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二次函数中的符号问题

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二次函数中的符号问题

二次函数中的符号问题

二次函数中的符号问题一、基本知识：（1）二次函数y=ax 2+bx+c 的图像是一条抛物线，这条抛物线的形状（开口方向、开口大小）是由 决定的. 抛物线的开口向上抛物线的开口向下抛物线的形状相同（2）抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点的位置是由 决定的.抛物线与y 轴相交于正半轴上；抛物线与y 轴相交于原点；抛物线与y 轴相交于负半轴上.（3）抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴的位置是由 决定的.对称轴在y 轴的左侧；对称轴在y 轴的右侧；对称轴就是y 轴.（4）抛物线与x 轴交点的个数由 决定的.抛物线与x 轴有2个交点；抛物线与x 轴有1个交点；抛物线与x 轴有0个交点.（5）二次函数y=ax 2+bx+c 的值恒大于0（或恒小于0）的条件是:y 恒大于0y 恒小于0（6）抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标是（ ， ）顶点在x 轴上顶点在y 轴上二、例题：例1、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空：（用“＞”、“＝”、“＜”填空 ）（1）a___0，b__0，c___0，（2）a+b+c_____0，a －b+c______0，（3）例2、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空：（用“＞”、“＝”、“＜”填空 ）（1）a___0；b___0；c___0；a+b+c___0；a －b+c______；（2）练习：二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空：（用“＞”、“＝”、“＜”填空 ）（1）a_____0，b____0，c_____0；（2）a+b+c_____0，a －2b_____0，9a －3b+c_____0c_____0b 21a 41+-1_____0b 21a 41--例3、（1）已知二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，那么这个函数图像的顶点必在…（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，已知图像与x轴的一个交点为（1,0），则下列各式中不成立的是…………（）A、b2－4ac>0B、abc<0C、a+b+c=0D、a－b+c=0（3）如图，x=1是y=ax2+bx+c的对称轴，则下列结论中正确的是……（）A、a+b+c>0B、b>a+cC、abc<0D、2a+b＝0（4）函数y=ax2+bx+c 的图像如图所示，则下列式子能成立的是（）A、abc>0B、b<a+cC、a+b+c<0D、2c<3b例4、（1）函数y=ax+m，y=a(x+m)2+k图像大致是…………（）（2）函数y=ax2和y=a(x－2)(a≠0)在同一坐标系里的图像大致是………………（）A、B、C、D、（3）若一次函数y=ax+b的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx－3的大致图像是…（）A、B、C、D、（4）y=ax+b与y=ax2+b在同一坐标系内的图像大致是………………………（）。

二次函数的符号问题精品[1]

二次函数的符号问题精品[1]

b 2a
3
观察下列函数图象,看一看抛物线和X轴交点情 观察下列函数图象,看一看对称轴位置和系数a、b 况和△=b2-4ac的符号关系: 的符号关系: 2
y o
y
y=2x -3x+2
y=x2-2x-1 y两个交点:△>0 轴右侧:a、b异号
x
(1)
o
y=2x2+3x+2
x
y
y 没有交点:△<0 轴右侧:a、b异号 (2)
y
o
x
9
a的作用:
(1)决定开口方向：a＞０时开口向上， a＜０时开口向下. (2)决定形状: ︱a︱相同,则形状相同. ︱a︱不同,则形状不同. (3)决定开口大小: ︱a︱越大,则开口越小. ︱a︱越小,则开口越大. (4)决定最值:a>0时,有最低点,有最小值. a<0时,有最高点,有最大值. (5)决定增减性:a>0时,在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴右侧，y随x的增大而增大. a<0时,在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小.
y
o
x
y
x
o
y
o
x
31
二次函数：y=ax２+bx+c (a≠0) 信息： 1.四个字母
2.三对特殊值
a＞0
b＜0
x=0时 x=1时
c＞0 △＞0
y=c y=a+b+c
x=－1时
y=a-b+c
3.二个特殊位置
y轴是对称轴 b=0
抛物线过原点
c=0
32
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例：

二次函数中的符号问题

二次函数中的符号问题
； 抛物线与y轴相交于原点； 抛物线与y轴相交于负半轴上.
（3）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的位置是 由 a和b共同 决定的.
a与b同号 a与b异号 b=0

