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2017-2018学年甘肃省兰州高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（每小题5分）1．（5分）在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项2．（5分）在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的取值范围为（）A．[2，6]B．（﹣∞，10]C．[2，10] D．（﹣∞，6]4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣105．（5分）若a＜b＜0，下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．D．6．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（）A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣107．（5分）抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为（）A．B．C．D．48．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 9．（5分）已知向量=（1，m﹣1），=（m，2），则“m=2”是“与共线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．11．（5分）已知x，y＞0，且，则x+2y的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C． D．二、填空题（每小题5分）13．（5分）若当x＞2时，不等式恒成立，则a的取值范围是．14．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a2+c2﹣b2）tan B=ac，则角B的值为．16．（5分）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．三、解答题17．（10分）在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．（1）求b的值；（2）求sinC的值．19．（12分）已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．若命题p∧q是真命题，求a的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象经过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．21．（12分）已知动点M（x，y）到定点A（1，0）的距离与M到直线l：x=4的距离之比为．①求点M的轨迹C的方程；②过点N（﹣1，1）的直线与曲线C交于P，Q两点，且N为线段PQ中点，求直线PQ的方程．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．2017-2018学年兰州高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分）1．（5分）在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项【解答】解：数列1，2，，…就是数列，，，，，…，∴a n==，∴=2=，∴n=26，故2是这个数列的第26项，故选：C．2．（5分）在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【解答】解析：∵2cosB•sinA=sinC=sin（A+B）⇒sin（A﹣B）=0，又B、A为三角形的内角，∴A=B．答案：C3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的取值范围为（）A．[2，6]B．（﹣∞，10]C．[2，10] D．（﹣∞，6]【解答】解：根据变量x，y满足约束条件画出可行域，由⇒A（3，﹣3），由图得当z=x﹣y过点A（3，﹣3）时，Z最大为6．故所求z=x﹣y的取值范围是（﹣∞，6]故选：D．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．故选：B．5．（5分）若a＜b＜0，下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．D．【解答】解：方法一：若a＜b＜0，不妨设a=﹣2，b=﹣1代入各个选项，错误的是A、B、D，故选C．方法二：∵a＜b＜0∴a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）＞0即a2＞b2，故选项A不正确；∵a＜b＜0∴a2﹣ab=a（a﹣b）＞0即a2＞ab，故选项B不正确；∵a＜b＜0∴﹣1=＜0即＜1，故选项C正确；∵a＜b＜0∴＞0即，故选项D不正确；故选C6．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（）A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣10【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），∴﹣，是方程ax2+bx+2=0的两个实数根，且a＜0，∴﹣=﹣+，=﹣×，解得a=﹣12，b=﹣2，∴a+b=﹣14故选：B7．（5分）抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为（）A．B．C．D．4【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y=2x2，其标准方程为x2=y，其中p=，则抛物线的焦点到准线的距离p=，故选：C．8．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．9．（5分）已知向量=（1，m﹣1），=（m，2），则“m=2”是“与共线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若与共线，则1×2﹣m（m﹣1）=0，即m2﹣m﹣2=0，得m=2或m=﹣1，则“m=2”是“与共线”的充分不必要条件，故选：A10．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．11．（5分）已知x，y＞0，且，则x+2y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：由得，，∴，当且仅当x=y=时取等号．故选：D．12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：∵点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角．已知椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，∴b≥c，可得a2﹣c2≥c2，可得：a．∴．故选：A．二、填空题（每小题5分）13．（5分）若当x＞2时，不等式恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，2+2] ．【解答】解：当x＞2时，不等式恒成立，即求解x+的最小值，x+=x﹣2++2=2+2，当且仅当x=2+时，等号成立．所以a的取值范围是：（﹣∞，2+2]．故答案为：（﹣∞，2+2]．14．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为x﹣y﹣1=0．【解答】解：由y=x3﹣2x+1，得y′=3x2﹣2．∴y′|x=1=1．∴曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣1）．即x﹣y﹣1=0．故答案为：x﹣y﹣1=0．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a2+c2﹣b2）tan B=ac，则角B的值为或．【解答】解：∵，∴cosB×tanB=sinB=∴B=或故选B．16．（5分）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为，则a=5，由椭圆的定义得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10，两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=20，又由|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8，故答案为：8．三、解答题17．（10分）在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知得解得…（4分）∴a n=3+（n﹣1）×1，即a n=n+2…（6分）（2）由（1）知，b1+b2+b3+…+b10=21+22+…+210=…（10分）=2046…（12分）18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．（1）求b的值；（2）求sinC的值．【解答】解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，代入数据可得b2=4+25﹣2×2×5×=17，∴b=；（2）∵cosB=，∴sinB==由正弦定理=，即=，解得sinC=19．（12分）已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．若命题p∧q是真命题，求a的取值范围．【解答】解：p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，只要（x2﹣a）min≥0，x∈[1，2]，又y=x2﹣a，x∈[1，2]的最小值为1﹣a，所以1﹣a≥0，a≤1．q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，所以△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，a≤﹣2或a≥1，由p且q为真可知p和q为均真，所以a≤﹣2或a=1，∴a的取值范围是{a|a≤﹣2或a=1}．20．（12分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象经过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）由y=f（x）的图象经过点P（0，2），知d=2，∴f（x）=x3+bx2+cx+2，f'（x）=3x2+2bx﹣c．由在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0，知﹣6﹣f（﹣1）+7=0，即f（﹣1）=1，又f'（﹣1）=6．解得b=c=﹣3．故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．（Ⅱ）f'（x）=3x2﹣6x﹣3．令f'（x）＞0，得或；令f'（x）＜0，得．故f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2的单调递增区间为和，单调递减区间为．21．（12分）已知动点M（x，y）到定点A（1，0）的距离与M到直线l：x=4的距离之比为．①求点M的轨迹C的方程；②过点N（﹣1，1）的直线与曲线C交于P，Q两点，且N为线段PQ中点，求直线PQ的方程．【解答】解：①由题意动点M（x，y）到定点A（1，0）的距离与它到定直线l：x=4的距离之比为，得=，化简并整理，得+=1．所以动点M（x，y）的轨迹C的方程为椭圆+=1．②设P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2），∴3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，两式相减可得3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∵x1+x2=﹣2，y1+y2=2，∴﹣6（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，∴k==，∴直线PQ的方程为y﹣1=（x+1），即为3x﹣4y+7=0．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0），∴，解得，b=1，∴椭圆C的方程为=1．（2）k1+k2是定值．证明如下：设过M的直线：y=k（x﹣1）=kx﹣k或者x=1①x=1时，代入椭圆，y=±，∴令A（1，），B（1，﹣），k1=，k2=，∴k1+k2=2．②y=kx﹣k代入椭圆，（3k2+1）x2﹣6k2x+（3k2﹣3）=0设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=，y1+y2=﹣2k=，y1y2=k2x1x2﹣k2（x1+x2）+k2=﹣，k1=，k2=，∴k1+k2==2．。
2017-2018学年甘肃省兰州四中高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（每小题5分）1．（5分）在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项2．（5分）在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的取值范围为（）A．[2，6]B．（﹣∞，10]C．[2，10] D．（﹣∞，6]4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣105．（5分）若a＜b＜0，下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．D．6．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（）A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣107．（5分）抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为（）A．B．C．D．48．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 9．（5分）已知向量=（1，m﹣1），=（m，2），则“m=2”是“与共线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．11．（5分）已知x，y＞0，且，则x+2y的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C． D．二、填空题（每小题5分）13．（5分）若当x＞2时，不等式恒成立，则a的取值范围是．14．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为．16．（5分）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．三、解答题17．（10分）在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．（1）求b的值；（2）求sinC的值．19．（12分）已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．若命题p∧q是真命题，求a的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象经过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．21．（12分）已知动点M（x，y）到定点A（1，0）的距离与M到直线l：x=4的距离之比为．①求点M的轨迹C的方程；②过点N（﹣1，1）的直线与曲线C交于P，Q两点，且N为线段PQ中点，求直线PQ的方程．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．2017-2018学年甘肃省兰州四中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分）1．（5分）在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项【解答】解：数列1，2，，…就是数列，，，，，…，∴a n==，∴=2=，∴n=26，故2是这个数列的第26项，故选：C．2．（5分）在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【解答】解析：∵2cosB•sinA=sinC=sin（A+B）⇒sin（A﹣B）=0，又B、A为三角形的内角，∴A=B．答案：C3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的取值范围为（）A．[2，6]B．（﹣∞，10]C．[2，10] D．（﹣∞，6]【解答】解：根据变量x，y满足约束条件画出可行域，由⇒A（3，﹣3），由图得当z=x﹣y过点A（3，﹣3）时，Z最大为6．故所求z=x﹣y的取值范围是（﹣∞，6]故选：D．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．故选：B．5．（5分）若a＜b＜0，下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．D．【解答】解：方法一：若a＜b＜0，不妨设a=﹣2，b=﹣1代入各个选项，错误的是A、B、D，故选C．方法二：∵a＜b＜0∴a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）＞0即a2＞b2，故选项A不正确；∵a＜b＜0∴a2﹣ab=a（a﹣b）＞0即a2＞ab，故选项B不正确；∵a＜b＜0∴﹣1=＜0即＜1，故选项C正确；∵a＜b＜0∴＞0即，故选项D不正确；故选C6．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（）A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣10【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），∴﹣，是方程ax2+bx+2=0的两个实数根，且a＜0，∴﹣=﹣+，=﹣×，解得a=﹣12，b=﹣2，∴a+b=﹣14故选：B7．（5分）抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为（）A．B．C．D．4【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y=2x2，其标准方程为x2=y，其中p=，则抛物线的焦点到准线的距离p=，故选：C．8．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．9．（5分）已知向量=（1，m﹣1），=（m，2），则“m=2”是“与共线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若与共线，则1×2﹣m（m﹣1）=0，即m2﹣m﹣2=0，得m=2或m=﹣1，则“m=2”是“与共线”的充分不必要条件，故选：A10．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．11．（5分）已知x，y＞0，且，则x+2y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：由得，，∴，当且仅当x=y=时取等号．故选：D．12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：∵点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角．已知椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，∴b≥c，可得a2﹣c2≥c2，可得：a．∴．故选：A．二、填空题（每小题5分）13．（5分）若当x＞2时，不等式恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，2+2] ．【解答】解：当x＞2时，不等式恒成立，即求解x+的最小值，x+=x﹣2++2=2+2，当且仅当x=2+时，等号成立．所以a的取值范围是：（﹣∞，2+2]．故答案为：（﹣∞，2+2]．14．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为x﹣y﹣1=0．【解答】解：由y=x3﹣2x+1，得y′=3x2﹣2．∴y′|x=1=1．∴曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣1）．即x﹣y﹣1=0．故答案为：x﹣y﹣1=0．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为或．【解答】解：∵，∴cosB×tanB=sinB=∴B=或故选B．16．（5分）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为，则a=5，由椭圆的定义得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10，两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=20，又由|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8，故答案为：8．三、解答题17．（10分）在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知得解得…（4分）∴a n=3+（n﹣1）×1，即a n=n+2…（6分）（2）由（1）知，b1+b2+b3+…+b10=21+22+…+210=…（10分）=2046…（12分）18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．（1）求b的值；（2）求sinC的值．【解答】解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，代入数据可得b2=4+25﹣2×2×5×=17，∴b=；（2）∵cosB=，∴sinB==由正弦定理=，即=，解得sinC=19．（12分）已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．若命题p∧q是真命题，求a的取值范围．【解答】解：p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，只要（x2﹣a）min≥0，x∈[1，2]，又y=x2﹣a，x∈[1，2]的最小值为1﹣a，所以1﹣a≥0，a≤1．q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，所以△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，a≤﹣2或a≥1，由p且q为真可知p和q为均真，所以a≤﹣2或a=1，∴a的取值范围是{a|a≤﹣2或a=1}．20．（12分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象经过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）由y=f（x）的图象经过点P（0，2），知d=2，∴f（x）=x3+bx2+cx+2，f'（x）=3x2+2bx﹣c．由在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0，知﹣6﹣f（﹣1）+7=0，即f（﹣1）=1，又f'（﹣1）=6．解得b=c=﹣3．故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．（Ⅱ）f'（x）=3x2﹣6x﹣3．令f'（x）＞0，得或；令f'（x）＜0，得．故f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2的单调递增区间为和，单调递减区间为．21．（12分）已知动点M（x，y）到定点A（1，0）的距离与M到直线l：x=4的距离之比为．①求点M的轨迹C的方程；②过点N（﹣1，1）的直线与曲线C交于P，Q两点，且N为线段PQ中点，求直线PQ的方程．【解答】解：①由题意动点M（x，y）到定点A（1，0）的距离与它到定直线l：x=4的距离之比为，得=，化简并整理，得+=1．所以动点M（x，y）的轨迹C的方程为椭圆+=1．②设P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2），∴3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，两式相减可得3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∵x1+x2=﹣2，y1+y2=2，∴﹣6（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，∴k==，∴直线PQ的方程为y﹣1=（x+1），即为3x﹣4y+7=0．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0），∴，解得，b=1，∴椭圆C的方程为=1．（2）k1+k2是定值．证明如下：设过M的直线：y=k（x﹣1）=kx﹣k或者x=1①x=1时，代入椭圆，y=±，∴令A（1，），B（1，﹣），k1=，k2=，∴k1+k2=2．②y=kx﹣k代入椭圆，（3k2+1）x2﹣6k2x+（3k2﹣3）=0设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=，y1+y2=﹣2k=，y1y2=k2x1x2﹣k2（x1+x2）+k2=﹣，k1=，k2=，∴k1+k2==2．。
