高等工程数学-07

高等工程数学考研真题试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处可导，且\( f'(x_0) \neq 0 \)，则\( f(x) \)在\( x_0 \)处的切线斜率为：A. \( f(x_0) \)B. \( f'(x_0) \)C. \( x_0 \)D. \( 0 \)2. 线性代数中，若矩阵\( A \)可逆，则下列哪个说法是正确的？A. \( A \)是对称矩阵B. \( A \)是正交矩阵C. \( A \)的行列式不为零D. \( A \)是单位矩阵3. 根据概率论，若随机变量\( X \)服从正态分布\( N(\mu,\sigma^2) \)，则其期望值和方差分别是：A. \( \mu, \sigma \)B. \( \sigma, \mu \)C. \( \mu, \sigma^2 \)D. \( \sigma, \sigma^2 \)4. 常微分方程\( y'' - 2y' + y = 0 \)的特征方程是：A. \( r^2 - 2r + 1 = 0 \)B. \( r^2 - 2r + 2 = 0 \)C. \( r^2 + 2r + 1 = 0 \)D. \( r^2 - 2r - 1 = 0 \)5. 在多元函数极值问题中，若函数\( f(x, y) \)在点\( (x_0, y_0) \)处取得极小值，则下列说法正确的是：A. 在该点处，\( f(x, y) \)的一阶偏导数都为零B. 在该点处，\( f(x, y) \)的二阶偏导数都为正C. 在该点处，\( f(x, y) \)的Hessian矩阵是正定的D. 在该点处，\( f(x, y) \)的梯度向量为零二、填空题（每题4分，共20分）6. 若函数\( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5 \)，则\( f''(x) \)的值为________。

括加法、数乘、减法、转置、乘法（包括方阵的正 整数幂）、逆矩阵以及分块运算。 －本讲重点和难点是矩阵的乘法。 3、特殊矩阵 －零矩阵Om×n 、单位矩阵E、数量矩阵aE、对角矩阵、对 称矩阵、反对称矩阵 (上、下)三角矩阵
线性方程组
本讲重点 1、线性方程组的解法,解的情况的判定 2、齐次和非齐次方程组解的结构,特别是基础解系的概 念
Precision Engineering Lab., Xiamen Univ.
高等工程数学
机电工程系 郭隐彪
目 录
Precision Engineering Lab., Xiamen Univ.
第一部分 矩阵论 第二部分 数值计算方法
第一部分 矩阵论
第一章 线性代数基本知识 第二章 方阵的相似化简 第三章 向量范数和矩阵范数 第四章 方阵函数与函数矩阵 第五章 矩阵分解 第六章 线性空间和线性变换
第二部分 数值计算方法
第一章 误差的基本知识 第二章 线性方程组的数值解法 第三章 方阵特征值和特征向量的数值计算 第四章 计算函数零点和极值点的迭代法 第五章 函数的插值与最佳平方逼近 第六章 数值积分与数值微分 第七章 常微分方程数值解法
第一章 线性代数基本知识
§1.1 向量和向量空间 §1.2 矩阵及其运算 §1.3 矩阵的初等变换及其应用 §1.4 线性方程组 §1.5 特征值与特征向量
第五章 矩阵分解
§5.1 方阵的三角分解 §5.2 方阵的正交（酉）三角分解 §5.3 矩阵的奇异值分解
第六章 线性空间和线性变换
§6.1 线性空间 §6.2 线性变换 §6.3 内积空间及两类特殊的线性变换
向量和向量空间
1、向量的内积、长度、夹角和正交等 2、关于向量组的线性相关性 3、关于向量组的极大无关组和向量组的秩

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2011年 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)（1） 对方程32()2f x x x x =-+，写出其Newton 迭代公式 【注意重根】 ，使得由迭代公式产生的序列{}n x 可以2阶收敛于方程的唯一正根*x ；（2）在[,]a b 上，设0)(=x f 与)(x x ϕ=等价，则当)(x ϕ满足 ， 和 时，由)(1k k x x ϕ=+（L ,2,1,0=k ）产生的序列{}k x 收敛于方程)(x x ϕ=的根；（3）用Doolittle 分解法求方程：123211413261225x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则：L = ，U = ，解x = ；（4）已知 2114132,61225A x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 则：A ∞= ；1A = ；1x = 。

