算

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超静定结构自内力的计算

超静定结构自内力的计算


A
B
l
以上两过程的叠加
B
MBA
A
1 3i
M
AB
1 6i
M BA
l
A B
我们的任务是要由杆端位移求 杆端力，变换上面的式子可得：
B
1 6i
M AB
1 3i
M BA
l
M M
AB BA
4i A 2i A
2i B 4i B
6i 6i
l l
(1)
QAB
QBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
θB
X2
Δ
X1=1
1
M1
1/l
1
M2
X2=1 1/l
X1
4i
A
2i B
6i l
X2
2i
A
4i B
6i l
可以将上式写成矩阵形式
M AB
4i
M
BA
2i
2i 4i
6i
l 6i
l
A B
QAB
6i l
6i l
12i l 2
1
4
2
3
几种不同远端支座的刚度方程
1
1
X2 1
0
0
X3 1
0 2C a
3C
0
支座移动时,结构中的位移以及 位移条件的校核公式如下:
i
Mi Mds EI
iC
Mi Mds EI
Ri ci
制造误差引起的内力计算: AB杆造长了1cm,如何作弯矩图?
A
10m 10m
X3 X1 X2
五.温度变化时超静定结构的计算
自考结构力学 超静定结构的内力和位移

自考结构力学 超静定结构的内力和位移

3、力法基本方程－
D11 d 11 X 1 d 11 X 1 D1P 0
D11 X 1 D1 p 0
一、力法基本思路 有多余约束是超静定与静定的根本区别，因此，解决 多余约束中的多余约束力是解超静定的关键。
力法的基本体系
D1=0 D11=1
D11 + D1P =0 d11x1+ D1P =0
作单位和荷载弯矩图
FP F Pa
求系数、建立力法方程并求解
X2 5 FP X1 4 FP 0 仅与刚 X1 6 4 96 11 度相对 X1 5X2 FP 3F 值有关 P 0 X2 4 6 16 88
4 FP X1 11 X 2 3 FP 88
基本方程的物理意义？
X1
X2
a

b
l
a

b
基本结构在支座位移和基本未知力共同作用下，在基本 未知力作用方向上产生的位移与原结构的位移完全相等。
d11 X 1 d12 X 2 D1c 0 d 21 X 1 d 22 X 2 D 2 c
h
X1 1
1
1 l
X2 1
注意
q
1、基本体系有多种选择；
X1
q
q
X1
EI
1
q q
D1 p
q
X1 X1
D1 p
)d
d 11 X 1
11
X1
X1
（a） 2、系数和自由项的计算 3、采用叠加法绘制内力图
（b）
（c）
基本原理举例
例1. 求解图示单跨梁 原结构
待解的未知问题
建筑力学第六章超静定结构内力计算资料

建筑力学第六章超静定结构内力计算资料




n1Χ1 n2 Χ 2 ni X i nn Χ n ΔnF 0从左上方
至右下方的一条主对角线上的系数δii称为主系数， 它表示Xi=1时，引起的基本结构上沿Xi方向上的位 移，它可利用 图M自1 乘求得,其值恒为正值；主对 角线两侧的系数δij(i≠j)称为副系数，它表示Xj =1时， 引起的基本结构上沿Xi方向上的位移，它可利用 图与 图M互i 乘求M得j。
Δ1=0
上式称为基本结构应满足 的原结构的位移条件，设 Δ1F[图(c)]和Δ11[图(d)]分别表示 荷载q与多余末知力X1单独作 用于基本结构上时，引起的B 点沿X1方向上的位移。由叠加 原理，有
Δ1 =Δ11 +Δ1F =0
(b)基本结构
X1
=
(c)
+
(d)
X1
由于X1是末知力，若以δ11表示X1＝1单独作用 于基本结构时引起的B点沿X1方向上的位移，即 Δ11 = δ11·X1 ，则
6.3.1 位移法的基本概念
位移法是以结构的结点位移作为基本未知量， 由平衡条件建立位移法方程求解结点位移，利用 杆端位移和杆端内力之间的关系计算杆件和结构 的内力，从而把超静定结构的计算问题转化为单 跨超静定梁的计算问题。
为了说明位移法的基本概念，我们来研究图 （a）所示的等截面连续梁。
此梁在均布荷载作用下的变形情况如图虚线所 示。。 由于B点为刚性结点，所以，汇交于此点的各 杆在该端将发生相同的转角B 。
多余未知力X1求出后，将已求得的多余力X1与 荷载q共同作用在基本结构上, 就可以按求解静定结
构的方法，求出原结构的其余反力和内力，最后绘
出原结构的弯矩图，如图（c）所示。
超静定结构的最后弯矩图
超静定结构内力计算