兰州一中2017-2018高二9月月考数学试题考试时间：120分钟 满分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，()5283S a a =+，则53a a 的值为（ ） A ．56 B ．13 C ．35 D ．162.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ）A．2．2．3- D．3+ 3.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且()cos 2cos cos 1,B B C A ++-=则（ ）A ．,,a b c 成等比数列B ．,,a b c 成等差数列C ．,,a c b 成等比数列D ．,,a c b 成等差数列4.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 5. ABC ∆中，tan A 是以-4为第三项，-1为第七项的等差数列的公差，tan B 是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均错 6.已知等比数列{}n a 为递增数列，262,3a a --为偶函数()()2212f x x a x a =-++的两个零点，若123n n T a a a a =，则7T =（ ）A ．128B ．-128C ．128或-128D ．64或-647. 数列{}n a 满足1111,12n na a a +==-，则2010a 等于（ ）A.12B.-1C.2D.3 8.已知函数()af x x =的图象过点()4,2，令()()*1,1n a n N f n f n =∈++，记{}n a 的前n项为n S ，则2016S =（ ）A1 B1 C．1- D1- 9.如果满足B =60，AC =12，BC = k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ） A.k = B.012k <≤ C.12k ≥ D.012k <≤或k =10.已知数列{}n a 满足()*21102,4n n a a a n n N +=-=∈，则数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值为（ ）A ．25B ．26C ．27D ．2811.数列{}n a 的前n 项和为()*21n n S n N =-∈，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n- B ．()1213n - C ．41n- D ．()1413n - 12.等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若231n n S nT n =+，则4637a ab b +=+（ ） A ．23 B ．149 C ．914 D ．32第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.△ABC 中,A =60，b= 1, ABCS,则sin sin sin a b cA B C++=++ .14.在公差不为0的等差数列{}n a 中， 138a a +=，且4a 为2a 和9a 的等比中项，则5a =_ _．15.ABC ∆三内角A B C 、、的对边分别为,,a b c，sin cos 20A a B a --=，则B ∠=_______．16.已知数列{}n a 中，1160,3n n a a a +=-=+，则12330a a a a ++++=___________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）在ABC ∆中， 4,a c ==,sin 4sin A B =． （1）求b 边的长； （2）求角C 的大小.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，()()2*11n n na n a n n n N +=+++∈． （1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）若数列{}n b 满足121n n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别是,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=． （1）求sin sin CA的值； （2）若1cos ,24B b ==，求ABC S ∆．20.（本题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2243n n n a a S +=+．（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．21．（本小题满分12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . （1）求A 的大小；（2）求sin B ＋sin C 的最大值．22.（本小题满分12分）已知递增等差数列{}n a 中的25,a a 是函数2()710f x x x =-+的两个零点．数列{}n b 满足，点(,)n n b S 在直线1y x =-+上，其中n S 是数列{}n b 的前n 项和． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．1-5 ADACA 6-10 ACDDB 11-12 DC13 3 14 . 13 15 23π16. 76517. 解（1）依正弦定理sin sin a bA B=有sin sin b A a B = …………………………3分 又4,a =sin 4sin A B =，∴1b = …………………………5分（2）依余弦定理有 222161131cos 22412a b c C ab +-+-===⨯⨯ ………………8分又0︒＜C ＜180︒，∴60C ︒= …………………………………………10分 18. （1）证明：()()111111n nn n na n a a a n n n n ++-+-==++，1219.解：（1）∵cos 2cos 2cos A C c aB b--=， ∴cos 2cos 2sin sin cos sin A C C A B B--=， ∴cos sin 2cos sinB 2sinCcosB sinAcosB A B C -=-， ∴()()sin 2sin A B B C +=+， ∴sin 2sin C A =，∴sin 2sin CA= …………………………………………………6分（2）ABC S ∆=…………………………………………………………12分 20. 解（1）由2243n n n a a S +=+，知2111243n n n a a S ++++=+，得221112()4n n n n n a a a a a +++-+-=，即2211112()()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=-+， 由于0n a >，可得12n n a a +-=，又2111243a a a +=+，解得11a =-（舍去），13a =，所以{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为21n a n =+. ………………6分（2）由21n a n =+知 111(21)(23)n n n b a a n n +==++111()22123n n =-++． 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则 12n n T b b b =+++…1111111()()()235572123n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥++⎣⎦…3(23)n n =+．…12分21．解(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得cosA =2222b c a bc+-，故cosA ＝－21，A ＝120°. …………………………………………………………6分(2) 由(1)得：sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin (60°－B)=＋12sinB ＝sin (60°＋B )． 故当B ＝30°时，sinB ＋sinC 取得最大值1. …………………………………………12分 22．解（1）∵，是函数的两个零点，则，解得：或.又等差数列递增，则，∴ ………………………………………………………3分 ∵点在直线上，则。
甘肃省兰州市2017-2018学年高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．已知集合U={x|x≤3}，集合M={x|＜0}，则∁U M=（）A．{x|x＜0} B．{x|x≥0} C．{x|0≤x≤3}D．{x|0＜x≤3}2．若复数z满足z=（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．4 B．C．﹣4 D．﹣3．为了解城市居民的环保意识，某调查机构从一社区的120名年轻人、80名中年人，60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取了3名，则n=（）A．13 B．12 C．10 D．94．已知△ABC中，（a+b+c）（a+b﹣c）=ab，其中A、B、C为△ABC的内角，a、b、c 分别为A、B、C的对边，则C=（）A．B． C． D．5．下列四个中真的个数是（）①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件②“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆为真④p；∀x∈[1，+∞），lgx≥0，q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真．A．0 B．1 C．2 D．36．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于（）A ．B ．C ．5D ．27．三棱椎S ﹣ABC 中，SA ⊥面ABC ，△ABC 为等边三角形，SA=2，AB=3，则三棱锥S ﹣ABC 的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．8πC ．16πD ．64π8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的值是（ ）A ．2B ．C ．﹣D ．﹣39．将函数f （x ）=cos2x 的图象向右平移个单位后得到函数g （x ），则g （x ）具有性质（ ）A ．最大值为1，图象关于直线x=对称B ．在（0，）上单调递增，为奇函数C ．在（﹣，）上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点（，0）对称10．已知函数y=f （x ）是R 上的偶函数，设a=ln，b=（ln π）2，c=ln，当任意x 1、x 2∈（0，+∞）时，都有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0，则（ ） A ．f （a ）＞f （b ）＞f （c ） B ．f （b ）＞f （a ）＞f （c ）C ．f （c ）＞f （b ）＞f （a ）D ．f （c ）＞f （a ）＞f （b ）11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x +y +a=0与点A （0，2），若直线l 上存在点M 满足|MA |2+|MO |2=10（O 为坐标原点），则实数a 的取值范围是（ ）A．[﹣2﹣1，2﹣1]B．[﹣2﹣1，2﹣1）C．[﹣﹣1，﹣1]D．[﹣﹣1，﹣1）12．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若x2f′（x）+xf（x）=sinx（x∈（0，6），f（π）=2，则下列结论正确的是（）A．xf（x）在（0，6）单调递减B．xf（x）在（0，6）单调递增C．xf（x）在（0，6）上有极小值2πD．xf（x）在（0，6）上有极大值2π二、填空：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量+=（3，﹣1），﹣=（﹣1，﹣3），则与的夹角为．14．已知点P（x，y）满足条件，则目标函数z=2x﹣y的最大值为．15．已知曲线y=﹣3lnx的一条切线的斜率为﹣，则切点的横坐标为．16．已知F1、F2为双曲线﹣y2=1的左右焦点，点P i（x i，0）与P i′（x i′，0）（i=1，2，3，…，10）满足+=，且x i＜﹣4，过P i做x轴的垂线交双曲线的上半部分于Q i点，过P i′做x轴的垂线交双曲线的上半部分于Q i′点，若|F1Q1|+|F1Q2|+…+|F1Q10|=m，则|F1Q1′|+|F1Q2′|+…+|F1Q10′|=．三、解答题：解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，a2、a4、a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设b n=n a2，T n=b1+b2+…+b n，求T n．18．调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度有极强的相关性，现将这三项的满意度指标分别记为x、y、z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标ω=x+y+z的值评定居民对城市的居住满意度等级：若ω≥4，则居住满意度为一级；若2≤ϖ≤3，则居住满意度为二级；若0≤ϖ≤1，则居住满意度为三级，为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随机抽取10人进行调查，得到如下结果：（Ⅰ）若该城市有200万人常住人口，试估计该城市居民中居住满意度为三级的人数是多少？（Ⅱ）从居住满意度为一级的被调查者中随机抽取两人，这两人的居住满意度指标ω均为4的概率是多少？19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=PB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC的中点，点E为BC边上的点．（Ⅰ）求证：平面ADM⊥平面PBC；（Ⅱ）当=时，求点E到平面PDC的距离．20．已知椭圆C的焦点坐标是F1（﹣1，0）、F2（1，0），过点F2垂直于长轴的直线l交椭圆C于B、D两点，且|BD|=3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l1与椭圆C相交于不同的两点M、N，且满足=若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=2lnx+．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x≥1，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．请从22、23、24三题中选定一题作答，多做均按所做第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=，以AB为直径的⊙O恰与CD相切于点E，⊙O交BC于F，连结EF．（Ⅰ）求证：AD+BC=AB；（Ⅱ）求证：EF是AD与AB的等比中项．[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．（2016白银模拟）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C 于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．2016年甘肃省兰州市高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．已知集合U={x|x≤3}，集合M={x|＜0}，则∁U M=（）A．{x|x＜0} B．{x|x≥0} C．{x|0≤x≤3}D．{x|0＜x≤3}【分析】先化简M，再求出补集．【解答】解：M={x|＜0}={x|x＜0}，∴∁U M={x|0≤x≤3}．故选：C．【点评】本题考查了集合的补集运算，属于基础题．2．若复数z满足z=（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．4 B．C．﹣4 D．﹣【分析】先将z分母实数化，从而求出z的虚数部分．【解答】解：复数z满足z====+i（i是虚数单位），则z的虚部是，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，本题是一道基础题．3．为了解城市居民的环保意识，某调查机构从一社区的120名年轻人、80名中年人，60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取了3名，则n=（）A．13 B．12 C．10 D．9【分析】根据分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．【解答】解：由分层抽样得=，解得n=13，故选：A．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．4．已知△ABC中，（a+b+c）（a+b﹣c）=ab，其中A、B、C为△ABC的内角，a、b、c 分别为A、B、C的对边，则C=（）A．B． C． D．【分析】由已知整理出a，b，c的关系，代入余弦定理求出cosC的值，结合C的范围，由特殊角的三角函数值即可求值得解．【解答】解：∵（a+b+c）（a+b﹣c）=ab．∴整理可得：a2+b2﹣c2=﹣ab．∴cosC==﹣．∴C∈（0，π），可得：C=．故选：B．【点评】本题考查了余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．5．下列四个中真的个数是（）①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件②“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆为真④p；∀x∈[1，+∞），lgx≥0，q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】对四个，分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①由x=1，则12﹣3×1+2=0，即x2﹣3x+2=0成立，反之，由x2﹣3x+2=0，得：x=1，或x=2．所以，“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，故正确；②“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”，正确；③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆为“若a＜b，则am2＜bm2”是假，故不正确；④p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，正确，q：∃x∈R，x2+x+1＜0错误，因为x2+x+1=＞0恒成立，p∨q为真，故正确．故选：D．【点评】此题注重对基础知识的考查，特别是四种之间的真假关系，复合的真假关系，特称与全称的真假及否定，是学生易错点，属中档题．6．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于（）A． B． C．5D．2【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是什么图形，从而求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体为三棱锥，底面△ABC为俯视图中的直角三角形，∠BAC=90°，其中AC=4，AB=3，BC=5，PB⊥底面ABC，且PB=5，∴∠PBC=∠PBA=90°，∴最长的棱为PC，在Rt△PBC中，由勾股定理得，PC===5．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体是什么图形，是基础题目．7．三棱椎S﹣ABC中，SA⊥面ABC，△ABC为等边三角形，SA=2，AB=3，则三棱锥S ﹣ABC的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．16πD．64π【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC 为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，得球的半径R，然后求解表面积．【解答】解：根据已知中底面△ABC是边长为3的正三角形，SA⊥平面ABC，SA=2，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，∵△ABC是边长为3的正三角形，∴△ABC的外接圆半径r=，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1，故球的半径R==2．三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R公式是解答的关键．8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是（）A．2 B．C．﹣D．﹣3【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=2017时不满足条件i≤2016，退出循环，输出S的值，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得S=2，i=1满足条件i≤2016，S=﹣3，i=2满足条件i≤2016，S=﹣，i=3满足条件i≤2016，S=，i=4满足条件i≤2016，S=2，i=5…观察规律可知S的取值周期为4，由2016=504×4可得满足条件i≤2016，S=，i=2016满足条件i≤2016，S=2，i=2017不满足条件i≤2016，退出循环，输出S的值为2．故选：A．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法，属于基础题．9．将函数f（x）=cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为1，图象关于直线x=对称B．在（0，）上单调递增，为奇函数C．在（﹣，）上单调递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点（，0）对称【分析】由条件根据诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象性质得出结论．【解答】解：将函数f（x）=cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=cos2（x﹣）=sin2x 的图象，故当x∈（0，）时，2x∈（0，），故函数g（x）在（0，）上单调递增，为奇函数，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象性质，属于基础题．10．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，设a=ln，b=（lnπ）2，c=ln，当任意x1、x2∈（0，+∞）时，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（b）＞f（a）D．f（c）＞f（a）＞f（b）【分析】根据减函数的定义便可看出f（x）在（0，+∞）上单调递减，根据f（x）为偶函数可以得到f（a）=f（lnπ），而，可以比较和（lnπ）2的大小，根据减函数的定义即可得出f（a），f（b），f（c）的大小关系，从而找出正确选项．【解答】解：依题意函数y=f（x）在（0，+∞）上为减函数；∵f（x）是R上的偶函数；∴f（a）=f（﹣a）=，；∵；∴；即f（c）＞f（a）＞f（b）．故选：D．【点评】考查偶函数的定义，减函数的定义，以及根据减函数的定义判断一个函数为减函数的方法，对数的运算性质．11．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x+y+a=0与点A（0，2），若直线l上存在点M满足|MA|2+|MO|2=10（O为坐标原点），则实数a的取值范围是（）A．[﹣2﹣1，2﹣1]B．[﹣2﹣1，2﹣1）C．[﹣﹣1，﹣1]D．[﹣﹣1，﹣1）【分析】设M（x，y），由已知得x2+（y﹣1）2=4，直线与圆相交或相切，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：设M（x，y），∵直线l上存在点M满足|MA|2+|MO|2=10（O为坐标原点），∴x2+（y﹣2）2+x2+y2=10，即x2+（y﹣1）2=4，∵点M在直线l上，∴直线与圆相交或相切，∴，解得﹣2﹣1≤a≤2．∴实数a的取值范围是[﹣2﹣1，2﹣1]．故选：A．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线与圆的位置关系的合理运用．12．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若x2f′（x）+xf（x）=sinx（x∈（0，6），f（π）=2，则下列结论正确的是（）A．xf（x）在（0，6）单调递减B．xf（x）在（0，6）单调递增C．xf（x）在（0，6）上有极小值2πD．xf（x）在（0，6）上有极大值2π【分析】设g（x）=xf（x），得到g′（x）=[xf（x）]′=，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的极大值，从而求出答案．【解答】解：∵x 2f ′（x ）+xf （x ）=sinx （x ∈（0，6），∴xf ′（x ）+f （x ）=，设g （x ）=xf （x ），则g ′（x ）=[xf （x ）]′=，由g ′（x ）＞0，解得：0＜x ＜π，g ′（x ）＜0，解得：π＜x ＜6， ∴x=π时，函数g （x ）=xf （x ）取得最大值g （π）=πf （π）=2π， 故选：D ．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，构造函数g （x ）=xf （x ）是解题的关键，本题是一道中档题．二、填空：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量+=（3，﹣1），﹣=（﹣1，﹣3），则与的夹角为 ．【分析】求出的坐标，计算数量积，代入夹角公式计算夹角余弦．【解答】解：=（）+（）=（2，﹣4），∴．=（2，1），∴=0．∴．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，数量积运算，属于基础题．14．已知点P （x ，y ）满足条件，则目标函数z=2x ﹣y 的最大值为 5 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论． 【解答】解：出不等式组对应的平面区域如图： 由z=2x ﹣y 得y=2x ﹣z ， 平移直线y=2x ﹣z ，由图象可知当直线y=2x ﹣z 经过点A 时，直线y=2x ﹣z 的截距最小， 此时z 最大．由，解得，即A（2，﹣1）将A（2，﹣1）的坐标代入目标函数z=2x﹣y=4+1=5．即z=2x﹣y的最大值为5．故答案为：5．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义是解决本题的关键，注意使用数形结合．15．已知曲线y=﹣3lnx的一条切线的斜率为﹣，则切点的横坐标为2．【分析】求出导数，设出切点，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标．【解答】解：设切点为（m，n），（m＞0），y=﹣3lnx的导数为y′=x﹣，可得切线的斜率为m﹣=﹣，解方程可得，m=2．故答案为：2．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，正确求导是解题的关键，属于基础题．16．已知F1、F2为双曲线﹣y2=1的左右焦点，点P i（x i，0）与P i′（x i′，0）（i=1，2，3，…，10）满足+=，且x i＜﹣4，过P i做x轴的垂线交双曲线的上半部分于Q i点，过P i′做x轴的垂线交双曲线的上半部分于Q i′点，若|F1Q1|+|F1Q2|+…+|F1Q10|=m，则|F1Q1′|+|F1Q2′|+…+|F1Q10′|=80+m．【分析】求得双曲线的a，b，c，离心率e，左准线方程，由向量共线的坐标表示，可得x i′=﹣x i，运用双曲线的第二定义，可得，|F1Q i|=ed i=（﹣﹣x i）=﹣4﹣x i，同理可得，|F1Q i′|=4+x i=4﹣x i，再由已知条件，化简整理，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣y2=1的a=4，b=1，c=，可得e==，左准线方程为x=﹣=﹣，由+=，可得：x i+c+x i′﹣c=0，即有x i′=﹣x i，由双曲线的第二定义可得，|F1Q i|=ed i=（﹣﹣x i）=﹣4﹣x i，同理可得，|F1Q i′|=ed i′=（x i′+）=4+x i=4﹣x i，由|F1Q1|+|F1Q2|+…+|F1Q10|=m，可得﹣40﹣（x1+x2+…+x10）=m，即（x1+x2+…+x10）=m+40，则|F1Q1′|+|F1Q2′|+...+|F1Q10′|=40﹣（x1+x2+ (x10)=40+m+40=80+m．故答案为：80+m．【点评】本题考查双曲线的第二定义的运用，考查向量共线的坐标表示，以及化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题：解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，a2、a4、a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设b n=n a2，T n=b1+b2+…+b n，求T n．【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，从而可得（1+3d）2=（1+d）（1+7d），从而解得；（Ⅱ）b n=n a2=2n，为等比数列，从而求其和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，则a2=1+d，a4=1+3d，a8=1+7d，∵a2、a4、a8成等比数列，∴（1+3d）2=（1+d）（1+7d），解得，d=0（舍去）或d=1，故a n=1+n﹣1=n；（Ⅱ）b n=n a2=2n，T n=b1+b2+…+b n==2n+1﹣2．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的判断与应用，同时考查了方程的思想应用．18．调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度有极强的相关性，现将这三项的满意度指标分别记为x、y、z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标ω=x+y+z的值评定居民对城市的居住满意度等级：若ω≥4，则居住满意度为一级；若2≤ϖ≤3，则居住满意度为二级；若0≤ϖ≤1，则居住满意度为三级，为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随机抽取10人进行调查，得到如下结果：（Ⅰ）若该城市有200万人常住人口，试估计该城市居民中居住满意度为三级的人数是多少？（Ⅱ）从居住满意度为一级的被调查者中随机抽取两人，这两人的居住满意度指标ω均为4的概率是多少？