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概率论第一章讲解

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(完整版)概率论第一章随机事件与概率

(完整版)概率论第一章随机事件与概率
P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
解题思路
1、将事件定义为某个参数，如A,B,C； 2、确定总样本空间样本数与事件对应的样本数 技巧：可以采用概率的性质和事件的运算关系灵 活变换。
2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
• 重复排列：nr
•
选排列： Pnr
n! n(n 1)......(n r 1) (n r)!
组合
•
组合：
Cnr
n r
n! r!(n r)!
Pnr r!
注意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
乘法原理

概率第一章

概率第一章
1.2.1 基本事件空间与事件
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行。
1-4
概率论与数理统计
E
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行用 符号 E 表示。 随机事件 ：在条件下事件可能发生也 可能不发生的事件用大写字母 A , B , C ,表
指出
件，并表示事件 1-9
事件中哪些是基本事 B, C, D
。 概率论与数理统计
E
1.2.2 事件间的关系与运算
1．事件的包含与相等 若事件 A 中的每个基本事件都包含在 B
A
事件 B 之中，即 A 的发生必然导致 B 的发
生，则称事件 A 包含于事件 B ，或事件 B
包含事件 A ，也称是的特款 ，记为 A B 。
1-19
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.2.4 化简下列各事件：
(1) ( A B)( A B) ; (2) AB AB BC; (3) ( A B)( A B)(B C ).
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.1 设事件A, B 的概率分别为 和
，试求下列三种情况下的值： （1） B 互不相容； A, （2） A B ； （3） ( AB ) 1 . P
8
1 3
1 2
1-27
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;

概率论第一章

概率论第一章
例如：在检查某些圆柱形产品时， 例如：在检查某些圆柱形产品时，如果规定只有它的长度及直径 都合格时才算产品合格，那么“产品合格” 直径合格” 都合格时才算产品合格，那么“产品合格”与“直径合格”、 长度合格”等事件有着密切联系。 “长度合格”等事件有着密切联系。
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个， 如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验 例如, 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 掷骰子试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反 出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命 掷一颗骰子， 掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章 随机事件及其概率
随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素。 的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小 将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。 将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的， 因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个 比另一个更容易取得。也就是说，10个 球中的任一个被取出的机会是相等的， 球中的任一个被取出的机会是相等的， 均为1/10 1/10。 均为1/10。

《概率论》第1章§1.4 概率的公理化定义及概率的性质

《概率论》第1章§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
3/29
(约会问题) 两人相约7点到8点在某地会面，先 到者等候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面 的概率。 设 x, y分别表示两人达到的时间， 则两人能会面的充要条件是
| x y | 20
20 x y 20
y
m
n m
条件： m n ,
即 m = 0, 1, 2, ……, n.
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
26/29
常见模型(3) —— 盒子模型
n 个不同球放入 N 个不同的盒子中. 每个盒子中所放球数不限. 求恰有n 个盒子中各有一球的概率 n PN N! (nN)
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
1/29
古典概型的特点：
有限个样本点 基本事件的等可能性
怎样推广到“无限个样本点”而又 有某种“等可能性” ？ 某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的 大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探， 问能够发现石油的概率是多少？ 认为任一点能钻探到石油是等可能的, 则所求概 率为
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
24/29
思考题
口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.
从中不返回任取3 个. 求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.
5 7 4 1 1 1 140 1 560 4 16 3
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
11/29
对于 n 个事件，有
n i 1
1i j n
减二