超静定结构内力计算

超静定结构内力计算首先，需要明确的是，超静定结构与静定结构的计算方法基本相同，都是通过力平衡和力矩平衡方程来计算结构内力。

下面以一简支梁为例，介绍超静定结构内力计算的方法。

假设有一简支梁，梁长为L，受到均布载荷q，支座A、B处有横向支撑。

我们需要计算梁上任意一点x处的弯矩和剪力。

首先，对于简支梁，力平衡方程可得：∑Fx=0=>RA+RB=0(1)∑Fy=0=>VA+VB-qL=0(2)力矩平衡方程可得：∑Mz=0=>-qLx+VBx=0(3)(x为横坐标)由以上方程可以得到：RA=-RB=-qL/2，VA=-VB=qL/2接下来，我们可以使用能量方法计算结构内力。

能量方法是利用结构所受外界实际工作等于内力做的虚功，通过对外界做功和结构内工作的平衡，求解得到内力。

我们将简支梁分解为多个力学小段，每一小段的长度为Δx。

考虑梁上一小段AB，以A点为起点，Δx位置为B点。

对这一小段，外界对结构所做的虚功为：δWext = -VAdy (4) (dy为小段长度)其中，结构内力V由能量方法得到。

结构内力杆件AB的内工作为：dU = VAdy (5)因为外界做的虚功等于内工作，可得：-δWext = dU将式(4)和式(5)代入上式，得：VAdy = -VAdy对上式进行积分，得：∫VAdy = -∫VAdy∫VAdy = -(∫VAdy)由于简支梁内力为常数，所以可以将其从积分符号中移出，得：V∫Ady = -V∫Ady即：VAΔy=-VAΔy可以看出，对于简支梁而言，外界虚功和结构内工作的积分是相等的。