【分析】（Ⅰ）先求出样本的频率，再用样本的频率估计总体的频率即可求出，满意度为三级的人数；（Ⅱ）分别列举出满意度为一级的被采访者中随机抽取两人的所有基本事件，在找到满足条件即两人的满意度指标w均为4的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）计算10名被采访者的综合指标，可得下表：由上表可知：满意度为三级（即0≤w≤1）的只有A9一位，其频率为．用样本的频率估计总体的频率，可估计估计该城市居民中居住满意度为三级的人数为200×=20（万人）．（Ⅱ）设事件A为“从居住满意度为一级的被调查者中随机抽取两人，这两人的居住满意度指标ω均为4”．由（Ⅰ）可知满意度是一级的（w≥4）有：A1，A2，A3，A5，A6，A8，共6位，从中随机抽取两人，所有可能的结果为：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A1，A8}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A2，A8}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A3，A8}，{A5，A6}，{A5，A8}，{A6，A8}，共15种．其中满意度指标w=4有：A1，A2，A5，共3位，事件A发生的所有可能结果为：{A1，A2}，{A1，A5}，{A2，A5}，共3种，所以P（A）==．【点评】本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=PB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC的中点，点E为BC边上的点．（Ⅰ）求证：平面ADM⊥平面PBC；（Ⅱ）当=时，求点E到平面PDC的距离．【分析】（Ⅰ）取PB中点N，连结MN、AN，证明四边形ADMN为平行四边形，AN⊥平面PBC，可得平面ADM⊥平面PBC；（Ⅱ）当=时，E是BC的中点，DE=CE=2，利用V P﹣CDE =V E﹣PCD，求点E到平面PDC的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取PB中点N，连结MN、AN，则∵M是PC中点，∴MN∥BC，MN=BC=2，又∵BC∥AD，∴MN∥AD，MN=AD，∴四边形ADMN为平行四边形，∵AP⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥AN，∴AN⊥MN，∵AP=AB，∴AN⊥PB，∴AN⊥平面PBC，∵AN⊂平面ADM，∴平面ADM⊥平面PBC；（Ⅱ）解：∵=，∴E是BC的中点，∴DE=CE=2，△PDC中，PD=CD=2，PC==2，∴S △PDC =2，设点E 到平面PDC 的距离为h ．则 ∵V P ﹣CDE =V E ﹣PCD ，∴，∴h=，∴点E 到平面PDC 的距离为．【点评】本小题主要考查线面以及面面的垂直关系、点到平面的距离等问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．已知椭圆C 的焦点坐标是F 1（﹣1，0）、F 2（1，0），过点F 2垂直于长轴的直线l 交椭圆C 于B 、D 两点，且|BD |=3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点P （2，1）的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，且满足=若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程是=1（a ＞b ＞0），由椭圆C 的焦点坐标和过点F 2垂直于长轴的直线l 交椭圆C 于B 、D 两点，且|BD |=3，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程．（Ⅱ）设满足条件的直线方程为y=k （x ﹣2）+1，与椭圆联立，得（3+4k 2）x 2﹣8k （2k ﹣1）x +16k 2﹣16k ﹣8=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件，能求出直线l 1的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程是=1（a ＞b ＞0），∵椭圆C的焦点坐标是F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴c=1，∵过点F2垂直于长轴的直线l交椭圆C于B、D两点，且|BD|=3，∴，又a2﹣b2=1，∴a=2，b=，∴椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的直线方程为y=k（x﹣2）+1，由，得（3+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+16k2﹣16k﹣8=0，∵直线l1与椭圆C相交于不同的两点M，N，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴△=[﹣8k（2k﹣1）]2﹣4（3+4k2）（16k2﹣16k﹣8）＞0，解得k＞﹣，又，，∵=（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）=，∴，即，∴[﹣2+4]（1+k2）=，解得k=，∵k，∴k=，∴存在直线l1满足条件，其方程为y=．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量的数量积、椭圆性质的合理运用．21．设函数f（x）=2lnx+．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x≥1，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求导，利用导数和函数单调性的关系即可求出；（Ⅱ）分离参数，a≥+，构造函数h（x）=+，求导，再构造函数m（x）=x﹣xlnx﹣1，利用导数求出函数的最大值，问题得以解决．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）单调递增．（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤ax⇔a≥+，令h（x）=+，（x≥1），则h′（x）==，令m（x）=x﹣xlnx﹣1，（x≥1），则m′（x）=﹣lnx，当x≥1时，m′（x）≤0，于是m（x）在[1，+∞）上为减函数，从而m（x）≤m（1）=0，因此h′（x）≤0，于是h（x）在[1，+∞）上为减函数，所以当x=1时h（x）有最大值h（1）=1，故a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）．【点评】本题考查函数的单调性的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用请从22、23、24三题中选定一题作答，多做均按所做第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=，以AB为直径的⊙O恰与CD相切于点E，⊙O交BC于F，连结EF．（Ⅰ）求证：AD+BC=AB；（Ⅱ）求证：EF是AD与AB的等比中项．【分析】（Ⅰ）连接OE，利用圆的直径与梯形的中位线定理，即可证明结论成立；（Ⅱ）连接AF，利用勾股定理和切割线定理，结合题意即可求出EF是AD与AB的等比中项．【解答】证明：（Ⅰ）如图所示，连接OE，∵CD与⊙O相切于点E，∴OE=AB，又OE⊥DC，∠C=，∴OE∥BC，且OE=（AD+BC），∴AD+BC=AB；（Ⅱ）∵CD与⊙O相切，∴CE2=CFCB，连接AF，则AF⊥BF，∴AF∥CD，∴AD=FC，∴EF2=CE2+CF2=CFCB+CF2=CF（CB+CF）=AD（CB+AD）=ADAB；即EF是AD与AB的等比中项．【点评】本题考查了与圆有关的比例线段以及切割线定理的应用问题，考查了逻辑推理与证明能力，是综合性题目．[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．（2016白银模拟）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C 于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．【分析】（Ⅰ）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程．（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1﹣t2|，化为关于α的三角函数求解．【解答】解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 …（5分）（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…（10分）【点评】本题考查极坐标和直角坐标的互化，直线与圆的位置关系．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即可．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．【分析】（1）把f（x）用分段函数来表示，令f（x）=0，求得x的值，可得不等式f（x）＞0的解集．（2）由（1）可得f（x）的最小值为f（），再根据f（）＜4a﹣2a2，求得a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或x=3，故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，即f（x0）＜4a﹣2a2有解，由（1）可得f（x）的最小值为f（）=﹣3﹣1=﹣，故﹣＜4a﹣2a2，求得﹣＜a＜．【点评】本题主要考查分段函数的应用，函数的能成立问题，属于中档题．。
兰州一中2017-2018-2学期高二年级期末考试试题数 学（文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线3x －y ＋3＝0的倾斜角为 A ．30°B ． 60°C ． 120°D ．150°2．设集合{|22}A x x =-≤≤，集合2{|230}B x x x =-->，则A B =A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,2]- C ．[2,1)-- D ．(,2](3,)-∞+∞3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足41020a a +=，则13S = A ．130B ．150C ．200D ．2604．若命题“∃∈0x R ，使得01)1(020<+-+x a x ”是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．(－1，3) B ．[－1，3] C ．(,1)(3,)-∞-+∞ D ．(,1][3,)-∞-+∞5. 已知 2.10.5a =，0.52b =， 2.10.2c =，则a 、b 、c 的大小关系是A ． a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b << 6．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ． 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半7．已知向量，a b 满足2=|a |=|b |，2⋅-=-（）a b a ，则|2|-=a b A ． 2B ．C ． 4D ．88．若执行下面的程序框图，输出S 的值为3，则判断框中应填入的条件是A ． ?7<k B ． ?6<k C ．?9<k D ．?8<k9．已知实数y x ,满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值是A ． 2B ．2-C ．4D ． 4-10．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．2B ．3C ．D ． 11．已知函数()cos(2))f x x x ϕϕ=--（||2πϕ<）的图象向右平移12π个单位后关于y 轴对称，则ϕ的值为 A ．12π B ．6π C ．3π- D ．3π12．已知函数20()12xx f x x x -⎧≥⎪=+⎨⎪<⎩，则不等式2(2)(2)f x x f x -<的解集为A ． (,0)(4,)-∞+∞ B ．(,0)(2,)-∞+∞ C ．(,2)-∞ D ．(2,4)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知lg lg 1x y +=，则的最小值是 ． 14．若直线1:m 60l x y ++=与直线2:(m 2)320l x y m -++=平行，则实数m 的值为 ．15．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(,0]-∞上是减函数，则不等式(1)(ln )f f x -<的解集是 ．16．半径为4的球的球面上有四点A ,B ,C ,D ，已知ABC ∆为等边三角形且其面积为39，则三棱锥D ABC -体积的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=，求数列}{n b 的前n 项和n S ． 18．（本小题12分） 已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-．（Ⅰ）求()x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求()x f 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及取得最大值时x 的值． 19．（本小题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan cos cos )c C a B b A +. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若点D 在边BC 上，且4AD CD ==，ABD ∆的面积为c . 20．（本小题12分）某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表:（Ⅰ）求出表中数据m ，n ；（Ⅱ）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关；（Ⅲ）)为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现：它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率. 附：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++21．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD DA ⊥,PD DC ⊥.（Ⅰ）若E 是PA 的中点，求证：PC ∥平面BED ； （Ⅱ）若4PD AD ==，PE AE =，求三棱锥A BED -的高. 22.（本小题12分）已知直线l ：0x y ++=，半径为4的圆C 与直线l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.兰州一中2017-2018-2学期高二年级期末试题答案数 学（文）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．2 14．1- 15．()10,,e e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16．318三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=，求数列}{n b 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）设公比为，则，，∵是和的等差中项，∴，，解得或（舍），∴． ..........................5分 （Ⅱ），则．................10分18、（本小题12分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-．（Ⅰ）求()x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求()x f 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及取得最大值时x 的值．解：（Ⅰ）因为()4cos sin f x x =()16x π+-1cos 21sin 23cos 4-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=x x x222cos 12cos22sin 26x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭....................4分 故()f x 最小正周期为π. ................................................................................5分 由222262k x k πππππ-≤+≤+得36k x k ππππ-≤≤+故()f x 的单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． ................................ 8分 （Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤． 于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2............................12分19、（本小题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知tan cos cos )c C a B b A +. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若点D 在边BC 上，且4AD CD ==，ABD ∆的面积为c . 解：（Ⅰ）由tan cos cos )c C a B b A =+及正弦定理可得sin tan cos sin cos )C C A B B A =+，故sin tan )C C A B =+，而sin sin()0C A B =+>，所以tan C =3C π=. ...............................6分（Ⅱ）由4AD CD ==及3C π=可得ACD ∆是正三角形.由ABD ∆的面积为12sin 23AD BD π⋅⋅=142BD ⨯⨯= 故8BD =，在ABD ∆中，由余弦定理可得222248248cos1123c π=+-⨯⨯⨯=，即c = ..............................12分 20、（本小题12分）某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表:（Ⅰ）求出表中数据m ，n ；（Ⅱ）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关；（Ⅲ）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现：它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率. 附：2(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++解：（Ⅰ）根据分层抽样方法抽得女生50人，男生75人，所以m =50-20=30(人)， n =75-25=50(人) ………………………………………………………………3分（Ⅱ）因为22125(20253050)8.66 6.635(2030)(5025)(2050)(3025)K ⨯-⨯=≈>++++，所以有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关.………………………………………7分 （Ⅲ）设5名男生分别为A 、B 、C 、D 、E ，2名女生分别为a 、b ，由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访，相当于从7人中挑选2人不接受采访，并且2人中恰有一男一女.而从7人中挑选2人的所有可能的结果为{A ,B }{A ,C }{A ,D }{A ,E }{A ,a }{A ,b }{B ,C }{B ,D }{B ,E }{B ,a }{B ,b }{C ,D }{C ,E }{C ,a } {C ,b }{D ,E }{D ,a }{D ,b }{E ,a }{E ,b }{a ,b }，共21种， 其中恰为一男一女的包括，{A ,a }{A ,b }{B ,a }{B ,b }{C ,a }{C ,b }{D ,a }{D ,b }{E ,a }{E ,b },共10种. 因此所求概率为1021P =. ………………………………………12分21、（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD DA ⊥,PD DC ⊥. （Ⅰ）若E 是PA 的中点，求证：PC ∥平面BED ；（Ⅱ）若4PD AD ==，PE AE =，求点A 到平面BED 的距离. 解：（Ⅰ）设AC 交BD 于G ,连接EG .在正方形ABCD 中，G 为AC 中点，则在三角形ACP 中,中位线 EG ∥PC ,又EG ⊂平面BED ,PC ⊄平面BED , ∴PC ∥平面BED . ............5分（Ⅱ）在PAD ∆中，设AD 的中点为O ，连接EO ，则122EO PD ==，且EO ∥PD 又∵PD DA ⊥,PD DC ⊥，∴PD ⊥平面ABCD . ∴EO ⊥平面ABCD . 又4PD AD ==，∴DE AE DB BE ==== ∴ 三角形BED 为直角三角形.又∵A BDE E ABD V V --=，（设三棱锥A BED -的高为h ） ∴1133ABD BDE S EO S h ∆∆⨯=⨯，∴11114423232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得h =. 所以点A 到平面BED的距离为. ............12分22．（本小题12分）已知直线l：0x y ++=，半径为4的圆C 与直线l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）设圆心C (a ，0) (a >-，4=⇒a ＝0或a＝-(舍).所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝16. .........................4分 （Ⅱ）当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)， 假设N (t ，0) (0)t >符合题意，又设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由22(2)16y k x x y =-⎧⎨+=⎩得(k 2＋1)x 2－4k 2x ＋4k 2－16＝0， 所以x 1＋x 2＝2241k k +，x 1x 2＝224161k k -+. .....................................................6分若x 轴平分∠ANB ， 则k AN ＝－k BN …………8分 即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒11(2)k x x t --＋22(2)k x x t--＝0⇒2x 1x 2－(t ＋2)(x 1＋x 2)＋4t ＝0⇒222(416)1k k -+－224(t 2)1k k ++＋4t ＝0⇒t ＝8. …………11分 所以存在点N 为(8，0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立. ……………12分。
兰州一中2017-2018学年2学期期末考试试题高二数学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟第I卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数的实部与虚部之和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，复数的实部和虚部之和是，故选B.2. 已知等比数列满足，则（）A. 64B. 81C. 128D. 243【答案】A【解析】试题分析：∵，∴，∴，∴．考点：等比数列的通项公式．3. 已知，则的最小值是 ( )A. 6B. 5C.D.【答案】C【解析】试题分析：，考点：基本不等式4. 图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】函数的周期，相邻最高点和最低点的横坐标间的距离为，根据勾股定理最高点和最低点之间的距离为，故选A.5. 参数方程（为参数）所表示的曲线是（）A. 一条射线B. 两条射线C. 一条直线D. 两条直线【答案】B【解析】或，所以表示的曲线是两条射线.故选B.考点：参数方程.6. 如图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是（）A. ?B. ?C. ?D. ?【答案】D【解析】由题意可知输出结果为第1次循环,第2次循环,第3次循环,第4次循环,第5次循环,此时满足输出结果,退出循环,所以判断框中的条件为.故选7. 已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为（）A. [-1，2]B. [-1，]C. [-，1]D. [-1，-]【答案】C【解析】由题意得为方程的根,且,所以,因此不等式bx2-x+a≤0为 ,选C.8. 圆的圆心极坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】略9. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A. 向左平移单位B. 向右平移单位C. 向右平移单位D. 向左平移单位【答案】C【解析】分析：根据平移的性质，2x2x，根据平移法则“左加右减”可知向右平移个单位．解答：解：∵y=sin2x y=sin(2x)故选：C10. 若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以且，因为所以，又，所以，故故选D.点睛：本题主要考查了三角函数求值，属于基础题，在本题中，将所求的拆成是关键。
