下载文档原格式
北航数理统计答案【篇一：北航数理统计考试题】术部2011年12月2007-2008学年第一学期期末试卷一、（6分，a班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体n(?,?2)的样本，令t?x?x)，试证明t服从t-分布t（2）二、（6分，b班不做）统计量f-f(n,m)分布，证明1f的?（0?1）的分位点x?是1f1??(n,m)。
三、（8分）设总体x的密度函数为?(1??)x?,0?x?1p(x;?)??0,其他?其中???1，是位置参数。
x1，x2，…，xn是来自总体试求参数?的矩估计和极大似然估计。
四、（12分）设总体x的密度函数为?1?x???exp???，x???p(x;?)??????，??0,其它其中???????,?已知，??0,?是未知参数。
x1，x2，…，xn是来自总?体x的简单样本。
（1）试求参数?的一致最小方差无偏估计?；（2）?是否为?的有效估计？证明你的结论。
五、（6分，a班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体n(?简单样本，y1，y2，…，yn是来自正态总体n(?两样本相互独立，其中?设h0:?1??2,h1:?1??2,1221?,?1)2的,?2)的简单样本，且21,?1,?2,?222是未知参数，???22。
为检验假可令zi?xi?yi, i?1,2,...,n ,???1??2 ,则上述假设检验问题等价于h0:?1?0,h1:?1?0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z1，z2，…，zn，在显著性水平?下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、（6分，b班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体n(?简单样本，?0已知，?2未知，试求假设检验问题h0:?2,?)02的??0,h1:?22??02的水平为?的umpt。
七、（6分）根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？八、（6分）设方差分析模型为?xij????i??j??ij?2??ij服从正态总体分布n(0,?)且?ij相互独立??i?1,2,...,p;j?1,...,q?pq??和?满足??i?0,??j?0.j?ii?1j?1?总离差平方和pst?sa?sb?se中sa?q?(xi??x),x?i?1x??pqi?1j?11pqij,xi??1qijx?qj?1,且e(se)=(p-1)(q-1)?.?...??p?0的拒绝2试求e(sa)，并根据直观分析给出检验假设h0:?1??2域形式。
2014－2015 学年 第一学期期末试卷答案学号 姓名 成绩 考试日期： 2015年1月13日考试科目：《应用数理统计》（B 层）一、填空题（本题共16分，每小题4分）1．设122,,n x x x ，是来自正态总体2(,)N μσ的简单样本，则c =n mm- 时，统计量2221122211()()mkk k nk k k m xx cx x η-=-=+-=-∑∑服从F -分布。
2. 设12,,n x x x ，是来自正态总体2(0,)N σ的简单样本，用22211ˆ()ni i nx x n σ===∑估计2σ，则均方误差2222ˆ()E σσσ- 42σ 。
3．设总体X 的密度函数为22,[0,](;)0,[0,]x x p x x θθθθ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，其中0θ>，12,,,n x x x 是来自总体X 简单样本，则2()q θθ=的矩估计ˆq = 294x 或212n i i x n =∑ 。
4．在双因素方差分析中，总离差平方和T S 的分解式为T A B A B e S S S S S ⨯=+++其中2111()p q re ijk ij i j k S x x ⋅====-∑∑∑，11rij ijk k x x r ⋅==∑，则e S 的自由度是 (1)pq r - 或n pq -，其中n pqr = 。
二、（本题12分）设总体X 的密度函数为111,(0,1)(;)0,(0,1)x x f x x θθθ-⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，其中0θ>，12,,,n x x x 是来自总体X 的简单样本。
（1）求θ的极大似然估计ˆθ；（2）求θ的一致最小方差无偏估计；（3）问θ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证明你的结论。
