高等工程数学-09

高等工程数学第四版《高等工程数学第四版》是一本涵盖了高等工程数学基础知识的教材。

工程数学是一门应用数学，它将数学理论与实际工程问题相结合，为工程领域的建模、分析和解决问题提供数学工具和方法。

本教材系统地介绍了高等数学在工程领域的应用，包括微积分、线性代数、常微分方程、概率论与数理统计等内容。

微积分是工程数学的重要基础。

微积分研究的是变化量和变化率，它广泛应用于工程领域中的优化、控制、信号处理等问题。

本教材详细介绍了微积分的基本概念、导数和积分的计算方法，以及微分方程和级数的应用。

线性代数是工程数学中的重要分支。

线性代数研究的是向量空间和线性变换，它在工程领域中广泛应用于矩阵运算、线性方程组的求解、特征值和特征向量的计算等问题。

本教材系统地介绍了线性代数的基本概念、线性方程组的解法、矩阵的特征值和特征向量等内容。

常微分方程是工程数学中的重要工具。

常微分方程研究的是描述变化的函数关系，它在工程领域中广泛应用于系统动力学、电路分析、机械振动等问题。

本教材详细介绍了常微分方程的基本理论、一阶和高阶常微分方程的解法、稳定性和相图等内容。

概率论与数理统计是工程数学中的重要支柱。

概率论研究的是随机事件的概率和规律，数理统计研究的是通过样本数据对总体进行推断和决策。

它们在工程领域中广泛应用于可靠性分析、信号处理、质量控制等问题。

本教材系统地介绍了概率论的基本概念、概率分布、随机变量和随机过程，以及数理统计的基本理论、参数估计和假设检验等内容。

《高等工程数学第四版》全面而深入地介绍了高等数学在工程领域的应用。

它不仅提供了工程数学的基础知识，还通过大量的例题和习题帮助读者巩固理论知识，并培养解决实际工程问题的能力。

这本教材适用于工科专业的大学生和从事工程技术工作的工程师，它不仅可以作为课堂教学的教材，还可以作为工程数学的参考书和工程实践的指导书。

（建筑工程管理）高等工程数学试题中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2011年月日时间110分钟注：解答全部写于答题纸上壹、填空题(本题24分，每小题3分)（1）对方程，写出其Newton迭代公式【注意重根】，使得由迭代公式产生的序列能够2阶收敛于方程的唯壹正根；（2）于上，设和等价，则当满足，和时，由（）产生的序列收敛于方程的根；（3）用Doolittle分解法求方程：则：= ，= ，解= ；（4）已知，则：；；。

（5）已知于区间上通过点，则其三次样条插值函数是满足，，；（6）设有线性回归模型，其中且相互独立，写出参数的最小二乘估计。

（7）于多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。

写出三种常用的自变量的选取方法。

（8）影响数学模型数值求解结果的误差有：，，。

二、（本题8试求三次Newton三、（本题10分）引入人工变量利用大M法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：四、（本题8分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，均分别经A,B俩道工序加工，A工序于设备或上完成，B工序于，，三种设备上完成。

已知产品甲可于A，B任何壹种设备上加工；产品乙可于任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能于设备上加工；产品丙只能于和设备上加工。

加工单位产品所需要工序时间及其他数据见下表。

（1）建立线性优化模型，安排使该厂获利最大的最优生产计划（不要求计算出结果）；（2）写出所建立的模型的对偶形式。

五、（本题12分）壹种生产降血压药品的生产厂家声称，他们生产的壹种降压药服用壹周后能使血压明显降低的效率能够达到80%，今于高血压的人群中随机抽取了200人服用此药品，壹周后有148人血压有明显降低，试问生产厂家的说法是否真实？六、（本题10分）设有数值求积公式，试确定，使该数值积分公式有尽量高的代数精度，且确定其代数精度为多少。

七、（本题二、四列，解答下列问题：（1）它们的交互作用分别位于哪壹列？（2）若按这种表头作试验且测得产量为83.4,84.0,87.3,84.8,87.3,88.0,92.3,90.4，试寻找较好的生产条件。

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若方程0)(=x f 可表成)(x xϕ=，且在[,]a b 内有唯一根*x ，那么)(x ϕ满足，则由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于*x 。

