2015-2016学年天津市第一中学高二上学期期末考试数学(理)试题(扫描版)

南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学卷2016.01一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．1．命题：“ x ∈Q ，x 2－8＝0”的否定是▲．2．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px 经过点(4，2)，则实数p ＝▲．3．在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＋21＝0的半径为▲．4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程是▲．5．已知p ：0＜m ＜1，q ：椭圆x 2m ＋y 2＝1的焦点在y 轴上，则p 是q 的▲条件（用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”填空）．6．函数f (x )＝x ＋sin x 的图象在点O (0，0)处的切线方程是▲．7．已知实数x ，y≥1，≥0，＋y ≤2，则z ＝x －2y 的最大值是▲．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以正方形ABCD 的两个顶点A ，B 为焦点，且过点C 、D 的双曲线的离心率是▲．9．函数f (x )＝xex （e 为自然对数的底数）的最大值是▲．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0，0)，A (3，0)，动点P 满足2PO ＝PA ，则点P的轨迹方程是▲．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到点A (3，0)的距离等于它到准线的距离，则PA ＝▲．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x ，y ＝0，x ＝t (t ＞0)围成的△OAB 的面积为S (t )，则S (t )在t ＝2时的瞬时变化率是▲．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0和圆M ：x 2＋y 2＝9．若圆M 上存在点P ，使得P 到直线l 的距离为2，则实数m 的取值范围是▲．14．已知函数y ＝x 3－3x 在区间[a ，a ＋1](a ≥0)上的最大值与最小值的差为2，则满足条件的实数a 的所有值是▲．xO y A B CD(第8题)二、解答题：本大题共6小题，共计58分．15．（本题满分8分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点(0，2)，其焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P在椭圆C上，且PF1＝4，求△PF1F2的面积．16．（本题满分10分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|x2－ax＜0}．（1）若a＝2，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过点A (1，0)，B (3，0)，C (0，1)．（1）求圆M 的方程；（2）若直线l ：mx －2y －(2m ＋1)＝0与圆M 交于点P ，Q ，且MP →·MQ →＝0，求实数m 的值．18．（本题满分10分）A 、B 两地相距300km ，汽车从A 地以v km/h 的速度匀速行驶到B 地（速度不超过60km/h ）．已知汽车每小时．．．的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v 的立方成正比，比例系数为11000．设全程的运输成本为y 元．（1）求y 关于v 的函数关系；（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？已知函数f(x)＝ln x．（1）若直线y＝2x＋p(p∈R)是函数y＝f(x)图象的一条切线，求实数p的值．（2）若函数g(x)＝x－mx－2f(x)(m∈R)有两个极值点，求实数m的取值范围．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2m＋8＋y2m＝1(m＞0)的离心率为63．（1）求m的值；（2）设点A为椭圆C的上顶点，问是否存在椭圆C的一条弦AB，使直线AB与圆(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)相切，且切点P恰好为线段AB的中点？若存在，求满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值；若不存在，说明理由．南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．∀x ∈Q ，x 2－8≠02．123．24．y ＝±x 5．充要6．y ＝2x7．28．2＋19．1e10．x 2＋y 2＋2x －3＝011．312．2313．[－52，52]14．0和3－1二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．解（1）由题意可知，c ＝5，b ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝9，……………………2分所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1．……………………4分（2）方法（一）由（1）可知，F 1F 2＝25，PF 1＋PF 2＝6，又PF 1＝4，所以PF 2＝2，…………………6分所以PF 12＋PF 22＝F 1F 22，所以PF 1⊥PF 2，所以△PF 1F 2的面积为12×PF 1·PF 2＝4．……………………8分方法（二）由（1）可知e ＝53，设P (x 0，y 0)，因为PF 1＝4，所以3＋53x 0＝4，解得x 0＝35，…………………6分代入方程得15＋y 024＝1，解得|y 0|＝45，所以△PF 1F 2的面积为12×25×45＝4．……………………8分16．解（1）当a ＝2时，B ＝{x |0＜x ＜2}．………………………3分所以A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}．………………………5分（2）a ＝0时，B ＝∅，a ＜0时，B ＝{x |a ＜x ＜0}，a ＞0时，B ＝{x |0＜x ＜a }．