解（1）似然函数为(1)()11{01}1211()()(,,,)n ni x x n ni L x I x x x θθθ-<≤<==∏对数似然函数为(1)(){01}1211ln ()ln (1)ln ln (,,,)n ni x x n i L n x I x x x θθθ<≤<==-+-+∑求导，有21ln ()1ln nii L n x θθθθ=∂=--∂∑令ln ()0L θθ∂=∂，可得θ的极大似然估计为11ˆln n i i x n θ==-∑。
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题。
每小题5分.共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
第二部分(非选择题共110分) 二.填空题共6小题。
每小题5分。
共30分。
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
绝密★考试结束前
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题。
每小题5分.共40分）
二.填空题（共6小题。
每小题5分。
共30分）
三、解答题（共6小题，共80分）
11
12
13
14。
一、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，令)x x T -=，试证明T 服从t -分布t （2）二、（6分，B 班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明111(,)F F n m αααα-的（0<<1）的分位点x 是。
三、（8分）设总体X 的密度函数为(1),01(;) 0 , x x p x ααα⎧+<<=⎨⎩其他其中1α>-，是位置参数。
x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计。
四、（12分）设总体X 的密度函数为1x exp x (;) 0 , p x μμσσσ⎧⎧-⎫-≥⎨⎬⎪=⎭⎨⎩⎪⎩，其它，其中,0,μμσσ-∞<<+∞>已知，是未知参数。
x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本。
（1）试求参数σ的一致最小方差无偏估计σ∧； （2）σ∧是否为σ的有效估计？证明你的结论。
五、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体211(,)N μσ的简单样本，y 1，y 2，…，y n 是来自正态总体222(,)N μσ的简单样本，且两样本相互独立，其中221122,,,μσμσ是未知参数，2212σσ≠。
为检验假设012112:, :,H H μμμμ=≠可令12, 1,2,..., , ,i i i z x y i n μμμ=-==-则上述假设检验问题等价于0111:0, :0,H H μμ=≠这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z 1，z 2，…，z n ，在显著性水平α下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、（6分，B 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体20(,)N μσ的简单样本，0μ已知，2σ未知，试求假设检验问题22220010:, :H H σσσσ≥<的水平为α的UMPT 。
材料学院研究生会学术部2011 年12 月2007-2008学年第一学期期末试卷一、(6 分，A 班不做)设x1，x2，⋯，x n是来自正态总体N( , 2) 的样本，令2(x1 x2)T(x3 x4)2 (x5 x6)2 ，试证明T 服从t-分布t(2)二、( 6 分， B 班不做 ) 统计量F-F(n,m) 分布，证明1的 (0< <1)的分位点x 是1。
F F1 (n,m) 。
三、(8分)设总体X 的密度函数为其中1，是位置参数。
x1，x2，⋯，x n是来自总体X 的简单样本，试求参数的矩估计和极大似然估计。
四、(12分)设总体X 的密度函数为1xexp ，xp(x; )0 , 其它其中, 已知，0, 是未知参数。
x1，x2，⋯，x n 是来自总体X 的简单样本。
1)试求参数的一致最小方差无偏估计；2) 是否为的有效估计？证明你的结论。
五、(6分，A 班不做)设x1，x2，⋯，x n是来自正态总体N( 1, 12) 的简单样本，y1，y2，⋯，y n 是来自正态总体N( 2, 22) 的简单样本，且两样本相互独立，其中1, 12, 2, 22是未知参数，1222。
为检验假设H0 :可令z i x i y i, i 1,2,..., n ,1 2 ,1 2, H1 : 1 2,则上述假设检验问题等价于H0 : 1 0, H1: 1 0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z1，z2，⋯，z n，在显著性水平下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、(6 分，B 班不做)设x1，x2，⋯，x n是来自正态总体N( 0, 2) 的简单样本，0 已知，2未知，试求假设检验问题H0: 202, H1: 202的水平为的UMPT。
