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数学苏教选修自主练习：函数的和差积商的导数 含解析

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我夯基 我达标
1.函数y=3x-4的导数是( )
A.3 B.-4 C.-1 D.12
思路解析：由函数导数的运算法则知y′=3.
答案:A
2.函数y=sinxcosx的导数是( )
A.sin2x B.cos2x C.sin2x D.cos2x
思路解析：y′=(sinxcosx)′=(sinx)′cosx+sinx·(cosx)′=cos2x-sin2x=cos2x.
答案:D
3.曲线y=2x3-6x上切线平行于x轴的点的坐标是( )
A.(-1，4) B.(1，-4)
C.(-1，-4)或(1，4) D.(-1，4)或(1，-4)
思路解析：y′=(2x3-6x)′=6x2-6,
由y′=0,得x=1或x=-1.
代入y=2x3-6x,得y=-4或y=4.
即所求点的坐标为(1,-4)或(-1,4).
答案:D
4.函数y=x-(2x-1)2的导数是_____________.
思路解析：y=x-4x2+4x-1=-4x2+5x-1.
∴y′=-8x+5.
答案:5-8x
5.函数y=x2·cosx的导数为_____________.
思路解析：y′=(x2·cosx)′=(x2)′cosx+x2·(cosx)′
=2x·cosx-x2sinx.
答案:2x·cosx-x2·sinx
6.求曲线y=2x3-3x2+6x-1在x=1及x=-1处两切线的夹角.
思路解析：根据导数求切线斜率,再由夹角公式求得.
解:∵y′=6x2-6x+6
∴y′|x=1=6,y′|x=-1=18.
设k1=6,k2=18,夹角为α,

则tanα=10912|1|2121kkkk.

∴α=arctan10912.
我综合 我发展
7.已知函数f(x)=x2(x-1),当x=x0时，有f′(x0)=f(x0),求x0的值.
思路分析：利用导数的四则运算法则求导，建立方程求解.
解：∵f(x)=x2(x-1)=x3-x2,
∴f′(x0)=3x02-2x0.
又f′(x0)=f(x0),
∴3x02-2x0=x03-x02.

解得x0=0或x0=22或x0=22.
8.已知xxxxf22)1(,试求f(x)的导数f′(x).
思路分析：要求f′(x)必须先求出函数f(x)的解析式.本题考查已知f［g(x)］的解析式，如何
求出f(x)解析式，及应用导数的运算法则求导.

解：令tx1,则f(t)=22211121tttttt.

∴f(x)=221xxx.
f′(x)=
22222

22

)21(21)21()'21()21('xxxxxxxxxxx


.

9.设f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)，求f′(99).
思路分析：利用积的求导法则，运算量太大，完全乘出来也很困难，将x-99看作一个因式,
与其他因式相乘，计算成为可能.n!=n(n-1)(n-2)…3·2·1.
解：f′(x)=［(x-1)(x-2)…(x-98)(x-100)·(x-99)］′=［(x-1)(x-2)…(x-98)(x-100)］′(x-99)+［(x-1)(x-2)…
(x-98)(x-100)］(x-99)′
=［(x-1)(x-2)…(x-98)(x-100)］′(x-99)+［(x-1)(x-2)…(x-98)(x-100)］，
∴f′(99)=(99-1)(99-2)…(99-98)(99-100)=98×97×…×1×(-1)=-98!.

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人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 第1课时 函数的和、差、积、商的求导法则

人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 第1课时 函数的和、差、积、商的求导法则

+ 1+ =
=
,∴f'(x)=
'=
=
.
2
2
√
1-√
(1-√)(1+√) 1-
1-
(1-)
(1-)
sin
1
1
-(1+sin)'
cos
(4)∵f(x)=1+sin=1-1+sin,∴f'(x)=1'- 1+sin '=2 =
2.
(1+sin)
(1+sin)
反思感悟
应用基本初等函数的求导公式和导数的运算法则解决函数的求导问题时,
2
2
1
1
1
时,x=- ,此时 f'(x)只有一个零点- ,在区间(-1,1)内,符合题意.当 Δ>0,即 a≠2
2
2
时,函数的导数f'(x)在区间(-1,1)内只有一个零点,根据零点存在定理,可得
f'(-1)f'(1)<0,即[3-2(1-a)-a(a+2)][3+2(1-a)-a(a+2)]<0,
【规范解答】
求导公式及求导法则的综合应用
【典例】 已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值;
(2)若函数的导数f'(x)在区间(-1,1)内只有一个零点,求实数a的取值范围.
规范展示 (1)因为f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b,所以f'(x)=3x2+2(1-a)xa(a+2).
函数的求导法则

函数的求导法则

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复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求 例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
详细证明 首页 上页 返回 下页 结束 铃
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解 函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解 函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v
导数的四则运算综合训练

导数的四则运算综合训练


例 4、已知函数 f ( x) x3 bx2 cx d 的 图像过点 P(0，2)，且在点 M(-1，f(-1))处 的切线方程为 6x y 7 0 .求函数 y=f(x) 的解析式.
例 5、已知函数 f ( x) 2x3 ax 与 g(x) bx2 c 的图像都经过点 P(2，0)， 且在点 P 处有公共切线，求 f(x)，g(x) 的表达式。
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时
变化率：（1） 90% （2） 98%
例 3、求满足下列条件的函数 f(x)： (1) f(x)是三次函数, 且 f (0) 3, f '(0) 0, f '(1) 3, f '(2) 0 (2) f '( x) 是一次函数,
x2 f '( x) (2x 1) f ( x) 1
则 a 的值等于（
19
A. 3
13
C. 3
）
16
B. 3
10
D. 3
特别的： [c f ( x)]' cf '(x)
3.两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母
的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母
的平方 f ( x) f '( x)g( x) f ( x)g '( x)
g(
x)
'
g2(x)
(g( x) 0)
特别的:
1 g x
g
x
g2 x
知识应用
例 1、求下列函数的导数：
(1) y x2(ln x sin x)
(2) y
cos x x2x例 2、日常生活中的饮水通常是经过净化的．
随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.
和、差、积、商的求导法则

和、差、积、商的求导法则


且 (ay) ayln a 0 , 在 Ix (0,) 内,有
(loga x) (a1y)
1 a y ln a
1. x ln a
特别地 (lnx) 1 .
x
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《高等数学》电子教案山东农业大学科技学院
三、复合函数的求导法则
定理 如果函 u数 (x)在点 x0可导 , 而yf(u)
同理可得 (cx o) tcs2x c.
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《高等数学》电子教案山东农业大学科技学院
例4 求ysexc的导. 数
解 y(sex)c( 1 )
coxs

(cosx) cos2 x

sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
2sinxcoxs1 x
2co2xsln x1si2n x. x
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《高等数学》电子教案山东农业大学科技学院
例3 求ytaxn的导. 数 解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s co2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx 即(tx a ) n se 2x.c
n3xn1co xns fn1[ n(sx in)n] n1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
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五、双曲函数与反双曲函数的导数
(six n ) hcoxsh(cox)sh sin xh tanxhsinxh