概率论与数理统计第1讲1.1第1讲Ch.1 随机事件与概率§1.1 随机事件及其运算导学：随机现象、样本空间…揭示随机现象统计规律1.1.1 随机现象（也称偶然现象）1.概率论与数理统计的研究对象随机现象（的统计规律）.2.随机现象及其特点随机现象：一定条件下，出现的可能结果不止一个的现象.特点：i)可能结果不止一个；ii)结果不可预先准确预测.3.必然现象：(P.1.简单关注！)4.随机现象实例例1.1.1(1)掷一枚均匀的硬币，观察朝上一面；(2)掷一颗均匀的骰子，观察掷出的点数；(3)观察一天中进出某超市的顾客数；(4)检测某种型号电视机的寿命时数；(5)测量某物理量的误差.稍作判断易见，本例中的5种现象均为随机现象，且容易明白，随机现象广泛存在于人们的工作与生活中.5.随机试验(简称试验)定义：P.1. (试验?随机现象)1.1.2 样本空间1.定义：试验的所有可能基本可能结果组成的集合称为样本空间，其中的元素称为样本点.记号：样本空间常用Ω记，对Ω的描述方法有两种：代表元法：Ω＝{ω|iω表示试验的第i种基本可能结果，i=1，i2，3，…}列举（区间）法：通过以下例子体会.2.写出随机现象对应的样本空间例1.1.2写出“例1.1.1”所列5种随机现象对应的样本空间解首先写代表元形式，再写列举（区间）形式：(1)1Ω＝{iω|1ω＝“掷出正面”，2ω＝“掷出反面”}＝{掷出正面，掷出反面}；(2)2Ω＝{i|i表示掷出i点，i=1,2,3,4,5,6}＝{掷出1点，掷出2点，…，掷出6点}＝{1,2,3,4,5,6}；(3)3Ω＝{i |i 表示有i 人进出，i =0,1,2,…}＝{0,1,2,…}；(4)4Ω＝{t |t 表示寿命时数为t ，t ≥ 0}＝[0,＋∞ )；(5)5Ω＝{x |x 表示测量误差为x ，+∞<<∞-x }＝),(+∞-∞.3.样本空间的分类i)分有限与无限（P.2.）ii)分离散与连续（P.2.）1.1.3 随机事件1.定义：样本空间Ω的子集称为随机事件. 这是基于样本空间给出的定义. 也可以基于随机现象给出定义为：可能发生，也可能不发生的可能结果，概率论抽象称之为随机事件. 随机事件简称为事件.2.记号：概率论约定用大写英文字母A ，B ，C ，…作为事件的记号.3.Venn 图表示：4.例子：对应于例1.1.2中的(2)Ω＝{1,2,3,4,5,6}2记A＝“掷出奇数点”＝{1,3,5}，显然A为2Ω的子集，所以A为事件.Remarks事件定义的进一步解读i)“事件A发生”意谓“在试验中A包含的某个样本点出现了”. 反之亦然.Ω＝{1,2,3,4,5,6} 例：对应于“例1.1.2”中的(2)2事件A＝“掷出奇数点”发生，表明：一次抛掷中掷出了1点或3点或5点.ii)事件的描述方法有三种：(我们要视场合选用！) 方法1：集合表示法；方法2：用明白无误语言(加以引号)表述法；方法3：用随机变量取值表示法.(在1.1.4中给出解释！)iii)三种特别事件基本事件----Ω的单元素子集必然事件----Ω本身(每次试验必然发生的事件)不可能事件----Φ(每次试验都不发生的事件)5.事件例Ω＝{1,2,3,4,5,6}，例1.1.3对应于“例1.1.2”中的(2)2若记i A ＝“掷出i 点”, i =1,2,3,4,5,6，则1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 均为基本事件；记B ＝“掷出偶数点”，则B 为事件；记C =“掷出点数小于7”，则=C 2Ω为必然事件；记D =“掷出点数大于6”，则=D Φ为不可能事件.1.1.4 随机变量(Remark 随机变量简记为..V R ，在概率论中..V R 是与随机事件同等重要或者更为重要的一个概念，此处对..V R 只作简介，第二章再进行详细讨论！)1. ..V R 的直观定义与记号用来表示随机现象结果的变量称为随机变量. 通常用大写英文字母X ，Y ，Z 记之.Remark 对前面留下的一个问题“用随机变量取值表示随机事件”的理解：对一个具体的随机问题进行研究时，在引入..V R 后，..V R 取某个值或..V R 取值落入某个范围，都具有可能发生也可能不发生的特征，所以都是随机事件. 也就是说，可用..V R 的取值（取某个值或..V R 取值落入某个范围）来表示事件.2.