对称轴在y轴的左侧； 对称轴在y轴的右侧； 对称轴就是y轴.
（4）抛物线与x轴交点的个数由 b2－4ac的符号 决定的.
C、第三象限
D、第四象限
例3、（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，已知 图像与x轴的一个交点为（1,0），则下列各式中不成 立的是…………………………（ D ）
A、b2－4ac>0
B、abc<0 C、a+b+c=0 D、a－b+c=0 -1 O
y
1
x
例3、（3）如图，x=1是y=ax2+bx+c的对称轴，则下 列结论中正确的是……………………………（ D ） A、a+b+c>0 y
y y y y
x
x
x
x
A、
B、
C、
D、
例4、（2）函数y=ax2和y=a(x－2)(a≠0)在同一坐标 系里的图像大致是………………（ D ）
y
y o
x x
y
y o x
o
o
x
A、
B、
C、
D、
例4、（3）若一次函数y=ax+b的图像经过第二、三、 四象限，则二次函数y=ax2+bx－3的 大致 图像是… （ ） C
B、b>a+c
C、abc<0
D、2a+b＝0
-1
1
x
例3、（4）函数y=ax2+bx+c 的图像如图所示，则下 列式子能成立的是（ D ） y A、abc>0

二次函数符号问题

二次函数符号问题

o
x
△>0.
8
火眼金睛
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 的符号：
y
a>0, b>0, c=0,
o
x
△>0.
9
火眼金睛
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 的符号：
y
a>0, b<0, c>0,
且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；
判断a＋b＋c的符号
(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点 的纵坐标为正值，即a· 12＋b· 1＋c＞0， 故 a＋ b＋ c＞ 0；
判断a－b＋c的符号
(7)因为图象上的点的横坐标为－1时， 点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1) ＋c＜0，故a－b＋c＜0．
①a____0 ＜ ， ②b_____0, ＜ ③c_ ＞ __0， ＞ ， ④b2-4ac_____0 -2 -1 0 1
⑤a+b+c_____0, ＜
⑥2a+b_ ＜__0.
2.已知 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象右图，5
①3a-b = ② ＞
0, 0.
----达标 5 ~ 10 ----优秀 13 ----NO.1
小 结 一
a的符号： 由抛物线的 开口方向确定 b的符号： 由抛物线的对称轴的位置 确定
C的符号： 由抛物线与
y 轴的 交点位置 确定:
7
由抛物线与 x 轴交点 个数 决定 的符号：
火眼金睛

二次函数的符号的问题浙教版

二次函数的符号的问题浙教版

观察抛物线的对称轴位置，若对称轴在 $y$ 轴左侧，则 $a$ 与 $b$ 同号；若对称轴在 $y$ 轴右侧，则 $a$ 与 $b$ 异号。
已知二次函数根的情况求符号
若方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 有两个不相等的实根，则 $Delta = b^2 - 4ac > 0$，且 $a neq 0$。
当二次函数无实根时，若$a > 0$，则 函数值始终大于0；若$a < 0$，则函
数值始终小于0。
04 典型例题分析
已知二次函数解析式求符号
对于形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的二次函数，若 $a > 0$，则抛 物线开口向上，若 $a < 0$，则
抛物线开口向下。
抛物线的对称轴为 $x = frac{b}{2a}$，若 $a$ 与 $b$ 同 号，则对称轴在 $y$ 轴左侧，若 $a$ 与 $b$ 异号，则对称轴在
二次函数与绝对值不等式
将绝对值不等式转化为分段函数，再结合二次函数的性质进行求解。
二次函数与实际应用问题
二次函数与最值问题
利用二次函数的性质，可以求解实际生活中的最值问题，如最大 利润、最小成本等。
二次函数与拟合问题
通过最小二乘法等方法，可以用二次函数对数据进行拟合，预测 未来趋势。
二次函数与动态规划
若方程有两个相等的实根，则 $Delta = b^2 - 4ac = 0$，且 $a neq 0$。
若方程无实根，则 $Delta = b^2 - 4ac < 0$，且 $a neq 0$。
05 浙教数的符号问题
参数影响二次函数开口方向
01
当参数使得二次项系数为正时，函数开口向上；为负时，开口

二次函数符号问题

二次函数符号问题

二次函数字母符号问题1.已知：二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则点M （cb ，a ）在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2、已知：二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，下列结论中：①b ＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④22)(b c a +，其中正确的个数是 （ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个3、已知：二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，下列结论中：①abc ＞0；②b=2a ；③a+b+c ＜0；④a+b-c ＞0; ⑤a-b+c ＞0正确的个数是 （ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个4.二次函数c bx ax y ++=2的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过A(0,1),B(1,0),请判断实数a 的范围,并说明理由.5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数c ax y +=2（a<0）的图象过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则ac 的值是 .6.如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y 轴相交于负半轴． A a>0； B b>0； C c>0； D a+b+c=0; E abc<0； F 2a+b>0； G a+c=1； H a>1．其中正确结论的序号是 ．xy O 1-1 27．已知抛物线c bx ax y ++=2（a ＜0)经过点（－1，0），且满足4a ＋2b ＋c ＞0．以下结论：①a ＋b ＞0；②a ＋c ＞0；③－a ＋b ＋c ＞0；④2252a ac b -．其中正确的个数有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个8.已知函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图像如图所示，下列5个结论中①abc ＞0；②b ＜a+c;③4a+2b+c ＞0；④2c ＞3b; ⑤a+b ＞m(am+b)(m ≠1的实数)，其中正确结论的个数是（ ）A 、5个B 、4个C 、1个D 、2个9已知函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图像经过（-2，0），另一交点在1到2之间，与y 轴的交点在0到2之间，下列4个结论中①4a-2b+c=0②0 b a ③2a+c ＞0④2a-b+1＞0正确的个数有（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个。

