甘肃省兰州一中2012-2013学年高二上学期期末考试数学试题

兰州一中2010-2011学年第一学期高二年级期末考试数学试题（文）第Ⅰ卷注意：考试时间100分钟，满分100分，选择答案填入答题卡内，交卷时只交第Ⅱ卷。

一、 选择题（本大题包括10小题，每小题4分，共40分）1、若直线m 不平行于平面α，且m α⊄，则下列结论中正确的是 （ ） A 、α内的所有直线与m 异面 B 、α内不存在与m 平行的直线 C 、α内存在唯一的直线与m 平行 D 、α内的直线都与m 相交2、空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上且2OM MA =,N 为BC 的中点，则MN = （ ）A 、121232a b c -+ B 、211322a b c -++ C 、112223a b c +- D 、221332a b c +-3、若直线l 与平面α所成的角为3π，直线a 在平面α内且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是 （ ） A 、2(0,]3π B 、2[,]33ππ C 、(,]32ππ D 、[,]32ππ 4、设椭圆22221(1)1x y m m m +=>-上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为 （ ）A 、6B 、2C 、12 D5 、过双曲线2224x y -=的右焦点F ，作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=这样的直线存在 （ ）A 、一条B 、两条C 、三条D 、四条6、抛物线2y ax =的焦点坐标为 （ ）A 、（14a ，0） B 、(,0)4a C 、1(0,)4a D 、(0,)4a7、在ABC ∆中，若AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，8PA =，则点P 到直线BC 的距离为 （ ）A 、B 、C 、 D8、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （ ）A B C D 9、长方体1111ABCD A BC D -中，12,1,AA AB AD ===点E 、F 、G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是 （ ）A 、arccos5 B 、arccos 5C 、4πD 、2π10已知12,F F 是双曲线22:1C x y -=左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=，则点P 到x 轴的距离为 （ ）A B C D2010-2011-1学期兰州一中高二年级期末考试数学试题及答案（文）第Ⅱ卷一、选择题答题卡二、填空题（本大题包括5小题，每小题4分，共20分）第 3 页 共 8 页 11、已知向量(0,1,1)a =-，(4,1,0),||29b a b λ=+=且0λ>，则λ= ３ .12、已知圆心在x 轴上，C 位于y 轴左侧，且与直线0x y +=相切，则圆C 的方程是22(2)2x y ++=.13、已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲E0y ±=.14、若抛物线C:22y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为4π的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，点A 在x 轴的上方，则||||AF FB = 15、给出下面四个命题：①“直线//a 直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在平面”； ②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a 、b 为异面直线”的充分而不必要条件是“直线a 、b 不相交”；④“平面α//平面β”的必要而不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等. 其中真命题的序号是 ② ④ .(写出所有真命题的序号)三、 解答题（本大题包括5小题，共40分）16、（8分）如图，在正方体''''ABCD A B C D -中，E 、F 分别为'DD 、''C D 的中点. （Ⅰ）求证：'//B F 平面'A BE ；（Ⅱ）求直线BE 和平面''ABB A 所成角的正弦值. （Ⅰ）证明：连结'AB 交'A B 于O ，''ABB A 是正方形，O ∴为正方形''ABB A 的中心，连结OE 、EF ，则'//EF OB ，且'EF OB =，∴四边形'EFB O 是平行四边形， ∴'//EO FB ，又点'B 不在平面'A BE 上，∴'//B F 平面'A BE （３分） （Ⅱ）取'AA 的中点M ，连结EM ，BM ．∵E 是'DD 的中点，四边形''ADD A 是正方形，∴//.EM AD又AD ⊥平面''ABB A ，∴EM ⊥平面''ABB A ，从而BM 是BE 在平面''ABB A 上的射影，EBM ∠是直线BE 和平面''ABB A 所成的角。

甘肃兰州一中2012—2013学年度上学期期末考试高一数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）.1.300tan 的值为 （ ）A.33 B. 33- C. 3 D. 3-2. 已知(4,1),(1,)AB BC k ==-，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为 （ ） A. 4 B. 4- C. 14-D. 143．已知两个单位向量12,e e 的夹角为θ，则下列结论不正确．．．的是 （ ） A ． 12e e 在方向上的投影为cos θ B ． 121e e ⋅=C ． 2212e e =D ． 1212()()e e e e +⊥-4. 已知 D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ）A ．0AD BE CF ++=B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-= D. 0BD BE FC --=5. 已知扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，则扇形的面积为 （ ）A. 2B. 4C. 8D. 166. 下列关系式中正确的是 （ ）EFDABCA. sin11cos10sin168<<B. sin11sin168cos10<<C. sin168sin11cos10<<D. sin168cos10sin11<<7. 已知3sin(30)2α+=，则cos(60)α-的值为 （ ） A.12 B. 12- C. 32D. 32- 8. 若1,2,,a b c a b c a ===+⊥且，则向量a b 与的夹角为 （ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 1509. 已知平面上四点A ，B ，C 满足()0BC BA AC +⋅=，则△ABC 的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形10. 已知3cos()45x π+=-，且x 是第三象限角，则1tan 1tan x x +-的值为 （ ） A. 34－ B. 43－ C. 34 D. 4311. 已知函数()sin(),(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，将)(x f y =的图像向左平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是 （ ） A.2π B. 83π C. 4π D. 8π12. 已知A ，B ，C 三点不在同一条直线上，O 是平面ABC 内一定点，P 是△ABC 内的一动点，若1(),[0,)2OP OA AB BC λλ-=+∈+∞，则直线AP 一定过△ABC 的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 函数1tan y x =-的定义域是 __________________________. 14. 函数2sin cos y x x =+的值域是________________________. 15. 下面四个命题中，其中正确命题的序号为____________.① 函数()tan f x x =是周期为π的偶函数；② 若βα、是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >；③ 8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程； ④ 在(,)22ππ-内方程tan sin x x =有3个解.16. 在△ABC 中，AB = 4，AC = 3，60A ∠=，D 是AB 的中点，则CA CD ⋅=______. 三、解答题（本大题共5小题，共48分）17. （6分）已知点A (1,1)-，点B (1,2)，若点C 在直线3y x =上，且AB BC ⊥.求点C 的坐标.18. （8分）已知sin()3sin()2()112cos()cos(5)2f παπααπαπα++--=---. （Ⅰ）化简()f α； （Ⅱ）已知tan 3α=，求()f α的值．19．（11分）已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，255a b -=． （Ⅰ）求cos()αβ-的值； （Ⅱ）若02πα<<，02πβ-<<，且5sin 13β=-，求sin α．20. （11分）已知向量(3,cos2),(sin 2,1),(0)a x b x ωωω==>，令(),f x a b =⋅且)(x f 的周期为π． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若[0,]2x π∈时()3f x m +≤，求实数m 的取值范围．21. （12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)A ωϕπ>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值3；当712x π=时，()f x 取得最小值3-. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅲ）若,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()2()1h x f x m =+-有两个零点，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题（本小题共12小题，每小题3分，共36分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCBABBCCADDA二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. (,]24k k k Z ππππ-++∈ 14. 5[1,]4- 15. ①③ 16. 6 三、 解答题（本大题共5小题，共48分）17.【解析】设C （x ，3x ），则(2,1),(1,32)AB BC x x ==--44122(21)320(,)555x x x C ∴-+-=∴=∴ ……………6分18．【解析】（Ⅰ）cos 3sin ()2sin cos f ααααα+=-+ ……………4分（Ⅱ）13tan 10()22tan 15f ααα+===--+- ……………8分 19．【解析】（Ⅰ）||1,||1a b == 又24||5a b -=432255a b a b ∴-⋅=∴⋅= 即3cos cos sin sin 5αβαβ+=()3cos 5αβ∴-= ……………5分（法二）(cos ,sin )a αα=， (cos ,sin )b ββ=，()cos cos sin sin a b αβαβ∴-=--，．255a b -=， ()()2225cos cos sin sin 5αβαβ∴-+-=， 即 ()422c o s 5αβ--=， ()3c o s 5αβ∴-=． （Ⅱ）0,0,022ππαβαβπ<<-<<∴<-<，()3cos 5αβ-=， ()4sin .5αβ∴-=5sin 13β=-， 12cos 13β∴=，()()()sin sin sin cos cos sin 412353351351365ααββαββαββ∴=-+=-+-⎡⎤⎣⎦⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭……………11分20. 【解析】（Ⅰ）()3sin2cos22sin(2)6f x a b x x x πωωω=⋅=+=+∵)(x f 的周期为π ∴1=ω ()2s i n (2)6f x x π∴=+ ……………5分（Ⅱ）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦1sin(2)[,1]62x π∴+∈- ()[1,2]f x ∴∈- 231m m ∴+≤∴≤ ……………11分21. 【解析】（Ⅰ）由题意，3A = 72(),1212T πππ=-= 2 2.Tπω== ……2分 由22122k ππϕπ⨯+=+ 得2,3k k Z πϕπ=+∈又 ,3ππϕπϕ-<<∴=()3s i n (2)3f x xπ∴=+ ……4分（Ⅱ）由3222232k x k πππππ+≤+≤+ 得722266k x k ππππ+≤≤+ 71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈7(),]1212f x k k k Z ππππ∴++∈函数的单调递减区间为[……8分 （Ⅲ）由题意知，方程1sin(2)36m x π-+=在,]36ππ[-上有两个根.2,]2,]36333x x πππππ∈∴+∈[-[-13,1)[331,7)62m m -∴∈∴∈+[ ……12分。