…………7分因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以a ≥3，即实数a 的取值范围为[3，＋∞)．……………………10分17．解（1）方法（一）设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，＋F＋1＝0，D＋F＋9＝0，＋F＋1＝0，…………………………2分＝－4，＝－4，＝3．所以圆M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0．……………………4分方法（二）线段AC的垂直平分线的方程为y＝x，线段AB的垂直平分线的方程为x＝2，＝x，＝2，解得M(2，2)．……………………2分所以圆M的半径r＝AM＝5，所以圆M的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5．……………………4分（2）因为·＝0，所以∠PMQ＝π2．又由（1）得MP＝MQ＝r＝5，所以点M到直线l的距离d＝102．………………………8分由点到直线的距离公式可知，|2m－4－2m－1|m2＋4＝102，解得m＝±6．………………………10分18．解（1）由题意知y＝(v31000＋250)×300v＝300(v21000＋250v)（0＜v≤60）．……………………4分（2）设f(v)＝v21000＋250v，v＞0，则f′(v)＝v500－250v2，由f′(v)＝0得，v＝50，……………………6分当0＜v＜50时，f′(v)＜0，当50＜v＜60时，f′(v)＞0，…………………8分所以v＝50时，f(v)取得最小值，即y取得最小值．答：为使全程运输成本最小，汽车应以50km/h速度行驶．………………10分19．解（1）方法（一）由题意知f ′(x )＝1x．设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则1x 0＝2，解得x 0＝12，所以切点的坐标为(12，－ln2)，代入直线y ＝2x ＋p ，解得p ＝－1－ln2．……………………4分方法（二）f ′(x )＝1x，设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则切线的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0·x ＋ln x 0－1，又切线方程为y ＝2x ＋p ，2，ln x 0－1，解得p ＝－1－ln2．…………………4分（2）函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，且g ′(x )＝1＋m x 2－2x ＝x 2－2x ＋mx 2．………………6分由题意可知，关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有两个不相等的正根x 1，x 2，…………………8分＞0，4－4m ＞0，解得0＜m ＜1．即实数m 的取值范围是(0，1)．…………………10分20．解（1）由题意a 2＝m ＋8，b 2＝m ，所以c 2＝a 2－b 2＝8．又椭圆的离心率为63，所以8m ＋8＝23，解得m ＝4．…………………3分（2）由（1）知椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1，所以A (0，2)．假设存在椭圆C 的一条弦AB 满足条件．方法（一）当AB 斜率不存在时，AB 的方程为x ＝0，显然符合题意，此时P (0，0)，r ＝1．……………………4分当AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，P (x 0，y 0)，x 2＋3y 2＝12，y ＝kx ＋2，消去y ，整理得，(1＋3k 2)x 2＋12kx ＝0，解得x ＝0或x ＝－12k1＋3k 2，……………………6分所以x 0＝－6k1＋3k 2，y 0＝21＋3k2．由21＋3k 2－0－6k 1＋3k 2－1×k ＝－1，得3k 2＋4k ＋1＝0，解得k ＝－1或k ＝－13．………………………9分所以直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22，或直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22；直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．……………………10分方法（二）设P (x 0，y 0)，则B (2x 0，2y 0－2)．因为B 在椭圆C 上，所以(2x 0)2＋3(2y 0－2)2＝12，即x 20＋3(y 0－1)2＝3，所以x 20＋3y 20－6y 0＝0．①……………………5分设M (1，0)，则MP ⊥AB ，所以·＝0，即2x 0(x 0－1)＋(2y 0－4)y 0＝0，x 20＋y 20－x 0－2y 0＝0．②…………………7分0＝0，0＝0，0＝0，0＝2，(舍)0＝32，0＝32，0＝32，0＝12．当点P 为(0，0)时，直线AB 方程为x ＝0，r ＝1；当点P 为(32，32)时，直线AB 方程为y ＝－13x ＋2，r ＝102．当点P 为(32，12)时，直线AB 方程为y ＝－x ＋2，r ＝22．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22；直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．……………………………10分。

2015-2016学年天津市红桥区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：只有选项是正确的．1．（5分）复数=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．（5分）已知全集U=R，集合M={x|﹣1≤x≤3}和集合N={x|x=2k﹣1，k∈N}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合为（）A．{x|﹣1≤x≤3}B．{﹣3，﹣1，1，3，5}C．{﹣1，1，3}D．{﹣1，1，3，5}3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=11，S12=186，则a8=（）A．18 B．20 C．21 D．224．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．75．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣3，2），如果k+与﹣3垂直，那么实数k的值为（）A．