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二次函数中的符号问题分析

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二次函数中的符号问题

二次函数中的符号问题
探索数学符号在实际问题中的重要性，例如物理学、经济学和统计学等领域的应用案例。
符号问题在数学竞赛中的应用
了解符号问题在数学竞赛中的常见考点，应用技巧和解题思路，提升数学竞 赛的得分。
负导数的影响
负导数导致抛物线开口向下，影 响函数的增减性。
对称轴的意义
对称轴确定了抛物线的对称性质， 影响函数的对称性。
方程组和符号
等于号
等于号用于表示方程组中的等 式，解决方程问题。
不等号
不等号用于表示方程组中的不 等式，解决不确定问题。
集合符号
交集、并集、补集符号在方程 组中的应用，理解问题的集合 关系。
函数的性质与符号
奇偶性
函数的奇偶性通过符号判断，帮助分析函数的对称性。
周期性
函数的周期性通过符号表示，查找规律和解决周期问题。
全域性
函数的定义域和值域，利用符号确定函Βιβλιοθήκη 的特性。不等式解法中的符号应用
了解不等式解法中，符号的应用技巧和常见错误，通过示例演示解决问题的思路。
数学符号在实际应用中的重要性
二次函数中的符号问题
探索二次函数中的符号问题，包括基本概念、符号的含义和使用方法，符号 对图像、方程组和函数性质的影响，以及在不等式解法和数学竞赛中的应用。
基本概念及定义
解析二次函数的基本概念，明确符号的含义和使用方法。应用示例和图像展 示，加深理解。
图像和符号的关系
正导数的影响
正导数导致抛物线开口向上，影 响函数的增减性。

二次函数符号判断(含答案)

二次函数符号判断(含答案)
∵a﹣b+c=0，
∴4a﹣4b+4c=0，
∴﹣4b+4c=﹣4a，
∵a＞0，
∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a＜0，
故此选项正确；
④根据图示知，当x=4时，y＞0，
∴16a+4b+c＞0，
由①知，b=﹣2a，
∴8a+c＞0；
故④正确；
故正确为：①②③三个．
故选：A．
解：根据图象可得：a＞0，c＞0，
1.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,D两点，与y轴交与点C，抛物线的顶点B在第一象限，若点A的坐标为（1,0），试分析判断a,b,c,b2﹣4ac,2a+b,2a-b,a+b+c,a-b+c的符号,其中大于零的有( )个.
A.4个B.3个C.2个D.1个
2.（2011•兰州）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：
A.4个B.3个C.2个D.1个
8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（ ）
A.3个 B.2个 C. 1个 D.0个
分析：
首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据二次函数的对称轴x=﹣ ，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＞0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用b﹣2a=0时，求出a﹣2b+4c＜0，再利用当x=4时，y＞0，则16a+4b+c＞0，由①知，b=﹣2a，得出8a+c＞0．

