浅析函数连续与一致连续性的判定论文

函数一致连续性的判定及性质摘要: 在函数的众多性质中，函数的一致连续性是非常重要的一个，它刻划出了函数在一个区间上的全局性，是理解数学中其它知识的基础，对这一性质的深刻理解与掌握能够很好的促进数学分析的学习，研究函数一致连续性必然要研究一致连续性的判定定理及性质，这有利于描绘函数的图像和进一步了解函数的性质。

本文简要概括了一元函数的一致连续性概念及连续与一致连续的联系与差别，并深入分析了函数一致连续的判定、性质及应用。

关键词: 一致连续性连续函数非一致连续极限可导The Judgemental Theorems and Properties of UniformContinuity for FunctionsAbstract The uniform continuity of function is a very important concept in the mathematical analysis course,it skins out the overall importance of function on an interval and it is a foundation in understanding other knowledge associated with mathematics . Deep understanding and mastering of this nature can promote us learning about mthematical analysis. Studying the judgemental theorems and properties of uniform continuity for function are useful for researching the uniform continuity of function ,and this helps us to depict the images of function and further understand the nature of the function. The paper summarizes the uniform continuity concept of the unary function and the difference between continuous function and uniformly continuous function, at the same time,it analysizes the determination, properties and application of uniformly continuous function in depth.Keywords consistent continuity continuous function non-uniform limit differentiable1 引言一致连续是数学分析上册第四章第2节所学到的一个概念，它能够帮助我们理解和解决很多问题。

函数的连续性与一致收敛性的深入研究函数的连续性与一致收敛性是微积分中的两个重要概念。

本文将深入研究这两个概念，并探讨它们的性质和应用。

在微积分中，函数的连续性是一个基本概念。

一个函数在某一点上连续，意味着该函数在该点附近没有断点或跳跃。

具体地说，对于一个函数$f(x)$，如果$x=a$是其定义域的一个内点，并且满足以下条件：1. $f(a)$存在；2. $\lim_{x\to a}f(x)$存在；3. $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$，则称函数$f(x)$在点$a$处连续。

如果$f(x)$在其定义域的每一点都连续，则称$f(x)$为连续函数。

连续性可以进一步细分为三种类型：左连续、右连续和间断点。

左连续指函数在某点的左邻域内连续，右连续指函数在某点的右邻域内连续，间断点是指函数在某点不连续。

这些分类的目的是更准确地描述函数的性质。

函数的连续性具有一些重要的性质。

首先，连续函数可以进行常规的运算，包括加法、减法、乘法和除法。

其次，连续函数在闭区间上取得最大值和最小值，即连续函数在闭区间上一定有极值。

最后，连续函数的图像没有断点或跳跃，可以被光滑地绘制出来。

与连续性密切相关的是一致收敛性。

一致收敛用于描述函数序列或函数级数的收敛性。

对于一个函数序列$\{f_n(x)\}$，如果存在函数$f(x)$使得对于任意给定的$\epsilon>0$，存在一个正整数$N$，当$n>N$时，有$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$，那么我们称函数序列$\{f_n(x)\}$一致收敛于函数$f(x)$。

类似地，对于一个函数级数$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$，如果对于任意给定的$\epsilon>0$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，$\left| \sum_{k=1}^{n}f_k(x)-f(x) \right|<\epsilon$，那么我们称函数级数$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$一致收敛于函数$f(x)$。

一致连续性的判定摘要：一致连续的问题在数学分析中经常遇到。

此论文主要讨论了一致连续性的几种常用的判定方法。

论文分为四个部分，逐层对一致连续的判定进行研究。

第一部分是用定义判定，定义最原本，是所有判定方法的源头，它有两种表述，表述一判定一致连续较为方便，表述二判定不一致连续较为方便。

第二部分用Cantor 定理判定，这比较快，在满足条件的情况下用起来方便。

第三部分是利用函数的周期性判定，这也就给出了不是周期函数的判定方法。

第四部分运用导函数有界来判定，这便把导数与连续贯穿起来了关键词：函数 连续 一致连续函数的连续性是指函数在0x x =处的函数值是否等于函数在0x 的函数的处的极限值，而函数的一致连续性主要是指在函数连续的基础上，研究由自变量的微小变化，而引起的函数值的变化值的上确界是否是零，因此一致连续性比连续要强，连续函数顾名思义，是一条连绵不断的曲线，一致连续的函数不仅仅只满足连绵不断了，那么什么样的函数才是一致连续的呢，从而能否判定一个函数是否一致连续成为人们重视的课题。

下面我们就针对一致连续的判定做一个简要的总结。

一、利用定义判定一致连续性的一种定义是：设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对任给的ε>0存在δ=δ（ε）>0使得对任何'x ,I x ∈",只要|"'x x -|<δ,就有|)"()'(x f x f -|<ε,则称函数f 在区间上一致连续I 。

定义适用范围广，但用起来不太方便。

但从这里可以立即推出若在)(x f [)上满足+∞,1Lipthitz 条件|)"()'(x f x f -|≤L |'x －"x |。

0,",'>∈∀L I x x 其中为某一常数，则必一致连续。

一致连续还有一种另一种表述。

即下面的定理：设I 为有限区间，)(x f 在I 上有定义，试证：f(x)是在I 上一致连续充分必要条件是f 把Cauthy 序列（即当{x n}为Cauthy 序列时，|)(x f |亦为Cauthy 序列。