﹣19 B．﹣ C．D．196．（5分）一个俯视图为正方形的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．D．7．（5分）已知双曲线﹣=1的一个焦点在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，则双曲线的渐近线方程为（）A． B．y=x C．D．8．（5分）下列四个条件中，p是q的充要条件的是（）A．p：a＞b，q：a2＞b2B．p：ax2+by2=c为双曲线，q：ab＜0C．p：ax2+bx+c＞0，q：﹣+a＞0D．p：m＜﹣2或m＞6；q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点二、填空题每题5分，共30分9．（5分）某高中共有学生900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高二年级抽取的人数为．10．（5分）设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，，则B=．12．（5分）若tanα=2，则=．13．（5分）已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），其关于y=x对称的函数为g（x）．若f（2）=9，则g（）+f（3）的值是．14．（5分）已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点F，DC是∠ACB 的平分线交AE于点F，交AB于点D，则∠ADF的度数为．三、解答题，本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）某篮球队规定，在一轮训练中，每人最多可投篮4次，一旦投中即停止该轮训练，否则一直试投到第四次为止．已知一个投手的投篮命中概率为，（Ⅰ）求该选手投篮3次停止该轮训练的概率；（Ⅱ）求一轮训练中，该选手的实际投篮次数ξ的概率分布和数学期望．16．（13分）函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在同一个周期内，当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1．（Ⅰ）求函数的解析式y=f（x）（Ⅱ）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f（x）的图象？（Ⅲ）求函数f（x）的单调递减区间．17．（13分）已知数列{a n}满足a1=9，其前n项和为S n，对n∈N*，n≥2，都有S n=3（S n﹣1﹣2）（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）求证：数列{S n+}是等比数列；（Ⅲ）若b n=﹣2log3a n+20，n∈N*，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．18．（13分）已知长方体AC1中，棱AB=BC=1，棱BB1=2，连接B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F．（1）求证：A1C⊥平面EBD；（2）求点A到平面A1B1C的距离；（3）求平面A1B1C与直线DE所成角的正弦值．19．（14分）已知圆C：x2+y2=4．（Ⅰ）直线l过点P（1，2），且与圆C相切，求直线l的方程；（Ⅱ）过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量=+，求动点Q的轨迹方程．（Ⅲ）若点R（1，0），在（Ⅱ）的条件下，求||的最小值．20．（14分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处切线的斜率k=﹣，求实数a的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若xf′（x）≥x2+x+1，求a的取值范围．2015-2016学年天津市红桥区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：只有选项是正确的．1．（5分）复数=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【解答】解：=故选：B．2．（5分）已知全集U=R，集合M={x|﹣1≤x≤3}和集合N={x|x=2k﹣1，k∈N}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合为（）A．{x|﹣1≤x≤3}B．{﹣3，﹣1，1，3，5}C．{﹣1，1，3}D．{﹣1，1，3，5}【解答】解：由Venn图可知，阴影部分所示的集合为M∩N，∵集合M={x|﹣1≤x≤3}和集合N={x|x=2k﹣1，k∈N}，∴M∩N={﹣1，1，3}，故选：C．3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=11，S12=186，则a8=（）A．18 B．20 C．21 D．22【解答】解：由数列的性质得a1+a12=a5+a8又因为×（a1+a12）=186所以a1+a12=a5+a8=31因为a5=11所以a8=204．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A．5．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣3，2），如果k+与﹣3垂直，那么实数k的值为（）A．﹣19 B．﹣ C．D．19【解答】解：，∵k+与﹣3垂直∴=0∴10（k﹣3）﹣4（2k+2）=0解得k=196．（5分）一个俯视图为正方形的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．D．【解答】解：由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的高为1，棱锥底面正方形的对角线为2，∴棱锥底面正方形的边长为．∴V==．故选：C．7．（5分）已知双曲线﹣=1的一个焦点在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，则双曲线的渐近线方程为（）A． B．y=x C．D．【解答】解：由题意，双曲线﹣=1的右焦点为（，0）在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，∴（）2﹣4•﹣5=0∴=5∴m=16∴双曲线方程为=1∴双曲线的渐近线方程为故选：B．8．