二次函数中常见关系式符号的判断

二次函数中常见关系式符号的判断
为对称轴 一 ｏ＝ ２，
二Ｕ
所以 一 ｂ＝ ４ ａ ．
如果二次函数 Ｙ＝ ａ Ｎ ＋ ＋ｃ （ ａ≠０ ） 的对称轴 ＝
一
则４ ａ＋ｂ ＝ ０ ．
所以④对．
在点（ １ ， ０ ） 的 左边 ， 则一 ＜１ ， 当 ｏ＞０时 ， 得２ ａ＋
当Ｙ ＝２时 ， 对应的的值有两个 ， 所以⑤错．
正确是 （ ） ．
即①正确．
为 一１ ＜一 一 ＜ ０，
二“
Ａ ． ① ④ Ｃ ． ②⑤
， ：
Ｂ ． ③④ Ｄ ． ③⑤
Ｊ Ｉ １ Ⅱ一 ２ ａ＜ 一ｂ ．
即 ２ ａ—ｂ＜０ ．
所 以② 正确． 一Fra bibliotek，？ ０ ｉ ２
：
７ 、
＼
因 为 图 象 经 过 （一１ ， ２ ） ，
当 ＝ 一 ２时 ， Ｙ ＜０ ，
所以 ａ （一 ２ ） ＋ｂ Ｘ（一 ２ ）＋ ｃ ＜ ０
贝 Ｕ ４ Ⅱ一 ２ ６＋ ｃ ＜ ０ ．
如图所示 ， 则下列结论①６ 一 ４ ａ ｃ＜ ０ ， ②ａ ｂ ＞ Ｏ ， ③ｎ—ｂ＋ Ｃ ： ０ ， ｇ ） ４ ａ＋ｂ： ０， ⑤ 当 Ｙ： ２时 ， 只能有 一个值． 其 中
Ａ ． １ 个 Ｂ ． ２个
如 果 二 次 函数 ｙ＝ 似 ＋ ＋ｃ （ ａ ≠０ ） 的 对 称 轴 ＝
一
） ．
经过（ １ ， ０ ） ， ２ ａ＋ｂ ＝ ０ ．
举 例 如 下
分析
由 象得 ；
例 １ 已知二 次函数 Ｙ＝ ａ ｘ ＋ｋ ＋ｃ （ ａ ≠０ ） 的 图象
所 以选 ．
ｂ＞ ０ ， 当 ａ＜ ０时 ， ２ ０＋ｂ ＜ ０ ．

二次函数中的符号问题

二次函数中的符号问题
1
基础回顾：
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向、形状与什么 有关？
a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下。
a 相等
抛物线的形状相同
2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是（0、c）.
3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是 X=- b .
2a
2
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
y
根据图像可得：
1、a＞0
2、- b ＞0
2a
o
x 3、△=b²-4ac＞0
4、C＞0
6
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
根据图像可得：
1、a＞0
b
2、-
＜0
2a
o
x 3、△=b²-4ac＞0
4、C＝0
7
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
M
B 1
Ax
O
1
17
再想一想：
5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a<0）的
图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是 -2 .
设正方形的对角线长为2n， 根据图像可得：
∵A（0、2n）、B（-n、n）、 C（n、n） ∴n=a（±n）²+2n、c=2n，
∴a=- 1 ，∴ac=2n*（-
②如图2a＋b _______0 4a＋2b＋c_______0
12
根据图象填空：
（1）a_____0； （2）b_____0； （3）c______0； （4）b2 4ac _____0； （5）a＋b＋c_____0； （6）a－b＋c_____0； （7）2a＋b_____0；

九年级数学二次函数中a,b,c符号的确定

九年级数学二次函数中a,b,c符号的确定

九年级数学二次函数中a ，b ，c 符号的确定珠海市第四中学（519015） 邱金龙二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象是抛物线，利用图象来确定a ，b ，c 的符号，是常见的问题，解决的关键是对二次函数的图象和性质的正确理解。

一、a ，b ，c 符号的确定（1）a 符号的确定。

抛物线的开口向上，a ＞0，抛物线的开口向下，a ＜0。

（2）c 符号的确定。

因为x=0时，由c bx ax y ++=2得，y ＝c ，故抛物线与y 轴交点在y 轴的正半轴，c ＞0，抛物线与y 轴交点在y 轴的负半轴，c ＜0，抛物线经过原点，c ＝0。

（3）b 符号的确定。

b 的符号要看对称轴ab x 2-=，再结合a 的符号来确定。

二、应用举例1、二次函数c bx ax y ++=2的图象分别如图所示，试分别判断（A ）（B ）（C ）（D ）图中a ，b ，c 的符号。

分析：（A ）图中，抛物线的开口向上，故a ＞0；抛物线与y 轴的交点P 在y 轴的负半轴，故c ＜0。

对称轴ab x 2-=＞0，而a ＞0，故b ＜0。

（B ）图中，抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点P 在y 轴的正半轴，故c ＞0。

对称轴ab x 2-=＜0，而a ＜0，故b ＜0。

（C ）图中（过程略），a ＞0，c ＞0 ，b ＞0。

（D ）图中（过程略），a ＜0， c ＜0 ，b ＞0。

2、（2004重庆中考题）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则点M （b ，ac ）在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限分析：抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，故c ＞0。