2012—2013学年度上学期期中考试高二数学试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中.）1. 算法共有三种逻辑结构:顺序结构,条件结构,循环结构,在下列说法中正确的是( ) A.一个算法中只能含有一中逻辑结构 B.一个算法中最多可以含有以上两种逻辑结构 C.一个算法中必须含有以上三种逻辑结构 D.一个算法中可以含有以上三种逻辑结构2. 如图所示的程序框图中,输出S 的值为( )A.10B.12C.15D.18 3. 数4557、1953、5115的最大公约数应该是 （ ）A ．651B ．217C ． 93D ．314．取一根长度为3m 的绳子拉直后在任意位置剪断,则剪断后 两段绳子的长度均不小于1m 的概率为( ) A.21 B.31 C.41D .不能确定 5. 已知0a >，函数2(),f x ax bx c =++若0x 满足关于x 的 方程20,ax b +=则下列为假命题的是则（ ）A. 0,()()x f x f x ∃∈≤R ，B. 0,()()x f x f x ∃∈≥RC. 0,()()x f x f x ∀∈≤RD. 0,()()x f x f x ∀∈≥R6.x 是12100,,,x x x 的平均值， 1a 是1240,,,x x x 的平均值，2a 是4142100,,,x x x 的平均值，则下列式子正确的是（ ）A .12235a a x +=B .12325a a x += C .12x a a =+ D .122a a x +=7．已知焦点在y 轴上的椭圆方程为22174x y m m +=--，则m 的范围为（ ） A ．（4,7） B .（5.5,7） C .(7,)+∞ D .(,4)-∞8. 对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表：x 2 4 5 68第2题A. 6.517y x =+B. 6.518y x =+C. 6.517.5y x =+D. 6.527.5y x =+9．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是（ ）A .12 B .13 C .14 D .1510. 以半径为1的圆内任一点为中点作弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是（ ）A .12 B .13 C .14 D .1511. “3x ≠或5y ≠”是“15xy ≠”的（ ）A .充分不必要条件B . 必要不充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件12．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

甘肃兰州一中2013—2014学年度上学期期中考试高二数学试题说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）第I 卷（选择题）一、选择题(每小题3分，共36分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．)1．看下面的四段话，其中是解决问题的算法的是A．把高一5班的同学分成两组，高个子参加篮球赛，矮个子参加拔河比赛.B．把高一5班的同学分成两组，身高达到170 cm的参加篮球赛，不足170 cm的参加拔河比赛.C．做饭必须有米.D．从2开始写起，后一个数为前一个数与2的和，不断地写，写出所有偶数.2. 某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法3. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:50,60),70,80), 90,100hslx3y3h加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为A．588 B．480 C．450 D．120（第3题）4．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是A ．至少有1个白球，都是白球B ．至少有1个白球，至少有1个红球C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至少有1个白球，都是红球5．总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成. 利用下面的随机数表选取5个个体，选 取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则 选出来的第5个个体的编号为A ．08B ．07C ．02D ．016. 两名运动员成绩的标准差分别是12,s s ，12,x x ,分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有A ．12x x =，12s s <B ．12x x =， 12s s >C ．12x x >， 12s s >D ．12x x =， 12s s = 7. 设集合M={x | x >2},P={x |x <3},那么“x ∈M,或x ∈P”是“x ∈（M∩P ）”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. “若x ≠a 且x ≠b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0”的否命题是A ．若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝0B ．若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0C ．若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0D ．若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝09. 在下列叙述中，正确的是①""q p ∧为真命题是""q p ∨为真命题的充分不必要条件 ②""q p ∧为假命题是""q p ∨为真命题的充分不必要条件 ③""q p ∨为真命题是""p ⌝为假命题的必要不充分条件④""p ⌝为真命题是""q p ∧为假命题的必要不充分条件 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④10．从数字1，2，3，4，5中任取三个数字，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数大于400的概率是A ．52 B ．32 C ．72 D ．43 11．对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表：x2 4 5 6 8 y3040605070若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为 A. 6.517y x =+ B. 6.518y x =+ C. 6.517.5y x =+ D. 6.527.5y x =+ 12. 在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为 A ．31 B ．π2C ．21D ．32 第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共24分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．） 13. 91和49的最大公约数为 .14.下列说法中正确的是 （请将你认为正确的序号填在横线上） ①平均数不受少数几个极端值的影响，中位数受样本中的每一个数据影响；②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大；③用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确；④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型．15． 已知函数y ＝⎩⎨⎧-+，x ，x 232 流程图表示的是给定 x x ≤3,x ＞3值，求其相应函数值的算法．请将该流程图补充完整．其中①处应填 ， ②处应填 ，若输入x ＝3，则输出结果为16.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下图: 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_____________.17. 10010011(2) = (10) = (8). 18. 命题“200,10x R x ∃∈+<”的否定是 .三、解答题（本题共4小题，共40分）19．（8分）袋中装有5个均匀的红球和白球，其中红球4个，白球1个.(1)从袋中不放回地摸出两个球，则摸到白球的概率是多少？ (2)从袋中有放回地摸出两个球，则摸到白球的概率是多少？20.（8分）假定在银行中存款10 000元，按11.25％的年利率，即一年后连本带息将变为11125元，若将此款继续存人银行，试问这10000元经过几年就会连本带利翻一番？请用直到型或当型写出框图并写出相应程序.(第16题)21. （12分）乳制品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5，现从一批该乳制品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（1）若所抽取的20件乳制品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值；（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的乳制品记为123,,x x x ，等级系数为5的乳制品记为12,y y ，现从这5件乳制品12312,,,,x x x y y 中任取两件（假定每件乳制品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件乳制品的等级系数恰好相同的概率.22. （12分）已知命题p :方程x 2＋mx ＋1=0有两个不等的负根；命题q :方程 4x 2＋4(m －2)x＋1＝0无实根，若""q p ∨为真命题，""q p ∧为假命题，求实数 m 的取值范围 ．参考答案高二数学答案第I 卷（选择题）一、选择题(每小题3分，共36分)第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共24分）13． 7 14． ③15． ?3≤x ， 23x y -= ， 516． 2 17． 147(10) ， 223(8)18． 01,2≥+∈∀x R x 使得三、解答题（共4题，共40分）19．（8分）袋中装有5个均匀的红球和白球，其中红球4个，白球1个.(1)从袋中不放回地摸出两个球，则摸到白球的概率是多少？ (2)从袋中有放回地摸出两个球，则摸到白球的概率是多少？ 解：记事件A 为摸到白球；则（1）52451441)(=⨯⨯+⨯=A p …………………………4分（2）2595511441)(=⨯+⨯+⨯=A p …………………………4分 20. 解 直到型： 当型：直到型当型21.（12分）解：（1）由频率分布表得 0.30.351a b c ++++=，即0.35a b c ++=．因为所抽取的20件乳制品中，等级系数为4的恰有3件，所以30.1520b ==， 又因为所抽取的20件乳制品中，等级系数为5的恰有2件，所以20.120c ==，于是0.350.150.10.1a =--=．所以0.1a =，0.15b =，0.1c =． …………………………6分 （2）从5件乳制品12312,,,,x x x y y 中任取两件，所有可能的结果为：{}{}{}{}{}1213111223,,,,,,,,,x x x x x y x y x x {}{}{}{}{}2122313212,,,,,,,,,x y x y x y x y y y所以所有可能的结果共10个．设事件A 表示“从这5件乳制品12312,,,,x x x y y 中任取两件，等级系数恰好相等”，则A 包含的事件为{}{}{}121323,,,,,x x x x x x ，{}12,y y 共4个，所以所求的概率()40.410P A ==． ……………12分22.（12分） 解： 若方程x 2＋mx ＋1=0有两不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆042m m 解得m ＞2，即p ：m ＞2 …………………………2分 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0 …………………………4分 解得：1＜m ＜3.即q ：1＜m ＜3. …………………………6分 因“p 或q ”为真，所以p 、q 至少有一为真，又“p 且q ”为假，所以p 、q 至少有一为假， 因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真.∴⎩⎨⎧<<≤⎩⎨⎧≥≤>312312m m m m m 或或 …………………………10分解得：m≥3或1＜m≤2. …………………………12分。