甘肃省兰州一中高二数学上学期期末考试 文【会员独享】说明：本试卷满分100分，答卷时间100分钟，答案写在答题卡上，交卷时只交 答题卡一．选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，每小题提供的四个选项中只有一项符合题目要求，请选择后填在答题卡上）1．已知ABC ∆的顶点B ,C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）A 2．如果曲线C 上的点满足(,)0,F x y =则下列说法正确的是（ ） A 曲线C 的方程是(,)0F x y =B 方程(,)0F x y =的曲线是CC 坐标满足方程(,)0F x y =的点在曲线C 上D 坐标不满足方程(,)0F x y =的点不在曲线C 上3．“0a b >>”是“222a b ab +<”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4．函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a 等于（ ）A18 B 14 C 12D 1 5．已知函数()f x 在1x =处导数值为3，则()f x 的解析式可能是（ ）A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =-6．将曲线224x y +=上各点的纵坐标缩短到原来的12（横坐标不变），所得曲线的方程是（ ）A 2244y x += B 2244x y += C 2244x y += D 2244x y += 7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F ,点111222333(,),(,),(,)P x y P x y P x y 在抛物线上，且2132x x x =+,则有 ( )A 123||||2||FP FP FP +=B 222123||||||FP FP FP += C 2132||||||FP FP FP =+ D 2222||||||FP FP FP =⋅8．双曲线22221(0)x y a b a b-=<≤的离心率为e ，则e 的取值范围是（ ）A 02e <<B 12e <<C 12e <≤D 2e ≥9．函数32()32f x x x =-+在区间[-1,1]上的极大值是 ( )A -2B 0C 2D 4 10．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如右图所 示，则()y f x =的图象最有可能是（ ）11．抛物线24y x =上一动点P 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-的距离之和的最小值是 （ ）A 2B 3 C115 D 371612．若,x y R ∈，且221x y +=.当0x y c ++=时，c 的最大值是（ ） A 2 B 2- C 22 D 22- 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡中相应题号的横线上）13．()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是_______________.14．过点(0,2)M 且与双曲线22194x y -=仅有一个公共点的直线共有 条. 15．命题“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值区间为 . 16．已知p 是r 的充分条件而不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有以下命题： ① s 是q 的充要条件；② p 是q 的充分而不必要条件； ③ r 是q 的必要而不充分条件； ④ p ⌝是s ⌝的必要而不充分条件；⑤ r 是s 的充分而不必要条件；则以上命题正确的是_________________（填上所有正确命题的序号）. 三、解答题（共4道题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本题8分) 设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1()f x x'=， ()()()g x f x f x '=+. 求()g x 的单调区间和最小值.18. (本题8分) 已知直线:24l y x =-被抛物线C ：22(0)y px p =>截得的弦长AB = (Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)若抛物线C 的焦点为F ，求三角形ABF 的面积.19.（本题10分）设3211()232f x x x ax =-++.若()f x 在 2(,)3+∞存在单调增区间，求a 的取值范围.20.(本题10分)中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ,B 两点（A,B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标.参考答案′′二、填空题（4×4=16）13. 1(,)e+∞ 14. 4 ; 15. ⎡-⎣; 16. ①②④ .三、解答题（共4道题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本题8分)解：由题设易知1()ln ,()ln ,f x x g x x x ==+21'(),x g x x-=令'()0g x =,得1x = 2′ 当 (0,1)x ∈时， '()0g x <，故（0,1）是()g x 的单调减区间， 4′当(1,)x ∈+∞ 时，'()0g x > ，故(1,)+∞ 是()g x 的单调增区间， 6′因此，1x =是 ()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1)1g =.8′18. (本题8分) 解：（1）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) ∵22242(8)802y x x p x y px=-⎧⇒-++=⎨=⎩而AB =即2228(12)()442p+⎡⎤=+-⨯⎢⎥⎣⎦∴p =2故抛物线C 的方程为：24y x = 4′（2）由（1）知F (1,0) ∴点F 到AB的距离d =∴132ABFSd AB =⋅= 19.（本题10分）解:（1）由2211()2()224f x x x a x a '=-++=--++ 当222[,),()()2;339x f x f a ''∈+∞=+时的最大值为 2′ 令2120,99a a +>>-得 所以，当12,()(,)93a f x >-+∞时在上存在单调递增区间. 4′（2）令1211()0,22f x x x -+'===得两根 所以12()(,),(,)f x x x -∞+∞在上单调递减，在12(,)x x 上单调递增 5′ 当1202,14,()a x x f x <<<<<时有所以在[1，4]上的最大值为2()f x又27(4)(1)60,(4)(1)2f f a f f -=-+<<即 7′ 所以()f x 在[1，4]上的最小值为4016(4)833f a =-=- 8′ 得21,2a x ==，从而()f x 在[1，4]上的最大值为10(2).3f = 10′ 20.(本题10分)解：（1）依题意知a =2,c =1,得 2b =3，∴椭圆C 的方程是： 22143x y += 4′（2）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，知椭圆C 的右顶点为M （2,0）由22222(34)84(3)0143y kx mk x mkx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩ 2′且2234k m而即0AMBM AM BM∴11222211121222(2,)(2,)(1)(2)()40x y x y y kx m k x x mkx x m y kx m∴222224(3)8(1)(2)403434m mk k mkm k k 2′整理得即2271640(2)(72)0m mk k m k m k当2m k 时，:(2)l y k x 过定点M （2,0）为右顶点，舍去； 当27mk 时，2:()7l y k x过定点2(,0)7，此时22340k m ，综上知，直线l 过定点2(,0)7. 2′。
甘肃省兰州市第一高二上学期期末考试数学试卷说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）第I 卷（选择题）一、选择题(每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．) 1．如果命题pq 为真命题，pq 为假命题，那么（ ）A ．命题p 、q 都是真命题B ．命题p 、q 都是假命题C ．命题p 、q 至少有一个是真命题D ．命题p 、q 只有一个真命题 2．过点P （2,4）且与抛物线y 2=8x 有且只有一个公共点的的直线有（ ） A ．0条 B ． 1条 C ．2 条 D ． 3条 3．双曲线22549x y -=-的一条渐近线方程是 ( )A ．230x y -=B ．320x y +=C ．940x y -=D ．490x y -= 4．曲线()2216106xym mm+=<--与曲线()2215959xn nny +=<<--的（）A ．焦距相等B ．离心率相等C ．准线相同D ． 焦点相同 5．设点()()()3,3,1,1,0,5,0,1,0A B C ，则AB 的中点到C 的距离为（ ）A 4B ．2C 4D ．26．下列命题错误．．的是 ( ) A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”. B ．若命题:R p x ∃∈，210x x ++=，则“p ⌝”为：2R 10x x x ∀∈++≠，.C ．若命题p :1,x <-或1x >；命题q :2,x <-或1x >，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件.D ．“2x > ”是“2320x x -+>”的充分不必要条件.7．已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-，且()()2ka b a b +⊥-，则k 的值为（ ） A ． 1 B ．75C ．35D ．158．已知线段AB 、BD 在平面α内，∠ABD =120°，线段AC ⊥α，如果AB =a ，BD =b ，AC =c ，则线段CD 的长为（ ）A B C D 9．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 1、F 1分别是A 1B 1、C 1D 1上的点，并且4B 1E 1＝4D 1F 1＝A 1B 1，则BE 1与DF 1所成角的余弦 值是（ ）A 2B ．12C ．817D ．151710．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 ( ) A ． (1，+∞) B ．(1,2) C ．(1,1+2) D ．(2,1+2)第II 卷（非选择题）二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共18分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．） 11．已知点()3,1A ，在抛物线22y x =上找一点P ，使得PF PA +取最小值（F 为抛物线的焦点），此时点P 的坐标是 . 12．对于以下命题：①a b a b -=+是,a b 共线的充要条件；②对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若2OP OA OB OC =-+，则P 、A 、B 、C 四点共面. ③如果0<⋅,那么与的夹角为钝角④若{},,a b c 为空间一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底； ⑤若23,246m a b c n a b c =-+=-+-，则//m n . 其中不正确结论的序号是___________________. 13．已知椭圆22162x y +=与双曲线2213x y -=的公共焦点为F 1，F 2，点P 是两条曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2的值为 .14．若椭圆221(0,0)mx ny m n +=>>与直线10x y +-=交于A ，B 两点，若:m n =，则过原点与线段AB 的中点M 的连线的斜率为 ．参考答案第I 卷（选择题）一、选择题二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共16分）11．1,12⎛⎫⎪⎝⎭12．①③ 13．13 14三、解答题（本题共5小题，共54分）15．（本小题满分10分）已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，，且过点(4, （Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若点()3,M m 在双曲线上，求证：120MF MF ⋅=.解析：（Ⅰ）由题意，可设双曲线方程为22x y λ-=，又双曲线过点(4,， 解得6λ=故双曲线方程为226x y -=. ……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a b ==，c =， ∴()1F -，()2F∴ ()13,MF m =--，()23,MF m =--， ∴2123MF MF m ⋅=-，又点()3,M m 在双曲线上， ∴ 296m -=， ∴23m =，即120MF MF ⋅=.……………………………10分16．(本小题满分10分) 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB和BC 的中点，试在棱B 1B 上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.证明：分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B1(1,1,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0， M (1,1，m )．∴AC →＝(－1,1,0)，又E 、F 分别为AB 、BC 的中点，∴EF →＝12AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 又∵B 1E →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－1，D 1M →＝(1,1，m －1)， ∵D 1M ⊥平面FEB 1，∴D 1M ⊥EF 且D 1M ⊥B 1E .即D 1M →·EF →＝0，且D 1M →·B 1E →＝0. ∴⎩⎨⎧－12＋12＋(m －1)·0＝00－12＋(1－m )＝0，∴m ＝12.故取B 1B 的中点M 就能满足D 1M ⊥平面EFB 1.17．（本小题满分10分）已知定点A （1,0）和定圆B ：,x y x 015222=-++动圆P 和定圆B 相切并过A 点，（Ⅰ）求动圆P 的圆心P 的轨迹C 的方程.（Ⅱ）设Q 是轨迹C 上任意一点，求AQB ∠的最大值. 解析：（Ⅰ）设)y ,x (P ，则24>=+PB PA ,∴所以点P 的轨迹是以A ,B 为焦点，长轴长为4的椭圆所以点P 的轨迹方程是13422=+y x ……………………………………………………4分 （Ⅱ）设,n QB ,m QA ==则4=+n m2112616242242222=-+≥-=--+=-+=∠∴)n m (mn mn mn )n m (mn n m AQB cos当且仅当n m =时取“=”，),(AQB π0∈∠ ，∴AQB ∠的最大值是3π.……………………………………………………10分 注：其它解答参考给分.18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,22ACB AC AA BC ∠====. （Ⅰ）若D 为1AA 中点，求证：平面1B CD ⊥平面11B C D ； （Ⅱ）若二面角B 1—DC —C 1的大小为60°，求AD 的长. 解法1：（Ⅰ）∵11190AC B ACB ∠=∠=，∴1111B C AC ⊥，又由直三棱柱性质知111B C CC ⊥，∴11B C ⊥平面ACC 1A 1.∴11B C CD ⊥……① 由D为中点可知，1DC DC ==22211DC DC CC +=即1CD DC ⊥……②由①②可知CD ⊥平面11B C D ，又CD ⊂平面1B CD ，故平面1B CD 平面11B C D .………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（1）可知11B C ⊥平面ACC 1A 1，如图，在面ACC 1A 1内过C 1作1C E CD ⊥，交CD 或延长线或于E ，连EB 1，可知11B EC ∠为二面角B 1—DC —C 1的平面角， ∴1160.B EC ∠= 由B 1C 1=2知，13C E =， 设AD=x，则DC =∵11DC C ∆的面积为1，∴13321212=⋅+⋅x ，解得x =AD ……………………………………………………12分C 11A 1BA DC解法二：（Ⅰ）如图，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 则 C （0，0，0），A （1，0，0），B 1（0，2，2），C 1（0，0，2），D （1，0，1）即11(0,2,0),(1,0,1),(1,0,1)C B DC CD ==-=0101)1,0,1()1,0,1(;,0000)0,2,0()1,0,1(111=++-=-⋅=⋅⊥=++=⋅=⋅DC CD B C CD C 由得由得1CD DC ⊥；又111DC C B C =，∴CD ⊥平面B 1C 1D .又CD ⊂平面B 1CD ，∴平面1B CD 平面11B C D …………………………………………6分（Ⅱ）设AD=a ，则D 点坐标为（1，0，a ），1(1,0,)(0,2,2)CD a C B ==，设平面B 1CD 的法向量为(,,)m x y z =. 则由,1,0220001-=⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅z z y ax x CB 令 得(,1,1)m a =-， 又平面C 1DC 的法向量为(0,1,0)n =，则由212160cos 2=+a，即a =，故AD = ………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）已知两点)0,1(1-F 及)0,1(2F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且1PF 、21F F 、2PF 构成等差数列．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C共点，点,M N 是直线l 上的两点，且12,F M l F N l ⊥⊥求四边形12F MNF 面积S 的最大值．解析：(Ⅰ)依题意，设椭圆C 的方程为22221x y a b+=．1122PF F F PF 、、构成等差数列，11222242a PF PF F F a ⇒=+==⇒=．又1c =，故23b =．从而，椭圆C 的方程为22143x y +=． …………………………………………4分 (Ⅱ)将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程223412x y +=中，得：01248)34(222=-+++m kmx x k ． ……………………5分 由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=，化简得：2243m k =+． …………………………6分设11d F M ==，22d F M ==， …………………………8分（法一）当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ， 则12tan d d MN θ-=⨯，12d d MN k-⇒=， 22121212221()221m d d d d S d d k k k --=+==+mm m m 1814322+=+-=， …………………………10分又2243m k =+，∴当0k ≠时，3>m ，3343131=+>+m m ，32<S ． 当0=k 时，四边形12F MNF是矩形，S =．故四边形12F MNF 面积S的最大值为 ……………………………12分（法二）222222212222()2(53)11m k k d d k k +++=+==++，222122233311m k k d d k k -+====++．MN ⇒===．四边形12F MNF 的面积121()2S MN d d =+)(11212d d k ++=， ………10分22221222122)1(1216)2(11++=+++=k k d d d d k S12)211(41622≤-+-=k ．当且仅当0k =时，212,S S ==max S =所以四边形12F MNF 的面积S的最大值为…………………………………12分。
2017-2018 学年度第一学期期末联考试卷高二数学（文科）注意事项1.考试时间120 分钟，满分150 分。
试题卷总页数： 4 页。
2.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效。
3.需要填涂的地方，一律用2B 铅笔涂满涂黑。
需要书写的地方一律用0.5MM 签字笔。
4.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.圆心为（-1, 1），半径为 2 的圆的方程是2 A（.x+1）2 C.（x+1）(y 1)2 1(y 1)2 22B.（x-1）2D.（x-1）(y 1)2 1(y 1)2 22. 已知抛物线方程为y2 =4 x ，则该抛物线焦点坐标为（1,0）B. ( 1,0)C. (0, 1)D. (0,1)A.3. “x 2”是1“ x 2”成立的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设 m R ，命题“若m 0 则方程 x2 +x m 0 有实根”的逆否命题是A.若方程x2+x m 0 有实根，则 m 0B. 若方程x2+x m 0 有实根，则 m 0C.若方程x2+x m 0 没有实根，则 m 0D.若方程 x2 +x m 0 没有实根，则 m 05. 设 m, n 是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A.若m ， n ，则 m nB. 若m n，m ，则， nC.若m ， m ，则D.若m ，，则， m6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. 2C. 3D. 47. 命题“x0 (0, ),lnx 0 x0 2”的否定是A. x0 (0, ),lnx 0 x0 2B. x0 (0, ),lnx 0 x0 2C. x0 (0, ),lnx 0 x0 2D. x0 (0, ),lnx 0 x0 28. 函数 y f (x) 的导函数 y f (x) 的图像如图所示，则函数y f (x) 的图像可能是9.直线x 2y 5 5=0 被圆x2 y 2 2x 4 y 0 截得的弦长为A. 4 6B.4C.2D.110.函数 f (x) (x 3)e x的单调递增区间是A. ( ,2)B. (0,3)C. (1,4) D（. 2，+）11. 已知椭圆x2 y 21(a b 0) 的左、右顶点分别为A1 , A2,且以线段 A1 A2为直径的C:b2a2圆与直线 bx-ay 2ab 0 相切，则椭圆 C 的离心率为6B. 3C.2 1A.3 3 D.3 312. 若0 x1 x2 1，则A. e x2 e x1 ln x2 ln x1B. e x2 e x1 ln x2 ln x1C. x2e x1 x1e x2D. x2e x1 x1 e x2二、填空题 :本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .把答案填写在答题卡的相应位置上.13. 双曲线x2y2 （1 a>0）的一条渐近线方程为y3x ，则a=. a2 9 514.已知长方体的长、宽、高分别为3、2、 1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为.15. 已知函数 f (x) ax ln x, x (0,)，其中 a 为实数， f (x) 为 f (x) 的导函数，若f（ 1）=3 ，则a=.16. 若曲线f (x, y) 0 上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线 f (x, y) 0 的“自公切线”，下列方程① x2 y2 1 ；② y x2 x ，③y 3sin x 4cos，则对应曲线有“自公切线”的有.三、解答题，本大题共 6 小题，共70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知Rt ABC 的顶点坐标A(0, 2) ,直角顶点 B( 1, 2 2) ，顶点C在x轴上，求：（1）点 C 的坐标；（2）斜边所在直线的方程 .18. 已知函数 f (x) 1 x3 x2 3x ，求：3（1 ）函数y f (x) 在点（ 3,f(x) ）处的切线方程；（2 ）函数y f (x) 的极值.2 21 ，求：19. 已知圆的方程为：（x-1）y（1）斜率为 3 且与圆相切的直线的方程；（2）过定点（ 2， -3）且与圆相切的直线的方程 .20. 如图，在三棱锥P ABC 中，PA AB ,PA BC , AB BC ,D为线段AC的中点，E 为线段 PC 上一点 .（1）求证：PA BD ;（2）求证：平面BDE平面PAC.21. 已知椭圆 C 的两个顶点分别为A( 2,0),B(2,0) ,焦点在x轴上，离心率为3. 2（1 ）求椭圆 C 的方程；（2 ）点 D 为x轴上一点，过点 D 作x轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M,N ，过点 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E. 求证：BDE 于BDN 的面积之比为4:522. 设函数f (x) ax x ln x 的图像在x e处切线的斜率为 3.（1 ）求实数 a 的值；（2 ）若 k Z ,且 k f (x) 对任意 x e2恒成立，求k的最大值.x 1。
2016-2017学年甘肃省兰州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）每小题中，只有一项符合题目要求，请将正确答案填在正确的位置.1．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1交于A，B，则“k=1”是“△ABC的面积为”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．原命题为“若＜a n，n∈N+，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真、真、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假3．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x0＞0，使得（x0+1）e≤1 D．∀x0≤0，使得（x0+1）e≤14．已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．75．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2 B．2 C．4 D．46．已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A．2：B．1：2 C．1：D．1：37．若曲线f（x）=x•sinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．若函数f（x）=cosx+2xf′（），则f（﹣）与f（）的大小关系是（）A ．f （﹣）=f （）B ．f （﹣）＞f （）C ．f （﹣）＜f （）D ．不确定9．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（ ）A ．若α≠，则tan α≠1B ．若α=，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠D ．若tan α≠1，则α=10．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F （1，0），离心率等于，则C 的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．11．给出下列命题：①若原命题为真，则这个命题的否命题，逆命题，逆否命题中至少有一个为真； ②若p 是q 成立的充分条件，则q 是p 成立的必要条件； ③若p 是q 的充要条件，则可记为p ⇔q ； ④命题“若p 则q”的否命题是“若p 则￢q”． 其中是真命题的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．②④ 12．函数f （x ）=xe ﹣x，x ∈[0，4]的最大值是（ ）A ．0B ．C ．D ．二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分.）请将正确的答案填在横线上． 13．设a ，b ∈R ，则“a +b ＞4”是“a＞2且b ＞2”的 ． 14．p ：∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2≤0的否定是 ．15．设函数f （x ）在（0，+∞）内可导，且f （e x）=x+e x，则f′（1）= ．16．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB|=3，则C 的方程为 ．三、解答题（本大题共8小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 17．求双曲线9y 2﹣16x 2=144的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程． 18．已知双曲线两个焦点坐标分别是F 1（﹣5，0），F 2（5，0），双曲线上一点到的距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．19．已知点A，B的坐标分别为（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为．20．已知集合A=，p：x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分条件，求m的取值范围．21．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|= ．22．已知函数f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4．求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程．