函数在无穷区间上一致连续性的判定

一致连续性的判定摘要：一致连续的问题在数学分析中经常遇到。

此论文主要讨论了一致连续性的几种常用的判定方法。

论文分为四个部分，逐层对一致连续的判定进行研究。

第一部分是用定义判定，定义最原本，是所有判定方法的源头，它有两种表述，表述一判定一致连续较为方便，表述二判定不一致连续较为方便。

第二部分用Cantor 定理判定，这比较快，在满足条件的情况下用起来方便。

第三部分是利用函数的周期性判定，这也就给出了不是周期函数的判定方法。

第四部分运用导函数有界来判定，这便把导数与连续贯穿起来了关键词：函数 连续 一致连续函数的连续性是指函数在0x x =处的函数值是否等于函数在0x 的函数的处的极限值，而函数的一致连续性主要是指在函数连续的基础上，研究由自变量的微小变化，而引起的函数值的变化值的上确界是否是零，因此一致连续性比连续要强，连续函数顾名思义，是一条连绵不断的曲线，一致连续的函数不仅仅只满足连绵不断了，那么什么样的函数才是一致连续的呢，从而能否判定一个函数是否一致连续成为人们重视的课题。

下面我们就针对一致连续的判定做一个简要的总结。

一、利用定义判定一致连续性的一种定义是：设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对任给的ε>0存在δ=δ（ε）>0使得对任何'x ,I x ∈",只要|"'x x -|<δ,就有|)"()'(x f x f -|<ε,则称函数f 在区间上一致连续I 。

定义适用范围广，但用起来不太方便。

但从这里可以立即推出若在)(x f [)上满足+∞,1Lipthitz 条件|)"()'(x f x f -|≤L |'x －"x |。

0,",'>∈∀L I x x 其中为某一常数，则必一致连续。

一致连续还有一种另一种表述。

即下面的定理：设I 为有限区间，)(x f 在I 上有定义，试证：f(x)是在I 上一致连续充分必要条件是f 把Cauthy 序列（即当{x n}为Cauthy 序列时，|)(x f |亦为Cauthy 序列。