兰州一中2011—2012学年度高三期末考试数学试题（理）注意：该试卷总分150分，考试时间120分钟，交卷时只交答题卡．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案直接涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．在复平面内，复数1ii+＋（1＋3i ）2对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知25,2(),1,2x x f x x -≠⎧=⎨=⎩则下列结论正确的是 （ ）A ．()f x 在2x =处连续B ．(2)1f =-C ．2lim ()1x f x →= D ．2lim ()1x f x →=-3．下列命题中错误的是 （ ）A ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βD ．如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l αβ=，那么直线⊥l 平面γ4．已知}{n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为}{n a 的前n 项和，*N n ∈，则10S 的值为（ ）A ．110-B ．90-C ．90D ．1105．若实数a ，b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补，记(,)a b a b ϕ=-，那么(,a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件6． 若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．222a b ab +>B．a b +≥C．11a b +> D ．2b aa b+≥ 7．已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为,1)，则z O M O =⋅的最大值为（ ）A ．3B ．4C．D．8．sin(2)3y x π=+的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点(,0)12π-中心对称（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移12π个单位D ．向右平移6π个单位9．若()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12xf x =+，则()f x 的反函数的图像大致是（ ）10． 有6个座位连成一排，三人就座，恰有两个空位相邻的概率是（ ）A ．45 B ．35 C ．25D ．1511．已知圆O ：221x y +=，点P 是椭圆C ：2214x y +=上一点，过点P 作圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，则OMN ∆的面积的最小值是（ ）A ．12 B ．1 C ．14D12．已知球的直径SC = 4，A ，B是该球球面上的两点，AB =30ASC BSC ∠=∠=︒，则棱锥S -ABC的体积为（ ）A． B． CD ．19二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 13．已知||||2a b ==，(2)()2a b a b +-=-，则a 与b 的夹角为 ． 14．已知1sin cos 2αα=+，且(0,)2πα∈，则cos 2sin()4απα-的值为 ． 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是 ．16．函数)(x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且)()(21x f x f =时总有21x x =，则称)(x f 为单函数．例如，函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数．下列命题： ①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数；②若)(x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠则)()(21x f x f ≠； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④函数)(x f 在某区间上具有单调性，则)(x f 一定是该区间上的单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程．17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，a =，tantan 4,22A B C++=2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c ．18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4， E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合． （I ）当1CF =时，求证：1EF A C ⊥；（II ）设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值．19．（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0．6,0．5,0．5，假设各盘比赛结果相互独立．（I ）求红队至少两名队员获胜的概率； （II ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ．20．（本小题满分12分）设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数/1()f x x=，/()()().g x f x f x =+（I ）讨论()g x 与1()g x的大小关系； （II ）求a 的取值范围，使得1()()g a g x a-<对任意0x >成立．21．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，若n a S n n +=2，且11+-=n n n n a a a b ，数列}{n b 的前n 项和为n T ． （I ）求证：}1{-n a 为等比数列； （Ⅱ）求n T ；（III ）设*()(21)ln(21)1,()nnf x x x x n N =-+-+-+∈，求证：().2(1)nn T f x T ≥+22．（本小题满分12分）))(,(000a x y x P ±≠是双曲线)00(1:2222>>=b a by a x E ，-上一点，M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM 、PN 的斜率之积为.51（I ）求双曲线的离心率； （II ）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线E 于B A ，两点，O 为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值．参考答案一、1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C 9．A 10．B 11．A 12．C 二、13．3π14．2- 15．)1(21e e + 16．②③④ 三、17．由tan tan 422A B C ++=得cot tan 422C C +=，∴cossin224sin cos 22C CC C +=， ∴14sin cos 22C C =，∴1sin 2C =，又(0,)C π∈，∴566C C ππ==，或． ∴B C =，6B C π==，2()3A B C ππ=-+=．由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得1sin 2sin Bb c a A ====．18．解法一：过E 作EN AC ⊥于N ，连结EF ．（I ）如图1，连结NF 、1AC ，由直棱柱的性质知，底面ABC ⊥侧面1A C ． 又底面ABC侧面1A C =A C ，且EN ⊂底面ABC ，所以EN ⊥侧面1A C ，∴NF 为EF 在侧面1A C 内的射影，在Rt CNE ∆中，cos60CN CE =︒=1，则由114CF CN CC CA ==，得NF //1AC ，又11,AC AC ⊥故1NF A C⊥，由三垂线定理知1.EF A C ⊥（II ）如图2，连结AF ，过N 作NM AF ⊥于M ，连结ME ，由（I ）知EN ⊥侧面1A C ， 根据三垂线定理得EM AF ⊥,所以EMN ∠是二面角C —AF —E 的平面角，即EMN θ∠=． 设,045FAC αα∠=︒<≤︒则，在Rt CNE ∆中，sin 60NE EC =⋅︒=在,sin 3sin ,Rt AMN MN AN a a ∆=⋅=中故tan NE MN θ==又0,0sin 42παα<≤∴<≤sin 2α=即当45α=时，tan θ达到最小值，tan θ==，此时F 与1C 重合．解法二：（I ）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得1(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(0,4,1),A B C A E F于是1(0,4,4),(3,1,1).CA EF =-=-1(0,4,4)(,1)0440,CA EF ⋅=-⋅=-+= 故1.EF A C ⊥（II ）设(04)CF λλ=<≤平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z =， 则由（I ）得(0,4,)F λ，(3,3,0),(0,4,),AE AF λ== 于是由,m AE mAF ⊥⊥可得0,30,40.0,m AE y y z m AF λ⎧⋅=+=⎪⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩即 取,,4).m λ=-又由直三棱柱的性质可取侧面1AC 的一个法向量为(1,0,0)n =，于是由θ为锐角可得||cos ||||m n m n θ⋅=⋅θtan θ，由04λ<≤，得114λ≥，即tan θ≥故当4λ=，即点F 与点1C 重合时，tan θ 19．解：（I ）设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ， 则,,D E F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B ，丙不胜C 的事件．因为()0.6,()0.5,()0.5P D P E P F ==+=，()0.4,()0.5,()0.5P D P E P F ∴==+=． 红队至少两人获胜的事件有：,,,DEF DEF DEF DEF ，由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率()()()()0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（II ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3．又由（I ）知,,DEF DEF DEF 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此(0)()0.40.50.50.1P P DEF ξ===⨯⨯=，(1)()()()0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35P P DEF P DEF P DEF ξ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(3)()0.60.50.5P P D E F ξ===⨯⨯=，由对立事件的概率公式得(2)1[(0)(1)(3)]0.4.P P P P ξξξξ==-=+=+==所以ξ的分布列为：因此00.110.3520.43 1.5 1.6.E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=20．解：（I ）∵/1()f x x=，∴()ln f x x c =+（c 为常数），又∵(1)0f =，所以ln10c +=，即0c =，∴1()ln ,()ln f x x g x x x ==+，∴/21()x g x x-=，令/()0g x =得1x =，当x ∈（0，1）时，/()0g x <，()g x 是减函数，故（0,1）是()g x 的单调减区间。

甘肃省兰州一中2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）新人教B版说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分•满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）第I卷（选择题）一、选择题（每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上）1 •若点M到定点F i（0, -1）、F2（0,1）的距离之和为2,则点M的轨迹为A.椭圆B.直线F1F2C.线段F1F2D.直线F1F2的垂直平分线【答案】C【解析】因为MF,|MF2=2 =FT2 ,所以点M的轨迹为线段RF?。

2.若a = b,且ab = 0,则曲线bx-y+a=0和ax2 by2 = ab的形状大致是下图中的【答案】A2 2【解析】直线方程y=bx+a，圆锥曲线方程—•丄=1:b a、x2 y2当a 0,b・0且a =b时，圆锥曲线方程1表示椭圆，此时直线方程y=bx+a的斜b a率为正，在y轴上的截距为正，因此选项BD错误；2 2当a 0,b <0时，圆锥曲线方程—1 =1表示焦点在y轴上的双曲线，此时直线方程b a当1-k 2=0时，要满足题意，须： 厶=16k 2,24 1-k 2 = 0,即k 二 3 ,y=bx+a 的斜率为负，在 y 轴上的截距为正，因此选项C 错误，因此选 A 。

3.下列命题中正确的是A.若a//b ，b//c ，则a 与c 所在直线平行B. 向量a 、b 、c 共面即它们所在直线共面C. 空间任意两个向量共面D. 若a//b ，则存在唯一的实数，，使a 「b 【答案】C【解析】A.若a//b ，b//c ，则a 与c 所在直线平行，错误。