一致连续函数的证明与性质周青（081114132）（孝感学院数学与统计学院）摘要本文综述了连续函数的一致连续性条件以及一致连续函数所具有的性质。

在研究连续函数在区间内一致连续条件时，通过改变函数的定义域，讨论一致连续性问题；并且讨论了数列函数，周期函数的一致连续性。

关键词函数; 连续; 一致连续；函数性质Consistent continuation function demonstrated with natureAbstract This article reviews the continuous uniform continuity of functions and the properties of uniformly continuous function. In the study of continuous function on the interval uniform continuity conditions, by changing the definition of the function domain, discuss the uniformly continuity problems; and discusses the sequence function, periodic uniform continuity of functions.Key words function; continuous; uniformly continuous function1引言函数的一致连续性是研究函数的重要内容，关于函数一致连续问题的理解与应用是理解其他知识的基础。

为了使函数一致连续性的判定条件更加系统，本文总结了函数一致连续的一些条件。

本文主要探讨连续函数到一致连续函数所需的条件。

函数在区间上连续是指函数在该区间的每一点都连续，而一致连续性概念反映了函数在区间更强的连续性。

浅谈函数的一致连续性问题摘要：本文指出数学分析中判别函数的一致连续性，可直接应用的理论是定义、康托定理、归结原则等。

在具体解题时，通常利用某些命题的结论作为解题的指导思想，帮助判知结论，迅速找到正确的解题方法，再利用可直接应用的理论对其加以佐证。

关键词：数学分析；一致连续；可直接应用的理论；解题的指导思想函数在区间上的一致连续性问题是数学分析中的典型问题之一。

函数在区间上一致连续是函数在区间上逐点连续的加强，二者之间有着密切的联系，同时又有着本质上的区别。

函数类型纷繁复杂，如何准确的判别函数在所给区间上的一致连续性，很多人都觉得无从下手，尤其是初学者，更是觉得解决问题的思路不清晰。

现将解这一类型题的理论进行简单归纳。

一、函数在区间上逐点连续与一致连续的本质及其关系(一)数学语言的刻画(二)几何直观体现与通俗理解函数在区间上逐点连续，指的是函数在所定义区间上处处连续，其函数图像连绵无间断；函数在区间上一致连续，指的是其函数图像在定义的区间上连绵不断且函数值变化缓慢，与区间上连续的非一致连续函数的图像形成鲜明的对比，非一致连续函数的图像在所定义的区间上，特别是在一致连续性“破坏点”附近是“陡峭”的。

