第一讲概 率

第一讲 概 率

1．(2013·高考江西卷) 集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )

A.23 B.12 C.13 D.16

2.(2013·高考陕西卷)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )

A．1－π4 B.π2－1 C．2－π2 D.π4

3．(2013·温州市适应性测试)记a，b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x2－ax＋2b＝0有两个不同实根的概率为( )

A.518 B.14 C.310 D.910

4．(2013·高考重庆卷)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．

5．下面程序框图可用来估计π的值(假设函数CONRND(－1，1)是产生随机数)的函数，它能随机产生区间(－1，1)内的任何一个实数)．如果输入1 000，输出的结果为788，则由此可估计π的近似值为________．(保留四位有效数字)

6．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．

7．(2013·高考湖南卷)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

X 1 2 3 4

Y 51 48 45 42

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．

(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量：

Y 51 48 45 42

频数 4

(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．

8．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时的部分按1小时计算)．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．

(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13，停车付费多于14元的概率为512，求甲停车付费恰为6元的概率；

(2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．

9. (2012·高考江西卷)如图所示，从A1(1，0，0)，A2(2，0，0)，B1(0，1，0)，

B2(0，2，0)，C1(0，0，1)，C2(0，0，2)这6个点中随机选取3个点．

(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；

(2)求这3点与原点O共面的概率．

10．(2012·高考福建卷)在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{an}的前10项和S10＝55.

(1)求an和bn；

(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．

11．从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160)；第二组[160，165)、„、第八组[190，195)，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．

(1)估计这所学校高三年级全体男生身高180 cm以上(含180 cm)的人数；

(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；

(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|x－y|≤5的事件频率．

12．(2013·福建省高中毕业班质检)某工厂生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7.5为正品，小于7.5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：

A 7 7 7.5 9 9.5

B 6 x 8.5 8.5 y

由于表格被污损，数据x，y看不清，统计员只记得x

(1)求表格中x与y的值；(2)若从被检测的5件B种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．

13．(2013·江西宜春质检)设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x∈[1，2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)＝ax，g(x)＝bx.

(1)若a∈{1，4}，b∈{－1，1，4}，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率；

(2)若a∈[1，4]，b∈[1，4]，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率．

答案：

1．【解】(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.依题意得

S10＝10＋10×92d＝55，b4＝q3＝8，

解得d＝1，q＝2，

所以an＝n，bn＝2n－1.

(2)分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1，1)，(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)．

符合题意的基本事件有2个：(1，1)，(2，2)．

故所求的概率P＝29.

2．【解】(1)由频率分布直方图知，前五组频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，后三组频率为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9人，

这所学校高三男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为800×0.18＝144人．

(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2人，

设第六组人数为m，则第七组人数为9－2－m＝7－m，

又m＋2＝2(7－m)，所以m＝4，

即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08，0.06.

频率除以组距分别等于0.016，0.012，如图． (3)由(2)知身高在[180，185]内的人数为4人，设为a，b，c，d，身高在[190，195]的人数为2人，设为A，B.

若x、y∈[180，185]时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六种情况．

若x、y∈[190，195]时，有AB共一种情况．若x、y分别在[180，185][190，195]内时，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况．

所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15种．

事件|x－y|≤5所包含的基本事件个数有6＋1＝7种，故P(|x－y|≤5)＝715.

3．【解】(1)xA＝15(7＋7＋7.5＋9＋9.5)＝8，

xB＝15(6＋x＋8.5＋8.5＋y)，

由xA＝xB，得x＋y＝17.①

s2A＝15(1＋1＋0.25＋1＋2.25)＝1.1，

s2B＝15[4＋(x－8)2＋0.25＋0.25＋(y－8)2]，

由s2A＝s2B，得(x－8)2＋(y－8)2＝1.②

由①②解得x＝8y＝9，或x＝9y＝8.因为x

(2)记被检测的5件B种元件分别为B1，B2，B3，B4，B5，其中B2，B3，B4，B5为正品，从中任取2件，共有10个基本事件，列举如下：(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，B5)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，B5)，(B3，B4)，(B3，B5)，(B4，B5)．

记“2件都为正品”为事件C，则事件C包含以下6个基本事件：(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，B5)，(B3，B4)，(B3，B5)，(B4，B5)．

所以P(C)＝610＝35，即2件都为正品的概率为35.

4．【解】(1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”，

则|f(x)＋g(x)|(x∈[1，2])所有的情况有：

x－1x，x＋1x，x＋4x，4x－1x，4x＋1x，4x＋4x，

共6种且每种情况被取到的可能性相同．

又当a>0，b>0时，ax＋bx在0，ba上递减，

在ba，＋∞上递增；

x－1x和4x－1x在(0，＋∞)上递增，

∴对x∈[1，2]可使|f(x)＋g(x)|≤8恒成立的有x－1x，x＋1x，x＋4x，4x－1x，

故事件A包含的基本事件有4种，

∴P(A)＝46＝23，故所求概率是23. (2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”，

∵a是从区间[1，4]中任取的数，b是从区间[1，4]中任取的数，

∴点(a，b)所在区域是长为3，宽为3的正方形区域．

要使x∈[1，2]时，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立，

需f(1)＋g(1)＝a＋b≤8且f(2)＋g(2)＝2a＋b2≤8，

∴事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分．

∴P(B)＝12×2＋114×33×3＝1924，

故所求概率是1924.

答案：

1．【解析】选C.从A，B中各任取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)6个基本事件，满足两数之和等于4的有(2，2)，(3，1)2个基本事件，所以P＝26＝13.

2．【解析】选A.取面积为测度，则所求概率为P＝S图形DEBFS矩形ABCD＝2×1－π×12×14×22×1＝2－π22＝1－π4.

3．【解析】选B.由题意知分别投两次骰子所得的数字分别为a，b，则基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，„，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36个；而方程x2－ax＋2b＝0有两个不同实根的条件是a2－8b>0，因此满足此条件的基本事件有：(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，共有9个，故所求的概率为936＝14.

6．【解析】甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙)、(甲丙乙)、(乙甲丙)、(乙丙甲)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共6种排法，甲、乙相邻而站有(甲乙丙)、(乙甲丙)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共4种排法，由概率计算公式得甲、乙两人相邻而站的概率为46＝23.

【答案】23

7．【解析】根据程序框图的运行可知，在区间(－1，1)内的1 000个数中满足两数平方和小于或等于1的有788个．换句话说：在满足－1

【答案】3.152

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