当 b=0时不成立;B. 向量a 、b 、c 共面即它们所在直线共面，错误。

因为空间平行的向量也是共面的;C. 空间任意两个向量共面，正确；D.若a//b ，则存在唯一的实数•，使a 二• b ，错误，当b=0时不成立。

甘肃省兰州市第一高二上学期期末考试数学试卷说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）第I 卷（选择题）一、选择题(每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．) 1．如果命题pq 为真命题，pq 为假命题，那么（ ）A ．命题p 、q 都是真命题B ．命题p 、q 都是假命题C ．命题p 、q 至少有一个是真命题D ．命题p 、q 只有一个真命题 2．过点P （2,4）且与抛物线y 2=8x 有且只有一个公共点的的直线有（ ） A ．0条 B ． 1条 C ．2 条 D ． 3条 3．双曲线22549x y -=-的一条渐近线方程是 ( )A ．230x y -=B ．320x y +=C ．940x y -=D ．490x y -= 4．曲线()2216106xym mm+=<--与曲线()2215959xn nny +=<<--的（）A ．焦距相等B ．离心率相等C ．准线相同D ． 焦点相同 5．设点()()()3,3,1,1,0,5,0,1,0A B C ，则AB 的中点到C 的距离为（ ）A 4B ．2C 4D ．26．下列命题错误．．的是 ( ) A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”. B ．若命题:R p x ∃∈，210x x ++=，则“p ⌝”为：2R 10x x x ∀∈++≠，.C ．若命题p :1,x <-或1x >；命题q :2,x <-或1x >，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件.D ．“2x > ”是“2320x x -+>”的充分不必要条件.7．已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-，且()()2ka b a b +⊥-，则k 的值为（ ） A ． 1 B ．75C ．35D ．158．已知线段AB 、BD 在平面α内，∠ABD =120°，线段AC ⊥α，如果AB =a ，BD =b ，AC =c ，则线段CD 的长为（ ）A B C D 9．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 1、F 1分别是A 1B 1、C 1D 1上的点，并且4B 1E 1＝4D 1F 1＝A 1B 1，则BE 1与DF 1所成角的余弦 值是（ ）A 2B ．12C ．817D ．151710．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 ( ) A ． (1，+∞) B ．(1,2) C ．(1,1+2) D ．(2,1+2)第II 卷（非选择题）二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共18分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．） 11．已知点()3,1A ，在抛物线22y x =上找一点P ，使得PF PA +取最小值（F 为抛物线的焦点），此时点P 的坐标是 . 12．对于以下命题：①a b a b -=+是,a b 共线的充要条件；②对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若2OP OA OB OC =-+，则P 、A 、B 、C 四点共面. ③如果0<⋅,那么与的夹角为钝角④若{},,a b c 为空间一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底； ⑤若23,246m a b c n a b c =-+=-+-，则//m n . 其中不正确结论的序号是___________________. 13．已知椭圆22162x y +=与双曲线2213x y -=的公共焦点为F 1，F 2，点P 是两条曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2的值为 .14．若椭圆221(0,0)mx ny m n +=>>与直线10x y +-=交于A ，B 两点，若:m n =，则过原点与线段AB 的中点M 的连线的斜率为 ．参考答案第I 卷（选择题）一、选择题二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共16分）11．1,12⎛⎫⎪⎝⎭12．①③ 13．13 14三、解答题（本题共5小题，共54分）15．（本小题满分10分）已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，，且过点(4, （Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若点()3,M m 在双曲线上，求证：120MF MF ⋅=.解析：（Ⅰ）由题意，可设双曲线方程为22x y λ-=，又双曲线过点(4,， 解得6λ=故双曲线方程为226x y -=. ……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a b ==，c =， ∴()1F -，()2F∴ ()13,MF m =--，()23,MF m =--， ∴2123MF MF m ⋅=-，又点()3,M m 在双曲线上， ∴ 296m -=， ∴23m =，即120MF MF ⋅=.……………………………10分16．(本小题满分10分) 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB和BC 的中点，试在棱B 1B 上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.证明：分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B1(1,1,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0， M (1,1，m )．∴AC →＝(－1,1,0)，又E 、F 分别为AB 、BC 的中点，∴EF →＝12AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 又∵B 1E →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－1，D 1M →＝(1,1，m －1)， ∵D 1M ⊥平面FEB 1，∴D 1M ⊥EF 且D 1M ⊥B 1E .即D 1M →·EF →＝0，且D 1M →·B 1E →＝0. ∴⎩⎨⎧－12＋12＋(m －1)·0＝00－12＋(1－m )＝0，∴m ＝12.故取B 1B 的中点M 就能满足D 1M ⊥平面EFB 1.17．（本小题满分10分）已知定点A （1,0）和定圆B ：,x y x 015222=-++动圆P 和定圆B 相切并过A 点，（Ⅰ）求动圆P 的圆心P 的轨迹C 的方程.（Ⅱ）设Q 是轨迹C 上任意一点，求AQB ∠的最大值. 解析：（Ⅰ）设)y ,x (P ，则24>=+PB PA ,∴所以点P 的轨迹是以A ,B 为焦点，长轴长为4的椭圆所以点P 的轨迹方程是13422=+y x ……………………………………………………4分 （Ⅱ）设,n QB ,m QA ==则4=+n m2112616242242222=-+≥-=--+=-+=∠∴)n m (mn mn mn )n m (mn n m AQB cos当且仅当n m =时取“=”，),(AQB π0∈∠ ，∴AQB ∠的最大值是3π.……………………………………………………10分 注：其它解答参考给分.18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,22ACB AC AA BC ∠====. （Ⅰ）若D 为1AA 中点，求证：平面1B CD ⊥平面11B C D ； （Ⅱ）若二面角B 1—DC —C 1的大小为60°，求AD 的长. 解法1：（Ⅰ）∵11190AC B ACB ∠=∠=，∴1111B C AC ⊥，又由直三棱柱性质知111B C CC ⊥，∴11B C ⊥平面ACC 1A 1.∴11B C CD ⊥……① 由D为中点可知，1DC DC ==22211DC DC CC +=即1CD DC ⊥……②由①②可知CD ⊥平面11B C D ，又CD ⊂平面1B CD ，故平面1B CD 平面11B C D .………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（1）可知11B C ⊥平面ACC 1A 1，如图，在面ACC 1A 1内过C 1作1C E CD ⊥，交CD 或延长线或于E ，连EB 1，可知11B EC ∠为二面角B 1—DC —C 1的平面角， ∴1160.B EC ∠= 由B 1C 1=2知，13C E =， 设AD=x，则DC =∵11DC C ∆的面积为1，∴13321212=⋅+⋅x ，解得x =AD ……………………………………………………12分C 11A 1BA DC解法二：（Ⅰ）如图，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 则 C （0，0，0），A （1，0，0），B 1（0，2，2），C 1（0，0，2），D （1，0，1）即11(0,2,0),(1,0,1),(1,0,1)C B DC CD ==-=0101)1,0,1()1,0,1(;,0000)0,2,0()1,0,1(111=++-=-⋅=⋅⊥=++=⋅=⋅DC CD B C CD C 由得由得1CD DC ⊥；又111DC C B C =，∴CD ⊥平面B 1C 1D .又CD ⊂平面B 1CD ，∴平面1B CD 平面11B C D …………………………………………6分（Ⅱ）设AD=a ，则D 点坐标为（1，0，a ），1(1,0,)(0,2,2)CD a C B ==，设平面B 1CD 的法向量为(,,)m x y z =. 则由,1,0220001-=⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅z z y ax x CB 令 得(,1,1)m a =-， 又平面C 1DC 的法向量为(0,1,0)n =，则由212160cos 2=+a，即a =，故AD = ………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）已知两点)0,1(1-F 及)0,1(2F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且1PF 、21F F 、2PF 构成等差数列．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C共点，点,M N 是直线l 上的两点，且12,F M l F N l ⊥⊥求四边形12F MNF 面积S 的最大值．解析：(Ⅰ)依题意，设椭圆C 的方程为22221x y a b+=．1122PF F F PF 、、构成等差数列，11222242a PF PF F F a ⇒=+==⇒=．又1c =，故23b =．从而，椭圆C 的方程为22143x y +=． …………………………………………4分 (Ⅱ)将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程223412x y +=中，得：01248)34(222=-+++m kmx x k ． ……………………5分 由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=，化简得：2243m k =+． …………………………6分设11d F M ==，22d F M ==， …………………………8分（法一）当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ， 则12tan d d MN θ-=⨯，12d d MN k-⇒=， 22121212221()221m d d d d S d d k k k --=+==+mm m m 1814322+=+-=， …………………………10分又2243m k =+，∴当0k ≠时，3>m ，3343131=+>+m m ，32<S ． 当0=k 时，四边形12F MNF是矩形，S =．故四边形12F MNF 面积S的最大值为 ……………………………12分（法二）222222212222()2(53)11m k k d d k k +++=+==++，222122233311m k k d d k k -+====++．MN ⇒===．四边形12F MNF 的面积121()2S MN d d =+)(11212d d k ++=， ………10分22221222122)1(1216)2(11++=+++=k k d d d d k S12)211(41622≤-+-=k ．当且仅当0k =时，212,S S ==max S =所以四边形12F MNF 的面积S的最大值为…………………………………12分。