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ １６一元函数一致连续性的判定一元函数一致连续性的判定Һ范海宁㊀王海燕㊀（江苏省徐州市中国矿业大学数学学院㊀江苏㊀徐州㊀２２１１１６）㊀㊀ʌ摘要ɔ判定一元函数的一致连续性可以利用定义法㊁Ｃａｎｔｏｒ定理㊁Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ判别法等，但适用范围较窄，对于复杂的问题可操作性较弱．本文基于常用判定定理，针对定义在无穷区间上的一元函数，给出了通过判断函数增量的极限来分析其一致连续性的判别法则，同时，给予相应证明并举出实例，为解决实际问题提供了便捷途径．ʌ关键词ɔ函数；一致连续性；判定ʌ基金项目ɔ２０１９年中国矿业大学教学研究项目（项目编号：２０１９ＹＢ３１）一㊁绪㊀论一致连续性是数学分析以及高等数学中的重难点之一，是函数在连续的基础上更强的连续性，体现了函数的整体性质．因此，判断一个函数在定义区间上是否一致连续显得尤为重要，而目前常用的判定方法，对某些导数在定义区间上无界的问题的解决并不是十分便利．为此，本文对定义在形如ａ，＋ɕ)[（其中ａɪＲ）上的函数，建立了新的判定方法．二㊁一致连续性的判定（一）回顾为便于后文的证明，我们分别给出一元函数一致连续性和非一致连续性的定义：１．若函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上一致连续，则对∀ε＞０，∃δ＝δε()＞０，使得对任何ｘᶄ，ｘᵡɪＩ，只要｜ｘᶄ－ｘᵡ｜＜δ，就有｜ｆｘᶄ()－ｆｘᵡ()｜＜ε．２．若函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上非一致连续，则∃ε０＞０，对∀正数δ（不论δ多么小），总存在ｘᶄ，ｘᵡɪＩ，尽管｜ｘᶄ－ｘᵡ｜＜δ，但有｜ｆｘᶄ()－ｆｘᵡ()｜ȡε０．（二）判定方法在此，我们讨论定义域为ａ，[＋ɕ)的函数．设函数ｆｘ()定义在区间ａ，[＋ɕ)上，且当ｘң＋ɕ时，对∀ηɪＲ，ｌｉｍｘң＋ɕ［ｆｘ＋η()－ｆｘ()］存在．易知，该极限有四种取值，即ｌｉｍｘң＋ɕ［ｆｘ＋η()－ｆｘ()］＝＋ɕＡ（Ａʂ０）ｏ（η）０ìîíïïïï相应地，我们给出如下四条判定法则：①当ｌｉｍｘң＋ɕ［ｆｘ＋η()－ｆｘ()］＝＋ɕ时，函数ｆｘ()非一致连续．②当ｌｉｍｘң＋ɕ［ｆｘ＋η()－ｆｘ()］＝Ａ时，函数ｆｘ()非一致连续．③当ｌｉｍｘң＋ɕ［ｆｘ＋η()－ｆｘ()］＝ｏ（η）时，函数ｆｘ()一致连续．④当ｌｉｍｘң＋ɕ［ｆｘ＋η()－ｆｘ()］＝０时，函数ｆｘ()一致连续．接下来，我们分别对四条判定法则进行证明．证明：①取ε０＝１，对∀δ＞０，取０＜η＜δ，因为ｌｉｍｘң＋ɕ［ｆｘ＋η()－ｆｘ()］＝＋ɕ，所以∃Ｇ＞ｍａｘａ，０{}，当ｘ＞Ｇ时，有｜ｆｘ＋η()－ｆｘ()｜＞１．取ｘ１＞Ｇ，ｘ２＝ｘ１＋η，虽然｜ｘ２－ｘ１｜＝η＜δ，但｜ｆｘ２()－ｆｘ１()｜＞１＝ε０，所以函数ｆｘ()非一致连续．②因为Ａʂ０，不妨设Ａ＞０，取ε０＝Ａ２，对∀δ＞０，取０＜η＜δ，因为ｌｉｍｘң＋ɕ［ｆｘ＋η()－ｆｘ()］＝Ａ，所以∃Ｇ＞ｍａｘａ，０{}，当ｘ＞Ｇ时，有｜ｆｘ＋η()－ｆｘ()｜＞Ａ２．取ｘ１＞Ｇ，ｘ２＝ｘ１＋η，虽然｜ｘ２－ｘ１｜＝η＜δ，但｜ｆｘ２()－ｆｘ１()｜＞Ａ２＝ε０，所以ｆｘ()非一致连续．③对∀ε＞０，取η充分小，使ｏη()＜ε．因为ｌｉｍｘң＋ɕ［ｆｘ＋η()－ｆｘ()］＝ｏη()，㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ １６所以∃Ｇ＞ｍａｘａ，０{}，当ｘ＞Ｇ时，有｜ｆｘ＋η()－ｆｘ()｜＜ε．取δ＜η，对∀ｘ１，ｘ２＞Ｇ且｜ｘ２－ｘ１｜＜δ，有｜ｆｘ２()－ｆｘ１()｜＜ε，所以ｆｘ()一致连续．④对∀ε＞０，取η充分小．因为ｌｉｍｘң＋ɕ［ｆｘ＋η()－ｆｘ()］＝０，所以∃Ｇ＞ｍａｘａ，０{}，当ｘ＞Ｇ时，有｜ｆｘ＋η()－ｆｘ()｜＜ε．取δ＜η，对∀ｘ１，ｘ２＞Ｇ且｜ｘ２－ｘ１｜＜δ＜η，有｜ｆｘ２()－ｆｘ１()｜＜ε，所以ｆｘ()一致连续．三㊁举㊀例讨论函数ｆｘ()＝ｘα的一致连续性，其中α＞０且αʂ１．分析：要讨论ｆｘ()＝ｘα的一致连续性，我们通常采用Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ判别法（见参考文献［３］）．由于（ｘα）ᶄ＝αｘα－１，当α＞１时，ｘα在ａ，＋ɕ)[上是无界的，因而该方法无法解决此问题．在这里，我们引入极限ｌｉｍｘң＋ɕ［ｆｘ＋η()－ｆｘ()］，通过讨论该极限来判断原函数的一致连续性．解：简单计算可得：ｆｘ＋η()－ｆｘ()＝ｘ＋η()α－ｘα＝ｘα－１ｘ１＋ηｘ()α－１[]．现在我们先讨论ｌｉｍｘң＋ɕｘ１＋ηｘ()α－１[]，令ｔ＝ηｘ，则ｌｉｍｘң＋ɕｘ１＋ηｘ()α－１[]＝ｌｉｍｔң０η１＋ｔ()α－１ｔ．注意到ｌｉｍｔң０ｌｎ（１＋ｔ）ｔ＝１，（１）则有ｌｉｍｔң０η（１＋ｔ）α－１ｔ＝ｌｉｍｔң０η（１＋ｔ）α－１ｌｎ（１＋ｔ）．（２）对于极限ｌｉｍｔң０η（１＋ｔ）α－１ｌｎ（１＋ｔ），令ｋ＝（１＋ｔ）α－１，则当ｔң０时，有ｋң０，且ｌｎ（１＋ｔ）＝１αｌｎ１＋ｋ()．由（１）式得㊀ｌｎ１＋ｋ() ｋ，ｋң０，因而，ｌｎ（１＋ｔ）ｋα，ｋң０．（３）把（３）式代入（２）式得ｌｉｍｔң０η（１＋ｔ）α－１ｌｎ（１＋ｔ）＝ｌｉｍｋң０ηｋｋα＝ηα，即ｌｉｍｘң＋ɕｘ１＋ηｘ()α－１[]＝ηα．又因为ｆｘ＋η()－ｆｘ()＝ｘ＋η()α－ｘα＝ｘα－１ｘ１＋ηｘ()α－１[]，且ｌｉｍｘң＋ɕｘα－１＝０，０＜α＜１，＋ɕ，α＞１，{因此，我们得到ｌｉｍｘң＋ɕｘ＋η()α－ｘα[]＝０，０＜α＜１，＋ɕ，α＞１．{应用本文给出的判别法可得：当０＜α＜１时，函数ｆｘ()一致连续；当α＞１时，ｆｘ()非一致连续．㊀四㊁结㊀语针对函数在无穷区间上的一致连续性的判定，本文从函数增量的极限这一角度考虑，提出通过分析极限取值进而判断函数在定义区间上是否一致连续的方法，将复杂函数问题简单化，并将判定方法通过举例来体现．此方法弥补了一元函数一致连续性在判别方法上的不足，尤其对那些其导函数在定义域上无界的函数具有较高的应用价值．ʌ参考文献ɔ［１］张彩霞，李文赫．可导函数的一致连续性判别［Ｊ］．哈尔滨商业大学学报（自然科学版），２０１３（０４）：４９６－４９８．［２］华东师范大学数学系．数学分析（上册）：第４版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１１．［３］数学分析习题精讲（单变量部分）［Ｍ］．北京：科学出版社，２００２．［４］孙健．高等数学函数一致性连续性问题研究［Ｊ］．数学学习与研究，２０１４（０９）：１４．。