（5分）下列四个条件中，p是q的充要条件的是（）A．p：a＞b，q：a2＞b2B．p：ax2+by2=c为双曲线，q：ab＜0C．p：ax2+bx+c＞0，q：﹣+a＞0D．p：m＜﹣2或m＞6；q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点【解答】解：A．a＞b与a2＞b2相互推不出，因此不满足条件；B．p：ax2+by2=c为双曲线，则＜0，可得：ab＜0，⇒q：ab＜0，反之不一定成立，不满足条件；C．p与q相互推不出，因此不满足条件；D．q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点，可得△=m2﹣4（m+3）＞0，解得m＞6或m＜﹣2．∴p是q的充要条件．故选：D．二、填空题每题5分，共30分9．（5分）某高中共有学生900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高二年级抽取的人数为10．【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高二年级抽取的人数是200×=10人，故答案为：10．10．（5分）设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为18．【解答】解：画出可行域，得在直线2x﹣y=2与直线x﹣y=﹣1的交点A（3，4）处，目标函数z最大值为18故答案为18．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，，则B=．【解答】解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，且a=1，b=，c=，所以cosB===﹣，得到B为钝角即B∈（，π），所以B=故答案为12．（5分）若tanα=2，则=．【解答】解：∵tanα=2，∴==，故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），其关于y=x对称的函数为g（x）．若f（2）=9，则g（）+f（3）的值是25．【解答】解：函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），其关于y=x对称的函数为g（x）．则函数f（x）=a x反函数为：y=log a x，∴g（x）=log a x，又f（2）=9，∴a2=9，∴a=3，∴g（x）=log3x，∴g（）+f（3）=）=log3+33=25，故答案为：25．14．（5分）已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点F，DC是∠ACB 的平分线交AE于点F，交AB于点D，则∠ADF的度数为45°．【解答】解：设∠EAC=α，根据弦切角定理，∠ABE=α．根据三角形外角定理，∠AEC=90°+α．根据三角形内角和定理，∠ACE=90°﹣2α．由于CD是∠ACB的内角平分线，所以FCE=45°﹣α．再根据三角形内角和定理，∠CFE=180°﹣（90°+α）﹣（45°﹣α）=45°．根据对顶角定理，∠AFD=45°．由于∠DAF=90°，所以∠ADF=45°．故答案为：45°．三、解答题，本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）某篮球队规定，在一轮训练中，每人最多可投篮4次，一旦投中即停止该轮训练，否则一直试投到第四次为止．已知一个投手的投篮命中概率为，（Ⅰ）求该选手投篮3次停止该轮训练的概率；（Ⅱ）求一轮训练中，该选手的实际投篮次数ξ的概率分布和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）该选手投篮3次停止该轮训练即第三次投中事件为A，概率为P（A）=（1﹣）2•=．（4分）（Ⅱ）由题意ξ的可能取值为1、2、3、4，（5分）P（ξ=1）=，P（ξ=2）=（1﹣）=，P（ξ=3）=（1﹣）2•=，P（ξ=4）=（1﹣）3+（1﹣）4=，（11分）∴ξ的分布列为E（ξ）=1×+2×+3×+4×=．（13分）16．（13分）函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在同一个周期内，当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1．（Ⅰ）求函数的解析式y=f（x）（Ⅱ）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f（x）的图象？（Ⅲ）求函数f（x）的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）∵当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1．∴T==，∴ω=3．﹣﹣﹣﹣（4分）∵sin（π+φ）=1，∴π+φ=2kπ+（k∈Z），即φ=2kπ﹣，又∵|φ|＜，∴可得φ=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴函数f（x）=sin（3x﹣）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）y=sinx的图象向右平移个单位得y=sin（x﹣）的图象再由y=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标变为原来的．纵坐标不变，得到y=sin（3x﹣）的图象，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）令2k≤3x﹣≤2k，（k∈Z），求得函数f（x）的单调递减区间为：[，]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）17．（13分）已知数列{a n}满足a1=9，其前n项和为S n，对n∈N*，n≥2，都有S n=3（S n﹣1﹣2）（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）求证：数列{S n+}是等比数列；（Ⅲ）若b n=﹣2log3a n+20，n∈N*，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵S n=3（S n﹣1﹣3），S n+1=3（S n﹣3），=3a n．∴a n+1故{a n}是公比为3，首项为9的等比数列，，（Ⅱ）∵，∴，∴，．故数列是为首项，公比为3的等比数列．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知b n=﹣2log3a n+20=﹣2n+18，∴{b n}是公差为﹣2．