二次函数a,b,c 的符号判断问题

二次函数：图象位置与的符号

主备人：周海茹

审核人：杨俐

【学习目标】

掌握抛物线的图像与系数的关系

【学习重点】

通过抛物线的位置判断的符号．

【学习难点】

通过的符号判断抛物线的位置

【学习过程】

前面，我们已经学过二次函数的一些基本性质，现在我们简单地回顾一下这些性质：

二次函数的图象是 ,应用配方法可将其化为 ．其中 ， ．其图象与函数的图象的 相同，开口方向相同， 那么，我们今天一起来学习抛物线的位置与之间的关系．上面讲过，对于抛物线来说：

（1）决定抛物线的开口方向： ； ．

（2）C决定抛物线与轴交点的位置， 抛物线交轴于 ；

抛物线交轴于 ； ．

（3）ab决定抛物线对称轴的位置，

当同号时对称轴在轴 ；对称轴为 ；异号对称轴在轴 ，简称为 ．

（4）b2-4ac决定抛物线与x轴交点的个数,当时，抛物线与轴有

交点；当时，抛物线与轴有 交点；当时，抛物线与轴有 交点．

【典型例题】

一、通过抛物线的位置判断的符号．

例 1 ．根据 二次函数 的图象，判断 a 、 b 、 c 、 b 2 -4ac 的符号

例2.看图填空

（1）a＋b＋c_______0

（2）a－b＋c_______0

（3）2a－b _______0

（4）4a＋2b＋c_______0

二、通过的符号判断抛物线的位置：

例1．若，则抛物线的大致图象为（ ）

D

例2．若，那么抛物线经过 象限．

例3.已知二次函数且；则一定有 0

D

C

B

例 4 ．

如果函数 的图象在第一、二、三象限内，那么函数 的大致图象是（ ）

A

0

【课堂练习】

1．若抛物线开口向上，则直线经过

象限．

2 ．二次函数 的图象如图所示 , 则下列条件不正确的是 (

A、

B、

C、

D、

3 ．二次函数 的图象如图，则点 在 ．（ ）

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

4 ．二次函数 与一次函数 在同一坐标系中的图象大致是 (

二次函数的图象与性质

易错清单

1. 二次函数的图象与系数a,b,c的符号的确定.

【例1】 (2014·山东烟台)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:

① 4a+b=0;② 9a+c>3b;③ 8a+7b+2c>0;④ 当x>-1时,y的值随x值的增大而增大.

其中正确的结论有( ).

A. 1个 B. 2个

C. 3个 D. 4个

【解析】 根据抛物线的对称轴为直线x=2,则有4a+b=0;观察函数图象得到当x=-3时,函数值小于0,则9a-3b+c<0,即9a+c<3b;由于x=-1时,y=0,则a-b+c=0,易得c=-5a,所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a.再根据抛物线开口向下得a<0,于是有8a+7b+2c>0;由于对称轴为直线x=2,根据二次函数的性质得到当x>2时,y随x的增大而减小.

【答案】 ∵ 抛物线的对称轴为直线x=2,

∴ b=-4a,即4a+b=0,所以①正确.

∵ 当x=-3时,y<0,

∴ 9a-3b+c<0,即9a+c<3b.所以②错误.

∵ 抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),

∴ a-b+c=0.

而b=-4a,∴ a+4a+c=0,即c=-5a.

∴ 8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a.

∵ 抛物线开口向下,

∴ a<0.

∴ 8a+7b+2c>0.所以③正确.

∵ 对称轴为直线x=2,

∴ 当-12时,y随x的增大而减小.所以④错误.故选B. 【误区纠错】 本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由Δ决定,Δ=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;Δ=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;Δ=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.