一引入“一致性”的意义数学分析教材中有不少概念，如函数的连续性与一直连续性、函数列的收敛性与一致收敛性，初学者很容易混淆，因而成为“数学分析”中学习的一个难点所在。

数学分析中的三个“一致性”(即一致有界, 一致连续, 一致收敛) 的概念对数学基础知识的学习很重要。

弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键。

数学分析教材只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G·康托定理,内容篇幅少,为了使初学者对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握,作为教材内容的适当扩展和补充显然，一致连续要比连续条件强。

但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中δ的很难理解。

一致连续是一个很重要的概念,在微积分学以及其他学科中常常用到,而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切关系。

在研究函数列的收敛问题中,常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛的关系。

数学分析中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性、函数项级数一致收敛性、含参变量无穷积分一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点,因此,牢固掌握这些概念及与之有关的理论,对打好分析基础,培养良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。

对函数列的极限函数、函数项级数的和函数以及含参变量积分性质的讨论,常常需要讨论其一致收敛性,而函数项级数的一致收敛性可归结成部分和函数列的一致收敛性的研究,含参变量无穷积分的一致收敛性,又可归结成函数项级数的一致收敛性的研究,故本文着重讨论函数一致连续性和函数列一致收敛性重要概念。

函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点，证明某一个函数是否具有一致连续性让许多同学更是无从下手。

为了解决这一难点，化抽象为简单，给出一致连续性的几种等价形式，能帮助同学易于接受。

证明函数连续,一致连续证明函数连续、一致连续是数学分析中的重要课题。

函数的连续性是指在函数定义域内，函数在某一点处连续。

函数的一致连续性是指在函数定义域内，函数在任意两点之间的变化都可以被控制在一定的范围内。

在证明函数连续和一致连续的过程中，我们需要运用极限、序列、Cauchy列、介值定理、等等方法。

首先，我们来证明函数的连续性。

设函数$f(x)$在定义域$[a,b]$上连续，则对于任意$epsilon>0$，存在$delta>0$，当$|x-x_0|<delta$时，有$|f(x)-f(x_0)|<epsilon$。

这意味着在函数定义域内，函数在某一点处的取值可以无限接近于该点的函数值。

我们可以用极限的概念来证明函数的连续性，即证明$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$。

若极限存在，则函数在该点连续。

接下来，我们来证明函数的一致连续性。

设函数$f(x)$在定义域$[a,b]$上一致连续，则对于任意$epsilon>0$，存在$delta>0$，当$|x-y|<delta$时，有$|f(x)-f(y)|<epsilon$。

这意味着在函数定义域内，函数在任意两点之间的变化都可以被控制在一定的范围内。

我们可以用Cauchy列的概念来证明函数的一致连续性，即证明在函数定义域内，若对于任意$epsilon>0$，存在一个正整数$N$，使得当$n,m>N$时，有$|f(x_n)-f(x_m)|<epsilon$，则函数在该定义域上一致连续。

在证明函数的连续和一致连续过程中，我们还需要用到介值定理。

介值定理是指如果函数$f(x)$在定义域$[a,b]$上连续且$f(a)<y<f(b)$，则在$(a,b)$中必有一点$x_0$，使得$f(x_0)=y$。

介值定理的应用可以帮助我们证明函数的连续和一致连续。

总之，函数连续、一致连续是数学分析中的基本概念，对于深入理解分析学的基本思想和方法具有重要意义。

函数一致连续的若干方法函数的一致连续性是数学中一个重要的概念，它描述了函数在整个定义域上的连续性质。

简单来说，如果一个函数在整个定义域上都连续，我们就称这个函数是一致连续的。

一致连续性是一种比普通连续性更强的性质，它保证了函数的连续性在整个定义域上都保持一致，没有局部的不连续点。

要理解一致连续性，我们先回顾一下连续性的定义。

在数学中，函数f(x)在点x=a处是连续的，意味着满足以下三个条件：1.函数f(x)在点x=a处有定义；2. 函数f(x)在点x=a处有极限，即lim(x -> a) f(x)存在；3. 函数f(x)在点x=a的极限值等于函数f(x)在点x=a处的函数值，即lim(x -> a) f(x) = f(a)。

而函数f(x)在整个定义域上连续，则需要对每一个点x=a都满足上述三个条件。

但是，连续性并不保证函数在定义域上的每个点都有相同的性质。

因此，我们引入了一致连续性的概念。

函数f(x)在定义域上一致连续，意味着对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当，x-y，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε，其中x和y是定义域上的任意两个点。