(三)二者的关系由函数在区间上连续和一致连续的定义可推知，逐点连(二)康托定理及其推广由康托定理知，函数在闭区间上连续。

在闭区间上一致连续。

这个定理简单好用，但仅限于在有限闭区间上可直接用，而对于有限开区间或无限区间上不能直接应用。

因此，不妨将如下命题看作康托定理的推广。

命题2.1f(x)在有限开区间(a，b)上连续f(x)在(a，b)上一致连续当且仅当f(a+0)与f(b-0)都存在(有限值)。

命题2.2f(x)在有限开区间(a，b)上连续，若f(a+0)与f(b-0)至少有一者不存在，则f(x)在(a,b)上非一致连续。

关于函数的一致连续问题摘要:从函数的一致连续概念出发,总结了一致连续的条件及运算性质.关键词:函数;一致连续;连续在数学分析中,关于函数一致连续问题的理解与应用是理解数学中其他知识的基础,但目前各种教材对这类问题提出和总结得不够,广大数学爱好者很难对其有全面清晰的认识.为了加深对一致连续问题的认识,本文从一致连续的概念出发,总结了一致连续的条件、运算性质.1 一致连续及其相关概念定义1设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上连续是指, x0∈I, ε> 0, δ> 0,当x∈I且x-x0 <δ时,有f(x) -f(x0) <ε.定义2 设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上一致连续是指,对ε> 0, δ> 0(其中δ与ε对应而与x,y无关),使得对区间I上任意两点x,y,只要x-y <δ,就有f(x) -f(y) <ε.定义3 设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上不一致连续是指,至少一个ε0>0,对δ>0,都可以找到x′,x″∈I,满足︱x′-x″︱<δ,但︱f(x′)-f(x″)︱≥ε0.评注1 比较函数在区间上的连续性与一致连续性的定义知,连续性的δ不仅与ε有关而且与x0有关,即对于不同的x0,一般说来δ是不同的.这表明只要函数在区间上的每一点处都连续,函数就在这一区间上连续.而一致连续的δ仅与ε有关,与x0无关,即对于不同的x0,δ是相同的,这表明函数在区间上的一致连续性,不仅要求函数在这一区间上的每一点处都连续,而且要求函数在这一区间上的连续是处处一致的.在区间I上一致连续的函数在该区间I上一定是连续的,反之,在I上连续的函数在该I上不一定是一致连续的.评注2 一致连续的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之差(就绝对值来说)可以任意小.用定义证明f(x)在I上一致连续,通常的方法是设法证明f(x)在I上满足Lipschitz条件︱f(x′)-f(x″)︱≤L︱x′-x″︱, ∀x′,x″∈I,其中L为某一常数,此条件必成立.特别地,若f′(x)在I上是有界函数,则f(x)在I上Lipschitz条件成立.2 一致连续的条件及有关结论2.1 一致连续的条件定理1(G·康托定理) 若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则它在这个区间上也是一致连续的.证明要证的是对于任意给定了的ε> 0,可以分区间[a,b]成有限多个小段,使得f(x)在每一小段上任意两点的函数值之差都小于ε,以下用反证法证之,若上述事实不成立,则至少对于某一个∈0> 0而言,区间[a,b]不能按上述要求分成有限多个小段.将[a,b]二等分为[a,c0]、[c0,b],则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小段,把它记为[a1,b1].再将[a1,b1]二等分为[a1,c1]、[c1,b1],依同样的方法取定其一,记为[a2,b2].如此继续下去,就得到一个闭区间套[an,bn],n= 1,2,…,由区间套定理知, 唯一的点c属于所有这些闭区间.因c∈[a,b],所以f(x)在点x=c连续,于是可找到δ> 0,使︱x-c︱<δ(x∈[a,b])时,︱f(x) -f(c)︱<ε0/2.注意到c= lim lim n n n n a b →∞→∞=我们可取充分大的k,使 ︱ak-c ︱<δ, ︱bk-c ︱<δ,从而 对于[ak,bk]上任意点x,都有 ︱x-c ︱<δ,因此,对于[ak,bk]上的任意两点x1,x2都有 ︱f(x1) -f(x2)︱ ≤ ︱f(x1) -f(c) + f(c) -f(x2)︱ <0122∈∈+ =0∈ 这表明[ak,bk]能按要求那样分为有限多个小段(其实在整个[ak,bk]上任意两点的 函数值之差已小于0∈了),这是和区间[ak,bk]的定义矛盾的,这个矛盾表明我们在开始时 所作的反证假设是不正确的,从而定理的结论正确.评注3 定理1对开区间不成立.例如函数f(x) =1x在(0,1)的每一个点都连续, 但在该区间并不一致连续.事实上,对于任意小的δ>0,令x1=δ,x2=2δ,则 ︱x1-x2 ︱ =δ,而 ︱f(x1) -f(x2)︱ =111_22δδδ=,这时︱ x1-x 2︱ 可以任意小,但︱ f(x1) - f(x2) ︱可以任意大.函数f(x) = tanx 在(-2π,2π)也有类似的情形.以上两例讨论的 都是无界函数,而sin 1x在(0,1)内的每一点都连续,且显然在这个区间内有界,然而它也 没有一致连续性,因为有任意小(因而也就彼此任意接近)的数x1与x2存在,使sin 1x =1,sin 21x =- 1. 定理2 f(x)在区间I 上一致连续的充要条件是在区间I 上满足lim n →∞(xn-yn) = 0的任意两数列{xn}、{yn},必有lim n →∞[f(xn) -f(yn)] = 0. 证明 必要性.若f(x)在I 上一致连续,由一致连续性的定义, ∀ε>0, ∃δ>0,当︱xn-y n ︱ <δ时,︱ f(xn)-f(yn) ︱<ε,即任两数列{xn}、{yn},当n →∞时, ︱xn-y n ︱ → 0,则必有 ︱f(x0) -f(yn) ︱→0.充分性.用反证法,若两数列{xn}、{yn},当n →∞时, ︱xn-y n ︱ →0,︱ f(xn)-f(yn )︱ →0而f(x)在I 上不一致连续,那么一定∃ε0> 0,对∀δn> 0,存在xn,yn,当 ︱xn-y n ︱ <δn 时,︱ f(xn) -f(yn) ︱≥ε0,取δn →0,我们得到两数列{xn}、{yn},当n →∞时,xn- yn →0,但 ︱f(xn) -f(yn) ︱≥ε0,这与假设lim n →∞[f(xn) -f(yn)] = 0矛盾. 评注4 定理2所述的必要性常被用来判定一个函数是不是一致连续的.例如,函数f(x) = sin xπ,在区间(0,1)上是连续的且有界,但在此区间上并非一致 连续.事实上,当x ≠0时,由基本初等函数在其有定义的区间上连续知,f(x)是连续的, 同时,由于 ︱f(x) ︱≤1,因而它也是有界的.现考虑(0,1)上的两串数列xn=2n ,xn ′=21n + ,则当0<ε0<1时,不论δ>0取得多么小,只要n 充分大,总可以使 ︱xn-xn ′︱ =2(1)n n + <δ,但是 ︱f(xn) -f(xn’)︱ = 1 >ε0,因而f(x)在(0,1)上并非一致连续.定理3 设f(x)在有限区间I 上有定义,那么f(x)在I 上一致连续的充要条件是对任意柯西(Cauchy)列{xn} I,{f(xn)} R ′也是Cauchy 列.证明 必要性.因f(x)一致连续,即对 ε> 0, δ> 0,对 x ′,x ″∈I,只要 ︱x ′-x ″︱ <δ,就有 ︱f(x ′) -f(x ″)︱ <ε.设{xn} I 为Cauchy 列,于是对上面的δ> 0,必 N> 0,使当n,m>N 时,有 ︱f(xn) -f(xm )︱ <ε,即{f(xn)}是Cauchy 列.充分性.若不然,必 ε0> 0,x ′n,x ″n ∈I,虽然 xn ′-xn ″ <1n,但是︱ f(xn ′) - f(xn ″) ︱≥ε0,由{xn ′}有界知,存在收剑子列{xnk ′},从而{xnk ″}也收剑于同一点,显然xn1′,xn1″,xn2′,xn1″,…,是Cauchy 列,但是f(xn1′),f(xn1″),f(xn2′),f(xn2″),…,不是Cauchy 列,此为矛盾,故f(x)在I 上一致连续.定理4 设f(x)在有限区间(a,b)上连续,则f(x)在(a,b)上一致连续的充要条件是f(a+ 0)、f(b- 0)存在且有限.证明 充分性.令F(x) =f(a+ 0) (x=a),f(x) (x ∈(a,b)),f(b- 0) (x=b),则F(x)∈C[a,b],因此F(x)在[a,b]上一致连续,从而f(x)在(a,b)上一致连续.必要性.已知f(x)在(a,b)上一致连续,所以对于 ε> 0, δ> 0,当x ′,x ″∈(a,b)且︱x ′-x ″︱<δ时, ︱f(x ′) -f(x ″)︱<ε成立.对端点a,当x ′,x ″满足0 <x ′-a<2δ,0<x ″-a<2δ时,就有 ︱x ′-x ″︱ ≤ ︱x ′-a ︱+︱ x ″-a ︱<δ,于是︱ f(x ′)-f(x ″) ︱<ε.由Cauchy 收敛准则,f(a+ 0)存在且有限,同理可证f(b- 0)存在且有限.评注5 (1)当(a,b)为无穷区间,本例中的条件是f(x)在(a,b)上一致连续的条件充分但不必要.例如f(x)=x,φ(x)=sinx,x ∈(-∞,+∞)及g(x)= ∈(0,+∞)均为所给区间上的一致连续函数,但f(-∞) =-∞,f(+∞) =g(+∞) =+∞,φ(+∞)和φ(-∞)不存在.(2)定理提供了一个判断函数一致连续性简单而有效的方法.例如,研究下列函数 在所示区间上的一致连续性.i)f(x) =sin x x (0 <x<π);ii)f(x) = x e cos 1x(0 <x< 1). 解 i)因0sin lim x x x →= 1, sin lim x x x π→= 0,所以f(x)在(0,π)内一致连续.ii)因 limx →0+0excos1x 不存在,所以f(x)在(0,1)内不一致连续.(3)由定理知,若f(x)∈C(a,b),则f(x)可连续延拓到[a,b]上的充要条件是f(x)在(a,b)上一致连续.定理5 函数f(x)在区间I 上一致连续的充要条件是,对 ε>0及x,y ∈I,总正数N,使正︱ f(x) -f(y) ︱>N ︱ x-y ︱. (1)恒有︱ f(x) -f(y) ︱<ε. (2)证明 因为f(x)在I 上一致连续的定义等价于:对∀ε>0, ∃δ>0,使得对于∀x,y︱f(x) -f(y )︱ ≥ε, (3)就有 ︱x-y ︱≥δ.而题设条件为对 ε>0, N>0,对x,y ∈I,当不等式(3)成立时,︱f(x) -f(y )︱ ≤N ︱x-y ︱. (4)充分性.若题设中条件成立,则由(4)式得 ︱x-y ︱ ≥1N ︱f(x) -f(y) ︱，再由(3)式 得 ︱x-y ︱≥N ε,所以对给定的ε> 0,只要取δ=Nε,当x,y ∈I,且满足(3)时,就有 ︱x -y ︱≥δ成立.必要性.若f(x)在I 上一致连续,则对任给的ε> 0,存在δ> 0,使当x,y ∈I,且满足不等式(3)时,就有不等式 ︱x-y ︱≥δ成立,故 整数k,使得k δ≤ ︱x-y ︱ ≤(k+ 1)δ. (5)不妨设x<y,将[x,y]分成k+1等分,记xi-1(i=1,…,k+1)为其分点,由(5)式知 ︱xi-xi-1 ︱= ︱1x y k -+︱<δ,故︱ f(xi) -f(xi-1)︱ <ε,i= 1,2,…,k+ 1, ︱()()f x f y x y--︱≤{11k i +=∑︱()(1)f xi f xi --︱}/(1)2k k k δδδ+∈∈<< 令N= [2δ∈] + 1,则当I 中的点x,y使(3)式成立时,必有(4)式成立,从而(1)式成立时,有(2)式成立.评注6 本定理的证明是灵活运用一致连续定义的典范,它在理论研究上具有一定 的意义.2.2 一致连续函数的运算性质一致连续函数有一系列的运算性质,归结如下几个命题.命题1 设φ(x)与ψ(x)在区间I 上一致连续,则αφ(x) +βψ(x)在I 上一致连续 (α,β为任意常数).命题2 设φ(x),ψ(x)在有限区间I 上一致连续,那么ψ(x)ψ(x)在I 上也一致连续. 命题3 设φ(x),ψ(x)在无限区间I 上一致连续且有界,那么φ(x)ψ(x)在I 上也一 致连续.其中“有界”的条件不可少,例如f(x) =x 在(-∞, +∞)上一致连续,但无界,而f(x)·f(x) =2x 在(-∞, +∞)上不一致连续.命题4 设φ(x)在区间I 上一致连续且inf ()F x > 0,那么1f 在I 上也一致连续.最后应指出,一致连续函数的反函数,一般说来,不再一致连续,例如f(x)=(0, +∞)上一致连续而它的反函数1f- (x)= 2x 在(0,+∞)内不一致连续,但可以证明在有限区间上,结论仍真.[1] 斐礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.93—103.[2] 王向东.数学分析中的概念与方法[M].上海:科学技术文献出版社,1989.278—299.[3] 周家云,刘一鸣.数学分析的方法[M].济南:山东教育出版社,1991.48—62..。