通过上述分析，我们可以发现，能量方法实际上是在计算外界对结构做的虚功，而虚功就是外界力对结构的作用力乘以作用距离的积分。

所以能量方法的基本思想是通过积分计算外界对结构的虚功，然后根据虚功等于内工作的原理，推导出结构的内力。

总结起来，超静定结构的内力计算方法主要是使用力平衡和力矩平衡方程，利用能量方法计算结构内力。

最新建筑力学第六章超静定结构内力计算

最新建筑力学第六章超静定结构内力计算

δ11·X1 +Δ1F =0 上式称为力法方程，而δ11称为方程的系数， Δ1F称为方程的自由项。
因为δ11和Δ1F均为已知力作于静定结构时，引起 的B点沿X1方向上的位移，所以由静定结构的位移计 算方法可以求得。因此解力法方程可求出多余未知
力X1。
为了具体计算位移δ11和Δ1F，可分别绘出基本 结构在荷载q和X1＝1单独作用下的MF图和 M图1 [图(a， b)]，然后用图乘法计算。
构的方法，求出原结构的其余反力和内力，最后绘
出原结构的弯矩图，如图（c）所示。
超静定结构的最后弯矩图
ql 2 8
ql 2
M，也可利用已经绘出的
M
图
1
和 MF 图 按 叠 加 原 理 绘 出 ， A
8
B
即MM1X1MF。
M图 （c）
综上所述，力法是以多余未知力作为基本未知 量，以去掉多余约束后的静定结构作为基本结构， 根据基本结构在多余约束处与原结构完全相同的位 移条件建立力法方程，求解多余未知力，从而把超 静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。
同理可用M 1 图乘MF图计算Δ1F
Δ 1F E 1 I1 3l1 2q2l4 3l8 qE 4lI
(a) MF 图
将δ11和Δ1F代入力法方程，可解得多余未知力
X1。
Χ1
1F 1 1
3ql 8
X1
(b)M1图
所得末知力X1为正号，表示反力X1的方向与所
设的方向相同。
多余未知力X1求出后，将已求得的多余力X1与 荷载q共同作用在基本结构上, 就可以按求解静定结
X2 、X3方向上的位移[图(f)]。
对于n次超静定结构，用力法分析时，去掉n
个多余约束，代之以n个多余未知力，当原结构在
结构力学超静定结构的内力和位移计算PPT课件

结构力学超静定结构的内力和位移计算PPT课件

5
第5页/共29页
力法方程中的柔度系数与自由项，都是力法基本结构在已知力作用下的位 移，相应的计算公式为
dii
M
2 i
ds
EI
FN2i ds EA
kFS2i ds GA
dij d ji
MiM j ds EI
FNi FNj ds EA
kFSi FSj ds GA
FNitl
Dt h
M i ds
13
第13页/共29页
例题5-7. 图示刚架，外侧温度升高20oC，内侧温度升高30oC，试用力法求解并作出M图。已 知杆件横截面为矩形截面，高度h=l/10，EI=常数，材料线膨胀系数为。
原结构
力法基本结构
FN1
M1
M图
d11 X1 D1t 0
d11
1 EI
(1 l 2
d n1 X1 d n2 X 2 d nn X n DnP Dn 0
对于力法典型方程，应注意理解与掌握以下几点： (1) 力法典型方程的物理意义，是多余约束处的位移方程； (2) dij称为结构的柔度系数，其定义是j方向的单位力引起的i方向的位移，第1个下标表示 发生位移的位置，第2个下标表示产生位移的原因。位移互等定理，dij=dji。主柔度系数必 为正，即dii>0。副柔度系数dij可为正、负或0。柔度系数为结构的固有特性，与荷载等外 界因素无关； (3) 自由项DiP的物理意义是，荷载单独作用在力法基本结构上产生的沿Xi方向的位移，可 为正、负或0； (4) 力法方程也称为柔度方程，力法也称为柔度法；
D1P
X1 2d EA
FN
若将上弦杆DE去掉，其基本结构如示。此时，在X1与荷载共同作用下，D、E两点沿轴方向的相对线位移不
结构力学 力法计算超静定结构

结构力学 力法计算超静定结构


Δ1 = 0 称为位移协调条件。
（ 3 – 1）
情景二 力法的基本原理和典型方程
知识链接
Δ1 = 0 的物理意义：基本结构在荷载与 X1 的共同作用下，B 处所产 生的竖向位移应等于原结构 B 处的实际竖向位移（因原结构 B 处无
竖向位移，故 Δ = 1 0 ）。根据叠加原理，基本结构在 q 与 X1 的 共同作用下，产生的 B 处竖向位移 Δ1，应等于 q 与 X1 分别单独作 用在基本结构 B处的竖向位移的叠加，即
情景二 力法的基本原理和典型方程 知识链接
情景二 力法的基本原理和典型方程
知识链接 2．力法原理
如图 3 – 17a 所示一次超静定梁，去掉支座 B，用多余未知力 X1 代 替，得如图 3 – 17b 所示的基本结构。由前述知，只要设法求出多 余未知力 X1，则其余支反力和内力的计算就与静定结构完全相同。 但仅靠平衡条件无法求出 X1，因为在基本结构中除 X1 外还有三个 支座反力未知，故平衡方程数目少于未知力数，其解值是不定的。 为求出未知力 X1，将图 3 – 17a 所示超静定梁与图 3 – 17b 所示静 定梁的受力条件和变形条件进行比较。
Δ11=δ11X11，于是上述位移条件（3–2）可写成
δ11X11 + Δ1P= 0
(3-3)
此方程为力法的基本方程。δ11 和 Δ1P 都是静定结构在已知力作用下 的位移，完全可以由项目二中所述方法求得，于是多余未知力 X 1 即可
由式（3–3）求得。这种以多余未知力为基本知量，通过基本结构，利
用计算静定结构的位移，达到求解超静定结构的方法称为力法。 为了计算 δ11 和 Δ1P ，分别作基本结构在荷载作用下的弯矩图 MP 和
由于原结构在b点的位移为零因此基本结构在荷载和多余未知力共同作用下b点沿x1x2x3方向的水平位移竖向位移和角位移也都应该为零即b处应满足位移条件102030项目实施情景二力法的基本原理和典型方程x11单独作用时沿x1x2x3方向位移分别为112131
超静定结构内力计算