首项为16的等差数列．∴，∵b8＞0，b9=0，b10＜0，∴T8或T9最大，最大值为72．18．（13分）已知长方体AC1中，棱AB=BC=1，棱BB1=2，连接B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F．（1）求证：A1C⊥平面EBD；（2）求点A到平面A1B1C的距离；（3）求平面A1B1C与直线DE所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：以A为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，那么A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、A1（0，0，2）、B1（1，0，2）、C1（1，1，2）、D1（0，1，2），，，…（2分）设E（1，1，z），则：，，∵BE⊥B1C∴，，∴，，∵，，∴A1C⊥BD，A1C⊥BE，…（4分）又BD∩BE=B∴A1C⊥平面EBD．…（5分）（2）连接AE1，A到平面A1B1C的距离，即三棱锥A﹣A1B1C的高，设为h，…（6分），，由得：，，…（8分）∴点A到平面A1B1C的距离是．…（9分）（3）连接DF，∵A1C⊥BE，B1C⊥BE，A1C∩B1C=C，∴BE⊥平面A1B1C，∴DF是DE在平面A1B1C上的射影，∠EDF是DE与平面A1B1C所成的角，…（11分）设F（1，y，z），那么，∵∴y﹣2z=0①∵，∴z=2﹣2y②由①、②得，，…（12分）在Rt△FDE中，．∴，因此，DE与平面A1B1C 所成的角的正弦值是．…（14分）19．（14分）已知圆C：x2+y2=4．（Ⅰ）直线l过点P（1，2），且与圆C相切，求直线l的方程；（Ⅱ）过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量=+，求动点Q的轨迹方程．（Ⅲ）若点R（1，0），在（Ⅱ）的条件下，求||的最小值．【解答】解：（Ⅰ）显然直线l不垂直于x轴，设其方程为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2=0…（2分）设圆心到此直线的距离为d，则d==2，得k=0或k=﹣…（4分）故所求直线方程为y=2或4x+3y﹣10=0．…（5分）（Ⅱ）设点M的坐标为（x0，y0），Q点坐标为（x，y），则N点坐标是（x0，0），∵=+，∴（x，y）=（2x0，y0），即x0=，y0=y，又∵x02+y02=4，∴+y2=4，（8分）由已知，直线m∥y轴，得到x≠0，∴Q点的轨迹方程是+y2=4（x≠0）；（9分）（Ⅲ）设Q坐标为（x，y），R（1，0），∴=（x﹣1，y），∴||2=（x﹣1）2+y2，（10分）又+y2=4（x≠0），∴||2=（x﹣1）2+y2=（x﹣1）2+4﹣=≥，（12分）∵x∈[﹣4，0）∪（0，4]，∴x=时，||取到最小值．（14分）20．（14分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处切线的斜率k=﹣，求实数a的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若xf′（x）≥x2+x+1，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f′（x）=，f′（1）==﹣，解得：a=﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=，当x∈（0，）时，f′（x）＞0；单调增，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，单调减﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（Ⅲ）xf′（x）≥x2+x+1，得：a≥﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）令g（x）=，则g′（x）=，当0＜x＜时，g（x）单调递增，当x＞时，g（x）单调递减，所以，g（x）max=g=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）故a≥﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）。

2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（理） 班级________姓名________ 1．准线方程为1=x 的抛物线的标准方程是（ ）A. 22y x =-B. 24y x =-C. x y 22=D. 24y x =2. 已知()()1,0,2,6,21,2,||,a b a b λλμ=+=-则,λμ的值分别为（ ）A ．11,52B. 5 , 2C. 11,52-- D. 5,2--3.26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为 （ ） A. 2，5 B. 5，5 C ． 5，8 D ． 8，85.如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB1，则 AB 1与C 1B 所成的角的大小为 ( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75° 6.下列结论中，正确的是（ ）①命题“如果222p q +=，则2p q +≤”的逆否命题是“如果2p q +>，则222p q +≠”；②已知 ，，a b c 为非零的平面向量．甲：= a b a c ··，乙：=b c ，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件； ③:(01)=>≠，且x p y a a a 是周期函数，:sin q y x =是周期函数，则p q ∧是真命题； ④命题2:320p x x x ∃∈-+≥R ，的否定是：2:320p x x x ⌝∀∈-+<R ，． Ａ．①② Ｂ．①④Ｃ．①②④ Ｄ．①③④7．如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使点M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆8.抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值是（ ）A. 43B. 75C. 85D. 39.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是 ( ) A ．