接下来，介绍几种常用的方法来证明函数的一致连续性。

1. 利用函数的Lipschitz常数：如果存在一个正数K，对于定义域上的任意两个点x和y，满足，f(x) - f(y)，≤ K，x - y，则函数f(x)是一致连续的。

这里的K称为Lipschitz常数。

证明时可以通过计算函数的导数或者构造辅助函数来得到Lipschitz常数。

2.利用连续性和有界性：如果函数f(x)在定义域上连续，并且有界，即存在一个正数M，使得对于任意的x，f(x)，≤M，那么函数f(x)是一致连续的。

这个方法相对简单，通过连续性可以找到一个正数δ，在这个δ范围内，函数值的变化受到有界性的限制。

3. 利用Cauchy收敛准则：如果函数f(x)在定义域上满足Cauchy收敛准则的条件，即对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当，x - y，< δ时，有，f(x) - f(y)，< ε，那么函数f(x)是一致连续的。

一致连续性的判定定理及性质作者：朱肖红 指导老师：张海摘 要 函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要概念,在分析问题中起着十分重要的作用.它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础,而且与随后的含参量积分,函数项级数等概念都有着密切的联系.因此,判定函数的一致连续性是数学分析的一项重要内容.本文对函数的一致连续性的概念进行了深入分析,对判定函数一致连续性的充分条件,充要条件作了简要概括,并给出了闭区间和开区间上函数一致连续性的判别方法.包括无穷区间上函数一致连续性的判定,并分别给出了这些定理的证明.同时,本文也总结了一致连续性的几个性质及它的应用.关键词 连续函数 极限 有界函数 一致连续 非一致连续1引言弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键.数学分析教材中只给出了一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的Cator 定理,内容篇幅少,但实际运用时,这些远远不够.本文将给出函数在区间上一致连续性的几个充分条件,充要条件及性质与运用.这几种方法为教科书所忽视,但比较实用且应用面广泛,有必要加以详细讨论.2一致连续性的概念定义 2.1 设函数()x f 在区间I 上有定义.若,,,0,021I x x ∈∀>∃>∀δε只要,21δ<-x x 都有()()ε<-21x f x f ,称函数()x f 在I 上一致连续.对函数一致连续性概念的掌握,应注意以下三个方面的问题： （1）要注意函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系比较函数在区间的连续性和一致连续性可知：前者的δ不仅和ε有关,而且还和点0x 有关,即对于不同的0x ,一般来说δ是不同的,这表明只要函数在区间内每一点都连续,函数就在区间连续；后者的δ仅与ε有关,与0x 无关,即对不同的0x ,δ是相同的.这表明函数在区间的一致连续性,不仅要求函数在这个区间的每一点都连续,而且要求函数在区间上的连续是“一致”的.（即连续可对一点来讲,而且对于某一点0x ,δ取决于0x 和ε ,而一致连续必须以区间为对象, 只取决于ε ,与点0x 的值无关.）在区间I 上一致连续的函数在这个区间一定是一致连续的,事实上,由一致连续性定义将1x 固定,令2x 变化,即知函数()x f 在1x 连续,又1x 是I 的任意一点,从而函数()x f 在I连续,但在区间I 连续的函数在这区间上不一定一致连续,例如()xx f 1=在区间 ()1,0 就是如此.（2）函数一致连续性的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值的差,就绝对值来说,可以任意小,即任意的21,x x ,当δ<-21x x 时,就有()()ε<-21x f x f .（3）要注意函数一致连续的否定叙述一致连续的否定就是非一致连续,即设函数()x f 在区间I 上有定义,若δδε<-∈∃>∀>∃21210:,,0,0x x I x x 有()()021ε≥-x f x f ,则称)(x f 在I 上非一致连续.总的来说,函数的连续性反映了函数的局部性质,而函数的一致连续性则反映了在整个区间上的整体性质.二者之间既有区别又有联系.3一致连续性的判定定理判定函数一致连续性的几个充要条件定理3.1 ()x f 在 []b a ,上一致连续的充要条件是()x f 在[]b a , 上连续. 证明 ［必要性］由定义直接可得.［充分性］采用反证法,假设()x f 在 []b a ,上非一致连续, 即,00>∃ε对0>∀η,在区间[]b a , 内至少存在两点1x 及2x , 虽然η<-21x x ,但()()021ε≥-x f x f .现取() 3,2,11==n nη ,那么在[]b a , 内存在两点()n x 1 及 ()n x 2 . 虽然 ()()nx x n n 121<-,但()()()()021ε≥-n n x f x f .应用魏尔斯特拉斯定理,在有界数列(){}nx 1中存在一个收敛的子列()()∞→→k x x k n 01,这里[]b a x ,0∈,再由于()()nx x n n 121<- , 所以 ()()kk k n x x 121<-, 亦即()()∞→→-k x x kk n n 021.因为()()∞→→k x x k n 01 ,所以()()∞→→k x x k n 02, 并且()()()()021ε≥-kkn n x f x f对一切 k 成立.另一方面,由于()x f 在 0x 连续,亦即()()00lim x f x f x x =→.由函数极限与数列极限的关系,有()()()()()()021lim ,lim x f x f x f x f k k n k n k ==∞→∞→.