超静定结构内力计算

六超静定结构內力计算1．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。

从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。

若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。

也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。

对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。

2．什么是超静定结构的超静定次数？答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。

3．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。

4．如何确定超静定结构的超静定次数？答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。

5．撤除多余约束的方法有哪几种？答：撤除多余约束常用方法如下：（1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。

（2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。

（3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。

6．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？答：用力法计算超静定结构的基本思路是：去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。

7．什么是力法的基本结构和基本未知量？答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。

力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。

8．简述n次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。

答：（1）n次超静定结构的力法方程对于n次超静定结构，撤去n个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n个多余约束处代以相应的多余未知力。

结构力学(超静定结构内力与位移计算)

结构力学(超静定结构内力与位移计算)

A C
∑M
B
=0
P1=1
B
RA ⋅ l − P（l − x） 0 = l−x RA = l x = 0 RA = 1 RA = 0 x = l
l ＲＡ＝(l-x)/l 1 RA影响线 1 RＢ影响线 ＲB＝x/l
∑M
A
=0
RB ⋅ l − P ⋅ x = 0
RB = x l
x = 0 x = l
练习：试绘制图示结构 影响线。 练习：试绘制图示结构ME、QE影响线。
15/8 5/4 3/2
5/4
3/4
ME影响线
5/8 1/4
1/2
QE影响线
1/4 1/4 3/8
第四节 用机动法作单跨超静定梁的影响线 一、基本原理 机动法是以虚位移原理为依据把作影响线的问题转化为作位移图的 几何问题。 几何问题。 二、优点 不需要计算就能绘出影响线的轮廓。 不需要计算就能绘出影响线的轮廓。
x A a 1 d/l 1 (l+d)/l ab/l b/l a/l MC影响线 ad/l d/l c l QC影响线 MD影响线 QD影响线 RB影响线 RA影响线 B C l b d D c x1
影响线时， 作RA、RB、MC、QC影响线时，可 点为坐标原点， 取A点为坐标原点，方法同简支梁；作 点为坐标原点 方法同简支梁； QD、MD影响线时，可取 为坐标原点。 影响线时，可取D为坐标原点 为坐标原点。