兰州一中2011—2012学年度高三期末考试数学试题（理）注意：该试卷总分150分，考试时间120分钟，交卷时只交答题卡． 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案直接涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．在复平面内，复数1ii+＋（1＋3i ）2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知25,2(),1,2x x f x x -≠⎧=⎨=⎩则下列结论正确的是（ )A ．()f x 在2x =处连续B ．(2)1f =-C ．2lim ()1x f x →= D ．2lim ()1x f x →=-3．下列命题中错误的是（ ）A ．如果平面⊥α平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βD ．如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l αβ=，那么直线⊥l 平面γ4．已知}{na 为等差数列，其公差为2-,且7a 是3a 与9a 的等比中项，nS 为}{na 的前n 项和，*N n ∈，则10S 的值为（ ）A ．110-B ．90-C．90D ．1105．若实数a ，b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b互补，记(,)a b a bϕ=-，那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件6． 若,a b R∈，且ab >,则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．222ab ab +>B．a b +≥C．11ab +>D ．2b a ab+≥7．已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为 （ ）A ．3B ．4 C．D．8．sin(2)3y x π=+的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点(,0)12π-中心对称( ）A ．向左平移12π个单位B ．向左平移6π个单位C ．向右平移12π个单位D ．向右平移6π个单位9．若()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12xf x =+，则()f x 的反函数的图像大致是（ ）10． 有6个座位连成一排，三人就座,恰有两个空位相邻的概率是（ ）A ．45B ．35 C．25D ．1511．已知圆O ：221xy +=，点P 是椭圆C ：2214x y +=上一点,过点P 作圆O 的两条切线PA 、PB,A 、B 为切点，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，则OMN ∆的面积的最小值是（ ）A ．12B ．1C ．14D ．2212．已知球的直径SC = 4，A ，B 是该球球面上的两点，3AB =,30ASC BSC ∠=∠=︒，则棱锥S —ABC 的体积为 （ ）A ．33B ．23C ．3D ．19。

2012—2013学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）本试卷共120分,考试时间120分钟一、选择题 ：(本大题共12小题 ，每小题4分，共48分,只有一项符合题目要求.请将答案填入答题栏内。

)1. 1x >是2x >的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 已知命题p q ,，若命题“p ⌝”与命题“p q ∨”都是真命题，则 （ ）A ．p 为真命题，q 为假命题B ．p 为假命题，q 为真命题C ．p ，q 均为真命题D ．p ，q 均为假命题 3．设M 是椭圆22194x y +=上的任意一点，若12,F F 是椭圆的两个焦点，则12||||MF MF + 等于（ ）A ． 2B ． 3C ． 4D ． 6 4．命题0p x x ∀∈≥R ：，的否定是 （ ）A ．0p x x ⌝∀∈<R ：，B ．0p x x ⌝∃∈≤R ：，C ．0p x x ⌝∃∈<R ：，D ．0p x x ⌝∀∈≤R ：，5. 抛物线24y x =的焦点到其准线的距离是 （ ）A ．4 B ． 3 C ． 2 D ． 16. 已知方程11222=+-+m y m x 表示双曲线，则m 的取值范围是 （ ）A ．m<2B ．1<m<2C ．m<－2或m>－1D ．m<－1或1<m<27. 下列各组向量平行的是 ( )A (1,1,2),(3,3,6)=-=--a bB ．(0,1,0),(1,0,1)==a bC ．(0,1,1),(0,2,1)=-=-a bD ．(1,0,0),(0,0,1)==a b8. 在空间四边形OABC 中，OA AB CB +-等于 ( )A ．OAB ．ABC ．OCD ．AC9．过抛物线 y 2= 4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1, y 1）B （x 2, y 2）两点，如果21x x +=6，那么AB ＝ （ ）A ．6B ．8C ．9D ．1010．已知向量(2,3,1)=a ，(1,2,0)=b ，则-a b 等于 ( )A ．1 B．3 D ．9 11. 如图，在三棱锥A BCD -中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB DC =，E 为BC 中点，则AE BC ⋅ 等于 ( )A ．0B ．2C ．1D ． 312．已知点F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b +=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆的离心率e 为 （ ） A.1213二．填空题:(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在 答卷纸的相应位置上)．13．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是________________________; 否命题是______________________.14．=+⋅==-=)(),2,2,0(),3,0,2(),1,3,2(c b a c b a则已知___________.15. 若双曲线与椭圆1362722=+y x有相同焦点，且经过点，则双曲线的方程 是_______________________.16. 如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是___________.AE D CB三. 解答题:(本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)．17. (本题满分8分) 分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假． （1）若四边形是矩形，则它的对角线相等且互相平分；（2）正偶数不是质数．18．(本题满分8分) 双曲线12222=-by a x （a >0,b>0），过焦点F 1的弦AB(A 、B 在双曲线的同支上)长为m ，另一焦点为F 2，求 △ABF 2的周长。

兰炼一中2012—2013学年第一学期期末考试高二 数学（理科）一．选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。

请将答案写于答题卡上）1．抛物线22y x =的准线方程为 ( )A ．12y =-B ．18y =-C ．12x =-D ．18x =- 2．下列命题中的假命题是( )A ．∀x R ∈,120x -> B.∃x R ∈,tan 2x =C ．∃ x R ∈,lg 1x <D .∀*x N ∈,2(1)0x ->3．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( ) A ．x 24－y 2＝1 B ．x 22－y 2＝1 C ．x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1 4．“a b<0”是“方程ax 2+b y 2 =c 表示双曲线”的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 5．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A ．22B ．12C ． 33D ．136．已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C ( 4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B ＝( ) A ．54 B ．58 C ．45 D ．857．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这条弦所在直线的方程为（ ）A ．01223=-+y xB ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x 8．a x q x x P <<--命题已知命题},032:2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）1.<a A 10.≤<a B 1.≤a C 31.≤<-a D9．过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在10．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153 11．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过（m 、n ）的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数（ ）A ．至多一个B ．1个C ．2个D ．0个12.已知正四面体A —BCD ，动点P 在△ABC 内，且点P 到平面BCD 的距离与点P 到点A 的距离相等，则动点P 的轨迹为（ ）A ．一条线段B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．椭圆的一部分二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分。

甘肃省兰州市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）在回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和（）A . 越大B . 越小C . 可能大也可能小D . 以上均错2. （2分） (2017·襄阳模拟) 下列说法错误的是（）A . 若p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＜0B . “ ”是“θ=30°或θ=150°”的充分不必要条件C . 命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”D . 已知p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+2＞0，则“p∧（￢q）”为假命题3. （2分）设投掷1颗骰子的点数为ξ，则（）A . Eξ=3.5，Dξ=3.52B . Eξ=3.5，Dξ=C . Eξ=3.5，Dξ=3.5D . Eξ=3.5，Dξ=4. （2分） (2016高二下·东莞期末) 有3位老师和3 个学生站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的排法总数为（）A . 36B . 72C . 144D . 2885. （2分）经过点A（2，3）和点B（4，7）的直线方程是（）A . 2x+y﹣7=0B . 2x﹣y+1=0C . 2x﹣y﹣1=0D . ﹣2y+4=06. （2分）空间四边形ABCD的各顶点坐标分别是， E,F分别是AB与CD的中点，则EF的长为（）A .B .C .D . 37. （2分） (2018高二上·台州期末) 圆心为，半径长为的圆的方程为（）A .B .C .D .8. （2分）二项式（ax+）6的展开式的第二项的系数为﹣，则x2dx的值为（）A . 3B .C . 3或D . 3或﹣9. （2分） (2019高二下·上饶期中) 已知命题“ ”是假命题，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .10. （2分）(2020·辽宁模拟) 某个家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是女孩，则至少有两个孩子是女孩的概率是（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高三上·宁海月考) 一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·长春月考) 将个座位连成一排，安排个人就坐，恰有两个空位相邻的不同坐法有（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共5分)13. （1分）(2019高二下·珠海期末) 正态分布三个特殊区间的概率值, , ,若随机变量满足，则 ________．14. （1分）(2020·哈尔滨模拟) 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动，服务活动共有“走进社区”、“环境监测”、“爱心义演”、“交通宣传”等四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报走进社区项目”，则的值为________.15. （1分） (2019高一上·丰台期中) 命题“若，则”，能说明该命题为假命题的一组的值依次为________16. （2分） (2016高一上·珠海期末) x2+y2﹣2x+4y=0的圆心坐标是________，半径是________．三、解答题： (共6题；共55分)17. （15分） (2016高一下·吉林期中) 某成衣批发店为了对一款成衣进行合理定价，将该款成衣按事先拟定的价格进行试销，得到了如下数据：批发单价x（元）808284868890销售量y（件）908483807568（1）求回归直线方程，其中（2）预测批发单价定为85元时，销售量大概是多少件？（3）假设在今后的销售中，销售量与批发单价仍然服从（1）中的关系，且该款成衣的成本价为40元/件，为使该成衣批发店在该款成衣上获得更大利润，该款成衣单价大约定为多少元？18. （5分）(2017·西城模拟) 已知函数f（x）=（x2+ax﹣a）•e1﹣x ，其中a∈R．（Ⅰ）求函数f'（x）的零点个数；（Ⅱ）证明：a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．19. （10分） (2020高二上·天津月考) 如图，在三棱柱中，，，且，底面，为中点，点为上一点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.20. （10分）(2016·浦城模拟) 某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下：（1）比较这两名同学8次周练解答题失分的均值和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；（2）以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为频率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．21. （10分） (2020高二下·东台期中) 已知（1）求；（2）我们知道二项式的展开式 ,若等式两边对求导得，令得 .利用此方法解答下列问题：①求；②求 .22. （5分）某校高二（22）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（I）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；（II）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3份进行交流，若在交流的试卷中，成绩位于[70，80）分数段的份数为ξ，求ξ的分布列．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共55分)17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。