而()()()()()0lim 21=-∞→k k n n k x f x f .这同()()()()021ε≥-k kn n x f x f对一切 k 成立相矛盾.即假设不成立.即原命题成立.定理 3.2 函数 ()x f 在有限开区间()b a , 内一致连续的充要条件是()x f 在()b a , 内连续且极限()x f ax +→lim 和()x f bx -→lim 存在.证明 ［充分性］令⎝⎛=-∈=+=b x b f b a x x f a x a f x g ),0(),(),(),0()(则)(x g 在[]b a ,上连续,从而)(x g 在[]b a ,上一致连续.［必要性］ 因为()x f 在()b a , 内一致连续.∴()x f 在()b a , 内连续,并且∈>∃>∀21,,0,0x x δε()b a , ,当δ<-21x x 时, 有()()ε<-21x f x f于是当()δ+∈a a x x ,,21 时，有()()ε<-21x f x f .根据柯西准则,极限()x f ax +→lim 存在.同理可证()x f bx -→lim 也存在.定理3.3设函数()x f 在区间 I 上有定义, 在I 上一致连续的充要条件是对区间I 上的任意两数列}{n x 与}{n y ,当0)(lim =-∞→n n n y x 时, 有()()0)(lim =-∞→n n n y f x f .证明 ［必要性］因为()x f 在I 上一致连续,所以I y x ∈∀>∃>∀,,0,0δε,当δ<-y x 时有ε<-)()(y f x f .任取I 上的两数列}{n x 与}{n y 并且满足0)(lim =-∞→n n n y x .则对N ∃>,00δ ,当N n >时有0δ<-n n y x .于是ε<-)()(n n y f x f ,即0)]()([lim =-∞→n n n y f x f .［充分性］假设()x f 在I 上不一致连续, 则δδε<-∈∃>∀>∃21210:,,0,0x x I x x ,但()()021ε≥-x f x f .特别,取)(1N n n ∈=δ ,则ny x I y x n n n n 1,,<-∈,但 0)]()([lim )()(,0≠-∴≥-∞→n n n n n y f x f y f x f ε,这与已知条件矛盾.所以原命题成立.判定函数一致连续性的几个充分条件定理 3.4 若()x f 在),(+∞-∞ 内连续,且)(lim ),(lim x f x f x x +∞→-∞→ 都存在,则()x f 在),(+∞-∞ 上一致连续.证明 0,)(lim ,0,01>∃∴=>∃>∀+∞→b A x f x δε ,当b x > 时, 有2)(ε<-A x f ,从而当12121,,δ<->x x b x x 时, 有ε<-+-≤-A x f A x f x f x f )()()()(2121 .所以()x f 在),[+∞b 上一致连续. 同理可证当221δ<-x x 时,有()()ε<-21x f x f ,即知()x f 在],(a -∞ 上一致连续.又()x f 在[]b a ,上连续,03>∃∴δ当 321δ<-x x 时，有()()ε<-21x f x f ,故()x f 在[]b a , 上一致连续. 取},,m in{321δδδδ= ,当 δ<-21x x 时便有()()ε<-21x f x f即()x f 在),(+∞-∞上一致连续.定理3.5 若函数)(x f 在区间I 上的导数有界,则)(x f 在I 上一致连续.推论 若函数)(x f 在),[+∞a 上单调增加,可导且其图形是上凸的,则 )(x f 在区间),[+∞a 上一致连续.证明：由 )(x f 可导且单增,从而0)('≥x f ,又曲线)(x f y = 向上凸,从而 )('x f 在),[+∞a 上单减.所以)()(0''a f x f +≤≤ ,于是)('x f 在 ),[+∞a 上有界,由上定理知,)(x f 在 ),[+∞a 上一致连续 .定义 3.1 设函数 )(x f 是区间 I 上的实值函数,如果任取 10,,≤≤∈λI y x ,有())])}()1()())1(([){()1()(]1[y f x f y x f y f x f y x f λλλλλλλλ-+≥-+-+≤-+称是区间 上凸（下凸）函数.定义 3.2 若)(x f 在 )(00x U 有定义,且hh x f h x f h )2()2(lim000--+← 的极限存在,则称)(x f 在0x 拟可导,记为hh x f h x f x Df h )2()2(lim)(0000--+=→. 引理3.1凸函数在任意开区间（有限或无穷）I 上连续. 引理3.2 若函数)(x f 在I 上连续,且对I x x ∈∀21,,有)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+ ,则)(x f 为下凸函数.定理3.6 若函数)(x f 在区间I （有限或无穷）上单调,且)(x Df 在I 内处处存在且有界,则函数)(x f 在开区间 I 上一致连续.证明 不妨设)(x f 在开区间 I 上单调增加.因为)(x Df 在I 内处处存在,有界,即 I x M ∈∀>∃,0,有 M x Df <)(. 下面证明：对I x x x x ∈<2121,, ,有)(2)()(1212x x M x f x f -<- .若不然,1111,,b a I b a <∈∃ ,使)(2)()(1111a b M a f b f -≥- .令)(2111b a c +=,则区间 ],[1c a 和 ],[1b c 中至少一个,记为],[22b a , 满足 )(2)()(2222a b M a f b f -≥-由此,利用归纳法可得到区间套 ⊃⊃⊃⊃],[],[],[2211n n b a b a b a .)(21)2()(2)()()1(111a b a b a b M a f b f n n n n n n n -=--≥--根据区间套定理,这些区间有惟一的公共点,记为ξ . 