A p1 C a l b/l y1 y1 a/l QC影响线 y1 b p2 p3 B
S=p1y1+ p2y2+…+ pnyn=∑ piyi （1）
QC=P1Y1+ P2Y2+ P3Y3
y
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2、去掉一个固定铰支座，相当于去掉两个约束。
3、将固定端支座改成铰支座，相当于去掉一个约 束。
4、去掉一个固定端支座，相当于去掉三个约束。
力法、位移法 概述
力法和位移法是计算超静定 结构的两种基本方法。
在力法中，通过综合考虑平衡条件、物理条件及几何条件 先求出多余约束力，进而求出内力和位移；
而位移法则是先求结点位移，再计算内力。
SCD SCB+ SCD
=3/7
结果列入表格
0
0
3/7 4/7 18 －22.5
－6.425 4.685 6.238
－0.89 0.38 0.51
23.067 －23.067
4/7 3/7 22.5 0 －12.85 －9.65 3.12 －1.78 －1.34
10.99 －10.99
0 －4.825
－2.24
0.64
1.28 0.96
－0.32 －0.32
－113.66
12.36 －12.36
76.92 －76.92
0
113.66
A
12.36
160 B
76.92
C
160 D
96.91 M图（kNm） 121.54
30kN/m
40kN
A 2EI 8m
C
EI 8m
D 4m 2EI 4m B
分配系数
转动刚度反映了杆端抵抗转动的能力。转动刚度越 大，表示杆端产生单位转角所需施加的力矩越大。
2、分配系数
令：μAk =
SAk
∑
A
SA
3、传递系数 C
μAk称为分配系数
汇交于同一结点各杆的分配系数之和 等于1，即：
∑μ
A
= μAB ＋ μAC＋μAD = 1
表示当杆件近端有转角时，杆件远端弯矩与近端 弯矩的比值。它的大小与远端的支承情况有关。
D
6m
3m 3m
8m
40kN
10kN/m
A
i=1
B i=1 C
i=1
D
4m 4m
8m
8m
注意：各段的线刚度
题型5、用力矩分配法绘制图示连续梁的弯矩图。EI为常数。
4kN/m
30kN
A
B
C
D
6m
3m 3m
8m
注意：查表时对应符号
注意：
3 Pl 16
A
P B
M
f AB
3 16
Pl
1 ql2 8
A
B
M
0
力矩分配法解题注意事项：
1、力矩分配（放松结点）过程宜从约束力矩大的结 点开始，可加快收敛速度。
2、进行力矩分配时，相邻结点不可同时放松，应逐 个放松、传递。当结点较多（大于3个）时，可以同时 放松所有的不相邻结点，以加快计算过程。
3、力矩分配法是一种增量渐近法，精度可以控制。 一般当传递力矩达到固端弯矩的5﹪以下时，即可终止 计算，不再传递力矩。
2、力矩分配法的基本参数
（1）、转动刚度 SAB
*固 4i *铰支 3i 滑 i
其中 i = EI/L
（2）、分配系数μAB
μAB =
SAB
∑
A
SA
（3）、传递系数 CAB
*固定 CAB =0.5 *铰 支CAB =0
重点：掌握三跨连续梁两节点的分配
如：
4kN/m
30kN
A
EI B
3EI
C 2EI
0.6 0.4
0.4 0.6
固端弯矩
0
0 -160
160 -60
0
96 64
32
-26.4
-52.8 -79.2
0
分配弯矩
及
0
15.84 10.56
5.28
传递弯矩
-1.06
-2.11 -3.17
0
0
0.64 0.42
0.21
-0.08 -0.13
最后杆端弯矩
0
112.48
-112.48
142.5 -142.5
B
P
A
C
B
有一个多余约束，称为 一次超静定。
A
有两个多余约束，称为 二次超静定。
多余约束中产生的约束力称为“多余未知力”。
二、超静定次数的确定 结构中多余约束的数目称为结构的超静定次数。判
断超静定次数的方法是去掉多余约束使原结构变成静 定结构。 常见的去掉多余约束方式有以下几种：
1、去掉支座处的一根支杆(可动铰支座)，相当于去 掉一个约束。
f AB
1 8
ql 2
P A
3 Pl 16
B
M
f BA
