2014－2015 学年 第一学期期末试卷答案
学号 姓名 成绩 考试日期： 2015年1月13日
考试科目：《应用数理统计》（B 层）
一、填空题（本题共16分，每小题4分）
1．设122,,n x x x ，是来自正态总体2(,)N μσ的简单样本，则c =
n m
m
- 时，统计量2
22112
2211
()()m
k
k k n k
k k m x
x c
x
x η-=-=+-=-∑∑服从F -分布。
2. 设12,,n x x x ，是来自正态总体2
(0,)N σ的简单样本，用2
2
21
1ˆ()n
i i nx x n σ
===∑估计2σ，则均方误差2222ˆ()E σσ
σ- 42σ 。 3．设总体X 的密度函数为22
,[0,]
(;)0,
[0,]x x p x x θθθθ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，其中0θ>，12,,,n x x x 是
来自总体X 简单样本，则2()q θθ=的矩估计ˆq
= 2
94
x 或2
1
2n i i x n =∑ 。 4．在双因素方差分析中，总离差平方和T S 的分解式为
T A B A B e S S S S S ⨯=+++
其中2
111
()p
q
r
e ijk ij i j k S x x ⋅====-∑∑∑，11r
ij ijk k x x r ⋅==∑，
则e S 的自由度是 (1)p q r - 或n pq -，其中n pqr = 。
二、（本题12分）设总体X 的密度函数为111,(0,1)
(;)0,(0,1)x x f x x θ
θθ-⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩
，其中0θ>，
12,,,n x x x 是来自总体X 的简单样本。
（1）求θ的极大似然估计ˆθ；（2）求θ的一致最小方差无偏估计；（3）问θ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证
明你的结论。
解（1）似然函数为
(1)()1
1
{01}121
1
()()
(,,,)n n
i x x n n
i L x I x x x θ
θθ-<≤<==
∏
对数似然函数为
(1)(){01}121
1
ln ()ln (1)ln ln (,,,)n n
i x x n i L n x I x x x θθθ
<≤<==-+-+∑
求导，有
2
1
ln ()1
ln n
i
i L n x θθθθ
=∂=--∂∑
令ln ()0L θθ∂=∂，可得θ的极大似然估计为1
1ˆln n
i i x n θ==-∑。 （2）因为
(1)()1
1
12{01}121
1
(,,,;)()
(,,,)n n
n i x x n n
i f x x x x I x x x θ
θθ-<≤<==
∏
(1)(){01}121
1
1
(,,,)exp{(1)ln }n n
x x n i n
i I x x x x θθ
<≤<==-∑
令1
()n
c θθ
=
，(1)(){01}12()(,,,)n x x n h x I x x x <≤<= ，1
()1w θθ
=
-，1
ln n
i i T x ==∑，由于()
w θ的值域(0,)+∞有内点，由定理2.2.4知1
ln n
i i T x ==∑是完全充分统计量。而
1
1
1
1
(ln )(ln )i E x x x dx θθθ
-=
=-⎰
所以
1
1
(ln )(ln )n
n
i i i i E x E x n θ====-∑∑
因而11ˆln n i i x n θ==-∑既是完全充分统计量1
ln n i i T x ==∑的函数，又是θ的无偏估计，由定理2.2.5知11ˆln n
i
i x n θ==-∑是θ一致最小方差无偏估计。 （3）由于1
1ˆ()(ln )Var Var x n
θ=，而 22
111(ln )(ln )((ln ))Var x E x E x =-11
1
2
220
1
(ln )x x dx θθθθ
-=
-=⎰
所以21ˆ()Var n
θ
θ=。 又因为当(0,1)x ∈时，
2223
ln (;)12
ln f x x θθθθ∂=+∂，所以 222
ln (;)1()()f x I E θθθθ
∂=-=∂ 从而22()ˆ()()
Var n nI θθθθ'==
，即信息不等式等号成立，故11ˆln n
i i x n θ==-∑是θ的有效估计。
三、（本题12分）设n x x x ,,,21 是来自正态总体20(,)N μσ的简单样本，
其中2
0σ是已知常数，μ是未知参数。考虑假设检验问题
0010::H H μμμμ=<
（1）求显著性水平α(01)α<<下的似然比检验；（2）求犯第二类错误的概率。
解：（1）当0μμ≤时，μ的极大似然估计为0ˆmin{,}x μ
μ=似然比统计量为 01212120sup{(,,,;)}(,,,)(,,,;)n n n p x x x x x x p x x x μμ
μλμ≤=
0201,1exp{},2x x x μμ>⎧
⎪
⎪≤=⎨⎪
⎪⎩