（)(x ϕ满足：1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈, '()1x L ϕ≤<；）2. 已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的最速下降方向为 （最速下降方向为：()4,2Tp =-）； 3．已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的Newton 方向为 （Newton 方向为： ()2,0Tp =-）； 4．已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 （（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间[,]a b 上二阶导数连续，（3）满足插值条件(),0,1,2,,i i S x y i n ==L ）；5．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值12(,,,)n X X X L 落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为________（0.15） ；6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈 短 愈好。

但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 变长 ； 7．取步长2.0=h ，解]1,0[,1)0(2'∈⎩⎨⎧=-=x y yx y 的Euler 法公式为：（1(2)0.60.2,0,1,2,,5n n n n n n y y h x y y x n +=+-=+=L ）；8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： （模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。

⾼等⼯程数学笔记⾼等⼯程数学笔记第⼀部分矩阵理论（矩阵分析）第⼀章线性空间与线性变换⼀、线性空间的概念1.数域：含有⾮零数的数集F ，F 中四则运算封闭即F b a ∈?,，有)0(,,,≠∈∈?∈-∈+b F ba Fb a F b a F b a常见数域：有理数域Q ，实数域R ，复数域C 其他数域：{}{}{}{}1,,1,Q ,Q ,3Q ,222321-=∈+=-=∈+=∈+=∈+=i R b a bi a C i b a bi a F b a ba Fb a b a F整数集Z 不是数域数域特点：F F F ∈∈∈整数,0,1C F Q ??2.线性空间的定义设V 是⼀个⾮空集合，F 是⼀个数域，V 中元素定义了两种运算①加法②数乘即V ∈?βα,，有唯⼀V ∈+βα与之对应；F R V ∈?∈?,α，有唯⼀V k ∈α与之对应，并且满⾜：(1) V ∈?βα,，有αββα+=+(2) V ∈?γβα,,，有)()(γβαγβα++=++(3)V 中存在零元θ，使得V ∈?α，总有αθαθα+==+(4) V V ∈?∈?βα,，使得θβα=+，记αβ-=（称为α的负元） (5) F l k ∈?,，V ∈?α，有αααl k l k +=+)( (6) V F k ∈?∈?βα,,，有βαβαk k k +=+)( (7) V F l k ∈?∈?α,,，有ααα)()()(kl k l l k == (8) αααα-=-=)1(,1则称集合V 为数域F 上的⼀个线性空间。

3.线性空间的例⼦例1.(1) R F R V n ==,+++=+ =?=n nn nb a b a b a b b b a a a22112121,βαβα ??=?=∈?000,,21θαnka ka ka k F k V 称为F 的线性空间(2) C F C V n ==,，V 也构成F 上的线性空间例2. (1) R F RV nm ==?,n m ij mn m m n n n a a a a a a a a a a a a a A ?===)(21332312222111211记α V b B n m ij ∈==?)(βn m ij ij mn mn m m nn b a ba b a b a b a B A ?+=++++=+=+)(11111111βα==∈mn m m n ka ka ka ka ka ka kA k F k2111211,α=000000000θ V 构成F 上的线性空间(2) C F C V n m ==?, V 构成F 上的线性空间例3.{}R Fb a b a C V ===,],[],[成的集合上的实的连续函数所组],[)(),(b a C x g x f ∈==?βα有],[)()(b a C x g x f ∈+=+βα],[)(,b a C x kf k R k ∈=∈?αθ=恒为0的常数函数 V 构成F 上的线性空间例4.设F 为⼀个数域，令{}n n n n t F F aa a t a t a t a a V ][,,110112210记=∈++++=--- ={数域F 上关于t 的次数⼩于n 的多项式或零多项式} V 构成数域F 上的线性空间4.性质设V 是数域F 上的⼀个线性空间，则 (1) V 中零元θ⼀定存在⽽且唯⼀(2) V ∈?α，则α的负元⼀定存在⽽且唯⼀ (3) V F k ∈∈α,，则θαθα==?=或0k k 为讨论⽅便，把线性空间V 的元素称为⼴义向量。