二次函数中的符号问题优秀课件


A、2个 B、3个
y
C、4个 D、5个
根据图像可得： 1、a＜0
2、- b ＝-1 2a
3、△=b²-4ac＞0 4、C＞0
-1 o 1 x
13
再想一想：
5.(06.芜湖市)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+c（a<0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，
则ac的值是 -2 .
16
课外作业：
1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和 一次函数y2=mx+n的图象，观察 图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围 是________;
2.若关于x的函数y=(a+2)x2-(2a-1)x+a-2的图象与坐标轴有两 个交点，则a可取的值为 ；
3.(03武汉)已知抛物线y=ax2+bx+c （a＜0)经过点（－1，0）， 且满足4a＋2b＋c＞0．以下结论：①a＋b＞0；②a＋c＞0；③
4、C＝0
7
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
根据图像可得： 1、a＞0
2、- b ＞0
o
x
2a
3、△=b²-4ac＝0
4、C＞0
8
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
根据图像可得：
1、a＞0
b
2、- 2 a ＝0
A、4个 B、3个
y
C、2个 D、1个
根据图像可得：
1、a＜0
b
2、-
＝1
2a
3、△=b²-4ac＞0 4、C＜0

2.二次函数有关符号的判断


练一练：
1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0； ④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ C ） y A、2个 B、3个
C、4个
D、5个
-1 o
1
x
练一练：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中不正确的是 （ D ） y A、abc＞0 B、b2-4ac＞0
C、2a+b＞0
D、4a-2b
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0； ④（a+c）2＜b2，其中正确的个数是 （ B ） A、4个 B、3个
C、2个
D、1个
y
o
x=1
x
谈谈你的收获? 1 a、b、c、△等符号性质 2 a+b+c的符号 3 a-b+c的符号 4 解信息题技巧`
a>0 b<0 c>0 △>0
o
x
做一做
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△ 的符号： y
a>0 b>0 c=0 △>0
x
o
练一练
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△ 的符号： y
o
a<0 b<0 c>0 △>0
x
你行的!
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△ 的符号： y

二次函数中的符号问题-PPT课件

你还可想到啥？
6
利用以上知识主要解决以下几方面问题： （1）由a,b,c,∆的符号确定抛物线在坐标系中的大 致位置； （2）由抛物线的位置确定系数a,b,c,∆等符号及有关 a,b,c的代数式的符号；
7
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
o
x
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
① abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1．其中正确结论的序 号是 ② ③ ④（答对得5分，少选、错选均不得分）．
y
2
x -1 O 1
19
这节课你有哪些体会？
1.a,b,c等符号与二次函数y=ax2+bx+c有密切的 联系； 2.解决这类问题的关键是运用数形结合思想， 即会观察图象；如遇到2a+b,2a-b要与对称轴联 系等； 3.要注意灵活运用数学知识，具体问题具体分 析……
3.(03武汉)已知抛物线y=ax2+bx+c （a＜0)经过点（－1，0）， 且满足4a＋2b＋c＞0．以下结论：①a＋b＞0；②a＋c＞0；③
－a＋b＋c＞0；④b2-2ac>5a2．其中正确的个数有（
）
（A）1个 （B）2个 （C）3个
（D）4个
22
继续保持安静
9
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
o
x
10
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
o
x
11

22.2二次函数系数的符号问题


③4ac﹣b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
27
（2011 山东日照，17，4 分）如图，是二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0； ②b＞2a；③ax2+bx+c=0 的两根分别为﹣3 和 1；④a﹣2b+c ＞0．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）
c=0 y
o
x
知识点一：基本符号的判断
（3）b的符号：由对称轴的位置及a 的符号确定。
对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
a、b同号 a、b异号
y b=0
简记为：
左同右异
o
x
知识点一：基本符号的判断
（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定。
与x轴没有交点
与x轴有一个交点
A、4个 C、2个
B、3个 D、1个
o
x
x=1
知识点二： 2a+b和2a-b符号判断 （7） 2a+b , 2a-b的符号
由对称轴与直线x=1 或 x=-1的位置确定.
当判断2a+b的符号时，比较

