函数一致连续的若干方法

关于一致连续的证明题一致连续是数学中一个重要的概念，而证明一致连续的问题常常是学习数学的人会遇到的难题之一。

在这篇文章中，我们将探讨一致连续以及如何证明一致连续的常见方法。

首先，我们来回顾一下一致连续的定义。

给定一个函数f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-y|<δ时，有|f(x)-f(y)|<ε成立，那么我们说函数f(x)是一致连续的。

直观上来看，一致连续就是说函数在整个定义域上的变化不会特别大，无论取多小的ε，我们总能找到一个足够小的δ来保证函数值之间的差距不会超过ε。

接下来，我们将通过一个具体的例子来说明一致连续的证明过程。

考虑函数f(x)=x²，我们要证明它在区间[0,1]上是一致连续的。

首先，我们任取ε>0，然后需要找到相应的δ来满足上述定义。

我们可以通过分析函数的性质来寻找证明的思路。

注意到当x与y的差值|x-y|非常小时，即它们很接近时，它们的平方差值|x²-y²|可能会变得非常大。

因此，我们不能简单地通过|x-y|<δ来得到|f(x)-f(y)|<ε的结论。

而是要考虑如何选择合适的δ来避免平方差值的扩大。

在区间[0,1]上，我们可以发现，函数f(x)=x²的图像是一个开口向上的抛物线，且最高点为f(1)=1。

因此，我们可以假设f(x)的导数f'(x)在这个区间上是有界的。

通过导数的有界性，我们可以得到一个非常重要的性质：当|x-y|<1时，有|f(x)-f(y)|<|x-y|。

现在，我们可以利用这个性质来进行证明。

我们任取ε>0，并取δ=ε。

假设x和y是满足|x-y|<δ的任意两个数，根据前面导出的性质，我们有：|f(x)-f(y)|<|x-y|<δ=ε因此，我们得到了对于任意的ε>0，存在一个δ=ε，使得当|x-y|<δ时，有|f(x)-f(y)|<ε。

函数一致连续的若干方法一、函数的连续性在数学中，函数的连续性是指函数在其中一区间上的从一个点到另一个点的变化是连续而不中断的。

具体而言，对于给定的函数f(x)，如果对于任意给定的x=a和x=b（a<b），当x在区间(a,b)上变化时，函数f(x)在这个区间上的变化也会连续且不中断。

例如，考虑函数f(x)=2x，在区间(0,2)上，当x增加时，函数值也会相应地增加。

无论x在该区间上的取值是多少，函数的变化都是连续的。

二、函数一致连续性函数的一致连续性是指对于给定的函数f(x)和任意正数ε，存在正数δ，当x在给定的区间上变化时，函数值的变化都不会超过ε。

具体而言，函数f(x)在区间(a,b)上一致连续，意味着对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当x和y在(a,b)区间内满足，x-y，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε。

函数的一致连续性相较于函数的普通连续性更强。

普通连续性要求在给定的区间上，函数在任意一点上的极限存在，而一致连续性要求在给定的区间上，对于任意一个ε>0，存在一个δ，使得整个区间上的函数值的变化都不会超过ε。

三、判定函数一致连续的方法函数的一致连续性常用以下方法加以判断：1.强制法：使用函数定义、极限运算、数列性质等直接证明函数的一致连续性。

2.辅助函数法：构造一个辅助函数，该函数在给定区间上是连续的，且与原函数在区间的差别足够小，从而利用其连续性证明原函数的一致连续性。

3.导数法：对函数进行导数运算，判断导数是否有界，并利用有界导数的性质证明函数的一致连续性。

4.间断点法：对函数在给定区间上所有可能的间断点进行分析，通过排除间断点引起的非一致连续性，判断函数的一致连续性。

5.紧致性定理法：利用数学分析的紧致性定理，即闭区间上连续函数的最大值和最小值存在的性质，证明函数的一致连续性。

以上方法可以根据具体问题的特点选择适用的方法来判断函数的一致连续性。

一致连续性的判定及运用本文摘要：本文讨论函数一致连续性的几种常用的判定方法及其运用。

主要讨论用定义判定、用康托定理判定、用导函数有界来判定、用一致连续的一些性质判定等等。

关键词：函数 连续 一致连续 判定1 引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。

它是一个极限概念，是从连续的概念派生出来的函数()f x 在某区间内连续，是指函数()f x 在该区间内每一点都连续，它反映函数()f x 在该区间上一点附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数()f x 在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数()f x 的变化趋势及性质。

因此，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。

一致连续是数学分析中较难的一个概念，因为它只有εσ-语言定义，所以要判定一个函数的一致连续性相对来说不容易。

所以讨论一致连续函数的判定及运用有运用有一定的应用价值。

2 一致连续性判定2.1 利用定义定义：设函数()f x 在区间I 上有定义，若对0ε∀>，()0δδε∃=>，,x x I'''∀∈，只要x x δ'''-<，就有()()f x f x ε'''-<则称函数()f x 在区间I 上一致连续。

直观地说，f 在I 上一致连续意味着：无论x '与x ''二点与在I 处于什么位置，只要他们的距离小于δ，就可使()()f x f x ε'''-<这样就可以证明一致连续性。

例1 证明()(0)f x ax b a =+≠在(,)-∞+∞上一致连续。

证明：任给0ε>，由于()()f x f x a x x ''''''-=-故可选取aεδ=，则对任何x '，x ''∈(,)-∞+∞，只要x x '''-<δ,就有()()f x f x '''-<ε这就证得()(0)f x ax b a =+≠在(,)-∞+∞上一致连续。

编号 2013110254研究类型理论研究分类号O17学士学位论文Bachelor’s Thesis论文题目关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法作者姓名胡辉学号2009111010254所在院系数学与统计学院学科专业名称数学与应用数学导师及职称许绍元教授论文答辩时间2013年5月25日湖北师范学院学士学位论文诚信承诺书目录1.前言 (1)2.函数一致连续 (2)2.1函数一致连续的定义 (2)2.2 证明函数一致连续的相关真命题 (2)2.3 函数一致连续相关定理 (3)2.3.1函数)f在区间上一致连续的充分条件 (3)(x2.3.2函数)f在区间上一致连续的充要条件 (6)(x2.4 应用举例 (8)3.函数非一致连续 (12)3.1函数非一致连续的定义 (13)3.3 应用举例 (14)4.参考文献 (16)5.致谢 (17)关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法胡辉（指导老师，许绍元教授）（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石435002）摘要：本文综述了关于函数一致连续性证明的几个结论和定理，而且针对函数一致连续证明的问题，给出了证明方法的流程图，该流程图对函数一致连续性证给出了很清晰的思路，通过例题解释流程图使用方法。

