向量函数一致连续的判别方法研究

对任意 X x1 , x2 , , xn R n 成立(其中 xi R )，则定义多元函数的周期为 T T1 , T2 ,, Tn , Ti R 。
sin x cos 2 y 2π π 例 1. 向量函数 F x, y cos x 2 y 以 为周期。 2 π x y sin 2 cos 2
2 1
摘
要：本文研究了向量函数的一致连续问题。提出了向量函数相对周期的概念，在此基础上，给出
了向量函数一致收敛的判别方法，最后给出实际应用的例子，说明本文提出方法的有效性。 关键词：向量函数；一致连续；“相对周期”；比较判别法
1. 向量函数一致连续的基本定义
函数的一致连续是基础数学研究的一个重要概念。一元向量函数一致连续性的探究，对复变函数及运动物 理学的研究具有重要意义。在文献[1-4]中，我们研究了一元函数和多元函数一致连续判别法。本文在此基础， 研究了向量函数的一致连续判别方法。本文获得的结论进一步扩宽了这一问题的理论成果，具有理论和应用价值。 下面给出向量函数一致连续和不一致连续的定义。 定义 1.1. ( 一致连续 ) 设 D1 R n , D2 R m , F : D1 D2 。若任意给定 ，存在 0 ，对于任意的
x, y R
2
定义 2.2. (向量函数的逆映射定义) 设 D1 R n , D2 R m , F : D1 D2 。 若对任意 X ， 存在映射 F 1 : D2 D1 ， 且满足 F F 1 X X ，则称 F 1 X 是向量函数 F X 的逆映射。 定义 2.3. (向量函数广义相对周期定义) 设 F : R n R m , G : R n R n 。其中 F X 以 T 为周期。若向量函数

下面通过一个例题来阐释向量函数逆映射及相对周期的求法。
2 sin x cos y 2 π 例 2. W x, y cos x y ( x, y ) R 2 2 2 sin x y




sin x cos y π π 解：分析向量函数 W x, y 的复合结构： W x, y F G x, y ，其中 F x, y cos x y ，是以 2 π sin x y 2 x 为周期的周期向量函数； G x, y ，根据逆映射定义 G G 1 X X 易求得其存在逆映射 y x G 1 x, y 2 。于是由相对周期的定义求得 W x, y 的第 k 个相对周期为 y


kπ k 1 π kπ k 1 π k 1 Tk G 1 kT G 1 T 2 k 1 π 2 kπ 2 [ k 1 π ]2 k π


G X g1 X , g 2 X , g n X 。
g X : R
i
n
R。 存在逆映射 G 1 X ，则复合向量函数 W X F G X 的第 k 个相对周期为：
Tk G 1 kT G 1 k 1 T Tk1 , Tk 2 , , Tkn Tki R
向量函数一致连续的判别方法研究
王玮彬 1，马建华 1，杨小远 2
北京航空航天大学物理科学与核能工程学院，北京 北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息、行为教育部重点实验室，北京 Email: xiaoyuanyang@vip.163.com 收稿日期：2011 年 10 月 13 日；修回日期：2011 年 11 月 24 日；录用日期：2011 年 11 月 27 日
的向量列 S k , K k ，使
W Sk F G X max F Y max , W K k F G X min F Y min
故有
W Sk W K k F Y min F Y max A 0 。
定理 2.1. (基于广义相对周期的一致连续判别方法) 设 F : R n R m , G : R n R n , W : R n R m 。 X x1 , x2 , , xn R n 。其中 F X 为 R n 上连续的周期向量函 数且以 T 为周期，则对于复合向量函数 W X F G X ，若其存在相对周期 Tk Tk 1 , Tk 2 ,, Tkn ，且
2. 向量函数一致连续的相对周期判别法
首先将一元函数周期的概念拓展到向量函数，对于一般向量函数定义周期如下。 定义 2.1. (向量函数的周期)设 F : R n R m , fi : R n R 。
F X f1 X , f 2 X , , f m X f1 X T , f 2 X T , , f m X T
X , Y D1 ，当 X Y 时， F X F Y 成立，则称 F 在 D1 上一致连续。
定义 1.2. (不一致连续) 设 D1 R n , D2 R m , F : D1 D2 。若存在一个 0 ，对任何 i N ，在 D1 中可以
46
Copyright © 2012 Hanspub
王玮彬 等 向量函数一致连续的判别方法研究
inf Tk 0 ，则向量函数 W X 在 R n 上不一致连续。
k k k 1 k 1 证明：设 S k 是 W X 在 Tk 上的模最大值点 ( 波峰点 ) ，即 S k Tp , Tq , 且对 X Tp , Tq ， q 0 q 0 p 0 p0 k k 1 xi Tpi , Tqi i 1, 2, , n 时，必有 W X W S k 成立； K k 是 W X 在 Tk 上的模最小值点(波谷点)， q0 p0 k k k k 1 k 1 k 1 即 K k Tp , Tq ，且对 X Tp , Tq ， xi Tpi , Tqi i 1, 2, , n 时，必有 W X W K k 成 q 0 q 0 q0 p 0 p 0 p0 k k 1 1 1 立。 由广义相对周期 Tk 定义 2.3.知， 若 X Tp , Tq ， 即 X 且 G G 1 Y Y ， k 1 T , G kT G ， p q 0 0
School of Physics and Nuclear Energy Engineering, Beihang University, Beijing School of Mathematics and System Sciences, Beihang University, The LMIB of the Ministry of Education of China, Beijing Email: xiaoyuanyang@vip.163.com Received: Oct. 13th, 2011; revised: Nov. 24th, 2011; accepted: Nov. 27th, 2011.


k 1 T , kT 。 所以有： G X
模最大值为 F Y max ，模最小值为 F Y min ，并且 又因为 F X 是周期向量函数，在每个周期 T 上有固定的波峰点和波谷点，设 F X 在 k 1 T , kT 上的
Байду номын сангаас
F Y max F Y min A ( Y k 1 T , kT , k N ，A 为常数)，
n 因此在每个相对周期上也都有 F G X F Y min , F Y max 成立，且 F 在 R 上连续，即总可以找到这样
k k 1 1 对 i N , N N , 由 inf Tk 0 即 lim Tk 0 知，当 k N 时，有 Tk ，且 S k , K k Tp , Tq , 必有 k i q 0 p0 1 S k K k Tk ，但是 W Sk W K k A 0 ，所以函数 W X 在 R n 上不一致连续。 i
3. 向量函数一致连续的比较判别法
1
Weibin Wang1, Jianhua Ma1, Xiaoyuan Yang2
2
Abstract: This paper studies the uniform continuity of vector function. We expand the application of comparative method and “relative period” theorem, and find some new methods to judge the uniform continuity of vector function. In the last part, the enlarged application examples are presented to show the effectiveness of the methods and theorem we offer. Keywords: Vector Function; Uniform Continuity; “Relative Period”; Comparative Method
Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 45-52 doi:10.4236/pm.2012.21009 Published Online January 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)
Study on Uniform Continuity of Vector Function
1 找到两个向量列 Si , K i ， Si K i ，但是 F Si F K i 0 ，则称 F 在 D1 上不一致连续，这里 N 为自 i 然数集合。
Copyright © 2012 Hanspub 45
王玮彬 等 向量函数一致连续的判别方法研究