甘肃兰州一中11-12学年度下学期高二期末考试数学理试题

兰州一中2022-2023-2学期期末考试试题高二数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.1.已知集合{|(2)()0}A x a x x a =--<，若2A ∉，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,2]B ．[1,2)C ．(1,2)D ．(,1)(2,)-∞+∞2.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，点M ，N 满足12PM PC =，23PN PD = ．若MN xAB y AD z AP =++，则x y z ++=（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．123.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中依次不放回地取2个数，事件A 为“第一次取到的是偶数”，事件B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则()P BA ∣等于（ ） A ．38B ．1132C ．1145D ．344.已知正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1DD 上，直线1AC ⊥平面1A BM ，则点M 的位置是（ ） A ．点DB ．点1DC ．1DD 的中点D ．不存在5.给出定义：设()f x ''是函数()y f x '=的导函数，若方程0()0f x ''=有实数解，则称点（x 0，f （x 0）） 为函数y ＝f （x ）的“拐点”．已知函数()34sin cos f x x x x =+-的拐点为M （x 0，f （x 0）），则下列结 论正确的为（ ） A ．tan x 0＝4 B ．点M 在直线y ＝3x 上 C ．sin2x 0＝417D ．点M 在直线y ＝4x 上6.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则平面11AB D 与平面1BDC 的距离为（ ）A BC D 7.抛一枚硬币，若抛到正面则停止，抛到反面则继续抛，已知该硬币抛到正反两面是等可能的，则以上操作硬币反面朝上的次数期望为（ ） A ．34B ．98C ．1D ．548.已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为函数()f x 的导函数，当[0,)x ∈+∞时，sin 2()0x f x '->， 且∀x ∈R ，2()()2sin 0f x f x x -+-=，则下列说法一定正确的是（ ）A ．1()(362f f ππ->B ．1(()344f f ππ-<C ．31()(344f f ππ-<D ．31((344f f ππ-->二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.下列四个条件中，能成为x y >的充分不必要条件的是（ ） A ．22xc yc>B ．110x y<< C ．x y >D ．ln ln x y >11.我国古代数学名著《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为“堑堵”．现 有一如图所示的“堑堵”ABC ﹣A 1B 1C 1，其中AB ⊥BC ，若BB 1＝AB ＝2，BC ＝1，则（ ）A ．该“堑堵”的体积为2B ．该“堑堵”外接球的表面积为9πC ．若点P 在该“堑堵”上运动，则|PA |的最大值为D ．该“堑堵”上，AC 1与平面BB 1C 1C12.已知函数22sin 2()(0)sin x af x a x+=≠，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为2πB ．f （x ）的图象关于直线2x π=对称C ．a ＞0时，f （x ）在区间(,0)2π-单调递增D ．a ＜0时，f （x ）在区间(0,)π既有极大值点也有极小值点 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知0,0a b >>，若24a b +=，则ab 的最大值为________．14.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数f （x ）在闭区间[a ，b ]上的图象连续不间断，在开区间（a ，b ）内的导数为()f x '，那么在区间（a ，b ）内至少存在一点c ，使得()()()()f b f a f c b a '-=-成立，其中c 叫做f （x ）在[a ，b ]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数()ln f x x =在[1，e ]上的“拉格朗日中值点”为 _______．15.矩形ABCD 中，030,20,BCA AC PA ∠==⊥平面ABCD ，且5PA =，则P 到BC 的距离为__________． 16.已知(0,1),()(1)xxa f x a a ∈=++在(0,)+∞上为增函数，则a 的取值范围是______. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分12分）已已知函数()e e x f x ax =+-，R a ∈（注：e 2.718281=⋅⋅⋅是自然对数的底数）． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若()f x 只有一个极值点，求实数a 的取值范围．19.（本题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，ED DC =，F 为AE 的中点，G 为BE 上一点.(1)求证：//CE 平面DFB ；(2)若BD ⊥平面AGC ，求二面角G DC B --的度数.20.（本题满分12分）21. (本题满分12分）如图1所示，在矩形ABCD 中，AB ＝BC ＝2，M 为CD 中点，将△DAM 沿AM 折起，使点D 到 点P 处，且平面PAM ⊥平面ABCM ，如图2所示． （1）求证：PB ⊥AM ；（2）在棱PB 上取点N ，使平面AMN ⊥平面PAB ，求直线AB 与平面AMN 所成角的正弦值.22. (本题满分12分）已知函数()ln f x x a x =-(R)a ∈.(1)当e a <时，讨论函数()f x 零点的个数；(2)当(1,)x ∈+∞时，()ln e a xf x ax x x ≥-恒成立，求a 的取值范围.兰州一中2022-2023-2学期高二年级期末考试数学试题参考答案一、 单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.有且仅有一个选项符合题意； 二、 多选题：9--12题每题至少两个选项符合题意，多选不得分，少选得2分.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACBABDCBABDBDABDBC第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 214. 1e -15．16.三、解答题：共70分。