事实表明该流程图对函数一致连续证明是非常有效的。

相信这篇文章对大家证明函数一致连续性具很大的指导作用。

关键词：函数；一致连续性；命题和定理；流程图；例题中图分类号:O17Uniformly Continuous Function Proof of Certain Skills and MethodsHuHui (Tutor：Xu Shaoyuan)(College of Mathematics and Statistics, Hubei Norma University, Huangshi , Hubei,435002) Abstract: In this paper, several conclusions on the proof of the Uniform Continuity Function Theorem, and a continuous function proof given flow chart of the method of proof, with the flowchart the Uniform Continuity Function card gives a very clearideas, through examples explain the flow chart to use. The fact that this flowchart is very efficient on the number of uniformly continuous proof. I believe this article we prove that the function continuity with the great guide.Keywords：Function; consistent continuity; propositions and theorems; flowchart; example关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法胡辉（指导老师，许绍元教授）（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石435002）1.前言本文综述了关于函数一致连续性证明的几个结论，并举例说明其应用。

1 函数一致连续性[1]设()x f 在定义在区间I 上的函数，若对任给0>ε，存在()0>=εδδ，使得对任意的1x 、I x ∈2，只要δ<-21x x ，就有()()ε<-21x f x f ，则称函数()x f 在区间I 上一致连续.1.1 函数一致连续的相关定理与证明定理1.1[2] 若()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续的充要条件是()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2，只要 021δ<-x x ，就有()()221ε<-x f x f ,故可得出()()221,02121εδ≤-<-∈x f x f SUP x x Ix x .因为当00δδ<<时，有()()()()εεδδ<≤-≤-<-<-∈∈221,21,021212121x f x f SUP x f x f SUP x x x x Ix x Ix x .故可得()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.②充分性由于()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ,所以0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2只要021δ<-x x ，就有()()εδ<-<-∈21,02121x f x f SUP x x Ix x .故取00δδ≤<，当1x ，I x ∈2，021δ<-x x 时，可以得到()()()()()()εδδ<-≤-≤-<-<-∈∈21,21,21021212121x f x f SUP x f x f SUP x f x f x x x x Ix x Ix x ,所以()x f 在区间I 上一致连续.定理1.2[2] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是在I 上任意两个数列n x '，n x ''，只要使0lim =''-'∞→n nn x x ，就有()()0lim =''-'∞→n n n x f x f 证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f .对于任意数列n x '，n x ''，因为0lim =''-'∞→n n n x x ，故对上述N n N N >∀>∈∃+,0,δ有δ<''-'n nx x . 故可得()()ε<''-'x f x f ，即()()0lim =''-'∞→n n n x f x f .②充分性（反证法）假设()x f 在区间I 上不一致连续，则存在某00>ε，对任意0>δ，都存在相应的两点I x x ∈''',，尽管δ<''-'x x ，但有()()0ε≥''-'x f x f .令n1=δ（n 为正整数），相应的两点记为I x x n n∈''',，尽管n x x 1<''-'，但有()()0ε≥''-'n nx f x f . 当n 取遍所有正整数时，得数列{}nx '与{}n x ''，且有0lim =''-'∞→n n n x x 但是 ()()0lim ≠''-'∞→n n n x f x f ,这与条件矛盾，所以假设不成立.因此可得()x f 在区间I 上一致连续.定理1.3[3] 设函数()x f 在区间I 上可导，其导函数()x f '在区间I 上有界，则()x f 在I 上一致连续.证明 因为()x f '在区间I 上有界，则I x M ∈∀>∃,0有()M x f ≤'.对0>∀ε,=∃δδε<''-'∈'''∀x x I x x M ，,,,就有()()()εεξ=⋅<''-''=''-'MM x x f x f x f ,所以()x f 在I 上一致连续.定理 1.4[3] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是对任意给出的0>ε，,0,,>∃∈'''∀M I x x 使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有有()()ε<''-'x f x f .证明 ①必要性（反证法）函数()x f 在区间I 上一致连续,所以0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f 即()()ε≥''-'x f x f 必有δ≥''-'x x .取δε2=M ，当()()M x x x f x f >''-'''-'时有()()ε≥''-'x f x f . 令()()x f x f ''-'=α，则存在1>K 使得()εαεK K <<-1. 令1-=K αβ，则αβε≤≤.不妨设()()()x x x f x f ''<'''<',因为()()()()x f x f x f x f ''=+''≤+'<'αβ，且由连续函数的介值性知(]x x x '''∈∃,1使得()()β+'=x f x f 1同理：(]x x x ''∈∃,12使得()()β+=12x f x f .如此可得k k x x x x <<<<-110 ，规定x x x x k ''='=,0且对每一个i ，()()εβ≥=--1i i x f x f .因为由一致连续的定义知δ≥--1i i x x ,所以()()M K K x x x f x f =≤=≤''-'''-'δεδβδβ2与条件矛盾，假设不成立.即,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有 ()()ε<''-'x f x f .②充分性,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有 ()()ε<''-'x f x f .取Mεδ=，若设()()ε≥''-'x f x f 必有()()M x x x f x f ≤''-'''-'即()()Mx f x f x x 1≥''-'''-' .故()()()()δε=≥''-'''-'''-'=''-'Mx f x f x f x f x x x x 1.故有只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f 即()x f 在I 上一致连续.1.2有限区间上的函数一致连续性定理1.5[1] 函数()x f 在[]b a ,上连续，则函数()x f 在[]b a ,上一致连续.证明（应用有限覆盖定理）由f 在[]b a ,上的连续性，任给0>ε，对[]b a x ,∈∀， 都存在0>x δ，使得当()x x U x δ;∈'时有()()2ε<-'x f x f .考虑开区间集合[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x x U H x ,2,δ，显然H 是[]b a ,的一个开覆盖。

