函数的和、差、积、商的导数

1 4 t 4
例4:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程. 解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于S1 , y 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y 2( x 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
y [u( x x) v( x x)] [u( x) v( x)] [u( x x) u( x)] [v( x x) v( x)] u v; y u v ,
y u v u v lim lim( ) lim lim u( x ) v( x ); x 0 x x 0 x x x 0 x x 0 x
例5:在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应 的切点,并证明曲线关于此点对称. 2 2 解:由于 y 3 x 12x 1 3( x 2) 13,故当x=2时, y 有最小值. 而当x=2时,y=-12,故斜率最小的切线所对应的切点 为A(2,-12). 记曲线为S,设P(x,y)∈S,则有y=x3-6x2-x+6. 又点P关于点A的对称点为Q(4-x,-24-y),下证Q∈S. 将4-x代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x +12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30 =-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y. 即Q(4-x,-24-y)的坐标是S的方程的解,于是Q∈S. 这就证明了曲线S关于点A中心对称.
2 即( x 1) ( x 2)(3 x 2) 0, x 1,2, . 3 4 3 2 代 入y 3 x 2 x 9 x 4求 得y 4， 32 ， 0， 即公共点为 : (1,4)切 点, ( 2,32), ( 2 ,0). 3 故除切点以外,还有两个交点(-2,32),(2/3,0).
1 1 x2 1 4 ; ; ( 3) y 答案: (1) y 2 3 ; (2) y 2 2 2 (1 x ) cos x x x 6x3 x ( 4) y ; (5) y 2 x cos x x 2 sin x cos x 2 sin x ; 3 1 x2 x2 3 x3 x2
v v2
思考:你能否仿照积的导数的推导过程,证明商的导数 公式吗? 有了前面学过的常见函数的导数wenku.baidu.com式与函数的四则 运算的求导法则,就可以直接运用这些公式求得由幂 函数的和、差、积、商构成的函数,而不必从导数定 义出发了.
三、例题选讲：
例1:求下列函数的导数:
1 2 x (1) y 2 ; ( 2) y ; ( 3) y tan x; 2 x x 1 x 1 (4) y ( 2 x 2 3) 1 x 2 ; (5) y x 2 cos x si n x; 3 2 x x si n x x cos x ( 6) y ; ( 7 ) y . 3 (1 x )(1 x ) si n x cos x
x x x
即: y (u v ) u v.
2.积的导数: 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数 的导数 ,即( uv ) u v u v . 证: y f ( x ) u( x )v( x ),
( 2) Sn [ Pn ( x )]
n(1 n) x n1 2( n2 1) x n n( n 1) x n1 2 . 3 (1 x )
例7:已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=－x2+a,如果直线l 同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线 上两个切点之间的线段,称为公切线段. (Ⅰ)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出 此公切线的方程; (Ⅱ)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线 段互相平分.(2003天津高考(文)题) (Ⅰ)解:函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P (x1,x12+2x1)的切线方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2) (x-x1),即 y=(2x1+2)x-x12①; 函数y=-x2+a的导数y′=-2x,曲线C2 在点Q(x2, -x22+a)的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2).即 y=-2x2x+x22+a . ② 如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都 是l的方程.
y ( 3)求极限，得导函数 y f ( x ) lim . x 0 x
y f ( x x ) f ( x ) ; x x
公式3: (sin x ) cos x . 公式4:
. (cos x ) sin x
二、新课：
由上节课的内容可知函数y=x2的导数为y’=2x,那 么,对于一般的二次函数y=ax2+bx+c,它的导数又是什 么呢?这就需要用到函数的四则运算的求导法则. 1.和(差)的导数: 法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导 数的和(差),即: ( u v ) u v . 证: y f ( x ) u( x ) v( x ),
因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当 Δ x→0时, v(x+Δ x)→ v(x).从而:
y u( x x ) u( x ) lim lim v ( x x ) x 0 x x 0 x v ( x x ) v ( x ) u( x ) l i m u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); x 0 x
2
事实上,在曲线y=x3+ax2+bx+c是只有横坐标为a/3的唯一一点M,过该点的切线与曲线除切点外不再有 其它公共点.而点M实际上就是这条三次曲线的对称中 心. 练习2:设三次曲线y=x3-3x2/2-3x过原点的切线l1,平行 于l1的另一条切线为l2. (1)求l1、l2的方程; (2)当l1、l2的斜率为m时,求斜率为-m的两切线 l3、l4的方程. (3)求l1、l2 、l3、l4所围成的平行四边形的面积. 答案:(1).l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2. (2).l3:y=3x+7/2;l4:y=3x-10. (3).9/8.
x x Pn ( x ) ( x x x x ) ( ) 1 x ( x x n1 )(1 x ) ( x x n1 )(1 x ) 1 ( n 1) x n nx n1 . 2 2 (1 x ) (1 x )
函 数 的 和、差、积、商
的 导 数
一、复习：
1.求函数的导数的方法是: (1)求函数的增量 y f ( x x ) f ( x ); ( 2)求函数的增量与自变量 的增量的比值:
2.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 3.常见函数的导数公式: 公式1: C 0 (C为常数). n n 1 ( x ) nx (n Q ) . 公式2:
( A) 1 x ( B) x 1 x (C ) 2 x 3 ( D) 1 2x3
(4)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的 切线的倾斜角的取值范围是( D )
3 3 3 3 ( A)[0, ] ( B )[ , ) (C )[0, ) ( , ] ( D)[0, ] [ , ) 4 4 2 2 4 2 4
2 1 2x 3x2 1 x sin x cos x cos x (6) y ; ( 7 ) y . 2 (1 x )2 (1 x )4 (sinx cos x )
例2:(1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命题乙:F(x)= f(x)+g(x)在x=x0处可导,则甲是乙成立的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)即不充分也不必要条件 (2)下列函数在点x=0处没有切线的是( D ) (A)y=x3+sinx (B)y=x2-cosx (C)y=xsinx (D)y= x +cosx 1 (3)若f ( x ) x 2 , 则f(x)可能是下式中的( B )
y u( x x )v( x x ) u( x )v( x ) u( x x )v( x x ) u( x )v( x x ) u( x )v( x x ) u( x )v( x ), y u( x x ) u( x ) v ( x x ) v ( x ) v ( x x ) u( x ) . x x x
练习1:已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线C上横坐 标为1的点的切线方程;(2)第(1)小题中切线与曲线C是 否还有其它公共点?如果有,求出这些点的坐标. 解:(1)把x=1代入曲线C的方程得切点(1,-4). y 12x 3 6 x 2 18x ,所以切线的斜率k=12-6-18= -12.故切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8. y 3x4 2x3 9x2 4 ( 2)由 3 x 4 2 x 3 9 x 2 12x 4 0, y 12x 8
2 x1 2( x2 2) x1 0 x1 2 或 . 因为两切线重合, 2 2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4. 所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4. 注:此题为p.238第12题.
即: y (uv ) uv uv. 推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数, 即: (Cu) Cu. 3.商的导数: 法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母 的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母 的平方,即: ( u ) uv uv (v 0).
例6:用求导的方法求和: (1) Pn ( x ) 1 2 x 3 x 2 nx n1 ( x 1);
x(1 x ) 解： (1) x x x x ( x 1), 1 x n 1
2 3 n
2 3 n
( 2) S n 1 2 2 3 x ( n 1)nx n 2 ( x 1). n n1 ( x ) nx , 可联想到它是另一个和式 对(1)由求导公式 x+x2+x3+…+xn的导数. n
例3:某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) s(t ) t 3 12t 2 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.