现代高等工程数学1(1)

第2章 线性代数方程组数值解法 研究n 阶线性方程组Ax b =的数值解法.()ij A a =是n n⨯矩阵且非奇异，12(,,,)Tn x x x x =,12(,,,)T n b b b b =两类数值方法：(1) 直接法：通过有限次的算术运算，若计算过程中没有舍入误差，可以求出精确解的方法.Ax bGx d ==等价变换G 通常是对角矩阵、三角矩阵或者是一些结构简单的矩阵的乘积.(2) 迭代法：用某种极限过程去逐次逼近方程组的解的方法.(1)()i i Ax bx Bx k x Bx k +==+−−−−−→=+等价变换建立迭代格式，0,1,i =一、向量范数与矩阵范数 1. 向量范数【定义】 若对nK 上任一向量x ，对应一个非负实数x ，对任意,nx y R ∈及K α∈，满足如下条件(向量范数三公理) (1) 非负性：0x ≥，且0x =的充要条件是0x =；(2)齐次性：x xαα=；(3)三角不等式：x y x y+≤+.则称x为向量x的范数.常用的向量范数： (1) 1—范数11nii x x ==∑(2) 2—范数12221()ni i x x ==∑(3) ∞—范数1max ii nxx ∞≤≤=(4) 一般的p —范数11()pnpi pi xx ==∑2. 矩阵范数【定义】 若n nK ⨯上任一矩阵()ij n n A a ⨯=，对应一个非负实数A ，对任意的,n nA B K ⨯∈和K α∈，满足如下条件(矩阵范数公理)：(1) 非负性：0A ≥，且0A =的充要条件是0A =；(2)齐次性：A Aαα=；(3)三角不等式：A B A B +≤+；(4)乘法不等式：AB A B≤.则称A为矩阵A的范数.矩阵范数与向量范数是相容的：Ax A x≤向量范数产生的从属范数或算子范数：10max maxx x AxA Ax x=≠==常见从属范数：(1) 1—范数111max ||nij j ni A a ≤≤==∑(2) ∞—范数11max ||nij i nj A a ∞≤≤==∑(3) 2—范数2A =谱半径1()max ||H i i n A A ρλ≤≤=，iλ为H A A 的特征值.H A 为A 的共轭转置. 注：矩阵A 的谱半径不超过A 的任一范数，即()A A ρ≤范数等价性定理：,s t x x为n R 上向量的任意两种范数，则存在常数12,0c c >，使得12,ns t s c x x c x x R ≤≤ ∀∈.注：矩阵范数有同样的结论. 【定理2.1】是任一向量范数，向量序列()k x 收敛于向量*x 的充要条件是()*0,k x x k -→ →∞二、 Gauss 消去法 1．顺序Gauss 消去法 将方程Ax b =写成如下形式11112211,121122222,11122,1n n n n n n n n nn n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ++++++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩其中记,1,1,2,,.i n i a b i n +==消元过程：第一次消元：设110a ≠，由第2,3,,n 个方程减去第一个方程乘以1111/(2,3,,)i i m a a i n ==，则将方程组中第一个未知数1x消去，得到同解方程11112211,1(1)(1)(1)22222,1(1)(1)(1)22,1n n n n n n n nn n n n a x a x a x a a x a x a a x a x a ++++++=⎧⎪ ++=⎪⎨⎪⎪ ++=⎩其中，(1)11,2,3,,;2,3,,,1ij ij i j a a m a i n j n n =-==+. 1111/i i m a a =，2,3,,i n =.第二次消元：设(1)220a ≠，.由第2,3,,n 个方程减去方程组中的第2个方程乘以(1)(1)2222/(3,4,,)i i m a a i n ==，则将方程组第2个未知数2x 消去，得到同解方程11112213311,1(1)(1)(1)(1)2222322,1(2)(2)(2)33333,1(2)(2)(2)33,1n n n n n n n n n n nn n n n a x a x a x a x a a x a a x a a x a x a a x a x a ++++++++=⎧⎪ +++=⎪⎪ ++=⎨⎪⎪⎪ ++=⎩其中(2)(1)(1)22, 3,4,,; 3,4,,,1ij ij i j a a m a i n j n n =-==+. (1)(1)2222/i i m a a =，3,4,,i n =.经过1n -次消元后，原方程组变成等价方程组11112213311,1(1)(1)(1)(1)2222322,1(2)(2)(2)33333,1(1)(1),1n n n n n n n n n n n nn n n n a x a x a x a x a a x a a x a a x a x a a x a +++--+++++=⎧⎪ +++=⎪⎪ ++=⎨⎪⎪⎪ =⎩其中()(1)(1), 1,2,,k k k ij ij ik ij a a m a i k k n --=-=++， 1,2,,,1j k k n n =+++.(1)(1)/k k ik ik kkm a a --=，1,2,,i k k n =++；1,2,,1k n =-.回代过程：(1)(1),1(1)(1)(1),1,,1/[]/,1,2,,2,1.n n n n n m n i i i ii n i j j i j j i x a a x a a x a i n n --+---+=+⎧=⎪⎨=-=--⎪⎩∑计算量：按常规把乘除法的计算次数合在一起作为Gauss 消去法总的计算量，而略去加减法的计算次数. 在消去过程中，对固定的消去次数(1,2,,1)k k n =-，有：除法(1)(1),,/,1,1,,k k ik i k k k m a a i k k n --= =++ 共计n k -次；乘法(1),,1,2,,;1,2,,,1k ik k j m a i k k n j k k n n - =++ =+++共计()(1)n k n k --+次.因此，消去过程总的计算量为1311[()(1)]3n k M n k n k n k n-==--++-≈∑ 回代过程的乘除法计算次数为21()2n n +.与消去法计算量相比可以略去不计.所以， Gauss 消去法总的计算量大约为313n .2. Gauss-Jordan 消去法Gauss-Jordan 消去法是Gauss 消去法的一种变形.此方法的第一次消元过程同Gauss 消去法一样，得到(1)(1)(1)(1)11112213311,1(1)(1)(1)(1)22223322,1(1)(1)(1)(1)32233333,1(1)(1)(1)(1)2233,1,,,,n n n n n n n n n nn nn n n n a x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ++++⎧++++=⎪ +++=⎪ +++=⎨ +++=⎪⎪⎪⎪⎩其中，(1)11,2,,,1jj a a j n n ==+. 第二次消元：设(1)220a ≠，由第1,3,4,,n 个方程减去第2个方程乘以(1)(1)2222/(1,3,4,,)i i m a a i n ==,则得到同解方程组(2)(2)(2)11113311,1(1)(2)(2)(2)22223322,1(2)(2)(2)33333,1(2)(2)33,1,,,n n n n n n n n n nnn n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a a x a x a +++++ +++= +++= ++= ++=(2),⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩继续类似的过程，在第k 次消元时，设(1)k kk a -，将第i个方程减去第k 个方程乘以(1)(1)/k k ik ik kk m a a --=，这里1,3,4,1,1,,i k k n =-+.经过1n -次消元，得到(2)1111,1(1)(2)2222,1(2)(2)33,1,,,n n n n n a x a a x a a x a +++⎧ =⎪ =⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ =⎩其中()(1)(1),1,2,,1,1,,k k k ij ij ik kj a a m a i k k n --=-=-+；1,2,,,1; 1,2,,1j n n k n =+=-.此时，求解回代过程为(1)(1),1/,1,2,,n i i i n iix a a i n --+= =经统计，总的计算量约为312M n ≈次乘除法. 