函数的一致连续性及其应用本文以函数的连续性为基础，一致连续性的定义为出发点，重点深入分析函数的一致连续性.教材一般只给出定义来判断函数是否一致连续，这对一些函数来说是比较复杂且难以解决的.因此本文主要对一元函数在各种区间上讨论函数的一致连续性的判断条件和方法，以及一些性质和应用，能够在教材的基础上更加全面地了解函数的一致连续性.1.2预备知识为了便于理解,现将本文涉及的一些相关定义和定理罗列如下.定义1.2.1[1]设函数在某上有定义，若，（1-1）则称函数在点连续，若函数在区间上的每一点都连续，则称在上连续.定义1.2.2[2]若函数在区间上有定义，称（1-2）为在区间上的连续模.定义1.3.1[1]设为定义在区间上的函数.若对任给的，存在，使得对任何，只要，就有，（1-3）则称函数在区间上一致连续.注：函数在区间上一致连续表明无论两点，在中处于什么位置，只要它们的距离小于，而这只与有关，就可以使.这个定义是教材中最常用的定义，根据定义还能扩展推理得到更多判断函数一致连续的条件和方法，这些本文后面会逐渐说明.由此，还可以得到函数在区间不一致连续的定义：，对，存在，使得当时，有.（1-4）引理1.2.1[3]有限区间上的一致连续函数必有界.引理1.2.2[1]设区间的右端点为，区间的左端点也为，若分别在和上一致连续，则在上也一致连续.2函数一致连续性的判断条件（1）引理2.1[1]函数在上一致连续的充要条件为：对任何数列，若，（2-1）则.（2-2）类似用归结原则来判断函数的连续性，这里通过数列来判断函数的一致连续性，但是直接用来证明函数的一致连续可能会很麻烦，因为这要验证任意的数列，因此一般用来证明函数的不一致连续比较方便，而这又与数列有关，可适用于含有三角函数和幂函数的函数.例2.1证明函数在上不一致连续.证：令，（2-3）则.（2-4）但是，（2-5）在上不一致连续.例2.2判断函数在上的一致连续性.解：令，（2-6）则.（2-7）而，（2-8）在上的不一致连续.从这两个简单的例子可以知道应用（1）中的结论是非常方便快捷的，如果用定义来判断函数的一致连续性还需要进行推理化简得到定义的形式，甚至有时候根本无法化简.由此可知定义无法满足解决函数一致连续性的需求，还需总结更多的判断函数一致连续性的条件和方法.（2）函数在上一致连续的充要条件为【2】：.证：若在上一致连续，则对当时，有，所以，（2-9）从而当时，有，（2-10）所以.（2-11）若，则对，有，（2-12）所以，（2-13）因此当时，有，（2-14）在上一致连续.这里可以通过连续模的极限来判断函数的一致连续性,其实也是从定义出发，观察函数的图像的陡峭程度来进行描述，但是这个往往用得比较少.（1）和（2）适用于函数所在定义域的所有区间，而在一些特殊区间还要进行如下讨论.（3）一致连续性定理：若函数在闭区间上连续，则在上一致连续【1】.这个定理也叫康托尔定理，其实从函数一致连续的定义可以知道如果一个函数在区间上一致连续，那么它肯定在上连续.这个定理直接就将闭区间上的函数的连续性和一致连续性联系起来，说明了只有在闭区间上的连续函数才必定一致连续.但是如果不在闭区间上时，那么通过分析这个定理可以知道要判断在有限开区间上的函数是否一致连续，还需要分析函数在区间端点连续性.所以可以得到以下结论：（4）函数在上一致连续的充要条件为：在上连续，存在且有限.证：在上一致连续，在上连续，且对，当时，有.当时，由柯西收敛准则知存在且有限.同理当时，知存在且有限.构造函数（2-15）则在上连续，根据（3）中一致连续定理知在上一致连续，在上也一致连续，在上一致连续.例2.3证明在上一致连续.证：由在上连续，知，（2-16）在上一致连续.这些只是在函数一致连续性有限区间上的讨论，还可以类似进一步在无限区间中展开讨论.（5）若函数在上连续，，存在且有限，则函数在上一致连续.但是反之是不成立的，比如在上是一致连续的，但是是不存在的.所以在无限区间上的时候要注意这个问题.通过以上讨论,也可以用类似方法判断连续函数在，，，，，上的一致连续性,具体内容不再一一重复.总之，（3）-（5）判断函数一致连续性的条件是函数在区间上连续并且在区间端点的极限要存在，都应用到了函数的连续性，这也说明了一致连续和连续有着非常密切的关系.从而根据（3）-（5）还能得到以下结论：（6）若函数在区间上单调有界且连续，则在上一致连续.证明：由在区间上单调有界，则对，存在，而且连续，根据（3）-（5）的结论可知在上一致连续.2.4判断是否一致，是否连续？解：对，有，（2-17）在上连续，又因为，（2-18）在上一致连续.3函数一致连续性的判断方法3.1函数一致连续性在一般区间的判断方法（1）定义法.一般根据函数一致连续性的定义都能判断一个函数是否一致连续，很多证明方法都是从定义出发的，这也是最常用的方法，而根据函数一致连续性的定义，还能将其扩展得到以下结论：若函数在区间上满足利普希茨条件：.（3-1）其中是是常数，则在上一致连续.证：对则当时，有，（3-2）所以在上一致连续．由证明过程可知函数化成利普希茨条件的形式其实是对函数一致连续性定义的直接应用，这将定义具体化，提供了解题思路.例3.1设，证明在上一致连续．证：对，有.取，那么根据（1）就知在上一致连续.（2）导函数有界法.根据导函数有界，可以间接地得到（1）中的结论.有时候一个函数太复杂，有时候无法将题目直接化简成（1）中利普希茨条件的形式，也就是说用定义无法简单地证明这个函数一致连续.这时可以从导函数入手.当导函数比较简单时，只要知道这个函数的导函数有界，就能判断这个函数是否一致连续.也就得到以下结论：若函数在区间上可导，且在上有界，则在上一致连续.证明：因为在上有界，所以，使，（3-3）又因为在可导，由拉格朗日中值定理，知对，有，（3-4）所以.（3-5）所以根据（1）可知在一致连续．3.2函数一致连续性的比较判别法（1）定理3.2.1【4】函数，若，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.这个方法是通过构造一个函数，通过两个函数的比较以及所构造的函数是否一致连续来判断原函数是否一致连续.它比较灵活，表面看好像大多函数都能通过这个方法判断一致连续性，特别是一些复杂的函数，但是前提是要知道所构造函数的一致连续性并且两个函数比较之后的极限要存在，而通常基本初等函数的一致连续性是比较好判断的.因此如果题目中的函数含有基本初等函数，则可以考虑这种方法.函数在不同的区间上时，还可以类似得到以下的结论：（2）函数，若，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（3）函数，若，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（4）函数，若，，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.例3.2.1证明函数在上一致连续.证明：令，（3-6）则，（3-7）取,则有.（3-8）在上一致连续，在上一致连续.3.3函数一致连续性的比值判别法（1）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3）,其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.证明：根据洛必达法则,知，（3-9）设在上一致连续，则对当时，有，（3-10）因为，（3-11）所以对，使，（3-12）由柯西微分中值定理知，，使，（3-12）所以，（3-13）所以对，有，（3-14）从而有，（3-15）所以，（3-16），有，（3-17）因此，在上一致连续.在上连续，在上一致连续.在上一致连续.同理还可证明若在上一致连续，则在上一致连续.如果一个函数是无穷大量并且可导，那么可以通过构造一个已知一致连续性的无穷大量的可导的函数，通过两个导函数的比值关系，其实也是这两个函数的比值，将两者的一致连续性联系起来，这样就能判断了，这与比较判别法类似，都是构造函数，只是条件不一样.由（1）知函数在不同的区间上时，还可以类似得到以下的结论：（2）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（3）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（4）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（5）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（6）设函数，且函数满足1），；2）可导，且；3），其中是非零常数，则函数具有相同的一致连续性.3.3确定上的函数是否一致和连续？解：在上不一致连续.令，（3-18）则.（3-19）又因为在上连续，且，（3-20）而在上不一致连续，在上不一致连续.无论是在有限区间还是无限区间，比较判别法和比值判别方法都可以适用.4函数一致连续性的性质函数的连续性满足四则运算，一致连续性也如此.（1）若函数在上一致连续，则在上一致连续.证明：在上一致连续，对，当时，有，（4-1）又在上一致连续，当时，有，（4-2）故对，取，则对，当时，有，在上一致连续.（2）若函数在上一致连续，则，在上一致连续.（3）若函数在上一致连续且有界，则在上一致连续.（4）若函数在上一致连续，函数在上一致连续且，则在上一致连续.例4.1设函数在上一致连续，证明在上也一致连续.证：在上一致连续，令，则在上连续，在上一致连续.又在上有界，在上一致连续，在上一致连续.因此在上一致连续.5两种函数的一致连续性5.1周期函数的一致连续性如果函数的周期为，在上有定义且连续，则函数在上一致连续.证：在上连续，在上连续.根据一致连续性定理知在上一致连续，对，当时，有.令，当时，存在正整数，使，（5-1）,（5-2）所以.（5-3）故在上一致连续.这个针对周期函数的一致连续性，将连续和一致连续的关系连在一起.有些函数是周期函数，如三角函数等，但是如果直接用定义或者其他方法来证明它是一致连续的，有时候很难化简得到结果或是无从下手，此时就可以通过连续性来判断一致连续性，从而得到结论．例5.1.1证明函数在上一致连续．证：是以为周期的周期函数，并且在上连续，根据周期性知在上连续，因此在上一致连续．例5.1.2证明在上一致连续.证：因为，（5-4）的周期为，即是周期函数.由上题知，（5-5）在上连续，所以在上连续，故在上一致连续.5.2幂函数的一致连续性（1）函数在上是一致连续的.证：当时，根据例4.1的证明过程知在上一致连续；当时，知，（5-6）根据一致连续性的定义，对当时，有，（5-7）所以在上一致连续.（2）对任意的，函数在上一致连续,在上不一致连续，也就是在上不一致连续.证明：在上连续，在上一致连续.,当时，根据拉格朗日中值定理知，存在介于之间，使，（5-8），使，（5-9）所以，（5-10）则有.（5-11）在上不一致连续，在上不一致连续.例2.2中可以直接用（2）的结论来说明在上是不一致连续的.。