甘肃兰州一中2011—2012学年度下学期期末考试高二数学理试题说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分100分,考试时间100分钟。

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第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个．．．．选项符合题意)1.已知复数z =,z 是z 的共轭复数,则z z ⋅等于 A.16 B.4 C.1 D. 1162若函数21()sin (),()2f x x x R f x =-∈则是 A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为π2的偶函数 D.最小正周期为π的偶函数3. 已知数列{}n a 为等比数列，若561516(0),a a a a a a b +=≠+=，则2526a a +等于A ．b aB ．22b aC ．2b aD ．2b a 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 2B. 1C. 13D. 235．已知三个函数 ()2xf x x =+，()2g x x =-，2()log h x x x =+的零点依次为,,a b c则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b <<D ．a c b >>6. 庆“元旦”的文艺晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须安排在前两位，节目乙不能安排在第一位，节目丙必须安排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案共有A ．36种B ．42种C ．48种D ．54种 7.若|8||2|)(-++=x x x f 的最小值为n ，则二项式nxx )2(2+的展开式中的常数项是 A ．第10项 B ．第9项 C ．第8项 D ．第7项 8.若[]2,2,k ∈-则过(1,1)A 可以做两条直线与圆045222=--++k y kx y x 相切的概率为A .21B .41C .43D .139. 已知函数),0()0,()(,4)(2+∞⋃-∞-=是定义在x g x x f 上的奇函数，当x>0时，)()(,log )(2x g x f y x x g ⋅==则函数的大致图象为10. 以圆222210x y x y +---=内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为A ．76B ．78C ．81D ．84第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）11. 01263459C C C C ++++ = .（用数字作答）下图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图， 则图中判断框应填 ，输出的s = .13．不等式组0013x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩，表示的平面区域的面积是 .14．已知半径为4的球O 中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 .三.解答题（本大题共5大题,共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题6分)8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中任取4个球,记取出白球的个 数为X .（1）求X 的分布列； （2）求1(20)1X P X +-≥-16. (本小题8分)已知向量m =（sin A ，sin B ），n =（cos B ，cos A ），m n ⋅=sin 2C ，且△ABC 的角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c ． （1）求角C 的大小；（2）若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且()18CA AB AC ⋅-=，求c .17.（本小题8分）在长方形AA 1B 1B 中，AB =2AA 1，C ，C 1分别是AB ，A 1B 1的中点（如下左图）． 将此长方形沿CC 1对折，使平面AA 1C 1C ⊥平面CC 1B 1B （如下右图），已知D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点． （1）求证：C 1D ∥平面A 1BE ; （2）求证：平面A 1BE ⊥平面AA 1B 1B .18. (本小题10分)已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ,首项为1a ,且2，n a ,n s 成等差数列. （I ）求数列{n a }的通项公式； （II ）若2log n n b a =，nn nb c a =，求数列{n c }的前n 项和T n .19. (本小题12分)已知定义在实数集R 上的奇函数()f x 有最小正周期2，且当(0,1)x ∈时，2()41xx f x =+（1） 证明()f x 在(0,1)上为减函数；（2） 求函数()f x 在[]1,1-上的解析式；（3） 当λ取何值时，方程()f x λ=在R 上有实数解.