从表面上看Gauss-Jordan 消去法似乎比Gauss 消去法好，但从计算量上看Gauss －Jordan 消去法明显比Gauss消去法的计算量要大，这说明用Gauss-Jordan 消去法解线性方程组并不可取.但用此方法求矩阵的逆却很方便. 3．列选主元Gauss 消去法在介绍Gauss 消去法时，始终假设(1)0k kk a -≠，称(1)k kk a -为主元.若(1)0k kka -=，显然消去过程无法进行.实际上，既使(1)0k kka -≠，但(1)k kka -很小时，用它作除数对实际计算结果也是很不利的.称这样的(1)k kka -为小主元.【例2.2】设计算机可保证10位有效数字，用消元法解方程1112120.3100.7,0.9,x x x x -⎧⨯+=⎪⎨ +=⎪⎩【解】经过第一次消元：第2个方程减去第1个方程乘以212111/m a a =得1112(1)(1)222230.3100.7x x a x a -⎧⨯+=⎪⎨ =⎪⎩其中(1)1222222111/0.333333333310a a a a =-=-⨯，(1)123323211113(/)0.233333333310a a a a a =-⋅=-⨯于是解得(1)(1)223221/0.7000000000,0.0000000000,x a a x ⎧==⎪⎨=⎪⎩而真解为120.2,0.7x x = =注：造成结果失真的主要因素是主元素11a太小，而且在消元过程中作了分母，为避免这个情况发生，应在消元之前，作行交换.【定义】 若 (1)(1)||max ||k k k r k ik k i na a --≤≤=，则称(1)||k k r k a - 为列主元素. k r 行为主元素行，这时可将第 k r行与第k 行进行交换，使(1)||k k r k a - 位于交换后的等价方程组的 (1)k kk a - 位置，然后再施实消去法，这种方法称为列选主元Gauss 消去法或部分主元Gauss 消去法.【例2.3】 应用列选主元Gauss 消去法解上述方程. 【解】 因为2111a a >，所以先交换第1行与第2行，得1211120.9,0.3100.7,x x x x -⎧+=⎪⎨⨯+=⎪⎩ 然后再应用Gauss 消去法，得到消元后的方程组为1220.9,0.7.x x x ⎧+=⎨=⎩回代求解，可以得到正确的结果.即120.2,0.7x x = =.三、三角分解法 设方程组Ax b =的系数矩阵A 的顺序主子式不为零.即1112121222110,1,2,,.kk k k k kka a a a a a k n a a a ∆=≠=在Gauss 消去法中，第一次消元时，相当于用单位下三角阵211131111010010n m L m m -⎡⎤⎢⎥- ⎢⎥⎢⎥=- ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- ⎢⎥⎣⎦，左乘方程组Ax b =，得11A x b =，其中11121(1)(1)122211(1)200n n n nn a a a a a A L a a -(1)⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥==⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦，1(1)(1)111,11,1,1(,,,)Tn n n n b L b a a a -+++==.第二次消元时，相当于用单位下三角阵1232210101001n L m m - ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= - ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ - ⎢⎥⎣⎦0，左乘方程组11A x b =，得22A x b =其中11121(1)(1)22211(2)(2)221333(2)(2)300000n n n n nn a a a a a A L L A a a a a --⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥== ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦，11(1)(2)(2)2211,12,13,1,1(,,,,).Tn n n n n b L L b a a a a --++++==经过1n -次消元，最后得到等价方程组11n n A x b --=其中11121(1)222111111221(1)n n n n n n nn a a a a a A L L L L A a (1)--------⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦1111(1)(1)112221,12,1,1(,,,)n Tn n n n n n n b L L L L b a a a --------+++==注意到1n A -是一个上三角阵，记111111221n n n U A L L L L A -------==则121()n A L L L U LU -==其中，121n L L L L -=.不难验证21313212_1111n n nn m L m m m m m ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ 1 ⎢⎥⎣⎦是单位下三角阵.于是解线性方程组Ax b =，就转化为解方程 LUx b =，若令Ux y =就得到一个与 Ax b =等价的方程组Ly b Ux y =⎧⎨=⎩【定理2.2】 若 A 为 n 阶方阵，且 A 的所有顺序主子式0k ∆≠，1,2,,k n =.则存在唯一的一个单位下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U ，使A LU =.在上述过程中，若不假设A 的顺序主子式都不为零，只假设A 非奇异，那么Gauss 消去法将不可避免要应用两行对换的初等变换.第一次消元，将第1行与第1r行交换，相当于将方程组Ax b =左乘矩阵11r P： 1111r r P Ax P b=经第一次消元得11111111r r L P Ax L P b--=即系数矩阵为11111r A L P A-=，其中110111r P⎡⎢ ⎢1= 1 0 1 ⎣0 0⎤⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦1 列 1r列 类似地，经1n -次消元，有121111111,22,11n n n n n r n n r r A L P L P L P A----------=.如果预先知道每一个(1,2,,1)iir P i n =-，则在消元之前就全部作交换，得 1211,2,1,n n n r n r r A P P P A PA----==，其中，1211,2,1,n n n r n r r P P P P ----=.即原方程变为PAx Pb =然后再消元，相当于对PA 做三角分解PA LU =由以上讨论，可得结论 【定理2.3】 若A 非奇异，则一定存在排列矩阵 P ，使得 PA 被分解为一个单位下三角阵和一个上三角1 行1行r阵的乘积，即PA LU =成立.这时，原方程组Ax b = 等价于 PAx Pb =，即等价于求解LUx Pb =令Ux y =则Ly Pb =实际求解时，先解方程组Ly Pb =,再根据 y 求解 Ux y =,即得原方程组Ax b =的解. 这种求解方法称为三角分解法.常用三角分解方法有以下几种. 1．Doolittle 分解方法 假设系数矩阵A 不需要进行行交换，且三角分解是唯一的. 记21121110n n l L l l ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦,11121222n n nn u u u u u U u ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥ 0 ⎣⎦ 于是有1112111121222212222112111110n n n n n n n n nn a a a u u u u u a a a l l l a a a ⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦nn u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥0 ⎣⎦从前面讨论A 的LU 分解过程可看出,L 、U 的元素都是用有关的(1)k ij a -来表示的，而它们的计算较麻烦.现在给出直接从系数矩阵A ，通过比较等式的两边逐步把L 和U 构造出来的方法，而不必利用Gauss 消去法的中间结果(1)k ij a -.计算步骤： (1) 由L 阵的第1行分别乘U 阵的各列，先算出U 阵的第1行元素 11,1,2,,j j u a j n = =.