（建筑工程管理）高等工程数学试题中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2011年月日时间110分钟注：解答全部写于答题纸上壹、填空题(本题24分，每小题3分)（1）对方程，写出其Newton迭代公式【注意重根】，使得由迭代公式产生的序列能够2阶收敛于方程的唯壹正根；（2）于上，设和等价，则当满足，和时，由（）产生的序列收敛于方程的根；（3）用Doolittle分解法求方程：则：= ，= ，解= ；（4）已知，则：；；。

（5）已知于区间上通过点，则其三次样条插值函数是满足，，；（6）设有线性回归模型，其中且相互独立，写出参数的最小二乘估计。

（7）于多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。

写出三种常用的自变量的选取方法。

（8）影响数学模型数值求解结果的误差有：，，。

二、（本题8试求三次Newton三、（本题10分）引入人工变量利用大M法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：四、（本题8分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，均分别经A,B俩道工序加工，A工序于设备或上完成，B工序于，，三种设备上完成。

已知产品甲可于A，B任何壹种设备上加工；产品乙可于任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能于设备上加工；产品丙只能于和设备上加工。

加工单位产品所需要工序时间及其他数据见下表。

（1）建立线性优化模型，安排使该厂获利最大的最优生产计划（不要求计算出结果）；（2）写出所建立的模型的对偶形式。

五、（本题12分）壹种生产降血压药品的生产厂家声称，他们生产的壹种降压药服用壹周后能使血压明显降低的效率能够达到80%，今于高血压的人群中随机抽取了200人服用此药品，壹周后有148人血压有明显降低，试问生产厂家的说法是否真实？六、（本题10分）设有数值求积公式，试确定，使该数值积分公式有尽量高的代数精度，且确定其代数精度为多少。

七、（本题二、四列，解答下列问题：（1）它们的交互作用分别位于哪壹列？（2）若按这种表头作试验且测得产量为83.4,84.0,87.3,84.8,87.3,88.0,92.3,90.4，试寻找较好的生产条件。

摘要高等工程数学是工程类硕士研究生的一门重要的数学基础课程，在研究生数学素养的训练、创新能力的提高方面具有重要作用。

内容包含矩阵论、数值计算方法和数理统计三部分，其主要内容有：先行空间与线性变换、内积空间、矩阵的标准型、数理统计的基本概念与抽样分布、参数估计、假设检验、回归分析与方差分析。

关键词：线性空间、假设检验、方差分析一、线性空间的综述简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。

线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。

1.1 数域的概念设P是一个非空数集，且至少含有非零的数，若P中任意两个数的和、差、积、商（除分母为零外）仍属于该集合，则称P是一个数域。

容易验证有理数集合Q、实数集合R与复数集合C都是数域，分别称为有理数域、实数域与复数域。

1.2 线性空间定义设V是一个非空集合，P是一个数域，如果:(1)在集合V上定义一个二维运算（通常称为加法），即对V中任意两个元素x,y经过这个运算后得到的结果，仍是集合V中唯一确定的元素，该元素称为x 与y的和记作x+y.(2)在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于P任意数λ与V中任意元素x，经过这一运算后所得到的结果，仍是V中唯一确定的元素，称为唯一确定的元素，称为λ与x的数量乘积，记作λ x。

如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间。

1.3线性空间的运算(1)对任意x,y∈V，x+y=y+x;(2)对任意x,y,z∈V，(x+y)+z=x+(y+z);(3)V中存在一个零元素，记作θ，对任意x∈V，都有x+θ=x;(4)对任意x∈V,都有y∈V，使得x+y=θ,元素y称为x的负元素，记作－x;(5)对任意x∈V,都有1x=x;对任何λ，μ∈P，x,y∈V。