由条件知,M Df <)(ξ .所以,0>∃δ ,使当δ<h ,且I hh ∈+-2,2ξξ时，有M hf h f h <--+)]2()2([1ξξ . (3) 因为],[1n n n b a ∞=⋂∈ξ,且0→-n n a b ,故存在正整数 N,使22δξξδξ+<≤<-N a .不妨设ξξ-<-N N b a .令 )(20ξ-=N b h ,则 δ<0h ,且222200δξξξδξ+<=+<<-<-N N b h a h . 故000)(2)()()2()2(Mh a b M a f b f hf h f N N N N ≥-≥-=--+ξξ 此与（3）矛盾,从而（1）试对I 内任意两点都成立,因而可得 )(x f 在区间 I 上一致连续.推论1 若函数)(x f 是开区间I （有限或无穷）上的凸函数,且拟导数存在,有界,则)(x f在区间 I 上一致连续.证明 不妨设)(x f 为区间I 上的下凸函数, .因为)(x f 为凸函数,所以)(x f 在I 上连续.若)(x f 在I 上单调,由定理3知结论成立.若)(x f 在 I 上不单调,由 )(x f 为区间I 上的下凸函数可知,在I 上至少存在三点321x x x << ,有)()(21x f x f > ,且 )()(32x f x f <.因为)(x f 在],[31x x 上连续,故存在),(310x x x ∈,使)(min )(],[031x f x f x x x ∈= .下证)(min )(0x f x f Ix ∈= .否则,若存在][314x x I x --∈ ,且)()(04x f x f < .若04x x < ,则λ∃ ,使 10,)1(401<<-+=λλλx x x ,从而)())()1()()(0401x f x f x f x f <-+≤λλ,矛盾.同理04x x >不成立.于是,由)(x f 为区间I 上的下凸函数定义可证, )(x f 在 ],(0x a 上递减,在[),0b x 上递增.故)(x f 在],(0x a 与0[,)x b 上一致连续.而)(x f 在I 上连续,故)(x f 在I 上一致连续.推论2 若函数)(x f 在开区间 I （有限或无穷）满足条件：I x x ∈∀21,)1(,有);2(2)()(2121x x f x f x f +≥+)(,)2(x f I x -∈∀. 和)(x f + 都存在)3(在I 上处处拟可导,且拟导数有界.则函数)(x f 在区间I 上一致连续.证明 先证)(x f 在I 上连续.对I x ∈∀0,下证)()(00x f x f +-= .因为)()(00x f x f +-≠ ,则不妨设)()(00x f x f +-< ，取0,0))()((41100>∃>-=-+δεx f x f , 100:δ<-<∈∀x x I x ，有ε<--)()(0x f x f , 100:δ<-<∈∀x x I x ,有ε<-+)()(0x f x f .}2,,2)()(min{,0,0100δδδM x f x f h M -+-=∃>∀>∀有hx f x f hx f x f h x f h h x f h x f )()()2()()2()2()2(0000000-++-+---+=--+ M M x f x f x f x f h x f x f h x f x f =--≥-=-->-+-+-+-+2))()((2)()(2)()(2)()(00000000ε.与已知条件矛盾,所以)()(00x f x f +-= .又由)2(2)()(00xx f x f x f +≥+,两边对x 取极限,得 )()(00x f x f -≥.因为 I 为开区间,取0>h ,使I h x h x ∈-+00, , 则2)()()2()(00000h x f h x f h x h x f x f -++≤-++=,两边对 h 取极限, 得)(2)()()(0000x f x f x f x f --+=+≤,从而)(x f 在0x 点连续,即)(x f 在区间I 上连续,由引理2得)(x f 为凸函数.由推论1得)(x f 在区间I 上一致连续定理 3.7 若函数 )(x f 在区间I 上满Lipschitz 条件,即存在常数0>L ,使对任何I x x ∈21, ,都有2121)()(x x L x f x f -≤- ,则函数 )(x f 在区间 I 上一致连续.依定义可立即证得推论 若函数)(x f 在区间I 上可导,且 )('x f 在区间I 上有界,则函数)(x f 在区间I上一致连续.证明 )('x f 在区间I 上有界,即 I x L ∈∀>∃,0,有L x f ≤)(' .因为)(x f 在区间I上可导,据拉格朗日定理I x x ∈∀21,,有))(()()(21'21x x f x f x f -=-ξ .从而2121'21)()()(x x L x x f x f x f -≤-=-ξ ,即)(x f 在区间I 上满足Lipschitz 条件,故)(x f 在区间I 上一致连续.定理 3.8 若函数)(x f 在),[+∞a 可导,且λ=+∞→)(lim 'x f x （常数或∞+）,则)(x f 在),[+∞a 一致连续的充要条件是λ为常数.证明 ［充分性］ 若λ为常数,由局部有界性,,a A >∃可使)('x f 在),[+∞A 有界,再由定理4推论,)(x f 在 ),[+∞A 上一致连续,再由Cantor 定理知)(x f 在],[A a 一致连续 .故)(x f 在),[+∞a 一致连续.［必要性］（反证法） 设+∞=+∞→)(lim 'x f x .则0,210>∀=∃δε ,取δ1=G ,故,,A x a A >∀>∃有.)('G x f >.取A x x >21, ,且使δδ<=-221x x ,据拉格朗日定理有212)()()(21'21=>-=-δξGx x f x f x f . 故)(x f 在),[+∞A 非一致连续,这与)(x f 在),[+∞a 一致连续矛盾.