二次函数一般式，三点就可以确定a、b、c的值，知对称轴也可得a、b的已知式，知顶点可得a、b、c的两个已知式，也可以转化顶点式来求一般式。

a、b、c个个是精灵，a的符号决定开口方向，a的绝对值确定抛物线的形状（开口度），a、b用对称轴来关联，对称轴在y轴左边a、b符号同，对称轴在y轴右边a、b府号反，左同右异判断起来真方便。C在哪？与y轴交点的纵坐标；好悟性！za和b想到对称轴，a+b+c读到横坐标为Ⅰ时，a-b+c悟出横坐标为-1时，b的平方减4ac决定与x轴交点数。

函数与方程，关系不一般；若y等于0，立马变方程；△引进来，与x轴交点个数也清楚；（x1,0)(x2,0)韦达定理也参与。

几何与函数，实在理不清；坐标与垂线段，对应要看清；面积的世界太宽广，平行等积可变换，矩形减四周减法思维记心间，平行y轴来分割加法思维来渗透。有时候，全等构造来帮助，45度的借用很关键，直角等腰构全等，点的坐标也大用，倚仗坐标轴来转化已知。有时候，两点间距离公式也参与。太难的题目不慌张，条件需要合理来转化，几何分析助力函数表达，相互转化巧解题目。

直线与抛物线，本是两兄弟，联立即方程，代数知识全装在这里，直线平移k相问，条件迁移特快捷。平行x轴纵相同，平行y轴横相同，关联参数来设出，已知才能琢磨透。

图像和性质，读懂全靠顶点式；先中间后两边，顶点寻找最关键，其它各点找对称，横以对称轴为中点，纵相等来就对称；图像画法又一法，顶点加交点的方法更实用。若是应用实际类，补上端点加实线；若用平移来变化，上加下减在外面，左加右减在里面。

抛物线增减性，对称轴是核心；此类题目太抽象，画图分析有帮助。

实际问题：看清字母的意义，根据实际找规律。面积问题很容易，关联量的表示不忘记。最大利润怎分析，图表分析是创意，双变量关联分析得理清，抛物形的实际问题，坐标系的建立是关键。

分清应用的类型，二次函数当模型。函数分析细思量，目标引导找等量。合理确定自变量，自变量表关联量。表格分析复杂量，式子图形来帮忙。图形式子来说明，形数关系才分明。关联知识要记清，函数关系就简明！

专题02 二次函数与系数a、b、c的关系

【知识梳理】

知识梳理一、二次函数2yaxbxc中a、b、c的基本认知

项目

字母 字母的符号 图象的特征

a a的符号决定开口方向 a＞0 开口向上

a＜0 开口向下

│a│大小决定开口大小 │a│越大 开口越小

│a│越小 开口越大

a 、b a 、b共同决定对称轴的位置，共同右异 ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧

ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧

c c决定图像与y轴的

交点位置 c=0 图象过原点

c＞0 与y轴正半轴相交

c＜0 与y轴负半轴相交

b2-4ac b2-4ac的符号决定与x轴的交点位置 b2-4ac=0 与x轴有唯一交点

b2-4ac＞0 与x轴有两个交点

b2-4ac＜0 与x轴没有交点

知识梳理二、关于a、b、c代数式的取值问题．

字母 常见代数式、方程、不等式 代数式的意义

a、b、c a±b+c 表示x=±1时，2yaxbxc的函数值

4a±2b+c 表示x=±2时，2yaxbxc的函数值

a、b b、c 2a±b 通过对称轴x=2ba=±1的变形来判断

4a±b 通过对称轴x=2ba=±1的变形来判断

a、c 3a+c=0

通过a、b、c的代数式和对称轴方程变形

b、c 3b +2c=0

a、b、m a+b≤m（am+b） 当函数在x=1时取得最小值可得

知识梳理三、图像共存问题．（一般分为以下三类） （1） 通过给出的系数系数信息，判断图像共存

（2） 通过给出的图像判断系数，再判断图像共存

（3） 不给出任何系数信息，通过题意判断

【例题精讲】

例1．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）

A．B．C．D．

例2．已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（ ）