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第三章）（此习题答案仅供学员作业时参考。

因时间匆忙，有错之处敬请指正，谢谢！） （联系地址：yangwq@ ）P501． 自己验证范数的三个条件2． 自己验证范数的三个条件3． （1）122222212111121()||||(||)||||||||||||||||(||1),||||||(11)||n n n n nk k i j k k k i j k n k k T nx x x x C x x x x x x x Cauchy Schwartz x x x I I x x I R x ==≠===∈==+∙≥=-=∙=<>≤∙==∈∑∑∑∑∑设，，...，，则有－－(*)另由不等式，有－－(**)其中，，...，1所以由(*)和(**)式有：212||||||||x x ≤≤(（2）121111211111()||||max ||||||||()||max ||||||||max ||||||||||||||||n n nk k k n k n i k k nn i k k n i x x x x C x x x x x x x x x x x x n x n x x x n x ∞≤≤=≤≤∞≤≤=∞∞=∈==≤=≤=≤=≤≤∑∑ 设，，...，，则有－－(*)另外对，，...，的任一分量有所以有：－－(**)所以由(*)和(**)式有：（3）12211212()||||max ||||||()||max ||||||||||||n n k k n n i k k nx x x x C x x x x x x x x x x x x ∞≤≤≤≤∞=∈==≤==≤=≤=设，，...，，则有－－(*)因对，，...，的任一分量有 所以有：－－(**)所以由(*)和(**)式有：2||||||||x x ∞∞≤≤4． 已知1321i A i -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦试求第12|||| ||||||||A A A A ρ∞，，，（）解：12222||||max{2||||max{3121365531215511655||176650(16)(1)5511||||413||(1)162421(H H A A i i i A A i i i i I A A i A iI A i λλλλλλλλλλλλλρ∞====+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦----==-+-=---+-=-+--==-+-=-----因所以)1A ==+5． 证明：(1)211H U U U II U =因是酉矩阵，所以＝而单位矩阵的特征值为，所以(2) 222222)))))H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H U U U IUA UA A U UA A AUA A AU AU U A AU U A A UA A AU AU AU A U AU U AU U A UU AU U A A UA A U AU U AU U AUA =========因是酉矩阵，所以＝（）（所以（）（（）即矩阵与（）（相似，所以有相同的特征值即（）（（）即矩阵与（）（相似，所以有相同的特征值即6． ||||=1||||=1111-1||||=max||||=max||||=11||||=||||||||||||||||||||e e I Ie e I A A A A A A ---=≤∴≥7． (1)证明：假设I －A 不可逆，则|I-A|=0，即1是A 的特征值，所以 ()1()()1A A A A A A ρρρ≥≤<又因为对的任一范数，都有所以由题设知矛盾，所以I －A 可逆(2) 由||||||||||||||||1||||||||||||||||||||11||||1||||1||||I A I A I I A I A A II A I I A AI A I I A A I I A A I A A I A I A A A I A A --⇒--⇒-+-∴-=+-≤+-≤+-∴---≤<-≤- -1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1()()=()-()=()=()()()()()()()由得() 得证明：1||||0.9 ()<1lim k k A A A O ρ→∞=∴∴=（2）2||(2)() ()=2||1|lim 2k k c c I B cc c c B c c c c B O λλλλλρλ→∞---=--=-+∴--∴<= 当|时，9．(1) 解： 21334(4)(1)22()41A A λλλλλλρ--=--=-+--∴=>故发散(2) 因为收敛半径为：R=5，所以收敛10．解： 1210.10.80.60.30.90.534140.90771300.511773490111425371773311311702835377k k A A A A λλ∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==-⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑设的特征值为，，所以(1) 222sin 2cos(2)sin 2sin()sin cos()sin cos 2sin(2)cos 2cos()cos sin()cos t tt At t t t e te e e e te e t t t t At t t t t t t t t At t t t t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(2) 222sin 2cos(2)sin 2sin()sin cos()sin cos 2sin(2)cos 2cos()cos sin()cos tt t At t t t e te e e e te e t t t t At t t t t t t t t At t t t t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦12． 解： A 的特征值为：－1，1，22221166110221102211sin 2(2sin 2sin )(sin 22sin )33sin()00sin 0sin 021cos 2(cos 2cos )(co 33cos()t t t t t t t At t t t t t t t t ee e e e e e e e e e e e e e e tt t t t At t t t t t At ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=（4-3-）（2-3+）（）（）（）（）s 2cos )0cos 000cos t t t t ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦13．解： A 的特征值为：1，1，42ln 1110240.5 1.50.50.50.5 2.5A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦-ln4-2ln4+6ln4-1-ln4+33。