连续函数与一致连续性的研究分析在数学领域中，连续函数是一种重要的概念，它在分析学、微积分和实变函数等学科中都有广泛的应用。

连续函数的研究对于理解数学的发展和应用具有重要的意义。

而一致连续性是连续函数的一个重要性质，它在实际问题的建模和解决中也起到了关键的作用。

首先，我们来探讨连续函数的定义和性质。

在数学中，连续函数是指在定义域上的任意一点，函数值都能无限接近于其函数极限。

具体来说，对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，总有|f(x)-f(x0)|<ε成立，那么我们称函数f(x)在点x0处连续。

连续函数具有一些重要的性质。

首先，连续函数的和、差、积仍然是连续函数。

其次，连续函数的复合函数也是连续函数。

这些性质使得连续函数在数学分析中有着广泛的应用。

例如，在微积分中，我们需要对函数进行求导和积分，而连续函数的这些性质保证了这些运算的合法性。

然而，仅仅满足上述定义的连续函数并不能满足一些特殊情况下的需求。

例如，考虑函数f(x) = 1/x，它在定义域上是连续函数。

但是，当x趋近于0时，f(x)的变化速度变得非常快，这导致了在一些问题中的数值计算的不稳定性。

为了解决这个问题，我们引入了一致连续性的概念。

一致连续性是连续函数的一种更强的性质。

对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，对于区间[a, b]上的任意两个点x和y，总有|f(x)-f(y)|<ε成立，那么我们称函数f(x)在区间[a, b]上一致连续。