－1 B.23 C. 32D ．4 10.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 ( )A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y += 11.已知双曲线)0( 14222>=-a y a x 的一条渐近线与圆8)322=+-y x （相交于N M ,两点且4||=MN , 则此双曲线的离心率为 （ ）A ．5 B ．355 C ．553 D ．5 12.已知点A （1，2）在抛物线22y px Γ=：上.若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为123,,k k k ，则123111k k k -+的值为（ ） A ．1 B. 2 C. 3 D ． 5 13.将二进制数110 101(2)转为七进制数，结果为________．14.假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号 ， ， ， ．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 5415.用计算机随机产生一个有序二元数组x y （，）,满足11,11x y -<<-<<,记事件“1<+y x ”为A ，则P （A ）=______________16.已知12,B B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴上的两个端点，O 为坐标原点，点A 是椭圆长轴上的一个端点，点P 是椭圆上异于12,B B 的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，给出以下命题，其中所有正确命题的序号是 ①当P 点的坐标为233a a （-,）时，椭圆的离心率为5②直线12,PB PB 的斜率之积为定值22a b -③120PB PB < ④212sin PB PB B ∠的最大值为22a b a +⑤直线12,PB QB 的交点M 在双曲线22221y x b a-=上.17．（本题满分10分）已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．18． (本题满分12分)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数之和为5的概率；（2）两数中至少有一个奇数的概率；19．（本题满分12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示， 其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]． (1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； (3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.[60,70)20.（本题满分12分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 其中2PA PD AD ===，60BAD ∠= .（1）求证：AD PB ⊥（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角P AB D --的正切值.21. （本题满分12分）如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P （1，2），A （x y 11,），B （x y 22,）均在抛物线上。

2015-2016学年天津市五区县高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）在平面直角坐标系中，直线y=2x+1的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4分）下面关于命题“p：所有抛物线的离心率为1”的说法正确的是（）A．p是特称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率不为1B．p是特称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率为1C．p是全称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率不为1D．p是全称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率为13．（4分）如图是一个球体和锥体的组合体的三视图，则这个组合体的体积为（）A．πB．πC．πD．π4．（4分）已知函数f（x）=x2e x的导函数为f′（x），则f′（1）等于（）A．﹣e B．2e C．3e D．2+e5．（4分）已知直线l，m，平面α，且l⊥α，则l⊥m是m⊂α的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）若双曲线=1的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=C．y=D．y=7．（4分）以抛物线y2=2x的焦点为圆心的圆与该抛物线的准线相切，则圆的方程为（）A．x2+（y﹣1）2=4B．x2+（y﹣）2=1C．（x﹣1）2+y2=4D．（x﹣）2+y2=18．（4分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，点P满足|PF1|+|PF2|＞2a，则（）A．点P在椭圆C外B．点P在椭圆C内C．点P在椭圆C上D．点P与椭圆C的位置关系不能确定9．（4分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，AC⊥BC，AC=3，BC=4，SA=SB=，平面SAB⊥平面ABC，则二面角S﹣BC﹣A的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．（4分）若a＞，则方程x3﹣ax2+1=0在区间（0，5）内实数根的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）对角线的长为的正方体的表面积为．12．（4分）已知命题p：a∈{x|x≥1}是真命题，命题q：a∈{x|x＞1}是假命题，则实数a=．13．（4分）曲线y=在点（，）处的切线的方程是．14．（4分）已知直线l1：y=k（x﹣2）﹣1与圆x2+y2=4只有一个公共点，直线l2：y=ax+1与直线l1垂直，则实数a=．15．