参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11. 210 ; 12. 6i ≤ ； 12345a a a a a a +++++ ； 13.72; 14. 32π. 三.解答题（本大题共5大题,共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题6分) .解：（1）随机变量X 所有的可能取值为2,3,4，则有，………………………1分2226483(2),14C C p X C === 1326484(3),7C C p X C === 0426483(4),14C C p X C ===由此X 的分布列为：………………………3分 （2）1(20)(13)(2)(3)1X P P X P X P X X +-≥=<≤==+=-341114714=+=………………………6分16. (本小题8分).解：（1）sin cos sin cos sin()sin m n A B B A A B C ⋅=+=+=,又sin 2m n C ⋅=， sin sin 22sin cos C C C C ∴==1cos ,2C ∴= ………………………3分又0,C π<< .3C π∴=………………………4分 (2) 由已知得sin sin 2sin A B C +=，即2a b c +=又∵()18CA AB AC ⋅-=，∴18CA CB ⋅= 36ab =即 ………………………6分 由余弦定理得：2222cos 36c a b ab C =+-=∴ 6.c = ………………………8分17.（本小题8分）.解：（1）取1A B 的中点F ,连结,,DF EF111,D F A B A B 分别为，的中点， 11DF A BB ∴∆是的中位线，1111////1122DF BB CC DF BB CC ∴==且 即四边形1C EFD 为平行四边形,1//EF C D ∴1,EF A BE ⊂ 平面11//.C D A BE ∴平面 ………………………4分（2）依题意：1111A B C A BBA ⊥平面平面,11D A B 为的中点，111A CB 且三角形为等腰直角三角形， 111CD A B ∴⊥，由面面垂直的性质定理得 111C D A BB A ⊥平面， ……………………6分1//,C D EF 又 11EF A BB A ∴⊥平面，1,EF A BE ⊂ 平面平面A 1BE ⊥平面AA 1B 1B . ……………………8分18. (本小题10分)解：（1）∵2，n a , n S 成等差数列， 22n n a S ∴=+当1=n 时，111222a S a ∴=+=+，解得12a ∴=． …………………2分 当2n ≥时，．即1122(22)n n n n n a S S a a --=-=---12n n a a -=即．∴数列}{n a 是首项为2，公差为2的等差数列，2.n n a ∴= ……………………5分 （2）22log log 2,n n n b a n ===又nn nb c a =2n n n c ∴= ………………………6分,2232221322211n n n n na b a b a b T ++++=+++= ①.2232221211432+++++=n n n T ② ①—②，得n n T 212121212132++++= .21+-n n………………………8分 111(1)22222212n n n n n n T +-+∴=-=-- ………………………10分 19. (本小题12分)解：（1）证明：设1212,(0,1)x x x x ∈<且则，12121222()()4141x x x x f x f x -=-++ 1221122412414141x x x x x x +-+=++（）（）（）（） 211212+22214141x x x x x x --=++（）（）（）（）………………………3分 1201x x <<< ，211222,21x x x x +∴>> 1212()-()0,()()f x f x f x f x ∴>>即，∴()f x 在(0,1)上为减函数.………………………4分（2）(1,0)(0,1)x x ∈-∴-∈,2()41xxf x --∴-=+, ()f x 又为奇函数，2()()41xx f x f x --∴-==-+2()41xxf x --∴=-+ ………………………6分 (1)=(1)(1)=(1)f f f f --- 又，且 (1)(1)=f f ∴=- 2(0,1),410,1,()2(1,0)41xxxx x x f x x ⎧∈⎪+⎪=±⎪∴=⎨⎪-∈-⎪+⎪⎩………………………8分（3）若(0,1),x ∈21()4122x x x xf x ∴==++ 又152(2,),22x x +∈ 21()(,),52f x ∴∈ ………………………10分若(1,0),x ∈-21()14122x x xxf x ∴=-=-++ 12()(,),25f x ∴∈--λ∴的取值范围是1221|=0<<<.2552λλλλ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或-或 ………………………12分。

