二次函数中的符号问题

二次函数中的符号问题一、基本知识：（1）二次函数y=ax 2+bx+c 的图像是一条抛物线，这条抛物线的形状（开口方向、开口大小）是由 决定的. 抛物线的开口向上抛物线的开口向下抛物线的形状相同（2）抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点的位置是由 决定的.抛物线与y 轴相交于正半轴上；抛物线与y 轴相交于原点；抛物线与y 轴相交于负半轴上.（3）抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴的位置是由 决定的.对称轴在y 轴的左侧；对称轴在y 轴的右侧；对称轴就是y 轴.（4）抛物线与x 轴交点的个数由 决定的.抛物线与x 轴有2个交点；抛物线与x 轴有1个交点；抛物线与x 轴有0个交点.（5）二次函数y=ax 2+bx+c 的值恒大于0（或恒小于0）的条件是:y 恒大于0y 恒小于0（6）抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标是（ ， ）顶点在x 轴上顶点在y 轴上二、例题：例1、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空：（用“＞”、“＝”、“＜”填空 ）（1）a___0，b__0，c___0，（2）a+b+c_____0，a －b+c______0，（3）例2、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空：（用“＞”、“＝”、“＜”填空 ）（1）a___0；b___0；c___0；a+b+c___0；a －b+c______；（2）练习：二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空：（用“＞”、“＝”、“＜”填空 ）（1）a_____0，b____0，c_____0；（2）a+b+c_____0，a －2b_____0，9a －3b+c_____0c_____0b 21a 41+-1_____0b 21a 41--例3、（1）已知二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，那么这个函数图像的顶点必在…（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，已知图像与x轴的一个交点为（1,0），则下列各式中不成立的是…………（）A、b2－4ac>0B、abc<0C、a+b+c=0D、a－b+c=0（3）如图，x=1是y=ax2+bx+c的对称轴，则下列结论中正确的是……（）A、a+b+c>0B、b>a+cC、abc<0D、2a+b＝0（4）函数y=ax2+bx+c 的图像如图所示，则下列式子能成立的是（）A、abc>0B、b<a+cC、a+b+c<0D、2c<3b例4、（1）函数y=ax+m，y=a(x+m)2+k图像大致是…………（）（2）函数y=ax2和y=a(x－2)(a≠0)在同一坐标系里的图像大致是………………（）A、B、C、D、（3）若一次函数y=ax+b的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx－3的大致图像是…（）A、B、C、D、（4）y=ax+b与y=ax2+b在同一坐标系内的图像大致是………………………（）。

二次函数a、b、c、△符号问题及相关问题一选择题1.如图所示，抛物线的图象则下列结论正确的是（）A a<0，b<0，c＞0，b2＜4acB a<0，b>0，c<0，b2＜4acC a<0，b>0，c＞0，b2>4acD a>0，b<0，c＞0，b2>4ac2.如图a＜0，c＞0那么y＝ax2＋bx＋c的图象是（）3.已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③ 4a+b=0；④当y=－2时，x的值只能取0．其中正确的个数是（）A l个 B 2个 C 3个 D 4个4.二次函数y=mx2+2mx-（3-m）的图象如图所示，则m的取值范围是（）A m＜3B m＞3C m＞0D 0＜m＜35.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( )6.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如右图所示，若y<0，则x的取值范围是（）A −1<x<4B -1<x<3C x<-1或x>4D x<-1或x>37.在某次投篮中，球的运动路线是y=-0.2x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离为( )A 3.5mB 4mC 4.5mD 4.6m8.若抛物线y=x2+8x+h2的顶点在x轴上，则（）A h=0 B h=±16 C h=±4 D h=49.如果二次函数y=ax2+m的值恒大于0，那么必有（）A a＞0，m取任意实数B a＞0，m＞0C a＜0，m＞0D a，m均可取任意实数10.已知a-b+c=0，9a+3b+c=0，则抛物线y=ax2+bx+c的顶点可能在( )A 第一或二象限B 第三或四象限C 第一或四象限D 第二或四象限11.抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），且满足4a+2b+c＞0，以下结论：①a+b＞0；②a+c＞0；③﹣a+b+c ＞0；④b2﹣2ac＞5a2，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12.物线y=ax2+bx+c(a≠0)全部图象都在x轴下方，则( )A a>0，b2-4ac≥0B a>0，b2-4ac<0C a>0，b2-4ac≥0D a<0，b2-4ac<0二填空题13.若二次函数y=(a-1)x2-2x+1的图象与x轴只有一个交点，则a=________14.不论x取什么实数，y=2x2-6x+m的图象都在x轴的上方，那么m的取值范围是________；y=mx2－3x＋2m－m2的图象经过原点，则m＝15.二次函数y＝x2-(m-4)x+9的图象的顶点在y轴上，则m＝16.二次函数y＝x2＋2kx＋8的顶点在x轴上，则k＝17.已知抛物线y＝x2－2（k+1）x＋16的顶点在x轴上，则k的值为______18.抛物线y＝x2－(m－4)x－m与x轴的两个交点关于y轴对称，其顶点坐标为______19.已知抛物线y＝x2+2（m－3）x＋1的顶点在x轴上，则m＝______顶点坐标是_________20.平移抛物线y = x2+2x-8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式21.如果二次函数y=x2-3x-2k,不论x取任何实数,都有y>0,则k的取值范围是________22.把抛物线y=2(x+1)2向下平移______单位后,所得抛物线在x轴上截得的线段长为523.抛物线y=-3(x+2)2的顶点坐标是_____________,若将它旋转180后得新的抛物线,其解析式为____________________24.把y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有b=_____，c=_____三解答题25.如图，抛物线y＝ax2+bx＋c确定a，b，c，b2-4ac，a+b+c，a-b+c的符号26.抛物线y＝ax2+bx＋c的图像如图，对称轴是直线x＝－1确定a,b,c，Δ及a－b＋c 的符号27.已知抛物线y＝ax2+bx+c的一段图象如图所示．（1）确定a、b、c的符号；（2）求a+b+c的取值范围．28.如图为二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c=0的根是x1= －1, x2= 3；③a＋b＋c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大.正确的说法有_____________29.有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系（如图所示）．（1）请你直接写出O、A、M三点的坐标；（2）一艘小船平放着一些长3米，宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，问这些木板最高可堆放多少米（设船身底板与水面在同一平面）？30.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点M（1，—2）、N（—1，6）.（1）求二次函数的关系式；（2）把Rt△ABC 放在坐标系内，其中∠CAB=900，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离.二次函数a、b、c、△符号问题及相关问题答案1.C2.D3.B4.D5.B6.B7.B8.C9.B 10.C 11.D 12.D11.分析（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），把点（﹣1，0）代入解析式，结合4a+2b+c＞0，即可整理出a+b＞0；（2）②+①×2得，6a+3c＞0，结合a＜0，故可求出a+c＞0；（3）画草图可知c＞0，结合a﹣b+c ＝0，可整理得﹣a+b+c＝2c＞0，从而求得﹣a+b+c＞0；（4）把（﹣1，0）代入解析式得a﹣b+c＝0，可得出2a+c＞0，再由a＜0，可知c＞0则c﹣2a＞0，故可得出（c+2a）（c﹣2a）＞0，即b2﹣2ac﹣5a2＞0，进而可得出结论．解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），所以原式可化为a﹣b+c＝0 ①，又因为4a+2b+c＞0 ②，所以②﹣①得：3a+3b＞0，即a+b＞0；（2）②+①×2得，6a+3c＞0，即2a+c＞0，∴a+c＞﹣a，∵a＜0，∴﹣a＞0，故a+c＞0；（3）因为4a+2b+c＞0，可以看作y＝ax2+bx+c（a＜0）当x＝2时的值大于0，草图为：可见c＞0，∵a﹣b+c＝0，∴﹣a+b﹣c＝0，两边同时加2c得﹣a+b﹣c+2c＝2c，整理得﹣a+b+c＝2c＞0，即﹣a+b+c＞0；（4）∵过（﹣1，0），代入得a﹣b+c＝0∴b2﹣2ac﹣5a2＝（a+c）2﹣2ac﹣5a2＝c2﹣4a2＝（c+2a）（c﹣2a）又∵4a+2b+c＞04a+2（a+c）+c＞0，即2a+c＞0①，∵a＜0，∴c＞0则c﹣2a＞0②，由①②知（c+2a）（c﹣2a）＞0，所以b2﹣2ac﹣5a2＞0，即b2﹣2ac＞5a2,综上可知正确的个数有4个．故选：D．13.2 14.m＞9／2，2 15.4 16.