3 16
Pl
1 ql2 8
A
B
M
f BA
1 8
ql 2
1、计算各杆的固端 弯矩Mf
MfAB=0
M
f BA
1 8
ql 2=1/8×4×62=18
MfBC=-1/8PL=-1/8×30×6=-22.5
MfCB=1/8PL=1/8×30×6=22.5
两杆的远端产生传递弯矩。具体
计算如下：
所以：MB= 60－36 = 24kNm
设 i = EI/6
SBA= 4i SBC= 3i
20kN/m
32kN
分配系数： μBA= 4/7= 0.571 μBC= 3/7 = 0.429
A EI
B
EI
C
6m
3m 3m
分配弯矩：
0.571 0.429
C
μ MBA=
远端固定：C = 0.5 远端 铰支： C = 0
远端定向 支座：C = －1
把上述问题归纳如下： 当结点A作用有力偶荷载 m B
时，结点A上各杆近端得到 按各杆的分配系数乘以 m 的 近端弯矩，也称分配弯矩。
m
θA A
C
θA θA
D
各杆的远端则有传递系数乘以近端弯矩（或分配弯 矩）的远端弯矩，也称传递弯矩。
A
46.3
90
48
MAB= MFAB＋ MCAB = －66.85kNm MBA= MFBA＋ MμBA = 46.3kNm MBC= MFBC＋ MμBC = －46.3kNm
33.43
24.85
M图（kNm）
多结点的力矩分配
20kN/m
32kN
A
B
C
D
步骤：
1、先锁：加约束锁紧全部刚结点，计算各杆的固端 弯矩和结点的约束力矩。约束力矩 MB = ∑MfBj
以上是用力矩的分配和传递的概念解决结点力偶荷 载作用下的计算问题，故称为力矩分配法。
远端支承情况 固定 铰支 滑动
转动刚度 4i 3i i
传递系数 0.5 0 －1
单结点连续梁或刚架跨间有荷载作用时
例： 20kN/m
32kN
20kN/m
MB
32kN
A EI
B
6m
EI 3m 3m
C
A
MB
B
C
解：1、先在B点加
2、逐次放松：每次放松一个结点（邻近结点仍锁住） 进行单结点的力矩分配和传递。轮流放松各结点，经多 次循环后各结点渐趋平衡。实际计算一般进行2~3个循 环就可获得足够的精度。
3、叠加：将各次计算所得杆端弯矩相加（代数和） 就得到杆端弯矩，即：M = Mf＋∑M分配＋∑M传递
力矩分配法要点 1、力矩分配法的适用条件：无侧移刚架和连续梁。
－0.67
－5.495
23.067
10.99
(18)
(45)
M图(kNm)
5.495
0.5 0.5
0.571 0.429
－80
80 0
0 －160
0
45.68
91.36 68.64
－31.42 －62.84 －62.84 －31.42
8.97
17.94 13.48
－2.24
－4.485 －4.485
在力法和位移法计算中都要建立求解基本未知量的典型方 程。
1、计算途径的比较 力法以多余未知力为基本未知量，位移法以结点位移为基
本未知量。 从典型方程建立的过程看，力法的基本方程是位移协调方程；
位移法的基本方程是与附加约束相连的原结构的某一结点或一 部分的平衡方程。
2、适用范围的比较 凡多余约束数多而结点位移少的结构，宜采用位移法；反之
0.571×(－24)
=
A
－13.7kNm
－60
60 －36
0
μ MBC=
0.429×(－24)
=
－10.3kNm
－6.85 －66.85
－13.7 －10.3 46.3 －46.3
0 0
传递弯矩：
c MCB= 0
66.85
c MAB=
0.5×(－13.7)
=
－6.85kNm
最后杆端弯矩： MCB= 0
2、计算转动刚度 S和分配系数μ
MfCD=MfDC=0
B节点 B节点
SBA=3i＝3EI/6
SBC=4i＝ 4EI/6
μBA=
SBA SBA+ SBC
=3/7
μBC=
SBc =4/7 SBA+ SBC
C节点 C节点
SCB=4i＝4EI/6
SCD=4i =4EI/8
μCB= μCD=
SCB SCB+ SCD =4/7
宜采用力法。 当两种方法的未知量数目差不多时，宜选用位移法。
力矩分配法计算较为简便，但单纯用力矩分配法只能计算无 结点线位移的结构。