然后，由L 阵的各行分别去乘U 阵的第1列，算出L 阵的第1列元素1111/,2,3,,i i l a a i n = =.(2)现假设已经算出U 阵的前1r -行元素，L 阵的前1r -列元素，下面来算U 阵的第r 行元素，L 阵的第r 列元素.由L 阵的第r 行分别乘U 阵的第j 列(,1,,)j r r n =+，得11r ij rk kj rjk a l u u -==+∑所以，得U 阵的第r 行元素11,,1,,r rj rj rk kj k u a l u j r r n-==- =+∑.再由L 阵的第i 行(1,2,,)i r r n =++分别去乘U 阵的第r 列,得11r ir ik kr ir rrk a l u l u -==+∑,所以，得L 阵的第r 列元素11[]/,1,2,,.r ir ir ik kr rr k l a l u u i r r n -==- =++∑取1,2,,r n =逐步计算，就可完成三角分解A LU =；(3)解与Ax b = 等价的方程组Ly b Ux y =⎧⎨=⎩逐次用向前代入过程先解Ly b = 得1111,2,3,,.i i i ij j j y b y b l y i n -==⎧⎪⎨=- =⎪⎩∑然后再用逐次向后回代过程解Ux y =得1/,()/,1,2,,2,1.n n nn n i i ij j ii j i x y u x y u x u i n n =+=⎧⎪⎨=- =--⎪⎩∑2．Crout 分解方法 仍假设系数矩阵A 不需要进行行交换，且三角分解是唯一的.即ˆA L=ˆU .与Doolittle 分解方法的区别在111212122211n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦1122ˆˆl l ⎡⎤ 0⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦122ˆ1ˆ10n u u ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ 1 ⎣⎦ 比较两边，则可推导出与Doolittle 分解方法类似的公式，不过Crout 分解方法是先算ˆL 的第r 列，然后再算ˆU的第r 行.3．Cholesky 分解方法若 A 为对称正定矩阵，则有 ˆT U L =，即1122()()TT T A LDL LD LD LL ===其中L 为下三角阵. 进一步展开为1121111211112122221222221212n n n n n n nn n n nn a a a l l l l a a a l l l l l l l a a a ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥ 0 ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦⎣⎦0nn l ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 比较两边对应元素，容易得到12121()r rr rr rk k l a l -==-∑ ，11()/r ir ir ik rk rrk l a l l l -==-∑ 1,2,,;1,2,,.r n i r r n ==++Cholesky 分解的优点：不用选主元. 由21rrr rk k a l ==∑ 可以看出||1,2,,.rk l k r ≤=这表明中间量rk l得以控制，因此不会产生由中间量放大使计算不稳定的现象. Cholesky 分解的缺点：需要作开方运算. 改进的Cholesky 分解： 改为使用分解T A LDL =即11121121121221222121111n n n n n n n n nn a a a d l l l d a a a l l d a a a ⎡⎤ 1 ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 1 1 ⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦2n l ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ 1⎣⎦其中21ˆl 1ˆn l 2ˆn l ˆnn l 1ˆn u12111()/r r rr rk k k r ir ir ik k rk rk d a l d l a l d l d-=-=⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑，1,2,,;1,2,,.r n i r r n ==++ Cholesky 分解方法或平方根法：应用Cholesky 分解可将Ax b =分解为两个三角形方程组T Ly b L x y ⎧= ⎪⎨= ⎪⎩分别可解得111111/,()/.i i i ik k ii k y b l y b l y l i n -=⎧=⎪⎨=-, =2,3,,⎪⎩∑和1/,()/1,.n n nn n i i ki k ii k i x y l x y l x l i n n =+⎧=⎪⎨=-, =--2,,2,1⎪⎩∑改进的Cholesky 分解方法或改进的平方根法：应用改进的Cholesky 分解，将方程组Ax b =分解为下面两个方程组1,,T Ly b L x D y -= ⎧⎨= ⎩同理可解得1111,,2,3,,.i i i ik k k y b y b l y i n ==⎧=⎪⎨=- =⎪⎩∑和1/,/,1,2,,2,1.n n n n i i i ki k k i x y d x y d l x i n n =+⎧=⎪⎨=- =--⎪⎩∑4．解三对角方程组的追赶法若()ij n n A a ⨯=满足1||||,1,2,,.nii ij j j ia a i n =≠> =∑则称A 为严格对角占优矩阵.若A 满足1||||,1,2,,.nii ij j j ia a i n =≠≥ =∑且其中至少有一个严格不等式成立，则称A 为弱对角占优矩阵.现在考虑Ax d = 的求解，即11112222211111n n n n n n n n n b c x d a b c x d a b c x d d a b x -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ = ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 系数矩阵A 满足条件11||||0,||||||,,0,2,3,, 1.||||0,i i i i i n n b c b a c a c i n b a ⎧>>⎪≥+ ≠=-⎨⎪>>⎩采用Crout 分解方法11112222221111n n n n n n n b c a b c a b c a b βαβγαγα---⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥ 1 ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ = ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦1n β-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥1 ⎢⎥⎢⎥ 1 ⎣⎦其中，,,i i i αβγ为待定系数.比较上式两边可得到111111,;,,2,3,,;,2,3,, 1.i i i i i i i i i b c a b i n c i n ααβγγβααβ-= == =+ == =-进而可导出1111111,2,3,,.,/,,2,3,,./(),2,3,, 1.i i i i i i ii i i i a i n b c b b i n c b i n γαβααββαβ--⎧= =⎪= =⎪⎨=- =⎪⎪=- =-⎩由此可看出，真正需要计算的是(1,2,,1)i n β=-，而i α可由,i i b a 和1i β-产生.因此，实现了A 的Crout 分解后，求解Ax d =就等价于解方程组Ly dUx y =⎧⎨=⎩从而得到解三对角方程组的追赶法公式： (1) 计算i β的递推公式：1111/,/(),2,3,, 1.i i i i i c b c b i n ββαβ-⎧=⎪⎨=- =-⎪⎩(2) 解方程组Ly d =：11111/()/(),2,3,,.i i i i i i i y d b y d a y b a i n β--⎧=⎪⎨=-- =⎪⎩(3) 解方程组Ux y =：1,1,2,,2,1.n n i i i i x y x y x i n n β+⎧=⎪⎨=- =--⎪⎩追赶法的乘除法次数是66n -次.