七、(6 分)根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？八、(6 分)设方差分析模型为总离差平方和试求E(S A ) ，并根据直观分析给出检验假设H0 : 1 2 ... P 0的拒绝域形式。
![(NEW)北京大学数学科学学院《432统计学》[专业硕士]历年考研真题汇编(含部分答案)](https://uimg.taocdn.com/a57b00d6a417866fb84a8efc.webp)
目 录2014年北京大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题（回忆版，含部分答案）2015年北京大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题（回忆版，含部分答案）2014年北京大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题（回忆版，含部分答案）参考答案一、解：从中不放回地抽取两张，总的取法有种。
（1）52张扑克牌中共有四种花色，每种花色有13张牌，因此两张牌花色相同的情况有种。
记A为事件“两张牌花色相同”，则有：（2）“花色相同的条件下，两张牌数字不是次序相邻”的对立事件为“花色相同的情况下，两张牌数字次序相邻”，假设两张牌来自其中的某一种花色，则相邻的情况共有12种。
记B为事件“两张牌数字次序相邻”，则在花色相同的条件下，两张牌数字次序相邻的概率为：因此在花色相同的条件下，两张牌数字不是次序相邻的概率为：二、解：设A表示事件“第二天下雨”，B表示事件“预报下雨”，则根据题意可知则“预报下雨，真的下雨”的概率为：三、解：由于，因此当时当时，有对分布函数求导，得Y的概率密度函数为：四、解：（1）因，故X的概率密度为则当0<y<1时，因此Y的密度函数为（2）又所以五、解：由于第i分钟所放射的粒子数与i-1分钟放射的粒子数互不影响，因此X1，X2，…，X n相互独立。
（1）物理放射性试验中，每分钟放射的粒子数服从泊松分布，设,那么每分钟放出粒子的概率为：解得，所以由于第i分钟所放射的粒子数与i-1分钟放射的粒子数互不影响，因此相互独立。
所以（2）由中心极限定理所以有：六、题目不完整七、答：（1）假设检验就是对问题进行分析后，提出原假设和备择假设，然后根据样本信息作出接受或拒绝原假设的决策，由于决策的依据是样本提供的信息，因此判断有可能正确，也可能不正确，就是说，我们面临犯错误的可能，所犯的错误有两种类型：①第Ⅰ类错误是原假设H0为真却被拒绝了，犯这种错误的概率用α表示，所以也称α错误或弃真错误；②第Ⅱ类错误是原假设为伪却没有被拒绝，犯这种错误的概率用β表示，所以也称β错误或取伪错误。
北京航空航天大学2014年硕士研究生入学考试试题
材料综合（共7页）
“物理化学”部分
“材料现代研究方法”部分
注意：以下三部分只能任选其一
“金属学原理”部分
八、（本题10分）
何谓固溶强化？试述影响金属固溶体中溶质元素固溶度的主要因素及固溶强化的位错机制。
九、（本题共10分）
1.简述金属晶体生长过程中原子尺度平整及原子尺度粗糙液/固界面的结构特点及晶体生长机制。
（4分）
2.简述经Al-
3.7％Cu合金480℃固溶处理后，在180℃保温过程中随保温时间的延长将发生的组织结构和力学性能变化的微观机制。
（6分）
十、（本题10分）
何谓金属冷加工及金属热加工？分别叙述金属经冷加工塑性变形后的组织结构与性能变化及金属冷加工塑性变形后在加热过程中会发生的组织结构和力学性能变化。
“无机非金属材料学”部分
“高分子物理”部分。
北航数学专业复试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)的最小值出现在哪个点？A. \( x = -1 \)B. \( x = 0 \)C. \( x = 2 \)D. \( x = 4 \)答案：C2. 以下哪个数列是等差数列？A. \( 2, 4, 6, 8, \ldots \)B. \( 1, 3, 6, 10, \ldots \)C. \( 1, 2, 4, 8, \ldots \)D. \( 1, 1, 1, 1, \ldots \)答案：A3. 圆的面积公式是什么？A. \( A = \pi r \)B. \( A = \pi r^2 \)C. \( A = 2\pi r \)D. \( A = 4\pi r \)答案：B4. 以下哪个是微分方程的解？A. \( y = x^2 + C \)B. \( y = e^x + C \)C. \( y = \ln(x) + C \)D. \( y = \sin(x) + C \)答案：A5. 以下哪个是正弦函数的图像？A. \( y = x^2 \)B. \( y = \sin(x) \)C. \( y = e^x \)D. \( y = \ln(x) \)答案：B二、填空题（每题3分，共15分）6. 已知\( \sin(\theta) = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)在第一象限，求\( \cos(\theta) \)的值。