甘肃兰州一中2011—2012学年度下学期期中考试高二数学理试题说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

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第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中只有一个．．．．选项符合题意)1. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60º ”时，应该( ) A ．假设三内角都不大于60 º B ．假设三内角都大于60 º C ．假设三内角至多有一个大于60 º D ．假设三内角至多有两个大于60 º2. 已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）A . 53，-⎛⎝ ⎫⎭⎪π B . 543，π⎛⎝ ⎫⎭⎪ C . 523，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πD . ⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π，3. 由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面 （ ）.A 各正三角形内任一点 .B 各正三角形的某高线上的点 .C 各正三角形的中心 .D 各正三角形外的某点4．参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθ2cos 1sin 22y x （θ为参数）化为普通方程是 （ ）A .042=+-y xB .042=-+y xC .042=+-y x ]3,2[∈x D.042=-+y x ]3,2[∈x5. 极坐标方程2(1cos )5ρθ-=表示的曲线是 ( ) A .圆 B .椭圆 C. 双曲线的一支圆 D ．抛物线6. 某物体运动的位移y （单位：m ）是时间t (单位：s)的函数3221y t t =+-， 当2=t s 时，物体的瞬时速度v 等于 ( )A . 18/m sB . 20/m sC. 15/m sD ．19/m s7. 已知点1P 的球坐标是133(2,,)44P ππ,它的直角坐标为 （ ）.A (11-,, .B (11-.C (11-,, .D (11--,-, 8. 设2()ln(1)f x x =+，则=)2('f （ ）A .15 B .52 C ．45 D ．53 9. 若32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ）A . 2a >或1a <-B . 12a -<<C ．2a ≥或1a ≤-D ．12a a ><-或 10. 函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π的值域为 （ ） A .]21,21[2πe B .)21,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2πe 11. 若()xf x e =，则0(12)(1)limx f x f x →--=（ ） A .e B .e - C ．2e D ．2e -12. 根据条件：a 、b 、c 满足c b a <<，且a+b+c=0，下列推理正确的是 （ ） ①ac a c ()->0，②c b a ()-<0，③22cb ab ≤，④ab ac >A .①②B .②③C .③④D .①④第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13．在同一平面直角坐标系中，直线22=-y x 变成直线42='-'y x 的伸缩变换是 . 14. 若满足2220x y y +-=，且0x y m ++≥恒成立，则m 的范围是__________. 15. 直线221x ty t=+⎧⎨=-+⎩ (t 为参数)上对应t =0, t =1两点间的距离是___________.16. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含()f n 个小正方形. 则()f n 的表达式为 .三、解答题（本大题共4大题,共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (本小题8分)求曲线1xy =及直线y x =，3y =所围成的平面图形的面积.18.（本小题8分）在平面直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为4c o s ,(2),4s i n x y θθθπθ=⎧≤≤⎨=⎩为参数，且0点M 是曲线1C 上的动点.（1） 求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；（2） 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为cos sin 10(0)ρθρθρ-+=>，求点P 到直线l 距离的最大值.19. (本小题8分)在数列{}n a 中， 21,(),(1)n a n N n +=∈+记12(1)(1)(1).n n b a a a =---（Ⅰ）求1b 、2b 、3b 、4b 并推测n b ； （Ⅱ）用数学归纳法证明你的结论.20. (本小题12分)已知函数2()ln(1)1f x ax x =+++，其中0a >. （1）若()f x 在1x =处取得极值，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 在(0,)+∞的单调性；(4)(3)(2)(1)（3）若函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为2，求a 的取值范围.参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 答案B DCD D B A C AADC二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.⎩⎨⎧='='yy x x 4；14. 1,)+∞()2221f n n n =-+；三.解答题（本大题共4大题,共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题共8分）解：做出曲线xy=1及直线y=x ，y=3的草图，则所求面积为阴影部分的面积解方程组 1xy y x =⎧⎨=⎩得直线y=x 与曲线xy=1的交点坐标为（1，1）同理得：直线y=x 与曲线y=3的交点坐标为（3，3） 直线y=3与曲线xy=1的交点坐标为（13，3）………………3分 因此，所求图形的面积为1312311113311(3)(3)(3ln )|(3)|4ln 32S dx x dx x x x x x =-+-=-+-=-⎰⎰ ………8分 18. （本小题共8分）解：(1)设曲线1C 上动点(4cos ,4sin ),(,)M P x y θθ，由中点坐标公式可得2cos ,2sin ,x y θθ==所以点P 的轨迹的参数方程为2cos ,(2),2sin x y θθθπθ=⎧≤≤⎨=⎩为参数，且0消参可得224x y +=……………4分 （2）由题可知直线l 的直角坐标方程为10x y -+=，因为原点到直线的距离为2， 所以点P到直线的最大距离为22+……………8分 19. （本小题共8分） 解：（1）求134b =、246b =、358b =、4610b =，猜想可得22(1)n n b n +=+………. 3分（2）①当1n =时，22(1)n n ++=34，又134b =，猜想正确②假设当n k =时猜想成立，即22(1)k k b k +=+，当1n k =+时，11221(1)[1]2(1)(2)k k k k b b a k k +++=-=-++=22(1)(3)2(1)(2)k k k k k +++⋅++ =3(1)22(2)2[(1)1]k k k k +++=+++，即当1n k =+时猜想也成立由①②可知，对于任何正整数n 都有22(1)n n b n +=+成立. ……….8分20. （本小题共12分）解：（1）22222'().1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-=-=++++因()f x 在1x =处取得极值 所以，'(1)0f =，解得1a =，此时'(0)1,(0)2f f =-=，可得求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为：2y x =-+ .……………3分 （2）易得222'()(1)(1)ax a f x ax x +-=++的分母大于零，①当2a ≥时，220,ax a +-> '()0f x >，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当02a <<时，由'()0f x >可得x >，由'()0f x <解得0x <<所以，函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增.…………6分 （3）当2a ≥时由（2）可知，()f x 在[0,)+∞上处取得最小值(0)2f =，当02a <<时由（2）可知()f x 在x =处取得最小值(0)2f f <=，不符合题意.综上，函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为2时，求a 的取值范围是[2,)+∞.………12分。