将计算121n βββ-→→→及12n y y y →→→的过程称之为“追”的过程，将计算方程组Ax d =的解121n n x x x x -→→→→的过程称之为“赶”的过程.四、迭代法 将Ax b =改写为一个等价的方程组 x Bx k =+建立迭代公式 (1)(),0,1,2,.i i x Bx k i +=+ =称矩阵B 为迭代矩阵.【定义】 如果对固定的矩阵B及向量k，对任意初始猜值向量(0)x ，迭代公式(1)()i i +()i()*lim i i x x →+∞=成立，其中*x 是一确定的向量，它不依赖于(0)x 的选取.则称此迭代公式是收敛的，否则称为发散的.如果迭代收敛，则应有**,x Bx k =+1. 收敛性()()*,0,1,2,i i x x i ε=- =为第i步迭代的误差向量.则有(1)(1)*()*()(),0,1,2,.x x B x x B i εε++=-=-==所以，容易推出()(0),0,1,2,,i i B i εε= =其中，(0)(0)*xxε=-为初始猜值的误差向量.设n nB K ⨯∈，lim 0i i B →+∞=⇔ ()1B ρ<.迭代法收敛基本定理： 下面三个命题是等价的 (1) 迭代法(1)()i i x Bx k +=+收敛；(2)()1B ρ<；(3) 至少存在一种矩阵的从属范数⋅，使1B <注：当条件()1B ρ<难以检验时，用1B 或B ∞等容易求出的范数，检验11B <或1B∞<来作为收敛的充分条件较为方便.常用迭代法如下. 2．Jacob 迭代 考察线性方程组Ax b =，设A 为非奇异的n 阶方阵，且对角线元素0ii a ≠(1,2,,)i n =.此时，可将矩阵A 写成如下形式A D L U =++, 1122(,,,)nn D diag a a a =，21313212000n n a L a a a a ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ 0 ⎢⎥⎣⎦,12131232000n n a a a a a U ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= 0 ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦,建立Jacobi 迭代公式(1)1()1(),i i x D L U x D b +--=-++迭代矩阵11()J B D L U I D A --=-+=-J B 的具体元素为112111122122221200n n J n n nn nn a a a a a a B a a a a a a ⎡⎤ - -⎢⎥⎢⎥⎢⎥- - ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- - 0 ⎢⎥⎣⎦ Jacobi 迭代法的分量形式如下1(1)()()111(),j n i i i jj jm m jm m m m j jj xb a x a x a -+==+=--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =3．Gauss-Seidel 迭代容易看出，在Jacobi 迭代法中，每次迭代用的是前一次迭代的全部分量()(1,2,,)i jx j n =.实际上，在计算(1)i j x +时，最新的分量(1)(1)(1)121,,,i i i j x x x +++-已经算出，但没有被利用.事实上，如果Jacobi 迭代收敛，最新算出的分量一般都比前一次旧的分量更加逼近精确解，因此，若在求(1)i j x+时，利用刚刚计算出的新分量(1)(1)(1)121,,,i i i j x x x+++-，对Jacobi 迭代加以修改，可得迭代公式1(1)(1)()111(),j ni i i jj jm m jm m m m j jj xb a x a x a -++==+=--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =矩阵形式(1)1()1()(),0,1,2,.i i x D L Ux D L b i +--=-++-+=1()G B D L U -=--+注：（1）两种迭代法均收敛时，Gauss-Seidt 迭代收敛速度更快一些.（2）但也有这样的方程组，对Jacobi 迭代法收敛，而对Gauss-Seidel 迭代法却是发散的. 【例2.4】 分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下面的方程组121232342,46,4 2.x x x x x x x ⎧- =⎪-+-=⎨⎪-+=⎩初始猜值取0(0,0,0)x =. 【解】 Jacobi 迭代公式为(1)()12(1)()()213(1)()321(2),41(6),0,1,2,41(2),4i i i i i i i x x x x x i x x +++⎧=+⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪=+⎪⎩迭代计算4次的结果如下 (1)(2)(3)(4)(0.5,1.5,0.5),(0.875,1.75,0.875),(0.938,1.938,0.938),(0.984,1.969,0.984).T T T T x x x x ====Gauss-Seidel 迭代公式为(1)()12(1)(1)()213(1)(1)321(2),41(6),0,1,2,41(2),4i i i i i i i x x x x x i x x +++++⎧=+⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪=+⎪⎩迭代计算4次的结果如下(1)(2)(3)(4)(0.5,1.625,0.9063),(0.9063,1.9532,0.9883),(0.9883,2.0,0.9985),(0.9985,1.999,0.9998).T T T T x x x x ====从这个例子可以看到，两种迭代法作出的向量序列(){}i x 逐步逼近方程组的精确解*(1,2,1)T x =,而且Gauss-Seidel 迭代法收敛速度较快.一般情况下，当这两种迭代法均收敛时，Gauss-Seidt 迭代收敛速度更3．超松弛迭代法为了加快迭代的收敛速度，可将Gauss-Seidel 迭代公式改写成1(1)()(1)()11(),j ni i i i jjj jm m jm m m m jjj xx b a x a x a -++===+--∑∑ 1,2,,;0,1,2,.j n i = =并记1(1)(1)()11(),j ni i i jj jm m jm m m m jjj rb a x a x a -++===--∑∑称 (1)i j r + 为 1i + 步迭代的第 j 个分量的误差向量.当迭代收敛时，显然有所有的误差向量(1)0(),1,2,,.i j r i j n +→→∞=为了获得更快的迭代公式，引入因子R ω∈，对误差向量 (1)i j r + 加以修正，得超松弛迭代法（简称SOR 方法）(1)()(1),0,1,2,.i i i j j j x x r i ω++=+ =即1(1)()(1)()1(),j ni i i i jjj jm mjm m m m jjjxx b a xa x a ω-++===+--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =适当选取因子ω，可望比Gauss-Seidel 迭代法收敛得更快.称ω为松弛因子.特别当1ω=时，SOR 方法就是Gauss-Seidel 迭代法.写成矩阵向量形式(1)1()1()[(1)](),j i x D L D U x D L b ωωωωω+--=+--++0,1,2,.i =迭代矩阵为1()[(1)].B D L D U ωωωω-=+--实际计算时，大部分是由计算经验或通过试算法来确定opt ω的近似值.所谓试算法就是从同一初始向量出发，取不同的松驰因子ω迭代相同次数(注意：迭代次数不应太少)，然后比较其相应的误差向量()()i i r b Ax =-(或()(1)i i x x --)，并取使其范数最小的松弛因子ω作为最佳松弛因子opt ω的近似值.实践证明，此方法虽然简单，但往往是行之有效的. 4．迭代收敛其它判别方法：用迭代法收敛基本定理来判断收敛性时，当n 较大时，迭代矩阵的谱半径计算比较困难，因此，人们试图建立直接利用矩阵元素的条件来判别迭代法的收敛定理. （1） 若方程组Ax b =中的系数矩阵A 是对称正定阵，则Gauss-Seidel 迭代法收敛. 对于SOR 方法，当02ω<< 时迭代收敛（2）若A 为严格对角占优阵，则解方程组 Ax b = 的Jacobi 迭代法，Gauss －Seidel 迭代法均收敛. 对于SOR 方法，当01ω<< 时迭代收敛.【例2.5】 设线性方程组为121221,32,x x x x ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩建立收敛的Jacobi 迭代公式和Gauss －Seidel 迭代公式. 