函数一致连续的若干方法函数的一致连续性是数学中一个重要的概念，它描述了函数在整个定义域上的连续性质。

简单来说，如果一个函数在整个定义域上都连续，我们就称这个函数是一致连续的。

一致连续性是一种比普通连续性更强的性质，它保证了函数的连续性在整个定义域上都保持一致，没有局部的不连续点。

要理解一致连续性，我们先回顾一下连续性的定义。

在数学中，函数f(x)在点x=a处是连续的，意味着满足以下三个条件：1.函数f(x)在点x=a处有定义；2. 函数f(x)在点x=a处有极限，即lim(x -> a) f(x)存在；3. 函数f(x)在点x=a的极限值等于函数f(x)在点x=a处的函数值，即lim(x -> a) f(x) = f(a)。

而函数f(x)在整个定义域上连续，则需要对每一个点x=a都满足上述三个条件。

但是，连续性并不保证函数在定义域上的每个点都有相同的性质。

因此，我们引入了一致连续性的概念。

函数f(x)在定义域上一致连续，意味着对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当，x-y，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε，其中x和y是定义域上的任意两个点。

接下来，介绍几种常用的方法来证明函数的一致连续性。

1. 利用函数的Lipschitz常数：如果存在一个正数K，对于定义域上的任意两个点x和y，满足，f(x) - f(y)，≤ K，x - y，则函数f(x)是一致连续的。

这里的K称为Lipschitz常数。

证明时可以通过计算函数的导数或者构造辅助函数来得到Lipschitz常数。

2.利用连续性和有界性：如果函数f(x)在定义域上连续，并且有界，即存在一个正数M，使得对于任意的x，f(x)，≤M，那么函数f(x)是一致连续的。

这个方法相对简单，通过连续性可以找到一个正数δ，在这个δ范围内，函数值的变化受到有界性的限制。

3. 利用Cauchy收敛准则：如果函数f(x)在定义域上满足Cauchy收敛准则的条件，即对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当，x - y，< δ时，有，f(x) - f(y)，< ε，那么函数f(x)是一致连续的。