23．已知函数f（x）=e x，求f（x）的单调区间．24．已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x．2016-2017学年甘肃省兰州市舟曲中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）每小题中，只有一项符合题目要求，请将正确答案填在正确的位置.1．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1交于A，B，则“k=1”是“△ABC的面积为”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】k=1时，圆心O到直线l的距离d=，|AB|=2，可得S△ABC=d|AB|．反之不成立，例如取k=﹣1．即可判断出结论．【解答】解：k=1时，圆心O到直线l的距离d=，|AB|=2=．∴S△ABC=d|AB|==．反之不成立，例如取k=﹣1．∴“k=1”是“△ABC的面积为”的充分不必要条件．故选：B．2．原命题为“若＜a n，n∈N+，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真、真、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假【考点】四种命题；四种命题间的逆否关系．【分析】先根据递减数列的定义判定命题的真假，再判断否命题的真假，根据命题与其逆否命题同真性及四种命题的关系判断逆命题与逆否命题的真假．【解答】解：∵＜a n=⇔a n+1＜a n，n∈N+，∴{a n}为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若≥a n，n∈N+，则{a n}不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，∴命题的逆命题，逆否命题都是真命题．故选：A．3．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x0＞0，使得（x0+1）e≤1 D．∀x0≤0，使得（x0+1）e≤1【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为：∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1．故选：B．4．已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．7【考点】椭圆的简单性质．【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=7．故选D．5．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2 B．2 C．4 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，则c=2a，b=，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，∴d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C6．已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A．2：B．1：2 C．1：D．1：3【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【解答】解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0）∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|因此，，可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：故选：C7．若曲线f（x）=x•sinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）=xsinx+1在点处的导数值，这个导数值即函数图象在该点处的切线的斜率，然后根据两直线垂直的条件列方程求解a．【解答】解：f'（x）=sinx+xcosx，，即函数f（x）=xsinx+1在点处的切线的斜率是1，直线ax+2y+1=0的斜率是，所以，解得a=2．故选D．8．若函数f（x）=cosx+2xf′（），则f（﹣）与f（）的大小关系是（）A．f （﹣）=f（） B．f （﹣）＞f（）C．f （﹣）＜f（）D．不确定【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用已知条件，求出函数的导数，推出f′（），得到函数的表达式，然后比较f（﹣）与f（）的大小．【解答】解：函数f（x）=cosx+2xf′（），所以函数f′（x）=﹣sinx+2f′（），所以f′（）=﹣sin+2f′（）=，f（x）=cosx+x，则f （﹣）=cos ﹣；f （）=cos +，所以f （﹣）＜f （）．故选C ．9．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（ ）A ．若α≠，则tan α≠1B ．若α=，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠D ．若tan α≠1，则α=【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】原命题为：若a ，则b ．逆否命题为：若非b ，则非a ．【解答】解：命题：“若α=，则tan α=1”的逆否命题为：若tan α≠1，则α≠．故选C ．10．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F （1，0），离心率等于，则C 的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的标准方程．【分析】由已知可知椭圆的焦点在x 轴上，由焦点坐标得到c ，再由离心率求出a ，由b 2=a 2﹣c 2求出b 2，则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C 的右焦点为F （1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b 2=a 2﹣c 2=3．所以椭圆的方程为．故选D ．11．给出下列命题：①若原命题为真，则这个命题的否命题，逆命题，逆否命题中至少有一个为真；②若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件；③若p是q的充要条件，则可记为p⇔q；④命题“若p则q”的否命题是“若p则￢q”．其中是真命题的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，原命题与其逆否命题同真假，；②，若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件；③，若p是q的充要条件，则可记为p⇔q；④，命题“若p则q”的否命题是“若￢p则￢q”，．【解答】解：对于①，原命题与其逆否命题同真假，故正确；对于②，若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件，正确；对于③，若p是q的充要条件，则可记为p⇔q，正确；对于④，命题“若p则q”的否命题是“若￢p则￢q”，故错．故选：A12．函数f（x）=xe﹣x，x∈[0，4]的最大值是（）A．0 B．C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】利用导数判断函数的单调性即可得出结论．【解答】解：f（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x），∴当0≤x≤1时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，当1≤x≤4时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，∴当x=1时，f（x）max=f（1）=．故选B．二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分.）请将正确的答案填在横线上．13．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件．14．p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0的否定是∀x∈R，x2+2x+2＞0 ．【考点】命题的否定．【分析】特称命题：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0”的否定是：把∃改为∀，其它条件不变，然后否定结论，变为一个全称命题．即∀x∈R，x2+2x+2≥0”．【解答】解：特称命题：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0”的否定是全称命题：∀x∈R，x2+2x+2＞0故答案为：∀x∈R，x2+2x+2＞0．15．设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）= 2 ．【考点】导数的运算；函数的值．【分析】由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）．【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，令e x=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，∴f′（x）=+1，故f′（1）=1+1=2．故答案为：2．16．已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=3，则C的方程为=1 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的方程为=1，（a＞b＞0），根据题目条件得出a2﹣b2=1，①，=1，②由①②联合求解即可．【解答】解：设椭圆的方程为=1，（a＞b＞0）∵可得c==1，∴a2﹣b2=1，①AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且|AB|=3，A（1，），（1，﹣），代入方程得出：=1，②联合①②得出a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为：=1，故答案为：=1三、解答题（本大题共8小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）17．求双曲线9y2﹣16x2=144的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程．【考点】双曲线的标准方程．【分析】把双曲线9y2﹣16x2=144方程化为，由此利用双曲线的性质能求出结果．【解答】解：把双曲线9y2﹣16x2=144方程化为由此可知实半轴长a=4，虚半轴长b=3，，焦点坐标（0，﹣5），（0，5），离心率，渐近线方程为．18．已知双曲线两个焦点坐标分别是F1（﹣5，0），F2（5，0），双曲线上一点到的距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【分析】设出双曲线方程，利用已知条件求出a，c，b，即可得到双曲线方程．【解答】解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为，因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5，又因为b2=c2﹣a2所以b2=52﹣32=16，双曲线的标准方程为．19．已知点A，B的坐标分别为（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】设出点M的坐标，表示出直线AM、BM的斜率，进而求出它们的斜率之积，利用斜率之积是，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点M的轨迹方程．【解答】解：设M（x，y），因为A（﹣5，0），B（5，0）所以k AM=（x≠﹣5），k BM=（x≠5）由已知，•=﹣化简，得4x2+9y2=100（x≠±5）即．故答案为：．20．已知集合A=，p：x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分条件，求m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据二次函数的性质求出A的范围，化简集合B，根据A⊆B，得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：化简集合，配方，得．因为，∴，化简集合B，由x+m2≥1，得x≥1﹣m2，B={x|x≥1﹣m2}，因为命p题是命题q的充分条件，∴解得或，故实数的取值范围是．21．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|= 12 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点横坐标的和，代入抛物线过焦点的弦长公式得答案．【解答】解：由y2=3x，得2p=3，p=，则F（，0），∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），联立，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴|AB|=．故答案为：12．22．已知函数f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4．求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程x﹣y ﹣4=0 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到f′（2），再求得f（2）的值，代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4，得f′（x）=3x2﹣8x+5，∴f′（2）=1，又f（2）=﹣2．∴曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y+2=1（x﹣2），即x﹣y﹣4=0．故答案为：x﹣y﹣4=0．23．已知函数f（x）=e x，求f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，得到f′（x）＜0，从而判断出函数的单调性．【解答】解：f′（x）=（）′e x+（）e x=e x=﹣e x＜0，∴函数f（x）在R上单调递减．24．已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求a的值及函数f（x）的极值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2，求函数的导数，研究是的单调性和极值即可证明当x＞0时，x2＜e x．【解答】解：（1）因为f（x）=e x﹣ax，所以f（0）=1，即A（0，1），由f（x）=e x﹣ax，得f′（x）=e x﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，得a=2．所以f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2．令f′（x）=0，得x=ln2．当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x=ln2时，f（x）取得极小值，且极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4，f（x）无极大值．（2）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x．由（1）得g′（x）=f（x）≥f（ln2）＞0，故g（x）在R上单调递增，又g（0）=1＞0，因此，当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x．。
2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2＞1，则x ＞1”否命题为“若x 2＞1，则x ≤1”B ．命题“若x 0∈R ，x 02＞1”的否定是“∀x ∈R ，x 02＞1”C ．命题“若x=y ，则cosx=cosy ”的逆否命题为假命题D ．命题“若x=y ，则cosx=cosy ”的逆命题为假命题2．设函数f （x ）在x=1处可导，则等于（ ）A ．f'（1）B ．C ．﹣2f'（1）D ．﹣f'（1）3．已知命题p ：若x ＞y ，则﹣x ＜﹣y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2，在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧（￢q ）；④（￢p ）∨q 中，真命题是（ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 4．已知函数f （x ）=axlnx ，x ∈（0，+∞），其中a 为实数，f ′（x ）为f （x ）的导函数，若f ′（1）=3，则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．15．“a ≤0”是“函数f （x ）=|（ax ﹣1）x |在区间（0，+∞）内单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知函数f （x ）=ax 3+x +1的图象在点（1，f （1））的切线过点（2，7），则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．过双曲线x 2﹣=1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A 、B两点，则|AB |=（ ）A ．B ．2C ．6D ．48．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2﹣y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=（ ）A ．B ．C ．D ．9．若动圆C 过定点A （4，0），且在y 轴上截得弦MN 的长为8，则动圆圆心C 的轨迹方程是（ ）A ．B ．C ．y 2=8xD ．y 2=8x （x ≠0）10．过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C： +=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．11．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．12．设椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C交于点P，Q．若|PF2|=|F1F2|，且3|PF1|=4|QF1|，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p=．14．设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）=．15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是．16．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF| ．三、解答题（本大题共4小题，共36分）17．给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．设函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣4=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）证明：曲线f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值．19．如图，已知四边形ABCD内接于抛物线x2=y，点C（3，9），AC平行于x轴，BD平行于该抛物线在点C处的切线，∠BAD=90°．（Ⅰ）求直线BD的方程；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．20．已知椭圆的离心率，焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+2与椭圆交于C，D两点．问是否存在常数k，使得以CD为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．下列说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“若x0∈R，x02＞1”的否定是“∀x∈R，x02＞1”C．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题【考点】全称命题；四种命题间的逆否关系．【分析】根据四种命题的定义以及命题真假之间的关系即可得到结论．【解答】解：A．命题“若x2＞1，则x＞1”否命题为“若x2≤1，则x≤1”，∴A错误．B．命题“若x0∈R，x02＞1”的否定是“∃x∈R，x2≤1”，∴B错误．C．“若x=y，则cosx=cosy”正确，即原命题正确，则逆否命题也正确，∴C错误．D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为命题“若cosx=cosy，则x=y”，为假命题，当x=﹣y时，结论满足cosx=cosy，∴D正确．故选：D．2．设函数f（x）在x=1处可导，则等于（）A．f'（1）B．C．﹣2f'（1）D．﹣f'（1）【考点】极限及其运算．【分析】利用导数的性质和运算法则求解．【解答】解：∵函数f（x）在x=1处可导，∴=﹣=﹣．故选：B．3．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p ∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【考点】复合命题的真假．【分析】根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．【解答】解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，故选：C．4．已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f′（x），根据f′（1）=3，列出方程解出a．【解答】解：f′（x）=alnx+a，∵f′（1）=3，∴a=3．故选：B．5．“a≤0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对a分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出．【解答】解：当a=0时，f（x）=|x|，在区间（0，+∞）内单调递增．当a＜0时，，结合二次函数图象可知函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增．若a＞0，则函数f（x）=|（ax﹣1）x|，其图象如图它在区间（0，+∞）内有增有减，从而若函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增则a≤0．∴a≤0是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的充要条件．故选：C．6．已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））的切线过点（2，7），则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，再由直线的斜率公式，计算即可得到a=1．【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为f′（x）=3ax2+1，图象在点（1，f（1））的切线斜率为3a+1，切点为（1，a+2），由切线经过（2，7），可得=3a+1，解得a=1．故选：A．7．过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B 两点，则|AB|=（）A．B．2C．6 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．【解答】解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得y A=2，y B=﹣2，∴|AB|=4．故选：D．8．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos ∠F1PF2=（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1，则a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2====．故选C．9．若动圆C过定点A（4，0），且在y轴上截得弦MN的长为8，则动圆圆心C的轨迹方程是（）A ．B ．C ．y 2=8xD ．y 2=8x （x ≠0） 【考点】轨迹方程．【分析】设圆心C （x ，y ），过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E ，利用垂径定理可得|ME |=4，又|CA |2=|CM |2=|ME |2+|EC |2，利用两点间的距离公式即可得出． 【解答】解：设圆心C （x ，y ），过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E ，则|ME |=4， ∴|CA |2=|CM |2=|ME |2+|EC |2， ∴（x ﹣4）2+y 2=42+x 2，化为y 2=8x ． 故选：C ．10．过点M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】利用点差法，结合M 是线段AB 的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C 的离心率．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，∵过点M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得，∴a=b ，∴c==b ，∴e==． 故选：A ．11．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a=（ ）A．2 B．﹣2 C．﹣D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a的值．【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣，∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故选：B．12．设椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C交于点P，Q．若|PF2|=|F1F2|，且3|PF1|=4|QF1|，则的值为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，由|PF2|=|F1F2|，3|PF1|=4|QF1|，利用椭圆的定义可得：|PF1|=2a ﹣2c，进一步求出|QF1|，|QF2|，在等腰△PF1F2中，求得得cos∠PF1F2．在△QF1F2中，由余弦定理可得cos∠QF1F2，利用cos∠PF1F2+cos∠QF1F2=0，化简求得5a=7c，两边平方后结合隐含条件求得的值．【解答】解：如图所示，∵|PF2|=|F1F2|，∴|PF2|=2c，则|PF1|=2a﹣2c．∵3|PF1|=4|QF1|，∴|QF1|=，则．在等腰△PF1F2中，可得cos∠PF1F2==．在△QF1F2中，由余弦定理可得：cos∠QF1F2=，由cos∠PF1F2+cos∠QF1F2=0，得+=0，整理得：，∴5a=7c，则25a2=49c2=49（a2﹣b2），∴，即．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p=2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出x2﹣y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的左焦点为（﹣，0），故抛物线y2=2px的准线为x=﹣，∴=，∴p=2，故答案为：2．14．设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）=2．