三垂线10

立体几何：三垂线定理及其简单应用新课标高中数学中，淡化了“三垂线定理及逆定理”，但我们认为：三垂线定理还是非常好用的。

至少用它来证明有关题目，会简捷得多！（一）温故知新，引入课题大家已经学习了直线和平面的垂直关系，学新课之前，让我们作个简单的回顾：1．直线和平面垂直的定义？2．直线和平面垂直的判定定理?许兴华数学图片（二）猜想推测，激发兴趣（三）层层推进，证明定理我们在讨论立体空间时，通常会想把空间的问题转化为平面问题，那有没有什么方法可以帮助我们将空间与平面联系在一起呢? · 今天我们学习的内容，就可以把空间垂直的问题转化为平面垂直的问题。

这就是:三垂线定理与三垂线逆定理 .我们先来看一下三垂线定理及逆定理的描述。

1、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

2、三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

具体在图中体现为：我们将OP称为平面的斜线，PA是平面的垂线，AO是OP在平面内的射影，a是平面内的一条直线，若a与AO垂直，则l也与PO垂直，反之亦然。

其实三垂线定理从证明的角度看可以认为是线面垂直转化关系的一个常用推论.这是一个标准的从线线垂直（一般是共面）转化为线面垂直又转化为新的线线垂直（一般是异面）的立体几何推理过程。

但换一个观点和角度来看，三垂线定理的价值在于将一个需要进行多次转化而且模式基本确定的证明过程以定理的形式规范下来，这使得在相关的证明（之后还有计算）过程中书写难度得到有效降低，在部分复杂题目中更是如此。

而从很多立体几何题目设计的思路来看，经常会出现两条看似无关直线（一般是异面）的关系问题，一般方法是让他们在不同平面中分别找关系，然后利用一个桥梁进行沟通；三垂线定理正是提供了这样一个可以进行简便沟通的方式。

而更为重要的是，在三垂线定理中，最重要的其实并不是斜线或者射影（尽管它们分别是条件和结论），而是平面的垂线！有了这个垂线的存在，才会使得两条异面直线建立关系；有了这个垂线，才能形成相应的平面和直角三角形从而便于计算；而同样也是因为有了这条垂线，使得直线和平面所称的角，以及升级版的平面和平面所成的角（二面角）出现并有了用平面角度量其大小的方式。

垂直的判定定理，这两条直线可以是：①相交直线
注意：如果将定理中“在平面内” ②异面直线
的条件去掉，结论仍然成立吗？
定理就不一定成立
线射垂直 P
A
α
？P
Oa
A
α
线斜垂直
Oa
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
区别 1、条件和结论上区分：线射垂直 线斜垂直 2、作用上区分：共面直线垂直 异面直线垂直
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
B
D
于是O是△BCD的垂心，
O
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
C
练习：
判断下列命题的真假：
D1
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×）
A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
一面，四线，三垂直
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
例1、 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
C B
AO a α
P P
C A
M B
三垂线定理解题的关键：找三垂！ 怎么找？
程序：一垂、二射、三证
解 第一、找平面(基准面)及平面垂线 第二、找射影线，

P
EB O
A

C
F
如图，在空间四边形ABCD中, PA⊥面ABC, AC⊥BC,
若A在PB、PC上的射影分别是E、F，
P
求证：EF⊥PB
E
F
A
B
C
补充作业：
1.点P在△ABC的射影为O，
A
且PA、PB、PC两两垂直，
P
C O
求证：O为△ABC的垂心
BH
2.平面α 内有一个正六边形，
它的中心是O，边长为2cm，
P
O为斜足; PA是平面α
的垂线, A为垂足; AO
α
o A
a
是PO在平面α内的射影.
如果a α, a⊥AO，
思考a与PO的位置关
系如何？
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个
平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线
垂直。 PA⊥α
aα
①
PA⊥a
AO⊥a
②

a⊥平面PAO
P PO 平面PAO
B C
三垂线定理
例3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，
AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C
证明：连结BD，连结A1B
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD
D1
C1
又DD1⊥平面ABCD
A1
B1
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的
射影
∵AC在平面AC内，∴BD1⊥AC
例4、一段笔直的道路旁有一条河，河对岸有电塔AB， 高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，不过河怎样求出 电塔顶A与道路的距离？ 解：在道边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°，

证明：∵H是∆ABC的垂心，连结AH延长交 BC于D，连结BH延长交AC于E，∴AD⊥BC， BE⊥AC，∵AP⊥平面PBC，∴BC⊥PD， AD∩PD=D，∴BC⊥平面ADP，∴BC⊥PH， 又AP⊥面PBC，∴AP⊥PB，由已知BP⊥PC， ∴PB⊥面APC，又BE⊥AC，∴PE⊥AC， ∴AC⊥面PBE，∴PH⊥AC，AC∩BC=C， ∴PH⊥面ABC，∴H是P点在平面ABC的射 影。
1.直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
(3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P
P
D1
C1
A
D
O
A
B
C
(1)
∴ ∠AFC= ∠MDF ， ∴ ∠DMF+∠AFC=∠DMF+∠MDF= 90°，
∴ DM ⊥AF，又ABC-DEF为直三棱柱，∴ CF⊥EF，又EF⊥DF，∴ EF⊥平面AF，由三 垂线定理知AE⊥DM
能力拓展：
2、过Rt ∆BPC的直角顶点P作线段PA ⊥平面BPC，求证： ∆ABC的垂心H是P点在平面ABC内的射影。
3. 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，
PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF
求证：∠BAO=∠CAO
P
分析： 要证 ∠BAO=∠CAO
只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥AC
?
?
?
A