对一个具体的随机问题，引入..V R 后用其取值表示事件举例例1.1.4 对应于“例1.1.2”中的(2) 2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若引入X =“掷出的点数”.则X 为..V R ，且可用i)“3=X ”表示事件“掷出3点”；ii)“3≥X ”表示事件“掷出的点数大于等于3”；iii)“3<=""> iv )“7X ”表示不可能事件“掷出的点数大于6”. Remark 同类关注“掷两颗均匀骰子”的试验.有Ω={),(j i |),(j i 表示第1，2颗骰子分别掷出i 点, j 点那一基本可能结果j i ,＝1,2,3,4,5,6}={(1,1), (1,2), …, (1,6),(2,1), (2,2), …, (2,6),‥‥‥‥‥‥‥‥,(6,1), (6,2), …,(6,6)}易见，这里的Ω共有36个样本点. 若引入X =“第1颗掷出的点数”，Y =“第2颗掷出的点数”，则X ，Y 均为..V R ，且可用i)“Y X +=5”表示事件“两颗骰子掷出的点数和为5”，且显然事件“Y X +=5”包含的样本点集为{(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) }(共有4个样本点). ii)“),max(Y X =6”表示事件“掷两颗骰子掷出的点数最大者为6”，同样容易明白事件“),max(Y X =6”＝{(1,6), (2,6), (3,6), (4,6) , (5,6) , (6,6) , (6,5) , (6,4) , (6,3) , (6,2) , (6,1)}.例1.1.5 对“检验10件产品”这一试验，若引入X =“被检10件产品中的次品件数”，则X 为..V R ，其可能取值为0，1，2，…，10，且可用i)“1≤X ”表示事件“10被检件产品中的次品件数不多于1件”；ii)“2>X ”表示事件“被检10件产品中的次品件数超过2件”.例1.1.6 对“检测电视机寿命”的试验，若引入T =“电视机的寿命小时数”，则T 为..V R ，其可能取值充满区间[0,+∞),且容易明白：i)“40000>T ”表示事件“电视机的寿命超过40000小时”；ii)“10000≤T ”表示事件“电视机的寿命不超过10000小时”.1.1.5 事件的关系（Remarksi)一定要在同一Ω下讨论事件间的关系与运算，可借助集合间的关系与运算加以理解.ii)重视事件关系与运算的概率论语言的描述.） 1 包含关系①定义与记号：若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件A 包含于B ，也称事件B 包含A .记作B A ?或A B ?.(这是用概率论语言对事件包含关系的描述！) ②用集合论语言对事件包含关系的描述：若事件A 包含的样本点全属于事件B ，则称事件A 包含于B ，也称事件B 包含A .③Venn 图表示：B A ?④例子：i)对应于“例1.1.2”中的(2)2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若记A ＝“掷出4点”，B ＝“掷出偶数点”，则B A ?.ii)对应于“例1.1.2”中的(4)4Ω＝[0,+∞)，若记A ＝“电视机的寿命超过10000小时”， AB ΩB ＝“电视机的寿命超过20000小时”，则A B ?.iii)对任意事件A ，都有Ω??ΦA .2 等价关系①定义与记号：若事件A 与事件B 互相包含，则称事件A 与事件B 等价，也称事件A 事件B 相等.记作B A =. ②用集合论语言对事件等价关系的描述：若事件A 与事件B 包含的样本点完全相同，则称事件A 与事件B 等价.③Venn 图表示：B A =④例子：i) 对应于“例1.1.2”中的(2) 2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若记A ＝“掷出非奇数点”，B ＝“掷出偶数点”，则B A =.ii)例1.1.7(1)对“掷两颗均匀骰子”的试验，其Ω共有36个样本点，若记A ＝“掷出点数和为奇数”，B ＝“掷出一奇一偶的点数”，A BΩ则B A =.(2)从有a 只黑球和b 只白球(a>0,b>0)的袋中随机地一只一只作无放回摸球.若记A ＝“最后摸出的几只球全为黑球”，B ＝“最后摸出的1只球为黑球”，则B A = (如何理解？课外讨论题1).本讲课外作业习题1.1 .11.P1.(1)，(3) 4.(1)。