对称轴ab x 2-=＞0，而a ＜0，故b ＞0。

因此，点M （b ，ac ）的横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限，选（D ）。

3、（2004陕西中考题）二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ）A 、ab ＜0B 、bc ＜0C 、.a+b+c ＞0D 、a －b+c ＜0分析：抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，故c ＜0。

二次函数中的符号问题

二次函数中的符号问题
； 抛物线与y轴相交于原点； 抛物线与y轴相交于负半轴上.
（3）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的位置是 由 a和b共同 决定的.
a与b同号 a与b异号 b=0

对称轴在y轴的左侧； 对称轴在y轴的右侧； 对称轴就是y轴.
（4）抛物线与x轴交点的个数由 b2－4ac的符号 决定的.
C、第三象限
D、第四象限
例3、（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，已知 图像与x轴的一个交点为（1,0），则下列各式中不成 立的是…………………………（ D ）
A、b2－4ac>0
B、abc<0 C、a+b+c=0 D、a－b+c=0 -1 O
y
1
x
例3、（3）如图，x=1是y=ax2+bx+c的对称轴，则下 列结论中正确的是……………………………（ D ） A、a+b+c>0 y
y y y y
x
x
x
x
A、
B、
C、
D、
例4、（2）函数y=ax2和y=a(x－2)(a≠0)在同一坐标 系里的图像大致是………………（ D ）
y
y o
x x
y
y o x
o
o
x
A、
B、
C、
D、
例4、（3）若一次函数y=ax+b的图像经过第二、三、 四象限，则二次函数y=ax2+bx－3的 大致 图像是… （ ） C
B、b>a+c
C、abc<0
D、2a+b＝0
-1
1
x
例3、（4）函数y=ax2+bx+c 的图像如图所示，则下 列式子能成立的是（ D ） y A、abc>0

二次函数符号问题


o
x
△>0.
8
火眼金睛
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 的符号：
y
a>0, b>0, c=0,
o
x
△>0.
9
火眼金睛
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 的符号：
y
a>0, b<0, c>0,
且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；
判断a＋b＋c的符号
(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点 的纵坐标为正值，即a· 12＋b· 1＋c＞0， 故 a＋ b＋ c＞ 0；
判断a－b＋c的符号
(7)因为图象上的点的横坐标为－1时， 点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1) ＋c＜0，故a－b＋c＜0．
①a____0 ＜ ， ②b_____0, ＜ ③c_ ＞ __0， ＞ ， ④b2-4ac_____0 -2 -1 0 1
⑤a+b+c_____0, ＜
⑥2a+b_ ＜__0.
2.已知 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象右图，5
①3a-b = ② ＞
0, 0.
----达标 5 ~ 10 ----优秀 13 ----NO.1
小 结 一
a的符号： 由抛物线的 开口方向确定 b的符号： 由抛物线的对称轴的位置 确定
C的符号： 由抛物线与
y 轴的 交点位置 确定:
7
由抛物线与 x 轴交点 个数 决定 的符号：
火眼金睛