【解】 对方程组直接建立迭代公式，其Jacobi 迭代矩阵为0230J B -⎡⎤=⎢⎥- ⎣⎦，显见谱半径()1J B ρ=>，故Jacobi 迭代公式发散.同理Gauss －Seidel 迭代矩阵为0206G B -⎡⎤=⎢⎥ ⎣⎦，谱半径()61G B ρ=>，故Gauss －Seidel 选代公式也发散. 若交换原方程组两个方程的次序，得一等价方程组121232,21,x x x x ⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩其系数矩阵显然对角占优，故对这一等价方程组建立的Jacobi 迭代公式，Gauss －Seidel 迭代公式皆收敛. （3）SOR 方法收敛的必要条件是 02ω<<【定理2.5】 如果A 是对称正定阵，且02ω<<，则解Ax b =的SOR 方法收敛.注：当(0,2)ω∈ 时，并不是对任意类型的矩阵A ，解线性方程组Ax b =的SOR 方法都是收敛的.当SOR 方法收敛时，通常希望选择一个最佳的值opt ω使SOR 方法的收敛速度最快.然而遗憾的是，目前尚无确定最佳超松弛因子opt ω的一般理论结果.实际计算时，大部分是由计算经验或通过试算法来确定opt ω的近似值.所谓试算法就是从同一初始向量出发，取不同的松驰因子ω迭代相同次数(注意：迭代次数不应太少)，然后比较其相应的误差向量()()i i r b Ax =-(或()(1)i i x x --)，并取使其范数最小的松弛因子ω作为最佳松弛因子opt ω的近似值.实践证明，此方法虽然简单，但往往是行之有效的.【例2.6】 求解线性方程组Ax b =，其中10.3000900.308980.30009100.4669110.274710.30898A - -- -0.46691 0= - -- 00.274711(5.32088,6.07624,8.80455,2.67600).T b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ - ⎣⎦ =-分别利用Jacobi 迭代法，Gauss －Seidel 迭代法，SOR 迭代法求解. 【解】其结果列入下表中，方程组精确解(五位有效数字)为*(8.4877,6.4275, 4.7028,4.0066).T x =-Jacobi 迭代法计算结果i()1i x()2i x()3i x()4i x()2||||i r0 012.3095 1 5.3209 6.0762 －8.8046 2.6760 5.3609 2 7.9711 3.5621 －5.2324 1.90143.631820 8.4872 6.4263 －4.7035 4.0041 0.0041 218.48606.4271 －4.7050 4.0063 0.0028Gauss-Seidel 迭代法计算结果i()1i x()2i x()3i x()4i x()2||||ir0 012.3095 1 5.3209 7.6730 －5.2220 2.8855 3.6202 2 8.5150 6.1933 －5.1201 3.9004 0.4909 8 8.4832 6.4228 －4.7064 4.0043 0.0078 98.48556.4252－4.70554.00550.0038SOR 迭代法计算结果（1.16ω=）i()1i x()2i x()3i x()4i x()2||||i r0 012.3095 1 6.1722 9.1970 －5.2320 3.6492 3.6659 2 9.6941 6.1177 －4.8999 4.4335 1.3313 6 8.4842 6.4253 －4.7005 4.4047 0.0051 78.48686.4288－4.70314.00650.0016计算结果表明，若求出精确到小数点后两位的近似解，Jacobi 迭代法需要21次，Gauss －Seidel 迭代法需要9次，而SOR 迭代法(选松弛因子 1.16ω=)仅需要7次，起到加速作用.5．误差分析 【定理2.6】设 *x 是方程 Ax b = 的惟一解，v ⋅ 是某一种向量范数，若对应的迭代矩阵其范数1v B <，则迭代法(1)(),0,1,2,.i i xBx k i +=+ = 收敛，且产生向量序列(){}i x 满足()*()(1)||||||||||||1||||i i i vv vvB x x x x B --≤--()*(1)(0)||||||||||||1||||i i vv vvB x x x x B -≤--【证明】 由迭代收敛基本定理的(3)知，迭代法(1)(),0,1,2,.i i x Bx k i +=+ =收敛到方程的解*x .于是，由迭代公式立即得到(1)*()*(1)()()(1)(),().i i i i i i x x B x x x x B x x ++--=--=-为书写方便把v 范数中v 略去，有估计式(1)*()*||||||||||||,i i x x B x x +-≤⋅-(1)()()(1)||||||||||||.i i i i x x B x x +--≤⋅-再利用向量范数不等式||||||||||||x y x y -≥-于是得第一个不等式()(1)(1)()()*(1)*()*||||||||||||||||||||(1||||)||||,i i i i i i i B x x x x x x x x B x x -++ -≥-≥--- ≥--再反复递推即第二个不等式.注：（1）若事先给出误差精度ε，利用第二个不等式可得到迭代次数的估计(1)(0)(1||||)ln ln ||||||||v v v B i B x x ε⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦ （2）在||||v B 不太接近1的情况下，由第一个不等式，可用()(1)||||i i v x x ε--<作为控制迭代终止的条件，并取 ()i x 作为方程组 Ax b = 的近似解.但是在||||v B 很接近1时，此方法并不可靠.一般可取1,2,v =∞或F .【例2.7】 用Jacobi 迭代法解方程组123123123202324,812,231530.x x x x x x x x x ⎧++=⎪++=⎨⎪-+=⎩问Jacobi 迭代是否收敛?若收敛，取(0)(0,0,0)T x =，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于610-?【解】Jacobi 迭代的分量公式为(1)()()123(1)()()213(1)()()3121(2423)201(12),0,1,2,81(3022),15i i i i i i i i i x x x x x x i x x x +++⎧=--⎪⎪⎪=-- =⎨⎪⎪=-+⎪⎩Jacobi 迭代矩阵J B 为130102011088210155J B ⎡⎤ - -⎢⎥⎢⎥⎢⎥=- -⎢⎥⎢⎥⎢⎥- ⎢⎥⎣⎦，由5251||||max ,,1208153J B ∞⎧⎫==<⎨⎬⎩⎭知，Jacobi 迭代收敛. 因设(0)(0,0,0)Tx =，用迭代公式计算一次得(1)(1)(1)12363,, 2.52x x x = = =而(1)(0)|||| 2.x x ∞-=于是有6110(1)13ln ln 13.23i -⎡⎤⋅-⎢⎥>=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以，要保证各分量误差绝对值小于610-，需要迭代14次.【例2.8】 用Gauss －Seidel 迭代法解例2.11中的方程组，问迭代是否收敛?若收敛，取(0)(0,0,0)Tx =，需要迭代多少次，才能保证各分量误差的绝对值小于610-?【解】 Gauss －Seidel 迭代矩阵G B 为102403601()03025524000G B D L U - - ⎡⎤⎢⎥=-+= -⎢⎥⎢⎥ 38 -3⎣⎦显然1||||14G B =<，所以迭代收敛. Gauss －Seidel 迭代分量公式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3121(2423),201(12),0,1,2,81(3022),15i i i i i i i i i x x x x x x i x x x ++++++⎧=--⎪⎪⎪=-- =⎨⎪⎪=-+⎪⎩因取(0)(0,0,0)T x =，故迭代一次得(1)(1)(1)1231.2, 1.35, 2.11x x x = = =于是有(1)(0)|||| 2.11x x ∞-=，计算得6110(1)14lnln 10.2.114i -⎡⎤⋅-⎢⎥>=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所在，要保证各分量误差绝对值小于610-，需要迭代11次.。