上定理的结论相当完美,它使得许多初等函数在无限区间上一致连续与非一致连续的判别,都变得简便易行.4一致连续的性质性质 4.1若)(x f 和)(x g 都是区间I 上的有界的一致连续函数,则)()()(x g x f x F =也在I 上一致连续.证明 由题设)(x f ,)(x g 有界,从而存在0>M ,使.,)(,)(I x M x g M x f ∈∀<< .再由 )(x f ,)(x g 都一致连续,则0,01>∃>∀δε 和02>δ ,使I x x x x ∈∀4321,,, ,且243121,δδ<-<-x x x x ,时有Mx g x g Mx f x f 2)()(,2)()(4321εε<-<- ,令},m in{21δδδ=,则I x x ∈∀65,,且δ<-65x x 时)()()()()()()()()()()()(656655665565x f x f x g x g x g x f x g x f x g x f x F x F -+-≤-=-εεε=+<MMMM22.所以)(x f )(x g 在I 上一致连续.性质 4.２函数)(x f 在 ],[b a 上一致连续,又在],[c b 上一致连续,c b a << .用定义证明：)(x f 在],[c a 上一致连续.证明 由)(x f 在],[b a 一致连续,故0,01>∃>∀δε,使当],[,21b a x x ∈,且121δ<-x x 时,有2)()(21ε<-x f x f (i)同理,)(x f 在],[c b 上一致连续,对上述0>ε,存在02>δ,使当],[,43c b x x ∈ ,且243δ<-x x 时,有2)()(43ε<-x f x f (ii)令},m in{21δδδ= ,则对0>ε,当],[,65c a x x ∈ 且 δ<-65x x 时,（1）若],,[,65b a x x ∈由（i ）式有εε<<-2)()(65x f x f（2）若],[,65c b x x ∈,由（ii ）式也有ε<-)()(65x f x f （3）若],[],,[65c b x b a x ∈∈时,则δδ<-<-b x b x 65, 所以 εεε=+<-+-≤-22)()()()()()(6565x f b f b f x f x f x f .从而得证 )(x f 在 ],[c a 上一致连续.性质 4.3设函数)(x f 在),[+∞a 连续,函数)(x g 在),[+∞a 一致连续,且0)()(lim =-+∞→x g x f x ,则)(x f 在 ),[+∞a 一致连续.证明 0)()(lim =-+∞→x g x f x ,故 A x x a A ≥∀>∃>∀21,,,0ε,有 3)()(,3)()(2211εε<-<-x g x f x g x f .及函数)(x g 在),[+∞a 一致连续,故对上述A x x ≥∀>∃>21,,0,0δε ,且 δ<-21x x ,有3)()(21ε<-x g x g .综上A x x ≥∀21,,且 δ<-21x x ,有)()()()()()()()(22211121x g x f x g x g x g x f x f x f -+-+-≤- .εεεε=++<333即 )(x f 在),[+∞A 一致连续,再由Cantor 定理知)(x f 在 ],[A a 上一致连续,故)(x f ),[+∞a 在 一致连续.定理5表明：若连续函数可在无穷远处充分接近一个一致连续函数,则其必一致连续.考虑到线性函数必一致连续,如果某连续函数在无穷远处充分接近一个线性函数,即此函数存在斜渐近线,则它必一致连续.即是如下推论.推论 设函数)(x f 在),[+∞a 连续,且有斜渐近线,即有数b 与 c ,使0])([lim =--+∞→c bx x f x ,则)(x f 在),[+∞a 一致连续.5一致连续性的应用利用一致连续性定义或判断函数一致连续性的定理来判断某函数的一致连续性.例1 判断),0(,11)(2+∞∈+=x xx f 的一致连续性. 解：因为 011lim2=++∞→x x ，111lim 20=+→x x 又 )(x f 在),0(+∞ 上连续,所以 )(x f 在),0(+∞ 上一致连续.本题利用定理3.4，)(x f 在无限区间上连续且在端点极限存在，则)(x f 在此无限区间上一直连续.例2 证明)(x f =x e 在R 上非一致连续.证明1 :ln ),1ln(),11(0,21210R n x n x e n ∈=+=∀->∃>∀=∃δδε,ln )11ln(ln )1ln(21δδ=<+=-+=-e n n n x x 有021211)1()()(ε=>=-+=-n n x f x f .所以)(x f =x e 在R 上非一致连续.根据一直连续性定义证得.证明2 取R n y n x n n ∈=+=ln ),1ln( , 且0)11ln(lim ]ln )1[ln(lim )(lim =+=-+=-∞→∞→∞→n n n y x n n n n n .但01)1(lim ][lim )]()([lim ln )1ln(≠=-+=-=-∞→+∞→∞→n n e e y f x f n n n n n n n .所以)(x f =x e 在 R 上非一致连续.此题根据判定函数一直连续性的充要条件即定理3.3.例3 判断)1,0(,1cos )(∈=x x e x f x 的一致连续性.解：因为x e x x 1cos lim 0+→ 不存在,所以)(x f =x e 在)1,0( 内不一致连续.此题根据判定连续函数在有限开区间一致连续性的方法即定理3.2例4 证明： x e x f =)(在),(a -∞ 上一致连续,而在 ),(+∞a 上非一致连续.证明 0lim =-∞→x x e 且a x a x e e =-→lim .所以 x e 在 ),(a -∞上一致连续.+∞==+∞→x x x x e Lim e e ,)(' .所以)(x f =x e 在 ),(+∞a 上非一致连续.此题根据连续函数导数的有界性来判定函数的一致连续性。