答案：\( \frac{4}{5} \)7. 如果\( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 3 \)，那么\( f(0) \)的值是____。
答案：08. 矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)的行列式是____。
答案：-29. 函数\( g(x) = \ln(x) \)的定义域是____。
2015－2016 学年 第一学期期末试卷参考答案学号 姓名 成绩 考试日期： 2016年1月15日考试科目：《数理统计》（B 层）一、填空题（本题共16分，每小题4分）1．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(0,)N σ的简单样本，则当c = 时，统计量221()nkk x cxx η==-∑服从F -分布，其中11nk k x x n ==∑。
（(1)n n -）2. 设12,,n x x x ，是来自两点分布(1,)B p 的简单样本，其中01p <<，2n ≥，则当c = 时，统计量2ˆ(1)cx x σ=-是参数()(1)q p p p =-的无偏估计，其中11nk k x x n ==∑。
（1n n -）3．设总体X 的密度函数为22,[0,](;)0,[0,]x x p x x θθθθ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，其中0θ>，12,,,n x x x 是来自总体X 简单样本，则θ的充分统计量是 。
（()n x ） 4．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(,)N μσ的简单样本，已知样本均值 4.25x =，μ的置信度为0.95的双侧置信区间下限为3.1，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为(,)。
（(3.1,5.4)）二、（本题12分）设12,,,n x x x 是来自正态总体2(1,2)N σ的简单样本。
（1）求2σ的极大似然估计2σ；（2）求2σ的一致最小方差无偏估计；（3）问2σ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证明你的结论。
解（1）似然函数为22211()exp{(1)}4nnii L x σσ==--∑对数似然函数为222211ln ()(ln(4)ln )(1)24n i i n L x σπσσ==-+--∑求导，有222241ln ()1(1)24n i i L n x σσσσ=∂=-+-∂∑ 令22ln ()0L σσ∂=∂，可得θ的极大似然估计为2211ˆ(1)2n i i x n σ==-∑。
应用数理统计大作业一学院：XXXXXXX学号：XXXXXXX姓名：XXX指导老师：XXX2014年12月21日国民生产总值增量的多元线性回归模型摘要：国民生产总值一直是衡量国家综合经济水平的重要指标，本文要讨论研究的是国民生产总值的增量趋势与各产业增值趋势间的多元线性关系[1]。
本论文搜集了我国从1998至2012年15年的国民生产与各产业增量指标，拟定数个自变量，代入统计软件SPSS 19.0[2]对各影响因素进行了统计分析，综合分析结果模拟多元线性回归函数。
模型建立之后，又将2013年数据作为测试集测试模型的拟合精确度，得到的结果达到预期值，得出模型建立较为成功。
关键词：逐步回归法，国民生产总值增量，线性拟合一引言国民生产总值（Gross Domestic Product）是在一定时期中，一个国家地区经济生产出的全部最终产品和劳务的价值，被公认为衡量国家经济状况的较佳指标。
它不仅仅反映了一定的经济表现，还可以反映国家的综合国力与经济发展前景，作为经济政策的制定依据，研究我国的国民生产总值的制约因素成为了学者们的热点问题。
下文就以1998年至2012年的统计数据为标准，利用SPSS软件作出了多元线性回归分析。