二次函数符号


仔细观察、 仔细观察、理解
y
+bx+c(a≠ 在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中：
y= （1）当x=1 时， a+b+c ＞０ y= （2）当x=-1时， a-b+c ＜０ x=-2 -1 o1 2 x
x=2时 （3）当x=2时，y= 4a+2b+c ＞０
y= x=（4）当x=-2时， 4a-2b+c ＜０
1.a,b,c等符号与二次函数y=ax +bx+c有密 1.a,b,c等符号与二次函数y=ax2+bx+c有密 等符号与二次函数 切的联系； 切的联系； 2.解决这类问题的关键是运用数形结合思想， 2.解决这类问题的关键是运用数形结合思想， 解决这类问题的关键是运用数形结合思想 即会观察图象；如遇到2a+b,2a 2a+b,2a即会观察图象；如遇到2a+b,2a-b要与对称轴联 系等； 系等； 3.要注意灵活运用数学知识， 3.要注意灵活运用数学知识，具体问题具 体分 要注意灵活运用数学知识 析……
数学因规律而不再枯燥， 数学因规律而不再枯燥， 数学因思维而耐人寻味。 数学因思维而耐人寻味。
让我们热爱数学吧！ 让我们热爱数学吧！
达标测评
1.填空：已知抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置 如图 填空：已知抛物线 ＝ ＋ ＋ 填空 在平面直角坐标系中的位置 所示，分别填﹥ 所示，分别填﹥，﹤或 = （1） a ﹤0 （2） b ﹥ 0 ） ） （3） c﹥ 0 （4） b²-4ac ﹥ 0 ） ） （5） a＋b＋c ﹥ 0 ） ＋ ＋ 2 ﹤ 2.二次函数 二次函数y=ax²+bx+c的值恒大于 的条件是 a﹥0 b -4ac﹤0 . 的值恒大于0的条件是 ﹥ 二次函数 的值恒大于 3.如图为抛物线 的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴 如图为抛物线 的图像， 、 、 的交点， 的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是 （ B ） ， A．a＋b=－1 B． a－b=－1 ． ＋ － ． － － C．b<2a D． ac<0 ． ． 2 4.二次函数 y = ax + bx + c 的图象如图所示，则反比例函数 的图象如图所示， 二次函数 y = bx + c 在同一坐标系中的大致图象是（ D）. 在同一坐标系中的大致图象是（

二次函数中的符号问题与求解析式

我们还将介绍如何在坐标系上画出二次函数的图像，并解释顶点的作用和它 如何与符号问题相关联。
（使用images布局）
常量项符号的影响
正数常量项
使抛物线图像上移
负数常量项
使抛物线图像下移
零常量项
使抛物线经过x轴
二次项系数符号的影响
1
负系数
2
抛物线开口向下
3
正系数
抛物线开口向上
系数越大
抛物线形态越尖
配方法
配方法（消元法）是求解析式的一种方法。它通过配方和移项，将二次函数 转化为求平方根的形式。
我们将演示如何使用配方法来求解析式，并讨论何时它是一个好的选择，何 时它可能会非常棘手。（使用images布局）
因式分解
1
步骤一
将三项式按照二次项和一次项系数的公共因子分成两组。
2
步骤二
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对每一组进行因式分解，得到两个括号里面的内容。
3
步骤三
将两个括号里面的内容相乘，得到解析式。
二次公式法
二次公式法，也叫根公式，是涉及求根的二次方程最常用的一种方法。它能 够在不经过因式分解的情况下求解析式。
我们将演示如何使用二次公式法，并与其他方法进行比较，以便更好地理解 它的优点和限制。
问题与解答
讲座结束后，我们将开放提问时间，以回答听众们可能遇到的问题。我们将解答最畅销的问题，并确保为每个 人提供满意的答案。
二次函数中的符号问题与 求解析式
本次讲座将介绍二次函数的定义和特点，讨论各符号对函数图像的影响，并 演示如何使用不同的方法求解析式。
二次函数的定义和特点
二次函数是二次多项式的函数，定义为 $f(x)=ax^2+bx+c, \, a\neq0$。它的图 像通常是一个开口向上或向下的抛物线，具有对称轴、顶点和焦点等特点。