兰州一中高二数学下年末试卷高中是重要的一年，大伙儿一定要好好把握高中，查字典数学网小编为大伙儿整理了兰州一中高二数学下期末试卷，期望大伙儿喜爱。

一.选择题(共10题，每题3分)1.不等式的解集是A. B. C. D.2.已知点的极坐标为,则过点且垂直于极轴的直线方程为A. B. C. D.3.参数方程( 为参数)和极坐标方程所表示的图形分别是A.圆和直线B.直线和直线C.椭圆和直线D.椭圆和圆4.如图在△中, ∥, , 交于点,则图中相似三角形的对数为A.1B.2C.3D.45.通过点(1,5)且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移为参数的参数方程是A. B. C. D.6.园的极坐标方程分别是和，两个圆的圆心距离是A.2B.C.D. 57.函数的最小值为A.2B.C.4D.68.下列四个不等式：④恒成立的是A.3B.2C.1D.09.若曲线( 为参数) 与曲线相交于, 两点，则的值为A. B. C. D.10.如图，过圆内接四边形的顶点引圆的切线，为圆直径，若= ，则=A. B.C. D.二.填空题(共5题，每题4分)11.已知直线( 为参数)，( 为参数), 若，则实数.12.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，曲线的方程为.若曲线与有两个不同的交点，则实数的取值范畴是.13. 若为正实数，且，则的最小值是.二.填空题(共5题，每题4分)题号11 12 13 1415答案14. 如图，圆O上一点在直径上的射影为. ，，一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。

这儿的“师资”，事实上确实是先秦而后历代对教师的别称之一。

《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”因此也指教师。

这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副事实上的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。