关于函数一致连续性证明的几个方法函数的一致连续性是指在定义域上的任意两个点，只要它们之间的距离足够小，函数的值之间的差异也会足够小。

在数学分析中，有多种方法可以证明函数的一致连续性。

以下是一些常用的方法。

1.δ-ε方法：δ-ε方法是最常见的证明函数连续性的方法之一、它利用ε-δ定义函数的极限的概念来证明函数的一致连续性。

具体来说，我们需要证明对于给定的任意ε>0，存在对应的δ>0，使得对于任意任意x和y，只要，x-y，<δ，就有，f(x)-f(y)，<ε。

通过选择合适的δ，我们可以保证无论x和y之间的距离有多小，函数值之间的差异都不会超过ε。

2.介值定理：介值定理是一种基于连续函数的性质来证明一致连续性的方法。

根据介值定理，如果函数f：[a,b]->R在区间[a,b]上连续，并且f(a)≤y≤f(b)或者f(b)≤y≤f(a)，那么存在一个c∈(a,b)，使得f(c)=y。

利用这个定理，我们可以证明函数在给定区间上的一致连续性。

3.分割法：分割法是一种通过将函数的定义域划分成更小的区间，然后证明函数在每个区间上的一致连续性来证明整个函数的一致连续性的方法。

具体来说，我们可以将定义域[a,b]划分成n个子区间，然后证明函数在每个子区间上的一致连续性。

通过选择足够小的子区间，并确保相邻子区间之间的重叠部分足够小，我们可以得出整个定义域上的一致连续性。

4. Cauchy 判准：Cauchy 判准是一种基于数列收敛的概念来证明函数一致连续性的方法。

具体来说，对于给定的任意ε > 0，我们需要证明存在一个δ > 0，使得对于任意满足，x - y，< δ的x和y，函数值之间的差异，f(x) - f(y)，< ε。

为了证明这一点，我们可以利用 Cauchy 列的特性来构造数列，并利用数列的收敛性质来证明函数的一致连续性。

5.一致连续性的特性：除了上述方法外，我们还可以利用一些函数的特性来证明一致连续性。

175函数一致连续性证明方法探究及推广李一帆函数的一致连续性是数学分析中的重点内容,对函数一致连续性的证明是数学分析中的难点,但对于某一例题来说,结合其特点与一致连续性的多种定理,问题会有多种解决方法,但是如何为问题选择一种最有效最简单的解决方法是本文讨论的重点内容.1以x x f 1)(=为例讨论一致连续性的证明方法 分析 xx f 1)(=在),1[+∞∈x 上处处连续,导函数存在且在定义域两端的极限存在,本文对xx f 1)(=,),1[+∞∈x 上一致连续性的证明这几个重要特点出发,结合相应定理给出五种证明方法.1.1依定义证明定义 1 设f为定义在区间I上的函数,若对任给的,0>ε存在δ=δ)(ε0>,使得对任何x x ''',∈I ,只要x x ''-'<δ,就有)()(x f x f ''-'ε<,则称函数f 在区间I 上一致连续. 证法一任给,0>ε由于)()(x f x f ''-'=2111x x -=2121x x x x -21x x -≤,故可选取δ=ε,则对任何x x ''',∈),1[+∞,只要<-21x x δ,就有)()(x f x f ''-'<ε,这就证得xx f 1)(=在),1[+∞∈x 上一致连续. 1.2依定理证明1.2.1依与导函数有关的定理证明 定理 1 设函数)(x f 在区间I上有有界导函数,则)(x f 在区间I 上一致连续.证法二 因为xx f 1)(=在),1[+∞∈x 上存在导函数,且21)(xx f -=',在),1[+∞∈x 上有111)(2≤='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='xx x f ,有界,所以由定理1可知:xx f 1)(=在),1[+∞∈x 一致连续.引理设区间1I 的右端点为c ∈1I ,区间2I 的左端点也为c ∈2I ,(1I ,2I 可分别为有限或无限区间),若)(x f 分别在1I 和2I 上一致连续,则)(x f 在I =1I 2I 上也一致连续.定理2 若)(x ϕ'=)(x f 且⎰+∞adx x f )(收敛,则)(x ϕ在),[+∞a 上一致连续.证法三 令)(x ϕ=x1,则)(x ϕ'='⎪⎭⎫ ⎝⎛x 1=21x- , (),1[+∞∈x ),dx x211⎰+∞-=11|x+∞,而+∞→x limdx x 211⎰+∞-=110-=-,所以,dx x 211⎰+∞-在),1[+∞∈x 上收敛,则由定理2知:)(x ϕ=x1在),1[+∞上一致连续.定理 3 若函数)(x f 在),[+∞a 上可导,且+∞→x lim λ=')(x f (常数或∞+),则)(x f 在),[+∞a 上一致连续的充分必要条件是λ为常数.证法四因为)(x f =x1在),1[+∞上连续,在),1(+∞内可导,且)(x f '='⎪⎭⎫ ⎝⎛x 1=21x -,又+∞→x lim =')(x f +∞→x lim λ==-012x,其中λ为常数,所以由定理3可知:)(x f =x1在),1[+∞上一致连续.1.2.2依与极限有关的定理证明定理 4 设函数)(x f 在),[+∞a 上连续,且+∞→x lim )(x f 存在且有限,则)(x f 在),[+∞a 上一致连续.证法五)(x f =x1在),1[+∞上连续,而+∞→x lim )(x f =+∞→x limx 1=0,所以+∞→x lim )(x f 存在且为有限数,则由定理4可知:)(x f =x 1在),1[+∞上一致连续.1.3 方法分析(1)定义证明法最容易想到且是最简单有效的方法. (2)法二、法三和法四都利用了)(x f =x1在),1[+∞上存在导函数及其导函数的性质来解决问题,但不同的是法二中要讨论导函数的有界性,法三要讨论导函数积分的敛散性,法四要讨论导函数在+∞→x 时的极限值,这三种方法相比起来,法四更易操作,其次是法二,再次是法三.. All Rights Reserved.176(3)法五利用)(x f =x1在),1[+∞上的一致连续性及当+∞→x 时的极限值是否有限来判断它本身的一致连续性,在实际证明中也较易实现的一种方法.综上，对)(x f =x1在),1[+∞上的一致连续性证明的方法选择顺序应为:一、五、四、二、三 .2 函数一致连续性证明方法的推广 2.1 依定义证明较为简单的问题由于f 在I 上一致连续意味着:不论两点x '与x ''在I中处于什么位置,只要它们的距离小于δ,就可使)()(x f x f ''-'ε<.因此证明一些形式较为简单的,并且容易得出x '与x ''的函数的一致连续性,可依据定义进行证明.例如xx f 1)(=,),1[+∞∈x 、b ax x f +=)()0(≠a ,∈x ()+∞∞-,等函数都能依据定义得出函数在其定义域上一致连续.2.2 依与导函数有关的定理证明较为简单的问题某些函数在定义域上存在导函数,此时我们可以考虑依据函数的这一性质来得出所给函数在其定义域上的一致连续性.2.2.1依定理1证明较为简单的问题由于函数的一致连续是要求当函数的自变量的改变很小时,其函数值的改变量也很小,从而要求函数的到数值不能太大,所以只需要求函数的导函数有界即可得出函数在其定义域上一致连续.例如证明x x f ln )(=,),1[+∞∈x 、x x f =)(,),1[+∞∈x 等函数的一致连续性在依据定理1证明时简单易行.2.2.2依定理2证明较为简单的问题对于定义在),[+∞a 上的函数,如果它存在导函数且导函数在其定义域上可积,则可先判断此无穷限积分的敛散性,再依据定理2得出所给函数是否在其定义域上一致连续就变得十分容易了.例如证明x e x f -=)(,),0[+∞∈x 、xx f 1)(=,),1[+∞∈x 时利用定理2来得出结论十分容易.2.2.3依定理3证明较为简单的问题对于定义在),[+∞a 上的函数,如果它在定义域上连续,在定义域内可导,并且当+∞→x 时,其导函数的极限存在且有限,这时可根据定理3得出所给函数在其定义域上一致连续.例如xe xf -=)(,),0[+∞∈x 、x x f =)(,),1[+∞∈x 都可依据定理3很容易得出其在定义域上一致连续.2.3 依与极限有关的定理4证明较为简单的问题极限存在是函数的一个重要性质,我们可以考虑依据函数的这一性质来证明函数在其定义域上的一致连续性.对于定义在),[+∞a 上的函数,我们可以通过先判断函数在+∞→x 处的极限是否存在是否有限,然后再根据定理4来证明函数在其定义域上是否一致连续.例如在证明xx f 1)(=,),1[+∞∈x 、xe xf -=)(,),0[+∞∈x 的一致连续性时,定理4堪称首选.（作者单位：河南工业和信息化职业学院）（上接第247页）测验、提问、讨论、报告等内容，根据课程特点自主选择不少于3项内容，学期初上报教务处备案，确定考核与评价体系。