概率论第一章PPT课件

概率论第一章PPT课件

2021/3/24
-
10
费尔马的解法
费尔马注意到，如果继续赌下去，最多只要再赌4轮便可 决出胜负，如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜， 那么最后4轮的结果，不外乎以下16种排列。
甲甲甲甲 甲甲甲乙 甲甲乙甲 甲乙甲甲 乙甲甲甲 乙甲甲乙
甲甲乙乙 甲乙甲乙 甲乙乙甲 乙乙甲甲 乙甲乙甲
甲乙乙乙 乙甲乙乙 乙乙甲乙 乙乙乙甲 乙乙乙乙
2021/3/24
-
8
直到1654年，一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的 亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题“，求助其对这种现 象作出解释，引起了这位法国天才数学家的兴趣，帕斯卡接 受了这些问题，但他没有立即去解决它，而是把它交给另一 位法国数学家费尔马。之后，他们频频通信，互相交流，围 绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后 来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他也开 始就这方面展开研究。
若每次试验中，事件A与事件B不能同时发生， 即A∩B= 。则称事件A与事件B互斥或互不相 容。
有时，我们也称满足以上三个特点的试验为随机 试验。
2021/3/24
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20
§1.1.2 样本空间 随机事件
一、样本空间
随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的 样本空间，记为Ω。Ω的每个元素，即Ω的每一个可能 的结果，称为E的一个样本点或基本事件。
指的是基本 结果
2021/3/24
样本点
-
21
特征：条件不能完全决定结果。
确定性现象与随机现象的共同特点是事物本身的含 义确定。随机现象与模糊现象的共同特点是不确定性， 随机现象的不确定性是指试验的结果不确定，而模糊现 象的不确定性有两层含义，一是指事物本身的定义不确 定，二是结果不确定。

概率论第一讲

概率论第一讲
A B = A AB
A ∪ B = A ∪ ( B A) = A ∪ ( B AB )
A = AB ∪ AB
3 September 2007
陕西科技大学
第一章 随机事件与概率
第28页
样本空间的分割
若 A1，A2，……，An 有 1. Ai互不相容； 2. A1∪A2 ∪ ……∪An= Ω 则称 A1，A2，……，An 为Ω的一组分割.
3 September 2007
陕西科技大学
第一章 随机事件与概率
第13页
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示. 2. 基本事件 —— Ω的单点集. 3. 必然事件 (Ω) 4. 不可能事件 (φ) —— 空集.
3 September 2007
abababab交换律结合律分配律对偶律abccacabccbc记号a?babababa?ba概率论集合论空间空集元素a是b的子集a与b无相同元素a与b的并集a与b的交集a与b的差集a的余集样本空间必然事件不可能事件样本点a发生必然导致b发生a与b互不相容a与b至少有一发生a与b同时发生a发生且b不发生a不发生对立事件基本事件互不相容基本事件之并注意点注意点11aa?aaaaaaaaababab????注意点注意点22ababbaba??abaab??ababaabab??aabab若a1a2
当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称 事件A发生. 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
样本空间为 : S = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6} .
B发生当且仅当 B中的样本点1, 3,5中的某一个 事件 B={掷出奇数点} = {1,3,5}
3 September 2007

第一章 随机事件及概率讲解

例1.2中A “ 编 号 为1或3” B “ 编 号 为 奇 数 ”
（2）事件的相等：若 A B 且 B A ， 则称A与B相等，记为A=B。
包含关系的性质： (a) A ; (b)A A (c)若A B且B C,则A C (d )若A B且B A,则A B
(3) n个元素的全排列数为 Anr n(n 1) 3 21 n!
c. 组合
（1）从n个元素中取出r个元素而不考虑其顺序，称为组 合，其总数为
C
r n


n r


Anr r!

n(n 1) (n r 1) r!

n! r!(n r)!
（2）若r1 r2 rk n，把n个不同的元素分成k个部分，
事件的交(积) ：事件A与B都发生，称
为A与B的积（交）事件，记为 A B
。
推广：
事件 A1, A2,, An 同时发生：
n
A1 A2 An Ai i 1
事件 A1, A2, 同时发生：

A1 A2 Ai i 1
5、差事件：事件A发生但B不发生 称为A与B之差，记为A-B
例2.9：某城市共发行A,B,C三种报纸，调 查表明居民家庭中订购C报的占30%，同 时订购A,B两报的占10%,同时订购A,C及 B,C两报的各占8%，5%，三报都订的占 3%.今在该城中任找一户，问该户(1)只订 A、B两报；(2)只订C报的概率各为多少？
第一章 概率论的基本概 念
1 理解随机事件的概念，了解样本空间的 概念，掌握事件之间的关系和运算。
2 理解概率的定义，掌握概率的基本性质， 并能应用这些性质进行概率计算。