一致连续性的引入解决了连续函数在局部变化剧烈的情况下的数值计算问题。

它保证了函数在整个定义域上的变化是平缓的，从而提高了数值计算的稳定性。

例如，在数学建模中，我们经常需要对连续函数进行数值逼近，而一致连续性保证了逼近的精度和稳定性。

目录摘要 (1)1 引言.......................................................................... . (2)2 函数一致连续性的证明方法.......................................... . (2)2.1 有限区间上的一致连续函数 (2)2.2 无限区间上的一致连续函数 (4)2.3 任意区间上的一致连续函数 (5)3函数一致连续性的应用 (7)结论 (9)参考文献 (9)致谢…………………………………………………………….............,,.9函数一致连续性证明的几种方法及应用数学计算机科学学院摘要：函数一致连续性是数学分析课程中的一个重要概念,在分析问题中起着十分重要的作用.它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础，而且与随后的含参量积分，函数项级数等概念有着密切的联系.因此，证明函数的一致连续性是数学分析的一项重要内容.本文从函数一致连续性的概念出发，对函数一致连续性做出了深入分析，从不同类型区间包括有限区间，无限区间，以及任意区间等讨论了函数一致连续性和证明方法及其应用.关键词：函数；一致连续；充要条件；康托定理Function mean value theorem to prove and applicatioCollege of Mathematics and Computer Science ArtsAbstrac: The uniformly continuous function is an important concept of mathematical analysis course, plays a very important role in analyzing the matter. It is not only the continuous functions on closed interval Riemann integrable theoretical basis, and then the integral containing parameters, the concepts of series expressed by function terms has the close relation. As a result, the proof of function's consistent continuity is mathematical analysis is an important content. In this paper, starting from the concept of uniformly continuous function of uniformly continuous function has made the thorough analysis, from different types including limited interval, infinite interval, and arbitrary interval uniformly continuous function are discussed and proved method and its application.Key words: function;Uniformly continuous; Necessary and sufficient condition;Cantor theorem1引言函数()f x 在区间上一致连续与函数()f x 在区间上连续在概念上有着重大的差别：函数()f x 在区间上连续是函数()f x 在区间上每一点都连续，这是一个局部性质；而函数()f x 在区间上一致连续则是整体性质，它可推出函数()f x 在区间上每一点都连续这一局部性质，是更强的连续性概念.在这里我们对函数的一致连续性进行深入的探讨，并给出函数一致连续的几个证明方法与应用，以及在函数一致连续性的条件下得到的几个重要结论，以致更深入了解并掌握该定理.2函数一致连续性的证明方法函数一致连续的定义[1] 设函数()f x 为定义在区间I 上的函数.若对任给的正数ε，总存在正数δ，只要'x ，''x 属于I ，且'''x x δ-<，就有()()'''fx f x ε-<，则称函数()f x 在区间I 上一致连续.下面介绍函数一致连续性的几种方法 2.1 有限区间上的一致连续函数设函数()y f x =于区间(,)a b 上有定义, 记()()()12f A Sup f x f x δ=-( 式中1x 和2x 为(,)a b 中受条件12x x δ-≤限制的任意两点) 称为函数()f x 在区间(,)a b 上δ的振幅数.定理1 [2]函数()f x 在区间(,)a b 上一致连续的充分必要条件是()0lim 0f A δδ+→=. 证明 先证必要性 ()f x 于(,)a b 上一致连续, '0,0εδ∀>∃>，使(,)a b 中任何两点1x 和2x , 只要'12x x δ-<, 就有12()()2f x f x ε-<.于是对于任意满足'0δδ<<的δ, 则当12x x δ-≤ 时, 就有12()()2f x f x ε-<, 从而()()()122f A Sup f x f x εδε=-≤<, 所以()0lim 0f A δδ+→=. 再证充分性 设()0lim 0f A δδ+→=, '0,0εδ∀>∃>, 使当'0δδ<<时, 恒有()f A δε<, 令'*2δδ=，则*'0δδ<<, 设1x 和2x 为(,)a b 中满足*12x x δ-<任意两点, 有()*12()()f f x f x A δε-≤<, 所以()f x 于(,)a b 内一致连续.上式中区间(,)a b 可改为区间I定理2[3] （Cantor 定理） 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上一致续.定理3[4] 函数()f x 在开区间(),a b 上一致连续的充要条件是()f x 在(),a b 上连续，且lim ()xa f x +→与lim ()xb f x -→都存在. 证明 （必要性）设()f x 在(),a b 上一致连续，即0ε∀>，0δ∃> ，''',(,)x x a b ∀∈ ，且'''x x δ-< ， 有'''()()f x f x ε-< .故''',(,)x x a b ∀∈，当''',(,)x x a a δ∈+时，有'''()()f x f x ε-< .据Cauchy 准则， lim ()x a f x +→存在.同理lim ()x b f x -→存在. （充分性）作函数()f x 的连续延拓()F x(0),()(),(,)(0),f a x a F x f x x a b f b x b +=⎧⎪=∈⎨⎪-=⎩则()F x 在[],a b 上连续，由Cantor 定理，()F x 在[],a b 上一致连续，从而()f x 在(),a b 上一致连续.定理4[5]()f x 在有限区间 I 上一致连续的充要条件是：对于区间I 上的任一柯西列（基本列）{}n x 都有(){}n f x 也为柯西列（基本列）.证明:[必要性] 因为()f x 在I 上一致连续，即对任意的0ε>，存在0δ>，使得对任意的''',x xI ∈，当'''xx δ-<时，有()()'''f x f x ε-<，又{}n x 为I 中的柯西列，所以对上述δ，存在0N >，使得对于任意的,m n N >，都有m n x x δ-<，于是有()()m n f x f x ε-<，即(){}nf x 为柯西列.[充分性] 用反证法 假设()f x 在I 上非一致连续，即存在00ε>，使得对于任意的0δ>，存在''',x x I ∈，当'''x x δ-<时，有()()'''0f x f x ε-≥取1n δ=，则存在''',n n x x I ∈，且''1n n x x n-<，但()()''0n n f x f x ε-≥.又I 为有限区间，故{}n x 为有界数列.存在收敛子列{}k n x ，因()'''0k k n n x x n -→→∞，故{}'kn x 也收敛，且与{}''k n x 的极限相同，从而数列1122''''''''',,,,,,,k k n n n n n n x x x x x x 是一个柯西列，但其象序列1122'''''''''(),(),(),(),,(),()k k n n n n n n f x f x f x f x f x f x 恒有()()'''0k k n n f x f x ε-≥不是柯西列，这与(){}n f x 为柯西列相矛盾，故()f x 在I上一致连续.2.2 无限区间上的一致连续函数定理1 [6] 若函数()f x 在(,)((,))a b +∞-∞上连续且lim ()x a f x +→，lim ()x f x →+∞ (lim (),lim ())x x b f x f x -→-∞→都存在，则()f x 在(,)((,))a b +∞-∞上一致连续.证明 因lim ()x a f x +→存在，由Cauchy 准则，0ε∀>，X ∃，''',[1,)x x X ∀∈++∞，有'''()()f x f x ε-< 成立，所以()f x 在[1,)X ++∞ 上一致连续.又因()f x 在(,)a +∞上连续，有()f x 在(],1a X +上连续，已知lim ()x a f x +→存在，所以()f x 在 (],1a X +上一致连续.由一致连续函数区间具有可加性，得()f x 在(,)a +∞上一致连续. 定理2[7]设函数()f x 在[,)a +∞上一致连续，()g x 在[,)a +∞上连续，lim[()()]0x f x g x →+∞-=，则()g x 在[,)a +∞上一致连续.证明 已知lim[()()]0x f x g x →+∞-=，即0ε∀>, X a ∃> ，''',x x X ∀> 时，有 ''()()3f xg x ε-<.