二统计分析2.1变量说明因变量——国民生产总值增值（亿元）；自变量——第一产业增加值（亿元）自变量——第二产业增加值（亿元）自变量——第三产业增加值（亿元）自变量——工业增加值（亿元）自变量——建筑业增加值（亿元）2.2统计数据2000年9537.5 14944.72 45555.88 38713.95 40033.59 5522.29 1999年5274.77 14770.03 41033.58 33873.44 35861.48 5172.1 1998年5429.25 14817.63 39004.19 30580.47 34018.43 4985.76 表格2-11998~2012年训练集数据测试组国民生产总值增值(亿元)第一产业增加值(亿元)第二产业增加值(亿元)第三产业增加值(亿元)工业增加值(亿元)建筑业增加值(亿元)2013年49375.11 56957 249684.4 262203.8 210689.4 38995表格2-22013年测试集数据以上数据来自《中国统计年鉴2013》[3]中收录的近15年全国国民生产总值增值数据，考察与各产业间增量趋势变化中关系密切并且直观上有线性关系的因素，因此选取了第一产业增值、第二产业增值、第三产业增值、工业总产值增值、建筑业增值五大因素为自变量。
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸..指定位置上•11、当x0时，若In ■ (1 2x), (1 -cosx)〉均是比x 高阶的无穷小，则:-的取值范围是()(A ) (2,(B ) (1,2)1 (C )(-,1)2(D )1(02)【答案】B【考点】等价无穷小、高阶无穷小【详解】1 x )0 时，ln ：(1 2x) ~ (2x):,1(1(1 _cosx)-〜！- 1 2平x12 )2因为它们都是比x 高阶的无穷小，故用＞1,1，即1 ：：： :• ：：： 2a2、下列曲线中有渐近线的是()【详解】 对于选项A ，xim (x sin x )不存在，因此没有水平渐近线,同理可知，选项 A 没有铅直渐近线,y x +si nx而lim lim 不存在，因此选项 A 中的函数没有斜渐近线;x 厂X x 匚- x对于选项B 和D,我们同理可知，对应的函数没有渐近线；+ - 11y x+sin-对于C 选项，y = x sin.由于lim limx=1，又xx x ¥x11lim_ y -1 x 二 lim.sin 0 .所以 y = x ■ sin 存在斜渐近线 y = x .故选 C. x 】- x 】- X x(A) y 二 x sin x(C) y 二 x sinx【答案】C【考点】函数的渐近线2(B ) y = x sinx (D) y = x 2 sin 丄 x(4)设函数f(x)具有2阶导数，g(x) = f(0)(1 -x) • f (1)x，则在区间［0,1］内()(A)勺f(X)_0 时，f(x) —g(x)当(B)勺f(X)_0 时，f(x)乞g(x)当(C)勺f(X)_0 时， f (x) _g(x)当(D)当勺f (x) _0 时，f(xHg(x)【答案】D【考点】函数单调性的判别、函数图形的凹凸性【详解】【解法一】令F(x) =g(x) -f(x)则F (x) (0) f (1) - f (x)由拉格朗日中值定理知，存在(0,1)，使得f(1)-f(0) =(1-0)f「)= f「) 即F ( J =0又因为F ”(x)二-f (x)若「(x) 一0,则F (x)乞0，所以F(x)单调递减，当(0, ), F (x) 0,F(x)单调递增，当( ,1),F (x) <0,F(x)单调递减，又F(0) =0.F(1) =0，所以F(x) 一0,即f(x)乞g(x)，故选D【解法二】令f(x)=x2，则函数f(x)具有2阶导数，且「(x)_0所以g(x)二f (0)(1 —X) f (1)x 二x当x [0,1]时，f (x^g(x)，故选D4、曲线x#7,上对应于心的点处的曲率半径是()y =t 2 4t 1【答案】C【考点】参数方程求导、曲率及曲率半径 【详解】巴25、设函数 f (x) =arctan x ，若 f (x) =xf ()，则 lim 2 =() T x 2 (A )1 (B )23(C 2(D)1【答案】D【考点】 函数求导、函数求极限【详解】** f (x) arcta n x 1xx 1 2.•2 x - arctanx…J —arcta nxI I 6、设函数u(x, y)在有界闭区域 D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足0及EXy-2-2T ”0，则() x :y(A ) u(x, y)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得 (B ) u(x, y)的最大值和最小值都在D 的内部取得(C ) u(x, y)的最大值在D 的内部取得，u(x, y)的最小值在 D 的边界上取得 (D ) u(x, y)的最小值在D 的内部取得，u(x, y)的最大值在 D 的边界上取得【答案】A(A 」50100(C)10、.. 10叫.Hx2 3X1 - 3 - \72 X 2 + X n29、【考点】二元函数极值的充分条件 【详解】2 2 2 2 2 因为寻于，故V 与C 号异号.又 7=0，则AC -B 2：：：0,所以函数u （x,y ）在区域D 内没有极值.