（5）已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n = ，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 ， ， ；（6）设有线性回归模型1112122312322y y y βεββεββε=+⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩，其中2~(0,)(1,2,3)i N i εσ= 且相互独立，写出参数12,ββ的最小二乘估计 。

（7）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。

写出三种常用的自变量的选取方法 。

（8）影响数学模型数值求解结果的误差有： ， ， 。

二、（本题8分）已知)(x f 的数据如表：试求三次Newton 插值多项式3()N x ，求(5)f 的近似值，并给出相应的误差估计式。

三、（本题10分）引入人工变量利用大M 法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：12121212max 34..240.510,Z x x s tx x x x x x =++≤-≥≥≥四、（本题8分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，都分别经A,B 两道工序加工，A 工序在设备1A 或2A 上完成，B 工序在1B ，2B ，3B 三种设备上完成。

课程编号：A080007课程名称：高等工程数学英文名称：Advanced Engineering Mathematics开课单位：理学院开课学期：秋课内学时：32 教学方式：讲授适用专业及层次：工科各专业硕士考核方式：考试预修课程：线性代数、高等数学一、教学目标与要求λ矩阵与矩本课程较全面、系统地介绍矩阵的基本理论、方法和某些应用，基本内容有-阵的Jordan标准形、初等矩阵与矩阵的因子分解、Hermite矩阵与正定矩阵、向量与矩阵的范数、矩阵函数与矩阵值函数、广义逆矩阵与线性方程组的解，算子范数等概念。

通过本课程基本概念和基本定理的阐述和论证，培养研究生的抽象思维与逻辑推理能力，提高研究生的数学素养。

在重视数学论证的同时，强调数学概念的物理、力学等实际背景，培养研究生应用数学知识解决实际工程技术问题的能力。

通过本课程的学习，要求研究生掌握矩阵的基本理论和方法，为学习后继课程、开展科学研究打好基础。

二、课程内容与学时分配第一章λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形（8学时）1．1 一元多项式1．2 λ-矩阵及其在相抵下的标准形1．3 λ-矩阵的行列式因子和初等因子1．4 矩阵相似的条件1．5 矩阵的Jordan标准形1．6 Cayley-Hamilton定理与最小多项式第二章矩阵的因子分解（5学时）2．1 初等矩阵2．2 满秩分解2．3 三角分解2．4 QR分解2．5 Schur 分解与正规矩阵2．6 奇异值分解及其推广第三章Hermite矩阵与正定矩阵（6学时）3．1 Hermite矩阵与Hermite二次型3．2 Hermite正定（非负定）矩阵3．3 矩阵不等式3．4 Hermite矩阵的特征值* 第四章范数与极限（6学时）4．1 向量范数4．2 矩阵范数4．3 矩阵序列与矩阵级数第五章矩阵函数与矩阵值函数（2学时）5．1 矩阵函数5．2 矩阵值函数5．3 矩阵值函数在微分方程组中的应用第六章广义逆矩阵（5学时）6．1 广义逆矩阵的概念6．2 广义逆矩阵A-与线性方程组的解A-与相容方程组的极小范数解6．3 极小范数广义逆mA-与矛盾方程组的最小二乘解6．4 最小二乘广义逆l6．5 广义逆矩阵A+与线性方程组的极小最小二乘解三、教材戴华，矩阵论，科学出版社，2001主要参考书1．北京大学，高等代数，高等教育出版社，第二版，19882．Lancaster P. and Tismenetsky M. The Theory of Matrices with Applications，Academic Press, 1985.3．史荣昌，矩阵分析，北京理工大学出版社，19964．罗家洪，矩阵分析引论，华南理工大学出版社，19925．张明淳，工程矩阵理论，东南大学出版社，19956．程云鹏，矩阵论，西北工业大学出版社，1999大纲撰写负责人：杨秀绘杨熙授课教师：杨秀绘杨熙。