±22 17.3或-5 18.（0，-4） 19.4或2，（1,0）或（-1,0） 20.y=x2+2x 21.k＜-9／8 22. 25／2 23.（-2,0），y=3（x+2）2 24.3，725. a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞0，a+b+c＞0，a-b+c＜026.a＜0，b＜0，c＞0，△＞0，a-b+c＞027.解：（1）根据抛物线开口向上，则a＞0，∵对称轴在x轴正半轴可知﹣＞0，∴b＜0，又与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，故a＞0，b＜0，c＜0；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），（0，﹣1），∴a﹣b+c＝0，c＝﹣1，即a﹣b＝1，a＝b+1，∴a+b+c＝b+1+b﹣1＝2b，∵b＜0，∴2b＜0，∵a＞0，∴b+1＞0，∴b＞﹣1，2b＞﹣2，故，﹣2＜a+b+c＜0．28.①②④29.解：（1）解：如图，O（0，0）．∵OA为6米，∴A（6，0），又∵BM的对称轴，BM为3米，∴M（3，3）．综上所述，O（0，0），A（6，0），M（3，3）．（2）设抛物线的关系式为y＝a（x﹣3）2+3，因为抛物线过点（0，0），所以0＝a（0﹣3）2+3，解得a＝﹣，所以y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x，要使木板堆放最高，依据题意，得B点应是木板宽CD的中点，把x＝2代入y＝﹣x2+2x，得y＝，所以这些木板最高可堆放米．30.解：（1）∵M（1，﹣2），N（﹣1，6）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，∴，解得二次函数的关系式为y＝x2﹣4x+1．（2）Rt△ABC中，AB＝3，BC，＝5，∴AC＝4，4＝x2﹣4x+1，x2﹣4x﹣3＝0，解得（负值不合题意舍去），∵A（1，0），∴点C落在抛物线上时，△ABC向右平移（1+）个单位．。

二次函数字母符号问题1.已知：二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则点M （cb ，a ）在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2、已知：二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，下列结论中：①b ＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④22)(b c a +，其中正确的个数是 （ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个3、已知：二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，下列结论中：①abc ＞0；②b=2a ；③a+b+c ＜0；④a+b-c ＞0; ⑤a-b+c ＞0正确的个数是 （ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个4.二次函数c bx ax y ++=2的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过A(0,1),B(1,0),请判断实数a 的范围,并说明理由.5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数c ax y +=2（a<0）的图象过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则ac 的值是 .6.如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y 轴相交于负半轴． A a>0； B b>0； C c>0； D a+b+c=0; E abc<0； F 2a+b>0； G a+c=1； H a>1．其中正确结论的序号是 ．xy O 1-1 27．已知抛物线c bx ax y ++=2（a ＜0)经过点（－1，0），且满足4a ＋2b ＋c ＞0．以下结论：①a ＋b ＞0；②a ＋c ＞0；③－a ＋b ＋c ＞0；④2252a ac b -．其中正确的个数有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个8.已知函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图像如图所示，下列5个结论中①abc ＞0；②b ＜a+c;③4a+2b+c ＞0；④2c ＞3b; ⑤a+b ＞m(am+b)(m ≠1的实数)，其中正确结论的个数是（ ）A 、5个B 、4个C 、1个D 、2个9已知函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图像经过（-2，0），另一交点在1到2之间，与y 轴的交点在0到2之间，下列4个结论中①4a-2b+c=0②0 b a ③2a+c ＞0④2a-b+1＞0正确的个数有（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个。