又连续函数在有界闭区域内有最大值和最小值，故最大值和最小值在7、行列式【答案】B【详解】【解法一】 故选B 【解法二】8、设为3维向量，则对任意常数k,l ，向量组：k 3 / 2 H 3线性无关是向量组〉1,〉2, ?3线性无关的（） （A ） 必要非充分条件 （B ） 充分非必要条件 （C ） 充分必要条件 （D ） 既非充分也非必要条件 【答案】A【考点】向量组的线性相关性 【详解】:■、填空题：9〜14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸 指定位置上1二dx 二:x 22x 5D 的边界点取到.(A ) (ad -be)2(B )2-(ad -be)(C ) a 2d 2 -b 2c 2(D ),2 2 2 , 2b c -a d【考点】分块矩阵的行列式运算、 行列式的性质、行列式按行（列）展开定理3【答案】3二8【考点】无穷限的反常积分【详解】10、设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f (x) =2(x—1),x・［0,2］，贝U f(7) = 【答案】1【考点】一阶微分方程、周期函数【详解】11、设z =z(x,y)是由方程e2yz x2 y2z =确定的函数，则41【答案】-丄(dx dy)2【考点】隐函数求偏导、全微分【详解】12、曲线L的极坐标方程是r - v，贝V L在点(rc) =(「)处的切线的直角坐标方程2 2是______ . ______Q TF【答案】y - - 2 x •—Tt2【考点】参数方程求导、极坐标与直角坐标的转化、切线方程【详解】把极坐标方程化为直角坐标方程丄x = r cos — v COST令••y = r sin J - ^sin)13、一根长为1的细棒位于x轴的区间［0,1］上，若其线密度^(x) --x22x 1，则该细棒的质心坐标x =11【答案】20【考点】质心坐标【详解】b_ J xP(x)dx x 二 a质心横坐标公式:b.，(x)dxa2 214、设二次型 f (x 1, x 2, x3^x 1 -x 2 2a^x 3 4x 2x 3的负惯性指数 为1，贝U a 的取值范围是 _______ . _____ 【答案】[-2,2]【考点】二次型的规范形、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形 【详解】【解法一】则’1 • '2 • ‘3二tr(A) =1 -1 • 0 =0，即特征值必有正有负，共 3种情况； 因二次型的负惯性指数为 1=特征值1负2正或1负1正1零；1 0 a^0-12=T+a 2E0，即 a^[—2,2] a 2【解法二】三、解答题：15〜23小题,共94分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤•15、(本题满分10分)【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则 【详解】16、(本题满分10分) 已知函数y =y(x)满足微分方程 x 2 y 2y 、1-y ■，且y(2) =0，求y(x)的极大值与极小值 【考点】微分方程、函数的极值所以：x 二114 2312\j0x （—x 2+2x+1）dx （寸 3X 2X ）0 11o （—x 2 2x 1）dx（寸 xx ）20二次型对应的系数矩阵为:0 -1 2 a2°」=O ,记特征值为、J?, '3x In （1-）【详解】17、(本题满分10分)设平面区域 D -；(x, y) 1 _x 2y 2_4,x _0, y _0^，计算Xsin(、x口dxdy •Dx+y【考点】二重积分的计算、轮换对称性 【详解】积分区域D 关于y = x 对称，利用轮对称行， 18、(本题满分10分)_2_2设函数f (u)具有2阶连续导数，z=f(e x cosy)满足—f —| = (4z e x cosy)e 2x .dx dy若 f (0) = 0 , f (0) = 0，求 f (u)的表达式•【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程 【详解】 令 u = e x cosy即：f (u) -4f(u) =u对应的齐次微分方程的特征方程为：『-4 =0解得：* = 2, r 2 二-2故齐次微分方程的通解为: 设 f *(u) =au b ，则 f * (u) =a, f * (u) =0，、 1 * 1代入微分方程解得： a ,b =0，即f (u) u44故 f (u^C 1e 2x C 2e'x 丄4所以 f (u) =2Ge 2u -2C 2ed -丄，f (u^4C 1e 2u 4C 2e ②4因为 f (0) =0， f (0) =0，代入解得：G1,C 2116 1612x1- 2 x1所以 f(u) e e u16 16419、(本题满分10分)2u2uf (u)二 Ge C 2e设函数f(x), g(x)在区间［a,b］上连续，且f(x)单调增加，Omg(x)乞1.x证明：(I) (I) 0 兰 a g(t)dt 兰X —a, X^［a,b］；ba+J g(t)dt b(II) f(x)dx » f (x)g(x)dxa -a【考点】定积分中值定理、不等式的证明【详解】(I)【解法一】因为函数g(x)在区间［a,b］上连续，且O_g(x)_1.XX x所以Odt 空g(t)dt » 1dta -a -ax即0 空g(t)dt 乞x「aa【解法二】x由定积分中值定理知：存在(a,b)，使得g(t)dt =(x-a)g( J，L a又因为x • ［a,b］时0乞g(x)空1，所以0 二(x-a)g( )^(x「a)x即0 g(t)dt _ x - aa【解法三】xx a+［g(t)dt(II )令F(x)「a f(u)g(u)du — .a a f (u)du20、(本题满分11分)设函数f(x) —，［0,1］.