兰州一中2015-2016-1学期高二年级期末考试数学试卷(理科)说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分100分，考试时间100分钟。

请将所有试题的答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题，共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列说法正确的是 ( ) A ．命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若21x >，则1x ≤”B ．命题“2001x ,x ∃∈>R ”的否定是“21x ,x ∀∈>R ”C ．命题“若x y =，则cos cos x y =”的逆否命题为假命题D ．命题“若x y =，则cos cos x y =”的逆命题为假命题2.已知空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN u u u u r＝ ( )A. 121232a b c -+r r rB ．211322a b c -++r r rC. 111222a b c +-r r rD. 221332a b c +-r r r3.下面的命题中是真命题的是( )A ．两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角B ．设空间向量a r ，b r 为非零向量，若0a b ⋅>r r ，则,a b <>r r为锐角C ．方程221(0,0)mx ny m n +=>>表示的曲线是椭圆D4.方程表示的曲线是( )A ．两条线段B ．两条直线C ．两条射线D ．一条射线和一条线段5. “0a ≤”是“函数()(1)f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知1F 、2F 为双曲线C ：222x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠为 （ ） A.14 B. 35 C. 34 D. 457. 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =u u u r u u u r，则||QF = ( )A. 3B.72 C. 2 D. 528. 过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C : 22221(0)x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ( )A.12 B. 2 C. 2 D. 239. 直三棱柱111ABC A B C -中，090BCA ∠=，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为 ( )A ．110 B ． 25C ．2D ．10.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与C 交于点P ，Q . 若212||||PF F F =，且113||4||PF QF =，则ba的值为 （ ）A ．35B ．57C D第Ⅱ卷（非选择题，共70分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p = ．12. 过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB = ．13. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”。

2012-2013学年甘肃省兰州一中高二下学期期末考试理科数学试卷一、选择题1．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有A ．96种B ．180种C ．240种D ．280种 2．某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有A ．8种B ．10种C ．12种D ．32种3．二项式)30的展开式的常数项为第几项 A ．17 B ．18 C ．19 D ．204A ．棉农甲，棉农甲 B ．棉农甲，棉农乙 C ．棉农乙，棉农甲 D ．棉农乙，棉农乙5．两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是A ．模型1的相关指数R 2为0.96B ．模型2的相关指数R 2为0.86C ．模型3的相关指数R 2为0.73D ．模型4的相关指数R 2为0.66 6．已知随机变量X ～B(n ，0.8)，D(X)=1.6，则n 的值是A ．8B ．10C ．12D ．14 7．在4次独立试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是8165，则事件A 在一次试验中出现的概率是 A ．31 B ．52 C ．65 D ．32 8由最小二乘法求得回归方程为y =0.67x+54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该点数据的值为A ．67B ．68C ．69D ．709．已知a≥0，b≥0，且a+b=2，则A ．ab≤12B ．ab≥12C ．a 2+b 2≥2D ．a 2+b 2≤310．设x>0，y>0，z>0，a=x+1y，b=y+1z ，c=z+1x ，则a ，b ，c 三数A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2 二、填空题11．不等式2|x|+|x-1|<2的解集是 ．12．设随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2)，则a= ． 13．已知，则a ，b 大小关系是a b ．14．设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6．现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是 ． 三、解答题15．若a ，b ，c ∈R +，且a+b+c=1，求c b a ++的最大值．16．已知三点(3，10)，(7，20)，(11，24)的横坐标x 与纵坐标y 具有线性关系，求其线性回归方程．(参考公式：1221ˆni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-)17．已知x ，y ，z 均为正数．求证：111x y z yz zx xy x y z++≥++．18．为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：处罚，在两个路口进行试验．(Ⅰ)求这两种金额之和不低于20元的概率；(Ⅱ)若用X 表示这两种金额之和，求X 的分布列和数学期望．19．“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是158． (Ⅰ)请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关？ (Ⅱ)若从这30人中的女性路人．．．．中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．下面的临界值表供参考：(参考公式：K 2=2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++，其中n=a+b+c+d)参考答案一、选择题1．C 解：根据题意，由于从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，考虑没有选上甲乙，和只选择一个人的情况来讨论，和都选上，那么符合题意的情况有43132134533423+2+=240A C C A C C A ，故答案为C2．B 解：根据题意，由于某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法需要5步，那么只要确定了横的3步，则得到所有的情况，故有35C =10，因此答案为B.3．C 解：根据题意，由于二项式()30的展开式515r 30r 630305((2)150,186r rr rr C C a r --=-∴-==，因此可知常数项为第19项故答案为C4．B 解：根据表格中的数据可知，棉农甲的平均值为6872706971=705++++，而棉农乙的平均值为6868696971=695++++，那么可知平均产量较高的为甲，那么对于数据作出茎叶图可知，稳定性好的为棉农乙，故答案为B.5．A 解：根据题意，由于两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，由于R 2越大则拟合效果越好，故可知，由于模型1的相关指数R 2为0.96最大，故答案为A. 6．B 解：根据题意，由于随机变量X ～B(n ，0.8)，D(X)=1.6=0.8n(1-0.8)，n=10,故可知答案为B 。