【考点】导数的运算；函数的值．【分析】由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）．【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，令e x=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，∴f′（x）=+1，故f′（1）=1+1=2．故答案为：2．15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是丙．【考点】进行简单的合情推理．【分析】这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位歌手的话只有两句是对的”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题．【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，不符合题意．故答案为：丙．16．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF| 5．【考点】抛物线的简单性质．【分析】运用抛物线的定义，设Q到l的距离为d，求出斜率，求得直线PF的方程，与y2=8x 联立可得x=3，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则由抛物线的定义可得，|QF|=d，∵=4，则Q在PF的延长线上，∴|PQ|=5d，∴直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=3，（由于Q的横坐标大于2）∴|QF|=d=3+2=5，故答案为：5三、解答题（本大题共4小题，共36分）17．给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假；函数恒成立问题．【分析】根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题p为真时，实数a的取值范围，根据二次函数有实根的充要条件，我们可以求出命题q为真时，实数a的取值范围，然后根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p，q中一个为真一个为假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围．【解答】解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔a=0或⇔0≤a＜4；关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根⇔△=1﹣4a≥0⇔a≤；…p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真，…如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞∴＜a＜4；…如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤∴a＜0…所以实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪（，4）．…18．设函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣4=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）证明：曲线f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程．【分析】（Ⅰ）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（1，f（1））在曲线上，利用方程联立解出a，b；（Ⅱ）可以设P（x0，y0）为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线x=0和直线y=x联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可得证．【解答】解：（Ⅰ）方程3x﹣y﹣4=0可化为y=3x﹣4，当x=1时，y=﹣1，又f′（x）=a+，于是，解得，故f（x）=x﹣；（Ⅱ）证明：设P（x0，y0）为曲线上任一点，由f′（x）=1+，知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为y﹣y0=（1+）（x﹣x0），即y﹣（x0﹣）=（1+）（x﹣x0），令x=0，得y=﹣，从而得切线与直线x=0的交点坐标为（0，﹣）；令y=x，得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2x0，2x0）；所以点P（x0，y0）处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为|﹣|•|2x0|=4．故曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为4．19．如图，已知四边形ABCD内接于抛物线x2=y，点C（3，9），AC平行于x轴，BD平行于该抛物线在点C处的切线，∠BAD=90°．（Ⅰ）求直线BD的方程；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）求导数，求出A的坐标，设直线BD的方程为y=6x+b，代入抛物线x2=y，利用∠BAD=90°，即可求直线BD的方程；（Ⅱ）四边形ABCD的面积转化为两个三角形的面积的和．【解答】解：（Ⅰ）y′=2x，x=3时，y′=6，A（﹣3，9）设直线BD的方程为y=6x+b，代入抛物线x2=y，可得x2﹣6x﹣b=0设B（x1，y1），D（x2，y2），∴x1+x2=6，x1x2=﹣b∵∠BAD=90°，∴k AD k AB=•=（x2﹣3）（x1﹣3）=﹣b﹣3×6+9=﹣1∴b=﹣8，∴直线BD的方程为y=6x﹣8；（Ⅱ）b=﹣8，x2﹣6x﹣b=0的根为2，4，对应的纵坐标为4，16，∴四边形ABCD的面积S==36．20．已知椭圆的离心率，焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+2与椭圆交于C，D两点．问是否存在常数k，使得以CD为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意求出椭圆的a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0求得k的范围，再由向量数量积为0求得k值得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵，2c=，∴，，则b2=a2﹣c2=1．∴椭圆的方程为；（Ⅱ）如图，联立，得（1+3k2）x2+12kx+9=0．△=（12k）2﹣36（1+3k2）=36k2﹣36＞0，得k＜﹣1或k＞1．设C（x1，y1），D（x2，y2），则，+2k（x1+x2）+4．若存在常数k，使得以CD为直径的圆过坐标原点O，则=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0．即，解得：k=，满足题意．∴存在常数k=，使得以CD为直径的圆过坐标原点O．2018年8月4日。
2018-2019学度甘肃兰州高二上年末数学试卷（文科）含解析解析注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
【一】单项选择题〔每题5分〕1、〔5分〕在数列1，2，，…中，2是这个数列的〔〕A、第16项B、第24项C、第26项D、第28项2、〔5分〕在△ABC中，假设2cosB•sinA＝sinC，那么△ABC的形状一定是〔〕A、等腰直角三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等边三角形3、〔5分〕设变量x，y满足约束条件，那么z＝x﹣y的取值范围为〔〕A、【2，6】B、〔﹣∞，10】C、【2，10】D、〔﹣∞，6】4、〔5分〕等差数列｛an ｝的公差为2，假设a1，a3，a4成等比数列，那么a2等于〔〕A、﹣4B、﹣6C、﹣8D、﹣105、〔5分〕假设a《b《0，以下不等式成立的是〔〕A、a2《b2B、a2《abC、D、6、〔5分〕不等式ax2＋bx＋2》0的解集是〔﹣，〕，那么a＋b的值是〔〕A、10B、﹣14C、14D、﹣107、〔5分〕抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离为〔〕A、B、C、D、4A、∀n∈N，n2》2nB、∃n∈N，n2≤2nC、∀n∈N，n2≤2nD、∃n∈N，n2＝2n9、〔5分〕向量＝〔1，m﹣1〕，＝〔m，2〕，那么“m＝2”是“与共线”的〔〕A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件10、〔5分〕函数f〔x〕的导函数f′〔x〕的图象如下图，那么函数f〔x〕的图象最有可能的是〔〕A、B、C、D、11、〔5分〕x，y》0，且，那么x＋2y的最小值为〔〕A、B、C、D、12、〔5分〕椭圆〔a》b》0〕的两个焦点分别为F1，F2，假设椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，那么椭圆离心率的取值范围是〔〕A、B、C、D、【二】填空题〔每题5分〕13、〔5分〕假设当x》2时，不等式恒成立，那么a的取值范围是、14、〔5分〕曲线y＝x3﹣2x＋1在点〔1，0〕处的切线方程为、15、〔5分〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，C、假设〔a2＋c2﹣b2〕tanB＝ac，那么角B的值为、16、〔5分〕F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，假设｜F2A｜＋｜F2B｜＝12，那么｜AB｜＝、【三】解答题17、〔10分〕在等差数列｛an ｝中，a2＝4，a4＋a7＝15、〔1〕求数列｛an｝的通项公式；〔2〕设，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值、18、〔12分〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，c＝5，cosB＝、〔1〕求b的值；〔2〕求sinC的值、19、〔12分〕p：“∀x∈【1，2】，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2﹣a＝0”、假设命题p∧q是真命题，求a的取值范围、20、〔12分〕函数f〔x〕＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P〔0，2〕，且在点M〔﹣1，f〔﹣1〕〕处的切线方程为6x﹣y＋7＝0、〔Ⅰ〕求函数y＝f〔x〕的解析式；〔Ⅱ〕求函数y＝f〔x〕的单调区间、21、〔12分〕动点M〔x，y〕到定点A〔1，0〕的距离与M到直线l：x＝4的距离之比为、①求点M的轨迹C的方程；②过点N〔﹣1，1〕的直线与曲线C交于P，Q两点，且N为线段PQ中点，求直线PQ的方程、22、〔12分〕椭圆C：＋＝1〔a》b》0〕的两个焦点分别为F1〔﹣，0〕，F2〔，0〕，以椭圆短轴为直径的圆经过点M〔1，0〕、〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N〔3，2〕，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1＋k2是否为定值？并证明你的结论、2017－2018学年兰州高二〔上〕期末数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析【一】单项选择题〔每题5分〕1、〔5分〕在数列1，2，，…中，2是这个数列的〔〕A、第16项B、第24项C、第26项D、第28项【解答】解：数列1，2，，…就是数列，，，，，…，＝＝，∴an∴＝2＝，∴n＝26，故2是这个数列的第26项，应选：C、2、〔5分〕在△ABC中，假设2cosB•sinA＝sinC，那么△ABC的形状一定是〔〕A、等腰直角三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等边三角形【解答】解析：∵2cosB•sinA＝sinC＝sin〔A＋B〕⇒sin〔A﹣B〕＝0，又B、A为三角形的内角，∴A＝B、答案：C3、〔5分〕设变量x，y满足约束条件，那么z＝x﹣y的取值范围为〔〕A、【2，6】B、〔﹣∞，10】C、【2，10】D、〔﹣∞，6】【解答】解：根据变量x，y满足约束条件画出可行域，由⇒A〔3，﹣3〕，由图得当z＝x﹣y过点A〔3，﹣3〕时，Z最大为6、故所求z＝x﹣y的取值范围是〔﹣∞，6】应选：D、4、〔5分〕等差数列｛an ｝的公差为2，假设a1，a3，a4成等比数列，那么a2等于〔〕A、﹣4B、﹣6C、﹣8D、﹣10【解答】解：∵等差数列｛an ｝的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴〔a1＋4〕2＝a1〔a1＋6〕，∴a1＝﹣8，∴a2＝﹣6、应选：B、5、〔5分〕假设a《b《0，以下不等式成立的是〔〕A、a2《b2B、a2《abC、D、【解答】解：方法一：假设a《b《0，不妨设a＝﹣2，b＝﹣1代入各个选项，错误的选项是A、B、D，应选C、方法二：∵a《b《0∴a2﹣b2＝〔a﹣b〕〔a＋b〕》0即a2》b2，应选项A不正确；∵a《b《0∴a2﹣ab＝a〔a﹣b〕》0即a2》ab，应选项B不正确；∵a《b《0∴﹣1＝《0即《1，应选项C正确；∵a《b《0∴》0即，应选项D不正确；应选C6、〔5分〕不等式ax2＋bx＋2》0的解集是〔﹣，〕，那么a＋b的值是〔〕A、10B、﹣14C、14D、﹣10【解答】解：不等式ax2＋bx＋2》0的解集是〔﹣，〕，∴﹣，是方程ax2＋bx＋2＝0的两个实数根，且a《0，∴﹣＝﹣＋，＝﹣×，解得a＝﹣12，b＝﹣2，∴a＋b＝﹣14应选：B7、〔5分〕抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离为〔〕A、B、C、D、4【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y＝2x2，其标准方程为x2＝y，其中p＝，那么抛物线的焦点到准线的距离p＝，应选：C、8、〔5分〕设命题p：∃n∈N，n2》2n，那么￢p为〔〕A、∀n∈N，n2》2nB、∃n∈N，n2≤2nC、∀n∈N，n2≤2nD、∃n∈N，n2＝2n 【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，应选：C、9、〔5分〕向量＝〔1，m﹣1〕，＝〔m，2〕，那么“m＝2”是“与共线”的〔〕A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【解答】解：假设与共线，那么1×2﹣m〔m﹣1〕＝0，即m2﹣m﹣2＝0，得m＝2或m＝﹣1，那么“m＝2”是“与共线”的充分不必要条件，应选：A10、〔5分〕函数f〔x〕的导函数f′〔x〕的图象如下图，那么函数f〔x〕的图象最有可能的是〔〕A、B、C、D、【解答】解：由导函数图象可知，f〔x〕在〔﹣∞，﹣2〕，〔0，＋∞〕上单调递减，在〔﹣2，0〕上单调递增，应选A、11、〔5分〕x，y》0，且，那么x＋2y的最小值为〔〕A、B、C、D、【解答】解：由得，，∴，当且仅当x＝y＝时取等号、应选：D、12、〔5分〕椭圆〔a》b》0〕的两个焦点分别为F1，F2，假设椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，那么椭圆离心率的取值范围是〔〕A、B、C、D、【解答】解：∵点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角、椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，∴b≥c，可得a2﹣c2≥c2，可得：a、∴、应选：A、【二】填空题〔每题5分〕13、〔5分〕假设当x》2时，不等式恒成立，那么a的取值范围是〔﹣∞，2＋2】、【解答】解：当x》2时，不等式恒成立，即求解x＋的最小值，x＋＝x﹣2＋＋2＝2＋2，当且仅当x＝2＋时，等号成立、所以a的取值范围是：〔﹣∞，2＋2】、故答案为：〔﹣∞，2＋2】、14、〔5分〕曲线y＝x3﹣2x＋1在点〔1，0〕处的切线方程为x﹣y﹣1＝0、【解答】解：由y＝x3﹣2x＋1，得y′＝3x2﹣2、∴y′｜x＝1＝1、∴曲线y＝x3﹣2x＋1在点〔1，0〕处的切线方程为y﹣0＝1×〔x﹣1〕、即x﹣y﹣1＝0、故答案为：x﹣y﹣1＝0、15、〔5分〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，C、假设〔a2＋c2﹣b2〕tanB＝ac，那么角B的值为或、【解答】解：∵，∴cosB×tanB＝sinB＝∴B＝或应选B、16、〔5分〕F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，假设｜F2A｜＋｜F2B｜＝12，那么｜AB｜＝8、【解答】解：根据题意，椭圆的方程为，那么a＝5，由椭圆的定义得，｜AF1｜＋｜AF2｜＝｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a＝10，两式相加得｜AB｜＋｜AF2｜＋｜BF2｜＝20，又由｜F2A｜＋｜F2B｜＝12，那么｜AB｜＝8，故答案为：8、【三】解答题17、〔10分〕在等差数列｛an ｝中，a2＝4，a4＋a7＝15、〔1〕求数列｛an｝的通项公式；〔2〕设，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值、【解答】解：〔1〕设等差数列｛an｝的公差为d，由得解得…〔4分〕∴an ＝3＋〔n﹣1〕×1，即an＝n＋2…〔6分〕〔2〕由〔1〕知，b 1＋b2＋b3＋…＋b10＝21＋22＋…＋210＝…〔10分〕＝2046…〔12分〕18、〔12分〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，c＝5，cosB＝、〔1〕求b的值；〔2〕求sinC的值、【解答】解：〔1〕由余弦定理b2＝a2＋c2﹣2accosB，代入数据可得b2＝4＋25﹣2×2×5×＝17，∴b＝；〔2〕∵cosB＝，∴sinB＝＝由正弦定理＝，即＝，解得sinC＝19、〔12分〕p：“∀x∈【1，2】，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2﹣a＝0”、假设命题p∧q是真命题，求a的取值范围、【解答】解：p：∀x∈【1，2】，x2﹣a≥0，只要〔x2﹣a〕min≥0，x∈【1，2】，又y＝x2﹣a，x∈【1，2】的最小值为1﹣a，所以1﹣a≥0，a≤1、q：∃x∈R，x2＋2ax＋2﹣a＝0，所以△＝4a2﹣4〔2﹣a〕≥0，a≤﹣2或a≥1，由p且q为真可知p和q为均真，所以a≤﹣2或a＝1，∴a的取值范围是｛a｜a≤﹣2或a＝1｝、20、〔12分〕函数f〔x〕＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P〔0，2〕，且在点M〔﹣1，f〔﹣1〕〕处的切线方程为6x﹣y＋7＝0、〔Ⅰ〕求函数y＝f〔x〕的解析式；〔Ⅱ〕求函数y＝f〔x〕的单调区间、【解答】解：〔Ⅰ〕由y＝f〔x〕的图象经过点P〔0，2〕，知d＝2，∴f〔x〕＝x3＋bx2＋cx＋2，f'〔x〕＝3x2＋2bx﹣C、由在点M〔﹣1，f〔﹣1〕〕处的切线方程为6x﹣y＋7＝0，知﹣6﹣f〔﹣1〕＋7＝0，即f〔﹣1〕＝1，又f'〔﹣1〕＝6、解得b＝c＝﹣3、故所求的解析式是f〔x〕＝x3﹣3x2﹣3x＋2、〔Ⅱ〕f'〔x〕＝3x2﹣6x﹣3、令f'〔x〕》0，得或；令f'〔x〕《0，得、故f〔x〕＝x3﹣3x2﹣3x＋2的单调递增区间为和，单调递减区间为、21、〔12分〕动点M〔x，y〕到定点A〔1，0〕的距离与M到直线l：x＝4的距离之比为、①求点M的轨迹C的方程；②过点N〔﹣1，1〕的直线与曲线C交于P，Q两点，且N为线段PQ中点，求直线PQ的方程、【解答】解：①由题意动点M〔x，y〕到定点A〔1，0〕的距离与它到定直线l：x＝4的距离之比为，得＝，化简并整理，得＋＝1、所以动点M〔x，y〕的轨迹C的方程为椭圆＋＝1、②设P，Q的坐标为〔x1，y1〕，〔x2，y2〕，∴3x12＋4y12＝12，3x22＋4y22＝12，两式相减可得3〔x1＋x2〕〔x1﹣x2〕＋4〔y1＋y2〕〔y1﹣y2〕＝0，∵x1＋x2＝﹣2，y1＋y2＝2，∴﹣6〔x1﹣x2〕＋8〔y1﹣y2〕＝0，∴k＝＝，∴直线PQ的方程为y﹣1＝〔x＋1〕，即为3x﹣4y＋7＝0、22、〔12分〕椭圆C：＋＝1〔a》b》0〕的两个焦点分别为F1〔﹣，0〕，F2〔，0〕，以椭圆短轴为直径的圆经过点M〔1，0〕、〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N〔3，2〕，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1＋k2是否为定值？并证明你的结论、【解答】解：〔1〕∵椭圆C：＋＝1〔a》b》0〕的两个焦点分别为F1〔﹣，0〕，F2〔，0〕，以椭圆短轴为直径的圆经过点M〔1，0〕，∴，解得，b＝1，∴椭圆C的方程为＝1、〔2〕k1＋k2是定值、证明如下：设过M的直线：y＝k〔x﹣1〕＝kx﹣k或者x＝1①x＝1时，代入椭圆，y＝±，∴令A〔1，〕，B〔1，﹣〕，k 1＝，k2＝，∴k1＋k2＝2、②y＝kx﹣k代入椭圆，〔3k2＋1〕x2﹣6k2x＋〔3k2﹣3〕＝0设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕、那么x1＋x2＝，x1x2＝，y 1＋y2＝﹣2k＝，y 1y2＝k2x1x2﹣k2〔x1＋x2〕＋k2＝﹣，k 1＝，k2＝，∴k1＋k2＝＝2、。
2018-2018学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卡上.）1．命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0 B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤O D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞02．若抛物线y2=2px（p＞0）上的横坐标为6的点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（）A．4 B．8 C．16 D．323．下列求导数运算正确的是（）A．（x+）′=1+ B．（log2x）′=C．（3x）′=3x log3x D．（x2cosx）′=﹣2xsinx4．若b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值为（）A．18 B．6 C．2 D．25．椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则||=（）A．B．C．D．46．2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件是（）A．﹣＜x＜3 B．﹣＜x＜0 C．﹣3＜x＜D．﹣1＜x＜67．过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是（）A．12 B．14 C．22 D．288．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=19．椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=a，且a∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[，1]B．[，]C．[，1）D．[，]10．已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．[0，）B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案写在答题卡上.）11．一个物体运动的方程为s=at3+3t2+2t，其中s的单位是米，t的单位是米/秒，若该物体在4秒时的瞬时速度是50米/秒，则a=．12．已知x，y满足，则z=2x﹣y的最小值为．13．已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是．14．设双曲线﹣=1（0＜b＜a）的半焦距为c，直线l经过双曲线的右顶点和虚轴的上端点．已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共44分）15．（8分）已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a2+b2+c2＞（a﹣b+c）2．16．（8分）已知命题p：函数y=x2+mx+1在（﹣1，+∞）上单调递增，命题q：对函数y=﹣4x2+4（2﹣m）x﹣1，y≤0恒成立．若p∨q为真，p∧q为假，求m 的取值范围．17．（8分）已知曲线C1：y=ax2上点P处的切线为l1，曲线C2：y=bx3上点A（1，b）处的切线为l2，且l1⊥l2，垂足M（2，2），求a、b的值．18．（10分）已知抛物线C；y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）；（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使直线l与抛物线C有公共点，直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程，说明理由．19．（10分）已知定点，动点B是圆（F2为圆心）上一点，线段F1B的垂直平分线交BF2于P．（1）求动点P的轨迹方程；（2）若直线y=kx+2（k≠0）与P点的轨迹交于C、D两点．且以CD为直径的圆过坐标原点，求k的值．2018-2018学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卡上.）1．命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0 B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤O D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0【考点】全称命题；命题的否定．【分析】将量词否定，结论否定，可得结论．【解答】解：将量词否定，结论否定，可得∃x∈R，x3﹣x2+1＞0故选B．【点评】本题考查命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．2．若抛物线y2=2px（p＞0）上的横坐标为6的点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（）A．4 B．8 C．16 D．32【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义可知该点到准线的距离为10，进而利用抛物线方程求得其准线方程，利用点到直线的距离求得p，即为焦点到准线的距离．【解答】解：∵横坐标为6的点到焦点的距离是10，∴该点到准线的距离为10，抛物线的准线方程为x=﹣，∴6+=10，求得p=8故选B．【点评】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．3．下列求导数运算正确的是（）A．（x+）′=1+ B．（log2x）′=C．（3x）′=3x log3x D．（x2cosx）′=﹣2xsinx【考点】导数的运算．【分析】根据常见函数的求导公式和导数的运算法则进行解答．【解答】解：A、（x+）′=1﹣，故错误；B、符合对数函数的求导公式，故正确；C、（3x）′=3x ln3，故错误；D、（x2cosx）′=2xcosx﹣x2sinx，故错误．故选B．【点评】本题考查了常见函数的求导公式和导数的运算法则，要求熟练掌握．4．若b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值为（）A．18 B．6 C．2 D．2【考点】基本不等式．【分析】3a+3b中直接利用基本不等式，再结合指数的运算法则，可直接得到a+b．【解答】解：∵a+b=2，∴3a+3b故选B【点评】本题考查基本不等式求最值和指数的运算，属基本题．5．椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则||=（）A．B．C．D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】先根据椭圆的方程求得椭圆的左准线方程，进而根据椭圆的第二定义求得答案．【解答】解：椭圆的左准线方程为x=﹣=﹣．∵=e=，∴|PF2|=．故选：C．【点评】本题主要考查了椭圆的定义．也可以利用通经与第定义求解，属基础题．6．2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件是（）A．﹣＜x＜3 B．﹣＜x＜0 C．