《概率论》第1章


有限可加性
若 A B, 则
P( ) P( B) P( A) P( B) P( A)
事件解释 为区域
S
B
A
第一章
概率解释为 区域面积
概率论的基本概念
§2 随机事件的概率
0 P( A) 1
P( A) 1 P( A) 由定义 A S B1 对任何事件 有 (加法公式) P( A) P( SA ) ,
随机事件
6/12
将一枚硬币连抛三次,观察正面 H、反面 T 的出现 则样本空间为
S { TTT , TTH , THT , HTT , THH , HTH , HHT , HHH}
记事件
A1 { 至少出现一次正面 }
A2 { 三次都是反面 } A3 { 第一次出现正面 }
A4 { 第一次出现反面 }
P( A1A2 ) P( A2 A3) P( A1A3) P( A1A2 A3 )
第一章 概率论的基本概念
§2 随机事件的概率 对于 n 个事件，有
P( A1 A2 An )
n
13/14
减二
P( Ai ) P( Ai A j ) i 1
1 i j n
1/13
第一章
概率论的基本概念
2/15
试验可以在相同的条件下重复进行 试验的结果可能不止一个，但试验前知道所 有可能的全部结果 在每次试验前无法确定会出现那个结果 具有上述特征的试验称为随机试验 ,简称试验
第一章
概率论的基本概念
§1
随机事件 样本空间 S 样本点 A S 中的子集
3/12
试验 E 的全部结果 基本结果 随机事件 事件 A发生

概率论第一章ppt课件


A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
3
第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其性质 §1.3 古典概型与几何概型 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
4
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
自然界的现象按照发生的可能性（或者必然 性）分为两类：
一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果 一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结 果 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可 能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象 成为随机现象。
概率论与数理统计
1
概率论与数理统计是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性 概率论——从数量上研究随机现象的统计规律性的
科学。
数理统计——从应用角度研究处理随机性数据，建 立有效的统计方法，进行统计推理。

概率论第一章知识点总结

概率论第一章知识点总结
概率论第一章主要介绍了以下几个知识点：
1. 随机试验：指具有以下三个特征的试验：可以进行多次独立重复；每次试验只有两个可能结果中的一个发生；每次试验发生的概率相同。

2. 样本空间：随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间，通常用S表示。

3. 事件：样本空间的任意子集称为事件，通常用A、B等大写字母表示。

4. 概率：事件A发生的概率定义为P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A中元素的个数，n(S)表示样本空间中元素的个数。

5. 概率的性质：对于任意事件A和B，有以下性质：
(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
(2) P(S) = 1
(3) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
(4) 若A和B互不相容（即A∩B=），则P(A∪B) = P(A) + P(B) 6. 条件概率：事件B在事件A发生的条件下发生的概率称为条件概率，记为P(B|A)，计算公式为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。

7. 乘法公式：对于任意事件A1，A2，…，An，有P(A1∩A2∩…∩An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2)…P(An|A1∩A2∩…∩An-1)。

8. 全概率公式和贝叶斯公式：全概率公式和贝叶斯公式是基于条件概率的重要公式，用于计算复杂事件的概率。

其中全概率公式为：
P(B) = Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai)，贝叶斯公式为：P(Aj|B) = P(Aj)P(B|Aj)/Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai)。

