数理统计PPT(研究生)5-1,2

数理统计与随机过程

1. 介绍

2. 数理统计概述

2.1 统计学的定义

统计学是一门研究如何收集、整理、分析和解释数据的学科。它利用数理统计方法和技巧来从已有数据中获取有关现象和问题的信息。

2.2 数理统计的重要性

• 数理统计可以帮助我们理解和解释现象和问题，从数据中提取有用信息。

• 数理统计可以帮助我们做出合理的决策，并评估决策的风险和效果。

• 数理统计是其他学科研究的重要工具，如经济学、社会学、医学等。

3. 数理统计的基本概念

3.1 总体与样本

• 总体：研究对象的全体。

• 样本：从总体中抽取出的一部分数据。

3.2 参数与统计量

• 参数：用于描述总体特征的数值。

• 统计量：用于描述样本特征的数值。

3.3 随机变量与概率分布

• 随机变量：取值不确定的变量。

• 概率分布：描述随机变量取值的概率情况。 4. 数理统计的基本方法

4.1 描述统计

描述统计是通过对数据进行整理、分类、计算和统计来描述和总结数据的基本特征。

• 频数分布表：将数据按照不同取值分组统计出现次数。

• 频数分布直方图：用柱状图表示不同频数的分布情况。

• 平均数：描述数据的集中趋势。

• 方差：描述数据的离散程度。

4.2 推断统计

推断统计是通过样本对总体进行推断和估计。

• 置信区间：估计总体参数的区间范围。

• 假设检验：对总体参数的假设进行检验。

5. 随机过程概述

5.1 随机过程的定义

随机过程是一组随机变量的集合，这些随机变量依赖于一个或多个参数，并且随着参数变化而改变。

5.2 随机过程的分类

• 马尔可夫过程：未来状态只与当前状态有关。

• 广义马尔可夫过程：未来状态与当前状态及历史状态有关。

• 马尔可夫链：具有马尔可夫性质的离散时间的随机过程。

6. 数理统计与随机过程的应用

6.1 金融领域

在金融领域，数理统计和随机过程被广泛应用于风险评估、资产定价和投资组合管理等。 6.2 生物医学领域

《数理统计与随机过程讲义》段法兵 复杂性科学研究所

1 第四章 假设检验

假设检验是一种重要应用价值的统计推断形式，是数理统计的分支。从发展历史上有重要的节点为

1 ：Pearson的拟合优度的2检验 1900

2：Fisher的显著性检验 1920

3：Neyman-Pearson一致最优检验 1928

4：Wald的判决理论 1950

5：Bayes方法 （二战之后发展的学派）

§4.1 基本术语

关于随机变量的分布、数字特征等，每一种论断都称为统计假设，分为参数假设和非参数假设，例如),(~2uNX，假设1,1:uH就称为参数假设；给定一组样本值，假设:H~X正态分布，对于分布进行论断，为非参数假设。

无论上面那种假设，都是给出一个对立的假设，比如),(~2uNX，那么假设1,1:0uH的对立假设就是1,1:1uH，我们就把0H称为基本假设，或者原假设，而1H就称为对立（备选）假设。

为了分别那个假设是对的，需要判断假设真伪，就是对假设做出“否”还是“是”的程序就是检验，这个检验常用否定域形式给出，按照一定规则把样本值集合分成两个部分VV，当样本值落入子集V认为0H不真，那么V是0H的否定域，V为0H的接受域。

那么这样就产生了两种错误：

第一类错误α ：本来0H是真，但是却否定了，弃真；

第二类错误β ：本来0H不真，但是却接受为真，叫取伪。

选定一种检验方法，我们希望上述两种错误概率都小。但是给定样本容量，使得两种错误任意小是不可能的，我们主要研究两大类检验方法：

α β 《数理统计与随机过程讲义》段法兵 复杂性科学研究所

2 1：样本容量给定，控制第一类错误，使得错误概率有一个上界，叫做检验的显著性水平，根据这种原则建立的检验就是水平显著性检验；

2：样本容量给定，控制第一类错误水平固定，还使得第二类错误最小，就是接受不真实假设的概率最小，否定不真实假设的概率就称为检验功效1-β，使得功效最大，，根据这种原则建立的检验就是水平最大功效检验,或者最佳检验。

例1、设

求的矩估计。

解 ,0dxxeEXx设dudxuxxu1,1,

则0000111()0()uuuEXueduueedue=1

故1EX，所以x1ˆ。

例2、设总体X的密度函数为!),(xexfx ，求 的极大似然估计。

解 设)!)...(!)(!(),()(2111nnxniixxxexfLnii，则

11ln()()lnln(!)nniiiiLxnx

11ln()11ˆ0, nniiiidLxnxxdn

例3、为了解灯泡使用时数均值及标准差，测量了10个灯泡，得1650x

小时，s=20小时。如果已知灯泡使用时间服从正态分布，求和的95%的置信区间。

解

由262.2)9()1(025.02tnt，根据求置信区间的公式得

222.262((1), (1))(165020)10(165014.31)(1635.69, 1664.31)ssxtnxtnnn

查表知70.2)9()1(,023.19)9()1(2975.02212025.022nn，根据求置信区间的公式得2的置信区间为

2222220.0250.975(1)(1)920920(, )(, )(189.24, 1333.33)(9)(9)19.0232.70nsns

而的置信区间为

(189.24, 1333.33)(13.8, 36.5)

例4、包糖机某日开工包了12包糖,称得重量(单位:克)分别为,0()0, 0xexfxx506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.假设重量服从正态分布,且标准差为  =10,试求糖包的平均重量 的1-  置信区间(=0.05).

第五章 数理统计的基础知识

在前四章的概率论部分中，我们讨论了概率论的基本概念、思想和方法。知道随机变量的统计规律性是通过随机变量的概率分布来全面描述的。在概率论的许多问题中，概率分布通常是已知的或假设为已知的，在这一前提下我们去研究它的性质、特点和规律性，即讨论我们关心的某些概率、数字特征的计算以及对某些问题的判断、推理等。

但在许多实际问题中，所涉及到的某个随机变量服从什么分布我们可能完全不知道，或有时我们能够根据某些事实推断出分布的类型，但却不知道其分布函数中的某些参数。

例如：1、某种电子元件的寿命服从什么分布是完全不知道的。

2、检测一批灯泡是否合格，则每个灯泡可能合格，也可能不合格，则服从（0-1）分布，但其中的参数p未知。

对这类问题要深入研究，就必须知道与之相应的分布或分布中的参数。数理统计要解决的首要问题就是：确定一个随机变量的分布或分布中的参数。

数理统计学是研究随机现象规律性的一门学科，它以概率论为理论基础，研究如何以有效的方式收集、整理和分析受到随机因素影响的数据，并对所考察的问题作出推理和预测，直至为采取某种决策提供依据和建议。

数理统计研究的内容非常广泛，可分为两大类：

一是：怎样有效地收集、整理有限的数据资料。

二是：怎样对所得的数据资料进行分析和研究，从而对所考察对象的某些性质作出尽可能精确可靠的判断—本书中参数估计和假设检验。

第一节 数理统计的基本概念

一、总体与总体的分布

在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个元素称为个体。总体中所包含的个体的个数称为总体的容量. 容量为有限的总体称为有限总体；容量为无限的总体称为无限总体. 总体和个体之间的关系就是集合与元素之间的关系.

在实际问题中，研究对象往往是很具体的事物或现象，而我们所关心的不是每一个个体的种种具体的特征，而是其中某项或某几项数量指标，记为X。

例如：研究一批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体构成了研究的总体，其中每个灯泡就是个体。