﹣3＜x＜D．﹣1＜x＜6【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．【分析】通过解二次不等式求出2x2﹣5x﹣3＜0的充要条件，通过对四个选项的范围与充要条件的范围间的包含关系的判断，得到2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件．【解答】解：2x2﹣5x﹣3＜0的充要条件为对于A是2x2﹣5x﹣3＜0的充要条件对于B，是2x2﹣5x﹣3＜0的充分不必要条件对于C，2x2﹣5x﹣3＜0的不充分不必要条件对于D，是2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件故选D【点评】解决一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，再进行判断，判断时常有的方法有：定义法、集合法．7．过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是（）A．12 B．14 C．22 D．28【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程求得a=4，由双曲线的定义可得AF2+BF2 =22，△ABF2的周长是（AF1 +AF2）+（BF1+BF2 ）=（AF2+BF2）+AB，计算可得答案．【解答】解：由双曲线的标准方程可得a=4，由双曲线的定义可得AF2﹣AF1=2a，BF2 ﹣BF1=2a，∴AF2+BF2 ﹣AB=4a=16，即AF2+BF2 ﹣6=16，AF2+BF2 =22．△ABF2（F2为右焦点）的周长是（AF1 +AF2）+（BF1+BF2 ）=（AF2+BF2）+AB=22+6=28．故选D．【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出AF2+BF2 =22 是解题的关键．8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．9．椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=a，且a∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[，1]B．[，]C．[，1）D．[，]【考点】椭圆的简单性质．【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．【解答】解：∵B和A关于原点对称∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c又|AF|=2csinα …②|BF|=2ccosα …③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴=即e==∵a∈[，]，∴≤α+π/4≤∴≤sin（α+）≤1∴≤e≤故选B【点评】本题主要考查了椭圆的性质．要特别利用好椭圆的定义．10．已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．[0，）B．C．D．【考点】导数的几何意义．【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．【解答】解：因为y′===，∵，∴e x+e﹣x+2≥4，∴y′∈[﹣1，0）即tanα∈[﹣1，0），∵0≤α＜π∴≤α＜π故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义及直线的斜率等于倾斜角的正切值．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案写在答题卡上.）11．一个物体运动的方程为s=at3+3t2+2t，其中s的单位是米，t的单位是米/秒，若该物体在4秒时的瞬时速度是50米/秒，则a=．【考点】变化的快慢与变化率．【分析】利用导数的物理意义v=s′和导数的运算法则即可得出．【解答】解：∵s=at3+3t2+2t，∴v=s′=3at2+6t+2，∵该物体在4秒时的瞬时速度是50米/秒，∴48a+24+2=50∴a=．故答案为：．【点评】本题考查了导数的物理意义v=s′和导数的运算法则，属于基础题．12．已知x，y满足，则z=2x﹣y的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过的交点时，可得交点坐标（1，）直线y=2x﹣z的截距最小，由图可知，z min=2×1﹣=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．13．已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是x+2y﹣8=0．【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【分析】设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），由“点差法”可求出直线l的斜率k==﹣=﹣=﹣=﹣．再由由点斜式可得l的方程．【解答】解：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k==﹣=﹣=﹣=﹣．由点斜式可得l的方程为x+2y﹣8=0．【点评】本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”．14．设双曲线﹣=1（0＜b＜a）的半焦距为c，直线l经过双曲线的右顶点和虚轴的上端点．已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】写出直线方程，利用点到直线的距离公式列出方程，求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线﹣=1（0＜b＜a）的半焦距为c，直线l经过双曲线的右顶点和虚轴的上端点．可得直线方程为：bx+ay=ab．原点到直线l的距离为c，可得：=，化简可得16a2（c2﹣a2）=3c4，即：16e2﹣16=3e4，e＞1解得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．三、解答题（本大题共5小题，共44分）15．已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a2+b2+c2＞（a﹣b+c）2．【考点】不等式的证明；基本不等式；等比数列的性质．【分析】左边减去右边等于2（ab+bc﹣ac ），用等比数列的定义以及基本不等式可得a+c＞b，进而推出2（ab+bc﹣ac ）＞0，从而证得不等式成立．【解答】证明：∵a2+b2+c2 ﹣（a﹣b+c）2=2（ab+bc﹣ac ）．∵a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，∴b2 =ac≤，开方可得，故a+c≥2b＞b．∴2（ab+bc﹣ac ）=2（ab+bc﹣b2）=2b（a+c﹣b）＞0，∴a2+b2+c2 ﹣（a﹣b+c）2＞0，∴a2+b2+c2＞（a﹣b+c）2 ．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，等比数列的定义和性质，用比较法证明不等式，属于中档题．16．已知命题p：函数y=x2+mx+1在（﹣1，+∞）上单调递增，命题q：对函数y=﹣4x2+4（2﹣m）x﹣1，y≤0恒成立．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；二次函数的性质．【分析】求出两个命题是真命题时，m的范围，利用复合命题的真假，推出一真一假，然后求解即可．【解答】（8分）解：若函数y=x2+mx+1在（﹣1，+∞）上单调递增，则﹣≤﹣2，∴m≥2，即p：m≥2．…（2分）若函数y=﹣4x2+4（2﹣m）x﹣1≤0恒成立，则△=16（m﹣2）2﹣16≤0，解得1≤m≤3，即q：1≤m≤3 …∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q一真一假当p真q假时，由解得：m＞3 …（6分）当p 假q真时，由解得：1≤m＜2综上，m的取值范围是{m|m＞3或1≤m＜2}．…（8分）【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查转化思想以及计算能力．17．已知曲线C1：y=ax2上点P处的切线为l1，曲线C2：y=bx3上点A（1，b）处的切线为l2，且l1⊥l2，垂足M（2，2），求a、b的值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线与抛物线的位置关系．【分析】求出直线l1的方程，直线l2的方程，利用交点坐标，联立方程，求出a，t，b的方程组，求解即可．【解答】解：设P（t，at2），y′=ax2=2ax，则l1斜率k1=2at，∴l1：y﹣at2=2at（x﹣t）．y=bx3，可得y′=3bx2．l2斜率k2=3bx2|x=1=3b，∴l2：y﹣b=3b（x﹣1）…∵l1与l2交于点M（2，2），∴∴①…又l1⊥l2∴k1•k2=﹣1，∴at=﹣②…（7分）由①②得t=10，a=﹣，b=…（8分）【点评】本题考查函数的导数曲线的切线方程，抛物线与直线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．18．（10分）（2018秋•七里河区校级期末）已知抛物线C；y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）；（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使直线l与抛物线C有公共点，直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程，说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）将（1，﹣2）代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程．（2）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得．【解答】解：（1）将（1，﹣2）代入y2=2px，得（﹣2）2=2p•1，所以p=2．故所求的抛物线C的方程为y2=4x，其准线方程为x=﹣1．（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t，代入抛物线方程得y2+2y﹣2t=0．因为直线l与抛物线C有公共点，所以△=4+8t≥0，解得t≥﹣．另一方面，由直线OA到l的距离d=可得=，解得t=±1．因为﹣1∉[﹣，+∞），1∈[﹣，+∞），所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y﹣1=0．【点评】本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．19．（10分）（2018秋•七里河区校级期末）已知定点，动点B是圆（F2为圆心）上一点，线段F1B的垂直平分线交BF2于P．（1）求动点P的轨迹方程；（2）若直线y=kx+2（k≠0）与P点的轨迹交于C、D两点．且以CD为直径的圆过坐标原点，求k的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）判断P点轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆．设其标准方程，求出a，b即可得到所求方程．（2）联立直线与椭圆方程，通过△＞0得k2＞1．设C（x1，y1），D（x2，y2），通过韦达定理，结合x1x2+y1y2=0，求出k，即可得到结果．【解答】（10分）解：（1）由题意|PF1|=|PB|且，∴∴P点轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆．设其标准方程为（a＞b＞0）∴即；又∴b2=a2﹣c2=1，∴P点轨迹方程为．…（2）假设存在这样的k，由得（1+3k2）x2+12kx+9=0．由△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0得k2＞1．设C（x1，y1），D（x2，y2），则①，…（6分）若以CD为直径的圆过坐标原点，则有x1x2+y1y2=0，而，∴②，将①式代入②式整理可得，其值符合△＞0，故．…（10分）【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及设而不求方法的应用，是中档题．。
兰州一中2018-2019-1学期高二年级期末考试试题数 学（文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 椭圆22125x y +=上一点P 到一个焦点的距离为4，则点P 到另一个焦点的距离为( )A.5B.6C.7D.82. 已知函数()2ln f x ax x =，(0,)x ∈+∞，其中为实数，'()f x 为()f x 的导函数.若'(1)4f =，则的值为( ) A.4B.3C.2D.13. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A. 必要不充分条件 B.充分不必要条件 C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 若抛物线2y ax =的焦点坐标是(0,2)，则等于( ) A.4B.14C.8D.185. AB 是过抛物线24y x =焦点的弦，且10AB =,则线段AB 的中点横坐标为()A.4B.3C.2D.16. 已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为31812863y x x =-+-，则该生产厂家获取的最大年利润为( )A.300万元B.252万元C.200万元D.128万元7. 下列命题中假命题为( )A. 已知函数()f x 在0x x =处导数存在，若'0()0f x =，则()f x 的极值点为0x x =.B. “若220x x -=，则02x x ==或”的逆否命题为“若02x x ≠≠且，则220x x -≠”.C. 若0m >，则方程2+20x x m -=有实根.D. 命题“存在0x R ∈，使得20010x x ++<”的否定为“任意x R ∈，都有210x x ++≥”. 8. 若函数32()38f x ax x x =-++恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是( ) A. (,3)-∞ B. (,3]-∞ C. (,0)(0,3]-∞⋃ D. (,0)(0,3)-∞⋃ 9. 若2x =-是函数2()(1)x f x x ax e =+-⋅的极值点，则()f x 的极小值为( )A. 1-B. 32e --C. e -D.110. 已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A. 1822=-y x B. )1(1822-≤=-x y x C. 2218x y += D. 221(1)8y x x -=≥11. 椭圆221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠与直线1y x =-+交于,A B 两点，过原点与线段AB ，则n m的值为( )12. 定义在R 上的函数()f x 满足：'()()0,(0)4f x f x f +>=，则不等式()4x e f x >(其中为自然对数的底数)的解集为( ) A.(3,)+∞B.(,0)(3,)-∞⋃+∞C.(,0)(0,)-∞⋃+∞D.(0,)+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．有一机器人的运动方程为21()s t t t=+ (t 是时间，是位移)，则该机器人在时刻1t =时的瞬时速度为________. 14. 若函数sin ()xf x x=的导函数为'()f x ,则'()f π________. 15. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”.已知四位歌手有且只有一位说了假话，则获奖的歌手是________.16. 已知A 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，过左焦点F 与y 轴平行的直线交双曲线C P 于、Q 两点，若APQ ∆是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）(1)若椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，且经过两点⎝⎛⎭⎫－32，52， (3，5)，求椭圆方程.(2)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆22:(5)9M x y +-=. 若双曲线C 的焦距为10，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线C 的方程. 18.（本小题满分12分）设命题p ：实数x 满足22540x ax a -+< (其中0a >)，命题q ：实数x 满足50.2x x -≤- (1)若1a =，且p q ∧为真命题，求实数x 的取值范围.(2)若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 19．（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++.(1) 设1b c ==，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程.(2)设4a b ==，若函数()y f x =有三个不同零点，求实数的取值范围.20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，左焦点为1(F ，点1)2M 在椭圆C上．(1)求椭圆C 的标准方程.(2)过点(1,0)P 的直线l 交椭圆C 于两个不同的点A 、B ，528=AB ，求直线AB 的方程．21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线C 与直线1:l y x =-交于两点,O M （O 为坐标原点）,且OM =(1)求抛物线C 的方程.(2)不过原点的直线21l l 与垂直，且与抛物线交于不同的两点A 、B ，若坐标原点O 在以线段AB 为直径的圆上，求FAB ∆的面积.22. （本小题满分12分）已知'()y f x =为函数2()(0)xax bx cf x a e++=>的导函数，且'()y f x = 的两个零点为30-和.(1)求()f x 的单调区间.(2)若()f x 的极小值为3e -，当[5,)x ∈-+∞时，()5k f x e <恒成立， 求实数k 的取值范围.兰州一中2018-2019-1学期 高二数学（文）期末试题参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
兰州一中2017-2018-1学期高二年级期末考试试题数 学（文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设复数12z i =-，则||z = ( ) A ．5 B ．5C ．2D ．22．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( ) A ．不能被3整除的整数，一定不能被6整除 B ．能被3整除的整数，一定能被6整除 C ．不能被6整除的整数，一定不能被3整除 D ．不能被6整除的整数，能被3整除 3．抛物线x 2＝16y 的准线方程是( )A ．x ＝164B ．x ＝－164C ．y ＝4D ．y ＝－44．若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A ．73B ．54C ．43D ．535．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．右图是抛物线形拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（ ）米. A ．22 B ．34 C ．24D ．327．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2．若1AF ，21F F ，B F 1成等比数列，则此椭圆的离心率为( ) A ．55B ．22C ．33D ．3 8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a 、b 分别为5、2，则输出的n =A ．2B ．3C ．4D ．59．已知椭圆的方程为14922=+y x ，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，F 2是椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长的最小值为( )A ． 7B ． 8C ．9D ．1010．已知双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A ．22154x y -=B ．22195x y -=C ． 221134x y -=D ．221135x y -=11．设F 1，F 2为曲线C 1：12622=+y x 的焦点，P 是曲线C 2：32x －y 2＝1与C 1的一个交点，则cos ∠F 1PF 2的值是( ) A ．21 B ．22C ．31 D ．3312．已知直线l 的斜率为k ，它与抛物线x y 42=相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，FB AF 3=，则||k ＝（ ）A ． 22B ． 3C ．42 D ．33第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知复数z 满足(1i)2z +=，则复数z 的虚部为_______.14.已知命题p ：∀x > 0，总有(x ＋1)xe >1.则p ⌝为 .15.已知A 是双曲线C :)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点，过左焦点F 与y 轴平行的直线交双曲线C 于P 、Q 两点，若△APQ 是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的范围 . 16.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率e ＝63，A 、B 是椭圆上两点，N (3，1)是线段AB 的中点．则直线AB 的方程为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）已知a 为实数，命题p ：点M （1，1）在圆22()()4x a y a ++-=的内部；命题 q ：R,x ∀∈都有21x ax ++≥0．若“p ∧q ”为假命题，且“p ∨q ”为真命题，求a 的取值范围． 18．（本小题12分）设A 、B 是抛物线y 2＝8x 上的两点，A 与B 的纵坐标之和为8． （1）求直线AB 的斜率；（2）若直线AB 过抛物线的焦点F ，求AB ． 19．（本小题12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，渐近线方程为y =±x ，且双曲线过点P (4，－10)． (1) 求双曲线的方程；(2) 若点M (x 1，y 1)在双曲线上，求MF 1→·MF 2→的范围． 20．（本小题12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，左焦点为F 1(－3，0)，点M (3，21)在椭圆上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P (1，0)的直线l 交椭圆C 于两个不同的点A 、B ，若△AOB (O 是坐标原点)的面积 S ＝45，求直线AB 的方程． 21．（本小题12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p>0）的焦点为F ，抛物线上的点P 到y 轴的距离等于1-PF ． (1) 求p 的值；(2) 是否存在正数m ，对于过点M (m ，0)且与抛物线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有F A →·FB →＜0? 若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 22．（本小题12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率e ＝22，右焦点为F ，过点B （0，－b ）和点F的直线与原点的距离为1． （1）求此椭圆的方程；（2）过该椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P 、Q ．若AP PQ λ=，则实数 λ 的取值范围．兰州一中2017-2018-1学期高二年级期末试题答案数 学（文）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BADDBCACDACB二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．-1 14．00,x ∃>使得0+11x x e ≤（） 15．(1，2) 16.x ＋y －4＝0三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题10分）已知a 为实数，命题p ：点M （1，1）在圆22()()4x a y a ++-=的内部；命题 q ：R,x ∀∈都有21x ax ++≥0．若“p ∧q ”为假命题，且“p ∨q ”为真命题，求a 的取值范围． 解：由题意得，当p 真时，22(1)(1)4a a ++-<，解得11a -<<，当q 真时，则0∆≤，解得22a -≤≤． 由题意得，p 与q 一真一假，从而当p 真q 假时有11,22,a a a -<<⎧⎨<->⎩或 无解；当p 假q 真时有11,22,a a a -⎧⎨-⎩≤或≥≤≤解得2112a a --≤≤或≤≤．∴实数a 的取值范围是[][]2,11,2--． ………………10分18．（本小题12分）设A 、B 是抛物线y 2＝8x 上的两点，A 与B 的纵坐标之和为8． （1）求直线AB 的斜率；（2）若直线AB 过抛物线的焦点F ，求AB ．解：（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2). 又y 1＋y 2＝8，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1，直线AB 的斜率为1． ………………6分（2）由题可知F (2，0)，则直线AB 的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x 消去x 并整理，得x 2－12x +4＝0，由弦长公式得|AB |＝16． ………………12分 19．（本小题12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，渐近线方程为y =±x ，且双曲线过点P (4，－10)． (1) 求双曲线的方程；(2) 若点M (x 1，y 1)在双曲线上，求MF 1→·MF 2→的范围． 解：(1)设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6．∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6． ………………6分 (2) 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－x 1，－y 1)，MF 2→＝(23－x 1，－y 1)， ∴MF 1→·MF 2→＝x 12－12＋y 21，∵点M (x 1，y 1)在双曲线上，∴x 12＝6＋y 21，∴MF 1→·MF 2→＝2y 21－6 ， ∵y 12 ≥0， ∴MF 1→·MF 2→-≥6． ………………12分 20．（本小题12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，左焦点为F 1(－3，0)，点M (3，21)在椭圆C 上． (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 过点P (1，0)的直线l 交椭圆C 于两个不同的点A 、B ，若△AOB (O 是坐标原点)的面积 S ＝45，求直线AB 的方程． 解： (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2=1(a>b>0)，因为椭圆的左焦点为F 1(－3，0)，设椭圆的右焦点为F 2(3，0),由椭圆的定义知|MF 1|+|MF 2|=2a ，所以2a=4，所以a=2，从而b=1，所以椭圆C 的方程为 x 24＋y 2＝1． ………………5分(2)记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题可设直线AB 的方程为x ＝my ＋1．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4x ＝my ＋1，消去x 得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0，所以⎝ ⎛y 1＋y 2＝－2m4＋m 2y 1·y 2＝－34＋m2，则S ＝12|OP ||y 1－y 2|＝2m 2＋3m 2＋4．由S ＝45，解得m 2＝1，即m ＝±1．故直线AB 的方程为x ＝±y ＋1，即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0为所求． ……………12分 21．（本小题12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p>0）的焦点为F ，抛物线上的点P 到y 轴的距离等于1-PF ． (1) 求p 的值；(2)是否存在正实数m ，对于过点M (m ，0)且与抛物线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有 F A →·FB →＜0?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由定义抛物线可知p =2． ………………3分 (2)设过点M (m ，0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎨⎧=+=xy m ty x 4,2得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →＜0⇔ (x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0．② 又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝⎛⎭⎫y 214＋y 224＋1＜0 即（y 1y 2）216＋y 1y 2－14[]（y 1＋y 2）2－2y 1y 2＋1＜0．③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2．④对任意实数t ，4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0， 即3－22＜m ＜3＋22．由此可知，存在正数m ，对于过点M (m ，0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)． ………………12分 22．（本小题12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率e ＝22，右焦点为F ，过点B （0，－b ）和点F的直线BF 与原点的距离为1． （1）求此椭圆的方程；（2）过该椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q ．若AP PQ λ=，求实数λ的取值范围．解：(1)⎩⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=⨯==22122222c b a c b a a bc a c∴椭圆的方程为12422=+y x ． ………5分 (3) 由题可设直线l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x ＋2消去x 得(k 2＋1)y 2－4ky ＝0，所以y Q ＝4k k 2＋1，同理y P＝4k2k 2＋1． 又λ＝11-=-=-=PQ y y APAQ APAP AQ APPQ ．则λ＝1111222+-=+k k k ． 因为k 2>0，所以0<λ<1． ………………12分。