函数一致连续的判别方法及其应用摘要函数一致连续性是数学分析的重要概念，一般教材只给出一致连续的概念及Cantor 定理，没有做更深入的研究。

本文比较全面的总结了判断函数的一致连续性的条件，并结合具体例子对这些方法加以应用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，从充要等条件出发进行深入的分析和系统的总结。

关键词：一致连续积分导数Cantor定理基本初等函数AbstractThe uniform continuity of function is an important concept of mathematical analysis. General textbooks only show the concept of uniform continuity and the Cantor theory, without a more in-depth study. This thesis comprehensively summarize the conditions to judge the uniform continuity of functions, combined with specific examples of these methods to be applied, and made a more complete discussion of the uniform continuity of the basic elementary functions, with in-depth analysis and summary, starting from the necessary and sufficient conditions.Keywords:uniform continuity integral derivative Cantor theorem Basic elementary function目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)第一章引言 (1)第二章一致连续的充要条件 (2)第三章一致连续的充分条件 (10)第四章函数一致连续的应用 (16)4.1 应用一：基本初等函数的一致连续性的应用 (16)4.2 应用二：反函数的一致连续性的应用 (18)4.3 函数的四则运算的一致连续性 (21)总结 (24)致谢 (25)参考文献 (26)第一章引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析中应用非常普遍，重要而又抽象的数学概念之一，它体现在某个区间上的整体性质，是微积分学的基础，并且对后续课程的学习起着关键作用。