一、单选题1．数列，，，，…的一个通项公式是（ ）1216112120A ． B ．()11n a n n =-()1221n a n n =-C ． D ． 111n a n n =-+11n a n=-【答案】C【解析】根据选项进行逐一验证，可得答案. 【详解】选项A. ,当时，无意义.所以A 不正确.()11n a n n =-1n =选项B. ,当时，，故B 不正确. ()1221n a n n =-2n =()211122221126a ==≠⨯⨯⨯-选项C. ，，，11122=-111162323==-⨯1111123434==-⨯1111204545==-⨯所以满足.故C 正确. 111n a n n =-+选项D. ,当时, ,故D 不正确. 11n a n =-1n =1111012a =-=≠故选：C2．双曲线的渐近线方程是（）22132x y-=A ． B ．23y x =±32y x =±C ． D ．y=y =【答案】D【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.【详解】由题得双曲线的方程为，所以22132x y -=a b ==所以渐近线方程为． b y x a =±=故选：D3．已知等差数列，的前n 项和分别为，，且，则（ ）{}n a {}n b n S n T 234n n S n T n+=55a b =A ． B ．C ．D ．1271258813【答案】B【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前项和公式求得正确答案.n 【详解】， 5595151922a a a b b a b b ==++()()1999199292a a S Tb b +⋅==+⋅由题意可得. 99293217493612S T ⨯+===⨯故选：B4．若直线截取圆所得弦长为2，则（ ） 220x y +-=22()1x a y -+==a A ． B ．C ．1D ．1212-1-【答案】C【分析】根据题意可得直线过圆的圆心，进而可求解.【详解】因为圆的半径为1，直径为2，故直线过的圆心22()1x a y -+=220x y +-=22()1x a y -+=，(),0a 故，解得. 220a -=1a =故选：C5．已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，221x y +=()220y px p =>A B C D 若四边形是矩形，则等于（ ） ABCD p ABCD【答案】D【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦为抛物线的通径，进而有AB ()220y px p =>，解方程即可得答案. 2212p p ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】解：因为四边形是矩形，ABCD 所以由抛物线与圆的对称性知：弦为抛物线的通径，AB ()220y pxp =>因为圆的半径为，抛物线的通径为，12p 所以有：，解得2212p p ⎛⎫+= ⎪⎝⎭p =故选：D6．已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、()222210x y a b a b +=>>P 213PF PF =1F 2F 右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】先由椭圆的定义结合已知求得，再由求得的不等关系，即12,PF PF 1212PF PF F F -≤,a c可求得离心率的取值范围.【详解】由椭圆的定义得，又∵，∴，， 122PF PF a +=213PF PF =132PF a =212PF a =而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，12122PF PF F F c -≤=P 即，即，则，即.31222a a c -≤2a c ≤12c e a =≥112e ≤<故选：D ．7．已知分别是双曲线的左、右焦点，P 是C 上位于第一象限的一点，且12,F F 22144x y C :-=，则的面积为（ ） 210PF PF ⋅=12PF F △A ．2B ．4C ．D ．【答案】B【分析】利用勾股定理、双曲线定义求出，再利用三角形的面积公式计算可得答案.12PF PF ⋅【详解】因为，所以，120PF PF ⋅= 222121232PF PF F F +==由双曲线的定义可得， 124PF PF -=所以，解得，()2221212122PF PF PF PF PF PF ⋅=+--128PF PF ⋅=故的面积为． 12PF F △12142PF PF ⋅=故选：B.8．已知双曲线的右焦点为，关于原点对称的两点分别在双曲线的左､2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>F A B ､右两支上，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）0,2AF FB FC BF ⋅==CA B C D 【答案】A【分析】根据已知条件及双曲线的定义，再利用矩形的性质及勾股定理，结合双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】如图所示设，则，， ，BF t =2FC t =2BF a t '=+22F C a t '=+因为，所以，0AF FB ⋅= AF FB ⊥ 则四边形是矩形，AFBF '在中，，即，解得， Rt BF C 'A 222BF BC F C ''+=()()()2222322a t t a t ++=+23a t =在中，，即，于是有，Rt BF F '△222BF BF F F ''+=222222433a a a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22179a c =解得， e =. 故选：A.二、多选题9．已知圆和圆的交点为A ，B ，则（ ）．221:230O x y x ++-=222:210O x y y ++-=A ．两圆的圆心距 122O O =B ．直线的方程为AB 10x y --=C ．圆上存在两点P 和Q 使得 2O PQ AB >D ．圆上的点到直线的最大距离为 1O AB 2【答案】BD【分析】对于A ，根据两个圆的方程先得到两个圆心坐标，然后利用两点间距离公式即可求解；对于B ，两圆作差即可得公共弦的方程；对于C ，根据直线经过圆的圆心即可判断；对于AB AB 2O D ，圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径即可求解.1O AB 【详解】由圆和圆，221:230O x y x ++-=222:210O x y y ++-=可得圆和圆， ()221:14O x y ++=()222:12O x y ++=则圆的圆心坐标为，半径为2， 1O ()1,0-圆的圆心坐标为 2O ()0,1-对于A ，两圆的圆心距，故A 错误；1O O 对于B ，将两圆方程作差可得，即得直线的方程为，故B 正确； 10x y --=AB 10x y --=对于C ，直线经过圆的圆心坐标，所以线段是圆的直径， AB 2O ()0,1-AB 2O 故圆中不存在比长的弦，故C 错误； 2O AB 对于D ，圆的圆心坐标为，半径为2， 1O ()1,0-圆心到直线，1O 10:x y AB --=所以圆上的点到直线的最大距离为，故D 正确. 1O AB 2故选：BD.10．已知M 是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ）22:184x y C +=1F 2FA ．椭圆的焦距为2B ．椭圆的离心率e =C ．椭圆的短轴长为4D ．的面积的最大值是412MF F △【答案】BCD【分析】由题意可得，即可判断A ，B ，C ；当M 为椭圆短轴的一个顶点时，2,2a b c ===以为底时的高最大，面积最大，求出面积的最大值即可判断. 12MF F △12F F 【详解】解：因椭圆方程为，22184x y +=所以，2,2a b c ===所以椭圆的焦距为，离心率， 24c =c e a =24b =故A 错误，B,C 正确；对于D ，当M 为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，为2, 12MF F △12F F 此时的面积取最大为,故正确.12MF F △112222422c b ⨯⨯=⨯⨯⨯=故选：BCD.11．关于及其二项展开式，下列说法正确的是（ ）)20211A ．该二项展开式中偶数项的二项式系数之和为 20212B ．该二项展开式中第8项为710072021C x -C ．当时，除以100的余数是9100x =)20211D ．该二项展开式中不含有理项 【答案】BC【分析】对于A ，由二项式系数的性质，由公式可得答案； 对于B ，根据二项式定理的通项公式，令时，可得答案； 7r =对于C ，根据二项式定理，结合带余除法的变换等式，可得答案； 对于D ，利用二项式定理通项，使的指数为整数，可得答案. x 【详解】偶数项的二项式系数之和为，故A 错误； 20202展开式中第8项为，故B 正确； ()201477710077120212021C 1C T x+=⋅-=-当时，100x =)()20212021020211202120192202012021202120212021202120211101C 10C 10C 10C 10C -=-=⋅-⋅+-⋅+⋅- ， ()020191201820190202012021202120212021100C 10C 10C 10C 101=⋅-⋅+-⋅+⋅- ∵，除以100的余数是9，202012021C 10120209202009⋅-==+∴当时，除以100的余数是9，故C 正确；100x =)20211-的展开式的通项为，)20211()()202120212120212021C11Cr rrrr r r T x--+=⋅-=-当为整数，即时，为有理项，故D 错误． 20212r-1,3,5,,2021r = 1r T +故选：BC ．12．设的左右焦点为，．过右焦点向双曲线的一条渐近线引垂线，2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F 2F 垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若，则下列判断正确的是（ ）222AF F B =A ．双曲线渐近线方程为 y =B C ．它和双曲线共用一对渐近线2233y x -=D ．过点且和双曲线C 只有一个公共点的直线，共有两条 ()0,1【答案】BC【分析】根据题意先求出A 点坐标，再根据求出B 点坐标，代入另一条渐近线方程222AF F B =中，得到一个等式，利用渐近线的性质，结合渐近线方程、离心率公式、以及一元二次方程根的判别式判断即可.【详解】双曲线的渐近线方程为：，设过右焦点向双曲线的渐近线引垂线，垂by x a =±2F b y x a=足为A ，所以的斜率为，因为的坐标为，所以直线的方程为：2AF ab-2F (,0)c 2AF ，与联立，解得，()a y x c b =--b y x a =22,(,a ab a abx y A c c c c==⇒设，因为，所以有，(,)B x y 222AF F B = 22(,)(,)a abc x c y c c--=-所以，代入中，2222223,(3,)a ab a abx c y B c c c c c=-=-⇒--b y x a =-得：22222(343ab b a c a c c a c-=-⋅-⇒=A ：因为 22222224343()3b a c a a b a b a =⇒=+⇒=⇒=双曲线渐近线方程为，故本判断不正确； y =B ：由，故本判断正确； 22432c a c a e a =⇒=⇒==C ：，所以该双曲线的渐近线方程为：，故本判断22223313x y x y -=⇒-=y y =⇒=正确；D ：，因此双曲线方程为：223b a b a =⇒=222213x y b b -=设过的直线方程为，代入双曲线方程中得：， ()0,11y kx =+222(13)6330k x kx b ----=当时，此时直线与双曲线只有一个公共点，这样有二条，2130k -=当时，由根的判别式为零，得，可得：，这样的直2130k -≠222(6)4(13)(33)0k k b +-+=22213b k b+=线有二条，因此本判断不正确， 故选：BC【点睛】关键点睛：本题的关键是通过已知求出A 点坐标，再根据求出B 点坐标.222AF F B =三、填空题13．若直线与垂直，则实数m ＝__． 