2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（文科）注意事项：1.全卷共150分，考试时间120分钟。
2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上。
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。
4.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，共150分，考试时间120分钟.一、第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小5题分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2017一中文）（5分）设复数12z i =-，则z =（ ） A ．5B C ．2D【分析】直接由复数模的计算公式求解． 【解答】解：12z i =-，z ∴ 故选：B ．【点评】本题考查复数模的求法，是基础题．2．（2017一中文）（5分）与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是（ ） A ．能被3整除的整数，一定能被6整除B ．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C ．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D ．不能被6整除的整数，不一定能被3整除【分析】根据命题“若p ，则q ”与它的逆否命题“若p ⌝，则q ⌝”是等价命题，写出答案即可． 【解答】解：∵命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”的逆否命题是 “不能被3整除的整数，一定不能被6整除”； 它们是等价命题． 故选：B ．【点评】本题考查了互为逆否命题的两个命题是等价命题的问题，解题时应根据原命题会写出它的逆否命题，是容易题目．3．（2017一中文）（5分）抛物线216y x =的准线方程是（ ）A.4x =B.4x =-C.164y =D.164y =-【分析】根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析其开口方向以及p 的值，由抛物线的准线方程即可得答案．【解答】解：抛物线的方程为216y x =，其标准方程为2116x y =， 其开口向上，且132p =， 则其准线方程为：164y =-； 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意将抛物线的方程变形为标准方程．4．（2017一中文）（5分）若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线经过点()3,4-，则此双曲线的离心率为（ ）A.7 B.54C.45D.53【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到,a b 关系式，然后求出双曲线的离心率即可． 【解答】解：双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点()3,4-，可得34b a =，即()222916c a a -=，解得53c a =． 故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．5．（2017一中文）（5分）“1＜m ＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件“13m <<”是“方程22113x y m m +=--表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若方程22113x y m m+=--表示椭圆， 则满足103013m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即132m m m >⎧⎪<⎨⎪≠⎩，即13m <<且2m ≠，此时13m <<成立，即必要性成立， 当2m =时，满足13m <<，但此时方程22113x y m m +=--等价为22111x y +=为圆，不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立故“13m <<”是“方程22113x y m m +=--表示椭圆”的必要不充分条件， 故选：B ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键． 6．（2017一中文）（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（ ）米．A ．22B ．42C ．43D ．23【分析】先建立直角坐标系，将A 点代入抛物线方程求得m ，得到抛物线方程，再把4y =-代入抛物线方程求得0x 进而得到答案．得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将()2,2A -代入2x my =， 得2m =-∴22x y =-，代入()0,4B x -得022x =， 故水面宽为42m ． 故选：B ．【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．7．（2017一中文）（5分）椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ,左、右焦点分别是12,F F ．若1121,,AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ） A ．14B ．5 C ．12D ．52-【分析】由题意可得，1121,2,AF a c F F c F B a c =-==+，由1121,,AF F F F B 成等比数列可得到22215c e a ==，从而得到答案．【解答】解：设该椭圆的半焦距为c ，由题意可得，1121,2,AF a c F F c F B a c =-==+， ∵1121,,AF F F F B 成等比数列， ∴()()()22c a c a c =-+，∴2215c a =，即215e =， ∴5e =，即此椭圆的离心率为5． 故选：B ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查等比数列的性质，用,a c 分别表示出1121,,AF F F F B 是关键，属于基础题．8．（2017一中文）（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5,2，则输出的n =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：当1n =时，15,42a b ==，满足进行循环的条件， 当2n =时，45,84a b ==满足进行循环的条件， 当3n =时，135,168a b ==满足进行循环的条件， 当4n =时，404,3216a b ==不满足进行循环的条件， 故输出的n 值为4， 故选：B ．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9．（2017一中文）（5分）已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于,A B 两点,2F 是椭圆的右焦点，则2ABF ∆的周长的最小值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】利用三角形的周长以及椭圆的定义，求出周长的最小值．【解答】解：椭圆的方程为22194x y +=，26,24,a b c ∴===连接11,AF BF ，则由椭圆的中心对称性可得2ABF ∆的周长22122l AF BF AB AF AF AB a AB =++=++=+， 当AB 位于短轴的端点时，AB 取最小值，最小值为24b =， 266410l a AB AB =+=+≥+=.故选：D ．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义及焦点三角形的性质，考查数形结合思想，属于基础题．10．（2017一中文）（5分）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A ．22154x y -= B ．22145x y -=C ．22136x y -= D ．22163x y -= 【分析】先利用圆的一般方程，求得圆心坐标和半径，从而确定双曲线的焦距，得,a b 间的一个等式，再利用直线与圆相切的几何性质，利用圆心到渐近线距离等于圆的半径，得,a b 间的另一个等式，联立即可解得,a b 的值，从而确定双曲线方程【解答】解：圆22:650C x y x +-+=的圆心()3,0C ，半径2r =∴双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点坐标为()3,0，即223,9c a b =∴+=，① 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为0bx ay -=，C ∴222a b =+ ②由①②解得：225,4a b ==∴该双曲线的方程为22154x y -= 故选：A ．【点评】本题主要考查了圆的一般方程，直线与圆的位置关系及其应用，双曲线的标准方程及其求法，双曲线的几何性质及其运用，两曲线的综合运用11．（2017一中文）（5分）设12,F F 为曲线221:162x y C +=的焦点,P 是曲线222:13x C y -=与1C 的一个交点，则12cos F PF ∠的值是（ ）A ．12B C ．13D 【分析】先计算两曲线的焦点坐标，发现它们共焦点，再利用椭圆与双曲线定义，计算焦半径12,PF PF ，最后在焦点三角形12PF F 中，利用余弦定理计算即可． 【解答】解：依题意，曲线221:162x y C +=的焦点为()()122,0,2,0F F -， 双曲线222:13x C y -=的焦点也为()()122,0,2,0F F -，P 是曲线2C 与1C 的一个交点，设其为第一象限的点 由椭圆与双曲线定义可知1212PF PF PF PF +=-=解得12PF PF = 设12F PF θ∠=则22241cos3θ+-==， 故选：C ．【点评】本题综合考查了椭圆与双曲线的定义，解题时要透过现象看本质，用联系的观点解题． 12．（2017一中文）（5分）已知直线l 的斜率为k ，它与抛物线24y x =相交于A B 、两点，F 为抛物线的焦点，3AF FB =，则k =（ ）A ．B CD 【分析】设A 在第一象限，A B 、在准线上的射影分别为,M N ，过B 作BE AM ⊥与E ，根据抛物线定义，可得：3,,60,AF AM m BN BF m BAF k ====∠==，当A 在第四象限时，可得k =．【解答】解：设A 在第一象限，如图，设A B 、在准线上的射影分别为,M N ， 过B 作BE AM ⊥与E ，根据抛物线定义，可得：3,,2AF AM m BN BF m AE m ====∴=， 又4,60,AB m BAF k =∴∠==，当A 在第四象限时，可得k =故选：B ．【点评】本题考查了抛物线的性质、定义，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上. 13．（2017一中文）（5分）已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为_________． 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由()12i z +=， 得()()()()2121211112i i z i i i i --====-++-， ∴复数z 的虚部为1-． 故答案为：1-．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 14．（2017一中文）（5分）已知命题:0p x ∀>，总有()11x x e +>．则p ⌝为__________． 【分析】命题p 是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化． 【解答】解：命题:0p x ∀>，总有()11x x e +>”是全称命题， 否定时将量词对任意的x ∀变为x ∃，再将不等号>变为≤即可． 故答案为：00x ∃>，使得()0011x x e +≤．【点评】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．15．（2017一中文）（5分）已知A 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右顶点，过左焦点F 与y 轴平行的直线交双曲线C 于P Q 、两点，若APQ ∆是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的范围_________． 【分析】利用双曲线的对称性及锐角三角形45PAF ∠<得到AF PF >，求出A 的坐标；求出,AF PF 得到关于,,a b c 的不等式，求出离心率的范围． 【解答】解：APQ ∆是锐角三角形，PAF ∴∠为锐角，双曲线关于x 轴对称，且直线AB 垂直x 轴，45PAF QAF ∴∠=∠<, AF PF ∴>F 为座焦点，设其坐标为(),0c -所以(),0A a 所以2,b AF a c PF a=+= 2b ac a∴<+即2220c ac a --< 解得12ca-<< 双曲线的离心率的范围是()1,2 故答案为：()1,2【点评】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：222c a b =+考查双曲线的离心率问题就是研究三参数,,a b c 的关系．16．（2017一中文）（5分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =，,A B 是椭圆C 上两点，()3,1N 是线段AB 的中点．则直线AB 的方程为__________．【分析】根据椭圆的性质，利用离心率公式，得到椭圆()222:30C x y a a +=>，设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为()31y k x =-+，联立消元，得到含有参数k 的关于x 的一元二次方程，利用判别式，韦达定理中点坐标公式，求得直线方程.【解答】解：离心率e =，设椭圆()222:30C x y a a +=>， 设()()1122,,,A x y B x y 由题意，设直线AB 的方程为()31y k x =-+，代入2223x y a +=， 整理得()()()2222316313310k x k k x k a +--+--=．①()()2224313310a k k ⎡⎤∆=+-->⎣⎦，②且()12263131k k x x k -+=+，由()3,1N 是线段AB 的中点，得1232x x +=． 解得1k =-，代入②得212a >，∴直线AB 的方程为()113y x -=--，即40x y +-=【点评】题主要考查了椭圆的性质以及和椭圆和直线的位置关系，利用方程的思想，属于中档题． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2017一中文）（10分）已知a 为实数，命题:p 点()1,1M 在圆()()224x a y a ++-=的内部；命题:q x R ∀∈，都有210x ax ++≥．若“p q ∧”为假命题，且“p q ∨”为真命题，求a 的取值范围． 【分析】求出命题,p q 为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可． 【解答】解：由题意得，当p 真时，()()22114a a ++-<，解得11a -<<，当q 真时，则0∆≤，解得22a -≤≤．若“p q ∧”为假命题，且“p q ∨”为真命题， 则,p q 一真一假，从而当p 真q 假时，有1122a a a -<<⎧⎨><-⎩或 无解；当p 假q 真时，有1122a a a ≥≤-⎧⎨-≤≤⎩或，解得21a -≤≤-或12a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[][]2,11,2--． …（10分）【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．18．（2017一中文）（12分）设,A B 是抛物线28y x =上的两点，A 与B 的纵坐标之和为8． （1）求直线AB 的斜率；（2）若直线AB 过抛物线的焦点F ，求AB ．【分析】（1）根据题意，设()()1122,,,A x y B x y ，将,A B 的坐标代入抛物线方程可得2211228,8y x y x ==，将两式相减，分析可得21211y y k x x -==-，即可得答案； （2）由抛物线的方程求出抛物线的焦点坐标，即可得直线的方程，联立直线与抛物线的方程可得21240x x -+=，由弦长公式分析可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，设()()1122,,,A x y B x y ， 则有2211228,8y x y x ==，两式相减，得()()()1212128y y y y x x -+=-． 又128y y +=， 则21211y y k x x -==-，直线AB 的斜率为1 （2）由题可知()2,0F ，则直线AB 的方程为2y x =-， 代入28y x =消去y 并整理，得21240x x -+=， 有1212x x +=，由弦长公式得1216AB x x p =++=．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及抛物线的几何性质与标准方程，注意利用点差法分析，求出直线的斜率．19．（2017一中文）（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，渐近线方程为y x =±，且双曲线过点(4,P ． （1）求双曲线的方程；（2）若点()11,M x y 在双曲线上，求12MF MF ⋅的范围．【分析】（1）设双曲线方程为22,0x y λλ-=≠，由双曲线过点(4,P ，能求出双曲线方程． （2）根据向量的数量积以及双曲线的性质即可求出 【解答】解：（1）渐近线方程为y x =±，a b ∴=，设双曲线的方程为()220x y λλ-=≠． 双曲线过点(4,P ， ∴1610λ-=，即6λ=． ∴双曲线的方程为226x y -=．（2）由（1）可知，a b c ==()()12,F F ∴-，()()11121123,,23,MF x y MF x y ∴=---=-,221211112MF MF x y ∴⋅=-++，点()11,M x y 在双曲线上，22116y x ∴=-+，(221211162MF MF x x ∴⋅=-+=，16x ≤-1x(212218MF MF ∴⋅≥=-【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．20．（2017一中文）（12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，左焦点为()1F ，点M 在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()1,0P 的直线l 交椭圆C 于两个不同的点,A B ，若AOB ∆（O 是坐标原点）的面积45S =，求直线AB 的方程．【分析】（1）根据题意，设出椭圆的右焦点，由椭圆的定义可得a 的值，计算可得b 的值，将,a b 的值代入椭圆的方程，即可得答案；（2）根据题意，设()()1122,,,A x y B x y 以及直线AB 的方程为1x my =+，联立直线与椭圆的方程，可得()224230m y my ++-=，由根与系数的关系分析可得1212S OP y y =-，结合题意可得45=，解可得m 的值，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，设椭圆C 的方程为()2222:10x y C a b a b +=>>，因为椭圆的左焦点为)1F ，设椭圆的右焦点为)2F ，由椭圆的定义知122MF MF a +=，所以24a =，所以2a =， 从而1b =，所以椭圆C 的方程为 2214x y +=， （2）设()()1122,,,A x y B x y ，由题可设直线AB 的方程为1x my =+．联立直线与椭圆的方程，22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()224230m y my ++-=，则有12122223,44m y y y y m m -+==++，则1212S OP y y =- 又由45S =45=解得21m =，即1m =±．故直线AB 的方程为1x y =±+，即10x y +-=或10x y --=为所求．【点评】本题考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的方程．21．（2017一中文）（12分）已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点()1,0F 的距离减去它到y 轴距离的差都是1． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点(),0M m 且与曲线C 有两个交点,A B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设(),P x y 是曲线C 上任意一点，然后根据等量关系列方程整理即可．（Ⅱ）首先由于过点(),0M m 的直线与开口向右的抛物线有两个交点,A B ，则设该直线的方程为x ty m =+（包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现0FA FB ⋅<的等价转化；最后通过,m t 的不等式求出m 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）设(),P x y 是曲线C 上任意一点，那么点(),P x y()10x x =>化简得()240y x x =>．（Ⅱ）设过点()(),00M m m >的直线l 与曲线C 的交点为()()1122,,,A x y B x y ．设l 的方程为x ty m =+，由24x ty my x =+⎧⎨=⎩得()22440,160y ty m t m --=∆=+>，于是121244y y t y y m+=⎧⎨⋅=-⎩①又()()()()()()112212*********,,1,,01110FA x y FB x y FA FB x x y y x x x x y y =-=-⋅<⇔--+=-+++<② 又24y x =，于是不等式②等价于()()222222121212121212121102104444164y y y y y y y y y y y y y y ⎛⎫⎡⎤⋅+-++<⇔+-+-+< ⎪⎣⎦⎝⎭③由①式，不等式③等价于22614m m t -+<④对任意实数2,4t t 的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于2610m m -+<，解得322322m -<<+．由此可知，存在正数m ，对于过点(),0M m 且与曲线C 有两个交点,A B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<，且m 的取值范围()322,322-+．【点评】本题综合考查向量知识、直线与抛物线的相交问题及代数运算能力．22．（2017一中文）（12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率2e =，右焦点为F ，过点()0,B b -和点F 的直线与原点的距离为1． （1）求此椭圆的方程；（2）过该椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆222x y a +=于相异两点,P Q ．若PQ AP λ=，则实数λ的取值范围．【分析】（1）由题意可得2222c a bc a a b c ===+⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩解得即可，（2）若PQ AP λ=，设直线():2l y k x =+，将直线方程代入椭圆方程（圆方程）求得,P Q 的纵坐标，由坐标之比，结合不等式的性质，即可得到所求范围【解答】解：（1）由题意可得2222c a bc a a b c ==+⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩解得2,2a b c ==.∴椭圆的方程为22142x y +=． （2）由题可设直线():2l y k x =+，由()2242x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，消去x 得()22140k y ky +-=，所以241Q k y k =+，同理2421P k y k =+．又11Q Py PQ AQ AP AQ APAPAPy λ-===-=-．则2221111k k k λ==-++． 20k >，01λ∴<<．【点评】本题考查椭圆的方程和圆的方程的求法，注意运用离心率公式，向量的坐标之比，考查向量共线的坐标以及化简整理的运算能力，属于中档题．。