§2.9 函数的一致连续性定义 2.21 设f 是X 上的单变量函数.若0,0εδ∀>∃>,使得当12,x x X ∈,12x x δ-<时总成立12()()f x x ε-<,则称f 是X 上的一致连续函数.显然,若f 是X 上的一致连续函数,则f 一定是X 上的连续函数(反之通常不正确).命题1 (不一致连续的充要条件) X 上的单变量函数f 不一致连续0ε⇔∃>和{},{}n n x y X ⊂,使得lim()0n n n x y →∞-=,并且()()n n f x f y - ,n ε*≥∀∈.证: “⇒”.假定f 不是X 上的一致连续函数,则0ε∃>,n *∀∈,n x ∃,n y X ∈满足1n n x y n -<和()(),n n f x f y n ε*-≥∀∈.这说明右边成立. “⇐”.假定0ε∃>和{}n x ,{}n y X ⊂,使得l i m ()0n n n x y →∞-=,并且()(),n n f x f y n ε*-≥∀∈.这时,0δ∀>,,,N N N N x y X x y δ∃∈-<使得()()N N f x f y ε-≥.这说明f 不是X 上的一致连续函数.□ 命题 2 若f 是区间．．I 上的一致连续函数,00δ>是常数,则必存在0M >使得当,x y I ∈,0x y δ-≤时总成立()()f x y M -≤. 证:对于固定的0,0εδ>>取,使得当12,x x I ∈,12x x δ-<时总成立12()()f x x ε-<.再取n *∈使得0,M n n δδε<=令.当,,x y I ∈x y -0δ≤时,()()f x f y -11(())(())n k k k f x y x f x y x n n=-≤+--+-∑n ε< M =.□命题 3 有限开区间(,)a b 上的连续函数f 一致连续⇔存在有限单侧极限()f a +和()f b -.证:“⇒”.若f 是(,)a b 上的一致连续函数,即0,0εδ∀>∃>,使得当,(,),2x y a b x y δ∈-<时成立()()f x f y ε-<,则当,(,)x y a b ∈,0 x a <-,0y a δδ<<-<时有()()f x f y ε-<.根据函数单侧极限的Cauchy 收敛原理,便知存在有限右极限()f a +.同理,存在有限左极限()f b -.“⇐”. (反证法)假定存在有限单侧极限()f a +和()f b -,但连续函数f 不一致连续.由命题1,0ε∃>和{},{}(,)n n x y a b ⊂,使得l i m ()0n n n x y →∞-=,并且()()n n f x f y -,n ε*≥∀∈.取{}n x 的收敛一个子列{}n k x ,则(1),n n k k x y a →+；(2),n n k k x y b →-；(3)0,n n k k x y x → (,)a b ∈三者必居其一.这样,便有0lim ()()n n k k n f x f y →∞=- 0ε≥>,得到矛盾.□例1 设Y X ∅≠⊂⊂.(1) 若f 是X 上的连续函数,则f 也是Y 上的连续函数；(2) 若f 是X 上的一致连续函数,则f 也是Y 上的一致连续函数.(3) 若,f g 都是X 上的一致连续函数,则f g ±也是X 上的一致连续函数.(4) 若,f g 都是一致连续函数,g f 有意义,则g f 也是一致连续函数.例2 当常数(0,1]μ∈时,幂函数x μ是[1,)+∞上的一致连续函数. 证: 121x x ∀≤<,有不等式1111112222(1)(1)x x x x x x x x μμμμ---=-≤-=-,即 2121x x x x μμ-≤-.故 0ε∀>,令0δε=>,则当12,[1,)x x ∈+∞,12x x δ-<时总成立1212x x x x μμδε-≤-<=.□例3 (连续但不一致连续的函数) 当常数(1,)μ∈+∞时,幂函数x μ不是[1,)+∞上的一致连续函数(这说明两个一致连续函数的积可能不是一致连续函数).证: 1x y ∀≤<,有不等式 11()y x x y x x y x μμμμμ---≥-=-.n *∀∈,令 11,n n x n y n n μ-==+,则 11lim()lim 0n n n n y x n μ-→∞→∞-==, n n y x μμ- 1()n n n x y x μ-≥-1111n nμμ--==.由命题1便知x μ不是[1,)+∞上的一致连续函数.□例4 (连续但不一致连续的函数) 1sin x不是(0,1)上的一致连续函数. 证: 由命题3.□例 5 10,xσ∀>是[,)σ+∞上的一致连续函数,但却不是(0,)+∞上的一致连续函数.证: 12x x σ∀≤<,有不等式21212121211x x x x x x x x σ---=≤.故0ε∀>,令20δσε=>,则当12,[,)x x σ∈+∞,12x x δ-<时总成立1211x x -212x x σ-≤ε<. 这说明1x 是[,)σ+∞上的一致连续函数. 由命题2或命题3知1x不是(0,)+∞上的一致连续函数.□练习题2.9(109P ) 1,2,3.问题2.9(109P ) 2.§2.10 有限闭区间上连续函数的性质定理 2.22(一致连续性) 若f 是有限闭区间[,]a b 上的连续函数,则f 必在[,]a b 上一致连续.证:(利用有限闭区间的列紧性反证) 假定连续函数f 不一致连续,即0ε∃>和{}n x ,{}n y ⊂[,]a b ,使得 lim()0n n n x y →∞-=,并且()()n n f x f y - ε≥,n ∀*∈.取{}n x 的一个子列{}n k x 收敛于0[,]x a b ∈,则{}n k y 也收敛于0[,]x a b ∈,从而0lim ()()0n n k k n f x f y ε→∞=-≥>,得到矛盾.□定理2.23和2.24 (最大值和最小值的可达性) 若f 是有限闭区间[,]a b 上的连续函数,则必00,[,]x y a b ∃∈,使得0()min ()a x b f x f x ≤≤=, 0()m ()a x bf y ax f x ≤≤=. 作为推论,f 在[,]a b 上有界.证:(利用有限闭区间的列紧性)仅证最小值的可达性.令inf ([,])m f a b ∞=∈,由§1.9的命题2知,{()}([,])n f x f a b ∃⊂使得lim ()n n f x m →∞=.取{}n x 一个子列{}n k x 收敛于0[,]x a b ∈,便有0l i m ()()n k n m f x f x →∞==,即0()min ()a x bf x f x ≤≤=.□ 定理2.25和2.26 (介值定理和零值定理) 若f 是有限闭区间[,]a b 上的连续函数,()()f a f b ≠,则∀介于()()f a f b 和之间的实数γ,必c ∃∈(,)a b 使得()f c γ=.作为推论,若()()0f a f b <,则必c ∃∈(,)a b 使得()0f c =.证: (利用区间的连通性) 记{[,]:()}A x a b f x γ=∈<,{[,]:B x a b =∈ ()f x }γ≥,则A ≠∅,B ≠∅,,[,]A B A B a b =∅=.由[,]a b 的连通性,或者可取{}n x A ⊂收敛于c B ∈,此时()lim ()n n f c f x γγ→∞≤=≤；或者可取{}n y B ⊂收敛于1c A ∈,此时1()lim ()n n f c f y γγ→∞>=≥(该情形不会出现).因而()f c γ=,c ∈(,)a b .□推论 若f 是区间I 上的连续函数,则()f I 也是区间. 证:(利用区间的连通性),(),l L f I l L ∀∈<,要证(,)()l L f I ⊂. 取,a b I ∈满足()f a l =,()f b L =,并不妨设a b <.(,)l L γ∀∈,c ∃∈(,)a b 使得()f c γ=.这说明()f I γ∈,从而(,)()l L f I ⊂.□例1 任何实系数奇次多项式必有实根.证: 设()p x 是实系数奇次多项式(首系数为1), 则lim (),x p x →+∞=+∞ lim ()x p x →-∞=-∞.故当0A >充分大时,有()0,()0f A f A >-<,从而(,)c A A ∃∈-使得()0p c =.□例2(115P ,8)设([0,1])f C ∈,(0)(1)f f =.求证n *∀∈,n x ∃∈1[0,1]n- 使得1()()n n f x f x n =+. 证: 考虑1[0,1]n -上的函数1()()()x f x f x n ϕ=-+.由于01()()n nϕϕ+ 101121()()()()()()()0n n n f f f f f f n n n n n n nϕ--++=-+-++-=, 故或者()0,01k k n nϕ=∀≤≤-,或者1212,,01k k k k n ∃≤<≤-,使得12()()0k k n n ϕϕ<.由零值定理便知n x ∃∈1[0,1]n-使得()0n x ϕ=.□练习题2.10(114P ) 2,4,5,7,9,10,11.问题2.10(114P ) 2,4.§2.11 函数的上极限和下极限本节内容与数列的上极限和下极限的概念及相关结论完全一样. 定义2.22 设f 是X 上的单变量函数,0x ∈是X 的极限点,那么 00{:{}\{},lim ,lim ()}n n n n n E l x X x x x f x l ∞→∞→∞=∈∃⊂==≠∅使得. 记 0limsup ()sup x x f x E →= 和 0liminf ()inf x xf x E →=,分别称为当0x x →时f 的上极限和下极限；或称为f 在0x 处的上极限和下极限.类似地,能定义当00,,,,x x x x x x x →+→-→+∞→-∞→∞时f 的上极限和下极限.注记2.22' X 上的单变量函数f 在X 的极限点0x 处的上极限和下极限一定存在,其值与f 在0x 处是否有定义无关,只与f 在0x 的去心邻域00{:0}X x X x x δ∈<-<上的定义有关.这里,0δ是固定的正数. 注记2.22'' 设f 是X 上的单变量函数,0x ∈是X 的极限点.0δ∀>,记0()sup{():,0}f x x X x x ψδδ=∈<-<,0()inf{():,0}f x x X x x ϕδδ=∈<-<,则()ψδ在(0,)+∞上递增, ()ϕδ在(0,)+∞上递减(注意()ψδ和()ϕδ可能不是函数).故存在广义右极限0lim ()δψδ→+和0lim ()δϕδ→+.这两个广义右极限就是当0x x →时f 的上极限和下极限.当00,,,,x x x x x x x →+→-→+∞→-∞→∞时的情形类似. 定理2.27 设f 是X 上的单变量函数,0x ∈是X 的极限点,{E l =∈:∞00{}\{},lim ,lim ()}n n n n n x X x x x f x l →∞→∞∃⊂==使得. 则β∞∈是当0x x →时f 的上极限(或下极限)的充要条件是(1) E β∈；(2) (),0y y ββδ∀><∃>或,使得当0,0x X x x δ∈<-<时成立 ()f x y <(或()f x y >).当00,,,,x x x x x x x →+→-→+∞→-∞→∞时的情形类似. 推论 设条件如同定理2.27,则sup max ,inf min E E E E ==. 定理2.28 设,f g 是X 上的单变量函数,0x ∈是X 的极限点,则有(1) 00liminf ()limsup ()x x x x f x f x →→≤； (2) 000lim ()liminf ()limsup ()x x x x x x f x a f x f x a ∞→→→=∈⇔==； (3) 当00,0x X x x δ∈<-<时成立()()f x g x ≤⇒0000liminf ()liminf (),limsup ()limsup ()x x x x x x x x f x g x f x g x →→→→≤≤. 当00,,,,x x x x x x x →+→-→+∞→-∞→∞时的情形类似. 补充定义 设f 是X 上的单变量函数,0x X ∈是X 的极限点.若00limsup ()()x x f x f x →≤,则称f 在0x 处上半连续；若00liminf ()()x x f x f x →≥,则称f 在0x 处下半连续.命题 设f 是X 上的单变量函数,0x X ∈是X 的极限点.那么f 在0x 处连续⇔f 在0x 处既上半连续又下半连续.例(115P ,问题3)设f 是[,)a +∞上有界的连续函数,求证0λ∀>,{}n x ∃ [,),lim n n a x →∞⊂+∞=+∞,满足 lim(()())0n n n f x f x λ→∞+-=. 证: 记limsup(()())x f x f x L λ→+∞+-=,liminf (()())x f x f x l λ→+∞+-=,则,l L ∈.(1) 当0l =或0L =时,结论显然成立.(2) 当0l L <<时,{},{}[,)n n y z a ∃⊂+∞,lim n n y →∞=+∞,lim n n z →∞=+∞,使得()()0n n f y f y λ+-<,()()0,n n f z f z n λ*+->∀∈.利用零值定理,可取(,)n n n x y z ∈使得()()0n n f x f x λ+-=.显然{}n x 满足要求.(3) 0l >或0L <这两种情形不会出现.(反证法)假定0l >成立,则N *∃∈,使得当x N λ≥时成立()()2l f x f x λ+->.故当n N >时成立1()()[()()]()2n k N l f n f N f k f k n N λλλλλλ-=+-=+->-∑.这与f 有界相矛盾.同理,能证0L <不成立.□练习题2.11(118P ) 1,2,3.。