工程硕士学位课程考试
高等工程数学试题
注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上
矩阵分析部分
一．（6分）设求值。

解：参考试题2第一题
二．（8分）已知函数矩阵：，求矩阵
解：参考试题2第二题
三．（10分）设向量
与，令，
（1）求的一组基和维数；（2）求维数。

解：参考试题2第三题
四．（10分）设，
1．求的Jordan标准形及最小多项式；
解: 矩阵的最小多项式为, Jordan标准形为
2。

求解初值问题
解：参考试题2第四题（2）小题
五．（8分）设与是线性空间的两个基，为从基到的过渡矩阵，为的一个线性变换，在基下的矩阵，求线性变换在基下的矩阵。

解: 由题意有
所以由第一式有
把第二式和第三式代入得到
把第一式代入左边得到
从而有, 所以
六．（8分）设且可逆，，求证：的特征值都是正数。

证明: 因为为正规矩阵, 所以酉矩阵与对角矩阵. 即存在酉矩阵, 使得, 其中为对角矩阵, 从而
所以的元素全为实数. 设为任意一个特征值, 是属于的特征向量, 则有
得证.。

⾼等⼯程数学笔记⾼等⼯程数学笔记第⼀部分矩阵理论（矩阵分析）第⼀章线性空间与线性变换⼀、线性空间的概念1.数域：含有⾮零数的数集F ，F 中四则运算封闭即F b a ∈?,，有)0(,,,≠∈∈?∈-∈+b F ba Fb a F b a F b a常见数域：有理数域Q ，实数域R ，复数域C 其他数域：{}{}{}{}1,,1,Q ,Q ,3Q ,222321-=∈+=-=∈+=∈+=∈+=i R b a bi a C i b a bi a F b a ba Fb a b a F整数集Z 不是数域数域特点：F F F ∈∈∈整数,0,1C F Q ??2.线性空间的定义设V 是⼀个⾮空集合，F 是⼀个数域，V 中元素定义了两种运算①加法②数乘即V ∈?βα,，有唯⼀V ∈+βα与之对应；F R V ∈?∈?,α，有唯⼀V k ∈α与之对应，并且满⾜：(1) V ∈?βα,，有αββα+=+(2) V ∈?γβα,,，有)()(γβαγβα++=++(3)V 中存在零元θ，使得V ∈?α，总有αθαθα+==+(4) V V ∈?∈?βα,，使得θβα=+，记αβ-=（称为α的负元） (5) F l k ∈?,，V ∈?α，有αααl k l k +=+)( (6) V F k ∈?∈?βα,,，有βαβαk k k +=+)( (7) V F l k ∈?∈?α,,，有ααα)()()(kl k l l k == (8) αααα-=-=)1(,1则称集合V 为数域F 上的⼀个线性空间。

3.线性空间的例⼦例1.(1) R F R V n ==,+++=+ =?=n nn nb a b a b a b b b a a a22112121,βαβα ??=?=∈?000,,21θαnka ka ka k F k V 称为F 的线性空间(2) C F C V n ==,，V 也构成F 上的线性空间例2. (1) R F RV nm ==?,n m ij mn m m n n n a a a a a a a a a a a a a A ?===)(21332312222111211记α V b B n m ij ∈==?)(βn m ij ij mn mn m m nn b a ba b a b a b a B A ?+=++++=+=+)(11111111βα==∈mn m m n ka ka ka ka ka ka kA k F k2111211,α=000000000θ V 构成F 上的线性空间(2) C F C V n m ==?, V 构成F 上的线性空间例3.{}R Fb a b a C V ===,],[],[成的集合上的实的连续函数所组],[)(),(b a C x g x f ∈==?βα有],[)()(b a C x g x f ∈+=+βα],[)(,b a C x kf k R k ∈=∈?αθ=恒为0的常数函数 V 构成F 上的线性空间例4.设F 为⼀个数域，令{}n n n n t F F aa a t a t a t a a V ][,,110112210记=∈++++=--- ={数域F 上关于t 的次数⼩于n 的多项式或零多项式} V 构成数域F 上的线性空间4.性质设V 是数域F 上的⼀个线性空间，则 (1) V 中零元θ⼀定存在⽽且唯⼀(2) V ∈?α，则α的负元⼀定存在⽽且唯⼀ (3) V F k ∈∈α,，则θαθα==?=或0k k 为讨论⽅便，把线性空间V 的元素称为⼴义向量。

高等工程数学练习题一、填空题1. 对方程()ln(2)0f x x x =-+=，写出该方程存在正数根的一个区间 ，构造迭代公式 ，使其产生的序列{}n x 可以收敛于方程的这个正数根*x ；2. 用Cholesky (乔勒斯基) 分解法求解方程：1239631861311303113549x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则：L = ; 方程组的解x = ； 3．建立最优化模型的三要素： ； ； ； 4．已知函数411.0)4.0(=f , 578.0)5.0(=f , 697.0)6.0(=f ，用此函数表作Newton 插值多项式，那么插值多项式2x 的系数是 ；5．设总体2220~(,),X N μσσσ=已知,X 是样本均值，在检验假设00:H μμ=时选用的检验统计量为 ，拒绝域为 ；6. 设总体X 服从],0[θ上的均匀分布，则θ的矩法估计为 ，极大似然估计为 ； 7．影响数学模型求解结果的误差有： ， ， 。

8．已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 ， ， ；9. 若函数3()230f x x x =-=, 给出该方程存在正根的区间 , 该方程的Newton 迭代公式是 ；10. 给出线性规划标准型的特点： 、 、 ； 11．求解无约束非线性最优化问题的下降迭代算法中，下降方向应该满足的条件是：； 12．已知函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，[,]i x a b ∈，设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数，则)(x S 满足的三个条件是 ；13．在进行单因子方差分析中，A 因子取五个水平，共进行了25N =次试验，通过计算得到1600;8500SSA SST ==，因此A F = ，而0.05(4,20)2.87F =，A 因子对试验指标 显著性影响。

现代工程数学完整版全套优质课件教材和参考书教材Introductory Combinatorics(组合数学)R. A. Bruadli 著机械工业出版社第三版(中文)38 元第三版(英文)35 元第四版(中文)45 元第四版(英文)59 元销售经理余勇:参考书组合数学引论孙淑玲许胤龙中国科学技术大学出版社组合数学卢开澄清华大学出版社组合数学第 1 章什么是组合数学第 2 章鸽巢原理第 3 章排列与组合第 4 章生成排列和组合第 5 章二项式系数第 6 章容斥原理及应用第 7 章递推关系和生成函数第 8 章特殊计数序列第10章组合设计第1章什么是组合数学组合数学是研究“安排”的学科。

主要研究以下四类问题。

1. 存在性问题(是否存在某种安排)2. 计数问题(安排的个数、枚举、分类)3. 构造问题(寻找安排的算法)4. 优化问题(找出一定条件下的最优安排)排课表问题需安排甲、乙、丙、丁四位教师教英语、日语、德语、法语四门课,每人教一门。