知()f x 在[,)a +∞上一致连续，故对上述0ε∀>，0δ∃>，''',x x X ∀>，当'''x x δ-< ，有''()()3f xg x ε-<.综上，''',x x X ∀>，且'''x x δ-<有''''''''''''()()()()()()()()333g x g x g x f x f x f x f x g x εεεε-≤-+-+-<++= ，即()g x 在[,)X +∞上一致连续，再由Cantor 定理()g x 在[,]a X 上一致连续，得()g x 在[,)a +∞上一致连续.2.3 任意区间上的一致连续函数定理1 设函数()f x 在区间I 上有定义．则函数()f x 在区间I 上一致连续的充要条件是区间I 上任意两个数列{}n x ，{}n y ，只要()l i m 0n n n x y →∞-=便有()()()l i m 0n n n f x f y →∞-=.证明 必要性 因为函数()f x 在区间I 上一致连续，则对任给的正数ε，存在正数δ ，对属于区间I 的任意两点'x , ''x ，只要'''x x δ-<，就有()()'''f x f x ε-<.又因为()lim 0n n n x y →∞-=，故对上述的正数δ ，存在正整数N ，使得当n N >时，有n n x y δ-<，从而有()()n n f x f y ε-<，所以：()()()l i m 0n n n f x f y →∞-=. 充分性 用反证法来证明：假设函数()f x 在区间I 上不一致连续，则存在正数0ε，使对任意的正数δ,都存在属于区间I 的'x ，'y ，使得当''1x y n-<时，但()()''0f x f y ε-≥，所以，对10n nδ=>，存在属于I 的两个数列{}n x ，{}n y ,使1n n x y n-<,但是()()0n n f x f y ε-≥,1,2,3,n = 于是得到数列{}{},n n x y I ⊂，显然()lim 0n n n x y →∞-=，但是()()()lim 0n n n f x f y →∞-≠．此结论与题设条件矛盾．所以充分性得证.注：可用此定理来证函数()f x 在区间I 上不一致连续.定理2 若函数()f x 在区间[),a +∞ (这里0a >)上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在正数L ,使得对区间[),a +∞上任意两点'x ,''x ，都有：()()''''''fx f x L x x-≤-，则函数()f x 在区间[),a +∞上一致连续． 证明 由条件知，对任意的属于[),a +∞ 的x ，（即有0x a ≥>），有()()f x f a L x a -≤-， 因为：()()()()()()f x f a f x f a L x a L x a L x a -≤-≤-≤+=+则有()()()f x f a L x a ≤++又因为0x a >>，上式两边同除以x ，得：()()()()()1112f x f a f a f a a L L L x x x a a ⎛⎫≤++≤++=+ ⎪⎝⎭记()2f a L M a +=，由此可知：函数()f x x在区间[),a +∞上有界．对任给的正数ε，我们取正数：aM Lδε=+，当[)''',,x x a ∈+∞，且'''x x δ-< 有()()()()()()()()''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''()()()()()()1()f x x f x xf x f x x x x x x fx xf x x fx xf x x x x f x f x fx x x x x fx f x f x x x x x xL x x x x MxxL Mx x x L M x x a L --=-+-=⎡⎤---⎣⎦=-≤+⋅⋅---≤+⋅⎛⎫+ ⎪≤⋅- ⎪⎝⎭+≤⋅-+<M aaL Mεε⋅=+故函数()f x 在区间上一致连续.3 函数一致连续性的应用定理1 [8]设函数()f x 在区间(,)-∞+∞上有定义．若函数()f x 在区间(,)-∞+∞上一致连续，则存在非负实数,a b ，使对一切属于区间(,)-∞+∞的x ，都有()f x a x b ≤+.证明 因为函数()f x 在区间(,)-∞+∞上一致连续，故对正数1ε=，存在正数0δ，使当'''0x x δ-< 时，有'''()()1f x f x -<．对此正数0δ，对任给的属于实数的x ，必存在整数0n Z ∈（ Z 为整数集） 及实数000(,)x δδ∈-+,使得000x n x δ=+，再有函数()f x 在区间00[,]δδ-+上连续，从而有界，即存在正数M ， 使得对任意属于00[,]δδ-+的x ，有()f x M ≤. 于是有：{}000001()()((1))()nk f x f k x f k x f x δδ==+--++∑.所以有：000001()()((1))().(3)n k f x f k x f k x f x n M δδ=≤+--++≤+∑. 再由000x n x δ=+知0x x n δ-=，代入（3）式有：1()M (1).(4)x x x x xx f x M M x M δδδδδ-+≤+≤+=++≤++我们记1,1a M b δ=+=，则0,0a b >>则（4）式可记为(),(,)f x a x b x ≤+∈-∞+∞.注：此定理的几何意义为：当函数()f x 在区间(,)-∞+∞上一致连续时，曲线()y f x =的斜率有上界a .定理2 设函数()f x 在[),a +∞（这里0a >）上有定义.若函数()f x 在[),a +∞一致连续，则函数()f x x在区间[),a +∞上有界. 证明 由函数()f x 在区间[),a +∞上一致连续，得：对正数1ε=，存在正数δ，当[)''',,x x a ∈+∞，且'''x x δ-<时，有'''()()1f x f x -≤.再由函数()f x 在区间[,]a a δ+上连续，从而有界，即存在正数M ，使得对任意属于区间[,]a a δ+的x ，都有()f x M ≤.对任给的属于区间[),a +∞的x ，存在自然数0n N ∈（N 为自然数集）及属于[0,]δ的实数*x ，使得*0x a n x δ-=+，有*0x n a x δ-=+，则{}0*1()((1))()()n k f x f x k f x k f ax δ==----++∑得0*01()((1))()()n k f x f x k f x k f a x n M δ=-----++≤+∑.又因为*[0,]x δ∈及0x a ≥>，所以有00*00()1n M n M f x M x a n x a n aδδδ++≤≤≤++++ 我们记01MM aδ=+，则00M >.即有()f x M x ≤. 所以函数()f x 在区间[),a +∞上有界. 例1 讨论()f x x =在[)0,+∞上一致连续性 解: ()f x 于[)0,+∞上连续, 设0a >① 当0x a≤≤时, 设120,0x a x a≤≤≤≤,12x x δ-≤，则1212x x x x δ-≤-≤,()()()120f A Sup f x f x δδ≤=-≤ 且0lim 0δδ+→=,所以()f x 在[]0,a 上一致连续.② 当a x <<+∞时,1212122x x x x x x aδ--=≤+, 且0lim 02aδδ+→=所以()f x 在(),a +∞上一致连续. 综上,()f x 在[)0,+∞上一致连续.例2 证明()2y f x x == 在[],a b 上一致连续, 但在(),-∞+∞上不一致连续.解: 当[]12,,x x a b ∈, 12x x δ-≤时,()22121212x x x x x x a b δ-=+-≤+,而()0lim 0a b δδ+→+=所以()f x 在[],a b 上一致连续. 0δ∀>, 取()12122211,,,,2x x x x δδδ==+∈-∞+∞, 且有2121211x x rδδδ-=+≥,()()()12121f x x A Sup f x f x δδδ-≤=-≥而01lim δδ+→=+∞所以()f x 在(),-∞+∞上不一致连续. 例3 讨论()1f x x=在()0,+∞上一致连续性.10 解: 设两数列{}{}'12,,(1,2,...)n n x x n n n ⎧⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ , ()'12lim lim 0n n n n x x n n →∞→∞⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭, 但'lim ()()lim 02n n n n n f x f x n →∞→∞-=-≠，所以()1f x x=在()0,+∞上不一致连续. 由以上几例可看出本文的几种方法对判别函数的一致连续性来说较为方便、简洁, 显示出了它的优越性.结论证明函数一致连续性有很多种不同的方法，本文从不同类型区间出发，给出了函数一致连续性的证明，运用利普希茨条件、康托定理和振幅数来证明函数一致连续性，通过证明，我们对上述一些定理进行了复习，从而更加深入熟练的掌握函数一致连续性的证明方法，以及它们的运用.参考文献：[1]华东师大数学系.数学分析[M].上册.北京：高等教育出版社，1990.[2]范新华.判别函数一致连续的几种方法.常州工学院学报.Vol.17.No.4,2004.08.[3]华东师大数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1999.100-101.[4]王少英.一致连续函数的判别法.唐山师范学院学报.第29卷第5期，2007.09.[5]刘红艳.一致连续函数的判定.科技信息.第23期，2008.[6]刘玉莲.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1997.144.[7]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京.高等教育出版社，1993.96-99[8]张建建.函数一致连续性的几个证明方法.和田师范专科学校学报.2005.07. 致 谢本次论文要大力感谢我院给予的支持，在我院提供的资料及设备支持下使得论文写作得以顺利完成。