函数一致连续性的判别一.函数一致连续性的定义1.函数一致连续性的概念定义：设函数)(x f 在区间I 有定义，若δδε<-∈∀>∃>∀212,1:,0,0x x I x x 有,)()(21ε<-x f x f 称函数)(x f 在I 上一致连续。

例1.证明：函数)0()(≠+=a b ax x f 在),(+∞-∞上一致连续。

证 ：,0>∀ε由于'''')''()(x x a x f x f -=-，取δ=aε，则对任何),(,'''+∞-∞∈x x ，只要δ<-'''x x ，就有ε<-)()('''x f x f ，故函数)0()(≠+=a b ax x f 在),(+∞-∞上一致连续。

例2. 证明：函数xx f 1)(=在区间[]1,a （其中10<<a 为常数）上一致连续；在区间(]1,0上非一致连续。

证 ： （1）,0>∀ε由于'''2'''''''''''111)''()(x x a xx x x x x x f x f -≤-=-=-，取εδ2a =，则对任意[],1,,'''a x x ∈当δ<-'''x x 时，就有ε<-)()('''x f x f ，故函数xx f 1)(=在区间[]1,a （其中10<<a 为常数）上一致连续； （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>∃>∀>=∃δδε10,0210n ，取11'+=n x ，(]1,01'',11'∈=+=n x n x ，虽然有 ,1)1(11112'''δ<<+<-+=-nn n n n x x 但211)1()(0'''=>=-+<-εn n x x f ，故函数xx f 1)(=在区间(]1,0上非一致连续。