（4分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线右支上存在一点P，满足|PF1|=6|PF2|，则该双曲线离心率的最大值为．三、解答题（共5小题，满分60分）16．（12分）已知点F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，一点M（0，）满足线段MF的中点在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线MF与抛物线C相交于A、B两点，求线段AB的长．17．（12分）已知直线l1：3x﹣4y﹣4=0与直线l2：（a+7）x+ay+6=0（a∈R）平行．（1）求a的值；（2）若圆心在直线l：y=x+1上的圆与直线l1，l2均相切，求圆的方程．18．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，BA⊥平面ADEF，DE⊥AF，AF=1，AD=2．（1）求异面直线BF与CD所成角的正弦值；（2）证明：平面CDE⊥平面ABF．19．（12分）已知点P（，）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的离心率；（2）若过点A（﹣c，c）（c为椭圆C的半焦距）的直线l与椭圆C相交所得弦恰被点A平分，求直线l的斜率．20．（12分）已知函数f（x）=﹣4x3+x2+4x﹣1，g（x）=ax﹣a，a∈R．（1）求函数f（x）的极大值、极小值；（2）若在（﹣∞，1）内存在唯一的整数m，使得f（m）＜g（m）恒成立，求a的取值范围．2015-2016学年天津市五区县高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）在平面直角坐标系中，直线y=2x+1的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：因为直线y=2x+1，k=2，b=1，因为k＞0，则直线y=2x+1一定经过第一，三象限，又因为b＞0，则直线与y轴的正半轴相交，所以直线直线y=2x+1一定过第一，二，三象限，故不经过第四象限，故选：D．2．（4分）下面关于命题“p：所有抛物线的离心率为1”的说法正确的是（）A．p是特称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率不为1B．p是特称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率为1C．p是全称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率不为1D．p是全称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率为1【解答】解：“p：所有抛物线的离心率为1”为全称命题，￢p：“存在一条抛物线的离心率不为1“，故选：C．3．（4分）如图是一个球体和锥体的组合体的三视图，则这个组合体的体积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：由三视图可知几何体的下部为圆锥，上部为球，圆锥的底面半径为1，高为3．球的半径为1．∴V=+=．故选：A．4．（4分）已知函数f（x）=x2e x的导函数为f′（x），则f′（1）等于（）A．﹣e B．2e C．3e D．2+e【解答】解：f′（x）=2xe x+x2e x，∴f′（1）=2×1×e+1×e=3e，故选：C．5．（4分）已知直线l，m，平面α，且l⊥α，则l⊥m是m⊂α的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵l⊥α，若m⊂α，则l⊥m，反之不成立，∴l⊥m是m⊂α的必要而不充分条件．故选：B．6．（4分）若双曲线=1的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=C．y=D．y=【解答】解：因为双曲线=1的离心率为，所以=，所以1+=5，所以=2，所以双曲线的渐近线方程为y=±2x．故选：A．7．（4分）以抛物线y2=2x的焦点为圆心的圆与该抛物线的准线相切，则圆的方程为（）A．x2+（y﹣1）2=4B．x2+（y﹣）2=1C．（x﹣1）2+y2=4D．（x﹣）2+y2=1【解答】解：抛物线y2=2x的焦点为圆心坐标为：（），准线方程为：x=﹣，圆的半径为：1．圆的方程为：（x﹣）2+y2=1．故选：D．8．（4分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，点P满足|PF1|+|PF2|＞2a，则（）A．点P在椭圆C外B．点P在椭圆C内C．点P在椭圆C上D．点P与椭圆C的位置关系不能确定【解答】解：由题意可知，若M在椭圆上，可得|MF1|+|MF2|=2a，由点P满足|PF1|+|PF2|＞2a，即有|PF1|+|PF2|＞|MF1|+|MF2|，得出点P在椭圆外部，故选：A．9．（4分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，AC⊥BC，AC=3，BC=4，SA=SB=，平面SAB⊥平面ABC，则二面角S﹣BC﹣A的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：取AB中点D，BC中点E，连结SD、SE、DE，∵在三棱锥S﹣ABC中，AC⊥BC，AC=3，BC=4，SA=SB=，平面SAB⊥平面ABC，∴SD⊥平面ABC，DE⊥BC，∴SE⊥BC，∴∠SED是二面角S﹣BC﹣A的平面角，且SD==，DE==，SD⊥DE，∴tan∠SED===．∴∠SED=60°．∴二面角S﹣BC﹣A的大小为60°．故选：C．10．（4分）若a＞，则方程x3﹣ax2+1=0在区间（0，5）内实数根的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由x3﹣ax2+1=0得x3+1=ax2，当x=0时，方程不成立，则方程等价为a=x+，设f（x）=x+，则f′（x）=﹣=，由f′（x）=0得x=2，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，当2＜x＜5时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，即当x=2时，f（x）去掉极小值f（2）=×2+==，则f（x）对应的图象为，当x=5时，f（5）=×5+=＜，∴若a＞，则方程x3﹣ax2+1=0在区间（0，5）内实数根的个数是1个，故选：B．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）对角线的长为的正方体的表面积为6．