甲和乙能教英语、日语,丙能教英语、德语、法语,丁只能教德语,是否能够排出课表?甲、乙、丙、丁分别教英语、日语、法语、德语。

棋盘完美覆盖问题一个多米诺骨牌可覆盖同一行或同一列两相邻方格。

若用若干多米诺骨牌覆盖棋盘所有方格,并且多米诺骨牌不重叠,则称该覆盖为完美覆盖。

mn 棋盘有完美覆盖 iff m 和 n 中至少有一个是偶数。

当 m 是偶数时,每块多米诺骨牌竖放。

当 m 是奇数且 n 是偶数时,每块多米诺骨牌横放。

当 m 和 n 都是奇数时,棋盘的方格数 mn 是奇数。

幻方2在由 1, 2, …, n 组成的 nn 方阵中,若每行之和、每列之和、每条对角线之和都相等,则称该方阵为 n 阶幻方。

对于 n2,存在 n 阶幻方。

例如,左下方方阵是 3 阶幻方。

若右下方方阵是 2 阶幻方,则 u + v u + y,所以 v y,矛盾。

无 2 阶幻方。

8 1 6?u v3 5 7x y4 9 2?计数问题3将三角形顶点染红、蓝两色,共有 2 8 种方法,若一种染色旋转后可变为另一种,则认为这两种染色相同,那么仅有 4 种方法(分别有 0, 1, 2, 3 个顶点染红色)。

摘要高等工程数学是工程类硕士研究生的一门重要的数学基础课程，在研究生数学素养的训练、创新能力的提高方面具有重要作用。

内容包含矩阵论、数值计算方法和数理统计三部分，其主要内容有：先行空间与线性变换、内积空间、矩阵的标准型、数理统计的基本概念与抽样分布、参数估计、假设检验、回归分析与方差分析。

关键词：线性空间、假设检验、方差分析一、线性空间的综述简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。

线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。

1.1 数域的概念设P是一个非空数集，且至少含有非零的数，若P中任意两个数的和、差、积、商（除分母为零外）仍属于该集合，则称P是一个数域。

容易验证有理数集合Q、实数集合R与复数集合C都是数域，分别称为有理数域、实数域与复数域。

1.2 线性空间定义设V是一个非空集合，P是一个数域，如果:(1)在集合V上定义一个二维运算（通常称为加法），即对V中任意两个元素x,y经过这个运算后得到的结果，仍是集合V中唯一确定的元素，该元素称为x 与y的和记作x+y.(2)在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于P任意数λ与V中任意元素x，经过这一运算后所得到的结果，仍是V中唯一确定的元素，称为唯一确定的元素，称为λ与x的数量乘积，记作λ x。

如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间。

1.3线性空间的运算(1)对任意x,y∈V，x+y=y+x;(2)对任意x,y,z∈V，(x+y)+z=x+(y+z);(3)V中存在一个零元素，记作θ，对任意x∈V，都有x+θ=x;(4)对任意x∈V,都有y∈V，使得x+y=θ,元素y称为x的负元素，记作－x;(5)对任意x∈V,都有1x=x;对任何λ，μ∈P，x,y∈V。

高等工程数学习题答案【篇一：高等工程数学考试题及参考解答(仅供参考)】xt>一、填空题（每小题3分，共15分）2x12???x101，设总体x服从正态分布n(0,4)，而(x1,x2?,x15)是来自x的样本，则u?222(x11???x15)服从的分布是_______ .解：f(10,5)．?是总体未知参数?的相合估计量的一个充分条件是2，?n?)??, limvar(??)?0．解：lime(?nnn??n??3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：?检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．22?1二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体x~n(1,9)，(x1,x2,?,x9)是x的样本，则（a）x?1x?1~n(0,1)；（b）~n(0,1)； 31x?1~n(0,1)． ~n(0,1)；（d92（c）2，若总体x?n(?,?)，其中?已知，当样本容量n保持不变时，如果置信度1??减小，则?的2置信区间____b___ .（a）长度变大；（b）长度变小；（c）长度不变；（d）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____b___ . （a）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（b）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的；（c）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的；（d）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设st为总离差平方和，se为误差平方和，sa为效应平方和，则总有___a___ .（a）st?se?sa；（b）sa?2??2(r?1)；（c）sa/(r?1)?f(r?1,n?r)；（d）sa与se相互独立.se/(n?r)?)=?[in?x(xx???0n；（b）cov(??)x?]；（a）???2?1（c）?????n?p?1是?2的无偏估计；（d）（a）、（b）、（c）都对.22三、（本题10分）设总体x?n(?1,?)、y?n(?2,?)，(x1,x2,?,xn1)和(y1,y2,?,yn2)分别是来自x和y的样本，且两个样本相互独立，和sx、sy分别是它们的样本均值和样本方差，证明2222(n1?1)sx?(n2?1)sy其中s??.n1?n2?22?t(n1?n2?2)，证明：易知??n(?1??2,?2n1??2n2)，u??n(0,1)．由定理可知2(n1?1)sx?2由独立性和?分布的可加性可得2??(n1?1)，22(n2?1)sy?2??2(n2?1)．v?2(n1?1)sx?2?2(n2?1)sy?2??2(n1?n2?2)．由u与v得独立性和t分布的定义可得??t(n1?n2?2)．?1?2?, 0?x??,??1,??x?1,其中参数?（0???1) 四、（本题10分）设总体x的概率密度为f(x;?)??2(1??)??0, 其他，???；?，xn)是来自总体的一个样本，是样本均值，未知，(x1，x2，（1）求参数?的矩估计量?（2）证明4不是2?2的无偏估计量．解：（1）e(x)??????xf(x,?)dx???01xx1?dx??dx??，?2(1??)2?42??2?令?e(x)，代入上式得到?的矩估计量为?（2）1． 2111?1?4e(42)?42?4[?()2]?4?dx?(??)2??dx?????，424?n?n因为d(x)?0，??0，所以 e(4)??．故42不是?的无偏估计量．五、（本题10分）设总体x服从[0,?](??0)上的均匀分布，(x1,x2,?xn)是来自总体x的一个样本，试求参数?的极大似然估计．解：x的密度函数为,0?x??;??f(x,?)??0,其他,?222似然函数为???n,0?xi??,i?1,2,?,n,l(?)??其它??0,??max?x,x,?,x?是?的显然??0时，l(?)是单调减函数，而??max?x1,x2,?,xn?，所以?12n极大似然估计．六、（本题10分）设总体x服从b(1,p)分布，(x1,x2,?xn)为总体的样本，证明是参数p的一个umvue．证明：x的分布律为f(x;p)?px(1?p)1?x,x?0,1．容易验证f(x;p)满足正则条件，于是???1i(p)?e?lnf(x;p)??．?pp(1?p)??另一方面2var()?1p(1?p)1， var(x)??nnni(p)即得方差达到c-r下界的无偏估计量，故是p的一个umvue．七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布n(?0,?)，由以前的观测可知?0?56．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得?61, s?400, 问此仪器测出的结果与以往相2解：设h0：???0?56．构造检验统计量22t???0~t(15)， n确定拒绝域的形式?t?t??．由??0.05，定出临界值t?/2?t0.025?2.1315，从而求出拒绝域t?2.1315．?????2而n?16,?60，从而 |t|???0.8?2.1315，接受假设h0，即认为此仪器测222出的结果与以往相比无明显的差异．2八、（本题10分）已知两个总体x与y独立，x~(?1,?1)，y~(?2,?2)，?1, ?2, ?1, ?2未知，?12(x1,x2,?,xn)和(y1,y2,?,yn)分别是来自x和y的样本，求2的置信度为1??的置信区间.?2122分别表示总体x，y的样本方差，由抽样分布定理知解：设s12,s2p?f?/2(n1?1,n2?1)?f?f1??/2(n1?1,n2?1)??1??，则22??s12/s2?12s12/s2p??2???1??， ?f1??/2(n1?1,n2?1)?2f?/2(n 1?1,n2?1)?22??s12/s2s12/s2?12,所求2的置信度为1??的置信区间为 ??．?2f(n?1,n?1)f(n?1,n?1)2?/212?1??/21?九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．答：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测【篇二：高等工程数学试题答案】>一、设总体x具有分布律其中?(0???1)为未知参数，已知取得了样本值x1?1,x2?2,x3?1，求?的矩估计和最大似然估计.解：（1）矩估计：ex??2?2?2?(1??)?3(1??)2??2??314?(1?2?1)?33??5. 令ex?，得?6（2）最大似然估计：l(?)?????2?(1??)?2??2?2256dln(?)?10?4?12?5?0 d???5得?6二、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度x~n(10,1)，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/l），标准差为1.2（mg/l），问该工厂生产是22否正常？（??0.05,t0.025(9)?2.2622,?0.025(9)?19.023,?0.975(9)?2.700）解：（1）检验假设h0：?=1，h1：?≠1；取统计量：??222(n?1)s2?20；拒绝域为：?2≤?21?2222?=2.70或≥(n?1)??(9)?(n?1)???0.975?0.025=19.023， 22经计算：??2(n?1)s22?09?1.22??12.96，由于?2?12.96?(2.700,19.023)2，1故接受h0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为?2=1。