b 2a
与1的大小关系
当判断2a-b的符号时，比较
b 2a
与-1的大小关系
知识点二： 2a+b和2a-b符号判断
（5）a+b+c的符号 ：
由x=1时抛物线上的点的位置确定
点在x轴上方
点在x轴下方 点在x轴上
a+b+c>0
a+b+c<0 a+b+c=0
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1
基础回顾：
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向、形状与什么 有关？
a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下。
a 相等
抛物线的形状相同
2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是（0、c）.
3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是 X=- b .
2a
2
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
y
根据图像可得：
1、a＞0
2、- b ＞0
2a
o
x 3、△=b²-4ac＞0
4、C＞0
6
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
根据图像可得：
1、a＞0
b
2、-
＜0
2a
o
x 3、△=b²-4ac＞0
4、C＝0
7
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
M
B 1
Ax
O
1
17
再想一想：
5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a<0）的
图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是 -2 .
设正方形的对角线长为2n， 根据图像可得：
∵A（0、2n）、B（-n、n）、 C（n、n） ∴n=a（±n）²+2n、c=2n，
∴a=- 1 ，∴ac=2n*（-
②如图2a＋b _______0 4a＋2b＋c_______0
12
根据图象填空：
（1）a_____0； （2）b_____0； （3）c______0； （4）b2 4ac _____0； （5）a＋b＋c_____0； （6）a－b＋c_____0； （7）2a＋b_____0；
（8）方程 ax2 bx c 0
① abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1．其中正确结论的序 号是 ② ③ ④（答对得5分，少选、错选均不得分）．
y
2
x -1 O 1
19
课外作业：
1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和 一次函数y2=mx+n的图象，观察 图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围 是________;
1
）
n
n
=-2
18
仔细想一想：
6. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点 （-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴． (以下有(1)、(2)两问，每个考生只须选答一问，若两问都答， 则只以第(2)问计分) 第(1)问：给出四个结论：
①a>0；② b>0；③c>0；④ a+b+c=0．其中正确结论的序号 是 ①④ （答对得3分，少选、错选均不得分）． 第(2)问：给出四个结论：
y
根据图像可得： 1、a＜0
b
2、-
＞0
o
x
2a
3、△=b²-4ac＜0 4、C＜0
10
填空： （1）a________0 （2）b________0 （3）c________0
b （4） 2 4ac ________0
11
①如图看图填空： （1）a＋b＋c_______0 （2）a－b＋c_______0 （3）2a－b _______0
2、- b ＝-1 2a
3、△=b²-4ac＞0 4、C＞0
-1 o 1 x
16
想一想：
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的 顶点M在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1),请判断实数 a的范围,并说明理由.
y
根据图像可得： 1、a＜0
b
2、-
＜0
2a
3、a+b+c＝0 4、C＝1
轴上时 a+b+c=0；这个点在X轴下方时 a+b+c﹤0 。）
（6）a-b+c的符号：
由x=-1时y=a-b+c,抛物线上的点的位 置确定
（这个点在X轴上方时 a-b+c﹥0;这个点在X轴上时 a-
b+c=0；这个点在X轴下方时 a-b+c﹤0 。）
5
知识应用：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
（1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
a 的大小确定抛物线的形状
（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定:
交点在y轴正半轴上
c>0
交点在y轴负半轴上
c<0
经过坐标原点
c=0
3
（3）b的符号：由对称轴 X=- b
2a
对称轴在y轴左侧
对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
简
的位置确定： 记 为：
y
根据图像可得： 1、a＞0
2、- b ＞0
o
x
2a
3、△=b²-4ac＝0
4、C＞0
8
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
根据图像可得：
1、a＞0
b
2、- 2a ＝0
o
x
3、△=b²-4ac＝0
4、C＝0
9
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
2.若关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个 交点，则a可取的值为 ；
y
根据图像可得：
1、a＜0
b
2、-
＞0
2a
3、△=b²-4ac＞0 4、C＞0
o
x
14
练一练：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；
④（a+c)2＜b2，其中正确的个数是 （ B ）
A、4个 B、3个
y
C、2个 D、1个
根据图像可得： 1、a＜0
的根为__________； （9）当y＞0时，x的范围为
___________； （10）当y＜0时，x的范围
为___________；
ax2 bx c 0
13
练一练：
1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点 M（ b ，a）在（ D ）
c A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
a、b同号 同
a、b异号
左 异
b=0
右
（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定:
与x轴有两个交点 与x轴有一个交 与x轴无交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0
b2-4ac<0
4
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（5）a+b+c的符号：
由x=1时y=a+b+c,抛物线上对应的点的 位置确定（这个点在X轴上方时 a+b+c﹥0;这个点在X
b 2、- 2a ＝1
3、△=b²-4ac＞0 4、C＜0
o
x
x=1
15
练一练：
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；
④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ C ）
A、2个 B、3个
y
C、4个 D、5个
根据图像可得： 1、a＜0