定义数列1 +xt(x)二f(x)，f2(X)二f ( f’X))，…，f n(x)二f (f n4(x))，-记S n是由曲线y = f n (x)，直线X =1及X轴所围平面图形的面积，求极限lim nS n. n ?:【考点】定积分求面积、函数求极限【详解】21、(本题满分11分)汙2已知函数f (x, y)满足- 2( y 1)，且f (y, y) = (y 1) - (2 - y)ln y.求曲线f (x, y) = 0 所围图形绕直线y =-1旋转所成旋转体的体积• 【考点】偏积分、隐函数、旋转体的体积 【详解】(f2由函数 f (x, y)满足 2(y1)可知：f (x,y)二 y 2 • 2y •「(x)又 f(y,y) =y 2 2y：(y) =(y 1)2-(2-y)ln y所以：(y) =1 -(2 - y)ln y所以 f(x,y)二 y 2 2y 「(x)二 y 2 2y 1 _(2 — x)ln x = (y 1)2 _(2-x)ln x 令 y 1，贝U f(x, y) =0对应的曲线方程为：z 2 =(2-x)lnx ，定义域为[1,2]则曲线f(x,y)=0所围图形绕直线y =-1旋转，即Z 2=(2-X )I nx 绕z =0旋转，所成的旋转体体积22、(本题满分11 分)3 -4'1 _2设A0 1 _1 1,E 为3阶单位矩阵2 0一(I) 求方程组 Ax =0的一个基础解系; (II) 求满足AB =E 的所有矩阵B . 【考点】解线性方程组 【详解】% = -x 4x 2 =2x 4 (I )方程组Ax =0的同解方程组为2 〜，即基础解系为 帆=3x 4 X 4 二 X 4-1(II ) Ax 二的同解方程组为: Ax 的同解方程组为: X2 X1 X3X4■■n、 1 = —X4 —1■-1"■-1x2 =2x4 +121 0的同解方程组为：，即通解为k3+X3 =3X4 +1310丿X4 = X4 + 0、、0丿4 Ax =X[ = —X4 x2=2X4 x3 —3x4X4 =X4X +2 2& -1 3k 。
2014－2015 学年 第一学期期末试卷答案
学号 姓名 成绩 考试日期： 2015年1月13日
考试科目：《应用数理统计》（B 层）
一、填空题（本题共16分，每小题4分）
1．设122,,n x x x ，是来自正态总体2(,)N μσ的简单样本，则c =
n m
m
- 时，统计量2
22112
2211
()()m
k
k k n k
k k m x
x c
x
x η-=-=+-=-∑∑服从F -分布。
2. 设12,,n x x x ，是来自正态总体2
(0,)N σ的简单样本，用2
2
21
1ˆ()n
i i nx x n σ
===∑估计2σ，则均方误差2222ˆ()E σσ
σ- 42σ 。
3．设总体X 的密度函数为22
,[0,]
(;)0,
[0,]x x p x x θθθθ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，其中0θ>，12,,,n x x x 是
来自总体X 简单样本，则2()q θθ=的矩估计ˆq
= 2
94
x 或2
1
2n i i x n =∑ 。
4．在双因素方差分析中，总离差平方和T S 的分解式为
T A B A B e S S S S S ⨯=+++
其中2
111
()p
q
r
e ijk ij i j k S x x ⋅====-∑∑∑，11r
ij ijk k x x r ⋅==∑，
则e S 的自由度是 (1)p q r - 或n pq -，其中n pqr = 。
二、（本题12分）设总体X 的密度函数为111,(0,1)
(;)0,(0,1)x x f x x θ
θθ-⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩
，其中0θ>，
12,,,n x x x 是来自总体X 的简单样本。
（1）求θ的极大似然估计ˆθ；（2）求θ的一致最小方差无偏估计；（3）问θ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证
明你的结论。
解（1）似然函数为
(1)()1
1
{01}121
1
()()
(,,,)n n
i x x n n
i L x I x x x θ
θθ-<≤<==
∏