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⑶ 进行试验之前不能确定哪一个结果会出现。
随机试验
广
在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机
东 工
试验(Random experiment)。简称试验，用E表示。
业
大
学
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§1.2 随机事件( Random Events )
1.2.1 样本空间 (Sampling space)
电话的次数。 ➢ E5. 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
解: E3: 3 {胜， 负， 平} 有限样本空间
E4: 4 {0,1,2,3,}
无限样本空间
广 东
E5: 5 {t | 0 t } 无限样本空间
工 业
大
学上页Βιβλιοθήκη 下页 返回更多例子:E6 ：上抛一枚硬币三次，观察正反面出现的情况。
➢ E1. 抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。 ➢ E2. 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。 ➢ E3. 某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。 ➢ E4. 某出租车公司电话订车中心，记录一天内接到订车
电话的次数。 ➢ E5. 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
解: E1:
“出现正面” (“H”)
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象。
➢ 上抛一枚硬币，出现正面向上；
➢ 某商店某天某商品的销售量为50件；
广
➢ 测试某厂某元件的寿命为1000小时（或尺寸大小）。
东 工
业
非确定性现象的特征：条件不能完全决定结果。
大 学
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不确定性现象都没有规律可循吗？
有部分非确定性现象在大量重复试验时，统计结果呈现 现出一定的规律性。
广 东 工 业 大 学
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何为随机现象？
人们通常将自然界或社会中出现的现象分成二类：
1、确定性的现象（必然现象）necessity, inevitability。 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.
例如：
➢ 在标准大气压下，水加热到100°C必沸腾；
➢ 同性电荷必然互斥；
➢ 函数在间断点处不存在导数。 广
➢ E3. 某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。
➢ E4. 某出租车公司电话订车中心，记录一天内接到订车 电话的次数。
广 东
工
➢ E5. 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
业 大
学
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这些试验都具有以下的特点：
⑴ 可以在相同的条件下重复地进行；
⑵ 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验 的所有可能结果；
第一章 基本概念
绪言 §1.1 随机试验（ Random experiment） §1.2 随机事件（ Random Events ） §1.3 事件的概率（ Probability ）
广 东 工 业 大 学
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第一章 基本概念
本章主要讲述随机试验，样本空 间，随机事件，事件间的关系与运算， 频率，概率的统计定义，概率的性质， 古典概型。
广 东
工
8 {(x, y) | x, y 1,2,3,4,5,6}
业 大
学
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1.2.2 随机事件（Random event）
在实际问题中，面对一个随机试验，我们一般关心的是 某些特定的事件是否发生。
东
确定性现象的特征： 条件完全决定结果。
工 业
大
学
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何为随机现象？
人们通常将自然界或社会中出现的现象分成二类：
1、确定性的现象（必然现象）necessity, inevitability。
在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.
2、非确性的现象（偶然现象） randomly, chance。
电话的次数。 ➢ E5. 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
解: E2:
“出现0次”,“出现1次”,“出现2次”,“出现3次”
广
或“0”,“1”,“2”,“3”
东 工
业
2 {0,1,2,3}
有限样本空间
大 学
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例 请写出下面试验的样本空间:
➢ E1. 抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。 ➢ E2. 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。 ➢ E3. 某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。 ➢ E4. 某出租车公司电话订车中心，记录一天内接到订车
1 {H,T}
广 东
工
“出现反面” (“T”) 有限样本空间
业 大
学
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例 请写出下面试验的样本空间:
➢ E1. 抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。 ➢ E2. 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。 ➢ E3. 某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。 ➢ E4. 某出租车公司电话订车中心，记录一天内接到订车
１、样本空间：
把随机试验E的所有可能结果组成的集合称为随机试验E 的样本空间，记为。
２、样本点 (Sampling point):
样本空间的元素，即E的每个可能的结果称为样本点。
常用 , e表示。
广
东
３、有限样本空间： 样本点个数有限
工
业
无限样本空间： 样本点个数无限
大 学
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例 请写出下面试验的样本空间:
6
{（（HH
H H
H），（T T），（T
H H
TH）），，（（HHTTTH）），，（（TTTTTH）}）
E7：对目标进行射击，记录着弹点的位置。
7 {(x, y) | x, y D} E8：掷两次骰子作为一次试验,观察两次试验结果。
第一次有6个可能的结果
第二次也有6个可能的结果
将两次试验结果排序, 则共有36种可能的结果:
例如:
➢上 抛 一 硬 币 10000 次 ， 出现正面向上的次数 总是5000次左右。
广
在一定条件下，进行大量观
东 工
测会发现某种规律性。
业 大
学
上页 下页 返回
随机现象
在相同条件下可以重复操作出现，并有一定的规律性的 非确定性现象称为随机现象。
随机事件的发生具有偶然性, 机遇性，在一次试验中， 可能发生，也可能不发生。但在大量重复试验中，随机现象 常常表现出这样或那样的统计规律，称为随机现象的统计规 律性。
概率论与数理统计的研究的对象：随机现象的统计规律性
广 东
工
业
大
学
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§1.1 随机试验( Random experiment)
鉴于我们要研究的对象和任务（即随机现象的统计规律性）， 必需对研究对象进行试验或观察。
例：
➢ E1. 抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。
➢ E2. 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。