一致连续性及其应用 作者：XXX 指导老师：XXX摘 要 函数的一致连续性是数学分析中最重要，且高度抽象的概念之一，在数学分析和相关专业课的后继学习与研究中起着十分重要的作用.一致连续性刻画了函数在区间上的整体性质.准确理解函数一致连续概念以及掌握证明函数一致连续的方法是数学分析的一个重要内容.本文从函数一致连续性的定义出发，对一致连续性的性质、定理进行讨论，并介绍其应用.关键词 函数 一致连续性 应用1 引言弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键.因此本文对函数一致连续性的概念、性质以及判定条件进行了深入的分析和总结,目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续,使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识.2 一次函数的连续性与一致连续性 2.1 定义定义2.1.1 函数()f x 在某()0x 内有定义，若对 0ε∀>，0δ∃>，使得当0x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<.那么，函数()f x 在点0x 处连续.定义2.1.2 函数()f x 在区间I 上有定义，若对0ε∀>，()0δδε∃=>，,x x I '''∀∈，只要x x δ'''-<，就有()()f x f x ε'''-<,则称函数()f x 在区间I 上一致连续.2.2 函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系（1）函数()f x 在区间I 上连续与一致连续是两个不同的概念，但它们之间也有联系.函数连续性的δ不仅和ε有关，而且还和点0x 有关，即对于不同的0x ，一般来说δ是不同的，这表明只要函数在区间内每一点都连续，函数就在区间连续；而函数的一致连续性的δ仅与ε有关，与0x 无关,即对不同的0x ，δ都是是相同的.这表明函数在区间的一致连续性，不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求函数在区间上的连续是“一致”的.（2）函数)(x f 在区间I 上一致连续，则)(x f 在I 上连续.这个命题的证明是显然的，我们只须将其中的一个点（x '或x ''）固定即可，但这个命题的逆命题：在区间I 连续的函数在这区间上不一定一致连续，却不一定成立.例2.1 证明函数1y x=在(0,1)内不一致连续（尽管它在(0,1)内每一点都连续）. 证明 取 01ε=，对0δ∀>（δ充分小且不妨设12δ<），取,2x x δδ'''==，则虽然有2x x δδ'''-=<,但1111x x δ-=>'''. 所以函数1y x=在(0,1)内不一致连续. （3）在闭区间[],a b 上连续的函数()f x 在[],a b 上一致连续.这是著名的G.康托定理。