1:210l x my ++=2:31l y x =-【答案】6【分析】根据两直线垂直时，斜率乘积为-1，解方程求得m 的值．【详解】由直线且斜率存在，则直线， 1:210l x my ++=12:1l y x m m=--由直线与垂直，则解得. 1:210l x my ++=2:31l y x =-231m-⨯=-6m =故答案为：6．14．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.【答案】【分析】由题得双曲线的渐近线方程为，，故，进而得y x =±48c =,2a b c ==a =.【详解】解：以两焦点所在直线为轴，两焦点所在线段的中垂线为轴建立直角坐标系， y x 设双曲线的焦距为，由题意得双曲线的渐近线方程为，， 2c y x =±48c =所以，进而得,2a b c ==a =故双曲线的实轴长为：故答案为：【点睛】本题解题的关键在于根据建立适当坐标系，进而根据题意得该双曲线的渐近线为，y x =±，进而求解，考查数学建模能力与运算求解能力，是中档题.48c =15．第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动．已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概率为______．（结果用分数表示）【答案】## 250.4【分析】根据古典概型的概率公式，结合排列数、组合数运算求解.【详解】“甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动”共有种可能，2353C A 60=“甲同学参加连续两天活动”共有种可能，1343C A 24=故甲同学参加连续两天活动的概率. 242605P ==故答案为：. 2516．已知椭圆C ：的左､右焦点分别为､，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：22142x y +=1F 2F上任意一点，则的取值范围为___________.((221x y -+-=1MN MF -【答案】1⎡⎤-⎣⎦【分析】根据椭圆的定义，结合椭圆和圆的几何性质进行求解即可. 【详解】如图，由为椭圆上任意一点，则， M C 12224MF MF +=⨯=又为圆上任意一点，则（当且仅当M 、N 、E 共线时N ((22:1E x y -+-=1MN ME ≥-取等号），∴， ()122224455MN MF MN MF MN MF ME MF EF -=--=+-≥+-≥-当且仅当M 、N 、E 、共线时等号成立.2F∵，，则， 2F E 2||4EF ==∴的最小值为，1MN MF -451-=-当共线时，最大，如下图所示：， 1,,,M F E N 1MN MF -1(F最大值为，111F E +==所以的取值范围为，1MN MF -1⎡⎤-+⎣⎦故答案为：1⎡⎤-+⎣⎦【点睛】关键点睛：运用椭圆的定义和椭圆、圆的几何性质是解题的关键.四、解答题17．已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足 {}n a {}n b 11221,5a b b a ==+=(1)求数列和的通项公式； {}n a {}n b (2)令求数列的前n 项和；n n n c a b =+{}n c n S 【答案】(1)，21n a n =-12n n b -=(2)221nn S n =+-【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到，根据通项公式的求法得到结果；2d =（2）分组求和即可.1221n n n n c a b n -+=+=-【详解】（1）设的公差为, {}n a d 由已知,有解得，215d ++=2d =所以的通项公式为, 的通项公式为.{}n a 21,n a n n *=-∈N {}n b 12,n n b n -*=∈N （2），分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：1221n n n n c a b n -+=+=-.212(121)21122n n n n n S n -+-=+=+--18．已知圆C 经过坐标原点O 和点（4，0），且圆心在x 轴上 (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l ：与圆C 相交于A 、B 两点，求所得弦长的值． 34110x y +-=AB 【答案】(1)()2224x y -+=(2)【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.【详解】（1）由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为； ()2224x y -+=（2）由（1）可知：圆C 半径为，设圆心（2，0）到l 的距离为d ，则，由垂径2r =61115d -==定理得：AB ==19．已知是直线l 被椭圆所截得的线段的中点，求直线l 的方程． (4,2)M 22436x y +=AB 【答案】.280x y +-=【分析】中点弦问题，可以采用点差法求解，或联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式求解.【详解】由题意可知l 斜率必存在，设l 斜率为，则直线的方程为，k l ()24y k x -=-代入椭圆的方程化简得，()()22221416326464200k x k k x k k ++-+--=设，∵，∴，解得， ()()1122,,,A x y B x y 0∆>21223216814k kx x k -+==+12k =-故直线l 的方程为：. 280x y +-=另解：由题知在椭圆内，设直线与椭圆相交于点，易知直线斜率存在，设斜率为M l ()()1122,,,A x y B x y l ，∵在椭圆上， k A B 、，①－②得，即，即，22112222436436x y x y ⎧+=∴⎨+=⎩①②()2222121240x x y y -+-=()1212121240y y x x y y x x -++=+-8404k +=解得.12k =-∴直线的方程为，整理得. l ()1242y x -=--280x y +-=20．已知椭圆的左、右焦点分别为F ₁，F ₂，动点M 满足|| MF ₁ | -| MF ₂|| =4.221123x y +=(1)求动点M 的轨迹C 的方程：(2)已知点A (-2，0)，B (2，0)，当点M 与A ，B 不重合时，设直线MA ，MB 的斜率分别为k ₁，k ₂，证明:为定值.12k k【答案】(1)22145x y -=(2) 54【分析】（1）由椭圆方程得出焦点坐标，由已知分析动点满足的条件，根据定义利用待定系数M 法设方程，求出相关的量即可；（2）设设，代入方程中化简得的表达式，利用斜率公式写出000(,)(2)M x y x ≠±20y 12k k 的表达式，化简即可【详解】（1）由椭圆知：221123x y += 2222212,31239a b c a b ==⇒=-=-=所以左、右焦点分别为 12(3,0),(3,0)F F -因为动点M 满足|| MF ₁ | -| MF ₂|| =4 12F F <所以动点在以为焦点的双曲线上，M 12,F F 设动点设方程为：M 2222111x y a b -=由双曲线的定义得：1124,226a c c ===所以222111945b c a =-=-=所以动点设方程为：M 22145x y -=（2）设000(,)(2)M x y x ≠±则 22220000151454x y x y ⎛⎫-=⇒=- ⎪⎝⎭由001000(2)2MA y y k k x x -===--+ 00200022MB y y k k x x -===--所以 00120022y yk k x x =⨯+- 2020220051444x y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=-=()20205444x x --= 54=所以. 12k k 54=21．已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点.C ()222210,0x y a b a b -=>>22162y x -=()2,3(1)求双曲线的方程；C (2)已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于C 1F 2F l 2F 3π4l C ,AB两点，求的面积.1F AB A 【答案】(1)2213y x -=(2)【分析】（1）根据共渐近线设出双曲线方程，代入点的坐标即可得解；（2）根据题意求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，消去后由韦达定理得AB y ，从而由弦长公式求得弦长，再求出到直线距离后即可求得的面积．1212,x x x x +AB 1F AB 1F AB A 【详解】（1）依题意，设所求双曲线方程为，C 2262y x λ-=代入点得，即，()2,3223262λ-=12λ=-所以双曲线方程为，即． C 221622y x -=-2213y x -=（2）由（1）得，则，，，2134c =+=2c =()12,0F -()22,0F 又直线倾斜角为，则，故直线的方程为， l 3π43πtan 14==-k AB ()2y x =--设，，()11,A x y ()22,B x y 联立，消去，得，()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩y 22470x x +-=则，，，()164270∆=-⨯⨯->122x x +=-1272x x =-由弦长公式得，2AB x=-=6=又点到直线的距离()12,0F -:20AB x y +-=d 所以 111622F AB S AB d =⋅=⨯⨯=A 22．已知抛物线上的点到其焦点的距离为. ()2:21C y px p =>()0,1P x F 54(1)求抛物线的方程；C (2)点在抛物线上，直线与抛物线交于、两点，点与点(),4E t C l ()11,A x y ()()2212,0,0B x y y y >>H 关于轴对称，直线分别与直线、交于点、（为坐标原点），且.A x AH OE OB M N O AM MN =求证：直线过定点. l 【答案】(1) 24y x =(2)证明见解析【分析】（1）由已知可得，利用抛物线的定义可得出关于的等式，结合可求得的012x p=p 1p >p 值，即可得出抛物线的方程；C （2）分析可知直线的斜率存在且大于，设直线的方程为，将直线的方程与l 0l ()0y kx m k =+>l 抛物线的方程，列出韦达定理，求出直线、的方程，求出点、的坐标，分析可知点C OE OB M N 为线段的中点，利用中点坐标公式结合韦达定理求出的值，即可得解.M AN m 【详解】（1）解：由点在抛物线上可得，，解得. ()0,1P x 2012px =012x p=由抛物线的定义可得， 0152224p p PF x p =+=+=整理得，解得或（舍去）. 22520p p -+=2p =12p =故抛物线的方程为.C 24y x =（2）证明：由在抛物线上可得，解得， (),4E t C 244t =4t =所以，则直线的方程为.()4,4E OE y x =易知且、均不为，易知， ()11,H x y -1x 2x 012y y ≠因为，，， 10y >20y >121222121212404AB y y y y k y y x x y y --===>--+所以，直线的斜率存在且大于，设直线的方程为，l 0l ()0y kx m k =+>联立得化为，24y kx my x =+⎧⎨=⎩2440ky y m -+=则，且，，16160km ∆=->124y y k+=124m y y k =由直线的方程为，得. OE y x =()11,M x x 易知直线的方程为，故. OB 22y y x x =1212,x y N x x ⎛⎫⎪⎝⎭由，则为的中点， AM MN =M AN 所以，，即，即， 12M N y y y =+121122x y x y x =+1221122x x x y x y =+所以，，化为，则得， ()22221212121212844y y y y y y y y y y ++==()12122y y y y =+48m =2m =所以直线的方程为，故直线过定点. l 2y kx =+l ()0,2【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证()00,x y ()00y y k x x -=-y kx b =+明.。