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵对角线的长为，∴=，解得a=1，∴正方体的表面积S=6×12=6．故答案为：6．12．（4分）已知命题p：a∈{x|x≥1}是真命题，命题q：a∈{x|x＞1}是假命题，则实数a=1．【解答】解：∵命题p：a∈{x|x≥1}是真命题，∴a≥1，命题q：a∈{x|x＞1}是假命题，∴a≤1．∴a=1．故答案为：1．13．（4分）曲线y=在点（，）处的切线的方程是4x﹣4y+1=0．【解答】解：y=的导数为y′=，在点（，）处的切线斜率为k==1，可得在点（，）处的切线方程为y﹣=x﹣，即为4x﹣4y+1=0．故答案为：4x﹣4y+1=0．14．（4分）已知直线l1：y=k（x﹣2）﹣1与圆x2+y2=4只有一个公共点，直线l2：y=ax+1与直线l1垂直，则实数a=．【解答】解：∵直线l1：y=k（x﹣2）﹣1与圆x2+y2=4只有一个公共点，∴=2，∴k=．∵直线l2：y=ax+1与直线l1垂直，∴a=．故答案为：．15．（4分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线右支上存在一点P，满足|PF1|=6|PF2|，则该双曲线离心率的最大值为．【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，由|PF1|=6|PF2|，可得|PF2|=a，又|PF2|≥c﹣a，即有a≥c﹣a，可得c≤a，即有e=≤，当P为双曲线的右顶点时，e取得最大值．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）16．（12分）已知点F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，一点M（0，）满足线段MF的中点在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线MF与抛物线C相交于A、B两点，求线段AB的长．【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为…（1分）∴线段MF的中点为…（3分）∵线段MF的中点在抛物线C上，∴，∵p＞0，∴…（5分）∴抛物线C的方程为y2=x…（6分）（2）直线MF的方程为，即，…（8分）与y2=x联立消去y得，16x2﹣10x+1=0…（9分）解得或，…（10分）当时，；当时，，∴或∴…（12分）17．（12分）已知直线l1：3x﹣4y﹣4=0与直线l2：（a+7）x+ay+6=0（a∈R）平行．（1）求a的值；（2）若圆心在直线l：y=x+1上的圆与直线l1，l2均相切，求圆的方程．【解答】解：（1）∵直线l1：3x﹣4y﹣4=0与直线l2：（a+7）x+ay+6=0（a∈R）平行，∴，…（3分）解得a=﹣4．…（5分）（2）设直线l1：3x﹣4y﹣4=0与直线l2：3x﹣4y+6=0的距离为d，在直线l1上取点（0，﹣1），∴，…（7分）∴圆的半径为．…（8分）设直线l1与直线l的交点为A，由得A（﹣8，﹣7），…（9分）设直线l2与直线l的交点为B，由得B（2，3），…（10分）∵线段AB的中点就是圆心∴圆心坐标为（﹣3，﹣2），…（11分）∴所求圆的方程为（x+3）2+（y+2）2=1，即x2+y2+6x+4y+12=0．…（12分）18．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，BA⊥平面ADEF，DE⊥AF，AF=1，AD=2．（1）求异面直线BF与CD所成角的正弦值；（2）证明：平面CDE⊥平面ABF．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴CD∥AB，…（1分）∴∠FBA就是异面直线BF与CD所成的角…（2分）∵BA⊥平面ADEF，AF⊂平面ADEF，∴BA⊥AF，…（4分）∵AF=1，，∴在直角△FBA中，…（5分）∴，∴异面直线BF与CD所成角的正弦值为．…（6分）证明：（2）∵BA⊥平面ADEF，DE⊂平面ADEF，∴DE⊥BA，…（7分）由已知DE⊥AF…（8分）∵BA，AF是平面ABF内的两条相交直线，…（9分）∴DE⊥平面ABF，…（10分）∵DE⊂平面CDE，∴平面CDE⊥平面ABF…（12分）19．（12分）已知点P（，）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的离心率；（2）若过点A（﹣c，c）（c为椭圆C的半焦距）的直线l与椭圆C相交所得弦恰被点A平分，求直线l的斜率．【解答】解：（1）∵点在椭圆C：上∴，∴2a2=3b2…（1分）∵b2=a2﹣c2∴2a2=3a2﹣3c2∴a2=3c2…（3分）∴椭圆C的离心率…（5分）（2）显然，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=k（x+c）+c=kx+（k+1）c…（6分）由（1）知b2=3c2﹣c2=2c2，∴椭圆C的方程为即2x2+3y2=6c2，显然点A在椭圆C内…（7分）设直线l与椭圆C的交点为M（x1，y1），N（x2，y2），椭圆C的方程与直线l的方程联立消去y得（3k2+2）x2+6k（k+1）cx+3（k+1）2c2﹣6c2=0…（8分）∴…（10分）∵，∴∴3k（k+1）=3k2+2∴…（12分）20．（12分）已知函数f（x）=﹣4x3+x2+4x﹣1，g（x）=ax﹣a，a∈R．（1）求函数f（x）的极大值、极小值；（2）若在（﹣∞，1）内存在唯一的整数m，使得f（m）＜g（m）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1），…（1分）令f′（x）=0，得或，…（2分）在附近，当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，∴是函数f（x）的极小值点，极小值为…（4分）在附近，当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，∴是函数f（x）的极大值点，极大值为…（6分）（2）令f′（x）＞0，得，∴函数f（x）的单调递增区间为…（7分）令f′（x）＜0，得或，∴函数f（x）的单调递减区间为，…（8分）∴根据（1）的结论，函数f（x）的图象大致如下： (10)∵函数g （x ）=a （x ﹣1）的图象恒经过点A （1，0），f （x ）的图象经过点B （0，﹣1），C （﹣1，0）∴直线AB 的斜率为1，AC 的斜率为0， ∵a 是经过点A （1，0）的直线的斜率， ∴可得所求a 的取值范围是0≤a ＜1， 此时唯一的整数为0．…（12分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。