题 目：函数一致连续性的判断及应用目：函数一致连续性的判断及应用目：函数一致连续性的判断及应用毕业论文（设计）作者声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。

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论文题目：函数一致连续性的判断及应用作者单位：数学与统计学院作者签名：2014年 5月17日目 录摘 要要 (4)引言 (5)1. 1. 函数连续与函数一致连续的关系函数连续与函数一致连续的关系 (6)1.1函数连续性与函数一致连续性的区别函数连续性与函数一致连续性的区别............................. .............................6 1.2 1.2 函数连续性与函数一致连续性的联系函数连续性与函数一致连续性的联系............................ 8 2. 2. 一元函数一致连续的判断和应用一元函数一致连续的判断和应用 .. (9)2.1 2.1 一元函数在有限区间上的一致连续性一元函数在有限区间上的一致连续性........................... 9 2.2 2.2 一元函数在无限区间上的一致连续性一元函数在无限区间上的一致连续性......................... 11 2.3 2.3 一元函数在任意区间上的一致连续性一元函数在任意区间上的一致连续性......................... 13 3. 3. 二元函数一致连续性二元函数一致连续性 ................................................18 3.1 3.1 二元函数一致连续的概念二元函数一致连续的概念.................................... 18 3.2 3.2 二元函数的一致连续性的判断及应用二元函数的一致连续性的判断及应用.......................... 18 结束语.. (19)参考文献 (19)致谢 (21)函数一致连续性的判断与应用摘 要：本文从函数连续和一致连续的概念和关系出发，对函数的一致连续的定义进行了深入的分析，之后主要对一元函数在不同类型的区间进行了探讨、总结和应用，还将部分一元函数的一致连续的判定方法推广到二元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识. .关键词：连续；一致连续；连续函数连续；一致连续；连续函数The judgment and Application of Uniformly ContinuousFunctionAbstract: This article from the concept of uniformly continuousfunction is continuous and relation. the definition of uniformlycontinuous of function carried on the thorough analysis, then we researchthe methods of decisions of uniformly continuous function in differentkinds of intervals. Moreover, we extend some of the results to functionof two variables in different region.Key words : Continuity; Uniformly Continuity; Continuity Function引言函数一致连续性是数学分析的一个重要概念，理解函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键．函数一致连续不仅仅是闭区间上连续函数黎曼可积的基础，而且与以后的含参量积分、函数项积分等概念有着密切的联系．所以，找出函数一致连续性的条件是数学分析中的一个重要内容重要内容..因此，本文探讨了函数一致连续性的判定方法，基本性质及其应用，并且对函数一致连续性的判定方法，基本性质及各个应用进行了深入研究，目的是使读者能更好的掌握函数的一致连续性．使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识面的理解和认识. .数学概念对数学的发展是不可估量的，函数的概念对于数学发展的影响，可以说是贯穿古今．函数概念的发展历史，不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且能帮助我们领悟数学概念及数学的学习有很大帮助．脉认识的清晰度，而且能帮助我们领悟数学概念及数学的学习有很大帮助．1717世纪中叶，世纪中叶，笛卡尔引入变数的概念，笛卡尔引入变数的概念，笛卡尔引入变数的概念，制定了解析几何学，制定了解析几何学，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程从而打破了局限于方程的未知数的理解；的未知数的理解；1919世纪中期，法国数学家黎曼吸收了莱布尼茨，达郎贝尔和欧拉的成果，第一次提出了函数的定义；随后，牛顿，莱布尼茨分别独立的建立了微分学说．这期间，随着数学的发展，各种函数大量出现，但函数还没有给出一个一般的定义．国内的主要理论成书于十九世纪．它逐步形成一门逻辑严密，系统完整的学科，而且在各个方面获得了十分广泛的应用，成为处理有关连续量基础的强有力的工具．文献1,2,5作为论文的基础，主要是参考了函数一致连续的概念和几个基本的判别方法。