甘肃省兰州一中2012-2013学年高二上学期期末考试数学试题
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2012~2013学年第一学期高二期末考试数学试题
一、选择题:(本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填在试卷的答题卡中.)
1.若抛物线y 2
=2px 的焦点与椭圆22
162x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .-2 B .2 C .-4 D .4
2.(理)已知向量a =(3,5,-1),b =(2,2,3),c =(4,-1,-3),则向量2a -3b +4c 的坐标为( )
A .(16,0,-23)
B .(28,0,-23)
C .(16,-4,-1)
D .(0,0,9)
(文)曲线y =4x -x 2上两点A (4,0),B (2,4),若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ,则点P 的坐标为( )
A .(1,3)
B .(3,3)
C .(6,-12)
D .(2,4)
3.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有( )
A .1条
B .2条
C .3条
D .4条
4.已知双曲线22
2112
x y a -=的离心率2,则该双曲线的实轴长为( ) A .2 B .4 C .
D .
5.在极坐标系下,已知圆C 的方程为ρ=2cos θ,则下列各点中,在圆C 上的是( )
A .(1,-3π)
B .(1,6π)
C .
,34π) D .
54
π) 6.将曲线y =sin3x 变为y =2sin x 的伸缩变换是( )
A .312x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩
B .312x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩
C .32x x y y '=⎧⎨'=⎩
D .32x x y y
'=⎧⎨'=⎩ 7.在方程sin cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩
(θ为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是( ) A .(2,-7) B .(1,0) C .(12,12) D .(13,23
) 8.极坐标方程ρ=2sin θ和参数方程231x t y t =+⎧⎨
=--⎩(t 为参数)所表示的图形分别为( ) A .圆,圆 B .圆,直线
C .直线,直线
D .直线,圆 9.(理)若向量a =(1,λ,2),b =(2,-1,2),a 、b 夹角的余弦值为
89,则λ=( ) A .2 B .-2
C .-2或255
D .2或-255 (文)曲线y =e x +x 在点(0,1)处的切线方程为( )
A .y =2x +1
B .y =2x -1
C .y =x +1
D .y =-x +1
10.(理)已知点P 1的球坐标是P 1(4,2π,
53π),P 2的柱坐标是P 2(2,6π,1),则|P 1P 2|=( )
A B C D .(文)已知点P 在曲线f (x )=x 4-x 上,曲线在点P 处的切线垂直于直线x +3y =0,则点P 的坐标为( )
A .(0,0)
B .(1,1)
C .(0,1)
D .(1,0)
11.过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A ,B 两点,设双曲线的左顶点M ,若点M 在以AB 为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率e 的取值范围为( )
A .(
32,+∞) B .(1,32) C .(2,+∞) D .(1,2) 12.从抛物线y 2=4x 上一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且|PM |=5,设抛物线的焦点为F ,则△MPF 的面积为( )
A .5
B .10
C .20
D 二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分.请将答案填在试卷的答题卡中.)
13.(理)已知空间四边形ABCD 中,G 是CD 的中点,则1()2
AG AB AC -+= .
(文)抛物线y =x 2+bx +c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx +y +c =0间的距离是 .
14.在极坐标系中,设P 是直线l :ρ(cos θ+sin θ)=4上任一点,Q 是圆C :ρ2=4ρcos θ-3上任一点,则|PQ |的最小值是________.
15.(理)与A (-1,2,3),B (0,0,5)两点距离相等的点P (x ,y ,z )的坐标满足的条件为__________.
(文)函数f (x )=ax 3-x 在R 上为减函数,则实数a 的取值范围是__________.
16.如图,已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A 、B 为左、右焦点,且双曲线过C 、D 两顶点.若AB =4,BC =3,则此双曲线的标准方程为_____________________.
三、解答题:(本大题共4小题,共48分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本题满分12分)
双曲线与椭圆22
12736
x y +=有相同焦点,且经过点4),求其方程.
18.(本题满分12分)
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为:
4
1
5
3
1
5
x t
y t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=--
⎪⎩
(t为参数),若以O为极点,
x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为ρ
θ+
4
π
),求直线l被曲
线C所截的弦长.
19.(本题满分12分)
已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离为5,求抛物线的方程和m的值.
20.(本题满分12分)
(文)已知函数f(x)=x2(x-a).
(1)若f(x)在(2,3)上单调,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)在(2,3)上不单调,求实数a的取值范围.
(理)(本题满分12分)
如图,四棱锥P—ABCD的底面是矩形,P A⊥面ABCD,
P A
AB=8,BC=6,点E是PC的中点,F在AD上且AF:
FD=1:2.建立适当坐标系.
(1)求EF的长;
(2)证明:EF⊥PC.