函数一致连续性的判别方法作者：钟志波来源：《文理导航》2015年第05期【摘要】函数的一致连续性是函数最重要的分析性质之一，它与函数的连续性既有区别又有联系，本文从教材出发，在已有的研究成果上结合例子，对不同区间上函数一致连续性的判别方法加以总结并作一定的推广。

本文对函数一致连续性的判别提供一个系统、完整的总结，具有一定的参考价值。

【关键词】函数;连续;一致连续;有界;收敛1.引言1.1函数的一致连续的定义及其否定叙述定义1.1设f（x）为定义在区间I上的函数，若对任给的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得对任何x′，x″∈I只要|x′-x″|<δ，就有|f（x′）-f（x″）|<ε，则称函数f（x）在区间I上一致连续。

1.2函数在区间上的连续性和一致连续性的区别与联系连续是逐点考察的性质，一致连续是函数在整个区间上的性质。

也就是说，从极限的角度考察连续，发现整个函数可以用同样的方式来趋近，称为“一致连续”。

下面给出函数连续性的定义：定义1.2设f（x）为定义在区间I上的函数，若对任给的ε>0，存在δ>0，使得对任何x，x0∈I且|x-x0|<δ时，有|f（x）-f（x0）|<ε，则称函数f（x）在区间I上连续.比较函数在区间的连续性和一致连续性定义可知：前者的δ不仅与ε有关，而且还与点x0有关，即对于不同的x0，一般来说δ是不同的，这表明只要函数在区间内每一点连续的话，则函数在区间上连续;后者的δ仅与ε有关，与x无关，即对不同的x，δ是相同的，这表明函数在区间的一致连续性，不仅要求函数在这区间的每一点连续，而且要求函数在区间上的连续是“一致”的。

在区间I一致连续的函数在这区间一定连续，事实上，由一致连续性的定义将x1固定，令x2变化，即知函数f（x）在x1连续，又x1是I的任意一点，从而函数f（x）在I连续。

但在区间I连续的函数在这区间上不一定一致连续，如f（x）= 在区间（0，1）连续但不一致连续。

函数的一致连续性一致连续性是数学分析中的一个重要概念，它不仅在微积分中有着广泛的应用，而且在函数论和拓扑学等领域也扮演着关键的角色。

本文将对一致连续性的定义、性质及其与普通连续性的关系进行深入探讨，并通过例子说明其在实际中的应用。

一致连续性的定义传统的连续性涉及到函数在某一点的邻域内的行为，而一致连续性则进一步扩展了这一概念。

设 ( f: A ) 是定义在集合 ( A ) 上的一个函数。

如果对任意的 ( > 0 )，存在一个 ( > 0 )，使得对于所有的 ( x, y A )，只要满足 ( |x - y| < )，就有 ( |f(x) -f(y)| < )，那么我们称函数 ( f ) 是在 ( A ) 上一致连续的。

这种定义与普通的连续性不同，普通的连续性要求在特定点附近都能找到适合的 ( ) 值，而一致连续性则要求这个 ( ) 值能够适用于整个区间或集合。

这种“整体”性质使得一致连续性在分析中极具吸引力。

一致连续性的性质性质一：一致连续性的充要条件一致连续性最重要的一个性质是其与有界闭集上连续性的关系。

即如果函数 ( f: [a, b] ) 在区间上是连续的，并且该区间是有界闭集，那么函数 ( f ) 是一致连续的。

这一性质也可以称为“海涅-博尔查诺定理”的一种表现。

性质二：复合函数的一致连续性如果 ( f: A B ) 和 ( g: B C ) 都是显式一致连续的函数，那么复合函数 ( g(f(x)) ) 也是一致连续的。

这为我们提供了在处理复杂问题时的一种手段，可以将多个容易处理的一致连续函数组合起来。

性质三：一致连续函数的有限性如果一组函数 ( f_n: A_n B_n ) 是一致连续的，并且它们都定义在相同的集合上，则它们的一致收敛也将保持一致性，即如果( f_n(x) f(x) )（对所有 ( x A_n )），那么 ( f(x) ) 同样是一致连续的。

一致连续性与普通连续性的关系虽然所有的一致连续函数都是普通连续函数，但并非所有普通连续函数都是一致连续函数。