对数似然函数为
(1)(){01}121
1
ln ()ln (1)ln ln (,,,)n n
i x x n i L n x I x x x θθθ
<≤<==-+-+∑
求导，有
2
1
ln ()1
ln n
i
i L n x θθθθ
=∂=--∂∑
令ln ()0L θθ∂=∂，可得θ的极大似然估计为1
1ˆln n
i i x n θ==-∑。
（2）因为
(1)()1
1
12{01}121
1
(,,,;)()
(,,,)n n
n i x x n n
i f x x x x I x x x θ
θθ-<≤<==
∏
(1)(){01}121
1
1
(,,,)exp{(1)ln }n n
x x n i n
i I x x x x θθ
<≤<==-∑
令1
()n
c θθ
=
，(1)(){01}12()(,,,)n x x n h x I x x x <≤<= ，1
()1w θθ
=
-，1
ln n
i i T x ==∑，由于()
w θ的值域(0,)+∞有内点，由定理2.2.4知1
ln n
i i T x ==∑是完全充分统计量。
而
1
1
1
1
(ln )(ln )i E x x x dx θθθ
-=
=-⎰
所以
1
1
(ln )(ln )n
n
i i i i E x E x n θ====-∑∑
因而11ˆln n i i x n θ==-∑既是完全充分统计量1
ln n i i T x ==∑的函数，又是θ的无偏估计，由定理2.2.5知11ˆln n
i
i x n θ==-∑是θ一致最小方差无偏估计。
（3）由于1
1ˆ()(ln )Var Var x n
θ=，而 22
111(ln )(ln )((ln ))Var x E x E x =-11
1
2
220
1
(ln )x x dx θθθθ
-=
-=⎰
所以21ˆ()Var n
θ
θ=。
又因为当(0,1)x ∈时，
2223
ln (;)12
ln f x x θθθθ∂=+∂，所以 222
ln (;)1()()f x I E θθθθ
∂=-=∂ 从而22()ˆ()()
Var n nI θθθθ'==
，即信息不等式等号成立，故11ˆln n
i i x n θ==-∑是θ的有效估计。
三、（本题12分）设n x x x ,,,21 是来自正态总体20(,)N μσ的简单样本，
其中2
0σ是已知常数，μ是未知参数。
考虑假设检验问题
0010::H H μμμμ=<
（1）求显著性水平α(01)α<<下的似然比检验；（2）求犯第二类错误的概率。
解：（1）当0μμ≤时，μ的极大似然估计为0ˆmin{,}x μ
μ=似然比统计量为 01212120sup{(,,,;)}(,,,)(,,,;)n n n p x x x x x x p x x x μμ
μλμ≤=
0201,1exp{},2x x x μμ>⎧
⎪
⎪≤=⎨⎪
⎪⎩
令x U =
，则
0122
01,(,,,)1exp{},2
n x x x x U x μλμ>⎧⎪
=⎨≤⎪⎩ 即
122
1,0(,,,)1exp{},02
n U x x x U U λ>⎧⎪
=⎨≤⎪⎩ 由于12(,,,)n x x x λ 的最小值是1，所以当0H 成立()x λ远离1时拒绝0H ，即()x c λ≥拒绝0H ，只有在0U <时才能获得，因而有
001{()}{}P x c P U c μμλα≥=≤=
又由于0H 成立时，U 服从(0,1)N ，因此11c u u αα-==-。
故似然比检验的统计量可取为
x U =
，拒绝域为121{(,,,):}n x W x x x U u α-=
≤- 。
（2）二类错误的概率为
11{}x P U z P u μαμα-->-=>-
11(u αΦ-=---
，0μμ<
四、（本题10分）考虑某四因子二水平试验，除考察因子D C B A ,,,外，还需考察交互作用B A ⨯，A C ⨯。
今选用表)2(78L ，表头设计及试验数据如表所示，所考虑指标是越小越好。
试用极差分析方法指出因子的主次顺序和较优工艺条件。
五、（本题10分）随机向量),,(321x x x 的相关系数矩阵
1
1
1R ρρρ
ρρρ
⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
（1）根据主成分75%的选取标准，若只选取一个主成分，求ρ满足的条件。
解：（1）求特征根
21||1(1)(12)1
I R λρρ
λρλρλρλρρρλ----=---=-+-----
令||0I R λ-=，可得112λρ=+，21λρ=-，11λρ=-。
若只选取一个主成分，只要1123120.83
λρλλλ+=≥++，即0.7ρ≥。
（2）求解齐次线性方程组
1232202u u u ρρρρρρρρ
ρ--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝
⎭⎝⎭
可获得对应于特征值112λρ=+
的单位特征向量为α'=，则第一主
成分为1123y x x x =+。