二次函数的符号的问题浙教版


观察抛物线的对称轴位置，若对称轴在 $y$ 轴左侧，则 $a$ 与 $b$ 同号；若对称轴在 $y$ 轴右侧，则 $a$ 与 $b$ 异号。
已知二次函数根的情况求符号
若方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 有两个不相等的实根，则 $Delta = b^2 - 4ac > 0$，且 $a neq 0$。
当二次函数无实根时，若$a > 0$，则 函数值始终大于0；若$a < 0$，则函
数值始终小于0。
04 典型例题分析
已知二次函数解析式求符号
对于形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的二次函数，若 $a > 0$，则抛 物线开口向上，若 $a < 0$，则
抛物线开口向下。
抛物线的对称轴为 $x = frac{b}{2a}$，若 $a$ 与 $b$ 同 号，则对称轴在 $y$ 轴左侧，若 $a$ 与 $b$ 异号，则对称轴在
二次函数与绝对值不等式
将绝对值不等式转化为分段函数，再结合二次函数的性质进行求解。
二次函数与实际应用问题
二次函数与最值问题
利用二次函数的性质，可以求解实际生活中的最值问题，如最大 利润、最小成本等。
二次函数与拟合问题
通过最小二乘法等方法，可以用二次函数对数据进行拟合，预测 未来趋势。
二次函数与动态规划
若方程有两个相等的实根，则 $Delta = b^2 - 4ac = 0$，且 $a neq 0$。
若方程无实根，则 $Delta = b^2 - 4ac < 0$，且 $a neq 0$。
05 浙教数的符号问题
参数影响二次函数开口方向
01
当参数使得二次项系数为正时，函数开口向上；为负时，开口
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二次函数中的符号问题
（a、b、c、△等符号）
招远市金晖学校 于鲁霞
1
想一想, 比一比:
函数表达式
开口 方向
增减性
对称轴
顶点坐标
y ax2 y ax2 k
a>0, 开口
a>0,在对称轴左
侧,y都随x的增大 直线x 0
而减小,在对称轴
右侧,y都随 x的 增大而增大.
直线x 0
(0 , 0) (0, k)
6
利用以上知识主要解决以下几方面问题：
（1）由抛物线的位置确定系数a,b,c,∆等符号 及有关a,b,c的代数式的符号；
（2）由a,b,c,∆的符号确定抛物线在坐标系中 的大 致位置；
7
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
o
x
8
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
14
仔细想一想：
1.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经 过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴． (1)：给出四个结论：①a>0；② b>0；③c>0；④ a+b+c=0．其中正确结论的序号是 ①④ ． (2)：给出四个结论：① abc<0；②2a+b>0；③a+c=1； ④a>1．其中正y 确结论的序号是② ③ ④．
y
M 1B
Ax
O
1
16
y
o
x
9
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
o
x
10
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
o
x
11
练一练：
1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点
M（ b ，a）在（ D ）
y
c
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
ox
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0； ④（a+c)2＜b2，
y
其中正确的个数是 （ B ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
o x=1
x 12
练一练：
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；
b2-4ac>0 b2-4ac=0
b2-4ac<0
5
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （5）a+b+c的符号：
由x=1时抛物线上的点的位置确定
a-b+c的符号： 由x=-1时抛物线上的点的位置确定
你还可想到啥？
（6）2a+b的符号： 由对称轴与直线x=1的位置确定
2a-b的符号： 由对称轴与直线x=-1的位置确定
交点在x轴上方
c>0
交点在x轴下方
c<0
经过坐标原点
c=0
4
归纳知识点：
（3）b的符号：由对称轴的位置及a的符号确定：
对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧
a、b异号
对称轴是y轴
b=0
（4）b2-4ac的符号：
简记为：左同右异
由抛物线与x轴的交点个数确定:
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点
④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ C ）
A、2个 y B、3个C、4个 D、5个
- o 1x
1
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,那么下列
判断不正确的有( )
D
A.abc＞0
B. 2a-b＞0
C.2a+b＞0源自D.4a-2b+c＜0
13
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定 （2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定 （3）b的符号：由对称轴的位置确定 （4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定 （5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定 （6） a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定 （7）2a±b的符号：对称轴与直线x=1 或x=-1的位置确定
y ax h2
向上; 简记：左减右增
a<0, a<0,在对称轴左 直线x h
y
ax h2
k
开口 向下.
侧,y都随x的增大
而增大,在对称轴 右侧,y都随 x的
直线x
h
(h , 0) (h, k)
增大而减小 .
y ax2 bx c
简记：左增右减
直线x
b
(
b
4ac b2
,
)
2a 2a 4a
2
回味知识点：
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？
2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是
.
3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是
.
3
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定:
2
x
-1
O
1
2.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，
观察图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围是________;
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仔细想一想：
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶 点M在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1),请判断实数a的范 围,并说明理由.