2019年高等工程数学试题答案一、（15分）设210120003⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，计算()ρA 、225max =x Ax 及()2cond A 。

解：12321012001;3003λλλλλλλ---=--=⇒===-I A ()3ρ=A 2||||()3是正规矩阵ρ∴== A A A 2222515max 5max 5155==∞===x x xAx AA ()2331是正规矩阵∴== A cond A 二、（10分）讲述一下求解矩阵A 的最靠近*λ的特征值的思路、步骤。

答：**对使用逆幂法，求出其按模最小的特征值再加上。

λλ-A I 000u v =≠任取*11()max()k k k k k u A I v u v u λ--⎧=-⎪⎨=⎪⎩*1()max()k k kk k A I u v u v u λ-⎧-=⎪⎨=⎪⎩即**()A I P A I LUλλ--=对进行选列主元的三角分解有1max()k k k kk k k Ly PvUu y u v u -⎧⎪=⎪⎪∴=⎨⎪⎪=⎪⎩1max()max()k ik i u x v x λλ*⎧→⎪⎪⎨⎪→⎪⎩－有三、（18分）已知矩阵200226044-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求P 使得1-P AP 为A 的Jordan 标准型，同时需要求出A 的Jordan 标准型。

解：200226044λλλλ+-=-----I A ()()23+28λλ=-D 211D D ==()()23+28λλ=-d 211d d ==初等因子：()()2+2 8，λλ-Jordan 标准形：2128-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭J 1123212,[]8令--⎛⎫⎪==-= ⎪ ⎪⎝⎭P AP J P p p p 11121223332[032]512[0]228[011]∴=-∴=-=-=-==TT TAp p p Ap p p p Ap p p 15002131,2201使得-⎛⎫⎪ ⎪⎪∴=-= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P P AP J四、(20分)已知241111212,212211⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A b ，（1）求A 的满秩分解；（2）求A +；（3）判断Ax b =是否有解，有解时求极小范数解，无解时求极小范数最小二乘解。

高等工程数学1.设α1=(1,1,-2,1),α2=(2,7,1,4), α3=(-3,2,11,-1), β1=(1,0,0,1), β2=(1,6,3,3)，令V 1=L(α1,α2, α3)，V 2=L(β1, β2)，(1)求dim(V 1+V 2)及V 1+V 2的一个基； (2)求)V dim(V 21 。

解：(1)对下列矩阵施行如下初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==0000010*******113210100002000101101132151550525501011011321'20220525505155011321311413011126027111321)(21321TT T T T A ββααα∴r(A)=3∴r(α1, α2, α3, β1, β2)=3 ∴dim(V 1+V 2)=3可选{α1, α2, β1}为V 1+V 2的基(2)∵dim V 1=r{α1, α2, α3}=2,dimV 2=r{β1, β2}=2∴dim(V 1∩V 2)=dimV 1+dimV 2-dim(V 1+V 2)=2+2-3=1.2.在R2×2中，求矩阵12A=03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在基111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 3, －3, 2，－1 )T3. 设V=R 2中线性变换T 1在基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12,2121αα下的矩阵为1223⎛⎫⎪⎝⎭， 线性变换T 2在基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ下的矩阵为3324⎛⎫⎪⎝⎭ (1)求T 1+T 2对基β1,β2下对应矩阵； (2)设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=33δ，求δ1T 在基α1,α2下的坐标；(3)求δ2T 在基β1,β2下的坐标。

高等工程数学Advanced Engineering Mathematics学习目标1掌握一定的数学理论基础2具有比较宽广的数学知识面为进一步学习和解决工作中遇3到的实际问题打下坚实的基础数值分析数理统计矩阵理论⏹线性空间与线性变换⏹内积空间⏹矩阵的标准形⏹矩阵函数及其应用主要内容⏹数值分析绪论.⏹线性代数方程组的解法⏹插值方法⏹数值积分和数值微分公式⏹方程求根⏹常微分方程的数值解法⏹矩阵特征值和特征向量计算⏹数理统计的基本概念与抽样分布⏹参数估计⏹假设检验⏹回归分析⏹方差分析线性代数高等数学概率统计高等工程数学，华南理工大学出版社，2007/435644高等工程数学，电子科技大学出版社，2008/975022高等工程数学(第三版)，华中科技大学出版社，2001 /25667像读侦探小说一样学习数学Advanced Engineering Mathematics, 2nd EditionMichael D. Greenberg，Addison Wesley/Pearson ，2004Advanced Engineering Mathematics, 5th EditionPeter V.O'Neil，Thomson ，2004书不过语。

语之所贵者意也，意有所随。

意之所随者，不可以言传也。

《庄子·天道》形而上谓之道，形而下谓之器。

《周易·系辞》囧的事情共勉什么是真正的教育？德国二百年前的教育宣言曾经如此说道：教育的目的，不是培养人们适应传统的世界，不是着眼于实用性的知识和技能，而要去唤醒学生的力量，培养他们自我学习的主动性，抽象的归纳力和理解力，以便使他们在目前无法预料的种种未来局势中，自我做出有意义的选择。

教育是以人为最高的目的，接受教育是人的最高价值的体现。

------《一名大学毕业生的反思》矩阵理论在自然科学、工程技术、控制理论和社会经济学等领域的应用日趋深广，应用矩阵的理论和方法来解决工程技术和社会经济领域中的实际问题也越来越普遍。