高等数学课件D842空间直线

空间直线及其方程

§8.4 空间直线及其方程

ü直线的一般方程

ü直线的参数方程和对称方程

ü两直线的夹角

ü直线与平面的夹角

一、空间直线的一般方程

定义空间直线可看成两平面的交线．

Π1:A1x+B1y+C1z+D1Π2:A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0

空间直线的一般方程y

注：表示同一直线的一般方程不唯一。

确定空间直线的条件

•由两个平面确定一条直线；

•由空间的两点确定一条直线；

•由空间的一点和一个方向来确定一条直线。

二、空间直线的参数方程与对称式方程

r如果一非零向量sr一条已知直线L，向量s线L的方向向量．

设定点M0(x0,y0,z0)∈L,方向向量的定义：y

r∀M(x,y,z)∈L,0//srs={m,n,p},M0={x−x0,y−y0,z−z0}则{x−x0,y−y0,z−z0}=t{m,n,p} x=x0+mty=y0+nt z=z+pt0

消去参数t，有直线的参数方程

x−xy−yz−z==直线的对称式方程mnp

直线的一组方向数 方向向量的余弦称为直线的方向余弦.

注：

1. 表示同一直线的对称方程不唯一；

2. 对称式方程可转化为一般方程; x=x0,x−x0y−y0z−z03.==理解为:y−y=z−z.0nppn

4. 任一条直线均可表示为对称式方程.

设直线过两点M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)

r则s={x2−x1,y2−y1,z2−z1}

x−x1y−y1z−z1直线的对称方程为：==x2−x1y2−y1z2−z1

例1用对称式方程及参数方程表示直线 x+y+z+1=0.2x−y+3z+4=0

1 时间 ---------月---------日

星期----------------- 课

题 §8.6 空间直线及其方程

教学目的 掌握直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交）解决有关问题。会求点到直线的距离。

教学重点 直线方程及其求法

教学难点 直线方程及其求法

课 型 专业基础课 教学媒体

教法选择 讲 授

教 学 过 程 教法运用及板书要点

一、直线方程的三种形式

1、空间直线的一般方程（两平面的交线——交面式）

直线L可以视为两张不平行的平面的交线，故直线的一般方程为：

L：0022221111DzCyBxADzCyBxA

21~~~~~~（21//nn）

2、空间直线的对称式方程（点向式）

直线的方向向量s：与已知直线平行的非零向量s称为直线的方向向量；通常记作},,{pnms。

注：由定义，直线的方向向量不唯一。若s是直线的方向向量，则s平行于直线，当0，由于s也平行于直线，故s也是直线的方向向量；

设空间有一定点),,(0000zyxM，过0M作平行于向量},,{pnms的直线L，则此直线是唯一确定的。LzyxM),,(，则sMM//0；其中},,{pnms },,{0000zzyyxxMM

对应坐标成比例，有：pzznyymxx000 ☆

反之，若点M不在直线上，则sMM//0不成立，从而其点的坐标不满足方程☆；故称以上的方程为直线L的对称式方程，也称为直线L的点向式方程。

pzznyymxxL000:~~~~~点向式或对称式方程

注：①若pnm,,中有一个为零，如0p，则

此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 L0MM••s 2 000:0xxyymnLzz或0000:0nxmynxmyLzz~~两个平面的交线；

本授课单元教学目标或要求：

介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：直线方程的概念及其求法，线线，面面之间的相互关系

重点：1.直线方程

2.直线与平面的综合题

难点：1.直线的几种表达式

2.直线与平面的综合题

对学生的引导及重点难点的解决方法：

在上一节平面的基础上介绍空间直线的一般式方程、对称式方程、参数方程及其线面、线线之间的位置关系。直线的关键是定方向的问题，对具有明显几何特性的直线问题，就要从点和向量着手，借助向量工具求出与直线的方向向量.而对于线线、及其线面间的位置关系问题可以转变为向量与向量间的位置关系.

例题：例1：用对称式方程及参数方程表示直线

例2 一直线过点

，且和

轴垂直相交，求其方程

例3：求过点 且与两平面

和

的交线平行的直线方程

例4：求与两平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交线平行且过点（-3，2，5）的直线方程。

例5：求过点（2，1，3）且与直线

垂直相交的直线方程

例6：求直线

在平面

上的投影直线的方程

其他例题参见PPT

本授课单元教学手段与方法：

讲授教学与多媒体教学相结合，结合几何辅助。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

高等数学（同济五版）

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

高等数学（同济五版）P330---P336 注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。

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高二数学期末复习讲义（2）

空间直线

一．复习目标：

1．了解空间两条直线的位置关系．

2．掌握两条直线所成的角和距离的概念，会计算给出的异面直线的公垂线段的长．

二、基础知识；

1、目前所学过的证明线线平行的方法有：（用符号表示）

（1）公理4：——————

（2）线面平行线线平行：_____________

（3）垂直同一平面线线平行：——————

2、目前所学过的证明线线垂直的方法有：（用符号表示）

（1）线垂直面：——————

（2）三垂线定理及逆定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

（3）勾股定理的逆定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

（4）异面直线夹角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 知识店铺 - 睿科知识云

知识店铺 - 睿科知识云 3、异面直线的判定定理： ________________

异面直线的证明常用方法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

4、异面直线所成的角（1）范围：

（2）怎样找角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

（３）等角定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

５、异面直线的公垂线确定的方法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